razões e proporções - ranildolopes.files.wordpress.com · exercícios 2) no início de uma...
TRANSCRIPT
1- RazãoEm nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e
quando fazemos comparações, estamos relacionando dois
números.
Na linguagem matemática, todas essas comparações são
expressas por um quociente chamado razão. A palavra razão
vem do latim “ratio”, e significa divisão. Temos, então:
5 1
20 4
1
2
2 1
10 5
De cada 10 alunos, 2 gostam de
Matemática
Um dia de sol, para cada dois de
chuva
De cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos
RazãoComparação
Uma razão é uma divisão entre dois números.
São exemplos de razões:3
ou 3:55
4,5 ou 4,5:2
2
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
2
1- Razão
Usa-se uma razão quando queremos
comparar unidades, entre si.
Por exemplo:
Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de
sumo de laranja e 2 litros de água.
O sumo de laranja está para a água na
razão de 3:2 ou na razão 3/2.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
3
1- Razão
A Maria e o João dividiram uma pizza entre
si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o
João ficou com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da
Maria e o número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
4
1- Razão
Numa razão, os termos (números) têm
um nome próprio, tendo em conta o sítio
onde se escrevem.
Por exemplo:
Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se
antecedente e o número 5 chama-se
consequente.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
5
1- Razão
Num mapa, a escala é a
razão entre a distância no
mapa e a distância real
correspondente.
No mapa da figura, a distância entre
Cascais e Estoril é de 1,6 cm. A distância
real entre as duas localidades é de 3,2 km.
Qual é a escala do mapa?
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
6
1- Razão Na escala de um mapa o antecedente da razão
costuma ser 1 e as unidades utilizadas são as
mesmas, nos dois termos da razão.
1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)
3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e
Estoril)
A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente
deve ser 1, temos de dividir os termos da razão por
1,6.
(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)
A escala do mapa é 1:200000.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
7
Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e largura,
ou área e área), suas medidas devem ser expressas na mesma
unidade e nesse caso, a razão é um número puro.
Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das
superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a
quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de basquete
possui uma área de 240 m2, vamos escrever:
Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:2
2
180 3
240 4
m
m
Se as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros
percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número cuja
unidade depende das unidades das grandezas a partir das quais
se determina a razão. Para irmos de uma cidade A para uma
cidade B, percorremos 240 km. Se fazemos este percurso em 3
horas, a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto em
percorrê-la é igual à divisão entre as medidas das duas
grandezas. Não podemos esquecer a unidade resultante desta
divisão: 24080 /
3
kmkm h
h
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
8
Exercícios
2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11
jogadores de um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro
tempo, um desses jogadores, com 1,77m de altura foi
substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68m de
altura. No segundo tempo, outro jogador, com 1,73m de altura
foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de altura dos
jogadores desse time?
1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na
razão de 4 para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno
seja 66 m, determine a largura (em metros).
3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da
conta em um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham
dinheiro e, por isso, cada uma das outras teve que pagar R$
5,00 a mais do que o previsto. Qual foi o valor da conta?
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
9
2- ProporçãoEm uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30
alunos entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de
Matemática, portanto também poderíamos supor que, se forem
entrevistados 120 alunos da mesma faculdade, 40 deverão
gostar de Matemática. Na verdade, ao falar de 40 alunos dos
120 alunos estamos afirmando que 10 estão representando em
30 o mesmo que 40 em 120.
Escrevemos: 10 40
30 120
Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte:
em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos.
2 : 4 : : 9 : 18 2. 18 = 4. 9 36 = 362 9
4 18
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
10
2- Proporção
Considera a razão .
Se multiplicares ambos os termos da razão pelo
mesmo número, por exemplo, por 3, obtemos uma
nova razão:
Quando escrevemos a igualdade temos uma
proporção.
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas
razões.
2
7
3
3
2 6
7 21
2 6
7 21
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
11
2- Proporção
A proporção deve ler-se:
“2 está para 7 assim como 6 está para 21”.
Numa proporção, os números (termos) que lá
aparecem têm um determinado nome de acordo
com o sítio onde se encontram escritos.
Os números 2 e 21 são chamados os extremos.
Os números 7 e 6 são chamados os meios.
2
7 1
6
2
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
12
2- Proporção
Multiplica os extremos da proporção
Produto dos extremos: 2 x 21 = 42
Multiplica os meios da proporção
Produto dos meios: 7 x 6 = 42
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.
2
7 1
6
2
2
7 1
6
2
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
13
2- Proporção
Exercício
Numa escola, a razão do número de professores
para o número de auxiliares é de 16:2.
Que conclusão podemos tirar da informação dada?
RESPOSTA
Como a razão entre o número de professores e o
número de auxiliares é de 16:2, podemos concluir
que para cada 16 professores existem 2 auxiliares.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
14
2- Proporção
• Se o número total de professores e auxiliares forigual a 108, quantos professores e quantosauxiliares têm a escola?
18 108 16 108 172896
16 18 18x x x
x
RESPOSTA:
Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores.
Então, para 108 trabalhadores haverá x professores.
A escola tem 96 professores e
108 – 96 = 12 auxiliares.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
15
Uma propriedade fundamental para série de razões
iguais (ou proporção múltipla) é a seguinte: em uma
série de razões iguais, a soma dos numeradores está
para a soma dos denominadores assim como qualquer
numerador está para o seu respectivo denominador.
6 10 12 8 6 10 12 8 6 10 12 8
3 5 6 4 3 5 6 4 3 5 6 4
Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a
outros números dados significa encontrar parcelas desse
número que são diretamente proporcionais aos números
dados e que, somadas, reproduzam esse número.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
16
Divisão ProporcionalDivisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros
números dados significa encontrar parcelas desse número que
são diretamente proporcionais aos números dados e que,
somadas, reproduzam esse número.
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema
hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como
João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles
deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa
tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu
30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano
de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro
for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja
diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um
recebeu.https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
17
Divisão ProporcionalDivisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente
proporcionais a outros números dados é encontrar
parcelas desse número que sejam diretamente
proporcionais aos inversos desses números dados.
Exercício:
João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período
de tempo para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um
certo artigo. Se João chegou atrasado por 3 dias e
Pedro 5 dias, como efetuar essa divisão com justiça?
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
18
Grandezas ProporcionaisA proporcionalidade entre grandezas pode ser
direta ou inversa. Esquematicamente, se duas
grandezas são diretamente proporcionais podemos
representá-las como:
x y ou x y
Duas grandezas variáveis são diretamente
proporcionais quando, aumentando ou diminuindo
uma delas numa determinada razão, a outra
aumenta ou diminui nessa mesma razão.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
19
Proporção Inversa ou Grandezas
Inversamente Proporcionais
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais
podemos representá-las como:
x y ou x y
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas
numa determinada razão, a outra diminui (ou
aumenta) na mesma razão.
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
20
3- Regra de Três
Exercícios 2
Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de
30km/h e 27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma
distância. Se um gasta 18 minutos a mais que o outro,
determine o tempo gasto pelo ciclista mais lento.
Regra de três simples
Exercícios 1
Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45
kWh, quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho
para 20 minutos?W = P.T, onde:
W - energia consumida;
P - potência do eletrodoméstico considerado;
T - tempo de utilização do eletrodoméstico.
V = E/T, onde:
V - velocidade;
E - espaço;
T - tempo.https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
21
3- Regra de Três
Exercícios 2
Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias,
funcionando 7 horas por dia, quantas máquinas seriam
necessárias para realizar esta obra em 12 dias,
funcionando 10 horas por dia?
Regra de três composta
Exercícios 1
Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem
400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo
produzirão 7 operários, trabalhando 9 dias?
https://ranildolopes.wordpress.com-
Prof. Ranildo Lopes - FACET
22