recueil logique sequentielle
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8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
1/193
Université Abdelmalek Essaadi
Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouan
———————————————–
Mécatronique - Télécommunications & Réseaux———————————————–
Automatique des Systèmes Continus
Auteur : Mohammed BENBRAHIM
Mars 2011
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 1RECUEIL DE TRANSPARENTS
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≪ AUTOMATIQUE DES SYSTEMES CONTINUS ≫Mohammed BNBRAHIM
Ecole Nationale des Sciences Appliquées - Tétouanc⃝ 2011
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 2RECUEIL DE TRANSPARENTS
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TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1 :
Chapitre 2 :
Chapitre 3 :
Chapitre 4 :
Chapitre 5 :
Chapitre 6 :
Chapitre 7 :
Chapitre 8 :
Notions générales . . . . . . . . . . . . . . .
Représentation des systèmes
dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse de la commandeen boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse dans le domaine
temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stabilité et
lieu des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . .
Design des systèmes asservis . . .
Représentation interne :Analyse et Design . . . . . . . . . . . . . . .
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M. BENBRAHIM 3RECUEIL DE TRANSPARENTS
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CHAPITRE 1
NOTIONS GÉNÉRALES
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M. BENBRAHIM 4TITRE DU CHAPITRE
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Objectifs :
• Décrire les systèmes asservis• Définir la terminologie des systèmes
asservis linéaires
• Distinguer la structure de commande enboucle ouverte de celle en boucle fermée
• Introduire les concepts d’analyseet de synthèse
Sommaire :
• Terminologie de l’automatique• Exemples de systèmes asservis• Classification des structures de commande• Techniques d’analyse et de synthèse
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M. BENBRAHIM 5NOTIONS GÉNÉRALES
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Définition :
Un système est dit automatiquelorsqu’il accomplit une tâche biendéterminée sans interventionhumaine
Exemple :
commande
Énergie
températuredésirée
moteurvanne
eaufroide
eauchaude
M
Tthermocouple
échangeur
condensation
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M. BENBRAHIM 6NOTIONS GÉNÉRALES
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Schéma-bloc
correcteur systèmecommandé
perturbations
capteurs
grandeurs
d’entrée
grandeurs
de sortie
Terminologie
– Grandeurs d’entrée ou désiréesou de référence
– Correcteur ou Contrôleur– Système commandé ou Objet– Grandeurs de sortie– Capteurs ou organes de mesure– Perturbations ou grandeurs parasites :
Influences externes– Comparateur : comparaison de la sortie
avec l’entrée
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M. BENBRAHIM 7NOTIONS GÉNÉRALES
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Asservissement de vitesse d’un convoyeur
M
moteur
d.c
R
BA
robot 2 robot 1
v(t)
convoyeur
Structure de commande en boucle fermée
vref u(t) correcteur + −moteur
+ réducteur+ convoyeur
p(t)
capteur
v(t)
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M. BENBRAHIM 8NOTIONS GÉNÉRALES
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Réglage de la température d’un logement
thermostat
radiateur
qi(t)
θ : températuredu logement
q′
(t)
q′
(t)
θ′ : température de
l’air ambiant
eauchaude
Schéma-bloc de commande
θr Ther mostat
u(t) Vanne Logement
qi(t)q′(t)
θ(t)
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M. BENBRAHIM 9NOTIONS GÉNÉRALES
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Commande de niveau d’un bassin
vis de réglagede la consigne hr
Vanneqi(t)
q0(t)
l1 l2
h(t)
d
hr Vanne
qi(t)
+
−
Bassin
p(t)
h(t)
capteur
hd Vanne
qi(t) h(t)
+
−retard
qi(t − τ )Bassin
p(t)
capteur
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M. BENBRAHIM 10NOTIONS GÉNÉRALES
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Système de réglage d’une antenne parabolique
vis de réglage
k0 Ampli
différentielα0e1
e2 e Ampli depuissance
ea
Ω1
Ω2
α
n
réducteur
TR
moteur
α0 e1 e k0 Ampli Moteur + charge
CapteurTR
α+
−ea
e2
p(t)
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M. BENBRAHIM 11NOTIONS GÉNÉRALES
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Système de réglage d’un gouvernail de navire
b
Rouede commande
TR1
Ampli
servovanne
TR2
gouvernail
rouedentée
α
O
O’
u
y
α0
e1
e2
Schéma-bloc de commande
+
−TR1
TR2
Ampli Servovanne Gouvernail e1 ee2
u yα0 α
p(t)
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M. BENBRAHIM 12NOTIONS GÉNÉRALES
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Système de réglage d’un gouvernail d’avion
servovanne C(s) Ampli
Kr
r
y(t)
θ(t)
TR
x
vérin
vr
ei
o
vθ
θr
vis de réglage
+
−θr potentio-
mètre C(s) servovanne+ vérin gouvernail
p(t)
θ
TR
vr e
vθ
i y
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M. BENBRAHIM 13NOTIONS GÉNÉRALES
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Classification des systèmes
statique
système
dynamique
à paramètresdistribués
à paramètreslocalisés
aléatoire déterministe
discret continu
non linéaire linéaire
variant invariant
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M. BENBRAHIM 14NOTIONS GÉNÉRALES
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Modèle mathématique d’un système
Système
r1(t)
rm(t)
y1(t)
yp(t)Entrées Sorties
Forme générale d’un modèle :
•y1 (t) = f 1 [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P , t ]
... ... ...•yp (t) = f p [ y1(t), . . . , yp(t), r1(t), . . . , rm(t), P , t ]
Forme matricielle d’un modèle :
•y (t) = f [ y(t), r(t), P , t ]
– y(t) = [ y1(t), . . . , yp(t) ]T
– r(t) = [ r1(t), . . . , rm(t) ]T
– f (.) = [ f 1(.), . . . , f p(.) ]T
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M. BENBRAHIM 15NOTIONS GÉNÉRALES
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Linéarisation : approche graphique
y
r
ye
re
y = f (r)
f (r) = f (re) + df (re)
dr (r − re) + o(r − re)
y = ye + df dr
(re)(r − re) + o(r − re)
∆y=y − ye∆r=r − re
k=df (re)dr
limr→reo(r − re)=0
Équation linéarisée :
∆y = k ∆r
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Linéarisation : approche analytique
•y (t) = f (y(t), r(t))
∆•y (t) = A ∆y(t) + B ∆r(t)
A(p×p) = ∂ f
∂ y(ye, re) =
∂ f 1∂ y1
. . . ∂ f 1∂ yp... . . . ...
∂ f p∂ y1
. . . ∂ f p
∂ yp
|ye,reB(p×m) =
∂ f
∂ r(ye, re) =
∂ f 1∂ r1
. . . ∂ f 1∂ rm... . . . ...∂ f p∂ r1
. . . ∂ f p
∂ rm
|ye,re
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M. BENBRAHIM 17NOTIONS GÉNÉRALES
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Linéarisation le long d’une trajectoire
y(t) y∗(t) y(t)
t
×
•y
∗(t) = f (y∗(t), r∗(t))
y(t) = y∗(t) + ∆y(t)
r(t) = r∗(t) + ∆r(t)
∆•y (t) = f (y, r) − f (y∗, r∗)
∆•y (t) = ∂ f
∂ y(y∗, r∗) ∆y +
∂ f
∂ r(y∗, r∗) ∆r
∆•y (t) = A(t) ∆y + B(t) ∆r
A(t) = ∂ f
∂ y(y∗, r∗)
B(t
) =
∂ f
∂ r(y
∗,r∗)
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M. BENBRAHIM 18NOTIONS GÉNÉRALES
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Structures de commande
correcteur actionneur système
sortie
y(t)
entrée
r(t)
perturbation p(t)Boucle ouverte
r(t) correcteur actionneur + − système
capteur
y(t)
sortieentrée
perturbation p(t)Boucle fermée
Principe de superposition
Additivité :
entrées sortiesr1(t) =⇒ y1(t)r2(t) =⇒ y2(t)r1(t) + r2(t) =⇒ y1(t) + y2(t)
Homogénéité : r(t) =⇒ y(t)a r(t) =⇒ a y(t)
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M. BENBRAHIM 19NOTIONS GÉNÉRALES
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Techniques d’analyse et de synthèse
ANALYSE :– Domaine temporel– Domaine fréquentiel
SPÉCIFICATIONS :– Précision en régime permanent– Comportement en régime transitoire– Stabilité– Sensibilité– Robustesse
SYNTHÈSE :– Choix des composantes– Modélisation mathématique– Validation du modèle– Construction et test
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M. BENBRAHIM 20NOTIONS GÉNÉRALES
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CHAPITRE 2
REPRÉSENTATION DES
SYSTÈMES DYNAMIQUES
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M. BENBRAHIM 21TITRE DU CHAPITRE
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Objectifs :
• Établir différentes formes de modèlesmathématiques des systèmes dynamiques
• Établir les schémas-bloc des systèmesdynamiques
• Simplifier les schémas-bloc
Sommaire :
• Représentation par des équationsdifférentielles
• Représentation par un modèle d’état
• Transformée de Laplace
• Représentation par la fonction de transfert• Modélisation des systèmes mécaniques-
électriques-électromécaniques-hydrauliques-pneumatiques-thermiques et complexes.
• Simplification des schémas-bloc
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M. BENBRAHIM 22REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Circuit électrique
Entrée = v(t)i(t) = Sortie
R
L
v(t) = R i(t) + L ddti(t)i(0) = i0Système mécanique
m
b
f = Entrée
l = Sortie
0
k
m d2
dt2l(t) + b d
dtl(t) + k l(t) = f (t)
l(0) = l0, ddtl(0) = v0, mg = kl0
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M. BENBRAHIM 23REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Représentation par modèle d’état
Objectif :Transformer une équation différentielled’ordre ≪ n ≫ en ≪ n ≫ équationsdifférentielles d’ordre ≪ 1 ≫
Équation différentielle d’ordre 2 :
m
d2
dt2 l(t) + b
d
dtl(t) + k l(t) = f (t)
l(0) = l0, d
dtl(0) = v0
Variables d’état :
x1(t) = l(t) = y(t) =⇒ •x1 (t) = ddtl(t)
x2(t) = ddt
l(t) =⇒ •x2 (t) = d2dt2 l(t)
Équations différentielles d’ordre 1 :
•x1 (t) = x2(t)•x2 (t) = − k
m x1(t) − b
m x2(t) +
1
m f (t)
x1(0) = l0
x2(0) = d
dtl0
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M. BENBRAHIM 24REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Représentation par modèle d’état
Forme matricielle : •x1 (t)•x2 (t)
=
0 1
− km
− bm
x1(t)
x2(t)
+
0
1m
u(t)
y(t) =
1 0
x1(t)
x2(t)
+
0
u(t)
Forme générale :
•x (t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
x(0) = x0
u(t) y(t)x(t)B +
+
+ +•
x ∫ C
A
D
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Transformée de Laplace
Avantage :
Transformation des équations différentiellesen équations algébriques.
Définition :
L [f (t)] = F(s) =∫ ∞
0 f (t)e−stdt t > 0
s = σ + jω
f(t) ≥ 0 F(s)
δ(t) : impulsion 1
u−1(t) : échelon 1s
t : rampe 1s2
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Propriétés de la transformée de Laplace
Linéarité :
L [ f 1(t) ] ⇐⇒ F1(s)L [ f 2(t) ] ⇐⇒ F2(s)
L [ a1 f 1(t) + a2 f 2(t) ] ⇐⇒ a1 F1(s) + a2 F2(s)
Dérivation :
L
dn
dtnf (t)
= snF(s) −
nk=1
sn−k
dk−1
dtk−1f (t)
|t=0
Valeur initiale :
f (0) = limt→0f (t) = lims→∞sF(s)
Valeur finale :
f (∞) = limt→∞f (t) = lims→0sF(s)
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Exemple de transformation par Laplace
Équation différentielle :
3 d3
dt3y(t) + 2
d2
dt2y(t) + 5
d
dty(t) + y(t) = 6r(t)
Transformation de chaque terme :
L d3
dt3 y(t) ⇐⇒ s3Y(s)−s2y(0)−s •y (0)− ••y (0)
L
d2
dt2y(t)
⇐⇒ s2Y(s)−sy(0) − •y (0)
L
d
dty(t)
⇐⇒ sY(s) − y(0)
L [y(t)] ⇐⇒ Y(s)
L [r(t)] ⇐⇒ R(s)Transformation globale :
[3s3 + 2s2 + 5s + 1] Y(s)
−[3s2 + 2s + 5] Y(0)
−[3s + 2] •Y (0) − 3 ••Y (0) = 6 R(s)
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M. BENBRAHIM 28REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Transformée de Laplace inverse
F(s) = b0 + b1s + · · · + bisi
+ · · · + bmsm
a0 + a1s1 + · · · + an−1sn−1 + sn = N(s)D(s) , m ≤ n
Procédure :
1. Décomposition en éléments simples
2. Calcul des résidus
3. Transformée de Laplace inverse
Racines simples
Décomposition en éléments simples :
F(s) = c1
s + p1+ · · · + cn
s + pn
Résidus :
ci = lims→−pi [(s + pi)F(s)]
Transformée de Laplace inverse :
f (t) = c1e−p1t
+ · · · + cie−pit
+ · · · + cne−pnt
=
ni=1
cie−pit
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M. BENBRAHIM 29REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Racines multiples
Décomposition en éléments simples :
F(s) = ck
(s + p1)k +
ck−1(s + p1)k−1
+ · · · + c1(s + p1)
Résidus :
ck− j = lims→−p1
1
j!
d j
ds j F(s)(s + p1)
k
, j = 0, . . . , k − 1
Transformée inverse :
f (t) =
ck
(k − 1)!tk−1 +
ck−1(k − 2)!t
k−2 + · · · + c2t + c1
e−p1t
Racines complexes conjuguées
Décomposition en éléments simples :
F(s) = c
s + a − jb + c∗
s + a + jb
Résidus :
c = [F(s)(s + a − jb)] s=−a+ jb = K∠θc∗ = K∠−θ
Transformée inverse :f (t) = 2Ke−atcos(bt + θ)
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M. BENBRAHIM 30REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Transformée de Laplace
Exemples
Racines simples :
F(s) = s + 3
s2 + 3s + 2 =
s + 3
(s + 1)(s + 2) =
c1
s + 1 +
c2
s + 2
f (t) = 2e−t − e−2t
Racines multiples :
F(s) = s2 + 2s + 3
(s + 1)3 =
c1
(s + 1)3 +
c2
(s + 1)2 +
c3
s + 1
f (t) = t2e−t + e−t
Racines complexes conjuguées :
F(s) = 5.2
s2 + 2s + 5 =
c
s + 1 − j2 + c∗
s + 1 + j2
f (t) = 2.6e−tcos(2t − 90)
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M. BENBRAHIM 31REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Fonction de transfert : circuit électrique :
Entrée = v(t)i(t) = Sortie
R
L
v(t) = R i(t) + L ddt
i(t)
i(0) = i0
Transformée de Laplace :
V(s) = RI(s) + LsI(s) − Li(0) = (Ls + R)I(s) − Li(0)I(s) = K
τ s + 1V(s) +
τ
τ s + 1i(0) = G(s)V(s) + G0(s)i(0)
K = 1R
= Gain , τ = LR
= Constante de temps
I(s)
i(0)
V(s)
I(s)
V(s)
i(0) τ
K1
τ s+1
G0(s) = τ τ s+1
G(s) = Kτ s+1
≡
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M. BENBRAHIM 32REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Fonction de transfert : masse-ressort-amortisseur
m d2
dt2l(t) + b d
dtl(t) + kl(t) = f (t)
l(0) = l0, d
dtl(0) = v0, mg = kl0
m
b
f
l
0
k
Transformée de Laplace :
F(s) = (ms2 + bs + k)L(s) − (ms + b)l0 − mv0L(s) =
(1/m)F(s)
s2 + bm
s + km
+ (s + b
m)l0
s2 + bm
s + km
+ v0
s2 + bm
s + km
L(s) = G(s) F(s) + G01(s) l0 + G02(s) v0
L(s) = Kω2n
s2
+2ζωns+ω2
n
F(s)
ωn =
km
= Pulsation
naturelle
ζ = b
2√ mk = Taux
d’amortissementK = 1
k = Gain du système
1
+ 1s2+ bms+
km
s + bm
1m
v0
l0
F(s)
L(s)
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M. BENBRAHIM 33REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Modélisation des systèmes mécaniques
Dynamique en translation :
m d2
dt2x(t) =
ni=1
Fi(t)
Dynamique en rotation :
J d
2
dt2θ(t) =
ni=1
Ci(t)
translation équation rotation équation
a b
f l
k f = kl
f l1 l2
k
f = k(l1 − l2)
f
l1 l2
bf = b(
•l1 −
•l2)
mf
lf = m ••l
J
θCC = J
••θ
θ
C
k C = kθ
C
θ1 θ2
k
C = k(θ1 − θ2)
Cθ1 θ2b
C = b( •θ1 − •θ2)
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Modélisation des systèmes électriques
Loi des noeuds∑nk=1 ik = 0
Loi des mailles∑nk=1 vk = 0
i1
i2i3
in
ik
⃗ v1⃗ v2
⃗ vk⃗ vn
1
2 3
k
n
élément
Résistance
Inductance
Capacité
schéma relation
R
L
C
v(t)
v(t)
v(t)
i(t)
i(t)
i(t)
v(t) = Ri(t)
v(t) = L ddt
i(t)
v(t) = 1C∫
t
0i(t)dt
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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Modélisation des systèmes électromécaniques
ea(t)
Td
b
em(t)
ia(t)
excitation
charge
La Ra
Couple : T(t) = Ktia(t) =⇒ T(s) = KtIa(s)F.E.M : em(t) = Kwω(t) =⇒ Em(s) = KwΩ(s)
Équation
électrique
ea(t) = La
ddt
ia(t) + Raia(t) + em(t)
Ea(s) = (Las + Ra)Ia(s) + Em(s)
Équation
mécanique J
••θ = T(t)
−b•θ (t)
−Td(t)
JsΩ(s) = T(s) − bΩ(s) − Td(s)
+
+
−
− 1Las+Ra Ia(s) Kt T(s)
Td(s)
1Js+b
Kw
Ω(s)Ea(s)
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DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
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8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
37/193
Modélisation des systèmes électromécaniques
Entraînement équivalent
T1, θ1
T2, θ2
R2
R1
n
J
schéma équivalent relations
T1, θ1
T2, θ2R2
R1
n
T1, θ1
T2, θ2
R2
R1
n
ke
be
b
k
T1, θ1
T1, θ1
T1, θ1
T2 = J••θ 2
nT1 = J••
θ1n
T1 = Je••θ 1
Je = Jn2
T2 = kθ2
nT1 = kθ1
n
T1 = keθ1
ke = k
n2
T2 = b•θ2
nT1 = b•
θ1n
T1 = be•θ1
be = bn2
Je
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 37REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
38/193
Modélisation des systèmes électromécaniquesEntraînement équivalent
Schéma initial :
u(t)
Tm, θm
Tc, θc
R
em(t)
ia(t)
bm bcRc
Rm
Jc
Jm
L
Relations d’équivalence :
J = Jm + Jc/n2
b = bm + bc/n2
Schéma équivalent :
u(t)
em(t)
ia(t)
L R
Td
Tm, θmb
J
J••θ m= Tm − b
•θm −Td
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 38REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
39/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
40/193
Modélisation des systèmes pneumatiques
pe
Rp
q
pr, Cp
Résistance pneumatique :
Rp = dp
dq ≡ R = u
i
Capacité pneumatique :
Cp = dM
dp =⇒ dM = Cpdp
dM
dt
= Cpdp
dt ≡ C
du
dt
= i(t)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 40REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
41/193
Modélisation des systèmes thermiques
Résistance thermique en conduction :
dQ = kAdθ
dx =⇒ Q = kA
L [θ1 − θ2]
i = u
R ⇐⇒ Q = θ1 − θ2
LkA
=⇒ Rtcd = LkA
Résistance thermique en convection :
Q = hAdT = hA(θs − θ∞)
i = u
R ⇐⇒ Q = θs − θ∞
1hA
=⇒ Rtcv = 1hA
Résistance thermique en rayonnement :
Q = AaFabσ(θa4 − θb4)
i = u
R ⇐⇒ Q = θa4 − θb4
1AaFabσ
=⇒ Rtr = 1AaFab
Capacité thermique :
Mc = Qdt
θt − θe =⇒ Q = Mcdθ
dt
i = Cdu
dt ≡Q = Mc
dθ
dt
=
⇒Ct = Mc = ρVc
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 41REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
42/193
Modélisation des systèmes à retard
P1
P2
C2 d
∼
⃗ vC1
Mesure de la concentration :
C2(t) = C1(t − τ d) =⇒ C2(s) = e−τ dsC1(s) τ d =
dv
X(s)
C1(s)
U(s)
U(s)
G(s)
G1(s)
e−τ ds
Y(s)
Y(s)
C2(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 42REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
43/193
Modélisation des systèmes à retard
Approximation classique :
e−τ s = 1
(1 + τ sp
)p p ∈ N
Approximation de PADÉ :
e−τ s = P(s)
D(s) =
b0 + b1(τ s) + b2(τ s)2 + b3(τ s)
3 + . . .
a0 + a1(τ s) + a2(τ s)2 + a3(τ s)3 + . . .
e−τ s =
1−τ 2
s
1+τ 2
sOrdre 1
12−6τ s+(τ s)212+6τ s+(τ s)2 Ordre 2
120−60τ s+12(τ s)2+(τ s)3120+60τ s+12(τ s)2+(τ s)3 Ordre 3
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 43REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
44/193
Modélisation des systèmes complexes
Réglage de la position d’une antenne parabolique
vis de réglage
k0
Ampli
différentielα0e1
e2e Ampli de
puissance
ea
Ω1
Ω2
α
n
réducteur
TR
moteur
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 44REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
45/193
Réglage de la position d’une antenne parabolique
– Moment d’inertie de l’antenne : Ja– Réducteur de rapport : n = Ω2
Ω1
– Vitesse de rotation de l’antenne : Ω2 = dαdt– Moteur électrique à courant continu :
Ω1(s) = n 1
skt
RabEa(s) − n τ s+1b 1s Td(s)
(τ es + 1)(τ ms + 1) + ktkw
Rab
– Transformateur différentiel : e2 = k2α– Amplificateur différentiel : e = k1(e1 − e2)– Amplificateur de puissance : ea = kAe– Potentiomètre : e1 = k0α0
α0k0
−+
Td
k1 kAkt
Rab
1D∗(s) n
1s
k2
τ es+1b
D∗(s) = (τ es + 1)(τ ms + 1) + ktkwRab
CRα
−+e1
e2
e ea
Cm
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 45REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
46/193
Simplification des schémas-bloc
schéma-bloc équivalent
−
++
+
+
+
+
+
++
+
+
G
G
G
G
H
G
G2
G1
G1 G2 G1G2
G1 + G2
G1+GH
1/G
G
G
G
G
GG
1/G
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 46REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
47/193
Simplification des schémas-blocExemples
+ + +
− −
+
+
−
G2(s) G3(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
G1(s)R(s)
Y(s)
P(s)
+ + +
− −
−
+
+
G1(s) G2(s) G3(s)
H1(s)
1/G3(s)
1/G3(s)
H2(s)
H3(s)
R(s)
Y(s)
P(s)
+
+
+
− C(s) G(s)
H(s)
R(s) Y(s)
P(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 47REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
48/193
Simplification des schémas-blocExemples
+ +
+ +
A2
A1
A3
A4+
+ + +
r1
r2
y ⇐⇒G1(s)
G2(s)
r1
r2
y
+
+
+
+
A4
A1
A3
A2
G1(s)
G2(s)
r
y1
y2
⇐⇒r
y1
y2
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 48REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
49/193
Simplification des schémas-blocRègle de MASON : procédure
F(s) = 1
∆
k
Tk(s) ∆k
– ∆ = 1−∑i Li +∑i, j LiL j −∑i, j,k LiL jLk + · · · = déterminant totaldu graphe.
– ∑i Li = somme des gains des différentes boucles– ∑
i, j LiL j = Somme des produits de gains de toutesles combinaisons possibles de deux boucles dis- jointes [qui ne se croisent pas].
– ∑
i, j,k LiL jLk = Somme des produits de gains detoutes les combinaisons possibles de trois branchesdisjointes.
– Tk(s) = Transmittance du k − ième chemindirect.
– ∆k = Déterminant du k − ième chemin direct. Il estobtenu à partir du déterminant total ∆ en enlevantà ce dernier les boucles qui touchent ce chemin.
– F(s) = Fonction de transfert du système.
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 49REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
50/193
Règle de MASON : graphes équivalents
+
+
+
+
+
+
+
−
−H1
G1
G1
G2
G1
G2
G2
G1
G2
G1
H1
G3
X1
X1
X1
X1
X1
X2
X1
X1
X1
X1
X1
X2
X1
X1
X1
X1
X1
X2
X2
X2
X2
X2
X3
X2
X2
X2
X2
X3
X2
X2
X2
X2
X3
X3 X3G1 G2
G1
G2
G1
G2
G1
G1
G2
G3
G1G2
G1 + G2
G11−G1G2
G11+G1H1
G1G3
G2G3
Schéma-bloc Graphe correspondant Graphe simplifié
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 50REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
51/193
Règle de MASON : exemple
+ +x1 x2 x3 x4
x5
−−
−U(s) G1 G2 G3 G4
H2
H1 H3
Y(s)
U(s)
−H1
−H2
−H3
Y(s)x1 x2 x3 x4 x51 1G1 G2 G3 G4
T1 = 1 × G1 × G2 × 1 × G3 × G4 = G1G2G3G4L1 = −G1G2H1L2 = −G3G4H3L3 = −G2G3H2
∆ = 1 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2)∆1 = 1
F(s) = 1∆
(T1 ∆1)
F(s) = Y(s)U(s)
= G1G2G3G41 − (L1 + L2 + L3) + (L1L2)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 51REPRÉSENTATION
DES SYSTÈMES DYNAMIQUES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
52/193
CHAPITRE 3
ANALYSEDE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 52TITRE DU CHAPITRE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
53/193
Objectifs :
• Décrire les différentes composantesd’une structure de commande donnée
• Décrire les structures des correcteursclassiques et du correcteur par retour d’état
Sommaire :
• Structure de commande en boucle fermée
• Structure des correcteurs classiques• Commande par retour d’état
• Caractéristiques de la commandeen boucle fermée
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 53ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
54/193
Forme standard d’une boucle de commande
– Système à commander– Actionneur– Amplificateur– Correcteur– Capteur
servovanne C(s) Ampli
Kr
r
y(t)
θ(t)
TR
x
vérin
vr
ei
o
vθ
θr
vis de réglage
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 54ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
55/193
Structures standards de commande
+
− correcteur +
amplificateuractionneur+ système
capteur
perturbationgrandeur
commandéeréférence
+
R(s)
−
cascade
C(s) G(s) Y(s) + +
R(s)
− − G(s)
C(s)
feedback
Y(s)
+ +
− −
R(s)
G(s)
C2(s)
C1(s)
cascade-feedback
Y(s)
+ x(t)
r(t)
−
G(s) D(s)
C(s)
y(t)
retour d’état
+
+
+
−R(s)
C2(s)
C1(s) G(s)
anticipation
Y(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 55ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
56/193
Correcteur proportionnel
u(t) = kpe(t) =⇒ C(s) = U(s)
E(s) = kp
kperreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur
e(t)
t
u(t)
t
e(t)
kpe(t)
Avantage : simple à implanter.
Inconvénient : aucune possibilité pour annuler l’er-reur du système en régime permanent.
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 56ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
57/193
Correcteur intégral
u(t) = kI
0
te(τ )dτ −→ C(s) = U(s)E(s)
= kI
s
kIs
erreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur
t
t
e(t)
e(t)
u(t)
kI
s e(t)
Avantage : améliore le régime permanent
Inconvénient : détériore le régime transitoire
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 57ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
58/193
Correcteur proportionnel-intégral
correcteur
kp + kI
serreur : e(t) u(t) : commande
u(t) = kpe(t) + kI
0
te(τ )dτ =⇒
C(s) = U(s)
E(s) = kp +
kI
s = kp
s + z
s , z =
kI
kp
e(t)
e(t)
u(t)
(kp + kI
s )e(t)
t
t
Particularité :combine les avantages des correcteurs P et I
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 58ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
59/193
Correcteur dérivé
u(t) = kDd
dte(t) =⇒ C(s) = U(s)
E(s) = kDs
Non causalité =⇒ C(s) = U(s)E(s)
= kDs
τ s + 1
kDserreur : e(t) u(t) : commandecorrecteur
t
t
u(t)
kDd
dte(t)
e(t)
e(t)
Particularités :– ce correcteur produit une action uniquement
lorsque le signal d’erreur varie.– insensible aux variations lentes de l’erreur.
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 59ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
60/193
Correcteur proportionnel-dérivé
u(t) = kpe(t) + kDd
dte(t)
C(s) = U(s)
E(s) = kp + kDs = kD(s + z), z =
kp
kD
correcteur
kp + kDserreur : e(t) u(t) : commande
t
t
e(t)
e(t)
u(t
)kpe(t) + kD
ddt
e(t)
Particularité :
sensible aux différents taux de variationde l’erreur grâce à kp.
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 60ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
61/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
62/193
Correcteur avance de phase
Kc
aT
d
dte(t) + e(t)
= T
d
dtu(t) + u(t)
C(s) = KcaTs + 1
Ts + 1 = kp
s + z
s + p
a > 1, kp = aKc, z = 1
aT, p =
1
T
Correcteur retard de phase
Kc
aT
d
dte(t) + e(t)
= T
d
dtu(t) + u(t)
C(s) = KcaTs + 1
Ts + 1 = kp
s + z
s + p
a 1, a2
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
63/193
Commande par retour d’état
Système initial :•x (t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t)
Nouvelle loi de commande :
u(t) =
−K x(t) + N r(t)
Système corrigé :
•x (t) = [ A − BK ] x(t) + BN r(t)y(t) = [ C − DK ] x(t) + DN r(t)
+
+
+ +
+
−r(t) u(t) y(t) x
•x
B
∫ C
A
D
N
K
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 63ANALYSE DE LA COMMANDE
EN BOUCLE FERMÉE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
64/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
65/193
CHAPITRE 4
ANALYSEDANS LE DOMAINE
TEMPOREL
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 65TITRE DU CHAPITRE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
66/193
Objectifs :
• Analyser le comportement des systèmesasservis dans le domaine du temps en lesexcitant par des signaux-test :
1. impulsion
2. échelon3. rampe
• Déduire les performances des systèmes en régimepermanent et en régime transitoire
Sommaire :
• Caractéristiques de la réponse temporelledes systèmes
• Réponse d’un système du premier ordre• Réponse d’un système du deuxième ordre• Impact des pôles et zéros dominants• Étude de la précision des systèmes
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 66ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
67/193
Caractéristiques de la réponse des systèmes
t
τ d
tm
tp
tr
d
y = 1.05
y = 0.955% ou 2%
erreur enrégimepermanent
0.1
0.91
0
y(t)
performances
régime transitoire régime permanent
d : dépassementtr : temps de réponse précision à 5 %tm : temps de montée précision à 2 %
tp : temps de picτ d : délai
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 67ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
68/193
Réponse d’un système du premier ordre
+
− R(s) kp Kτ s+1 Y(s)
Y(s) = kpKτ s + 1 + kpK
R(s) = K′
τ ′s + 1 R(s)
Gain du système :
K′ = kpK
1 + kpK
Constante de temps du système :
τ ′ = τ
1 + kpK
Signaux-tests :
type d’entrée fonction transformée
impulsion δ(t) 1échelon u
−1(t) 1/s
rampe t 1/s2
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 68ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
69/193
Réponse impulsionnelle d’un premier ordre
δ(t) =
1 si t = 00 ailleurs
=⇒ R(s) = 1
Y(s) = K′
τ ′s + 1 R(s) =
K′
τ ′s + 1
Y(s) = K′/τ ′
s + 1
τ ′
y(t) = K′
τ ′ e− 1τ ′ t
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
Reponse Impulsionnelle - Premier Ordre
Réponse impulsionnelle d’un système du premierordre avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 69ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
70/193
Réponse indicielle d’un premier ordre
r(t) =
1 si t ≥ 00 ailleurs
=⇒ R(s) = 1s
Y(s) = K′
τ ′s + 1 R(s) =
K′/τ ′
s + 1τ ′× 1
s
Y(s) = K1s
+ K2s + 1τ ′
y(t) = K1 + K2e− t
τ ′ = K1
1 − e− tτ ′
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
Reponse Indicielle - Premier Ordre
Réponse indicielle d’un système du 1er ordre, K ′ = 1et τ ′ = 0.2s
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 70ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
71/193
Réponse d’un premier ordre à une rampe
r(t) =
t si t ≥ 00 ailleurs
=⇒ R(s) = 1s2
Y(s) = K′
τ ′s + 1 R(s) =
K′
τ ′s + 1 × 1
s2
Y(s) = K1s2 + K2
s + K3
s + 1τ ′
y(t) = K′(t − τ ′) + K′τ ′e− tτ ′
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
Reponse A Une Rampe - Premier Ordre
Réponse d’un système du premier ordre à unerampe unitaire avec K ′ = 1 et τ ′ = 0.2s
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 71ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
72/193
Réponse d’un système du deuxième ordre
+
− R(s)
ω2ns(s + 2)ζωn
Y(s)
Fonction de transfert en boucle fermée :F(s) =
Y(s)
R(s) =
ω2ns2 + 2ζω ns + ω2n
– ζ : taux d’amortissement– ωn : pulsation naturelle
Équation caractéristique :
s2 + 2ζωns + ω2n = 0
amortissement racinessous-amorti : 0 < ζ 1 p1,2 = −ζωn ± jωn
√ ζ 2 − 1
non amorti : ζ = 0 p1,2 = ± jωn
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 72ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
73/193
Réponse impulsionnelle d’un deuxième ordre
Système sous-amorti :
R(s) = 1
Y(s) = ω2n
s2 + 2ζω ns + ω2n
y(t) =
ωn√
1 − ζ 2e−ζωntsin
ωnt
1 − ζ 2
0 5 10 15-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
temps en secondes
r e p o n s e y
( t )
Reponse Impulsionnelle - Deuxieme Ordre
Réponse impulsionnelle d’un système du 2e
ordreavec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 73ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
74/193
Réponse indicielle d’un deuxième ordre
Système sous-amorti :
R(s) = 1
s
Y(s) = ω2n
s(s2 + 2ζω ns + ω2n)
y(t) = 1 − e−ζωnt
√ 1 − ζ 2 sin (ωdt − ϕ)pulsation d’oscillation : ωd = ωn
√ 1 − ζ 2
déphasage : ϕtg−1√
1−ζ 2
−ζ
0 5 10 150
0.5
1
1.5
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
Reponse Indicielle - Deuxieme Ordre
Réponse indicielle d’un système du 2e ordre avecωn = 1 rd/s et ζ = 0.5
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 74ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
75/193
Réponse indicielle d’un deuxième ordreversus emplacements des pôles
×
×
Im
Re
×
×
Im
Re
y(t)
t
y(t)
t
×doubleIm
Re
×doubleIm
Re
y(t)
t
y(t)
t
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 75ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
76/193
Réponse d’un deuxième ordre à une rampe
Système sous-amorti :
R(s) = 1
s2
Y(s) = ω2n
s2(s2 + 2ζωns + ω2n)
y(t) = t − 2ζ ωn
+ 1
ωn√
1 − ζ 2e−ζωntsin
ωnt
1 − ζ 2 − ϕ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
temps en secondes
r e p o n s e y
( t )
Reponse A Une Rampe - Deuxieme Ordre
Réponse d’un système du 2e
ordre à une rampeavec ωn = 1rd/s et ζ = 0.5
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 76ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
77/193
Performances d’un second ordre
Im
Re
×
× ωd
−ωd
ωn
σ = −ζωn
φ
racines complexes :
p1,2 = −ζωn ± jωn√ 1 − ζ 2p1,2 = σ ± jωd
pulsation des oscillations : ωd = ω n√
1 − ζ 2facteur d’amortissement : σ = −ζωnconstante de temps : τ = 1
ζωntemps de réponse : tr = 3τ =
3
ζωn(à 5%)
dépassement : d = 100e
−ζπ√ 1−ζ
2
temps de pic : tp = π
ωn√
1−ζ 2
maximum de la réponse : y(tp) = 1 + e
−ζπ√ 1−ζ
2
0 20 40 60 80 100 1200
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Amortissement zeta
d e p a s s e m e n t d
Depassement (d) vs Amortissement (zeta)
Dépassement versus ζ
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 77ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
78/193
Impact de l’addition d’un pôle
F(s) = ω2n
(s2 + 2ζωns + ω2n)(1 + τ s) = 1
(s2 + s + 1)(1 + τ s)
p1,2 = −ζω n ± jωn
1 − ζ 2 = −12 ± j
√ 3
2
(1 + τ s) =
(1 + 10s)
(1 + 0.3s)
(1 + 2s)
=⇒ p3 = −1τ
=
−0.1 cas 1−3.33 cas 2
−0.5 cas 3
Re
Im
Re
Im
Re
Im
×
×
×
×
×
×
×
×
×
−p2
−p1
−p3−p2
−p1
−p3−p2
−p1
−p3
1 2 3
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
AJOUT - POLE
cas 1
cas 2
cas 3
Impact d’un pôle ajouté sur la réponse d’un système de second ordre,(1) p3 = 3, (2) p3 = .5, (3) p3 = .1
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 78ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
79/193
Impact de l’addition d’un zéro
F(s) = ω2n(τ s + 1)
s2 + 2ζω ns + ω2n= τ s + 1
s2 + s + 1
p1,2 = ζω n ± jωn
1 − ζ 2 = −12 ± j
√ 3
2
(τ s + 1) =
(1 + 5s)
(1 + 0.3s)
(1
+2s
)
=⇒ z1 = 1τ
=
0.2 cas 13.33 cas 20
.5
cas 3
Re
Im
Re
Im
Re
Im
−p2
−p1
−z1−p2
−p1
−z1×
×
×
×
×
×
−p2
−p1
−z1
1 2 3
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
temps en secondes
r e p o n s e
y ( t )
AJOUT - ZERO
cas 3
cas 2
cas 1
Impact de l’addition d’un zéro, (1) z = 3, (2) z = 0.5, (3) z = 0.2
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 79ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
80/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
81/193
Expression générale de l’erreur statique
+
E(s)
+
+
R(s)
P(s)
−
C(s)
G1(s)
G(s) Y(s)
H(s)
Y(s) = C(s)G(s)E(s) + G1(s)G(s)P(s)
E(s) = R(s) − Y(s)H(s)T(s) = C(s)G(s)H(s)
Précision globale :
E(s) = 1
1 + T(s)R(s) − T(s)
1 + T(s)× G1(s)
C(s) P(s)
E(s) = ER(s) + EP(s)
e(∞)
= lims→0sE
(s
)e(∞) = lim
s→0sER(s) + lim
s→0sEP(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 81ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
82/193
Précision relative à l’entrée principale, P(s) = 0
T(s) = C(s)G(s)H(s) = K
sl1 + a1s + · · · + amsm1 + b1s + · · · + bnsn
ER(s) = 1
1 + T(s)R(s) =
1
1 + Ksl
1+a1s+···+amsm1+b1s+···+bnsn
1
sp
eR(∞) = lims→0 sER(s) ≃ lims→01
sp−1[1 + Ks−l]
type l du échelon rampe accélerationsystème eR(∞) = 11+Cp eR(∞) =
1Cv
eR(∞) = 1Ca
0 11+K ∞ ∞
1 0 1K
∞
2 0 0 1
K
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 82ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
83/193
Précision relative à la perturbation, R(s) = 0
Ep(s)
+
+
P(s)
− C(s)
G1(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
T(s) = C(s)G(s)H(s)
EP(s) = T(s)
1 + T(s)
G1(s)
C(s) P(s)
EP(s) = G(s)G1(s)H(s)
1 + T(s) P(s)
eP(∞) = lims→0 sEP(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 83ANALYSE
DANS LE DOMAINE TEMPOREL
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
84/193
CHAPITRE 5
STABILITÉET
LIEU DES RACINES
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 84TITRE DU CHAPITRE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
85/193
Objectifs :
• Étudier la stabilité de n’importe quel système li-néaire invariant
• Tracer le lieu des racines de n’importe quelle struc-
ture de commande quand un ou plusieurs para-mètres varient
• Utiliser le lieu des racines pour fixer les paramètresd’un correcteur donné selon des spécifications im-posées
Sommaire :• Résolution de l’équation caractéristique• Critère algébrique de Routh-Hurwitz• Lieu des racines
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 85STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
86/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
87/193
Méthodes d’études de la stabilité
1. Résolution de l’équation caractéristique :
Lorsque l’ordre de l’équation caractéristique nedépasse pas deux.– Si toutes les racines sont à parties réelles né-
gatives, le système est stable.
– Si au moins une des racines est à partie réellepositive, le système est instable.
2. Utilisation du critère de Routh :– L’ordre de l’équation caractéristique est supé-
rieur à deux.– L’équation caractéristique contient des para-
mètres variables.
3. Utilisation du lieu des racines :– Voir l’évolution des pôles du système en boucle
fermée lorsqu’un ou plusieurs paramètres va-rient.
– Déduire les paramètres du correcteur qui as-sure les spécifications imposées.
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 87STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
88/193
Critère de Routh-Hurwitz
Procédure :• Remplir le tableau de Routh-Hurwitz à partir de
l’équation caractéristique• Voir le nombre de changement de signe de la 1recolonne d’une ligne à une autre du tableau
• Conclure sur la stabilité en se basant surla 1re colonne
Analyse :• L’absence de changement de signe dans la
1re colonne indique que le système est stable• L’existence d’au moins un changement de signe
dans la 1re colonne indique que le système est in-stable
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 88STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
89/193
Tableau de Routh-Hurwitz
Équation caractéristique :1 + T(s) = ans
n + an−1sn−1 + · · · + a1s1 + a0 = 0
sn an an−2 an−4 · · ·sn−1 an−1 an−3 an−5 · · ·
sn−2 b1 b2 b3 · · ·
sn−3 c1 c2 c3 · · ·
sn−4 d1 d2 d3 · · ·. . . . · · ·s0 . . . · · ·
b1 = an−1an−2−anan−3
an−1 ; b2 = an−1an−4−anan−5
an−1
c1 = b1an
−3
−an
−1b2
b1 ; c2 = b1an
−5
−b3an
−1
b1
. . . ; . . .
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 89STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
90/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
91/193
Tous les termes d’une ligne sont nuls
1. Former l’équation auxiliaire à partir de la ligneprécédente
2. Prendre sa dérivée par rapport à s
3. Les coefficients de la dérivée deviendront les nou-veaux coefficients de la ligne initialement nulle
4. Étudier la stabilité sur le nouveau tableau ob-
tenu
Exemple :
s3 + 3s2 + 4s + 12 = 0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 91STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
92/193
Systèmes avec retard pur
• Approximer e−τ s par l’une des équationssuivantes :
1 : e−τ s = 1 − τ s + τ 2s22!
− τ 3s33!
+ . . . ≃ 1 − τ s + τ 2s22!
2 : e−τ s = 11−τ s+τ 2s2
2!
3 : e−τ s = 1−τ s2
1+ τ s2Padé 1er ordre
4 : e−τ s = 1(1+τ s
p )p
p ∈ N
• Écrire la nouvelle équation caractéristique
• Reformer le tableau de Routh• Étudier la stabilitéExemple :
G(s) = e−τ s
s2(s2 + 2s + 2)
C(s) = Kp
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 92STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
93/193
Dilemme stabilité-précision
+
R(s)
− kp 1s(s+1)(s+5)
Y(s)
Spécifications :• Entrée : rampe unitaire• Erreur en régime permanent ≤ 1%• Système stableCondition sur kp pour l’erreur :
es = limt→∞e(t) = lims→0sE(s) = lims→01
sC(s)G(s) =
5
kp
5
kp≤ 0.01 =⇒ kp ≥ 500
Condition sur kp pour la stabilité :
0 < kp
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
94/193
Degré de stabilité
• En valeur absolue, c’est la plus petitepartie réelle parmi toutes celles des racines del’équation caractéristique
• Il représente une mesure de la rapidité d’amortis-sement du régime transitoire
Im Im Im
Re Re Re
−σ −σθ θ
σ donné ζ donné σ et ζ donnés
Exemple :
s3 + 3s2 + 3s + 5 = 0
• Degré de stabilité égal à 2 ?(s − 2)3 + 3(s − 2)2 + 3(s − 2) + 5 = 0
s3 − s2 + 5s + 3 = 0 = 0• Le test par Routh indique que NON
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 94STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
95/193
Lieu des racines
Objectif :Étudier le Comportement des racines del’équation caractéristique, ou pôles du systèmeen boucle fermée, quand un ou plusieursparamètres varient
Exemple :
+
R(s)
− K 1τ s+1 Y(s)
F(s) = K
τ s + 1 + K =⇒ s = −1 + K
τ
σ
jω
∞ ← K×
K = 0
−1
K 0 1 2 · · · ∞s −1 -2 -3 · · · −∞
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 95STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
96/193
Définition :
Un point M de coordonnées (σ, ω) appartientau lieu des racines si son affixe s = σ + jωvérifie l’équation caractéristique :
1 + T(s) = 0 ⇐⇒ T(s) = −1
– Condition d’amplitude :
|T(s)| = |−1| = 1– Condition d’angle :
arg(T(s)) = arg(−1) = (2q + 1)π, q = 0, 1, 2,...
Équation caractéristique :
1 + T(s) = 0
1 + K∏m
i=1 (s + zi)∏ni=1 (s + pi)
= 0
n : nombre de pôles du systèmem : nombre de zéros du systèmeK : gain du système
−zi : zéros de T(s)
−pi : pôles de T(s)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 96STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
97/193
Règles du tracé du lieu des racines
Règle 1 : Nombre de branches du lieu
Règle 2 : Symétrie du lieu des racines
Règle 3 : Départ et arrivée des branches
Règle 4 : Asymptotes des branches infinies
Règle 5 : Branches de l’axe réel appartenant aulieu
Règle 6 : Tangente du lieu en un point de départou d’arrivée (fini)
Règle 7 : Intersection du lieu avec l’axe réel
Règle 8 : Intersection du lieu avec l’axeimaginaire
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 97STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
98/193
Exemples
1.
1 + K
s(s + 5) = 0
2.
1 + K
s(.1s + 1)(.2s + 1) = 0
3.1 + K
s + 10
s(s + 5) = 0
4.1 +
K
s(s2 + 6s + 13) = 0
5.
1 + 2K
s(s + 1)(s + 2) = 0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 98STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
99/193
Lieu des racines avec plusieurs paramètres
+
R(s)
− kp + kIs 31+0.2s
Y(s)
Équation caractéristique :
1 + 3(kps + kI)
s(0.2s + 1) = 0
Étape 1 :
kI = 0 =⇒ 1 + kp 30.2s + 1
= 0
Étape 2 :
kI ̸ = 0kp = fixé =⇒ 1 + kI
3
s(0.2s + 1 + 3kp)
= 0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 99STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
100/193
Lieu des racines avec retard pur
Équation caractéristique :
1 + K 3e−τ s
0.2s + 1 = 0, τ = 1
Approximation utilisée :
e−τ s = 1
(1 + τ sp
)p p ∈ N
– 1er cas : p=1
e−s = 1
1 + s =⇒ 1 + K 3
(s + 1)(0.2s + 1) = 0
– 2e cas : p=5
e−s = 3125
(s + 5)5
=
⇒1 + K
9375
(s + 5)5
(0.2s + 1)
= 0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 100STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
101/193
Exemple d’étude de sensibilité
But :
Étudier la variation des pôles d’un systèmedonné en boucle fermée suite àune variation de gain K
Équation caractéristique :
1 + 2Ks(s + 5)
= 0
s2 + 5s + 2K = 0
Dérivée par rapport à K :
2s ds
dK
+ 5 ds
dK
+ 2 = 0
ds
dK = − 2
2s + 5
La sensibilité est :
SsK = ds
s × K
dK = − 2K
s(2s + 5)
si K = 3, les pôles sont =⇒ s1 = −2 et s2 = −3
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 101STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
102/193
Exemple d’étude de sensibilité
• s1 = −2 =⇒ Ss1=−2K = − 2×3−2(2(−2)+5) = 3• s2 = −3 =⇒ Ss2=−3K = − 2×3−3(2(−3)+5) = −2Si le gain K varie de 10% ⇐⇒ ∆K
K = 0.1
la sensibilité est :
∆s|s1=−2 = s1Ss1K Ss1K∆K
K = (−2)(3)(0.1) = −0.6
s′1 = s1 + ∆s|s1=−2 = (−2) + (−0.6) = −2.6
∆s|s2=−3 = s2Ss2K∆K
K = (−3)(−2)(0.1) = +0.6
s′2 = s2 + ∆s|s2=−3 = (−3) + (0.6) = −2.4
jω
σ
× ×−3 −2.4
× ×−2.6 −2
∆s1
∆s2
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 102STABILITÉ ET
LIEU DES RACINES
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
103/193
CHAPITRE 6
ANALYSE
FRÉQUENTIELLE
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 103TITRE DU CHAPITRE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
104/193
Objectifs :
• Tracer les diagrammes de Bode, de Black et deNyquist pour n’importe quel système
• Étudier la stabilité dans le domainefréquentiel
• Déterminer les performances des systèmes (facteur
de surtension, bande passante, marge de phase,marge de gain ...)
• Déterminer les caractéristiques de la fonction detransfert en boucle fermée en se servant desabaques
Sommaire :• Diagrammes de Bode, de Black
et de Nyquist• Stabilité de Nyquist• Abaques de Hall et Black-Nichols• Performances des systèmes
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 104ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
105/193
Forme de la réponse
R(s) G(s) Y(s)
r(t) = sin(ωt) =⇒ Transformée =⇒ R(s) = ωs2 + ω2
Y(s) = R(s)G(s)
y(s) = K1s − jω +
K2
s + jω+
→ 0 si t →∞ k1
s + p1+
k2
s + p2+ . . .
y(t) = K1e jωt + K2e− jωt
K1 = ω
s + jωG(s)|s→ jω = − j 1
2M(ω)e jϕ(ω)
K2 = ω
s − jω G(s)|s→− jω = j1
2M(ω)e− jϕ(ω)
y(t) = M(ω)sin(ωt + ϕ(ω))
M(ω) = |
G( jω)
|ϕ(ω) = argG( jω)
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 105ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
106/193
Exemple
R(s)
kτ s+1
Y(s)
G(s) = Y(s)R(s)
= k
τ s + 1
G( jω) = Y( jω)R( jω)
= k
jωτ + 1
r(t) = sin(ωt) =⇒ Y( jω) = ωs2 + ω2
× k jωτ + 1
|G( jω)| = k√ ω2τ 2 + 1
ϕ(ω) = −arctan(ωτ )
y(t) = k√ ω2τ 2 + 1
sin(ωt − arctan(ωτ ))
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 106ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
107/193
Diagramme de Bode
G(s) = Ksl1 + b1s + . . . + bmsm
1 + a1s + . . . + ansn
Échelle semi-logarithmique :
M(ω) = 20log10|G( jω)| , (db)ϕ(ω) = arg(G( jω)) , (o)
Basses fréquences :
G(s) = K
sl
M(ω) = 20log10(K) − (20l)log10(ω)ϕ(ω)
= −l
π
2
Hautes fréquences :
G(s) = Kbms
m
ansn+l
M(ω) = 20log10Kbman − 20(n + l − m)log10(ω)
ϕ(ω) = −(n + l − m)π2
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 107ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
108/193
Diagramme de Bode vers les basseset les hautes fréquences
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
0o
0
0o
0
0o
0
0o
0
0o
0
0o
0
0o
0
ωc ωc ωc
|M|db
|M|db |M|db |M|db
|M|db |M|db |M|db
ϕ,o
ϕ,o ϕ,o ϕ,o ϕ,o
ϕ,o ϕ,o
−90o −180o −270o
−90o −180o −270o
−20 −40 −60
−20 −40 −60
l = 0
n + l − m = 1
l = 1 l = 2
n + l − m = 2
l = 3
n + l − m = 3
Basses fréquences
Hautes fréquences
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 108ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
109/193
Diagramme de Boded’un élément proportionnel
G( jω) = K, K > 0
|G( jω)| = Karg(G( jω))
= 0
o
M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10(K) , (db)ϕ(ω) = −arctan
0
K
= 0o
M, db
20log10K
0
0
ω
ω
ϕ,o
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 109ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
110/193
Diagramme de Boded’un élément intégral
G( jω) = 1
jωτ
|G( jω)| = 1 jωτ
= 1ωτ ϕ(ω) = −arg( jωτ ) = −90o
M(ω) = 20log10 1
ωτ
= −20log10(ωτ ) , (db)
ϕ(ω) = −90o
M, db
ωc
ϕ,o
−90o
ω
ω
−20 db/dec
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 110ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
111/193
Diagramme de Boded’un élément différentiel
G( jω) = jωτ
|G( jω)| = ωτ ϕ(ω) = + π
2
M(ω) = 20log10(ωτ ) , (db)
ϕ(ω) = +90o
M, db
ωc
ϕ,o
+90o
ω
ω
+20 db/dec
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 111ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
112/193
Diagramme de Boded’un élément du premier ordre
G( jω) = 1
1 + jωτ
M(ω) = −20log10√
1 + ω2τ 2
ϕ(ω) = −arctan(ωτ )
ω ≪
1
τ ω
≫ 1
τ M(ω) = 0 db M(ω) = −20log(ωτ ), db
ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = −90o
M, db
ωc
ωc
ϕ,o
−90o
ω
ω
−20 db/dec
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 112ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
113/193
Diagramme de Bodede l’élément ≪ 1 + jωτ ≫
G( jω) = 1 + jωτ
M(ω) = 20log10√
1 + ω2τ 2
ϕ(ω) = arctan(ωτ )
ω ≪
1
τ ω
≫ 1
τ M(ω) = 0 db M(ω) = 20log(ωτ ) db
ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = 90o
M, db
ωc
ωc
ϕ,o
+90o
ω
ω
+20 db/dec
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 113ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
114/193
Diagramme de Bode asymptotiqued’un élément du second ordre
G( jω) = ω2n
1 + 2ζωn( jω) + ( jω)2 =
11 − ω2ω2n
+ j2ζ ωωn
M(ω) = −20log10 1 −
ω2
ω2n2
+ 4ζ 2ω2
ω2n
ϕ(ω) = −arctan
2ζ ωωn
1 − ω2ω2n
ω ≪ ωn ω ≫ ωnM(ω) = 0 db M(ω) = −40log10
ωωn
db
ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = −180o
M, db
ωc ωc
−180oω ω
−40 db/dec
ϕ,o
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 114ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
115/193
Diagramme de Bode réeld’un élément du second ordre
• ωn fixeζ diminue =⇒ Mp augmente =⇒ ωb augmenteζ augmente =⇒ Mp diminue =⇒ ωb diminue
• ζ fixe
ωn diminue =⇒ Mp inchangé =⇒ ωb diminueωn augmente =⇒ Mp inchangé =⇒ ωb augmente
10-1
100
101
10-2
10-1
100
101
a m p l i t u d e
Omega = fixe et Zeta = variable
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
310
-10
10-5
100
105
frequences
a m p l i t u d e
Omega = variable et Zeta = fixe
Diagramme de Bode d’un élément du 2e ordre vs ζ et ωn
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 115ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
116/193
Diagramme de Bodede l’élément ≪ 1 + j2ζ ωωn + ( j ωωn )2 ≫
G( jω) = 1 + j2ζ ω
ωn+ ( j
ω
ωn)2 = (1 − ω
2
ω2n)2 + j2ζ
ω
ωn
M(ω) = 20log10
1 − ω
2
ω2n
2+ 4ζ 2
ω2
ω2n
ϕ(ω) = arctan 2ζ ωωn
1 − ω2ω2n
ω ≪ ωn ω ≫ ωnM(ω) = 0 db M(ω) = +40log10
ωωn
db
ϕ(ω) = 0o ϕ(ω) = +180o
M, db
ωc ωc
ϕ,o
+180o
ω ω
+40 db/dec
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 116ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
117/193
Diagramme de Boded’un système d’ordre quelconque
G(s) = K τ 1s + 1
(τ 2s + 1)(τ 3s + 1),
1
τ 2<
1
τ 1<
1
τ 3, K > 1
G1(s) = K G2(s) = τ 1s + 1
G3(s) = 1
τ 2s+1 G4(s) = 1
τ 3s+1
M, db
|G|1τ 2
1τ 1
1τ 3
ϕ1
ϕ3
ϕ2
ϕ4
ϕ,o
ϕ
ω
ω
+90o
−90o
0o
|G1||G2|
|G3
|
|G4|
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 117ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
118/193
Diagramme de Black
≪ Diagramme de M(ω) en (db) ≫≪ en fonction de ϕ(ω) en (o) ≫
G(s) = K
sl
1 + b1s + . . . + bms
m
1 + a1s + . . . + ansn
|M
|db
|M
|db
|M
|db
|M
|db
|M|db |M|db |M|db
ϕ,o ϕ,o ϕ,o ϕ,o
ϕ,o ϕ,o ϕ,o
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
n + l − m = 1 n + l − m = 2 n + l − m = 3
−90o
−90o
−180o
−180o
−270o
−270o
ω = 0
ω = 0 ω = 0 ω = 0
ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞
Basses fréquences
Hautes fréquences
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 118ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
119/193
Diagramme de Black d’un élément intégral
G( jω) = K
jωτ
M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10(K) − 20log10(ωτ )
ϕ(ω) = arg(G( jω)) = arctan(K ) − arctanτ ω
0
= −90o
ω 0 ∞ K/τ M(ω) ∞ −∞ 0ϕ(ω) −90o −90o −90o
M, db
ϕ,o
−90o
ω = 0
ω = ∞
0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 119ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
120/193
Diagramme de Black d’un élément différentiel
G( jω) = Kjωτ
M(ω) = 20log10|G( jω)| = 20log10Kωτ
ϕ(ω) = arg(G( jω)) = arctan KωT0
= +90o
ω 0 ∞ 1/(Kτ )M(ω) −∞ ∞ 0ϕ(ω) 90o 90o 90o
M, db
ϕ,o
+90o
ω = ∞
ω = 0
0
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 120ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
121/193
Diagramme de Blackd’un élément du premier ordre
G( jω) = K
1 + jωτ
M(ω) = 20log10(K) − 20log10√
1 + ω2τ 2
ϕ(ω) = −arctan(ωτ )
ω 0 ∞√
K2−1τ
M(ω) 20log10(K) −∞ 0ϕ(ω) 0 −90o −arctan(√ K2 − 1)
M, db
K
ωc
−90oϕ
ω = 0
ω = ∞
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 121ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
122/193
Diagramme de Blackde l’élément ≪ K(1 + jωτ ) ≫
G( jω) = K(1 + jωτ )
M(ω) = 20log10(K) + 20log10√
1 + ω2τ 2
ϕ(ω) = arctan(ωτ )
ω 0 ∞√
1−K2Kτ
M(ω) 20log10(K) ∞ 0
ϕ(ω) 0 90o arctan(√
1−K2K
)
M, db
ϕ,o
+90o
ω = 0
ω = ∞
K
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 122ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
123/193
Diagramme de Black
d’un élément du second ordre
G( jω) = K
1 + 2ζ j ωωn + [ j ωωn ]
2 =
K1 − ω2ω
n2
+ j2ζ ωωn
M(ω) = 20log10(K) − 20log10
1 − ω
2
ωn2
2+ 4ζ 2
ω2
ωn2
ϕ(ω) = −arctan
2ζ ωωn1 − ω2ω
n2
ω 0 ∞M(ω) 20log10(K) −∞ϕ(ω) 0 −180o
M, db
ϕ−180oω = 0
ω = ∞
K
ωc
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 123ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
124/193
Diagramme de Black
de l’élément ≪ K(1+ 2ζ
ωns + s2
ωn2 ) ≫
G( jω) = K
1 − ω
2
ωn2
+ j2ζ
ω
ωn
M(ω) = 20log10(K) + 20log10
1 − ω
2
ωn2
2+ 4ζ 2
ω2
ωn2
ϕ(ω) = arctan
2ζ ωωn
1 − ω2ωn2
ω 0 ∞M(ω) 20log10(K) ∞
ϕ(ω) 0 180o
M, db
ϕ
+180o
ω = 0
ω = ∞
K
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 124ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
125/193
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
126/193
Diagramme de Nyquist
Fonction de transfert en boucle ouverte :
G(s) = K
sl
1 + b1s + . . . + bms
m
1 + a1s + . . . + ansn
ω = 0
ω = ∞
ω = 0
ω = ∞
ω = ∞ ω = ∞ ω = ∞
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
n + l−
m = 1 n + l−
m = 2 n + l−
m = 3
basses fréquences
hautes fréquences
Im Im Im Im
Im Im Im
ReRe Re
Re Re Re
Re
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 126ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
127/193
Diagramme de Nyquistd’un élément intégral
Fonction de transfert :
G(s) = 1
τ s =⇒ G( jω) = 1
jωτ = − j 1
ωτ
ω 0 ∞ 1/τ
Re(ω) = 0 0 0 0
Im(ω) = − 1ωτ −∞ 0 −1
1τ s
ω = ∞
ω = 0
Im
Re
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 127ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
128/193
Diagramme de Nyquistd’un élément différentiel
Fonction de transfert :
G(s) = τ s =⇒ G( jω) = jωτ
ω 0 ∞ 1/τ
Re(ω) = 0 0 0 0
Im(ω) = ωτ 0 ∞ 1
τ s
ω = 0
ω = ∞
Im
Re
ENSA-Tétouan
M. BENBRAHIM 128ANALYSE FRÉQUENTIELLE
-
8/15/2019 Recueil LOGIQUE SEQUENTIELLE
129/193
Diagramme de Nyquistd’un élément du premier ordre
Fonction de transfert :
G(s) = 1
1 + τ s ⇒ G( jω) = 1
1 + jωτ =
1
1 + ω2τ 2 − j ωτ
1 + ω2τ 2
ω 0 ∞ 1/τ
Re(ω) = 1
1+ω2τ 2 1 0 1
2
Im(ω) = �