Didctica de matemticas

Didctica de matemticas

Aportes y reflexiones

Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)

Editorial Paids Educador

Primera edicin, 1994

Quinta reimpresin, 1997

Buenos Aires

Este material se utiliza con fines exclusivamente didcticos

CAPTULO V

EL SISTEMA DE NUMERACIN: UN PROBLEMA DIDCTICO

Delia Lerner y Patricia Sadovsky, con la colaboracin de Susana Wolman

IV. Donde se cuestiona el enfoque usualmente adoptado para ensear el sistema de numeracin

La modalidad que en general asume la enseanza de la notacin numrica puede caracterizarse as:

Se establecen topes definidos por grado: en primer grado se trabaja con los nmeros menores que cien, en segundo con los menores que mil y as sucesivamente. Slo desde quinto grado se maneja la numeracin sin restricciones.

Una vez enseados los dgitos, se introduce la nocin de decena como conjunto resultante de la agrupacin de diez unidades, y slo despus se presenta formalmente a los nios la escritura del nmero diez, que debe ser interpretada como representacin del agrupamiento (una decena, cero unidades). Se utiliza el mismo procedimiento cada vez que se presenta un nuevo orden.

La explicitacin del valor posicional de cada cifra en trminos de unidades, decenas, etc., para los nmeros de un cierto intervalo de la serie se considera requisito previo para la resolucin de operaciones en ese intervalo.

Se intenta concretar la numeracin escrita materializando la agrupacin en decenas o centenas.

Dicho de otro modo: hay que trabajar paso a paso y acabadamente, hay que administrar el conocimiento entregndolo en cmodas cuotas anuales, hay que transmitir de una vez y para siempre el saber socialmente establecido.

Es as como los nmeros van presentndose uno a uno y lo hacen concienzudamente: adems de dar su nombre, se esfuerzan por exhibir su patrimonio en materia de decenas y unidades. Aportan informacin exhaustiva sobre sus datos personales, pero el espectro de sus relaciones es tan limitado que se reduce a los vecinos ms cercanos.

Se pretende simultneamente graduar el conocimiento y arribar desde el comienzo al saber oficial. Son compatibles estas dos pretensiones? Si se recorta tan drsticamente el universo de los nmeros posibles, si al introducir los nmeros de a uno y predeterminar un tope para cada grado se obstaculiza la comparacin entre diferentes intervalos de la serie y se dificulta la bsqueda de regularidades, se est propiciando realmente el acceso a las reglas que organizan el sistema de numeracin? Y si esto no es as, cul es el saber oficial que efectivamente se est impartiendo?

Saber acabado y graduacin del saber parecen incompatibles. Habr que renunciar a la ilusin de comunicar de inmediato el saber definitivo o bien habr que renunciar a la dosificacin del conocimiento. O tal vez haya que renunciar a ambas.

Paso a paso y acabadamente es por otra parte una consigna que los chicos no estn dispuestos a acatar: ellos piensan al mismo tiempo sobre los dieces, los millones y los miles, elaboran criterios de comparacin fundados en el contraste entre rangos de nmeros ms o menos alejados, pueden conocer la notacin convencional de nmeros muy altos y no manejar la de nmeros menores. Los chicos tampoco necesitan recordmoslo apelar a decenas y unidades para producir e interpretar escrituras numricas; saber todo acerca de los numerales no es entonces requisito para usarlos en contextos significativos.

Anticipamos una objecin posible: aunque se pueda prescindir de unidades y decenas cuando slo se trata de leer y escribir nmeros, no ser posible dejarlas de lado en el momento de resolver operaciones. Esta objecin es parcialmente vlida: lo es si se piensa en los algoritmos convencionales en los famosos me llevo uno y le pido al compaero como nico procedimiento posible; deja de serlo cuando se admiten algoritmos alternativos.

Por qu pensar en algoritmos alternativos? Porque los procedimientos que los chicos elaboran para resolver las operaciones tienen ventajas nada despreciables si se los compara con los usuales en la escuela.

Una desventaja evidente de los algoritmos convencionales es que por exigir que se sume o reste en columna, aislando cada vez las cifras que corresponden a un mismo valor posicional llevan a perder de vista cules son los nmeros con los que se est ,operando. Algo muy diferente ocurre con las propuestas de los nios, ya que como veremos en el prximo punto las formas de descomposicin que ellos ponen en prctica permiten conservar el valor de los trminos de la operacin.

Por otra parte, en tanto que la anticipacin del resultado se hace difcil (o imposible) cuando se empieza a sumar o a restar por la derecha es decir por el menor valor posicional, la persistente decisin de los nios de empezar por la izquierda explicitando el valor representado por las cifras10 pone en primer plano el clculo aproximado, lo cual hace posible controlar el resultado.

Es as como los procedimientos de los chicos hacen desaparecer la diferencia entre cuentas con dificultad y sin dificultad.

Si la interpretacin de las cifras en trminos de decenas y unidades no es requisito para la lectura y escritura de nmeros, si tampoco es condicin necesaria para resolver operaciones, por qu tomarla como punto de partida? Valdr la pena invertir tanta energa en un intento cuyo resultado casi inevitable es el recitado mecnico de los trminos en cuestin?

El esfuerzo por lograr que los chicos comprendan algo tan complejo como nuestro sistema de numeracin y por evitar el riesgo de una mera memorizacin ha llevado a utilizar diferentes recursos para materializar el agrupamiento.

Uno de estos recursos consiste en crear un cdigo que introduce smbolos especficos crculos, cuadrados, tringulos para representar aquello que en nuestro sistema slo puede inferirse a partir de la posicin: las potencias de diez. Los smbolos en cuestin deben sumarse para determinar cul es el nmero representado.

El parecido con el sistema egipcio es notable. Y a este parecido se refiere el ncleo de nuestra objecin: paradjicamente, para que los nios comprendan la posicionalidad, se hace desaparecer la posicionalidad.

Una crtica similar puede aplicarse a otro de los recursos usuales en la escuela: poner en correspondencia la cifra ubicada en el lugar de las unidades con elementos sueltos, la ubicada en el lugar de las decenas con ataditos de diez, la que est en el lugar de las centenas con ataditos de cien. Esta manera de proceder tiene la ventaja de apelar a la agrupacin realizada por los chicos en lugar de partir de un cdigo impuesto; sin embargo, si se considera el resultado final de la agrupacin, presenta el mismo inconveniente que la materializacin a travs de figuras geomtricas: la posicin deja de ser relevante para entender de qu nmero se trata ya que, sea cual fuere el orden en que estn colocados los ataditos y los palitos sueltos, el total de elementos ser siempre el mismo.

El supuesto subyacente a los dos recursos descritos parece ser el siguiente: para que nuestro sistema de numeracin resulte comprensible, es necesario transformarlo en otro sistema de numeracin.

Finalmente, analizaremos la utilizacin del baco, un instrumento que a diferencia de los materiales anteriores refleja claramente la posicionalidad del sistema.

Dos ideas subyacen al empleo didctico del baco: agrupar y reagrupar son acciones imprescindibles para comprender la posicionalidad, la representacin de una cantidad en el baco puede traducirse directamente a la notacin numrica convencional y esa traduccin arroja luz sobre la organizacin del sistema.

Los dos supuestos son objetables desde nuestra perspectiva. Por una parte, como hemos visto, la nocin de agrupamiento no es el origen de la comprensin de la posicionalidad: los chicos descubren este principio de manera totalmente independiente de las acciones de agrupar y reagrupar objetos, lo elaboran a partir de su accin intelectual sobre las escrituras numricas que los rodean. Por otra parte, para qu apelar a una traduccin si la versin original est al alcance de la mano?

De todos modos, si el baco fuese hoy como lo fue en la antigedad un instrumento de clculo socialmente vigente, su utilizacin en la escuela estara seguramente justificada. Dadas las condiciones actuales, no habr que decidirse a sustituir el baco por la calculadora?

Ahora bien, todos los recursos concretizadores que hemos analizado tienen en comn la esperanza de reconstruir una relacin entre la notacin numrica y las acciones de agrupar y reagrupar. Esta relacin, que efectivamente posibilit la invencin de los diversos sistemas de numeracin producidos en el curso de la historia, ya no est presente en el uso social que se hace del sistema. Tal vez es por eso que los chicos no necesitan pensar que alguien form ochenta y ocho grupos de diez y despus reagrup formando ocho grupos de cien para entender que, en 880, el primer ocho representa ocho cientos, y el segundo ocho dieces.

La notacin numrica aparece ante los chicos como un dato de la realidad: es necesario entender lo antes posible cmo funciona, para qu sirve, en qu contextos se usa; averiguar por qu lleg a ser como es no es tan urgente para ellos, quiz porque comprenderlo no puede ser de ninguna manera un punto de partida y s puede constituirse en el punto de llegada que se hace posible despus de un largo y complejo recorrido.

Algo est fallando en el juego de preguntas y respuestas que segn este enfoque tiene lugar en el aula: se ofrecen respuestas para aquello que los chicos no preguntan, se ignora que ellos ya encontraron algunas respuestas y que todava se hacen muchas preguntas, se evita formular interrogantes que podran orientar la bsqueda de nuevas respuestas.

Si no es restringir la numeracin, si no es explicitar el valor de las cifras en trminos de decenas y unidades, si no es apelar exclusivamente a los algoritmos convencionales, si no es apoyarse en concretizaciones externas al sistema, si no es apuntar de entrada al saber acabado.... cul ser entonces el camino que puede trazarse en el contexto escolar para andar entre los nmeros?

V. Donde se intenta reflejar la vida numrica del aula

[...] La enseanza directa del saber definitivo es imposible. [...]El uso y la destruccin de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender. En consecuencia, hay que admitir una cierta reorganizacin didctica del saber, que cambia su sentido, y hay que admitir al menos a ttulo transitorio una cierta dosis de errores y contrasentidos, no slo del lado de los alumnos, sino tambin del lado de la enseanza. G. BROUSSEAU

Porque no tengo otra forma de escribirlo, por ahora lo escribo as. NADIA

Trabajar con la numeracin escrita y slo con ella; abordarla en toda su complejidad; asumir que el sistema de numeracin en tanto objeto de enseanza pasar por sucesivas definiciones y redefiniciones antes de llegar a su ltima versin. Son stas las ideas que desde un comienzo orientaron nuestro trabajo didctico.

Del uso a la reflexin y de la reflexin a la bsqueda de regularidades, se es el recorrido que propondremos una y otra vez.

Usar la numeracin escrita es producir e interpretar escrituras numricas, es establecer comparaciones entre esas escrituras, es apoyarse en ellas para resolver o representar operaciones.

Usar la numeracin escrita cuando uno est intentando apropiarse de ella hace posible que aparezcan, en un contexto pleno de significado, problemas que actuarn como motor para desentraar la organizacin del sistema.

La bsqueda de soluciones llevar a establecer nuevas relaciones, a reflexionar sobre las respuestas posibles y los procedimientos que condujeron a ellas, a argumentar a favor o en contra de las diferentes propuestas, a convalidar ciertos conocimientos y desechar otros. En el curso de este proceso, comienzan a imponerse las regularidades del sistema.

Las regularidades aparecen ya sea como justificacin de las respuestas y de los procedimientos utilizados por los chicos o al menos por algunos de ellos, ya sea como descubrimientos que es necesario propiciar para hacer posible la generalizacin de ciertos procedimientos o la elaboracin de otros ms econmicos.

El anlisis de las regularidades de la numeracin escrita es de ms est decirlo una fuente insustituible de progreso en la comprensin de las leyes del sistema por parte de los nios.

Ahora bien, si pretendemos que el uso de la numeracin sea realmente el punto de partida de la reflexin, si esperamos que sea efectivamente posible establecer regularidades, resulta entonces necesario adoptar otra decisin: trabajar desde el comienzo y simultneamente con diferentes intervalos, de la serie. De este modo, se har posible favorecer comparaciones entre nmeros de la misma y de distinta cantidad de cifras, promover la elaboracin de conclusiones tales como los cienes van con tres, los miles van con cuatro que funcionarn como instrumentos de autocontrol de otras escrituras numricas, propiciar el conocimiento de la escritura convencional de los nudos y su utilizacin como base de la produccin de otras escrituras, lograr en suma que cada escritura se construya en funcin de las relaciones significativas que mantiene con las otras.

Introducir en el aula la numeracin escrita tal como es, trabajar a partir de los problemas que plantea su utilizacin..., son dos consignas que nos sumergen ineludiblemente en la complejidad del sistema de numeracin.

El desafo que este enfoque plantea es evidente: supone correr el riesgo de enfrentar a los chicos con problemas que an no les hemos enseado a resolver, obliga a trabajar simultneamente con respuestas correctas aunque a veces parciales y con respuestas errneas, as como a encontrar formas de articular procedimientos o argumentos diferentes para hacer posible la socializacin del conocimiento. Se trata entonces de aceptar la coexistencia de diferentes conceptualizaciones acerca del sistema, se trata de invertir todo el esfuerzo necesario para lograr que la diversidad en lugar de constituirse en un obstculo opere a favor del progreso del grupo y de cada uno de sus miembros.

El trabajo en el aula est as teido de provisoriedad: no slo son provisorias las conceptualizaciones de los nios, tambin lo son los aspectos del objeto que se ponen en primer plano, los acuerdos grupales que se promueven, las conclusiones que se van formulando, los conocimientos que se consideran exigibles.

Complejidad y provisoriedad son entonces didcticamente inseparables. Si se decide abordar la complejidad, habr que renunciar a establecer de entrada todas las relaciones posibles, habr que pronunciarse por la reorganizacin progresiva del conocimiento. Recprocamente, si uno se atreve a abordar la complejidad es precisamente porque ha aceptado la provisoriedad.

Complejidad y provisoriedad son inevitables. Lo son porque el trabajo didctico est obligado a tomar en cuenta tanto la naturaleza del sistema de numeracin como el proceso de construccin del conocimiento.

El sistema de numeracin en el aula

Al pensar el trabajo didctico con la numeracin escrita, es imprescindible tener presente una cuestin esencial: se trata de ensear y de aprender un sistema de representacin. Habr que crear entonces situaciones que permitan tanto develar la organizacin propia del sistema como descubrir de qu manera este sistema encarna las propiedades de la estructura numrica que l representa.

Dado que el sistema de numeracin es portador de significados numricos los nmeros, la relacin de orden y las operaciones aritmticas involucradas en su organizacin, operar y comparar sern aspectos ineludibles del uso de la numeracin escrita. Resultar tambin imprescindible producir e interpretar escrituras numricas, ya que produccin e interpretacin son actividades inherentes al trabajo con un sistema de representacin.

Estas cuatro actividades bsicas operar, ordenar, producir, interpretar constituyen ejes alrededor de los cuales se organizan las situaciones didcticas que proponemos.

Ahora bien, cuando frente a las exigencias que nos plante la escritura de este artculo intentamos clasificar las situaciones realizadas en el aula, descubrimos que no era posible formar simplemente cuatro grupos (uno correspondiente a cada eje). En efecto, producir, interpretar, ordenar y comparar son actividades tan estrechamente vinculadas en la prctica didctica que se hace difcil diferenciarlas con claridad: por una parte, para comparar nmeros y para realizar operaciones resulta en general necesario producir o interpretar notaciones numricas; por otra parte, en muchos casos la relacin de orden interviene en la produccin e interpretacin de escrituras numricas.

Es por eso que optamos por constituir dos grandes categoras: la primera comprende todas las situaciones didcticas que de algn modo se vinculan a la relacin de orden, la segunda abarca aquellas que estn centradas en las operaciones aritmticas. Produccin e interpretacin aparecen incluidas en cada una de estas dos categoras.

Seguramente, esta clasificacin estar sujeta a sucesivas revisiones. Como dira Nadia, Por ahora la hacemos as.

1. Situaciones didcticas vinculadas a la relacin de orden

La relacin de orden est presente en las situaciones propuestas de dos maneras diferentes: en algunos casos, es el eje de la actividad que se plantea; en otros casos, interviene como estrategia para resolver situaciones que no estn centradas en ella.

1. 1. Una consigna: comparar nmeros

Por qu proponer actividades centradas en la comparacin? Cuando los nmeros se representan a travs del sistema decimal posicional, la relacin de orden como hemos visto adquiere una especificidad vinculada a la organizacin del sistema. Es justamente esa especificidad la que se pretende movilizar a partir de las situaciones de comparacin que se proponen a los nios.

Supongamos, por ejemplo, que hemos decidido instalar en el aula diferentes negocios cuyo funcionamiento servir como fuente de mltiples problemas aritmticos y que estamos organizando el kiosco. Les contamos a los chicos que, con los caramelos que tenemos (todos iguales) armaremos bolsitas que contendrn cantidades diferentes (4, 26, 62, 30, 12 y 40) y que los precios de esas bolsitas son (en centavos) los siguientes: 45, 10, 40, 60, 25, 85. Les pedimos entonces que decidan cul es el precio de cada tipo de bolsita y lo anoten. Luego se propondr que, en pequeos grupos, confronten sus anotaciones y que, en caso de discrepancia, argumenten a favor o en contra de las distintas producciones. Finalmente, se discutir con todo el grupo, a fin de establecer acuerdos.

Esta situacin requiere que los nios ordenen sea cual fuere la estrategia que utilicen para hacerlo los dos conjuntos de nmeros presentados, ordenamiento que estar orientado por un supuesto seguramente compartido por la mayora de los nios: cuanto mayor sea la cantidad de caramelos, mayor ser el precio de la bolsita.

Los criterios de comparacin a los que apunta esta actividad

el primero es el que manda, a mayor cantidad de cifras...11 no necesariamente sern puestos en accin por todos los miembros del grupo. Surgen entonces dos preguntas que con toda justicia el lector se estar formulando en este instante: cmo resuelven la actividad quienes no utilizan criterios vinculados al sistema?, qu aprenden los nios que ya han elaborado esos criterios?

La diversidad, como de costumbre, hace su aparicin a travs de las respuestas de los chicos: algunos realizan con mayor o menor esfuerzo el ordenamiento correcto, otros ordenan algunos nmeros y aventuran una secuencia posible para los dems, hay quienes no se atreven a hacer nada sin consultar y tambin hay quienes se limitan a copiar las anotaciones de algn compaero.

Para los nios que realizan el ordenamiento sin esfuerzo, el momento de la discusin es tambin el momento del aprendizaje: por una parte, la necesidad de fundamentar su produccin los llevar a conceptualizar aquello que hasta ese momento era simplemente un recurso que utilizaban pero sobre el cual seguramente an no haban reflexionado; por otra parte, la elaboracin de argumentos para apoyar o rebatir las producciones de sus compaeros enriquecer su conceptualizacin. Quienes logran ordenar los nmeros a travs de un proceso que incluye muchas autocorrecciones aprenden tanto durante este proceso la tarea para ellos todava constituye un desafo como cuando tienen que defender su produccin frente a los dems.

Los chicos que establecen un orden parcial ya sea porque se basan slo en la serie numrica oral y ordenan entonces las escrituras numricas cuya denominacin conocen, ya sea porque utilizan nicamente el criterio que permite comparar nmeros de diferente cantidad de cifras aprenden a lo largo de toda la situacin. En efecto, mientras, ordenan, se ven obligados a plantearse una pregunta que tal vez an no se haban formulado: en qu basarse para establecer comparaciones entre los nmeros que no pudieron incluir en el ordenamiento; durante la discusin, las argumentaciones de sus compaeros abrirn el camino hacia la respuesta. Formularse una nueva pregunta constituye un aprendizaje porque es el punto de partida para la elaboracin de un nuevo conocimiento; escuchar la respuesta que otros dan a esa pregunta siempre hace posible algn progreso: puede ocurrir que esa respuesta en el mejor de los casos se asimile inmediatamente como propia, o que genere nuevas preguntas, o que por lo menos permita enterarse de que esas preguntas tienen respuesta y descubrir entonces que vale la pena buscarla.

Los nios que no arriesgan ninguna respuesta sin consulta previa aprenden porque tambin se hacen preguntas y, por lo tanto, lo que sus compaeros les contestan adquirir necesariamente algn significado en relacin con la pregunta formulada: puede ser que confirme lo que ellos haban pensado pero no se atrevan a asegurar, que entre en contradiccin con sus ideas previas y genere entonces nuevas preguntas o que resulte una informacin nueva que habr que comenzar a procesar. Es difcil saber, en cambio, qu aprenden los que se limitan a copiar son muchas las causas que pueden motivar esta actitud y por eso es fundamental incitarlos a reflexionar sobre lo que han anotado y a encarar la responsabilidad de producir una respuesta propia. Tanto los que consultan sin cesar como los que nicamente copian estn emitiendo seales que ser necesario registrar: habr que intervenir orientndolos hacia formas de trabajo ms autnomas.

Intentar que los chicos se consulten a s mismos antes de apelar a una ayuda externa, que cada uno recurra ante todo a lo que sabe acerca de la numeracin hablada y de la numeracin escrita y descubra que algunos de sus conocimientos son pertinentes para resolver el problema planteado es tal vez la mejor manera de promover la autonoma.

Alentar la utilizacin de materiales donde aparecen nmeros escritos en serie centmetro, almanaque, regla, etc. hace posible que los chicos aprendan a buscar por s mismos la informacin que necesitan. Apelar a estos portadores resulta, adems, til para todos los chicos: los que estn en condiciones de ordenar todos los nmeros propuestos podrn utilizarlos para verificar su produccin; los que pueden hacer ordenamientos parciales descubrirn cmo completarlos, ya que seguramente saben que en esos materiales los nmeros que estn despus son mayores; los que an no utilizan criterios de comparacin descubrirn que en el soporte los nmeros propuestos aparecen ubicados en un cierto orden, lo cual adems de permitirles efectuar el ordenamiento solicitado tal vez los lleve a preguntarse sobre las razones de ese orden.

En sntesis, en el curso de esta situacin, todos los chicos tienen oportunidad de buscar una respuesta, todos crecen gracias al trabajo cooperativo, todos realizan algn aprendizaje.

Situaciones similares a la planteada pueden proponerse apelando a contextos diferentes: ordenar las edades de los familiares de los chicos integrantes de un grupito, decidir el orden en que sern atendidas en la panadera las personas que han sacado determinados nmeros, establecer comparaciones entre las alturas de los miembros del grupo expresadas en centmetros despus de haberse medido... Por otra parte, todas las situaciones incidentales en las que establecer un orden es relevante por ejemplo, cuando se leen noticias en las que aparecen encuestas de opinin sobre algn problema de actualidad- pueden dar lugar a discusiones acerca de los criterios de comparacin.

Si bien muchas de las situaciones que proponemos sobre todo al principio reproducen contextos cotidianos en los cuales ordenar nmeros tiene sentido, esta contextualizacin no siempre es imprescindible: la avidez de los chicos por develar los misterios que encierra el sistema de numeracin hace de ste un objeto digno de ser considerado en s mismo. Resulta entonces posible y productivo plantear algunas actividades que estn centradas en los nmeros como tales. Es lo que ocurre, por ejemplo, en los siguientes casos:

Formar, con tres dgitos dados, todos los nmeros posibles de dos y tres cifras y ordenarlos. Si se permite que las cifras se repitan en los nmeros que se van a formar, la actividad resulta mucho ms compleja, ya que en este caso habr que formar y ordenar treinta y seis nmeros en lugar de doce.

Dado un nmero de dos cifras (45, por ejemplo), dnde hay que ubicar una tercera cifra (4, por ejemplo) para que quede formado el nmero ms grande posible? La situacin se plantea proponiendo sucesivamente diferentes terceras cifras, para discutir luego en qu casos hay que ubicarlas a la derecha y en cules a la izquierda, elaborar una conclusin general y fundamentarla.

Ahora bien, cuando la mayora de los nios pone en juego criterios de comparacin vlidos para producir ordenamientos, la discusin acerca de la fundamentacin puede avanzar un paso ms: vale la pena preguntarse por qu el primero es el que manda, por qu es mayor un nmero cuando tiene ms cifras que otro. El eje de la discusin se ha trasladado: ya no se trata de apelar a los criterios para fundamentar el ordenamiento, se trata ahora de buscar la fundamentacin de los criterios mismos. Esta reflexin conducir a una comprensin mas profunda de la organizacin del sistema, al promover que se establezca la relacin entre los criterios elaborados y el valor de cada cifra en trminos de dieces o cienes.

Cuando se les requiere la fundamentacin de los criterios, algunos nios se ven obligados a explicitar relaciones que ya utilizaban sin saberlo, otros coordinan conocimientos que tenan pero an no haban relacionado y otros realizan un descubrimiento que se hace posible para ellos slo en el marco de esta discusin. De este modo, afirmaciones como no importa cules sean los nmeros; si tiene tres (cifras) es ms porque es de los cienes y stos son dieces o hay que fijarse en el primero porque as sabs (en un nmero de dos cifras) cuntos dieces hay son la conclusin comn de historias diferentes para diferentes chicos.

1. 2 La consigna es producir o interpretar, el orden es un recurso

Producir e interpretar escrituras numricas es siempre un desafo para quienes estn intentando adentrarse en el mundo de los nmeros. Qu nmero es ste? y cmo ser el... (cincuenta y dos, por ejemplo)? son preguntas aparentemente muy banales que resultan, sin embargo, apasionantes para los chicos cuando se refieren a nmeros cuya escritura convencional an no conocen.

Era posible prever ejerciendo un prejuicio didctico amplia mente compartido, a veces tambin por nosotras mismas que resultara ms interesante y productivo trabajar con los nmeros en contexto que con los nmeros despojados de toda referencia a su uso social. Sin embargo, pudimos constatar que nuestros alumnos se entusiasmaban tanto cuando les proponamos escribir los nmeros del talonario de turnos para la panadera del aula como cuando simplemente les pedamos que anotaran determinados nmeros, que se interesaban tanto por leer las direcciones de sus compaeros como por interpretar nmeros que habamos escrito en el pizarrn.

La simple consigna de producir o interpretar un nmero referido o no a un contexto cotidiano funciona como una chispa a partir de la cual se entablan discusiones productivas: Ese (1092, escrito en el sobre de una carta) no puede ser de los cienes, no ves que los del cien tienen tres nmeros y se tiene cuatro?, El quinientos se escribe con los ceros cuando es quinientos solo objeta Diego al ver que Malena, para anotar el precio 599, ha puesto en primer lugar '500', pero si decs quinientos noventa y nueve, los ceros quedan debajo de los nueves y no hay que escribirlos.

Trabajar con los nmeros enmarcados en el uso que socialmente se hace de ellos es decir, con los nmeros como precios, como edades, como fechas, como medidas... es fundamental, no slo porque les otorga sentido, sino tambin porque hace posible entender cmo funcionan en diferentes contextos. Trabajar con los nmeros fuera de contexto tambin es significativo, porque los problemas cognitivos que se plantean son los mismos que aparecen en las situaciones contextualizadas y porque la interaccin con los nmeros al desnudo pone en primer plano que se est trabajando sobre el sistema de numeracin, es decir sobre uno de los objetos que la escuela tiene la misin de ensear y los chicos la misin de aprender.

Cules son entonces las situaciones de produccin e interpretacin que proponemos?

Armar listas de precios o ponerlos en los artculos correspondientes, hacer las facturas, inventariar la mercadera existente, fabricar talonarios para dar turno, identificar el precio de los productos que se quieren comprar, interpretar las otras cifras que aparecen en los envases, consultar las ofertas... son actividades que realizan vendedores y compradores en el juego de los negocios.

Interpretar el valor de los billetes (fotocopiados o producidos por los chicos), determinar el importe de facturas de los diferentes servicios, leer la fecha de vencimiento de esas facturas para decidir si se acepta o no el pago, llenar cheques o leerlos para saber por cunto dinero cambiarlos... son atribuciones de los cajeros y clientes cuando el aula se transforma en un banco.

En el marco de estos proyectos12 se encadenan naturalmente actividades de produccin e interpretacin, realizadas a veces por un mismo chico y otras por chicos diferentes: el cajero del banco leer los nmeros de las facturas, los cheques y los billetes, pero tambin tendr que anotar las cantidades que recibe o entrega; los vendedores producirn listas de precios que sern interpretadas por los compradores...

Ahora bien, insertarse en proyectos y favorecer el encadenamiento de produccin e interpretacin no son requisitos que todas las actividades estn obligadas a cumplir. Los chicos tambin aprenden mucho acerca de la numeracin escrita en situaciones que se plantean de forma aislada y que estn centradas slo en la produccin o slo en la interpretacin. Es lo que ocurre por ejemplo con actividades de interpretacin como el juego de la lotera o el anlisis de la numeracin de las calles, y con actividades de produccin como escribir nmeros difciles o anotar nmeros dictados por el maestro o los compaeros.

Los nmeros que aparecen en las situaciones de produccin e interpretacin propuestos por nosotros o por los chicos son nmeros cuya escritura convencional no se ha enseado previamente. Qu es lo que nos autoriza a cometer semejante osada? Lo hacemos no slo porque sabemos que los nios tienen sus ideas al respecto y porque aceptamos que las respuestas se alejen de lo correcto, sino porque sabemos tambin que tienen o pueden construir recursos para producir e interpretar esas escrituras y para acercarse progresivamente a lo convencional.

Los chicos nos ensearon que la relacin de orden es para ellos un recurso relevante cuando deben enfrentar la situacin de producir o interpretar nmeros que oficialmente no conocen, cuando deben argumentar a favor o en contra de una escritura numrica producida por sus compaeros o por ellos mismos.

Yo antes nunca me acordaba de cmo se escriba el veinte, el veintiuno y los de esa familia explica Cecilia a sus compaeros. Ahora, si tengo que escribir el veinticinco, busco ah (en el calendario) el diecinueve, despus viene el veinte, y cuento. Y enseguida me doy cuenta. Ahora ya s que los del veinte van todos con un dos adelante.

En otras oportunidades, los chicos acuden a la serie numrica sin apoyarse en un soporte material. Es as como Fabin logra escribir convencionalmente el nmero quince a travs del siguiente procedimiento: cuenta pausadamente a partir de uno, como si al nombrar cada nmero pensara al mismo tiempo en la notacin correspondiente. Algo similar puede ocurrir en situaciones de interpretacin: cuando Ariel encargado de cantar los nmeros en el juego de la lotera saca el nmero 23, cuenta con los dedos para s mismo hasta llegar a decir veintitrs.

Los procedimientos empleados por los chicos confirmaban un supuesto que habamos formulado al iniciar el trabajo didctico: como la relacin de orden es una herramienta poderosa para producir e interpretar notaciones numricas, habr que lograr que todos se apropien de ella. Ser necesario entonces sugerir su utilizacin a los nios que no la emplean por s mismos, ser necesario favorecer que quienes usan esta herramienta la compartan con sus compaeros.

Un primer efecto que se produce al intervenir en este sentido es la modificacin de la escritura o de la interpretacin originalmente realizadas. Es lo que ocurre, por ejemplo, en el caso de Martina, quien, al cantar el nmero 85 en la lotera, comienza leyndolo como ocho, cinco y logra luego interpretarlo como . ochenta y cinco gracias a dos intervenciones de la maestra: en primer trmino, le muestra el nmero 80 sin nombrarlo y le pregunta cul es; como Martina no responde, la maestra comienza a escribir los nudos de las decenas (10, 20.... 80) y le solicita que interprete cada una de las escrituras que va produciendo.

Intervenir de este modo es contagioso: si el maestro lo hace, los chicos se darn cuenta de que es una buena manera de ayudar a sus compaeros y la adoptarn. Es lo que ocurre, por ejemplo, cuando Santiago est intentando escribir el nmero veinticinco y Federico le sugiere: Fijte en el veinte; si el veinte va con un dos y un cero y el veintiuno con un dos y un uno, cmo hacs para escribir el veinticinco?; Santiago acepta la propuesta de su compaero, cuenta hasta veinticinco oralmente y lo anota.

Ahora bien, el efecto ms importante que estas intervenciones persiguen no es el que se hace sentir de inmediato. No se trata slo de que los chicos corrijan una escritura o una interpretacin particulares acercndose momentneamente a lo convencional, se trata sobre todo de que hagan suya una estrategia, de que la relacin de orden est siempre disponible como un recurso al que se puede apelar para resolver problemas de produccin e interpretacin.

Por otra parte, lejos de intervenir slo en el momento en que se producen o interpretan notaciones, la relacin de orden atraviesa la discusin que se entabla con todo el grupo y se refleja en los argumentos esgrimidos por los chicos.

La presencia de la relacin de orden en los debates puede ilustrarse a travs de una situacin desarrollada a principios de segundo grado.

Al analizar las notaciones producidas por los chicos ante un dictado de nmeros, la maestra detecta que slo uno de ellos el 653 ha dado lugar a diferentes versiones y decide, por lo tanto, someterlas a discusin al da siguiente. La maestra seala que encontr cuatro maneras diferentes de anotar seiscientos cincuenta y tres, las escribe en el pizarrn sin identificar a los autores de cada versin y requiere argumentos a favor o en contra de las distintas escrituras. Las producciones en cuestin son:

60053

653

610053

61053

Brbara: La que est bien es sta (la segunda) porque cuando es ciento.. no lleva dos ceros.

Jonathan: S, es sa. Pero cuando uno dice ciento a veces lleva cero y otras no. No s cundo lleva cero o no, porque ciento uno s lleva cero.

Vicky: Esta (seala la tercera) no puede ser, porque cien es otro nmero y viene mucho antes que seiscientos.

Jimena: S es sa (la tercera), porque primero est el seis y despus el ciento.

Julin: No, no es, porque si no seiscientos uno sera 61001 seiscientos dos sera 61002... La tercera es mucho ms grande que seiscientos cincuenta y tres, porque tiene ms nmeros.

Brian: Esta (la tercera) es ms grande que sa (la cuarta), porque tiene un cero ms.

Vicky (a Jimena): Para m, es sta (653). No importa que uno diga seiscientos, igual no tiene que haber un cien escrito en ese nmero.

Brian: Los ceros estn de ms; si quers, los pons adelante (00653).

Jonathan: No, porque adelante no valen nada.

Los argumentos utilizados por los chicos para rechazar las notaciones no convencionales apelan de todas las formas posibles a la relacin de orden: Vicky alude al orden de la serie oral, Julin y Brian recurren tanto al criterio que permite ordenar nmeros de distinta cantidad de cifras como al conocimiento de que los nmeros ubicados entre cien y novecientos noventa y nueve se escriben con tres cifras. Estos argumentos seguirn resonando en los chicos que haban producido escrituras no convencionales escrituras que slo Jimena defiende explcitamente y llegarn a transformarse, gracias a sucesivas discusiones, en objeciones que ellos se harn a s mismos.

Los aportes de Brbara y Jonathan hacen surgir un problema que no estaba planteado antes de la discusin: puede tener ceros un nmero cuyo nombre incluye ciento o cientos? Cuntos ceros?, uno, dos o ninguno? La maestra toma nota de este problema y en algn momento abrir un espacio para discutirlo grupalmente (vase 1.3).

Adems de este uso sui generis de la relacin de orden para producir, interpretar y justificar notaciones, los chicos la emplean tambin de la misma manera que los adultos.

En efecto, aunque no siempre tengamos conciencia de ello, los usuarios del sistema de numeracin apelamos con frecuencia al orden: cul es el precio del artculo cuyo cdigo est en el listado?, sali en el extracto de la lotera el nmero de mi billete?, para qu lado caminar si voy al tres mil quinientos de esta calle? Plantear situaciones que requieran ubicar ciertos nmeros en una lista seriada o determinar si esos nmeros estn o no incluidos en ella har posible que los chicos elaboren procedimientos vinculados a la relacin de orden, tal como ella se encarna en nuestro sistema de numeracin. Situaciones como stas encuentran un marco propicio en el juego de los negocios. Es lo que ocurre, cuando, para averiguar los precios reales de los artculos que se vendern, los chicos visitan por ejemplo una perfumera en la que los artculos estn identificados mediante un cdigo: el problema para ellos es ubicar, en la lista facilitada por la encargada del comercio, el nmero de cdigo de los productos elegidos, para determinar as su precio. Del mismo modo, si en el negocio se acepta el pago con tarjeta de crdito, antes de cobrar habr que consultar la lista de tarjetas rechazadas.

Un trabajo similar puede realizarse con actividades incidentales: buscar en una cuadra el nmero de la casa de alguien, encontrar tomando en cuenta la informacin provista por el ndice la pgina en la que comienza el cuento que leeremos.

A partir del anlisis aqu realizado, se hace evidente el rol relevante que desempea la serie oral en el desarrollo de la escritura numrica. Contar ser entonces una actividad imprescindible, que tendr lugar tanto en el marco de los negocios o el banco como en situaciones especficamente planificadas para generarla. Habr que contar los artculos existentes en los negocios o los billetes de cada tipo disponibles en las distintas cajas, coleccionar determinados objetos y contarlos peridicamente para controlar el crecimiento de la coleccin, hacer encuestas y determinar por ejemplo la cantidad de adeptos a determinados programas infantiles, realizar votaciones para tomar ciertas decisiones que as lo requieran...

Ahora bien, la relacin numeracin hablada-numeracin escrita es un camino que los chicos transitan en ambas direcciones: no slo la serie oral es un recurso importante a la hora de comprender o anotar escrituras numricas, tambin recorrer la serie escrita es un recurso para reconstruir el nombre de un nmero. Esta es una de las razones por las cuales resulta fundamental proponer actividades que favorezcan el establecimiento de regularidades en la numeracin escrita.

2. Situaciones centradas en las operaciones aritmticas

El sistema de numeracin y las operaciones aritmticas son dos contenidos bsicos que atraviesan la escolaridad primaria. Cul es la relacin que puede establecerse entre ellos?

Nuestro trabajo didctico anterior a esta investigacin ya nos haba mostrado que, cuando los chicos se enfrentan a situaciones problemticas, generan adems de estrategias propias para resolverlas procedimientos originales para encontrar los resultados de las operaciones involucradas, procedimientos que estn vinculados a la organizacin del sistema de numeracin decimal.

No pretendemos abordar aqu un tema tan amplio como el de las operaciones aritmticas; nos centraremos en el anlisis de los procedimientos elaborados por los chicos para hallar los resultados, ya que son ellos los que guardan una estrecha relacin con el problema que es objeto de este captulo. Sin embargo, se hace necesario aclarar que los procedimientos en cuestin aparecen en ciertas condiciones didcticas: la propuesta que se ha planteado a los nios es resolver un problema y no una cuenta aislada, se alienta la produccin de procedimientos propios y no se ensean de entrada los algoritmos convencionales.

Cul es la naturaleza de la relacin entre los procedimientos infantiles para obtener los resultados de las operaciones y el conocimiento que los nios van elaborando acerca del sistema de numeracin?

Se trata de una relacin recproca: por una parte, los procedimientos de los chicos ponen en acto adems de las propiedades de las operaciones lo que ellos saben del sistema y, por otra parte, la explicitacin de esos procedimientos permite avanzar hacia una mayor comprensin de la organizacin decimal.

Las regularidades que es posible detectar a partir del trabajo con las operaciones tambin hacen lo suyo: contribuyen a mejorar el uso de la notacin escrita, ayudan a elaborar estrategias ms econmicas, nutren las reflexiones que se hacen en el aula.

2. 1 Resolver operaciones, confrontar procedimientos...

Por qu afirmamos que los procedimientos que los chicos utilizan estn estrechamente vinculados a la organizacin del sistema de numeracin? Tal vez lo mejor sea cederles la palabra:

Frente a un problema que se resuelve sumando trece y veinte, Mariano (primer grado) ha anticipado que el resultado es treinta y tres. Cuando la maestra le pide que explique cmo lleg a ese resultado, l responde: En el trece hay un diez y en el veinte hay dos diez ms, entonces son diez ms veinte que es treinta, y tres del trece, me da treinta y tres.

En relacin con un problema en el que haba que sumar diez, trece y trece, Sebastin (primer grado) explica: A m me dio treinta y seis, porque sum los tres diez y tres y tres son seis ms.

As explica Cecilia (primer grado) cmo obtuvo el resultado de 19 + 28 + 31: Yo pongo todo desarmado, todos los diez (el de diecinueve, los dos de veinte y los tres de treinta) y despus me fijo y agrego los que dan diez (suma el nueve de diecinueve y el uno de treinta y uno) y despus agrego el ocho.

Despus de resolver un problema sumando treinta y nueve y veinticinco, Giselle (segundo grado) afirma que lo hizo pensando con la cabeza y agrega: Primero sum de diez en diez y despus sum los dems nmeros. Como la maestra le pide que explique mejor qu es lo que sum de diez en diez, ella dice: Al treinta y nueve le dejo de lado el nueve, entonces es treinta; despus le pongo los dos diez del veinte, es cincuenta; despus sumo el nueve y despus el cinco.

Cuando se pide a los chicos que anoten sus procedimientos y los expliquen, se obtienen producciones como:

Otros chicos de segundo grado suman reiteradamente diez a uno de los trminos al mismo tiempo que los van restando del otro, como para lograr un mximo control sobre cada resultado. En efecto, al sumar 279 + 186 (invitados que se encuentran en dos salones de una gran fiesta), algunos chicos lo hacen as:

200 + 100 = 300

300+79+86

300 86 330 56 360 26 386

310 76 340 46 370 16

320 66 350 36 380 6

Los autores de esta estrategia han explicitado con asombrosa claridad una consecuencia de la propiedad asociativa que en general permanece implcita al resolver operaciones: lo que se suma a uno de los trminos hay que restrselo al otro. Esta estrategia tan reveladora del alto grado de reflexin de los chicos sobre las operaciones muestra al mismo tiempo que para ellos no resulta obvio como lo es para nosotros que 300 + 86 es 386.

Apoyarse sistemticamente en los nudos es un recurso que utilizan algunos nios para configurar procedimientos ms econmicos. Es as como, para terminar la cuenta del ejemplo anterior, Javier suma 386 + 79 de la siguiente manera:

386+79

300

80 + 70 = 150

450 + 10 = 460 (Ntese la transformacin de 9 + 6 en 10 + 5)

460 + 5 = 465

Del mismo modo, para resolver 36 + 145, Sebastin escribe:

145 + 5 + 10 + 10 + 10 + 1 = 181

Luego explica: Puse el cinco porque con cinco ya s que llego a ciento cincuenta. La maestra le pregunta dnde estaba ese cinco y l responde: En el treinta y seis, por eso al final tambin est el uno; si no, slo hubiera sumado treinta y cinco.

Todos estos chicos han tenido que resolver un problema matemtico: el de elaborar por s mismos procedimientos para encontrar el resultado de una operacin. Al enfrentarse con este problema, ellos apelan sistemticamente a la descomposicin decimal de los trminos. Esta descomposicin adquiere distintas formas: en algunos casos se descomponen todos los sumandos y en otros slo uno de ellos; en ciertos casos cada trmino se descompone en nudos y en otros tambin los nudos se descomponen en dieces o cienes.

Cuando esta cuestin se plantea por primera vez en primer grado, no todos los chicos utilizan procedimientos como los que hemos reseado. La diversidad hace nuevamente su aparicin: algunos cuentan con los dedos; otros trazan tantas rayitas como objetos deben sumar y luego las cuentan de a uno, y otros encuentran velozmente el resultado. Entre estos ltimos hay quienes no pueden explicar cmo lo hicieron, mientras otros dan explicaciones similares a las de Mariano, Sebastin o Cecilia.

Proponer a los chicos que anoten de qu manera resolvieron la operacin es dar un paso importante hacia el progreso de todos, porque esto permite que cada uno de ellos tome conciencia del procedimiento que ha utilizado y porque la confrontacin se ve favorecida al abrirse la posibilidad de comparar anotaciones (y ya no slo explicaciones orales).

Entre los chicos que inicialmente cuentan con los dedos o con marquitas en el papel, hay muchos que avanzan hacia la descomposicin decimal gracias a la interaccin con los compaeros que la utilizan. Para otros, en cambio, resulta difcil abandonar sus estrategias originales y es necesario ayudarlos de diversas maneras:13 proponindoles que recurran a los portadores, intentando que tiendan un puente entre su procedimiento y el de los otros chicos por ejemplo, sugirindoles que vayan marcando con nmeros los nudos a medida que van contando sus marquitas (el nmero diez al llegar a la dcima ... ), trabajando con los nudos de las decenas. Las actividades relativas a las regularidades vinculadas a las operaciones (vase el punto 22) jugarn tambin aqu un papel importante.

Ahora bien, qu progresos en la comprensin del sistema pueden realizarse una vez que se utilizan procedimientos basados en el sistema decimal?

Cuando se incita a los chicos a buscar estrategias ms econmicas y a veces antes, surgen otras propuestas:

Federico, para resolver el problema en el que hay que sumar treinta y nueve y veinticinco, anota:

30 + 20 = 50

50+ 9 =59

59 + 5 = 64

Luego, como para aclarar lo que hizo, agrega:

30

39

9

20

25

5

Cuando la maestra le pregunta por el significado de las flechitas, Federico responde: Las puse para que se dieran cuenta de dnde saqu el treinta y el veinte que sum primero.

Emanuel hace el clculo de la misma manera que Federico y, cuando la maestra le pregunta cmo hizo para saber cunto era treinta ms veinte, l contesta: Mir, si tres ms dos es cinco, entonces treinta ms veinte tiene que ser cincuenta.

Diego (segundo grado) explica cmo ha realizado la suma 473 + 218 anotando lo siguiente:

Florencia (segundo grado), adems de seleccionar en un enunciado que incluye datos superfluos slo los datos pertinentes para dar respuesta a la pregunta, explicita el procedimiento que ha utilizado para obtener el resultado:

La tarea en el aula nos permiti descubrir que no se pasa fcilmente del procedimiento que consiste en sumar reiteradamente diez o cien al procedimiento utilizado por los ltimos chicos citados. Por qu? Seguramente porque el segundo supone una comprensin mayor del sistema de numeracin. En efecto, para descomponer cuarenta en cuatro dieces cuando se suma, por ejemplo, treinta ms cuarenta es suficiente con saber que cuarenta (como significado) incluye cuatro dieces; en cambio, para afirmar si tres ms cuatro es siete, entonces treinta ms cuarenta es setenta hace falta haber entendido adems algo fundamental en relacin con los significantes numricos: que el tres de treinta representa tres dieces y el cuatro de cuarenta se refiere a cuatro dieces.

Estos ltimos procedimientos revelan entonces que los chicos han hecho una generalizacin vlida en nuestro sistema de numeracin.

Para analizar de cerca en qu consiste esta generalizacin, apelaremos a un sealamiento de R. Skemp. Este autor hace notar que nuestro sistema de numeracin a diferencia de lo que ocurre con otros, como el romano utiliza una posibilidad fundamental que ofrecen los nmeros: si se suman por ejemplo dos objetos cualesquiera y tres objetos de la misma clase, se obtienen siempre cinco objetos de esa clase, independientemente de que los objetos en cuestin sean elementos singulares, conjuntos o conjuntos de conjuntos. As, dos medias ms tres medias son cinco medias, dos pares de medias ms tres pares de medias son cinco pares, dos docenas de pares de medias ms tres docenas de pares de medias son cinco docenas... Es por eso que la organizacin del sistema de numeracin autoriza a los chicos a hacer uso de la abstraccin 2 + 3 = 5 para deducir que dos dicces ms tres dieces son cinco dieces, o que dos cienes ms tres cienes son cinco 11 cienes. La estructura si... entonces empleada por ellos sintetiza con gran precisin relaciones cuya explicitacin suele requerir muchas lneas (como ocurre en este artculo).

Resulta evidente entonces que la bsqueda de estrategias ms econmicas para resolver las operaciones funciona como un motor para descubrir nuevas relaciones involucradas en la notacin numrica.

La confrontacin de procedimientos abre las puertas para que cada nio pueda entender o al menos comenzar a entender los que utilizan sus compaeros. Es lo que ocurre, por ejemplo, en la situacin siguiente.

Al resolver un problema que requiere sumar 50 + 70, aparecen tres procedimientos diferentes, cada uno de los cuales es utilizado por varios chicos. La maestra los anota en el pizarrn e incita a compararlos. Los procedimientos son:

70 + 10 = 80

50 + 50 = 100

70 + 50 = 120

80 + 10 = 90

100 + 20 = 120

90 + 10 = 100

100 + 10 = 110

110 + 10 = 120

Muchos alumnos dicen que el procedimiento de la derecha no est explicado, que se anot el resultado pero no se sabe cmo se lleg a l. Uno de los chicos que utiliz este ltimo procedimiento explica: 'Yo hice lo mismo que ustedes, ustedes pusieron cinco dieces, ac (sealando los de la izquierda) hay uno, dos, tres, cuatro, cinco dieces, no? Bueno, yo tambin sume cinco dieces (seala el cinco de 70 + 50), pero los sum directamente, porque cinco ms siete es doce, no?.

Al propiciar que se establezcan relaciones entre diferentes procedimientos, se hace posible lograr no slo un acercamiento entre stos, sino tambin una mayor comprensin de la naturaleza del sistema de numeracin por parte de todos los chicos tanto de los que explicitan un procedimiento muy econmico como de los que empiezan a vislumbrar la posibilidad de modificar el que utilizaban para adoptar el que sus compaeros proponen.

De este modo, la experiencia didctica ha mostrado que la bsqueda de procedimientos para resolver operaciones no es slo una aplicacin de lo que los chicos ya saben del sistema, es tambin el origen de nuevos conocimientos sobre las reglas que rigen la numeracin escrita.

Por lo tanto, habr que poner en marcha todos los recursos posibles para lograr que los chicos que cuentan (o suman) de a uno acerquen su procedimiento al de los que suman de a diez y que stos progresen hacia estrategias ms econmicas del tipo si... entonces. La bsqueda de regularidades vinculadas a las operaciones har posible estos progresos... y algo ms.

2.2. Reflexionar sobre las operaciones, descubrir leyes del sistema de numeracin

Los chicos lo hemos visto inventan algoritmos propios. Al hacerlo, ponen en juego tanto propiedades de las operaciones como conocimientos implcitos sobre el sistema de numeracin. Explicitarlos es un paso necesario para descubrir leyes que rigen el sistema.

Un procedimiento muy popular es sumar reiteradamente diez o cien. Estudiar lo que ocurre cuando se realizan estas sumas comparando el primer trmino con el resultado permite establecer regularidades referidas a lo que cambia y lo que se conserva.

En una casa de artculos para el hogar les contamos a los chicos aumentaron 10 pesos todos los precios. Esta es la lista de los precios viejos, pongamos al lado los nuevos. Cada nio resuelve la situacin planteada: mientras que algunos anotan rpidamente el resultado, otros cuentan de a uno cada vez que suman diez. Una vez que, en pequeos grupos, se confronta y se corrige, se reproduce la lista en el pizarrn. Ha llegado entonces el momento de analizar cmo se transforman los nmeros cuando se les suma diez.

Al comparar los precios originales (12, 43, 51, 82, 25, 36... por ejemplo) con los nuevos correspondientes (22, 53, 61 ... ), los chicos formulan reglas como las siguientes: Siempre que agregs diez, te queda ms; Los nmeros de adelante cambian por un nmero ms en la escalera y los de atrs siguen iguales. A lo largo del tiempo y a travs de las actividades que se realicen, esta ltima ley se ir reformulando, hasta adoptar ms o menos esta forma: E1 que cambia por el que sigue es el de los dieces, porque vos sumaste diez; el otro queda igual.

Una actividad similar puede hacerse suministrando como dato los nuevos precios y solicitando que se averigen los viejos. Las regularidades que en este caso se establecern estarn referidas, por supuesto, a las transformaciones que se producen cuando se resta diez.

Contar de a diez por ejemplo los billetes del banco y anotar lo que se va contando, armar listas de precios en nmeros redondos (los nudos de las decenas) que han aumentado o rebajado diez pesos, comparar los cambios que se producen en los nmeros cuando se suma (o se resta) uno y cuando se suma (o se resta) diez... son situaciones tiles para todos, y en particular para los que an se aferran al conteo de uno en uno.

Otra perspectiva posible para analizar la misma cuestin es la que se adopta en una actividad como la siguiente:

Los empleados de una biblioteca estaban haciendo un inventario para saber cuntos libros haba. Varios de ellos contaban los libros existentes en las diferentes secciones e iban anotando las cantidades obtenidas. Algunas de sus anotaciones eran:

PedroJuanMartaPabloRosaura

204040453

224550506

245060559

368012011569

Cmo contaba cada uno de los empleados?

- Cmo hiciste para averiguarlo?

Podramos darnos cuenta de la forma en que contaban sin calcular nada, limitndonos a observar los nmeros?

- Cmo seguirn los apuntes de cada uno de los empleados?

Esta actividad, a diferencia de las anteriores, exige que los chicos se centren en las representaciones numricas, puesto que es a partir de ellas como podrn descubrir las operaciones involucradas en cada serie.

Una tercera perspectiva puede introducirse planteando situaciones como sta:

Pablo estaba leyendo un artculo en la pgina 25 del diario. Cuando lleg al final de la pgina, se encontr con una notita que deca 'contina en la pgina 35 Cuntas pginas tuvo que pasar Pablo? Cmo te diste cuenta? Qu otros datos se podran poner en el problema sin cambiar la cantidad de pginas que Pablo tuvo que pasar para continuar leyendo el artculo?

La ltima pregunta es lo que distingue esta actividad de las anteriores: se trata ahora de producir pares de nmeros cuya diferencia es diez y ya no de inferir la transformacin operada entre nmeros dados.

Por otra parte, ser interesante proponer problemas que permitan analizar las transformaciones que se producen en las notaciones numricas al sumar o restar otras cantidades redondas. Planteamos un ejemplo:

En un videoclub que acaba de abrir hay 13 pelculas. Cada semana, los dueos compran diez pelculas ms. Cuntas tendrn a las tres semanas? Ya las ocho semanas? Ya las diez semanas?

Otro videoclub procedi de la misma manera, pero tena originalmente 38 vdeos. Cuntos tendr tres, ocho y diez semanas despus?

En un tercer videoclub, compraron tambin diez vdeos por semana y al final de la quinta semana tenan 84 vdeos. Cuntos tenan al principio?

Este problema apunta a establecer regularidades como sumar directamente treinta produce el mismo resultado que sumar tres veces diez, sumar directamente ochenta es lo mismo que sumar ocho veces diez, restar cinco veces diez da lo mismo que restar de una vez cincuenta. Al centrar la comparacin en los estados iniciales y los resultados correspondientes, ser posible establecer reglas como cuando sumo treinta, tengo que agregar tres dieces ms a los dieces que hay, si quers sumar ochenta, lo que tens que hacer es agregarle ocho dieces a los que ya tens, cuando sumamos ochenta, a veces el resultado tiene tres nmeros y a veces tiene dos. Estas leyes que formulan los chicos desembocarn en el reconocimiento general de una regularidad que haba llegado al aula de la mano de algunos nios como explicacin de uno de los procedimientos que utilizaban para resolver operaciones: Si por ejemplo uno ms ocho es nueve, entonces un diez ms ocho dieces son nueve dieces, es noventa.

La reflexin sobre los aspectos multiplicativos involucrados en la notacin numrica se hace posible tambin a partir de un juego con dados: se establece que cada punto vale diez, los chicos organizados en grupos arrojan el dado por turno y anotan el puntaje que obtuvieron.

En el desarrollo del juego, aparecen diversos procedimientos: algunos cuentan con los dedos hasta diez mientras sealan un punto del dado, luego sealan el segundo punto y siguen contando hasta veinte ... ; otros chicos cuentan de diez en diez, otros dan el resultado de inmediato sin evidenciar cmo hicieron para encontrarlo.

Despus de varios partidos, la maestra pregunta: Cuando salen cuatro puntos, ustedes qu anotan?''. Hace preguntas similares para otros nmeros que aparecieron en el juego y luego las extiende a otros casos posibles.

Maestra: Cmo se dan cuenta?

Fernanda: Y.., porque si al 8 le pongo un 0 es 80, si le agregs al 9 un 0, te queda 90, es todo lo mismo.

Maestra: Miren: si sacan 4, ustedes se dan cuenta de que es 40 (escribe los nmeros), pero qu tiene que ver el 4 con el 40?

Leo: Ac con cuatro cosas y ac cuarenta cosas.

Maestra: Pero el 40 tambin tiene un 4. Por qu hay un 4 en el 40;

Giselle: Porque ac (40) son cuatro de diez.

Miguel: Si conts de diez en diez, con cuatro de diez ya es cuarenta, por eso va 4 (en 40).

Las intervenciones de la maestra tienden a lograr que los chicos reflexionen acerca de la funcin multiplicativa de 4 en la notacin 40 (4 x 10) y la relacionen con la interpretacin aditiva de ese nmero (10 + 10 + 10 + 10).

Es as como se hace posible en esta actividad y en muchas otras utilizar la situacin de sumar o restar reiteradamente diez como va de acceso a una mayor comprensin del valor posicional.

Actividades similares a las que hemos descrito pueden proponerse en relacin con la suma o la resta de cien. En este caso, compiten dos candidatos privilegiados: los billetes y la numeracin de las calles.

Pueden plantearse, por ejemplo, problemas como los siguientes: Cuntas cuadras hay que caminar para ir de Rivadavia al 700 a Rivadavia al 1000?, y para ir del 1700 al 2000?, y del 2700 al 3000?, Martn y Pablo viven en la calle Corrientes. Martn vive al 500 y camina cuatro cuadras para llegar a la casa de Pablo; a qu altura vive Pablo?, Florencia y Lorena viven en la calle Crdoba. Para visitarse tienen que caminar diez cuadras, a qu altura de Crdoba est la casa de cada una de ellas? (encontrar por lo menos diez posibilidades) .

La comparacin de diferentes situaciones conducir a establecer regularidades tambin para el caso de los cienes a contrastarlas con las ya establecidas para los dieces, a continuar reflexionando sobre la organizacin del sistema de numeracin.

La calculadora puede contribuir a la reflexin sobre la estructura aditiva de la numeracin hablada y su vinculacin con las reglas de la numeracin escrita si se la utiliza, por ejemplo, de la siguiente manera: la maestra dicta un nmero que los nios marcan en la calculadora y luego pregunta qu hay que hacer para que aparezca un cero en lugar de alguna (o algunas) de las cifras que constituyen el nmero.

Al realizar esta actividad en un segundo grado, se dict en primer trmino 9815 y se pregunt qu orden haba que dar para que el resultado fuera 9015. Muchos restaron primero ocho, luego ochenta y slo despus ochocientos, en tanto que otros hicieron directamente la resta correcta. Cuando se discuti la cuestin en grupo, todos saban ya que haba que restar 800, puesto que las otras soluciones restar 8 o restar 80 haban sido descartadas por conducir a un resultado diferente del buscado. Cuando la maestra pidi que explicaran cmo se haban dado cuenta de que haba que restar ochocientos y no ocho u ochenta, Francisco respondi: Vos pods restar as (9815 - 15), y eso te da nueve mil ochocientos; ah ya te ayuds un poquito, no?, entonces ya sabs que son ochocientos.

Luego se dict 9268 y se pidi a los chicos que hicieran algo para obtener como resultado 9208. Nuevamente, algunos restaron primero seis y slo despus sesenta, en tanto que otros hicieron de entrada esta ltima resta. Durante la discusin, todo el mundo estaba de acuerdo en que haba que restar sesenta, pero justificarlo no era tan fcil. Francisco ofreci una explicacin inesperada: Se junta el seis que hay en el nmero que pusiste con el cero que hay que tener en el resultado y es sesenta. Tali pregunt: Pero vos cmo sabas desde antes que tenas que sacar sesenta?. Hubo dos respuestas: la de Patricio fue Porque es nueve mil doscientos sesenta y ocho, entonces tengo que sacar sesenta, no seis; la de Jenny fue Hay que sacar sesenta, porque cuando uno lee el nmero no lee ni seiscientos ni seis, lee sesenta.

Fue instructivo descubrir que los argumentos de los chicos estaban exclusivamente basados en la numeracin hablada y que ninguno de ellos ni siquiera los que en otros casos suministraban justificaciones del tipo si... entonces apelaba aqu al valor posicional. Decidimos entonces plantear otras situaciones de este tipo y, al comparar casos en que, para un mismo nmero, el cero del resultado apareca ubicado en diferentes lugares por ejemplo, determinar cules son las rdenes que hay que dar a la calculadora para transformar 6275 en 6075, 6205 y 6270, los chicos comenzaron a tomar conciencia de que en ciertos casos haba que restar cienes; en otros, dieces; en otros, unidades. La cuestin se aclar an ms cuando propusimos partir de nmeros como 4444 o 7777 y cuando comparamos muchos casos diferentes en los cuales se trataba de obtener un cero ubicado en un lugar determinado.

La calculadora es un instrumento valioso para la realizacin de estas actividades, ya que hace posible que cada chico detecte por s mismo cundo est en lo cierto y cundo se ha equivocado, autocorrija sus errores y empiece a plantearse la necesidad de buscar una regla que le permita anticipar la operacin que efectivamente permite llegar al resultado buscado.

En sntesis, reflexionar sobre la vinculacin entre las operaciones aritmticas y el sistema de numeracin conduce a formular leyes cuyo conocimiento permitir elaborar procedimientos ms econmicos. Y hace posible algo ms: preguntarse por las razones de esas regularidades, buscar respuestas en la organizacin del sistema, comenzar a develar aquello que est ms oculto en la numeracin escrita.

Instantneas del trabajo en el aula

La maestra de primer grado propone una escritura no convencional inspirada en las producidas por sus alumnos hasta muy poco tiempo antes; al elaborar argumentos para rechazarla, los chicos analizan la relacin numeracin hablada-numeracin escrita (para los nmeros comprendidos entre diez y veinte).

En una situacin incidental, surge la necesidad de anotar el nmero diecinueve. Micaela pasa al pizarrn y lo escribe convencionalmente.

Maestra: Qu les parece?, es as el diecinueve?

Nios: (asienten).

Maestra: A m me contaron unos nenes de otra escuela que se podra escribir as: 109. A ustedes qu les parece?

Romn: A m me parece que ese nmero es del cien...

Juan Alberto- No!, se no es! No te das cuenta de que el diecinueve es el otro? No te das cuenta de que decs diez y nueve?

Maestra: Pero, dnde est el diez aqu? (seala 19).

Gusty: No est en ninguna parte.

Vero- S! est abajo del nueve.

Romn: El uno significa diez, lo que pasa es que no pods escribir un 10 a cada nmero porque... Sera cualquier cosa!

Maestra: Y en el diecisiete? (Lo escribe en el pizarrn de manera convencional.)

Juan Alberto: Lo que yo te digo pasa con todos los nmeros: con el diecisis, con el diecisiete, el dieciocho, el diecinueve...

Diego- Cuando vos decs diecisiete suena un poco diez y siete, pero no se escribe el diez y el siete.

Mara: Pero..., no decimos diez y siete (lo dice acentuando la separacin), lo decimos todo junto.

Maestra: Y con el quince sucede igual que con el diecisis, el diez y siete...

Vero: S, porque si le sacs cinco, quedan diez.

La maestra aporta un contraejemplo; los chicos se ven obligados a precisar sus afirmaciones.

Alguien escribi 35, todos lo interpretaron correctamente.

Maestra: Cmo se dan cuenta de que es el treinta y cinco?

Un alumno: Porque empieza con tres.

Otro nio: Porque cuando digo treinta y cinco, s que empieza con tres... tres... treinnn... treinta.

Otro nio: Porque diez y diez y diez son treinta, hay tres de diez.

La maestra escribe entonces 366 en el pizarrn y pregunta:

Maestra: Y este nmero cul es:! Tambin empieza con tres.

Un chico: No, se no es de los treinta aunque empiece con tres. Es de la familia de los cien porque tiene tres nmeros, pero no s...

La maestra pone en duda las afirmaciones correctas de sus alumnos, stos responden explicitando ms claramente lo que saben acerca del sistema.

Los chicos de segundo grado dictan ciento treinta y tres y dicen: Es con un uno, un tres y un tres.

Maestra: Cmo?, con dos tres?

Un nio: Bueno, es que los dos son el nmero tres, pero valen diferente.

Maestra: Cmo puede ser que el mismo nmero valga diferente? Cmo vamos a entender as?

Otro nio: Mir, los nmeros son siempre el tres, pero hay distintos tres. Anot as: tres, tres, tres. Es el trescientos treinta y tres, no? Hay un tres que es tres, el segundo que es treinta y el otro es tres de ciento.

Maestra: Siempre pasa as?

Otro alumno: S... Con el 555 tambin, el del medio es cincuenta.

Maestra: Yo no veo ningn cincuenta ah.

Varios- No!, porque est el otro cinco! Si no est, le pons cero;

pero si est el cinco es cincuenta y cinco.

Dos observaciones son necesarias acerca del conjunto de actividades que hemos propuesto.

En primer lugar, las situaciones relacionadas con el orden y las vinculadas a las operaciones se van desarrollando de forma simultnea, ya que la decisin de poner en primer plano en el aula el funcionamiento del sistema de numeracin as lo exige. Cada categora de situaciones constituye un mbito en el cual se pone de relieve algn aspecto particular de la numeracin escrita. Los aprendizajes que se realizan en estos diferentes mbitos van conformando una trama a partir de la cual los chicos organizan y reorganizan su conocimiento acerca del sistema. Optar por abordar en el aula el sistema de numeracin en toda su complejidad significa tambin enfrentar un alto grado de complejidad didctica.

En segundo lugar, existe un parentesco entre algunas de las situaciones propuestas y actividades muy tradicionales en la escuela: llenar cheques supone escribir cantidades en nmeros y en palabras, descomponer los trminos para sumar o restar lleva a producir escrituras (como 386 = 300 + 80 + 6) que evocan los ejercicios de descomposicin, dictar nmeros se parece mucho... al dictado de nmeros (!).

Sin embargo, el parentesco no es tan cercano. Cuando se trata de llenar cheques, el pasaje de las cifras a la escritura con palabras (o viceversa) aparece en el marco de una situacin donde cobra sentido: por una parte, el soporte utilizado requiere efectivamente para evitar ambigedades la doble escritura del nmero; por otra parte, la actividad se orienta hacia la discusin de las producciones o interpretaciones realizadas por los chicos. Hacia este ltimo objetivo apuntamos tambin al dictar nmeros: lo esperado es que las producciones reflejen diferentes conceptualizaciones y constituyan por lo tanto el punto de partida para la confrontacin, para el intercambio de informacin, para el acercamiento progresivo a la escritura convencional. Finalmente, la descomposicin decimal de nmeros lejos de constituir la consigna alrededor de la cual se organiza la actividad es una herramienta que los chicos elaboran para resolver ciertos problemas.

Lo que importa entonces no es que una actividad est catalogada como tradicional o innovadora; lo que importa es que las propuestas de trabajo renan ciertas condiciones: partir de los problemas que plantea el uso de la numeracin escrita, contemplar diferentes procedimientos, admitir diferentes respuestas, generar algn aprendizaje sobre el sistema en todos los miembros del grupo, favorecer el debate y la circulacin de informacin, garantizar la interaccin con la numeracin escrita convencional, propiciar una autonoma creciente en la bsqueda de informacin, acercar en la medida de lo posible el uso escolar al uso social de la notacin numrica.

Intercambiar mensajes

A partir de los cheques, se deriva otra actividad: mientras un grupito hace una lista de nmeros escritos con cifras, otro hace su lista escribiendo con palabras los nombres de los nmeros. Luego, intercambian sus mensajes: el grupo que recibe nmeros escritos con cifras debe anotar el nombre de cada uno, el que recibe los nombres debe anotar en cifras los nmeros correspondientes.

Resulta sugestiva la diferencia existente entre los nmeros elegidos por los chicos de l grado y los propuestos por los de segundo:

Preguntas otra vez

Haba que encontrar una respuesta, sealamos al comenzar este artculo. Ahora, muy cerca del final, se hacen presentes las nuevas preguntas. Nuestro propio juego de preguntas y respuestas nos alienta a seguir indagando.

Si la diversidad es tan marcada ya no de un grupo a otro, sino dentro de cada grupo, cmo establecer lmites que tengan validez general entre el trabajo que se realiza en primer grado y el que se lleva a cabo en segundo o en tercero?, cmo definir cules son los saberes que se consideran patrimonio de todos en un momento dado?, qu otras estrategias implementar para ayudar a los nios a abandonar procedimientos poco econmicos y progresar hacia aquellos que suponen conceptualizaciones ms profundas?

Sabemos que haber establecido regularidades en el sistema es una condicin necesaria para que resulte significativo interrogarse acerca de las razones que las fundamentan. Podr establecerse una relacin como sta entre otras adquisiciones?, cules?

Los chicos encontraron leyes que no habamos previsto, habr otras cuyo descubrimiento podra contribuir al progreso de la conceptualizacin Qu nuevos problemas es necesario incluir en nuestra propuesta para garantizar que los chicos transiten con xito hacia la comprensin del sistema?

Las preguntas nos llevan otra vez al aula. Porque aprendemos al compartir el trabajo con maestros y chicos, enfrentaremos el desafo de seguir buscando. Cuando encontremos alguna respuesta tendr sentido emprender el prximo captulo.

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10 Si se trata por ejemplo- de sumar 33 y 35, un procedimiento posible sera: 80 + 10 = 90; 90 + 10 = 100; 100 + 10 = 110; 110 + 8 = 118.

11 Ntese que es necesario elegir los nmeros de tal modo que efectivamente permitan movilizar los criterios en cuestin.

12 Los llamamos as porque, si bien no renen todas las condiciones de los proyectos, cumplen algunas que resultan esenciales: dan lugar a mltiples actividades que se organizan alrededor de un eje comn y se desarrollan durante un perodo ms o menos prolongado (alrededor de dos o tres meses).

13 Citamos aqu, entre las muchas intervenciones posibles, slo aquellas que se relacionan con el sistema de numeracin.