razonamiento temporal impreciso

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Razonamiento temporal con imprecisión

Abraham Otero QuintanaProfesor colaborador doctor de la Universidad

San Pablo [email protected]

http://www.uspceu.com/

IntroducciónEl tiempo está presente en prácticamente cualquier actividad que realizamos los seres humanos.

De ahí que exista una disciplina dentro de la inteligencia artificial dedicada al estudio del tiempo: el razonamiento temporal.

La vaguedad, la imprecisión y la incertidumbrea menudo están presentes en nuestra forma de gestionar información temporal.

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Aplicaciones

Monitorización.

Diagnóstico.

Tratamiento.

Interpretación.

Planificación.

Control.

Agenda

Elementos a considerar en un modelo temporal.

Propuestas de la bibliografía.

Razonar sobre el tiempo no es suficiente.

Otras consideraciones.

Bibliografía.

3

Agenda





Bibliografía.

Representación del tiempo

Eje temporal denso

τ isomorfo a ℜ.

Eje temporal discreto

τ={t0,t1,...,ti,...}

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Representación del tiempoUso de distintas granularidades

τ0={t0,t1,...,ti,...}

τ1={t´0,t´1,...,t´,...}

τ2={t´´0,t´´1,...,t´´i,...}

Uso de granularidades que no permiten proyección entre ejes.

Copia de

Las primitivas temporalesInstantes o fechas

Precisos (“a las 11:30”)

Imprecisos (“aproximadamente a media mañana”)

Duraciones

Precisas (“30 minutos”)

Imprecisas (“más o menos media hora”)

Intervalos

Precisos (“de 10:00 a 11:00”)

Imprecisos (“desde poco antes de que llegase él hasta unos minutos después de que se marchase”)

5

Las relaciones temporalesPermiten expresar relaciones entre las primitivas.

Cualitativas

“antes”, “después”…

Cuantitativas

Precisas (“30 minutos después”)

Imprecisas (“más o menos media hora más tarde”)

Agenda





Bibliografía.

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Álgebra de intervalos (Allen84)Allen introduce 13 relaciones cualitativas primitivas entre intervalos precisos que se definen sobre un eje de tiempo continuo.

Álgebra de intervalos (Allen84)

Relación Símbolo Inversa Ejemplo

X antes Y a ai

X igual Y = =

XencuentraY e ei

X solapa Y s si

X durante Y d di

X comienzaY c ci

X finaliza Y f fi

x y

xy

x y

xy

xy

yx

x

y

7

Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP)

Un Problema de Satisfacción de Restricciones estáformado por:

Un conjunto finito de variables.

Un dominio de valores asociado a cada variable.

Un conjunto de restricciones que restringe los valores que puede tomar cada variable.

El objetivo de un CSP es asignar a cada variable un valor compatible con todas las restricciones sobre esa variable.

Los CSP toman ventaja de una representación mediante grafos.

Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP)

Ejemplo de red de restricciones

X1

X2

X3

<

< <,=

D1={10, 12, 14}

D2={8, 10, 11, 14}

D3={12, 14}

S={10, 11, 14}

8

Álgebra de intervalos (Allen84)

Variables: intervalos temporalesDominio: conjuntos ordenados de pares de números reales:

Las restricciones son las 13 relaciones

Una solución es una asignación de un par de numeros a cada variable tal que no se viola ninguna restricción.

},,|),{( baRbabaDi <∈=

},,,,,,,,,,,,{ =⊆ fidicisimiaifdcseaCij

Allen desde CSP

antes

antessolapa antes

antes

antes

antes

La resolución es un problema NP-completo.el problema es la disyunción.

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Álgebra de puntos (Vilain86)Álgebra de puntos de Vilain y Kautz (1986).

Restricciones cualitativas entre instantes temporales precisos. Tiempo continuo.

Las relaciones primitivas son: antes (<), después (>) e igual (=).

También admite combinaciones disyuntivas (≤,≥,≠,<=>).

Se puede hallar un escenario consistente en O(n2), y hallar todas las soluciones en O(n3) (Beek92).

Álgebra de puntos (Vilain86)Es inmediato plantear las relaciones entre puntos e intervalos (a partir de sus puntos extremos).

No es posible realizar todas las relaciones entre intervalos mediante relaciones entre puntos.

C {>,<} P

P

C P

C

x y z t

z t x y

y<z y t<x no se puedenrepresentarsimultáneamente

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Relaciones temporales cuantitativas (Dechter91)

Temporal Constraint SatisfactionProblem. Relaciones cuantitativas imprecisas entre instantes temporales precisos. Tiempo continuo.

Las relaciones son disyunciones de duraciones expresadas como intervalos de números reales.


x0 =7:00am , x1 John sale de casa de las 7:10 a las 7:20,x2 John llega al trabajo en 30 o 40 minutos si va en coche, siva en autobús le lleva al menos 60 minutos.x3 Fred sale de casa 10 o 20 minutos antes de x2, x4 Fred llega al trabajo entre las 8:00 y las 8:10Fred va desde su casa al trabajo en 20 o 30 minutos si va en coche, si va en autobús le lleva entre 40 y 50 minutos.

x0

x4x3

x2x1[10,20]

[30,40][60,oo]

[10,20]

[20,30][40,50][60,70]

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El problema es NP. Si eliminamos la disyunción el problema se vuelve tratable.

x0

x4x3

x2x1[10,20]

[30,40]

[10,20]

[20,30]

[60,70]

Redes de puntos y duraciones(Navarrete02)

Relaciones cualitativas y cuantitativas entre instantes y duraciones. Tiempo continuo.Una red de puntos y duraciones consta de:

Un conjunto de puntos P={p1,...,pn}.Un conjunto de duraciones D={dij|pi,pj∈P}Un conjunto de relaciones entre puntos de entre {<,>,=}.Un conjunto de relaciones entre duraciones de entre {<,>,=}.Un conjunto de relaciones entre duraciones y puntos de la forma dij=|pi-pj|

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Redes de puntos y duraciones(Navarrete02)

Se proporcionan algoritmos de consistencia.Decidir la consistencia es, en el caso general, un problema NP-completo.

Se define un caso particular en el cual los instantes se ordenan según una relación de precedencia.

En este caso, la consistencia es decidible en un tiempo polinomial.

Restricciones con varias granularidades (Bettini96)

Restricciones cuantitativas imprecisas entre instantes de tiempo precisos. Varios ejestemporales discretos.

No es posible expresar la información dada en base a un eje de granularidad inferior sin perder información.

Día

Día laborable

Semana laboral

Mes laboral

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Define granularidad como una proyección G del conjunto de los números naturales al conjunto 2R de tal modo que dados un par de números i y j, i < j, se cumple que:

Cada número real perteneciente a G(i) es menor que todos los números reales pertenecientes a G(j).Si G(j) = Φ entonces G(i) = Φ.

Define restricción con granularidad, [m, n]G, siendo m y n enteros.

Dos enteros t y s satisfacen una restricción si

ntGsGm ≤−≤ )()(


Representa una red de restricciones temporales con granularidades mediante un grafo (W,A,K) donde:

W es un conjunto finito de variables.A está contenido en el producto cartesiano WxW.K es una relación entre A y un conjunto finito de restricciones con granularidad.

X1

X0 X4

X3

[-1,1]l-día

[0,8] horas[0,5]l-día

[2,2]l-semana

El problema es NP.Algunas restricciones con granularidadesintroducen disyunciones.

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Una representación borrosa Dubois89

Relaciones cuantitativas imprecisas entre instantes temporales imprecisos. Eje temporal continuo.Dubois y Prade definen fechas e intervalos (a partir de un par de fechas que lo delimitan) mediante subconjuntos borrosos del eje de tiempo.

τ

1

0

μa(t)fecha a

τ

1

0

μ[a,b](t)

intervalo [a,b]

En los intervalos se exige que πa y πb no solapen.

Utilizan una medida de posibilidad y otra de necesidad para relacionar fechas e intervalos.

)}t(),s(min{sup)ba( bats

ππ≤

=≤Π

)}(),(min{sup1)(1)( tsbabaN bats

ππ>

−=>Π−=≤


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Las relaciones entre intervalos se definen como relaciones entre sus fechas extremas.Así, para conocer en qué medida [a,b] estáantes que [c,d] utilizamos:

)cb(])d,c[antes]b,a([ ≤Π=Π)cb(N])d,c[antes]b,a([N ≤=

El modelo considera la aplicación de modificadores lingüísticos a las relaciones temporales (“mucho antes”, “poco después”, etc.)


Un modelo temporal borroso (Barro94)

Instantes y duraciones borrosas. Relaciones cuantitativas imprecisas. Eje temporal continuo.

Instante temporal borroso:

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Duración temporal borrosa:

Intervalo temporal borroso:

}{ )(),(minmax)(, ),( badd BA

bad

BAD πππ−=

=ℜ∈∀

}{ )(),(),(min),(,, ),,( abbababa DBADBAI −=ℜ∈∀ ππππ


Los operadores de la aritmética borrosa nos permiten relacionar la duración D y las fechas inicial A y final B de un intervalo.

Así, B puede obtenerse como:

)}n(),s(min{max)t()t(,t DAnstDAB ππμμτ+=⊕ ==∈∀

Para distribuciones trapezoidales se reduce a:

),,,(B DADADADA δδγγββαα ++++=


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Referencias temporalesUna entidad temporal se puede establecer de modo absoluto:

“Alrededor de las cuatro”

O de un modo relativo respecto a una referencia temporal previa:

“Poco después del comienzo de la arritmia”

Necesitamos un lenguaje que permita proyectar expresiones lingüísticas en relaciones temporales, y resolverlas mediante aritmética borrosa.

Un lenguaje de representación I

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Un lenguaje de representación II

Un lenguaje de representación III

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Un lenguaje de representación IV

Un ejemplo“menos de aproximadamente 15 minutos antes”

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ProblemaDado un conjunto de hechos localizados en el tiempo mediante relaciones mutuas, debemos combinar y propagar dichas relaciones para obtener fechas absolutas.

Sin embargo, la imprecisión aumenta mediante la aplicación de la aritmética borrosa.

1 2 3 4 5 6

aproximadamente 3 horas

1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00

más o menos a las 2:00 aproximadamente 3 horas más tarde

Solución

Buscar alguna forma de combinación de relaciones que reduzca la imprecisión.

Lo haremos definiendo la representación como una red de satisfacción de restricciones (CSP).

Eso nos permitirá aplicar soluciones que provienen de la teoría de grafos.

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Redes de restricciones temporales borrosas

Sea Ti una variable temporal que representa un instante de tiempo desconocido.

Sea Lij una restricción temporal sobre dos variables temporales Ti y Tj. Lij se define mediante una distribución de posibilidad normalizada y unimodal. Lij representa una duración borrosa.

Definimos una red de restricciones temporales borrosas L como un conjunto de variables temporales T1,...,Tn, y un conjunto de restricciones Lij entre ellas.

Un ejemplo de la obstetricia

“El dolor comenzó hacia la 27ª semana de gestación; aproximadamente dos mesesdespués apareció hipertensión; unas tres o cuatro semanas antes, en la consulta de la 33ª semana, se había detectado proteinuria. Finalmente, la paciente informa de la aparición de edemas entre 2 y 5 semanas después de la consulta en que se detectó proteinuria, hacia la 38ª semana de gestación”

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El ejemplo sobre la red

X1

X0 X4 X2

X3

L01 L12

L32

L04

L03

X0 = Origen X1 = Dolor

X2 = Hipertensión X3 = Proteinuria X4 = Edemas

L01 = (24,26,28,30) ≡ “Aproximadamente la semana 27”

L12 = (5,7,9,11) ≡ “Aproximadamente 8 semanas”

L32 = (3,3,4,4) ≡ “Entre 3 y 4 semanas”

L03 = (33,33,33,33) ≡ “La semana 33”

L04 = (35,37,39,41) ≡ “Aproximadamente la semana 38”

L32 = (2,2,5,5) ≡ “Entre 2 y 5 semanas”

L13= L02= L24= L34= L14=(-∞,-∞,∞,∞) ≡ “Cualquiera”

Utilidad de la redCombinando las restricciones del grafo podemos responder a preguntas como:

¿Cuándo apareció hipertensión?

Cálculo de la restricción mínima L02.

¿Cuánto tiempo transcurrió desde la aparición del dolor a la detección de proteinuria?

Cálculo de L13.

¿Apareció el dolor poco antes de la proteinuria?

Obtener L13 y calcular su compatibilidad con “poco”.

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Operaciones de la red

Combinación de restricciones:

ijijij HLQ ∩=

Composición de restricciones:

kjikij HLQ ⊕=

)}(),({minsup)( stm Hkj

Lik

stmHL kjik

πππ+=

⊕ =

Propagación de restriccionesYa podemos responder a la pregunta: ¿cuánto tiempo transcurrió entre la aparición del dolor y la detección de la proteinuria?

L13=(-∞,-∞, ∞, ∞) no nos da información.

X1

X0 X4 X2

X3

L01 L12

L32

L04

L03


X2 = Hipertensión X3 = Proteinuria X4 = Edemas

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Propagación de restriccionesPodemos obtener información más precisa a partir de L01 y L03, mediante composición...

)9,7,5,3()33,33,33,33()24,26,28,30(

0310

=⊕−−−−=⊕ LL

y combinación:

)9,7,5,3()9,7,5,3(),,,(

' 03101313

=∩∞∞−∞−∞=⊕∩= LLLL

X1

X0 X4 X2

X3

L01 L12

L32

L04

L03


X2 = Hipertensión

X3 = Proteinuria X4 = Edemas

L´13

Propagación de restriccionesPodemos refinar más la información a partir de L12 y L23:

)8,6,3,1()3,3,4,4()11,9,7,5(

2312

=−−−−⊕=⊕ LL

Combinando esta pieza de información con la anterior:

)8,6,5,3()8,6,3,1()9,7,5,3(

'' 23121313

=∩=⊕∩= LLLL

X1

X0 X4 X2

X3

L01 L12

L32

L04

L03


X2 = Hipertensión

X3 = Proteinuria X4 = Edemas

L13

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Red mínima

Las nuevas restricciones se denominan inducidas.

Tenemos un mecanismo muy potente para reducir la imprecisión de la red.

Queremos pues una red equivalente a la original, pero donde las restricciones sean lo más precisas posible.

Una red, por tanto, mínima.

Algunas definicionesUna n-tupla de instantes precisos T=(t1,...tn)es una solución de la red L sii satisface todas las restricciones de la red:

00 >−≤≤∀ )tt(:nj,i,j,i ijijπDecimos que una red L es consistente sii existe al menos una solución completamente posible.

111 =−=∈∃ )}tt({min)t,...,t(:)t,...,t( ijijj,inSn

n ππτ

Al menos una solución debe ser completamente posible.

Decimos que dos redes son equivalentes sii el grado de satisfacción de cualquier solución es el mismo en ambas.

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La red mínima y equivalente IISe demuestra que mediante la combinación de todos los caminos de longitud 2 se obtiene una red mínima y equivalente a la original.

Además la red es descomponible: una solución parcial se puede extender a una solución global con el mismo grado de posibilidad.

Si obtenemos alguna restricción Lij no normal la red se dice inconsistente.

kjiLLLL kjikijij ,,∀⊕∩=

Algoritmo de minimizaciónSe propone una extensión borrosa del algoritmo de Floyd-Warshall.

beginfor k:=0 to n do

for i:=0 to n dofor j:=0 to n dobegin

Lij:=Lij∩(Lik⊕Lkj)if Lij not normal then exit “L no es consistente”

end;end;

Su complejidad temporal es de O(n3).

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Red mínima ejemploAplicando el algoritmo anterior a la red ejemplo obtenemos las siguientes restricciones mínimas:

(2,4,5,5)(0,0,0,0)(3,3,4,4)(-8,-6,-5,-3)(-33,-33,-33,-33)3

(-13,-11,-9,-5)

(-11,-9,-8,-6)

(0,0,0,0)

(25,27,28,30)

1

(35,37,38,38)(33,33,33,33)(36,36,37,37)(0,0,0,0)0

(0,0,0,0)(-5,-5,-4,-2)(-2,-2,0,2)(-38,-38,-37,-35)4

(-2,0,2,2)(-4,-4,-3,-3)(0,0,0,0)(-37,-37,-36,-36)2

(5,9,11,13)(3,5,6,8)(6,8,9,11)(-30,-28,-27,-25)1

4320

Resolución de consultasQueremos saber si dos fechas a y b, de una base de datos satisfacen una determinada relación R.

Utilizamos un grado de posibilidad y necesidad.

Evaluamos en qué medida son compatibles R y la restricción Liaib

entre los nodos de a y b.

{ })m(),m(minmax)bRa( RLiim ba

ππ=Π

{ })m(),m(minmax)bRa(N RLiim ba

ππ −−= 11

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Resolución de consultas: ejemplos

Ahora podemos hacer preguntas como:

“¿Apareció la hipertensión (X2) poco después de la proteinuria (X3)?”

{ } 10148334432 =−−−−−−−=Π ),,,(,),,,(minmax)XdespuéspocoX({ } 1014813344132 =−−−−−−−−−= ),,,(,),,,(minmax)XdespuéspocoX(N

“¿Aparecieron casi simultáneamente la hipertensión (X2) y los edemas (X4)?”

{ } 13113220242 =−−−=Π ),,,(,),,,(minmax)XigualaproxX({ } 50311312202132 ,),,,(,),,,(minmax)XigualaproxX(N =−−−−−=

Redes temporales borrosas disyuntivas

Ahora, definimos las restricciones temporales Lijcomo un conjunto de distribuciones de posibilidad:

{ }L)p(ij

L)(ij

L)(ij ,...,, πππ 21

Podemos representar cosas como “X1 está mucho antes o poco después de X2”.Una red disyuntiva se puede tratar como un conjunto de redes simples.El análisis de la consistencia es un problema NP completo.

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Agenda





Bibliografía.

Razonar sobre el tiempo no es suficiente

Una hora después de levantarse Pedro sale a correr; durante 30 minutos corre más de 4 km. Justodespués de correr Pedro va desde su casa hasta su trabajo, trayecto que le lleva 50 minutos. Durante las siguientes cuatro horas Pedro está trabajando y a las 14:00 descansa para comer.

X1X0 X4X31 hora50 minutos 4 horas30 minutos

X5

14:00

30


Empleando propagación de restricciones:


X5

14:007:40 8:40 9:10 10:00

¿De 11:00 a 12:00 estaba Pedro trabajando?¿De 9:30 a 9:45 Pedro va desde su casa hasta el trabajo?¿De 8:35 a 9:20 pero corre un poco más de 4 km?


La representación anterior omite… ¡aquello sobre lo que realmente queremos razonar!


X5

14:007:40 8:40 9:10 10:00

Corre más de 4 km

Va desde de su casa al trabajo Está trabajando

Para responder las preguntas anteriores debemos caracterizar las propiedades de las proposiciones asociadas con cada intervalo.

Muchos formalismos no abordan este problema.

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McDermott82, hechos y eventos

McDermott82 es uno de los primeros trabajos en abordar este problema.Clasifica las proposiciones en:

Hechos: si un hecho es cierto en un intervalo lo es en todos los puntos (y subintervalos) del intervalo original (“la pelota es de color rojo”).Eventos: los eventos no puede suceder sobre dos intervalos tales que el uno contiene al otro (“Pedro va desde su casa hasta el trabajo”).

Allen84: propiedades, eventos y procesos

Clasifica las proposiciones en:Propiedades: si un hecho es cierto un intervalo lo es en todos sus subintervalos. Es equivalente a los hechos de McDermott.Evento: equivalente a los eventos de McDermott.Procesos: un proceso ocurre en un intervalo si y sólo si ha ocurrido en algún subintervalo del intervalo original (“Pedro corre más de 4 km”).

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Shoham87: conjunto extensible de propiedades

Tanto la clasificación que propone McDermottcomo Allen para las proposiciones puede resultar excesivamente exhaustiva o insuficiente, dependiendo de la aplicación.

“he corrido menos de 2 km” no se representa adecuadamente en ninguna de las dos propuestas.

Debe construirse una categorización a medidapara cada problema.

Para ello debemos responder a la pregunta: “Sabiendo que una determinada proposición es cierta en un intervalo ¿qué puedo afirmar de dicha proposición en los subintervalos del intervalo original?”.


Algunas categorías propuestas:Hereditaria hacia abajo: cuando la proposición es cierta en un intervalo es cierta en todos sus subintervalos.

“El robot se desplazó menos de 2 km”.Hereditaria hacia arriba: si una proposición es cierta en todos los subintervalos de un intervalo es cierta en el intervalo.

“El robo viajó a una velocidad constante de dos km/hora”.

Líquida: es hereditaria hacia abajo y hacia arriba a la vez.

“El brazo del robot está agarrando la pelota”.

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Algunas categorías propuestas:Concatenable: si la proposición es cierta sobre dos intervalos consecutivos es cierta sobre su unión.

“El robot empezó a moverse y se detuvo en el mismo punto”.

Sólida: nunca sucede sobre dos intervalos tales que uno de ellos contiene al otro.

“Pasaron exactamente cinco minutos”.Gestalt: la proposición nunca es cierta sobre dos intervalos que se solapan.

“El robot ejecutó el procedimiento de navegación de principio a fin”.


X1X0 X4X31 hora 50 minutos 4 horas30 minutosX5

14:007:40 8:40 9:10 10:00

Corre más de 4 km[hereditaria hacia arriba]

Va desde de su casa al trabajo [Gestalt]

Está trabajando [hereditaria hacia abajo]

¿De 11:00 a 12:00 estaba Pedro trabajando?¿De 9:30 a 9:45 Pedro va desde su casa hasta el trabajo?¿De 8:35 a 9:10 Pedro corre un poco más de 4 km?

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Agenda





Bibliografía.

Otras consideraciones sobre razonamiento temporal

Requiere de una base de datos temporal.Hay dos tipos diferentes de información temporal a considerar en las bases de datos:

El tiempo transaccional: cuándo se introdujo la información en el sistema. El tiempo en el que la información es válida para la entidad del mundo real.

“El 02-06-06 a las 12:00 se introdujo en el sistema los resultados del análisis de la muestra de sangre extraída el 26-05-06 a las 10:00”.

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En base a estos tipos de información temporal se pueden distinguir los siguientes tipos de bases de datos:

Bases rollback: sólo representan el tiempo de transacción.Bases históricas: sólo representan el tiempo en el que el dato es válido.Bases de datos bitemporales: representan ambos tiempos.

Las últimas suelen ser las más adecuadas para tareas de razonamiento temporal.

En el mundo real hay muchos problemas legales…


La información puede no llegar ordenadatemporalmente.

La información que se descubre en el momento actual sobre el pasado debe poder cambiar nuestra interpretación del presente.La información descubierta en el presente sobre el momento actual debe poder cambiar nuestra interpretación del pasado.

Al menos para visualización, suelen ser necesarios varios ejes temporales (gestión dela gradualidad).

Dependiendo del eje, un mismo dato puede representarse de un modo diferente (emplea un nivel de detalle mayor o menor).

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BibliografíaJ. Allen, “Towards general theory of action and time”. Artificial Intelligence, 23, 123-154, 1984.S. Barro, R. Marín, J. Mira, A. Patón, “A model and a language for the fuzzy representation and handling of time”, Fuzzy Sets and Systems, 61, 153-174, 1994.P. Van Beek, "Reasoning About Qualitative Temporal Information". Artificial Intelligence, 58, 1-3, 297-326, 1992.C. Bettini, X. Wang, S. Jajodia, “A General Framework and Reasoning Model for Time Granularity”. TIME 1996: 104-111.R. Dechter, I. Meiri and J. Pearl, “Temporal constraint networks”, Artificial Intelligence, 49, 61-95, 1991.D. Dubois, H. Prade, “Processing fuzzy temporal knowledge”, IEEE Trans. on Systems, Man andCybernetics 19(4), 729-744, 1989.

BibliografíaI. A. Goralwalla, Y. Leontiev, M. T. Özsu, D. Szafron, C. Combi. "Temporal Granularity: Completing the Puzzle". J. Intell. Inf. Syst. 16, 1, 41-63, 2001.D. V. McDermott, "A Temporal Logic for Reasoning AboutProcesses and Plans". Cognitive Science 6, 101-155, 1982.U. Montanari, “Networks of constraints: fundamental properties and applications to picture processing”, Information Science, 7, 95-132, 1974.I. Navarrete, A. Sattar, R. Wetprasit, R. Marín, “On point-duration networks for temporal reasoning”, Artificial Intelligence, 2002.M. Vilain and H. Kautz, “Constraint propagation algorithms form temporal reasoning”, Proc. of the AAAI-86, 377-382, 1986.Y. Shoham, " Temporal Logics in AI: Semantical andOntological Considerations". Artificial Intelligence, 33, 1, 89-104, 1987.

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¿Preguntas?Abraham Otero Quintana

[email protected]

http://www.uspceu.com/

razonamiento temporal impreciso

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