recurrence relations

Recurrence relationsFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Accessibility relation 11.1 Description of Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Basic Review of (Propositional) Modal Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 The Four Types of the 'Accessibility Relation' in Formal Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Philosophical Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Computer Science Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 AkraBazzi method 72.1 The formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Signicance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Allegory (category theory) 93.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Regular categories and allegories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2.1 Allegories of relations in regular categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.2 Maps in allegories, and tabulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Unital allegories and regular categories of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.4 More sophisticated kinds of allegory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Alternatization 114.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1.1 Alternating bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.2 Alternating bilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3 Alternating multilinear form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.4 Alternatization of a bilinear map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

i

ii CONTENTS

4.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Ancestral relation 145.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Relationship to transitive closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Antisymmetric relation 166.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Asymmetric relation 187.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8 Better-quasi-ordering 208.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.3 Simpsons alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.4 Major theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9 Bidirectional transformation 229.1 Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.2 Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.3 Examples of implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

10 Bijection 2410.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10.2.1 Batting line-up of a baseball team . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2.2 Seats and students of a classroom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

10.3 More mathematical examples and some non-examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

CONTENTS iii

10.4 Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.6 Bijections and cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.7 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.8 Bijections and category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.9 Generalization to partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.10Contrast with . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.11See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.12Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.13References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.14External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

11 Bijection, injection and surjection 3011.1 Injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3011.2 Surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.3 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.4 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.5.1 Injective and surjective (bijective) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.2 Injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.3 Non-injective and surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3311.5.4 Non-injective and non-surjective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.6 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.7 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.8 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

12 Homogeneous relation 3512.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12.1.1 Is a relation more than its graph? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.1.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

12.2 Special types of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612.2.1 Difunctional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

12.3 Relations over a set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3812.4 Operations on binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12.4.1 Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.4.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.4.3 Algebras, categories, and rewriting systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iv CONTENTS

12.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4312.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

13 Cointerpretability 4513.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

14 Commutative property 4614.1 Common uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4614.2 Mathematical denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14.3.1 Commutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.3.2 Commutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.3.3 Noncommutative operations in everyday life . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.3.4 Noncommutative operations in mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14.4 History and etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.5 Propositional logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14.5.1 Rule of replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.5.2 Truth functional connectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14.6 Set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.7 Mathematical structures and commutativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.8 Related properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.8.1 Associativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.8.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

14.9 Non-commuting operators in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

14.12.1 Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314.12.2 Articles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414.12.3 Online resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

15 Comparability 5515.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5515.2 Comparability graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5515.3 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5515.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5515.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

16 Composition of relations 5716.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

CONTENTS v

16.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5716.3 Join: another form of composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

17 Congruence relation 5917.1 Basic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.3 Relation with homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6017.4 Congruences of groups, and normal subgroups and ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

17.4.1 Ideals of rings and the general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.5 Universal algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

18 Contour set 6218.1 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

18.1.1 Contour sets of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6318.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

18.2.1 Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6318.2.2 Economic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

18.3 Complementarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6418.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6518.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6518.6 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

19 Coreexive relation 6619.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

20 Demonic composition 6720.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

21 Dense order 6821.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.2 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6821.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

22 Dependence relation 6922.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6922.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vi CONTENTS

23 Dependency relation 7023.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70






24.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7824.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7924.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8024.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

25 Directed set 8225.1 Equivalent denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8225.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8225.3 Contrast with semilattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8325.4 Directed subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8425.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8425.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8425.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

26 EmbreeTrefethen constant 8526.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8526.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

27 Equality (mathematics) 8627.1 Etymology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.2 Types of equalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

27.2.1 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.2.2 Equalities as predicates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.2.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.2.4 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8627.2.5 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

CONTENTS vii

27.3 Logical formalizations of equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.4 Logical formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.5 Some basic logical properties of equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8727.6 Relation with equivalence and isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8827.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8927.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

28 Equipollence (geometry) 9028.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9028.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

29 Equivalence class 9229.1 Notation and formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9229.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9329.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9329.4 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.5 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.6 Quotient space in topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9429.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9529.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

30 Equivalence relation 9730.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

30.3.1 Simple example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.3.2 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9830.3.3 Relations that are not equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

30.4 Connections to other relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9830.5 Well-denedness under an equivalence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9930.6 Equivalence class, quotient set, partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

30.6.1 Equivalence class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9930.6.2 Quotient set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9930.6.3 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9930.6.4 Equivalence kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9930.6.5 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

30.7 Fundamental theorem of equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10030.8 Comparing equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10030.9 Generating equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10030.10Algebraic structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

viii CONTENTS

30.10.1 Group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10130.10.2 Categories and groupoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10230.10.3 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

30.11Equivalence relations and mathematical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10230.12Euclidean relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.13See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.14Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10430.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10430.16External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

31 Euclidean relation 10631.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10631.2 Relation to transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10631.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

32 Exceptional isomorphism 10732.1 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

32.1.1 Finite simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10732.1.2 Groups of Lie type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10732.1.3 Alternating groups and symmetric groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10732.1.4 Cyclic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10832.1.5 Spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10932.1.6 Coxeter groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

32.2 Lie theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

33 Fiber (mathematics) 11233.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

33.1.1 Fiber in naive set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233.1.2 Fiber in algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

33.2 Terminological variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

34 Finitary relation 11434.1 Informal introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11434.2 Relations with a small number of places . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11534.3 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11534.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11634.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

CONTENTS ix

34.8 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

35 Foundational relation 11835.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11835.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118






36.5 Sets versus classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12536.6 The number of binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12536.7 Examples of common binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12636.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12636.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12636.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12736.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

37 Hypostatic abstraction 12937.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

38 Idempotence 13138.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

38.1.1 Unary operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13138.1.2 Idempotent elements and binary operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.1.3 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

38.2 Common examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.2.1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13238.2.2 Formal languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.2.3 Idempotent ring elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.2.4 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

38.3 Computer science meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13338.3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

38.4 Applied examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

x CONTENTS

38.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13438.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13538.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

39 Idempotent relation 13639.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

40 Initial condition 13740.1 Linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

40.1.1 Discrete time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13740.1.2 Continuous time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

40.2 Nonlinear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13840.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13840.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

41 Integrodierence equation 13941.1 Convolution Kernels and Invasion Speeds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13941.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

42 Intransitivity 14142.1 Intransitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14142.2 Antitransitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14142.3 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14242.4 Occurrences in preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14242.5 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14242.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14342.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

43 Inverse relation 14443.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

43.1.1 Inverse relation of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14443.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14443.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14543.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

44 Inverse trigonometric functions 14644.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

44.1.1 Etymology of the arc- prex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14644.2 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

44.2.1 Principal values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14644.2.2 Relationships between trigonometric functions and inverse trigonometric functions . . . . . 14744.2.3 Relationships among the inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14744.2.4 Arctangent addition formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

CONTENTS xi

44.3 In calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14844.3.1 Derivatives of inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14844.3.2 Expression as denite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14944.3.3 Innite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14944.3.4 Indenite integrals of inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

44.4 Extension to complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15244.4.1 Logarithmic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

44.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15444.5.1 General solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15444.5.2 In computer science and engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

44.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15644.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15644.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

45 Jacobi operator 16045.1 Self-adjoint Jacobi operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16045.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16045.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16145.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

46 Jacobsthal number 16246.1 Jacobsthal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16246.2 Jacobsthal-Lucas numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16346.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

47 Lucas sequence 16447.1 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16447.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.3 Algebraic relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

47.3.1 Distinct roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.3.2 Repeated root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16547.3.3 Additional sequences having the same discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

47.4 Other relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.5 Specic names . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16647.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16747.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

48 Master theorem 16848.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16848.2 Generic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

48.2.1 Case 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16948.2.2 Case 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

xii CONTENTS

48.2.3 Case 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17048.3 Inadmissible equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.5 Application to common algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17148.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

49 Matrix dierence equation 17349.1 Non-homogeneous rst-order matrix dierence equations and the steady state . . . . . . . . . . . . 17349.2 Stability of the rst-order case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17449.3 Solution of the rst-order case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17449.4 Extracting the dynamics of a single scalar variable from a rst-order matrix system . . . . . . . . . 17449.5 Solution and stability of higher-order cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17449.6 Nonlinear matrix dierence equations: Riccati equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17549.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17649.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

50 McCarthy 91 function 17750.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17750.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17750.3 Code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17850.4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17850.5 Knuths generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17850.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

51 Mnage problem 18051.1 Touchards formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18151.2 Mnage numbers and ladies-rst solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18151.3 Graph-theoretical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18151.4 Knot theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18251.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18251.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18351.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

52 Near sets 18552.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18752.2 Nearness of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18952.3 Generalization of set intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18952.4 Efremovi proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18952.5 Visualization of EF-axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.6 Descriptive proximity space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19052.7 Proximal relator spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19252.8 Descriptive -neighbourhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

CONTENTS xiii

52.9 Tolerance near sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19452.10Tolerance classes and preclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

52.10.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19552.11Nearness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19652.12Near set evaluation and recognition (NEAR) system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19752.13Proximity System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19752.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19852.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19852.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19952.17Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

53 Padovan sequence 20453.1 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.2 Extension to negative parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20553.3 Sums of terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20553.4 Other identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.5 Binet-like formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20653.6 Combinatorial interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20753.7 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20753.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20853.9 Padovan prime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20853.10Padovan L-system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20853.11Cuboid spiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20853.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

54 Partial equivalence relation 21054.1 Properties and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21054.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

54.2.1 Euclidean parallelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21054.2.2 Kernels of partial functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21154.2.3 Functions respecting equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

54.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21154.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

55 Partial function 21255.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21255.2 Total function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.3 Discussion and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

55.3.1 Natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.3.2 Subtraction of natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.3.3 Bottom element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21355.3.4 In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

xiv CONTENTS

55.3.5 In abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21455.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21455.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

56 Partially ordered set 21556.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21656.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21656.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21656.4 Orders on the Cartesian product of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21756.5 Sums of partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21756.6 Strict and non-strict partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21856.7 Inverse and order dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21856.8 Mappings between partially ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21856.9 Number of partial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21956.10Linear extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21956.11In category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22056.12Partial orders in topological spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22056.13Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22056.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22056.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22156.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22156.17External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

57 Pell number 22257.1 Pell numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22257.2 Approximation to the square root of two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22357.3 Primes and squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22457.4 Pythagorean triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22557.5 Pell-Lucas numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22557.6 Computations and connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

57.6.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22757.6.2 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22757.6.3 H2 2P2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22857.6.4 Square triangular numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22857.6.5 Pythagorean triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

57.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22857.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22957.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

58 Perrin number 23158.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23158.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

CONTENTS xv

58.2.1 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23158.2.2 Matrix formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23158.2.3 Binet-like formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23258.2.4 Multiplication formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

58.3 Primes and divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23258.3.1 Perrin pseudoprimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23358.3.2 Perrin primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

58.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23358.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23358.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

59 Preorder 23559.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23559.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23659.3 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23659.4 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23759.5 Number of preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23759.6 Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23859.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23859.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

60 Prewellordering 23960.1 Prewellordering property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

60.1.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23960.1.2 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

60.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24060.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

61 Primefree sequence 24161.1 Wilfs sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24161.2 Nontriviality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24161.3 Other sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24161.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24261.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24261.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

62 Propositional function 24362.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

63 Quasi-commutative property 24463.1 Applied to matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24463.2 Applied to functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24463.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

xvi CONTENTS

63.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

64 Quasitransitive relation 24664.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24664.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

65 Quotient by an equivalence relation 24865.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24865.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24865.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24865.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

66 Rational consequence relation 25066.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25066.2 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

66.2.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25066.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

66.3 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25166.4 Rational consequence relations via atom preferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

66.4.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.5 The representation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

66.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25266.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

67 Rational dierence equation 25367.1 First-order rational dierence equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25367.2 Solving a rst-order equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

67.2.1 First approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25367.2.2 Second approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25467.2.3 Third approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

67.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25467.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25467.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

68 Recurrence relation 25668.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

68.1.1 Logistic map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25668.1.2 Fibonacci numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25668.1.3 Binomial coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

68.2 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

CONTENTS xvii

68.2.1 Linear homogeneous recurrence relations with constant coecients . . . . . . . . . . . . . 25768.2.2 Rational generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25868.2.3 Relationship to dierence equations narrowly dened . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

68.3 Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25968.3.1 General methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26068.3.2 Solving via linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26268.3.3 Solving with z-transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26368.3.4 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26368.3.5 Solving non-homogeneous recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26568.3.6 Solving non-homogeneous recurrence relations with variable coecients . . . . . . . . . . 26668.3.7 General linear homogeneous recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26668.3.8 Solving a rst order rational dierence equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

68.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26768.4.1 Stability of linear higher-order recurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26768.4.2 Stability of linear rst-order matrix recurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26768.4.3 Stability of nonlinear rst-order recurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

68.5 Relationship to dierential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26868.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

68.6.1 Biology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26868.6.2 Computer science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26968.6.3 Digital signal processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26968.6.4 Economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

68.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26968.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27068.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27068.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

69 Reduct 27269.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27269.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27269.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

70 Reexive closure 27370.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27370.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27370.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

71 Reexive relation 27471.1 Related terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27471.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27471.3 Number of reexive relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27571.4 Philosophical logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

xviii CONTENTS

71.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27671.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27771.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27771.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

72 Relation algebra 27872.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

72.1.1 Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27872.2 Expressing properties of binary relations in RA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27972.3 Expressive power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

72.3.1 Q-Relation Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28072.5 Historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28172.6 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28172.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28172.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28172.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28172.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

73 Relation construction 28373.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

74 Representation (mathematics) 28474.1 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.2 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

74.2.1 Graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.2.2 Order theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.2.3 Polysemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

74.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28574.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

75 Semiorder 28775.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28775.2 Utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28775.3 Other results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28975.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28975.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29075.6 Additional reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

76 Separoid 29176.1 The axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29176.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29176.3 The basic lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

CONTENTS xix

76.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

77 Sequential composition 29377.1 Essential features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29377.2 Mathematics of processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

77.2.1 Parallel composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29477.2.2 Communication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29477.2.3 Sequential composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29477.2.4 Reduction semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29477.2.5 Hiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29577.2.6 Recursion and replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29577.2.7 Null process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

77.3 Discrete and continuous process algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29577.4 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29577.5 Current research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29577.6 Software implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29677.7 Relationship to other models of concurrency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29677.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29677.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29777.10Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

78 Series-parallel partial order 29878.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29978.2 Forbidden suborder characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29978.3 Order dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29978.4 Connections to graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30078.5 Computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30078.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30178.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30178.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

79 Surjective function 30279.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30379.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30379.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

79.3.1 Surjections as right invertible functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30479.3.2 Surjections as epimorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30579.3.3 Surjections as binary relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30679.3.4 Cardinality of the domain of a surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30679.3.5 Composition and decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30679.3.6 Induced surjection and induced bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

79.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

xx CONTENTS

79.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30779.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

80 Sylvesters sequence 30880.1 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30980.2 Closed form formula and asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30980.3 Connection with Egyptian fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31080.4 Uniqueness of quickly growing series with rational sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31080.5 Divisibility and factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31180.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31180.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31280.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

81 Symmetric closure 31481.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31481.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31481.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

82 Symmetric relation 31582.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

82.1.1 In mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31582.1.2 Outside mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

82.2 Relationship to asymmetric and antisymmetric relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31682.3 Additional aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31682.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

83 Ternary equivalence relation 31883.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31883.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

84 Ternary relation 31984.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

84.1.1 Binary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31984.1.2 Cyclic orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31984.1.3 Betweenness relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31984.1.4 Congruence relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31984.1.5 Typing relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

84.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

85 Time-scale calculus 32185.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32185.2 Dynamic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

CONTENTS xxi

85.3 Formal denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32185.3.1 Operations on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32285.3.2 Classication of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32285.3.3 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

85.4 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32385.5 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32385.6 Laplace transform and z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32385.7 Partial dierentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32385.8 Multiple integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32385.9 Stochastic dynamic equations on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.10Measure theory on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.11Distributions on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.12Integral equations on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.13Fractional calculus on time scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.15Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32485.16References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32585.17Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

86 Tolerance relation 32686.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

87 Total order 32787.1 Strict total order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32787.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32887.3 Further concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

87.3.1 Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32887.3.2 Lattice theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32887.3.3 Finite total orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32987.3.4 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32987.3.5 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32987.3.6 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32987.3.7 Sums of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

87.4 Orders on the Cartesian product of totally ordered sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33087.5 Related structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33087.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33087.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33087.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

88 Total relation 33288.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33288.2 Properties and related notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

xxii CONTENTS

88.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33288.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

89 Transitive closure 33489.1 Transitive relations and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33489.2 Existence and description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33489.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33589.4 In graph theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33589.5 In logic and computational complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33589.6 In database query languages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33689.7 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33689.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33689.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33789.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

90 Transitive relation 33890.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33890.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33890.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

90.3.1 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33990.3.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33990.3.3 Properties that require transitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

90.4 Counting transitive relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33990.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33990.6 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

90.6.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34090.6.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

90.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

91 Trichotomy (mathematics) 34191.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34191.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

92 Unimodality 34392.1 Unimodal probability distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

92.1.1 Other denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34592.1.2 Uses and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34592.1.3 Gauss inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34592.1.4 VysochanskiPetunin inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34592.1.5 Mode, median and mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34592.1.6 Skewness and kurtosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

92.2 Unimodal function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34692.3 Other extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

CONTENTS xxiii

92.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34792.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

93 Weak ordering 34893.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34993.2 Axiomatizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

93.2.1 Strict weak orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34993.2.2 Total preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35093.2.3 Ordered partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35093.2.4 Representation by functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

93.3 Related types of ordering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35193.4 All weak orders on a nite set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

93.4.1 Combinatorial enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35193.4.2 Adjacency structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

93.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35393.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

94 Well-founded relation 35494.1 Induction and recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35494.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35594.3 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35594.4 Reexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35694.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

95 Well-order 35795.1 Ordinal numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35795.2 Examples and counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

95.2.1 Natural numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35895.2.2 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35895.2.3 Reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

95.3 Equivalent formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35995.4 Order topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35995.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36095.6 References .

recurrence relations

Documents

homogeneous relation

formal denition

antisymmetric relation

asymmetric relation

examples of implementations

mathematical examples

external links

simpsons alternative