reconstrucciÓn de imÁgenes borrosas mediante la inversa …
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RECONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES BORROSAS MEDIANTE LA INVERSA MOORE-PENROSEGABRIEL KANTÚN MONTIELBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
LAURA LIZETH LUNA MARTÍNEZUNIVERSIDAD DEL PAPALOAPAN
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𝐴𝑥 = 𝑦
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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𝐴𝑥 = 𝑦Si 𝐴 es invertible,
𝑥 = 𝐴−1 𝑦
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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Si 𝐴 no es invertible,
Sea𝐴𝑝×𝑞 =
𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
De forma que 𝐴11 es una matriz de orden 𝑟 × 𝑟 y rango 𝑟
Tomemos𝐺𝑞×𝑝 =
𝐴11−1 00 0
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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Inversa Moore-Penrose
• 𝐴𝐺𝐴 = 𝐴• 𝐺𝐴𝐺 = 𝐺• 𝐴𝐺 𝑡 = 𝐴𝐺• 𝐺𝐴 𝑡 = 𝐺𝐴
Es única.
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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E.H. Moore (1862 – 1932) R. Penrose (1931 - )
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La solución general del sistema de ecuaciones
𝐴𝑥 = 𝑏Está dado por
𝑥 = 𝐺𝑏 + 𝐼 − 𝐺𝐴 𝑧Donde 𝑧 es arbitrario.
INVERSAS GENERALIZADAS
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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INVERSAS GENERALIZADAS
• Cadenas de Markov.
• Redes.
• Sistemas de ecuaciones diferenciales singulares.
• Ecuaciones algebraico-diferenciales.
• Procesamiendo de imágenes.
Problema general
Descomposición matricial
Inversa Moore-Penrose
Solución general
Aplicaciones
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Una imagen se almacena como una matriz.DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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Algunos problemas:
• Reconocimiento.
• Mejoras a la imagen.
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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Cámara en movimiento. DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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Modelo teórico
Dada la imagen
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
El difuminado lineal de amplitud ℎestá dado por
𝑎𝑖𝑗 =𝑎𝑖𝑗
ℎ+𝑎𝑖 𝑗+1
ℎ+⋯+
𝑎𝑗+ℎ
ℎ
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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Problema𝐻𝑥𝑖𝑛 = 𝑥𝑜𝑢𝑡
𝑥𝑜𝑢𝑡 𝑖, 𝑗 =1
ℎ
𝑘=0
ℎ−1
𝑥𝑖𝑛(𝑖, 𝑗 + 𝑘)
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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Problema𝐻𝑥𝑖𝑛 = 𝑥𝑜𝑢𝑡
Solución𝑥𝑖𝑛 = 𝐻†𝑥𝑜𝑢𝑡
DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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El gato “Chicharito”DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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DIFUMINADO LINEAL
Imágenes digitales
Problema
Modelo teórico
Solución
Ejemplo
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REFERENCIAS
Predrag Stanimirovic, Igor Stojanovic, DimitriosPappas, Spiros Chountasis, Zoran Zdravev. On Removing Blur in Images Using Least Squares Solutions. Filomat 30:14 (2016), 3855–3866.
Spiros Chountasis, Vasilios N. Katsikis, and DimitriosPappas. Applications of the Moore-Penrose Inverse in Digital Image Restoration. Mathematical Problems in Engineering ( 2009)
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Gracias