*RAZONAMIENTO LOGICO

Se usan símbolos para representar los términos de enlace, así:

Para la "y" se utiliza el símbolo

Para la "o" se utiliza el símbolo

Para el "no" se utiliza el símbolo ¬

= igualdad

≠ diferencia

∞ Infinito

"si,.... entonces.." es una proposición condicional

"si y sólo si" se tiene un bicondicional.

el orden de las operaciones es:1. Paréntesis2. Potencias y raíces3. Multiplicaciones y divisiones4. Sumas y restas

Para hallar el punto medio en una recta:

X1 X2

X1+X2/2

1L es 0.001m3 1000 mililitro 1000 cm3

CLASES DE NÚMEROS

NATURALES (N): Con ellos contamos. Son enteros y positivos (1, 2, 3, 4,...) Y los números cardinales son los mismos pero agregándole el 0.

ENTEROS (Z): Son todos los naturales y sus opuestos, además del cero (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …..)

FRACCIONARIOS:

( a−b

)=(−ab

) = a un número negativo

¿)=(−a−b )= a un número positivo

(−ab ) Menos en el medio se le toma usualmente como un menos en el numerador.

Para saber cuándo una fracción es mayor que otra se hace lo siguiente:

59

78

Entonces 59

< 78

Hacemos una multiplicación en cruz (5.8)=40 y (7.9)=63 Ahí vemos que 7/8 es mayor. Para comprobarlo podemos coger a 5/9 y multiplicar a cada uno por el denominador de la otra fracción: (5.8)=40 y (9.8)=72 igual a 40/72 y la otra (7.9)=63 y (8.9)=72 igual a 63/72

RACIONALES (Q): Los que podemos escribirlos como cociente de dos enteros con tal de que el denominador sea diferente de cero.

IRRACIONALES (I o Q*): Son números cuya parte decimal tiene infinitas cifras no periódicas. Por ejemplo, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo de 2, ni 3, ni 5, ni 7….

Y la raíz de dos es:

REALES (R): Son números que existen. Se llaman números reales a todos los racionales e irracionales.

IMAGINARIOS (I): Como hemos hecho referencia a los números REALES querrá decir que también hay IMAGINARIOS. Son aquellos que pueden surgir cuando realizamos algunas operaciones cuyo resultado nos puede dar una raíz cuadrada de un número negativo:

No existe ningún número que multiplicado por sí mismo (hemos de incluir su signo) nos dé –9, porque –3 x –3 siempre será 9 y NO –9. Luego es número imaginario.

NÚMEROS PRIMOS (P):Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene exactamente dos divisores positivos. A los números NO primos se les llama números compuestos, también podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma.Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede expresarse como producto de 7.1b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede expresarse como 3.5 y también como 15.1

El producto de 2 primos no es un número primo. Un número primo al cuadrado no da un número primo. Es posible que la diferencia de 2 primos de un primo, pero no siempre es así. La razón de 2 números diferentes primos no da un primo. Todo número compuesto puede ser expresado como el producto de factores primos.

COMPLEJOS (C): Son números que constan de dos clases de números: reales e imaginarios

NÚMEROS DECIMALES

Un decimal contiene dos partes, una parte entera y una decimal. Por ejemplo

1526

= 0,576923 el 0 es la parte entera y el 576923 es la parte decimal.

Cuando un número esta sobre un denominador potencia de 10, contamos después de la coma cuantas cifras hay y así mismo le ponemos los ceros.

Por ejemplo:

0,00007= 7

100000 = 7

105

45,32= 4532100

Pueden clasificarse en:

Exactos o limitados: Cuando el número de la parte decimal tiene cifras limitadas.

75100

= 34

= 0,75

Inexactos o ilimitados: cuando el número de la parte decimal tiene cifras ilimitadas.

a) Periódicos puros:

0,aaa… = 0,â = a9

0,ababab… = 0,â^b= ab99

b) Periódicos mixtos:

0,abbb… =ab−a90

0,abcbc… =abc−a990

2,4666… =46−490

+2=4290

= 715

+2=3715

CUADRADOS PERFECTOS:

El producto de 2 cuadrados perfectos es otro cuadrado perfecto. Para que un número sea cuadrado perfecto todos los exponentes deben ser pares.

NÚMEROS MIXTOS: Un número mixto está formado por un número natural y una fracción. Hay dos casos:

Primero: Pasar de fracción a número mixto.

Ejemplo 8/5. Se hace la división 8:5= 1 y el resto es 3. Por tanto: 1 es el número natural y 3 es el numerador de la fracción y le denominador no cambia, es decir 5.

Segundo: Pasar de número mixto a fracción. El número natural se multiplica por el denominador, se suma el numerador y el denominador no cambia. Ejemplo 1 + 3/5. Operamos: 1X5 = 5+3 = 8

3 81 ---- = ----

5 5

NÚMEROS CAPICÚA:

Aquel que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.Ejemplo: 44; 232; 4114…

Numero perfecto

Se dice que un número es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores, excepto el mismo. Por ejemplo: Los divisores de 6 son: 1, 2, 3 y 6. 1+2+3=6

MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO:

El cero es múltiplo de todos los números porque todo número multiplicado por cero es cero. Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. Un número es divisible entre 3 cuando sumando las cifras del número me da un número múltiplo del 3. Por ejemplo: 3465=

3+4+6+5= 18 y 18 está en la tabla del 3 pues 3*6=18 Un número es divisible entre 4 cuando las 2 últimas cifras son 0 o múltiplo de 4 ej.: 400 o 3448 Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5 Los múltiplos de 6 deben ser divisibles entre 2 y 3 al mismo tiempo. Para determinar si un número es divisible por 7, saca el último digito del número, duplícalo y réstalo del número restante. Si

este resultado es exactamente divisible por 7 entonces el número es divisible por 7. Puede ser que necesites repetir esto varias veces.ejemplo: es 3101 divisible por 7? SI 3101 1*2=2 310-2= 308 8*2=16 30-16=14

En los múltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 9. Los múltiplos de 10 terminan en 0. Un número es divisible por 11 cuando la diferencia de la suma de sus pares e impares es 0.

Ejemplo:

8 3---- = 1 ----5 5

9

3 4 6 5 9-9=0 Entonces, 3469 es divisible por 11 9

Decir si un número es factor quiere decir que si es divisor. Todo número elevado a la 0 es 1.

Ejemplo: 0 a la 0 es 1; 9 a la 0 es 1y el 0 elevado a cualquier otro número es 0. Ejemplo: 0 a la 4 = 0

REGLAS DE PARIDAD:

La suma de dos pares o dos impares siempre es par. La suma de un par y un impar es siempre impar. La suma de una cantidad par de impares es un número par. El producto de dos números pares es par. El producto de un número par con un impar es par.

REGLAS DE LA POTENCIACIÓN

an∗bn=(a∗b)n

an∗am=an+m

(a¿¿n)m=an∗m¿

a0=1

am

an=am−n

(a .b . c )m=am. bm. cm

( ab)m

=am

bm

Cuando nos preguntan por los divisores de un número:Si descomponemos el número 6728, nos da: 23292 y es posible hallar los divisores gracias a la multiplicación de las potencias más uno, es decir: (3+1).(2+1)= 12

Cuando un número negativo se eleva a una potencia par, el resultado es positivo, pero cuando se eleva a una potencia impar, el resultado es negativo.

Siempre las potencias pares nos da un positivo.

Exponentes negativos Un exponente negativo nos quiere decir que tenemos que dividir 1 sobre el número propuesto. Ejemplo:

x-1 =

1

x-2 =

1

x-3 =

1

x x2 x3

RAÍCES

-Cuando se descompone un radicando lo hacemos en factores primos.

-Como sumar y restar raíces:Estas operaciones solo se pueden efectuar si el índice del radical (n) y el radicante (el que está adentro de la raíz) son iguales

Por ejemplo:a n√d+b n√d+c n√d=(a+b+c) n√dSi tienes un problema como √5 + √7, no puedes hacer nada, no se puede simplificar más, ya que el radicante en diferente.Lo mismo pasa con restas de raíces, así: √3 − √2. Sólo puedes aproximar la resta.

Por ejemplo:

*√5 + √5 = 2√5

*3√12 + √12 = 4√12 (No está el 1, pero se infiere que está ahí, solo que no se pone.)

*6√20 + 10√20 − 3√20 = 13√20

Y por supuesto, si tienes suma o resta bajo la raíz, la puedes calcular: √15+19=√34

Multiplicar y dividir raíces

La situación es muy diferente con multiplicación y división. Hay leyes así:

√a√b = √ab

√a

√b

=√ a

b

Entonces, en lugar de multiplicar las raíces, puedes multiplicar los radicandos, poniéndolos bajo la misma raíz. O, en lugar de dividir las raíces, puedes dividir los radicandos, poniéndolos bajo la misma raíz. Ejemplos:

√5 × √7 = √5 × 7 = √35

√0.1 × √10 = √1 = 1

√63 / √7 = √63/7 = √9 = 3

Combinando las operaciones:

√5 √3 + 17Primero se suma 3 y 17. Entonces, combina todo bajo una raíz (multiplicando los radicandos). Como resultado tendrás 100 de radicando, y el resultado es 10, porque 10x10= 100

√3 × 20

√15

Primero multiplicar 3 × 20. Entonces combinar todo así que sea bajo una raíz. Entonces tienes 60/15 bajo la raíz, o 4. Tomar la raíz se obtiene 2.

√4 + 9 + 3√13Sumando 4 + 9 se obtiene 13 como radicando en la primera raíz. Entonces se puede combinar o sumar las dos raíces, y el resultado es 4√13.

Mínimo común múltiplo (M.C.M.)

El número más pequeño (no cero) que es múltiplo de dos o más números.¿Qué es un "múltiplo"?

Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar.

Aquí tienes ejemplos:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, etc...

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, 60, 72, etc...

¿Qué es un "múltiplo común"?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Los múltiplos de 4 son: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...Los múltiplos de 5 son: 5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,...

Ejemplo: Ángela compra siempre los caramelos en paquetes de 2 y los chocolates en paquetes de 3. Hoy ha comprado el mismo número de caramelos y chocolates y en el menor número posible de ellos. ¿Cuántos caramelos y cuantos chocolates han comprado hoy?

*calculamos los primeros múltiplos de cada número:

Múltiplo de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14…

Múltiplo de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…

Los primeros múltiplos comunes son 6 y 12 y el menor en 6 entonces compra 6 de cada uno.

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 2010: 1, 2, 5 y 10

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

40 2 60 220 2 30 210 2 15 35 5 5 51 1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2x2x5= 20

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

Ejemplo: Isabel tiene 12 claveles y Moisés 18 rosas. Quieren hacer ramos con los claveles y las rosas de forma que haya el mismo número de cada tipo en cada ramo.

Divisor de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Divisor de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Entonces el máximo número de ramos que pueden hacer es de 6.

3 rosas y 2 claveles.

*RAZONAMIENTO MATEMATICO

RAZONES Y PROPORCIONES

*Razón: Cuando comparemos 2 magnitudes mediante una división diremos que esas 2 magnitudes se encuentran en una razón. Por ejemplo, sean a y b dos cantidades, entonces una razón entre a y b es

a : b = a /b; y lo leeremos a es a b

Por ejemplo, si las edades de Pedro y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12:15 o Si simplificamos la fracción obtenemos:

*Proporción: a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12•5=4•15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:

REPARTO PROPORCIONALEl reparto proporcional es una operación cuya finalidad consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto.

Reparto proporcional simple directo

El reparto es directo cuando a mayor número de unidades que tenga el índice de reparto más le corresponde al beneficiario, y es simple cuando el índice de reparto está formado por un solo factor.

Ejemplo: repartir una herencia de 1800 entre 3 hermanos: Andrés de 14, helena de 12 y pedro de 9. De modo que el que más años tenga reciba más dinero. ¿Cuánto recibe Andrés?

Cantidad a repartir: 1800

# De partes: 35 (edad de los 3 hermanos (14+12+9=35))

35 1800

14 x

Reparto proporcional simple inverso

Entonces tenemos que invertir los valores

Ejemplo: repartir 300 inversamente proporcionales a los números 2 y 3 significa que hemos de repartir entre:

Para ello sumo estas cantidades

Ahora no tengo más que dividir 300 en partes proporcionales a:

1) 2)

Reparto proporcional directo compuesto

El reparto es directo cuando a mayor número de unidades que tenga el índice de reparto, más le corresponde al beneficiario; y es compuesto cuando el índice de reparto está formado por dos o más factores.

Ejemplo: Repartir 100 entre dos hermanos, Juan de 15 años y María de 16 años que al final de curso han obtenido unas notas cuyas medias han sido de 8 y 9, de modo que quien más edad y mejores notas ha sacado debe recibir más dinero.

Solución:Los dos tipos de datos los multiplicamos y luego sumamos:

100 264120 Xx= 45.45

Reparto proporcional inverso compuesto El reparto proporcional es inverso cuando a mayor número de unidades que tengan los índices de reparto, menor cantidad le corresponde al beneficiario y viceversa, y es compuesto si los índices de reparto están formados por dos o más factores.

Ejemplo: Una cantidad de 5.000 han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 25, 45 y 55 años y sus sueldos mensuales son 1000, 1200 y 1400 respectivamente.

El reparto ha de ser proporcional a la edad y al sueldo quien menos años tiene recibirá más dinero y quien menos gana ha de recibir más de gratificación.

Solución:Simplificamos los datos (1ª columna por 5, y la 2ª por 200)

Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su correspondiente en la otra (u otras) serie o series, tipo o tipos:

Sus inversos son:

Calculamos la suma de las partes:

Hallamos la constante de proporcionalidad:

Multiplicamos esta cantidad por cada una de las partes y de este modo calculamos la parte que ha de percibir cada operario:

Reparto proporcional mixtoEl reparto proporcional mixto se refiere a que la cantidad a dividir o repartir se hace de forma directa respecto a uno o varios tipos de datos o series de datos e inversa respecto a otros.

Ejemplo: Una cantidad de 5000 han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son 30, 40 y 50 años y sus sueldos mensuales son 1200, 1400 y 1600 respectivamente. El reparto ha de ser directamente proporcional a la edad e inversamente proporcional al sueldo: quien menos años tiene recibirá menos dinero y quien menos gana recibirá más de gratificación.Solución:

1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:

Simplificamos los datos:

2) Los dos tipos de datos los multiplicamos por su correspondiente en la otra teniendo en cuenta que en este segundo tipo los datos son inversamente proporcionales:

Calculamos el m.c.m. de los denominadores de = 56

Las fracciones entre paréntesis podemos escribirlas:

=

Cuando todos los denominadores de cada parte son iguales PODEMOS PRESCINDIRLOS y nos quedan los numeradores. El problema se reduce ahora a repartir en partes proporcionales a 28, 32 y 35.

Hallamos la constante de proporcionalidad:

REGLA DE TRES.

La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad comparándola con otras tres o más cantidades conocidas.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

Ejemplo: Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:

Regla de tres simple inversa

En la regla de

tres, simple inversa, en la relación entre los valores se cumple que:

Donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres, simple inversa, tendremos:

Y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.

Si por ejemplo tenemos el problema:

Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo). Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simples inversas, tenemos:

REGLA DE TRES COMPUESTA

En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo: 9 grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

A más grifos, más euros Directa .

A más horas, más euros Directa .

9 grifos 10 horas 20 €

15 grifos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo: 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros

trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más días Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

5 obreros 6 horas 2 días

4 obreros 7 horas x díasse invierten los valores menos el de la referencia o la columna en donde está la incógnita.

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo: Si 8 obreros realizan en 9 días, trabajando a razón de 6 horas por día, un muro de 30 m.

¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que

faltan?

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas, menos días Inversa.

A más metros, más días Directa.

9 días 8 obreros 6 horas 30 mx días 10 obreros 8 horas 50 m

x. 10. 8. 30 = 9. 8. 6. 50

x. 2400 = 21600

x = 9

*Para que el asunto se vuelva más fácil, diremos que cuando es reparto proporcional directo lo asociamos con unas líneas cruzadas y cuando es inverso con una líneas rectas.

*Y para saber más fácil, si es directo o inverso, tomamos una referencia, que sería el lugar en donde está la incógnita. Entonces, por ejemplo:

-Una textilera emplea 10 telares durante 24 horas para producir 400 m. cuadrados de tela. Si en temporada alta se deben producir 600 m. cuadrados en 12 horas, entonces el número de telares que deben emplearse es…T H M. cuadrados10 24 400X 12 600

ReferenciaA más telares, menos horas: Inversa

A más telares, más metros cuadrados: Directa

(10)(24)(600)24 (400)

= x

X= 15

CONJUNTOSPertenencia: Єsubconjunto: ej: a b= a esta contenido en bigualdad: =unión= UUn conjunto se dice que es vacío si no tiene elementos y se denota simbólicamente por: ØEl conjunto que costa de todos los elementos en discusión se denomina conjunto universal, y se designa por: U. un conjunto puede representarse gráficamente utilizando figuras cerradas, l lamadas diagramas de ven . Para representar el conjunto y dentro de él los conjuntos.

Operaciones con conjuntos: Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos conjuntos:

Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen en A o están en B (o en ambos)

Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B.

U A

Diferencia: (símbolo -) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A - B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.

Complemento: (símbolo ‘) conjunto formado por los elementos del conjunto universal que no están en A.

Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto AΔ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar .

Ejemplos: Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda

ocurrir en un experimento aleatorio , con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más

probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones :

Suceso : Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar un dado se obtenga 4.

Espacio muestral : Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo

representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, S}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Sucesos independientes : Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no

se ve afectada porque haya sucedido o no B.

*Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes : Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve

afectada porque haya sucedido o no B.

*Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

La unión de sucesos:

A - B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A - B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

A B se lee como "A o B"

Ejemplo : Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar

múltiplo de 3". Calcular A B.

Casos posibles: (1, 2, 3, 4, 5, 6)

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

P= 4/6

La intersección de sucesos :

A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".

Ejemplo : Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar

múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B ={6}

ANÁLISIS COMBINATORIO:

VARIACIONES: (SI IMPORTA EL ORDEN) Se agrupan de todas las formas posibles, parte de los elementos totales, importando el orden de distribución de cada elemento en los diferentes grupos.

Sin repetición: Vnm=n. (n−1 ) . (n−2 )… m vecesEj: de cuantas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero y de un club de futbol sabiendo que hay 12 candidatos. Sol: Si importa el orden porque no es lo mismo presidente, vicepresidente y tesorero y como solo se eligen 3 de 12 (porque no puedo ser al mismo tiempo presidente y vicepresidente) diremos que es una variación.

V 123=12∗11∗10 = 1320 formas diferentes.

3 vecesEj: ¿de cuántas maneras se pueden sentar 4 personas en 5 butacas numeradas? Como hay diferente número de elementos a combinar (4 personas en 5 butacas) y las butacas están numeradas, hacen que el orden importe y por lo tanto sea una variación sin repetición, pues las personas no se pueden repetir.

Sol: V 54= 5 x 4 x 3 x 2 = 120

Con repetición:VRnm=nm Ej: ¿Con los números 1, 2, 3, cuantos números de 5 cifras puedo hacer?

Sol: VR 35=35=243Cuantos son pares?Sol: Para que sea par tiene que terminar en par. En este caso el único par es el 2. Entonces:

__*__*__*__* 2 VR 34=81

EJ: ¿Cuántas cifras se pueden formar si lanzamos dos dados? Elementos: 6 (del 1 al 6). Cada elemento se puede repetir dos veces.

Sol: VR62 = 62= 36

COMBINACIONES: (NO IMPORTA EL ORDEN) Se agrupan de todas las formas posibles. Parte de los elementos totales, no importando el orden de distribución de cada elemento en los diferentes grupos.

Con repetición: C Rmn=(m+n−1)!n! ,(m−1)!

Ej: Existen 5 tipos de bebidas en una bodega. Si quiero escoger de a 4 botellas. ¿Cuantas formas hay?SOL: no importa el orden, y se pueden repetir

C R54=(5+4−1) !4 ! ,(5−1)!

= 8 !4 ! 4 !

=40320576

=70

Sin repetición=

Ej: ¿cuantas apuestas de lotería primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los 6 resultados?Sol: la lotería primitiva son los números del 0 al 49 o sea 50 números. Nos damos cuenta de que no importa el orden de los números, lo único que importa es sacar los 6 números. Entonces es una combinación. En el caso de la primitiva no se puede repetir ninguno de los 50 números. Entonces:

C (50,6 )= 50 !44 ! ,6 !

=50∗49∗48∗47∗46∗456∗5∗4∗3∗2∗1

=50∗49∗48∗47∗46∗45∗44720

= 15.890 .700

PERMUTACIONES: (SI IMPORTA EL ORDEN): Se diferencia porque se agrupan de todas las formas posibles, todos los elementos, importando el orden de distribución de cada elemento en los diferentes grupos.

Con repetición: PRnx , y , z= n !x ! y ! z !

Ej: con el número 2-2-2- 3-3-3-3- 4-4. ¿Cuantos números de 9 cifras se puede formar?SOL: el 2 se repite 3 veces, el 3 cuatro veces y el 4 dos veces. Cuando hago números con cifras sí importa el orden porque no es lo mismo decir 21 o 12.

Pr 93,4,2= 9 !3 !4 !2 !

=9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗13∗2∗1 4∗3∗2∗12∗1 =

25202

=1260

Ej: ¿de cuántas maneras se pueden sentar 3 hombres y 3 mujeres (da igual cómo se llamen) en 6 butacas?Hay el mismo número de elementos a combinar (6 personas, 6 butacas). Hay do elementos repetidos (el elemento hombre 3 veces y el elemento mujer otras 3).

Sol: Pr63,3= 6 !3 !3 !

= 6∗5∗4∗3∗2∗13∗2∗1∗3∗2∗1

= 20

Sin repetición: Pn= n!Ej: ¿de cuántas maneras se pueden sentar 4 personas, en 4 butacas numeradas? Hay el mismo número de elementos a combinar (4 personas, 4 butacas). Las butacas numeradas hacen que el orden importe. Sol: P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24EJ: ¿Cuantos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5?P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120

EJ: ¿De cuantas formas, respecto al total, se pueden ordenar en una línea 4 hombres y 2 mujeres, si las mujeres deben estar siempre juntas?SOL: como las mujeres deben ir juntas las tomaremos como si fueran una sola persona y permutamos porque son las formas en

que se pueden acomodar (ab o ba) P2: 2x1= 2Entonces serian 4 hombres y 1 mujer = 55∗4∗3∗2∗1(2 x1)6∗5∗4∗3∗2∗1

=26=13

Permutación circular:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

PORCENTAJE

En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene el número 100

como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por ciento significa “de cada cien unidades”. Se

usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número,

se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

Por ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'. También puede ser

representado como:

y, operando:

El 32% de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir:

32/100 *2000= 640

Por ejemplo: aumentar 60 en un 20%.

1.- Calculamos cuanto representa el 20%:

(60 x 20) / 100 = 12

2.- Se lo sumamos al importe inicial:

60 + 12 = 72

PROGRESIONES

Progresiones aritméticas

Las progresiones aritméticas son sucesiones de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es

igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

*3 - 8 = -5

*-2 - 3 = -5

*-7 - (-2) = -5

*-12 - (-7) = -5

d= -5.

Cálculo del término general

1 Si conocemos el 1 e r término.

an = a1 + (n - 1) · d

Suma de términos en una progresión:

Se cumple que la suma del 1 término y del último es igual a la suma del 2 término con el penúltimo término, y así sucesivamente.

Ejemplo:

S: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10

S: 1 – 2 – 3 – 4 – 5S: 10 – 9 – 8 – 7 – 6

11 – 11 – 11 – 11 – 11

Entonces como cada suma es igual a 11 y son 5 sumas multiplicamos 11 por 5.

Progresiones geométricas

Las progresiones geométricas son sucesiones en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior

una cantidad fija r , l lamada razón .

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3 1 = 5

45 = 15 × 3 2 = 15

135 = 45 × 3 3 = 45

405 = 135 × 3 4 = 135

5 = 405

Y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Ejemplo: en una progresión geométrica el 5 término vale 81 y el primer término 1. Cuanto es la razón?

A1=1 A2=A3=A4=A5=81Entonces: A5= AR41

81= 1R4

81= R4

R= raíz cuarta de 81 R= 3

*RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

Angulo: abertura entre dos rectas que se cortan en un punto.

a

Los ángulos se clasifican según su medida, de acuerdo a su posición y según sus características.

SEGÚN SU MEDIDA:

1. Llano (plano):

Es el que mide 180°

2. Agudo:

Es el que mide menos de 90° pero mayor que 0°

3. Recto:

Angulo que mide 90°

4. Obtuso:

Es el que mide más de 90° y menos de 180°

5. Nulo:

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

O A B

m<AOB=0°

6. De una vuelta:

Es el que mide 360°

SEGÚN LA POSICION DE SUS ANGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos adyacentes cuando tienen a el mismo vértice y un lado común tal que los ángulos se encuentran

a uno y otro lado del lado común. También son llamados ángulos consecutivos.

SEGÚN SUS CARACTERISTICAS

Complementarios:

Son dos ángulos cuya suma es igual a un Angulo recto 90°

Suplementarios:

Son dos ángulos cuya suma es igual a un ángulo rectos 180°

Bisectriz de un Angulo:

Es el rayo que partiendo del vértice de un Angulo, lo divide en dos ángulos congruentes.

A

O a x

a

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS AL SER CORTADOS POR UNA SECANTE

-Los ángulos alternos internos o externos son congruentes.

-Los ángulos conjugados internos o externos son suplementarios

-Los ángulos correspondientes son congruentes.

Alternos internos

Son iguales

Correspondientes

Conjugados

Sumados dan 180º

Triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores es 180º

3. Si tiene dos lados iguales, sus ángulos también son iguales.

Semejanza de triángulos

a b a/b=x/y

x y

Tipos de triángulos:

Equiláteros: todos sus lados congruentes o iguales, todos sus ángulos internos son iguales y suman 60º

*y la altura es igual a: √32

*(lado)

Isósceles: tiene dos lados congruentes y esto implica que tenga dos de sus ángulos congruentes.

*Todo triángulo equilátero es isósceles.

Escaleno: todos sus lados son diferentes

Rectángulo: uno de sus ángulos es recto (mide 90º).

*Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa y catetos.

Teorema de Pitágoras:

Hipotenusa al cuadrado = cateto 1 al cuadrado + cateto 2 al cuadrado. La suma

de los cuadrados pequeños (b+a) es igual al cuadrado grande (c).

Polígono: Figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados: el triángulo, el cuadrado, el pentágono y el hexágono son polígonos; un polígono es regular si tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales si no cumple alguna de estas condiciones se llama irregular.

PARA HALLAR CUANTAS DIAGONALES TIENE UN POLÍGONO Debemos tener en cuenta que las diagonales se repiten dos veces, por lo tanto utilizamos la formula y dividimos entre 2.

n(n−3)2

ÁREAS

El área es la medida de la región o superficie encerrada de una figura geométrica en unidades cuadradas .

*Si se conoce el perímetro de un rectángulo su máxima área es la de las longitudes de un cuadrado.

*Si se conoce el área de un rectángulo podemos decir que el perímetro mínimo es la de un cuadrado.

Áreas de las figuras planas

Área de un triángulo

El área de un triángulo equilátero en función de su lado es: L2√34

en función de su altura: h2√33

Área de un cuadrado

O diagonal al cuadrado sobre dos. =

D2

/2perímetro 4L*Si queremos hallar la diagonal de un cuadrado simplemente cogemos el lado y lo multiplicamos por raíz de 2.*Todo cuadrado es un rectángulo, pero no todo rectángulo es un cuadrado

Área de un rectángulo

Perímetro 2B + 2H

Área de un rombo

Perímetro 4L

Área del romboide

A = b · h

Área del trapecio

Área de un polígono regular

Área de un círculo

O

π D2

/2 D= diagonal. Perímetro o circunferencia=2πr

Área de una esfera es

4πr2

Volumen

1.- El volumen de un cubo es igual al cubo de uno de sus lados, esto se expresa como:

V = l3

2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:

V = Bh

3.- El volumen de un cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado por la altura, esto se expresa como:

V = Π r2 h

4.- El volumen de una pirámide El área de la base por la altura, sobre 3 lo cual se expresa como:

V = B.h/3

5.- El volumen del cono es igual a pi por radio al cuadrado, por la altura sobre 3.

V= Π r2 h /3

6.- El volumen de la esfera

V= 4/3 ΠR3

7.- el volumen de un paralelepípedo

Área de la base x altura

Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y se enuncia de la siguiente manera

Altura2 = m.n