Rede de Rede de BravaisBravais

Cap 1 KITTELCap 4 ASHCROFT- MERMIN (todo)Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)Cap 4 IVAN

�� Rede de Rede de BravaisBravais. Vetores primitivos. Vetores primitivos

�� Redes 2D e 3DRedes 2D e 3D

�� CCéélula unitlula unitáária primitivaria primitivaccéélula primitiva de WIGNERlula primitiva de WIGNER--SEITZSEITZccéélula unitlula unitáária convencionalria convencional

�� Estrutura cristalina: rede + baseEstrutura cristalina: rede + base

�� Alguns exemplosAlguns exemplos

�� SimetriasSimetrias

Veremos hoje

Em 3D

Rede de Bravais

VETORES PRIMITIVOS DA REDE (linearmente independentes)

332211 anananRrrrr

++=

321 ,, aaarrr

321 ,, nnn

1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e

orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de

qualquer ponto da rede.

2) Conjunto de pontos R definidos por

Em 2D2211 ananRrrr

+=

varrem todos os valores inteiros

1os vizinhos: sítios mais próximos

Número de coordenação (z) : número de 1os vizinhos

Para uma dada rede de Bravais o conjunto de vetores primitivos não é único – na realidade, existem infinitas escolhas.

Auguste Auguste BravaisBravais

Em 1845 enumerou todas as possíveis redes fundamentais

2D

3D

5 redes

14 redes

Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D

retangularretangularobloblííquaqua

quadradaquadrada

retangularretangular centradacentrada

hexagonalhexagonal

Redes de Redes de BravaisBravais 2D2D

quadradaquadrada a = b a = b ϕϕ = 90= 90ºº

hexagonalhexagonal

retangularretangular

Retangular centradaRetangular centrada

obloblííquaqua

a = b a = b ϕϕ = 120= 120ºº

a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº

a a ≠≠ b b ϕϕ = 90= 90ºº

a a ≠≠ b b ϕϕ ≠≠ 9090ºº

Redes de Redes de BravaisBravais 3D3D

Centrada em uma única face (A, B ou C): um ponto adicional no centro de um tipo de face

P

I

F

C

Primitive centering: pontos de rede nos apenas nos cantos da célula

Corpo centrado: um ponto adicional no centro da célula

Face centrada: um ponto adicional no centro de cada face da célula

CCúúbicabica

P I F

BCCBCC FCCFCC

hexagonalhexagonal

ortorrômbicaortorrômbica

C

tetragonaltetragonal

tricltriclíínicanica

monoclmonoclíínicanica

RhomboRhomboéédricadrica((trigonaltrigonal))

SCSC

____________________________________________________________CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β

TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ

TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°_______________________________________________________________

3ar

1ar

2ar

α

γβ

aa )0,0,1(1 =r

aa )0,1,0(2 =r

aa )1,0,0(3 =r

z=6

a ⇒ parâmetro de rede

Rede cúbica simples

Rede cúbica de corpo centrado - BCC

)0,0,1(1 aa =r

)0,1,0(2 aa =r

)1,1,1(2

3

aa =r

z=8

BCC

2

3a

Distância entre primeiros vizinhos

)1,1,1(2

1 −=a

ar

)1,1,1(2

2 −=a

ar

)1,1,1(2

3 −=a

ar

Rede cúbica de face centrada - FCC

)1,1,0(2

1

aa =r

)1,0,1(2

2

aa =r

)0,1,1(2

3

aa =r

z=12

2

2a

Distância entre primeiros vizinhos

FCC

CÉLULA UNITÁRIA ou CÉLULA UNITÁRIA CONVENCIONAL

Qualquer volume (área) finito que preenche completamente o espaço mediante translações convenientes sem superposições ou faltas

convenientes = subconjunto de todas as possíveis { t }

t

1

23

1 e 3 ⇒ o subconjunto é todo conjunto { t }

2 ⇒ o subconjunto é um subconjunto de { t }

4 ⇒ não é célula unitária

4

t

A célula unitária primitiva é uma célula unitária de área mínima.

Não há maneira única de se escolher uma célula primitiva para uma dada rede de Bravais.

O volume da célula primitiva é independente da escolha da célula.

Uma célula primitiva deve conter somente um ponto da rede.

CÉLULA UNITÁRIA PRIMITIVA

( ) 3210 aaaVrrr

•×=

210 aaArr

×=2D

3D

Escolhas possíveis de célula unitária primitiva

Contém 1 (e apenas 1) ponto da rede

n : densidade de pontos na redenv = 1 ⇒⇒⇒⇒ v = 1/n

célula unitária convencional(cúbica)

volume da célula primitiva

)1,1,0(2

1

aa =r

( )4

3

3210

aaaaV =•×=rrr

)1,0,1(2

2

aa =r

Rede FCC )0,1,1(2

3

aa =r

Rede BCC

04VV = 4 átomos/célula

02VV = 2 átomos/célula

02VV =

CÉLULA PRIMITIVA DE WIGNER-SEITZ

A célula de Wigner-Seitz tem a mesma simetria da rede de Bravais.

A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede é a região do espaço que é mais perto deste ponto do que de qualquer outro ponto da rede.

A célula de Wigner-Seitz em torno de um ponto da rede pode ser construída ligando o ponto a todos os outros da rede, passando planos ⊥⊥⊥⊥s ao ponto médio de cada linha e tomando o menor poliedro contendo o ponto e limitado por estes planos.

Rede com baseRede com base

A rede A rede honeycombhoneycombnão não éé uma rede uma rede fundamentalfundamental

A orientaA orientaçção ão éé idêntica a idêntica a partir de partir de AA e e CC, mas , mas não de não de AA e e BB ou ou CC e e BB

AA

CC

BB

Rede Rede honeycombhoneycomb

1) Arranjo infinito e discreto de pontos tal que a disposição e

orientação dos pontos é EXATAMENTE idêntica a partir de

qualquer ponto da rede.

z = 3

Rede com baseRede com base

base

Rede triangular

Rede triangular + base

z = 6

Rede fundamental

ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE

)ˆˆˆ(2,0 zyxa

++r

ESTRUTURA CRISTALINA: REDE + BASE

BCC

rede SC + base com 4 pontos)ˆˆ(2

),ˆˆ(2

),ˆˆ(2,0 xz

azy

ayx

a+++

r

base com 2 pontos

Para enfatizar a simetria cúbica das redes BCC e FCC

rede SC +

FCC

)ˆˆˆ(4

zyxa

++

or

z = 4Rede diamante

Não é uma rede de Bravais

FCC + BASE

or

Átomos de Zn e S em uma rede diamante

)ˆˆˆ(4

zyxa

++

Zn

S

Estrutura Zincblende

Não é uma rede de Bravais

FCC + BASE

z = 4

zcayaxa

axaa ˆ,ˆ2

3ˆ

2,ˆ 321 =+==rr

Rede hexagonal

é uma rede de Bravais

0r

233

321 aaarrr

++“ideal” 63.1

3

8≅=

a

c

Estrutura HCP (hexagonal closed packed) Não é uma rede de Bravais

rede de Bravais hexagonal simples + base

0r

)ˆˆˆ(2

zyxa

++

Na

Estrutura do NaCl

Cl

or

Cs

Cl

)ˆˆˆ(2

zyxa

++

Estrutura do CsCl

Simetrias do estado cristalinoSimetrias do estado cristalino

Cap 7 ASHCROFT- MERMIN (parte)Cap 4 IVAN

Operações que deixam um dado ponto da rede fixo

OperaOperaçções de simetria ões de simetria pontuaispontuais

Reflexão em um plano vertical

E

I

Cn

σh

Identidade: Leva todas as coordenadas nelas mesmas

I(x,y,z)=(-x,-y,z)

eixo z C4(x,y,z)=(y,-x,z)

σv

Reflexão em um plano horizontal

σd Reflexão em um plano diagonal

Sn Sn= σhCn

E(x,y,z)=(x,y,z)

Inversão: Todas as coordenadas são invertidas em relação a um ponto

Rotação: Rotação de 360º/n em torno de um eixo

Rotação imprópria: Rotação de 360º/n seguida por uma reflexão em um plano horizontal

ExemploExemplo

Possui os elementos de simetriaC4, , C4

2, C43 e C4

4=E

Possui os elementos de simetriaC4

2 e C44=E

Não possui os elementos de simetria C4, e C4

3

(1) Translações por vetores da rede de Bravais

(2) Operações de simetria pontuais

Grupo de simetria de uma rede de Bravais

(3) Operações construídas pela aplicação sucessiva de (1) e (2)

____________________________________________________________Point Groups 7 (seven crystal systems)Space Groups 14 ( 14 Bravais lattices)_______________________________________________________________CUBIC (3) a1 =a2 = a3 α = β = γ = 90°TETRAGONAL (2) a1 =a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°ORTHORHOMBIC (4) a1 ≠a2 ≠ a3 α = β = γ = 90°MONOCLINIC (2) a1 ≠a2 ≠ a3 α = γ = 90° ≠ β

TRICLINIC (1) a1 ≠a2 ≠ a3 α ≠ β ≠ γ

TRIGONAL (1) a1 =a2 = a3 α = β = γ <120°, ≠ 90°HEXAGONAL (1) a1 =a2 ≠ a3 α = β = 90° γ =120°_______________________________________________________________

3ar

1ar

2ar

α

γβ

Grupo de simetria pontual (subconjunto do grupo de simetria da rede de Bravais)

Grupo de simetria de uma rede de Bravais: grupo espacial

Estrutura cristalina: rede +base

Redes Redes óóticasticas

COLCOLÓÓQUIO DO IFQUIO DO IF--UFRJUFRJ5a5a--FEIRA, 27 de FEIRA, 27 de agostoagosto

11H 11H -- SALA 343ASALA 343A

Anderson localization of ultraAnderson localization of ultra--cold atomscold atoms

Prof. Alain AspectProf. Alain Aspect

InstitutInstitut d'Optiqued'OptiquePalaiseauPalaiseau, , FranFranççaa..

DeverDever de casa:de casa:

Ashcroft – capítulo 4

Problemas 1, 2, 3 e 6

LER TODO!!