rdem capitulo v corte en vigas flexionadas

UTN FRC Ctedra: Esttica y resistencia de materiales Corte en vigas flexionadas

Por Nolberto Lanari, profesor UTN Pgina 1 de 17

CAPITULO V

CORTE EN VIGAS FLEXIONADAS

5.1. Introduccin.

El esfuerzo de corte actuante sobre una viga solicitada a flexin, es la resultante de todas las fuerzas proyectada tangente a una seccin considerada, o sea en direccin perpendicular al eje de la viga.

En corte puro actan solamente tensiones tangenciales producidas por fuerzas cortantes, siendo las tensiones normales nulas. En las vigas flexionadas generalmente estas fuerzas cortantes T van acompaadas de momentos flectores, en estos casos se denominan corte simple. En adelante siempre consideraremos que las deformaciones de las secciones se encuentran dentro del rango elstico.

5.2. Tensiones cortantes en seccin rectangular.

Consideremos un tramo elemental de una barra de seccin transversal rectangular solicitada a flexin simple entre dos secciones simtricas s1 y s2, donde el esfuerzo de corte es constante y coincidente con el eje de solicitacin y (Fig. 5.1a).

T

T

F

F F

.

M M dMx x

dx dx b

c

dAy

z (+)

y (+)

a) b) c)

s1 s2

1 2

dx b

2

1

1

z (+)x (+)

y (+)

d)

Fig. 5.1

De las condiciones de equilibrio de momento entre las dos secciones, particularizado para el sistema de ejes de coordenadas adoptado, resulta:

dMz = Ty.dx (5.1)

La tensin longitudinal por flexin en ambas secciones (Fig. 5.1b), valdr:

z1

z

M .yI

= z z2z

M dM yI+

= (5.2)



Si sobre la seccin transversal consideramos un elemento de rea (rayada) a una distancia y del eje neutro, identificando un dA en dicha rea (Fig. 5.1c), la resultante de las fuerzas normales sobre las secciones 1 y 2 del elemento tomando en cuenta la (5.2), sern:

z1 1

zA A

MF .dA y.dAI

= =

z z z z2 2

z z zA A A A

M dM M dMF .dA y.dA y.dA y.dAI I I+

= = = +

Como F2 F1 y de sentido contrario, de la suma de ambas resulta una fuerza diferencial:

z

zA

dMdF y.dAI

=

Considerando el momento flector constante en el largo dx, por (5.1) obtenemos:

y

z A

T dxdF y.dA

I=

La integral de esta expresin es el momento esttico Sn del rea (rayada) respecto al eje neutro, o sea del rea de la seccin que se encuentra por arriba de la fibra transversal a una distancia y del eje neutro. Entonces la expresin anterior, queda:

y n

z

T .dx.SdF

I=

Esta fuerza cortante denominada fuerza rasante, se distribuye sobre la cara inferior del elemento de rea b.dx (se representa separado para mejor interpretacin), generando tensiones tangenciales horizontales (Fig. 5.1d). Admitiendo una distribucin uniforme de estas tensiones sobre el ancho b de la seccin, tenemos:

y n

z

T .dx.S.b.dx

I=

de donde

y n

z

T .Sb.I

= (5.3)

Frmula denominada del cortante o de Jourawski (transliterado ruso, Dimitrii Ivanovich Zhurayskii, ingeniero ruso 1821-1891). Esta formula nos permite calcular la magnitud de las tensiones tangenciales que aparecen en una seccin longitudinal horizontal de la barra y que ser igual por reciprocidad a las tensiones tangenciales actuando en la seccin transversal, o sea = xy = yx. El estudio de las tensiones tangenciales por la teora de la elasticidad muestra en este caso que no es constante a lo ancho del eje neutro, sino que es mxima en los puntos



..

hh

Ph

h

n n

P

2h.extremos, no obstante la aproximacin es suficiente siempre que la viga sea ms alta que ancha.

El flujo de corte resulta:

y nx

z

T .S.b R

I = = o y n

z

T .SdF Rdx I

= = (5.4)

Esta fuerza R se denomina fuerza rasante, se distribuye sobre el ancho b de la seccin y se mide en unidad de fuerza sobre unidad de longitud.

Si el momento flector en ambas secciones es el mismo, estamos en presencia de flexin pura, no habr esfuerzos cortantes y la fuerza rasante es nula. El elemento se encuentra en equilibrio por las tensiones normales producidas por flexin.

El momento esttico Sn de la expresin (5.3) disminuye hasta hacerse cero a medida que crece el valor de y acercndose al borde superior de la seccin, lo mismo ocurre para el borde inferior, Sn aumenta a medida que disminuye y, hasta hacerse mximo para y = 0, o sea respecto al eje neutro de la seccin.

La importancia de los esfuerzos rasantes se pone en evidencia con dos vigas iguales de seccin rectangular, apoyada una sobre otra y sustentadas en los extremos, lubricando la interfase n-n y cargando el conjunto con fuerzas transversales cualesquiera (Fig. 5.2).

Si no hay rozamiento entre las vigas, ambas flexionarn independientemente una de otra y las fibras inferiores de la viga superior que estarn traccionadas deslizarn sobre las fibras superiores de la viga inferior que estarn comprimidas. Se comportaran como dos vigas independientes y el mdulo resistente a flexin del conjunto, vale:

Fig. 5.2

2 2 2b.h b.h b.hW6 6 3

= + =

Si en cambio ambas vigas forman una sola pieza de seccin b x 2h, unidas a travs de cola, chavetas o pernos que impidan el desplazamiento en la interfase, o sea que se comportara como un conjunto monoltico, el modulo resistente ser:

2 2b(2h) 2b.hW6 3

= =

O sea mayor que las dos vigas apoyadas entre si que flexionan en forma independiente una de otra, en nuestro caso el doble.



x (+)

y (+)

xy max

z (+)

Los elementos de unin que se impida el desplazamiento en la interfase, debern soportar las tensiones rasantes R que se generaran por el esfuerzo cortante T.

En resumen, para la seccin rectangular, resulta:

22

n

A

b hS y.dA y2 4

= =

2

mxb.hS

8=

3b.hI12

=

22n

3T.S 6T h yb.I b.h 4

= =

mx

3 T2 b.h

=

El diagrama de tensiones es una parbola cuadrtica que se hace mximo cuando y = 0 y nulo cuando y = h/2.

Convencin de signo. Segn la cara que analicemos, el esfuerzo de corte tiene un sentido u otro (accin y reaccin). Para diferenciarlas, consideramos positivas las tensiones de corte que actan sobre una cara cuyo eje normal tiene sentido positivo, y el sentido de es positivo respecto a la direccin positiva de su eje. En nuestro caso xy acta en la cara cuyo eje normal es (+ x) y el sentido de es en sentido (- y) por ser reactivo, o sea la accin de la parte derecha de la viga sobre la seccin.

5.3. Tensiones cortantes en otros tipos de secciones.

Las tensiones tangenciales exactas por corte en muchos tipos de secciones macizas deben determinarse por la teora matemtica de la elasticidad, no obstante las frmulas para algunas secciones que presentaremos a continuacin son suficientemente aproximadas a los fines prcticos. Para secciones de pared delgada que veremos mas adelante, la formula para determinar las tensiones de corte vista en el punto anterior dan resultados muy precisos.

5.3.1. Seccin maciza con un solo eje de simetra.

Consideremos una seccin cualquiera con un eje de simetra vertical, segn el cual acta un esfuerzo cortante Ty. La tensin de corte en un punto cualquiera sobre una fibra genrica m-n paralela al eje neutro y a una distancia y del mismo, en general es oblicua y tiene dos componentes, xy y xz (Fig. 5.3). Para determinar xy es valida la expresin (5.3), o sea

y nxy yx

z z

T .S

b .I = = . La tensin xy vara con la relacin Sn/bz, resultando mxima sobre el eje

neutro, salvo ensanchamiento brusco de la seccin cerca de dicho eje.

xy es tangente al contorno de la seccin, por lo tanto las rectas de accin de dos vectores tangentes actuando sobre el mismo eje m-n, se interceptaran sobre el eje de simetra en un punto A. Supongamos que un vector tensin actuando en a se dirije tambin hacia A, de la figura obtenemos:

xz xytg = xy2 2

xy xzcos

= + =



y (+)

.

.

b

h

z (+)cy

m

Ty

nbz

1

z (+)c

y

A

m

Ty

na

1

xz

xy

.bz

En particular, la tensin tangencial mxima ocurre en el contorno de la seccin y vale:

xy1

1cos

=

(5.5)

Nota: Si la seccin tiene uno o dos ejes de simetra y el esfuerzo de corte tiene una direccin cualquiera, se descompone T en sus dos componentes ortogonales Tz y Ty sobre ambos ejes, que son los ejes principales de inercia de la seccin, entonces la tensin cortante en un punto de la seccin se obtiene superponiendo vectorialmente las tensiones producidas por ambas componentes.

Fig. 5.3

5.3.2. Seccin circular maciza.

En esta seccin se acepta que el esfuerzo cortante se distribuye en forma uniforme sobre el eje perpendicular a la accin cortante y siempre tangente al contorno del circulo, por el mismo razonamiento que se hizo para torsin, no podra haber otra componente porque la superficie esta libre de esfuerzos. La tensin en el contorno la determinamos por la formula indicada abajo, al igual que la mxima sobre el eje central:

3mx

2S r3

=

4.rI4

pi=

2xy 12

4 Tcos

3 .r =

pi

2

1 12 24 T 4 T y

cos 13 .r 3 .r r

= =

pi pi

mx 24 T3 .r

=pi

(5.6)

5.3.3. Seccin triangular maciza con un eje de simetra.

Siendo y eje de simetra, este caso es interesante presentar dado que la tensin tangencial mxima no ocurre sobre el eje neutro. Si analizamos una seccin de ancho bz, de igual manera que los casos anteriores, como Iz = b.h3/36, obtenemos:

y 2 2xy 3

12T 2 hh y yb.h 9 3

= +

Derivando respecto a y e igualando a cero, obtenemos que las mayores tensiones tangenciales se producen sobre un eje a una distancia del eje neutro y = h/6, son tangente al borde y valen:



mx3Tb.h

= 2

1 xyb1

2h

= +

(5.7)

5.3.4. Seccin circular hueca.

Admitiendo nuevamente que el esfuerzo cortante se distribuye en forma uniforme sobre el eje perpendicular a la accin cortante, en este caso si el espesor es pequeo, mayor ser la exactitud. Siendo r2 radio exterior y r1 radio interior, utilizando la formula del cortante obtenemos la tensin tangencial mxima sobre el eje central:

3 32 1

mx 2 2 2 22 1 2 1 2 1

r r4 T3 (r r ) (r r )(r r )

= pi +

(5.8)

5.3.5. Secciones de forma cualquiera.

Para determinar las tensiones tangenciales en barras de seccin cualquiera se requiere de un anlisis particular. Si la seccin de la barra no tiene un eje de simetra coincidente con el plano de solicitacin, aparecern tensiones tangenciales que originan un momento torsor en la seccin, fenmeno secundario que har que la seccin gire sobre su eje. Para compensar sta situacin es necesario desplazar el plano de solicitacin del centroide la seccin para anular el fenmeno secundario de torsin, as la seccin se deformar por efecto del sistema de cargas alrededor del eje neutro sin torsionar, o sea paralelo al plano de solicitacin. El punto por donde debe pasar el esfuerzo cortante para anular el efecto secundario de torsin se denomina centro de corte centro de torsin.

5.3.6. Secciones abiertas de pared delgada.

Seccin en U.

Consideremos una seccin abierta de paredes delgadas en forma de U, solicitada al esfuerzo cortante Ty actuando en el centroide de la seccin (Fig. 5.4a). Determinamos la tensin de corte en la lnea m-n del ala inferior a una distancia z del borde libre. El momento esttico a considerar ser el del rea sombreada e.z, y vale:

n(ala)hS a.z2

= mx(ala)hS a.b2

=

(5.9) y

alaz

T .z.h2I

= y1z

T .b.h2I

=

Las tensiones de corte en el ala superior sern las mismas pero de sentido contrario, debido a que sus reciprocas normales que la producen son de diferente signo. Como vemos varan linealmente desde el borde libre donde z = 0 hasta z = b (Fig. 5.4c). Ntese que se tomo las dimensiones b y h entre lneas centrales de las secciones, este procedimiento aproximado simplifica los clculos y da resultados satisfactorios para secciones abiertas de pared delgada.



Determinamos ahora las tensiones de corte sobre la lnea s-t del alma. El momento esttico a considerar ser el del rea rayada respecto al eje z (Fig. 5.4b), y las tensiones se calculan ahora para el espesor del alma, as:

22

n

h h h 1 h e hS a.b e y y a.b y2 2 2 2 2 2 4

= + + = +

mx

h hS a.b e2 4

= +

(5.10) y n(alma)

almaz

T .Se.I

= y n(ala )2z

T .Se.I

= y max(alma)max(alma)z

T .Se.I

=

Los diagramas de las tensiones cortantes se representan en la figura 5.4c. El diagrama de tensiones para el alma es similar que para una seccin rectangular. Como la fuerza cortante Ty la absorbe totalmente el alma dado que las alas no tienen componente vertical porque las tensiones cortantes son horizontales, podemos aplicar el criterio de la tensin media, m = Ty /e.h, resultando valores suficientemente aproximados.

c

Ty

y (+)

z (+)

.

h

.a

b

z

m

n

c

Ty

.

h

.a

b

s ty

.e

cmax

a) b) c)

1

1

2

2

Fig. 5.4

Centro de torsin. As como el centro de torsin en secciones con dos ejes de simetra coincide con el centroide, o sea la seccin flexiona sin torsionarse, en secciones con un solo eje de simetra el centro de torsin se encuentra sobre dicho eje, en nuestro caso se ubicara sobre el eje neutro z. Determinaremos la posicin que debe tener el plano de solicitacin con el fin que la viga flexiones paralelamente al eje z sin torsionarse.

La fuerza cortante H actuando sobre las alas, resulta de multiplicar el rea del diagrama de tensin triangular por el espesor del ala (Fig. 5.4c), y por la ltima de las expresiones (5.9), obtenemos:

2y1

z

T .a.h.b.bH a2 4I

= =

La resultante de las tensiones de corte actuando sobre toda la seccin debe ser igual a Ty. Trazando el polgono de fuerzas se observa que R se encuentra a la derecha del alma e intercepta en forma perpendicular al eje z, por lo tanto por el efecto torsional la seccin rotar en sentido horario (Fig. 5.5a y 5.5b).



El momento de las tres fuerzas respecto a cualquier punto de la seccin transversal debe ser igual al momento de la resultante respecto al mismo punto. Si tomando como centro de momento el mismo centro de torsin, ubicado a la izquierda del alma para anular el efecto torsional, es decir que hacemos pasar la resultante por el centro de torsin o, el momento de la resultante es nulo e igual al momento de las componentes, as:

R (o) yM T .t H.h 0= =

Despejando t y sustituyendo H por su valor, obtenemos:

2 2

z

a.h .bt

4I= (5.11)

Vemos que el centro de torsin se encuentra a una distancia t del eje del alma y que depende exclusivamente de las caractersticas geomtricas de la seccin (Fig. 5.5c).

c

.h

H

H

Tyo co

Tyt

.h

b

t

H

H

Ty

a) b) c)

R=Ty

Fig. 5.5

Seccin de una parte de corona circular.

Consideremos una parte de una corona circular de espesor constante que presenta un eje de simetra horizontal y un esfuerzo cortante actuando perpendicular a este y en el centroide de la seccin (Fig. 5.6a).

a)

c

d

y

z (+)O

ds

m n

.

m n..

y (+)y

z (+)O

r1

r2

.

.

c

y (+)

e

. cz

F

b)

Ty

Ty

drm

.

Fig. 5.6



El momento de inercia de toda la seccin y el momento esttico de un rea cualquiera respecto al eje neutro, son:

3 2z mI e.r sen .d

= 3

z mI e.r ( sen .cos )=

(5.12)

m,n

2n mS e.r sen .d

= 2

n m m,nS e.r (cos cos )=

Aplicando la formula del cortante, la tensin sobre una lnea m-n orientada tangente al borde de la seccin (Fig. 5.6b), resulta:

y m,nm,,n

m

T (cos cos )e.r ( sen .cos )

=

(5.13)

La tensin cortante mxima sobre el eje de simetra z la obtenemos haciendo m,n = 0, y es:

ymax(z)

m

T (1 cos )e.r ( sen .cos )

=

(5.14)

El ngulo se mide en radianes.

Centro de torsin. Determinaremos la posicin del centro de torsin respecto al centroide de la seccin. La posicin del centroide zc respecto al eje y* que pasa por centro O del crculo, es:

yc

Sz

A

=

mdA e.r .d= m mA e.r d 2.e.r .

= = 2 2m my

S z.dA e.r cos .d 2e.r .sen

= = =

c m

senz r

=

(5.15)

La resultante de las fuerzas cortantes actuando en la seccin es igual a Ty y se ubica a la izquierda de sus componentes, a una distancia zR del centro del crculo y torsiona a la seccin en sentido antihorario (polgono de fuerzas, fig. 5.7a). Estas fuerzas cortantes actuando en la seccin producen adems momento respecto al centro O del crculo. Reduciendo el sistema de fuerzas al centroide de la seccin, o sea trasladando la resultante al punto c (Fig. 5.7b), obtenemos:

c O y c RM M T (z z )=

Siendo R mz r .cos= (5.16)



y

z (+)O

a)

rm

R=Ty

y

z (+)Oc

Ty

y (+)

.czo

t

MO

z (+)Oc

Tyo

Mc

.Rz c

z (+)O

rm

c

y (+)

Ty

o

b) c).

.

.t

Fig. 5.7

Si a su vez reducimos el sistema de fuerzas anterior al centro de torsin O que se encontrar a la derecha de la seccin por donde deber pasar el plano de solicitacin para que el momento torsional se anule (Fig. 5.7b y 5.7c), resulta:

R(o) c yM M T .t 0= =

O y c RM T (z z t) 0 + = (5.17)

El momento respecto al centro del crculo producido por las tensiones de corte sobre el elemento dA, es:

2O m m m,ndM r .dF r . .e.d= =

El momento producido por las tensiones cortantes sobre toda la seccin, lo obtenemos aplicando la formula del cortante, haciendo para el momento esttico (expresin 5.12), m,n = , y 0 , resultando:

O m y(sen .cos )M 2r .T ( sen .cos )

=

Sustituyendo esta ltima expresin, zc y zR en la (5.17) y operando, obtenemos:

m

(sen .cos ) sent r 2 cos( sen .cos )

=

(5.18)

En el caso particular que la seccin sea una corona semicircular, es decir que = 90 = pi/2, sustituyendo en la anterior, obtenemos:

m2rt =pi

(5.19)



z (+)O

m n

.

m n

r1

r2

.

.

y (+)

e

1

A

B

A

B

Ty1y

z (+)

mn

e

y (+)

Ty

ds

y

c o.t

Seccin circular hueca.

La tensiones de corte sobre una lnea m-n de una seccin circular hueca de espesor pequeo solicitada por una fuerza cortante actuando en el centroide (Fig. 5.8), podr obtenerse utilizando las expresiones (5.13), haciendo en Iz = pi y en Sn = pi/2, resulta:

3z mI .e.r= pi

2n m m,nS 2e.r .cos=

Fig. 5.8 y

m,n m,n

m

Tcos

.e.r =

pi (5.20)

La tensin de corte mxima ocurrir sobre el eje neutro z, haciendo m,n= 0, obtenemos:

ymax(z)

m

T.e.r

=pi

(5.21)

Determinado por otra forma la tensin de corte mxima para la corona circular, siendo 4 42 1

z

(r r )I4

pi = y 3 3n 2 1

2S (r r )3

= , resulta:

3 3y 2 1

max 4 42 1

4T (r r )3 .e (r r )

=pi

Comparando numricamente ambas expresiones resulta diferencias menores al 1 % para una relacin e/D 0,1.

Seccin simtrica de curvatura cualquiera.

Este tipo de secciones es casi imposible abordarlo con una formula especifica. Es ms prctico plantear directamente en forma de integracin numrica dividiendo la seccin en partes tal que se obtenga la aproximacin que se desee cuanto ms divisiones se realice. Para una seccin de espesor delgado como la de la figura 5.9, planteamos:

T

2z

A

I y .e.ds= nA A

S y.dA y.e.ds= =

y Am,n

z

y.e.dsTe I

=

n

y A

z

S . .dsT

te I

=

Fig. 5.9



c

Tmaxmax

12

12

a) b)

Tc

max

Siendo Iz, momento de inercia de toda la seccin respecto al eje simtrico z. Sn, momento esttico del rea de longitud ds respecto al eje neutro z, para 0 y h/2.

Seccin doble T.

Los esfuerzos cortantes en una viga doble T, ya sea PNI o Perfil de alas anchas (Fig. 5.10a), es ms complicado que en una seccin rectangular, dado que las tensiones en las alas se producen tanto en la direccin vertical como la horizontal. Las tensiones cortantes en el alma actan solo en la direccin vertical y son mucho mayores que las de las alas. Para determinarla es valida la formula del cortante.

Esta seccin podr resolverse directamente considerando dos perfiles U unidos por el alma, resultando una seccin doblemente simtrica. El centro de torsin coincide con el centroide de la seccin y no existen efectos torsionales. Los flujos de tensiones son de sentido contrario en ambos lados del ala y en continuidad con el flujo de tensiones cortantes en el alma.

Los esfuerzos de corte sobre una lnea a una distancia y del eje neutro z se determinan tomando el momento esttico de toda el rea que esta sobre dicha lnea, los filetes de unin entre el alma y las alas pueden despreciarse por ser de poca influencia. Si analizamos las tensiones en la unin entre el alma y las alas, para una misma rea (ala) tenemos dos espesores muy diferentes, resultando un cambio brusco del flujo de tensiones.

En el alma las tensiones mximas se producen sobre el eje neutro y la minima en el encuentro con el ala. El diagrama de tensiones tangenciales es el indicado en la figura 5.10a. Como el alma resiste la mayor parte del esfuerzo, es de uso corriente calcular la tensin tangencial mxima como una tensin media dividiendo la fuerza cortante por el rea del alma, obtenindose resultados con aproximacin del 5 % segn las dimensiones del perfil, as:

Fig. 5.10

ym(alma)

1

Te.h

= (5.22)

Seccin rectangular hueca.

Esta seccin es muy utilizada en estructuras de edificios y construcciones metlicas diversas, se denominan tubos estructurales o vigas cajn y generalmente son de espesor constante. La tensin cortante mxima se encuentra sobre el eje neutro y puede determinarse directamente por la formula del cortante. En los encuentros de las paredes del tubo se produce una situacin similar a los perfiles doble T, puede considerarse entonces como dos secciones U unidas por las alas, en estas, el flujo de tensiones a cada lado del eje donde acta T son de sentido contrario y en continuidad con el sentido de las tensiones cortantes en las almas (Fig. 5.10b).



Seccin en ngulo.

Esta seccin esta compuesta por dos rectngulos iguales dispuestos a 90, el esfuerzo de corte se aplica en el centroide y es perpendicular al eje de simetra z (es tambin uno de los ejes principales de inercia de la seccin). La tensin cortante mxima podemos determinarla por la formula del cortante. El momento esttico del rea e.s lo obtenemos multiplicando esta por la

distancia al eje neutro que es b s / 22

(Fig. 5.11a), quedando:

3

z

e.bI3

n

b s / 2S e.s2

=

2

max

e.bS2 2

= max

3Te.b.2 2

(5.23)

Las fuerza cortante en cada lado del perfil es igual al rea del diagrama parablico de tensiones por el espesor e, la resultante es una fuerza vertical igual a T, dado que las proyecciones sobre el eje z se anulan entre si. Como la resultante de ambas fuerzas cortantes que actan en cada lado pasa por el punto de concurrencia sobre el eje neutro, se ve que el centro de torsin esta ubicado en la interseccin de la lnea media de los lados de la seccin (Fig. 5.11b y (5.11c).

c

Tb

o

a) b) c)

b

e

e

smn

c

Tc

Tmax

Fig. 5.11

Secciones constituidas por rectngulos delgados que se cruzan.

Considerando siempre espesores pequeos, las secciones indicadas en las figura 5.12 tienen los centros de torsin ubicados en la interseccin de la lnea media de los lados cualquiera sea la posicin de la seccin. La determinacin del max se efecta con igual procedimiento que para la seccin en ngulo.

Analizamos en particular la seccin z. Esta seccin no tiene ejes de simetra o confluencia nica de los lados que forman la seccin, pero tiene una particularidad, toda recta que pase por el centroide c dividir a la seccin en dos reas iguales. Si posicionamos la seccin de tal manera que el plano de solicitacin s-s coincide con y, que es uno de los ejes principales de inercia de la seccin, vemos que puede obtenerse dos componentes segn la direccin de las alas y el alma, que producirn tensiones y fuerzas cortantes como se indica. La resultante de las tres fuerzas que actan sobre la seccin transversal, F1 en las alas y F2 en el alma, ser igual a T en magnitud y sentido y pasara por el centroide de la seccin, por lo tanto el centro de torsin se encuentra en c y no habr efectos torsionales en la seccin.



M M dM

dx b

cy z (+)

y (+)

s1 s2

T

T+dT

.

.

dy

dy

.

hx (+)

T

c z (+)

y (+)

2FF 12

c z (+)

y (+)F

F

1

2

F1

Fig. 5.12

Secciones macizas disimtricas.

La determinacin del centro de corte en secciones macizas que no tienen ejes de simetra es un problema muy complejo de la teora de la elasticidad y solamente resuelto para algunas secciones simples, no abordable en este escrito.

5.4. Trabajo de deformacin en seccin rectangular.

Debido a la accin cortante T, la capa transversal de altura dy a una distancia y del eje neutro sufren un deslizamiento unitario vertical dy = .dx (Fig. 5.13). Dada la validez de la proporcionalidad elstica donde = G., resulta que dy = ( /G)dx. La resultante diferencial de las tensiones de corte sobre dicha capa vale dF = .b.dy.

El trabajo de deformacin elemental almacenado en la capa de altura dy de largo dx, vale:

1dU F.dy2

=

1d(dU) dF.dy2

=

Fig. 5.13

21d(dU) .b.dy dx b.dy.dx2 G 2G

= =

Sustituyendo por la formula del cortante nz

T.Sb.I

e integrando, resulta:

2 2n

2 2z

T Sb.dxdU dy2G b .I

=

Sustituyendo Sn y Iz y efectuando la integracin, obtenemos:



2T .dxdU2G.A

= (5.24)

Siendo

h / 22z

h / 2h / 2

2n

0

b IA

S .dy

+

+=

, tiene la dimensin de un rea y se denomina seccin reducida.

Efectuando la integracin para las variables que correspondan, obtenemos, 5A b.h6

=

Si consideramos un deslizamiento medio m, igualando el trabajo externo y el interno, obtenemos:

2mT. .dx T .dx2 2G.A

=

m

TG.A

= o mT

G.A = (5.25)

Denominndose 1 6A 5

= = factor de forma de la seccin, quedando en resumen:

m

T dyG.A dx

= = (5.26)



y (+)

x (+)q = 0,5 t / m

60 cm

A B

Problema 5.1. En la viga de la figura del problema 3.2 del capitulo III, de 2x4 cm de seccin, determinar:

a) La tensin tangencial en una seccin a 15 cm. del apoyo A. b) La tensin tangencial en la misma seccin sobre un eje distante 1 cm del borde superior.

yL 60T q x 5 15 752 2

= = =

kg

3 3

z

b.h 2x4I 10,6712 12

= = = cm4

a)

2 2

n

b.h 2x4S 48 8

= = = cm3

y nmx

z

T .S 75x4 14,06b.I 2x10,67

= = = kg cm2 adm 10 % de adm

b)

n,1S 2x1x1,5 3= = cm3

y n,11

z

T .S 75x3 10,54b.I 2x10,67

= = = kg cm2

Problema 5.2. Calcular la tensin tangencial mxima en el ala y en el alma en la viga del problema 5.1, si est compuesta por un PNI 16 (Iz = 935 cm4) y la longitud entre apoyos es de 3 m. Se pide:

a) la tensin tangencial mxima en el ala. a) la tensin tangencial en la unin entre el alma y el ala. a) la tensin tangencial mxima en el alma. c) dibujar los diagramas correspondientes.

max(ala) = 21,16 kg cm2 (ala-alma) = 63,81 kg cm2 max(alma) = 83,71 kg cm2

Problema 5.3. Una viga de seccin circular hueca de D = 10 cm y d = 8 cm, esta solicitada a un esfuerzo de corte de 10 t. Determine:

a)la tensin tangencial sobre una lnea a 2,5 cm del eje neutro. b)la tensin tangencial mxima.

m-n = 581,06 kg cm2 max =701,66 kg cm2



0,9 cm5,

5

120,

7

c

12

18z (+)

y (+)

x (+)

.

.7,16

Problema 5.4. Determinar el centro de torsin del PNU 12 de la figura, siendo Iz = 367 cm4.

t = 2,0 cm.

Problema 5.5. El mximo esfuerzo cortante en la viga de madera de 12x18 cm de seccin (problema 3.5 del capitulo III), reforzada con una planchuela de acero de 5 x 0,8 cm es de 500 kg. Si la planchuela se fija con pernos de acero de 10 mm de dimetro con un adm = 700 kg cm2 y la seccin equivalente tiene un Iz = 531,53 cm4. Determinar:

a) la separacin mxima entre pernos.

= 16,2 cm

rdem capitulo v corte en vigas flexionadas

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