Área de polígonos y teorema de Pitágoras  

Objetivos 

● Ejercitar el cálculo de áreas de polígonos diversos, sin usar fórmulas distintas a                         la del área del cuadrado, el rectángulo y el triángulo 

● Discutir las alturas de un triángulo, aprender a identificarlas y relacionarlas con el                         área de un triángulo 

● Descubrir el Teorema de Pitágoras e ilustrar ejemplos de su uso 

Reunase con otros tres compañeros y juntos hagan las siguientes actividades: 

Actividad 1 

Usando como unidad de medida el tamaño de la superficie de uno de los cuadrados de                               la cuadrícula, determinar el área de cada uno de los siguientes triángulos 

  

   

 

 

Actividad 2 

Determine el área de los siguientes polígonos, usando como unidad de medida la                         superficie de uno de los cuadrados pequeños de la cuadrícula . 

   

Junto con el resto del grupo y con el conductor de la sesión discutan las diferentes                               estrategias que siguieron para resolver las dos actividades anteriores. 

● ¿En todos los equipos se llegó al mismo resultado? 

● ¿Todos los equipos siguieron la misma estrategia? 

● ¿Hay alguna estrategia más precisa que las demás? 

     

 

 

Actividad 3 

Recorten un triángulo cualquiera de papel. 

Para encontrar su área usando como unidad de medida el área de uno de los                             cuadrados de la figura anterior pueden: 

1. Recortar el triángulo y reacomodar las partes para obtener alguna figura de la                         que ya sepan calcular el área. 

2. Hacer una o varias copias del triángulo para junto con el formar una figura de la                               que sepan calcular el área. 

3. Utilizar una hoja cuadriculada. 

O cualquier otra estrategia que se les ocurra. 

Después de abordar la actividad anterior discutan en grupo las diferentes estrategias                       que siguieron los equipos y otras que han surgido en otros cursos. 

Y relacionen la discusión con la fórmula convencional para obtener el área de un                           triángulo y cómo podría llegarse a las fórmulas convencionales para otros polígonos. 

 Comentarios sobre las actividades 

Calcular el área de triángulos rectángulos es sencillo, pues todo triángulo rectángulo es                         la mitad de un cuadrado o de un rectángulo. 

Por ejemplo, el triángulo A es la mitad de un cuadrado cuya superficie mide4 unidades                               cuadradas y, en consecuencia, la superficie de este triángulo mide 2 unidades                       cuadradas. 

El B, es la mitad de un rectángulo cuya superficie mide6 unidades cuadradas, y por lo                                 tanto su superficie mide 3 unidades cuadradas. 

En el triángulo C, una posibilidad para calcular el área es observar que es parte de un                                 triángulo rectángulo de área 5 (porque dicho triángulo rectángulo es la mitad de un                           

 

 

rectángulo de área 10) y que dicho triángulo rectángulo está formado por dos                         triángulos: uno de ellos es el triángulo C, y el otro un triángulo rectángulo cuya área es                                 3 (porque es la mitad de un rectángulo de área 6). En consecuencia, la superficie del                               triángulo C mide 2 unidades cuadradas. 

 

Con un procedimiento análogo, puede determinarse que la superficie del triángulo D                       mide 4 unidades cuadradas y, la del E, 3. 

Y También de manera análoga pueden determinarse las áreas de los polígonos de la                           actividad  

Un error común 

Tal y como se les enseña a los niños de primaria, el área de un triángulo puede                                 calcularse multiplicando la longitud de la base por la altura y dividiendo entre dos al                             número obtenido. Esto es cierto, pero para calcular el área de un triángulo mediante                           este procedimiento, es necesario saber qué significan los términos base y altura                       cuando están referidos a un triángulo. 

Un error común, es suponer que en un triángulo, el lado llamado base es horizontal. Y                               esto es falso, pues, para empezar, cualquier triángulo puede colocarse de modo que                         ninguno de los tres lados sea horizontal, y eso no significa que ninguno de ellos sea la                                 base. 

 

 

En todos los triángulos, Cualquiera de los tres lados puede ser considerado base,                         independientemente de si el lado en cuestión está en posición horizontal, vertical o                         inclinada. 

Sin embargo, suele suceder que cuando a los niños se les presenta un triángulo como                             el de la siguiente ilustración, colocado en la posición número 1, cometan errores como                           suponer que "no tiene base". 

 

Y si el mismo triángulo se les presenta colocado en la posición número2, creen que la                                 base es el lado A y que los otros dos no lo son. Pero si se les presenta en la posición                                         número 3 creen que la base es el ladoB y que los otros dos no lo son, y, en el caso de                                             la posición 4, creen que la base es el lado C y no alguno de los otros dos. 

Esto sucede porque al niño rara vez se le informa que en los triángulos,cualquiera de                               los tres lados puede ser considerado base. Y tampoco se le informa que como                           cualquiera de los tres lados puede ser la "base" entonces todo triángulo tiene tres                           alturas. 

   

 

 

 

Los niños suelen suponer que un triángulo tiene solamente una altura y no tres y, por lo                                 general pueden identificar, cuando el triángulo en cuestión se les presenta en las                         posiciones 2, 3 o 4 de la siguiente ilustración, que la altura en cuestión es la longitud                                 del segmento de recta que, en cada uno de los casos, se presenta con línea punteada. 

En dicha ilustración, el triángulo es el mismo en los tres casos, pero colocado en                             distintas posiciones, y como cualquiera de los tres segmentos punteados es la altura,                         tiene tres alturas, cada una de longitud distinta a la de las otras dos. Pero el niño                                 comete el error de suponer que sólo una de ellas la altura del triángulo. 

Y la situación empeora cuando el mismo triángulo se le presenta de modo que ningún                             lado sea horizontal, pues en ese caso al niño no sólo se le dificulta identificar a dos de                                   las tres alturas, sino a las tres. 

En cualquier triángulo, si llamamos a los lados, lado A, lado B y lado C, 

● Una de las alturas (la correspondiente al lado A), es el segmento de recta                           Perpendicular al lado A, que uno de sus puntos extremos es el vértice del                           triángulo opuesto al lado A, y el otro es el punto en el que el segmento                               perpendicular corta al lado A o a su prolongación. 

 

 

 

● Otra (la correspondiente al lado B), es el segmento de rectaPerpendicular al                         lado B, en el que uno de sus puntos extremos es el vértice del triángulo opuesto                               al lado B, y el otro es el punto en el que el segmento perpendicular corta al lado                                   B o a su prolongación. 

            

● La otra (correspondiente al lado C) es el segmento de rectaPerpendicular al                         lado C, en el que uno de sus puntos extremos es el vértice del triángulo opuesto                               al lado C, y el otro es el punto en el que el segmento perpendicular corta al lado                                   C o a su prolongación. 

Y cuando se desea aplicar la fórmula"base por altura entre dos" para calcular el área                               de un triángulo, podemos llamar base al lado A, multiplicar su longitud por la altura del                               triángulo que es perpendicular al lado A, y dividir entre dos al número obtenido. Pero                             también podríamos llamar base al lado B, multiplicar su longitud por la altura del                           triángulo que es perpendicular al ladoB y dividir entre dos al número obtenido, o llamar                               base al lado C y multiplicar su longitud por la altura del triángulo que es perpendicular                               al lado C y dividir entre dos al número obtenido. En los tres casos, obtenemos el mismo                                 resultado.    

 

 

El área de los polígonos 

Calcule el área de los siguientes cuadrados, mediante el procedimiento consistente en                       dividir a cada uno en partes cuya área sea fácilmente calculable. 

 

La superficie del polígono del ejercicio A mide 9 unidades cuadradas, y hay muchos                           posibles procedimientos para calcular su tamaño. Uno de ellos es dividir al polígono                         como se muestra a continuación: 

     

 

 

Pues si se divide de este modo, calcular el área de cada triángulo mediante la fórmula                               "base por altura entre dos" se facilita siempre y cuando en cada caso se elija como                               base del triángulo a uno de los lados del triángulo que mida una cantidad entera de                               unidades lineales. Pues eligiendo como base a dicho lado, la longitud de la                         correspondiente altura (que es la del segmento perpendicular al lado elegido como                       base, en el que los extremos son el vértice del triángulo opuesto a la base, y el punto                                   en el que el segmento perpendicular toca a la base o a su prolongación) resulta ser                               también un número entero de unidades de unidades lineales. 

En el caso de los cuadrados del ejercicio B, una posibilidad para calcular su área es                               dividirlos como se muestra a continuación:  

 

Como el primer cuadrado está formado por cuatro triángulos, cada uno de área 2, el                             área de este cuadrado es 8 unidades cuadradas. 

El segundo, está formado por un cuadrado de área 1 y cuatro triángulos, cada uno de                               área 3. En consecuencia, el área del segundo cuadrado es 13 unidades cuadradas. 

A las figuras planas y cerradas en las que los lados son rectos, se les llama polígonos.                                 Y cualquier polígono siempre puede dividirse en varias parias partes, de modo que                         cada una sea un triángulo. 

 

 

En consecuencia, quien sabe calcular el área de los triángulos puede calcular la de                           cualquier otro polígono, mediante el procedimiento consistente en dividir al polígono en                       cuestión en triángulos, y calculando por separado el área de cada uno de los triángulos. 

Actividad 4 

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de los ángulos es recto. Al lado                                 opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa, y a los lados que forman el ángulo                               recto se les llama catetos. 

 

Tracen un triángulo rectángulo cualquiera, hacer tres copias iguales de él en papel de                           color y recorten, llamen a y b a los catetos y c y a la hipotenusa.   Tracen en una hoja blanca, un cuadrado que tenga lado igual a la suma de los catetos                                 (a + b). 

1. Coloquen sobre el cuadrado los cuatro triángulos que recortaron de manera que                       lo que quede sin tapar por los triángulos sea un cuadrado. 

2. Ahora redistribuir los triángulos dentro del cuadrado de manera que lo que                       quede sin tapar sean dos cuadrados. 

● ¿Cómo es la suma de las áreas de estos dos cuadrados en relación al área del                               cuadrado que formaron antes? 

● ¿Por qué? 

Escriban una ecuación en términos de a, b y c que exprese la conclusión a la que                                 llegaron. 

 

 

El teorema de Pitágoras afirma lo siguiente:“En un triángulo rectángulo el área del                           cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los                             cuadrados construidos sobre los catetos”. Encuentren una relación entre la                   conclusión a la que llegaron con la actividad anterior y el Teorema de Pitágoras. 

Discuta con sus compañeros y con el conductor de la sesión¿cómo se relacionan las                             áreas de los cuadrados construidos sobre cada uno de los lados de un triángulo                           si este no es un triángulo rectángulo?  Ampliando el panorama 

A los polígonos de cuatro lados se les llamacuadriláteros. Y a los cuadriláteros en los                               que cada lado es paralelo a su opuesto se les llama paralelogramos. 

Si en un paralelogramo uno de los ángulos interiores es recto, los otros tres también lo                               son. Esto ocasiona que al clasificar a los paralelogramos de acuerdo a las                         características de sus ángulos, sólo haya dos tipos de paralelogramos: aquellos en los                         que los cuatro ángulos interiores son rectos, y aquellos en los que ninguno de los                             ángulos interiores es recto. 

A los primeros se les llama rectángulos y a los segundosromboides. Los cuadrados,                           son los rectángulos en los que los cuatro lados son del mismo tamaño. Y los rombos                               son los romboides en los que los que los cuatro lados son del mismo tamaño. 

En cualquier paralelogramo, el área (tamaño de su superficie) puede obtenerse                     multiplicando la longitud de cualquiera de sus lados por la distancia entre ese lado y el                               paralelo a él. 

Para aplicar este procedimiento, hay que tener claro que, como se mencionó en la                           sesión anterior, la distancia entre dos rectas paralelas es la longitud de un segmento de                             recta Perpendicular a ellas, que inicia en un punto de una de las rectas y termina en                                 un punto de la otra. En consecuencia, en un paralelogramo, la distancia entre un lado y                               el paralelo a él es la longitud de un segmento de recta perpendicular a ellos, que inicia                                 en un punto de uno de ellos y termina en un punto del otro o de su prolongación. 

 

 

Por ejemplo, en el siguiente rombo, la distancia entre el lado A y el paralelo a él no es                                     la longitud del segmento PQ (pues dicho segmento no es perpendicular al lado A y al                               paralelo a él) sino la del segmento PR, pues dicho segmento sí es perpendicular al                             lado A y al paralelo a él. Y para calcular el área del rombo, basta multiplicar la longitud                                   del lado A por la del segmento PR  

   

Análogamente, en el siguiente romboide, la distancia entre el lado A y el paralelo a él                               es la longitud del segmento PR, que es perpendicular al lado A y al paralelo a él. Y                                   para calcular el área del romboide, podríamos multiplicar la longitud del lado A por la                             del segmento PR  

  

 

   

 

 

Consideraciones pedagógicas 1. El área de los triángulos 

Algunos maestros consideran que para que el niño pueda calcular el área de un                           triángulo, basta con que conozca la correspondiente fórmula. Es decir, suponen que                       basta con que sepa que el área de cualquier triángulo puede calcularse multiplicando la                           longitud de la base por la de la altura y dividiendo entre 2 el resultado de esta                                 multiplicación. 

Y para evaluar si el niño aprendió o no a calcular el área de los triángulos, suelen                                 plantear preguntas como ¿Cuál es el área de un triángulo en el que la base mide 3                                 cm y la altura mide 4 cm?, suponiendo que quienes la contestan correctamente                         porque conocen la fórmula "base por altura entre 2" y la aplicaron correctamente para                           obtener que el área del triángulo en cuestión es 6 centímetros cuadrados, saben                         entonces calcular el área de los triángulos. 

 

Sin embargo, esta suposición generalmente es falsa, pues con frecuencia sucede que                       si a los niños que pueden contestar bien preguntas como la mencionada, se les                           presenta un triángulo como el siguiente y se les pide calcular su área usando la fórmula                               en cuestión, son incapaces de calcularla aún cuando sepan que para ello bastaría                         medir la longitud de la base y la correspondiente altura, multiplicarlas, y dividir entre 2                             el resultado de la multiplicación. Y esto lo que nos demuestra es que el hecho de que                                 alguien sepa cuál es la fórmula para calcular el área de los triángulos, no siempre                             significa que sabe calcular el área de los triángulos. 

Conviene entonces preguntarse qué es lo que ocasiona que quienes saben que para                         calcular el área de cualquier triángulo, basta con medir la longitud de la base y la                               

 

 

correspondiente altura, multiplicarlas y dividir entre 2 el resultado de la multiplicación,                       no pueden hacerlo. La respuesta a esta pregunta es que en muchos de los casos,                             quienes no pueden hacerlo no es porque no sepan medir longitudes, ni porque no                           sepan multiplicar, ni porque no sepan dividir entre 2, sino, simplemente, porque no                         saben cuál es la base ni cuál la correspondiente altura. 

Dicho de otro modo, aprender la fórmula "base por altura entre dos" para calcular el                             área de los triángulos, es quizás una ociosidad si quien la aprende no sabe que el                               término base se usa para designar a uno de los lados del triángulo (cualquiera de los                               tres), y que la altura es la longitud del segmento de recta que es perpendicular al lado                                 elegido como base o a la prolongación de dicho lado, y que inicia en el vértice del                                 triángulo opuesto al lado elegido como base y termina en el punto en el que corta al                                 lado elegido como base o a su prolongación. 

Es por ello que actualmente la mayoría de los programas de educación primaria                         solicitan que los niños aprendan que los triángulos tienen tres alturas y que sepan                           identificarlas y trazarlas. 

2. El área de los polígonos 

Hasta antes de la década de los noventas, el trabajo que solía se hacer en la primaria                                 en relación con el cálculo de áreas de polígonos de más de tres lados, se caracterizaba                               por limitarse a enseñar al niño fórmulas para calcular el área de algunos de ellos (por                               ejemplo, la de los polígonos regulares y la del rombo, el romboide y el trapecio),                             privilegiando la memorización de las mismas y su aplicación mecánica. 

Esta situación, al margen de propiciar que a muchos niños no les quedará claro qué es                               el área, impedía utilizar el trabajo en torno a medición del tamaño de las superficies                             para favorecer el desarrollo de la imaginación geométrica. Pues en lugar de propiciar                         que el niño determinará el área de polígonos diversos con procedimientos tales como                         idear cómo puede partir el polígono que se le presenta en figuras cuya área sea                             fácilmente calculable, lo que se pretendía era que se memorizara y se aplicara una                           determinada fórmula para cada tipo de polígono. 

Es por eso que ahora se pretende que en quinto y sexto de primaria, el niño sea capaz                                   de determinar el área de cualquier polígono sin necesidad de utilizar para ello alguna                           

 

 

fórmula distinta a la del área del cuadrado, el rectángulo y el triángulo, sino mediante el                               procedimiento consistente en dividir al polígono en cuestión en cuadrados, rectángulos                     y triángulos. 

3. El teorema de Pitágoras 

En los programas de primaria no está contemplado trabajar con el teorema de                         Pitágoras. Sin embargo, conviene que el maestro de primaria esté enterado de esta                         importante propiedad de los triángulos rectángulos pues, entre otras cosas, le facilita                       diseñar actividades para sus alumnos. 

Por ejemplo, si al diseñar actividades para cálculo de áreas en el geoplano o usando                             papel cuadriculado, desea trabajar con un cuadrado cuyos lados no sean verticales ni                         horizontales, pero en el que el área sea una cantidad entera de unidades cuadradas y                             esta pueda ser determinada por los niños partiendo al cuadrado en cuestión en                         cuadrados, rectángulos o triángulos rectángulos, para obtener este cuadrado bastaría: 

● Construir en el geoplano (o dibujar sobre papel cuadriculado) cualquier triángulo                     rectángulo en el que un cateto sea vertical y otro horizontal, y en el que la                               longitud de cada cateto sea una cantidad entera de unidades lineales. Por                       ejemplo, uno en el que un cateto mida 2 unidades lineales y otro que mida 4                               unidades lineales. 

● Construir o dibujar el cuadrado en el que un lado es la hipotenusa del triángulo, y                               posteriormente borrar el triángulo rectángulo que se usó para trazarlo. 

   

 

 

Lo que se obtiene entonces es un cuadrado cuya superficie mide 20 unidades lineales                           (porque si uno de los catetos del triángulo usado para dibujarlo media 2 unidades                           lineales y el otro cateto media 4, las áreas de los cuadrados construidos sobre estos                             catetos son, respectivamente 4 y 16). Y esta superficie podría ser calculada por el niño                             si se propicia que descubra que puede dividir al cuadrado como se muestra en la                             ilustración: 

   

gracias al teorema de Pitágoras, podemos saber que no es posible dar una medida                           arbitraria para el apotema de un hexágono, para la altura de un triángulo equilátero,                           para la de un triángulo isósceles, etcétera. Pues si conocemos el tamaño de los lados                             de las figuras anteriores, las otras medidas (la apotema y la altura) quedan                         determinadas. 

Tarea para la siguiente sesión:  

Para hacer los siguientes ejercicios use la superficie de uno de los cuadrados de la                             cuadrícula como unidad de medida de superficie y, como unidad de medida de longitud,                           la longitud de uno de los lados de dichos cuadrados. 

 

 

 

 

1. Determine cuánto mide la superficie de cada uno de los siguientes triángulos. 

 

2. Determine cuánto mide la superficie de los siguientes polígonos (nota: en el                       octágono, el vértice señalado con una flecha está sobre uno de los lados de un                             cuadrado de la cuadrícula, pero no es el punto medio de dicho lado). 

 

 

 

 

3. Encuentre el perímetro del siguiente polígono: 

 

4. Dibuje las tres alturas de cada uno de los siguientes triángulos: