rectas plano
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7/25/2019 Rectas Plano
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EJERCICIOS: 5-10- 15- 20- 25- 30- 35- 40-
1.- Averigua la ecuacin implcita de la recta que pasa por el punto
P(2, -2) y cuya pendiente es m= -3.
Solucin:
Escribimos la ecuacin punto-pendiente y operamos:
2.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(-1, 2) y es
paralela a
3x- y+ 4 = 0.
Solucin:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
La recta paralela tiene la misma pendiente; su ecuacin ser:
3.-Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(-2, 5) y es
Solucin:
Las ecuaciones paramtricas son:
Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y sumamos:
La ecuacin implcita es 3x+ y+ 1 = 0.
4.- Halla la ecuacin implcita de la recta cuyas ecuaciones paramtricas son:
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Solucin:
Multiplicamos por 3 la primera ecuacin y por 2 la segunda, y sumamos:
La ecuacin implcita es 3x+ 2y+ 7 = 0.
INICIO
5.- Halla el valor de k para que las rectas
2x-3y+ 4 = 0 -3x+ ky -1 = 0
sean perpendiculares.
Solucin:
Despejamos y para obtener la pendiente de cada recta:
Para que sean perpendiculares, tiene que cumplirse:
6.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que tiene pendiente 2 y pasa por
el
punto P(-1, 4).
Solucin:
Escribimos la ecuacin punto-pendiente y operamos:
7.- Cul ha de ser el valor de k para que estas dos rectas sean paralelas?
x+ 3y -2 = 0 kx+ 2y+ 3 = 0
Solucin:
Despejamos y en cada ecuacin para obtener la pendiente de cada recta:
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Para que sean paralelas, las pendientes han de ser iguales:
8.- Halla la ecuacin implcita de la recta perpendicular a 2x+ y-3 = 0
que pasa por el punto P(1, 1).
Solucin:
Obtenemos la pendiente de la recta dada:
La pendiente de la perpendicular es:
La ecuacin de la recta buscada ser:
9.- Escribe la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos
P(3, -1) y Q(2, -4).
Solucin:
La pendiente de la recta es:
La ecuacin ser:
INICIO
10.- Dadas las rectas:
halla el valor de k para que r y s sean perpendiculares.
Solucin:
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Obtenemos la pendiente de cada una de la rectas:
Para que r y s sean perpendiculares, ha de cumplirse que:
11.- Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por P(2, -1) y
es
perpendicular a la recta de ecuacin 3x -2y+ 1 = 0.
Solucin:
12.- Averigua la posicin relativa de las rectas (si se cortan, averigua en qu
punto):
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
Igualamos:
No tiene solucin Las rectas son paralelas.
13.- Averigua el ngulo formado por las rectas:
Solucin:
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Hallamos el ngulo que forman los vectores direccin de las dos rectas:
Vector direccin de r (4, 3)
Vector direccin de s (-1, 2)
14.- Escribe las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
P(-1, 3) y Q(-2, 8).
Solucin:
INICIO
15.- Dadas las rectas:
averigua su posicin relativa. Si se cortan, di cul es el punto de corte:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
Igualamos:
Infinitas soluciones Se trata de la misma recta; r y s coinciden.
16.- Determina el ngulo que forman las rectas:
Solucin:
Vector direccin de r (3,-1)
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Vector direccin de r (2, 4)
Vector direccin de s (2,-1)
Llamamos a al ngulo que forman r y s:
Es decir, las rectas son perpendiculares.
INICIO
20.- Halla las ecuaciones paramtricas de la recta paralela a 2x -y+ 3 = 0 y
que
pasa por el punto P(4, 3).
Solucin:
21.- Determina la posicin relativa de estas rectas. Si se cortan, di en qu
punto:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
Igualamos:
Sustituyendo t= 1 en las ecuaciones de r (o bien k= 2 en las de s), obtenemos
el punto de corte de las dos rectas:
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22.- Halla el ngulo que forman las rectas:
Solucin:
El ngulo que forman r y s lo podemos hallar a partir de sus vectores direccin:
Vector direccin de r (-3, 2)
Vector direccin de s (-4,-6)
Es decir, r y s son perpendiculares.
23.- Halla las ecuaciones paramtricas de la recta que pasa por los puntos
A(2, -3) y B(-1, 4).
Solucin:
24.- Determina la posicin relativa de las siguientes rectas. Si se cortan,
averigua en qu punto:
Solucin:
Cambiamos el parmetro en la recta s:
Igualamos:
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Sustituimos t=-2 en las ecuaciones de r (o bien, k=-1 en las de s) para
obtener el punto de corte de r y s:
INICIO
25.- Averigua si estas dos rectas son perpendiculares. Si no lo fueran, halla el
ngulo que forman:
Solucin:
Vector direccin de r (-2, 3)
Vector direccin de s (4,-6)
Llamamos a al ngulo formado:
26.- Halla el valor de k para que la distancia del punto P(2,k) a la recta
Solucin:
Hay dos posibilidades:
27.- Halla el rea del tringulo de vrtices:
A(3, 1) B(6, -2) C(0, -4)
Solucin:
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1.) Tomamos el lado BC como base del tringulo:
2.) La altura es la distancia de A a la recta que pasa por B y C. Hallamos la
ecuacin de dicha recta:
Por tanto:
3.) El rea del tringulo es:
28.- Halla la distancia de P a Q y de P a r, siendo:
P(-1, -1), Q(2, -3) y r: 3x -y+ 6 = 0
Solucin:
29.- Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre las
rectas:
Solucin:
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1.)Los vrtices del tringulo son los puntos de corte de las rectas:
Punto B(3, 1)
2.)Tomamos el lado AC como base del tringulo:
3.)La altura es la distancia de Ba la recta que pasa por A y por C (que es el
eje Y). Por tanto:
altura=3
4.)El rea del tringulo es:
INICIO
30.- Calcula la distancia del punto P(-3, 5) a la recta r: y= 2x-3.
Solucin:
Expresamos la recta en forma implcita:
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Por tanto:
31.- Halla las coordenadas del punto simtrico de P(3, -4) respecto a la recta
r: -3x+ y+ 2 = 0.
Solucin:
1.) Hallamos la ecuacin de la recta, s, que es perpendicular a r y que pasa por
P:
2.) Hallamos el punto de corte, M, entre r y s:
3.) Si llamamos P(x, y) al simtrico de P con respecto a r, M es el punto
medio entre P y
P. Por tanto:
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32.- Dados los puntos P(3, 2) y Q(-2, 4), y la recta r: 2x+ y -3 = 0; calculala distancia:
a) Entre P y Q.
b) De P a r.
Solucin:
33.- Halla el rea del paralelogramo de vrtices A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4) y D(0,
3).
Solucin:
1.)Tomamos como base el lado AB:
2.)La altura es la distancia del vrtice C (o del D) a la recta que pasa por A y
B. Obtengamos la ecuacin de dicha recta.
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As, el rea es:
34.- Halla la distancia del punto P(2, -1) a la recta:
Solucin:
Expresamos r en forma implcita:
Hallamos la distancia de P a r :
INICIO
35.- Dado el tringulo de vrtices A(-1, -1), B(1, 4) y C(5, 2), halla lasecuaciones de sus tres medianas y calcula el baricentro (punto de
interseccin de las medianas).
Solucin:
1.)Hallamos los puntos medios de cada lado:
2.)Hallamos las ecuaciones de las tres medianas:
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La que pasa por A y M2:
La que pasa por B y M3:
La que pasa por C y M1:
3.)Hallamos el baricentro como punto de corte de las medianas:
36.- Obtn la ecuacin de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 3) y
B(4, 1).
Solucin:
Los puntos P(x,y) de la mediatriz cumplen que:
dist(P, A)= dist(P, B), es decir:
Elevamos al cuadrado en los dos miembros y operamos:
Es una recta perpendicular al segmento AB, que pasa por su punto medio.
37.- Halla la ecuacin de las bisectrices de los ngulos formados por las
rectas
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r1: x+3y-1 =0 y r2: 3x -y+4 =0.
Solucin:
Los puntos P(x, y) de las bisectrices cumplen que:
dist(P, r1)= dist(P, r2), es decir:
Son dos rectas perpendiculares entre s, que se cortan en el mismo punto que r1 y
r2.
38.- Obtn el lugar geomtrico de los puntos, P, del plano tales que:
Qu figura obtienes?
Solucin:
Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:
39.- Identifica y halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos, P, del
plano tales
que su distancia a la recta r1: x+y+1 =0 sea igual que su distancia a la
recta
r2: 2x+2y+4 =0.
Solucin:
Las dos rectas dadas,
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r1: x+y+1=0 y r2: x+ y+2=0,
son rectas paralelas. Por tanto, el lugar geomtrico pedido ser otra recta, paralela a
las dos, a igual distancia de ellas:
Hallamos su ecuacin:
Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:
dist(P, r1)= dist(P, r2), es decir:
Observamos que la recta obtenida es paralela a r1 y r2.
INICIO
40.- Halla la ecuacin del lugar geomtrico de los puntos, P, del plano tales
que su distancia al punto A(1, 0), es el triple de su distancia a la recta x=2.
Identifica la figura que obtienes.
Solucin:
Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:
41.- Halla el lugar goemtrico de los puntos, P, del plano tales que su
distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. De qu figura se trata?
Solucin:
Es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 3. Hallamos su ecuacin:
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Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:
dist(P, Q)=3, es decir:
42.- Halla el lugar geomtrico de los puntos del plano, P(x, y), tales que el
tringulo ABP sea rectngulo en P, siendo A(2, 1) y B(-6, 1). Interpreta la
figura que obtienes.
Solucin:
Para que el tringulo sea rectngulo en P, se ha de cumplir que:
Obtenemos una circunferencia de centro (-2, 1) (que es el punto medio del
segmento AB) y de radio 4.
43.- Halla el lugar geomtrico de los puntos, P, del plano cuya distancia a
A(2, 0) sea el doble de la distancia a B(-1, 0). Identifica la figura resultante.
Solucin:
Si P(x, y) es un punto del lugar geomtrico, tenemos que:
44.- Calcula los vrtices y el rea del tringulo cuyos lados estn sobre lasrectas:
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Solucin:
1.)Los vrtices del tringulo son los puntos de corte de las rectas:
Punto B(3, 1)
2.)Tomamos el lado AC como base del tringulo:
3.)La altura es la distancia de Ba la recta que pasa por A y por C (que es el
eje Y). Por tanto:
altura=3
4.)El rea del tringulo es:
INICIO
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