razones y proporciones (parte 2)

Razones y Proporciones

Segunda Parte

Patricio Figueroa Carrasco - [email protected]

Proporción Discontinua

Es aquella en que todos sus términos son

distintos.dcba

d

c

b

a ,

A cada término se le llama Cuarta Proporcional Geométrica (4ta P.G.)

Ejemplo: ¿Cuál es la 4ta P.G. entre 2, 8 y 12? Varias soluciones:

x entre 2, 8 y 12

3

4

12

16

12

8

2 x

x

38

24

12

82 x

x

482

96

12

28 x

x


Proporción Continua

Es aquella en que sus términos medios son iguales.

c

b

b

a

Cada término extremo se llama Tercera Proporcional Geométrica (3ra P.G.)

a es 3ra P.G. entre b y c, luego

c es 3ra P.G. entre a y b, luego

Ejemplo: Determinar la 3ra P.G. entre 4 y 10.

c

ba

2

a

bc

2

5

8

10

16

10

4

4 x

x

254

100

4

10

10 x

x

Hay dos soluciones porque

no se especificó el orden de

los términos.


En una Proporción Continua al termino que se repite o es igual se

le Media Proporcional Geométrica (M.P.G.)

c

b

b

a

b es la M.P.G. entre a y c

Ejemplo: Determinar la M.P.G entre 4 y 16

cabcab 2

86416416

4 2 bbb

b


Serie de razones

b

aSe llama razón

d

c

b

a

Se llama proporción

...f

e

d

c

b

aSe llama serie de razones

Una serie de razones se puede escribir como

Además, si

fdbecaf

e

d

c

b

a::::

kf

ek

d

ck

b

ak

f

e

d

c

b

a ,,

En una serie de razones la suma de sus antecedentes es a la suma de sus

consecuentes como un antecedente cualquiera es a su consecuente.

kf

e

d

c

b

a

fdb

ecafdbeca

f

e

d

c

b

a

::::


Magnitudes Directamente Proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una

de ellas cierto número de veces, la otra aumenta ese mismo número

de veces.

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al disminuir una de

ellas cierto número de veces, la otra disminuye ese mismo número de

veces.

Ejemplo 1: Una máquina fabrica 400 clavos en 5 horas, ¿cuántos clavos fabrica en 10

horas?

“A doble N° de horas se fabrican el doble N° de clavos”

“A triple N° de horas se fabrican el triple de clavos”

“A mitad de N° de horas se fabrican la mitad de clavos”

Después de este razonamiento podemos decir que son magnitudes directamente

proporcionales.

5 horas 400 clavos

10 horas x clavos800

5

4000400

10

5 x

x

Por lo tanto en 10 horas se fabrican 800 clavos.


Horas 2,5 5 10 15 20

Clavos 200 400 800 1200 1600

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 5 10 15 20 25

8020

1600,80

10

800,80

5

400,80

5,2

200

En las magnitudes Directamente Proporcionales

se cumple que la representación gráfica es una

recta que pasa por el origen y la razón de las

magnitudes es igual a una constante, en este

caso 80


Ejemplo 2:

Una dueña de casa compra un kilo de pan y paga $600. Ella sabe que

debe pagar el doble de $600 si compra dos kilogramos, el triple de

$600 por tres kilos y si compra medio kilo la mitad de $600.

por 1 kg. Paga $600

por 2 kg. Paga $1.200

por 3 kg. Paga $1.600

Por kg. Paga $1.600

Por kg. Paga $1.600

6001

600

6002

1200

6003

1800

6001

2300

2

1

300

2

1

4

1600

1

4150

4

1

150

0,25, 150

0,5, 300

1, 600

2, 1200

3, 1800

150250350450550650750850950

10501150125013501450155016501750

0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

En las magnitudes Directamente Proporcionales se cumple que la

representación gráfica es una recta que pasa por el origen y la razón de las

magnitudes es igual a una constante, en este caso 600


Ejemplo 3:

El área de un cuadrado de lado 10 cm es 100 cm2. ¿Cuánto vale el

área de un cuadrado de lado 20 cm?

Si el lado es 10 cm el área es 100 cm2



1010

100

2020

400

3030

900

10, 10050, 2500

100, 10000

150, 22500

200, 40000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

10 60 110 160 210

Ojo: A pesar de que ambas magnitudes aumentan NO son directamente

proporcionales. ¿Por Qué?

1. No hay constante de proporcionalidad.

2. La representación gráfica no es una recta.

3. Cuando una magnitud aumenta la otra aumenta en forma

exponencial y no en el mismo número de veces.


Ejemplo 4:

Un automóvil gasta 8 litros de bencina cada 100 kilómetros recorridos.

Si quedan 7 litros en el estanque, ¿cuántos kilómetros recorrerá sin

rellenar?Solución ejemplo 4

Ejemplo 5:

Un litro de leche rinde, por término medio, 15 centésimos de crema y 25

centésimos de mantequilla.

a) ¿Cuántos litros de crema se obtienen con 40 litros de leche?

b) ¿Cuántos kilos de mantequilla se obtienen con 80 litros de leche?Solución ejemplo 5

Ejemplo 6:

Las ruedas de un automóvil dan 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas vueltas

darán en 24 horas y 24 minutos?

Solución ejemplo 6


Ejemplo 7:

Un avión en 90 minutos recorre 1200 km. Si mantiene constante su

rapidez, ¿cuántos kilómetros recorre en 45 minutos? ¿en 50 minutos?

¿en 7 horas?

Solución ejemplo 7

Ejemplo 8:

Un grupo de 12 estudiantes va de paseo y llevan 24 bebidas. Si cada estudiante

consume la misma cantidad, ¿cuántas bebidas deberían llevar si se suman al

paseo otros 15 estudiantes?

Solución ejemplo 8

Ejemplo 9:

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. En un triángulo rectángulo (tiene

un ángulo de 90°) los otros dos están a la razón 1:2, ¿cuánto miden estos ángulos? Solución ejemplo 9


Ejemplo 10:

Juan, Luisa y María tenían, respectivamente $500, $300 y $200.

Compraron un número de rifa que costó $1000 y ganaron un premio de

$50.000. ¿Cómo deben repartirse el premio?

Solución ejemplo 10

Ejemplo 11:

La medida de los ángulos de un triángulo son entre sí como 1:2:3 ¿cuánto mide

cada ángulo? Solución ejemplo 11

Ejemplo 12:

La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12,5 partes de azufre y 12,5

partes de carbón. ¿Qué peso de cada uno de estos componentes se necesita para

obtener 790 kg de pólvora? Solución ejemplo 12

Ejemplo 13:

Un rollo de alambre de 1.200 metros se quiere dividir en tres partes que sean

proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte? Solución ejemplo 13


Magnitudes Inversamente Proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de

ellas cierto número de veces, la otra disminuye ese mismo número de

veces.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al disminuir una de ellas cierto

número de veces, la otra aumenta ese mismo número de veces.

Ejemplo 1: Tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo. ¿Cuántos días

demorarán 18 hombres para hacer el mismo trabajo?

“3 hombres demoran 24 horas 3*24=72”

“1 hombre demora 72 horas 1*72=72”



Después de este razonamiento podemos decir que son magnitudes inversamente

proporcionales.

3 hombres 24 días

18 hombres x días4

18

72

2418

3 x

x

Se invierte la razón por que la

proporción es inversamente

proporcional


1, 72

3, 24

6, 12

10, 7,2 12, 6 15, 4,8

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales su producto es

constante: En este caso 72.


Analizando:

Con 8 l recorre 100 k



5,128

100

5,1216

200

5,124

50

Existe una constante de proporcionalidad, 12,5;

por lo tanto son magnitudes directamente

proporcionales.

kxxxll

kl5,87

8

1007100

7

8

5,127

1008

Solución Ejemplo 4:

Un automóvil gasta 8 litros de bencina cada 100 kilómetros

recorridos. Si quedan 7 litros en el estanque, ¿cuántos kilómetros

recorrerá sin rellenar?

Volver


Un litro de leche rinde, por término medio, 15 centésimos de crema y 25

centésimos de mantequilla.

a) ¿Cuántos litros de crema se obtienen con 40 litros de leche?

b) ¿Cuántos kilos de mantequilla se obtienen con 80 litros de leche?

Solución Ejemplo 5

a) Después de un análisis descubrimos que son magnitudes directamente proporcionales, ya

que, si con un litro de leche se obtiene 15/100 de crema con 2 litros se obtendrían 30/100.

lxx

x

6100

1540100

15

40

1

40

100

151

b)

kxx

x

20100

2580100

25

80

1

80

100

251

Volver


Solución Ejemplo 6

Las ruedas de un automóvil dan 4.590 vueltas en 9 minutos. ¿Cuántas

vueltas darán en 24 horas y 24 minutos?

Analizando, obviamente son magnitudes directamente proporcionales. Ya

que, si en 9 minutos dan 4.590 vueltas en 18 minutos darán el doble.

Primero transformamos las horas a minutos: min1464min24min14406024

vueltasxxx

7466409

45901464

1464

94590

1464

94590

Volver


Solución Ejemplo 7

Un avión en 90 minutos recorre 1200 km. Si mantiene constante su

rapidez, ¿cuántos kilómetros recorre en 45 minutos? ¿en 50 minutos?

¿en 7 horas?

Verificamos que son magnitudes directamente proporcionales, ya que, si el avión

recorre 1200 km en 90 min en 180 min recorrerán el doble de kilómetros.

Si en 90 recorre 1200 kilómetros en 45 minutos recorre la mitad, es decir, 600

kilómetros.

kilómetrosxxx

6,66690

5012001200

50

90

50

120090

Primero, transformamos el tiempo en minutos: 7*60=420 minutos

kilómetrosxxx

560090

12004201200

420

90

420

120090

Volver


Solución Ejemplo 8

Un grupo de 12 estudiantes va de paseo y llevan 24 bebidas. Si cada

estudiante consume la misma cantidad, ¿cuántas bebidas deberían

llevar si se suman al paseo otros 15 estudiantes?

Verificamos que son magnitudes directamente proporcionales.

bebidasxxx

5412

272424

27

12

27

2412

Volver


Solución Ejemplo 9

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°. En un triángulo

rectángulo (tiene un ángulo de 90°) los otros dos están a la razón 1:2,

¿cuánto miden estos ángulos?

30602

1

603

90290

2

3

2

21

9090180

2

1:2:1

Volver


Solución Ejemplo 10

Juan, Luisa y María tenían, respectivamente $500, $300 y $200.

Compraron un número de rifa que costó $1000 y ganaron un premio de

$50.000. ¿Cómo deben repartirse el premio?

Los premios deben ser directamente proporcionales a la cantidad de dinero que aporto

cada uno, por lo tanto, existe una constante de proporcionalidad.

•Si Juan aporto $500 debe recibir $500*k

•Si Luisa aporto $300 debe recibir $300*k

•Si María aporto $200 debe recibir $200*k

000.10$50200

000.15$50300

000.25$50500

501000

50000500001000

50000200300500

kk

kkk

Juan recibe

Luisa recibe

María recibe

Volver



La medida de los ángulos de un triángulo son entre sí como 1:2:3

¿cuánto mide cada ángulo?

Son directamente proporcionales.

90303

60302

,30301

306

180

321

180::3:2:1

Volver



La pólvora esta compuesta de 75 partes de salitre, 12,5 partes de

azufre y 12,5 partes de carbón. ¿Qué peso de cada uno de estos

componentes se necesita para obtener 790 kg de pólvora?

Existe una constante de proporcionalidad para que las magnitudes sean

directamente proporcionales, la llamaremos p.

KgAzúfre

KgCarbón

KgSalitre

pp

ppp

75,989,75,12

75,989,75,12

5,5929,775

9,7100

790790100

7905,125,1275

Volver



Un rollo de alambre de 1.200 metros se quiere dividir en tres partes que

sean proporcionales a 2, 3 y 5. ¿Cuánto medirá cada parte?

Por definición del problema son magnitudes directamente

proporcionales.

mcc

mbb

maa

cba

cbacba

6001205

3601203

2401202

12010

1200

532

5325:3:2::

Volver


razones y proporciones (parte 2)

Documents