redes de compensacion

marzo 2009 Sist. de Control Automático-DACI-EPN 1

Diseño de Sistemas de ControlIntroducción

Todos los fundamentos que se han revisado para el análisis en los

capítulos anteriores llevan al objetivo último del diseño de sistemas

de control.

Especificaciones de diseño:

Generalmente se emplean para describir qué debe hacer el sistema

y cómo hacerlo. Estas especificaciones suelen incluir parámetros

como: estabilidad relativa, precisión en estado estable, respuesta

transitoria y características de respuesta de frecuencia.

El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea

en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.


Diseño de Sistemas de ControlConfiguraciones del controlador

El diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado

completo y el lugar donde el controlador estará colocado en

relación con el proceso controlado.

Compensación en serie (cascada): es la más comúnmente utilizada

con el controlador colocado en serie con el proceso controlado.

Compensación en realimentación (en paralelo): el controlador está

colocado en la trayectoria menor de realimentación.

CG

PG

H

ae

CASCADAoSERIE

rcontrolado .instrplanta

controldelazo

r

CG

PG

H

ae

controldelazo

G

CIÓNREALIMENTAoPARALELO

ciónrealimentademenorlazo

r y

Diseño de Sistemas de ControlPrincipios fundamentales del diseño

Después que se ha escogido una configuración del controlador, el

diseñador debe seleccionar un tipo de controlador que satisfaga las

especificaciones de diseño.

Uno de los controladores más utilizados en el PID, el cual aplica una señal

al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la

señal de actuación. Además de estos se cuentan con controladores o

redes de adelanto, atraso y atraso-adelanto.

Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar sus

parámetros. Estos son coeficientes de una o más funciones de

transferencia que conforman el controlador.

A continuación se debe realizar la verificación del desempeño del sistema

y en caso de ser necesario reajustar los parámetros del compensador. Se

emplea la simulación mediante un paquete computacional para evitar gran

parte de la complicación numérica necesaria en esta verificación


Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando el Lugar Geométrico de las Raíces

En esencia, en este tipo de diseño el LGR del sistema se reconstruye

mediante el uso de un compensador, a fin de poder colocar un par de

polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada.

Redes de adelanto

•Mejora la respuesta transitoria readaptando el LGR.

•El cero del compensador de adelanto readapta el LGR, mientras que el

polo se ubica lo suficientemente lejos a la izquierda para no influir en la

parte readaptada por el cero.

Gc(s)R(s) +

-G(s)

Y(s)

10,1

1

1

1

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc

jw

s

T

1

T

1

10


Diseño de Sistemas de ControlProcedimiento de diseño de redes de adelanto mediante el LGR

•De las especificaciones de funcionamiento, se determina la ubicación deseada de

los polos dominantes en lazo cerrado.

•Trazar el LGR para el sistema no compensado cuya función de transferencia es

G(s). Determine si con solo ajustar la ganancia se logra obtener o no los polos de

lazo cerrado deseados. De no ser posible, calcule la deficiencia angular Φ, este

ángulo se debe proporcionar por el compensador en adelanto para que el nuevo

LGR pase por las ubicaciones deseadas.

•Se determinan α y T a partir de la deficiencia angular, Kc se determina a partir del

requisito de ganancia de lazo abierto partiendo de la condición de magnitud.

•Verificar que se hayan cumplido todas las especificaciones de desempeño, de no

ser el caso repetir el procedimiento ajustando el polo y el cero del compensador

hasta cumplir con todas las especificaciones


Diseño de Sistemas de ControlEjemplo de diseño


styMpy

jclenpolos

sn 8%2%50.3022

12

2

75.0..

w

Gc(s)+

-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Análisis del sistema

-1.5 -1 -0.5 0-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis polos en lazo cerrado

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System: untitled1

Settling Time (sec): 7.74

System: untitled1

Peak amplitude: 1.3

Overshoot (%): 30.4

At time (sec): 2.43

Para este sistema se desea tener un par de polos dominantes con Mp ≤ 20% y ts ≤ 2s

(criterio del 2%). Por lo que el punto de diseño será:

Diseño de Sistemas de Control


-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

322 jPD

322 jPD

120º106,1º98

,21º

52,11º

zc= -1.5pc= -4.69

322

23

43%2

5,0207,0%20

jPD

escojorealpartest

escojoMp

s

ss

Diseño de Sistemas de ControlComo se observa el LGR de la planta no pasa por el punto de diseño (PD).

Entonces calculando el ángulo de adelanto A que debe entregar el compensador se

tiene:

69,4

5,104,9 :esdiseñadorcompensadoelentonces

04,95,12

69,41

magnituddecondiciónladepartiracalculase

69,4

5,1:quelopor

69,42º11,52tan

32

52,11ºº1,46º21,982

32arctan

º1,465,1º1,46G

tienese -1,5zen rcompensadodelceroelfijandoquelopor

46,1º226,1ºº180 180º-deserdeberíaesteángulodecondiciónladepero

-226,1ºº-106,1º1201

2

C

C

C

A

s

ssG

s

sssK

K

s

sKsG

pp

p

psss

ss

C

PDs

C

C

CC

C

c

PDsCPDsPDsA

PDs


Rectángulo

ojo condición de ángulo


Comprobando el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab y se presenta

a continuación el LGR y la respuesta temporal del sistema compensado:


Diseño de Sistemas de ControlComo se observa en la simulación anterior, de las especificaciones de diseño no se

cumple con la del Mp (debe ser ≤ 20%) por lo que es necesario reajustar los

parámetros del compensador. Por esto se varia la ganancia a un valor de 7,3

logrando cumplir con las especificaciones solicitadas.


Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso

•Se emplea para mejorar la respuesta en estado estable sin modificar la

respuesta transitoria.

•Se pretende no cambiar el LGR en la vecindad de los polos dominantes

en lazo cerrado.

•Generalmente se ubican el polo y el cero próximos entre sí y cerca del

origen


jw

s

T

1

T

1

1

Gc(s)R(s) +

-G(s)

Y(s)

1,1

1ˆ1

1

ˆ

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante el LGR

•Trace el LGR para el sistema no compensado y con base a las especificaciones de

la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el LGR.

•Calcule la constante de error estático especificada en el problema.

•Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer

las especificaciones.

•Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el

incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar

apreciablemente el LGR original.

•Trace el nuevo LGR del sistema compensado y ubique sobre este los polos en

lazo cerrado en base a las especificaciones de la respuesta transitoria.

•Ajuste la ganancia del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de

que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.



Gc(s)R(s) +

-

Y(s)

4

16

ss styMpy

jclenpolos

sn 2%2%30.162

14

322..

w

Análisis del sistema

Como se observa este sistema no presenta problemas con su respuesta transitoria

pero al analizar su constante de velocidad se obtiene KV = 4, por lo que el error de

velocidad es de eV = 25%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Linear Simulation Results

Time (sec)

Am

plit

ude

Por lo que se desea compensar su error de velocidad sin desmejorar su respuesta

transitoria. Se pretende obtener un eV≤ 5%, es decir se requiere un KV≥ 20.



)5º a ser (debeº49,001,0

05,0004,1 esr compensado del fase de aporte ely

004,105,016

01,04 de valor el oReajustand

01,0

05,0 es diseñado atraso der compensado el ,Finalmente

01,05

05,01serár compensado del polo el que ahí de

05,0T

1 0,05-en ejemplopor origen al cercano más lor compensado del cero el Escogiendo

5 que lopor ,1 LGR el modifique se no que para

54

20

4

16

1

1lim20

:entonces compensado sistema el para 20 el que requiere se como

4

16

1

1lim : tieneser compensado el serieen poner Al

44

16lim:originalsistemaelPara

l.c.en polos

l.c.en polos

0

0

0

s

s

CC

CC

C

C

C

CCs

V

Cs

V

sV

s

s

s

sssKK

s

sKsG

Tp

z

K

KssTs

TsKs

K

ssTs

TsKsK

sssK

comp

comp



Para comprobar el compensador diseñado se utiliza el rltool de MatLab, por lo que

a continuación se presentan el LGR, la respuesta paso unitaria y la respuesta rampa

unitaria del sistema compensado

zoom



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Linear Simulation Results

Time (sec)A

mplit

ude

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4System: untitled1

Peak amplitude: 1.18

Overshoot (%): 17.7

At time (sec): 0.928

System: untitled1

Settling Time (sec): 1.47

Diseño de Sistemas de ControlDiseño empleando la respuesta de frecuencia

•Se especifica el desempeño de la respuesta transitoria en forma indirecta,

a través del MF, MG y Mr.

•El diseño es sencillo y directo.

•Para propósitos de diseño es mejor trabajar con el Diagrama de Bode.

Redes de adelanto

•Su función principal es volver a dar forma a la curva de respuesta de

frecuencia a fin de ofrecer un ángulo de adelanto de fase suficiente para

compensan atrasos de fase del sistema.

•Es básicamente un filtro pasa-altos.


10,1

1

1

1

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Redes de adelanto

•Diagrama de Nyquist (haciendo KC=1)

•Diagrama de Bode (haciendo KC=1 y =0.1)

1

1

12

1

12

1

sin m

10,1

1

w

w

Tj

TjKsG cc

TTTmm

w

w

11log

1log

2

1log



Procedimiento de diseño de redes de adelanto mediante la respuesta de

frecuencia

•Suponga el siguiente compensador de adelanto:

•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de

error estático solicitado.

•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.

•Determine el ángulo de fase necesario a agregar al sistema y calcule a partir

de la ecuación de m.

•Establezca la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual

a . Esta será la nueva frec. de cruce de ganancia y corresponde a

•Determine las frecuencias de esquina del compensador (1/T y 1/(T)) y calcule el

valor de KC.

•Verifique el MG para asegurar que sea satisfactorio.

Cc KKTs

TsKsG

donde,

1

1

1log20

Tm

w

1



Gc(s)+

-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥

50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de adelanto se tiene:

Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación

del valor de KV, obteniendo:

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:

A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se

requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K, la red de adelanto debe

contribuir con el ángulo de fase adicional de 42,2º (se han agregado 5º para

compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia).

10,1

1

Ts

TsKsG cc

cKK

102021

2

1

1lim

1

2lim

00

KK

ssTs

TssK

ssssGK

sC

sV

120

1

2

ssss

K



Entonces de la fórmula de m se tiene:

Por lo que: y como se observa en el diagrama de

magnitud esta ganancia ocurre aproximadamente a la frecuencia de 6,68 rad/s

196,0º2,42sin1

º2,42sin1

1

1º2,42sin

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sys

Phase Margin (deg): 12.8

Delay Margin (sec): 0.0504

At frequency (rad/sec): 4.42

Closed Loop Stable? Yes

Phase (

deg)

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

System: sys

Frequency (rad/sec): 6.69

Magnitude (dB): -7.09

dB069,7196,0

1log201log20



Esta es la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Entonces de la fórmula de wm se

obtiene:

Y calculando el valor de KC

Finalmente el compensador diseñado es

07,151

96.2196,068,61

68,61

T

yTs

radT

m

w

92,50196,0

1010 CC KKK

07,15

96,292,50

s

ssGc

-150

-100

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

45

System: tot




Closed Loop Stable? YesPhase (

deg)

Sist. sin compensar

Compensador

Sist. compensado

Diseño de Sistemas de ControlRedes de atraso

•Su función principal es proporcionar una atenuación en el rango de las

frecuencias altas a fin de aportar un margen de fase suficiente al sistema.

•Es esencialmente un filtro pasa-bajos.

•Diagrama de Nyquist

•Diagrama de Bode (para =10 y KC=1)


1,1

1ˆ1

1

ˆ

Ts

TsK

Ts

Ts

KsG ccc



Procedimiento de diseño de redes de atraso mediante la respuesta de frecuencia

•Suponga el siguiente compensador de atraso:

•Determine la ganancia K que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático

solicitado.

•Con esta ganancia K , trace el diagrama de Bode en lazo abierto y calcule el MF.

•Si el sistema no compensado no satisface la especificación de MF, encuentre el punto de

frecuencia en el cual el ángulo de fase del sistema en lazo abierto sea igual a -180º más el

MF requerido (generalmente se aumentan de 5º a 12º). Esta es la nueva frecuencia de cruce

de ganancia.

•Para evitar los efectos nocivos del atraso de fase, el polo y el cero del compensador deben

ubicarse mucho más abajo que la nueva frec. de cruce de ganancia (hasta una década por

debajo).

•Determine la atenuación necesaria para bajar la curva de magnitud a 0dB en la nueva frec.

de cruce de ganancia. Esta atenuación es de

•Usando el valor de K y de se determina el valor de KC.

Cc KKTs

TsKsG

donde,

1

1

log20



Gc(s)+

-

Y(s)

1

2

ss

R(s)

Para este sistema se desea diseñar un compensador de manera que: KV ≥ 20 , MF ≥

50º y MG ≥ 10dB.

Escogiendo una red de atraso se tiene:

Y haciendo que , se ajusta el valor de K para cumplir con la especificación

del valor de KV, obteniendo:

A continuación se obtiene el Diagrama de Bode en lazo abierto de:

A partir de este diagrama se determina que el MF = 12,8º y el MG = . Como se

requiere de un MF de al menos 50º sin alterar el valor de K. Por esto se determina

la frecuencia en la cual el ángulo de fase sea de -120º para obtener un MF de 60º.

Del gráfico de fase se observa que esta frecuencia es de 0,571 rad/s.

1,1

1

Ts

TsKsG cc

cKK

102021

2

1

1lim

1

2lim

00

KK

ssTs

TssK

ssssGK

sC

sV

120

1

2

ssss

K



Por lo que 0,571 rad/s será la nueva frecuencia de cruce de ganancia. A esta

frecuencia se tiene una magnitud de 29,6dB, entonces el compensador de atraso

deberá cumplir que:

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

System: sys1





System: sys1


Phase (deg): -120

Phase (

deg)

-50

0

50

100

Magnitu

de (

dB

)System: sys1


Magnitude (dB): 29.6

2,30106.29log20 20

6.29

dB



Como la frecuencia de esquina 1/T debe estar entre una década y una octava por

debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia se tiene que:

Y calculando el valor de KC

Finalmente el compensador diseñado es

0033,01

1,01

T

yT

33,02,30

1010 CC KKK

0033,0

1,033,0

s

ssGc

-100

-50

0

50

100

150

Magnitu

de (

dB

)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

System: tot





Phase (

deg)

Sist. no compensado

Compensador

Sist. compensado

redes de compensacion

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