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Raízes de Equações não Lineares
Computação – 2º Semestre 2016/2017
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Caso de Estudo
Efeito de Estufa
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares 2
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Efeito de Estufa
Tem-se observado ao longo dos anos um aumento da
pressão parcial do dióxido de carbono na atmosfera
327 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Esta tendência pode ser aproximada por um polinómio:
em que representa a pressão parcial de (ppm)
entre 1958 e 2008 aumentou de 315 para 386 ppm (≈22%)
Problema:
Quais as consequências do aumento do no pH da água da chuva?
4
38309.342)1983(418542.1)1983(012226.0 2
2 ttpCO
2COp2CO
2COp
2COp
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
O tem uma importância determinante no pH da chuva
O pH é uma medida da actividade dos iões de hidrogénio
que indica a sua acidez ou alcalinidade:
em que [H+] é a concentração molar dos iões de hidrogénio
5
][HlogpH 10
2CO
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
A química da água pode ser modelada pelo seguinte conjunto de equações:
em que:
KH é a constante de Henry
K1, K2 e Kw são coeficientes de equilíbrio
cT (carbono total inorgânico), (bicarbonato),
(carbonato), (ião de hidrogénio) e (ião hidroxilo) são as 5 incógnitas.
6
2
][HCO][H10
-
36
1
COH pKK
][HCO
][CO][H-
3
-2
32
K ][OH][H -wK
][CO][HCO10
2-
3
-
36
2 COH
T
pKc ][H][OH][CO2][HCO0 --2
3
-
3
][HCO-
3
][CO-2
3 ][H ][OH
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Os valores de pH[2,12] só podem ser medidos com 2 decimais
Solução:
7
3152COp
3862COp
2
][HCO][H10
-
36
1
COH pKK
2][H10
][HCO6
1-
3 COH pKK
][HCO
][CO][H-
3
-2
32
K][H
][HCO][CO
-
322-
3
K
226
-
3212-
3][H10
][HCO][CO COH pK
KK
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Os valores de pH[2,12] só podem ser medidos com 2 decimais
Solução:
Calcular o valor de pH que é a raiz da equação
Como apenas estamos interessados em obter 2 decimais correctas:
Iterações com o método da bissecção:
8
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
005.0tE
ntol
ab
2log
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Os valores de pH[2,12] só podem ser medidos com 2 decimais
Solução:
Calcular o valor de pH que é a raiz da equação
Como o pH varia entre 2 e 12 podemos calcular o número de
iterações que garante a precisão desejada:
>> n = log2((12-2)/0.005)
n = 10.9659
9
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
(número iterações = 11)
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Solução:
Traduzindo a função para MATLAB:function f = fpH(pH,pCO2)
K1=10^-6.3;K2=10^-10.3;Kw=10^-14;
KH=10^-1.46;
H=10^-pH;
f=K1/(1e6*H)*KH*pCO2+2*K2*K1/(1e6*H^2)*KH*pCO2+Kw/H-H;
end
10
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Solução:
Podemos calcular o pH em 1958:>> [pH1958 fx ea iter]=bisect(@fpH,2,12,1e-8,11,315)
pH1958 = 5.6279
fx = -2.7163e-008
ea = 0.08676
iter = 11
11
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
(número iterações = 11)
(muito pequeno)
5.63 (2 decimais correctas)
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Solução:
Podemos calcular o pH em 1958:>> [pH2008 fx ea iter]=bisect(@fpH,2,12,1e-8,11,386)
pH2008 = 5.5889
fx = 2.9653e-008
ea = 0.0874
iter = 11
12
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
5.59 (2 decimais correctas)
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Efeito de Estufa
Problema:
Assumindo KH=101.46, K1=106.3, K2=1010.3 e Kw=1014
Comparar os resultados em 1958 em que com os de
2008 em que
Solução:
1958 :
2008 :
13
3152COp
3862COp
][H][H][H10
2][H10
022 26
12
6
1
w
COHCOH
KpK
KKpK
K
][HlogpH 10
pH10][H
3152COp 63.5pH
3862COp 59.5pH
%5.22 %78.0
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Caso de Estudo
Atrito de um fluido
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares 14
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Atrito de um fluido
A determinação do atrito de um fluido quando passa num tubo é um problema importante em muitas áreas de ciência e engenharia:
Passagem de líquidos ou gases em canalizações
Corrente sanguínea
A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de atrito f:
onde: → rugosidade (m); D→ diâmetro (m)
→ nº de Reynold
→ densidade do fluido (kg/m3);
V → velocidade (m/s); → viscosidade (Ns/m2);
15
fDf Re
51.2
7.3log0.2
10
VDRe
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
A equação de Colebrook pode ser usada para calcular o factor de
atrito f:
Neste estudo: passagem do ar num tubo estreito
= 1.23 kg/m3; = 1.7910-5Ns/m2; D= 0.005 m; V = 40 m/s; = 0.0015(mm);
Os valores de f estão entre 0.008 e 0.08
Pode ser calculada uma estimativa aproximada de f com a equação
de Swamee-Jain:
16
fDf Re
51.2
7.3log0.2
10
VDRe
2
9.0Re
74.5
7.3ln
325.1
D
f
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
Solução:
Antes de resolver fazemos o plot>> rho=1.23;mu=1.79e-5;D=0.005;V=40;e=0.0015/1000;
>> Re=rho*V*D/mu;
>> g=@(f) 1/sqrt(f)+2*log10(e/(3.7*D)+2.51/(Re*sqrt(f)));
>> fplot(g,[0.008 0.08]),grid,xlabel('f'),ylabel('g(f)')
17
743.131079.1
005.0)40(23.1Re
5
VD
fffg
743.13
51.2
)005.0(7.3
0000015.0log0.2
1)(
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
A solução é 0.03
Método de Newton-Raphson:>> dg=@(f) -2/log(10)*1.255/Re*f^(-3/2)/(e/D/3.7 ...
+2.51/Re/sqrt(f))-0.5/f^(3/2);
>> [f ea it]=newtraph(g,dg,0.008)
f =
0.02896781017144
ea =
6.870124190058040e-006
it =
6
>> [f ea iter]=newtraph(g,dg,0.08)
f =
NaN + NaNi
1827 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
O método de Newton-Raphson é muito eficiente mas
requer boas estimativas iniciais.
Sabendo a equação de Swamee-Jain:>> fSJ=1.325/log(e/(3.7*D)+5.74/Re^0.9)^2
fSJ =
0.02903099711265
>> [f ea iter]=newtraph(g,dg,fSJ)
f =
0.02896781017144
ea =
8.510189472800060e-010
iter =
3
1927 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
Se usarmos a função fzero também podemos ter problemas:>> fzero(g,0.008)
Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign
change because complex function value encountered during search.
(Function value at -0.0028 is -4.92028-20.2423i.)
Check function or try again with a different starting value.
ans =
NaN
>> fzero(g,0.08)
ans =
0.02896781017144
2027 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Atrito de um fluido
Este problema também pode ser resolvido pelo método das
substituições sucessivas:
21
21
Re
51.2
7.3log
25.0
i
i
fD
f
27 Março 2017 Raízes de Equações não Lineares
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Problemas
27 Março 2017 22Raízes de Equações não Lineares
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Problemas
1. Considere a seguinte função:
a) Use o gráfico da função para identificar um intervalo inicial onde estão
todas a raízes da função.
b) Use o método da bissecção para calcular a primeira raiz da função
com a garantia de correcção 4 casas decimais.
c) Use o método de pesquisa incremental para localizar automaticamente
todas as raízes da função.
d) Defina uma função que combine os métodos anteriores para calcular
todos os zeros da função com 4 casas decimais correctas.
(baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas)
23Raízes de Equações não Lineares
12211875.2)( 23 xxxxf
27 Março 2017
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Problemas
2. Considere a seguinte função:
a) Use o gráfico da função para identificar uma boa estimativa inicial para
a raíz da função.
b) Use o método das substituições sucessivas para calcular a raiz da
função com um erro aproximado inferior a 0.001%.
c) Use o método de Newton-Raphson para calcular a raiz da função com
um erro relativo inferior ou igual a 10-8.
d) Use a função fzero para calcular a raiz da função com um erro
relativo inferior ou igual a 10-8.
(baseie-se sempre no gráfico para obter as estimativas iniciais requeridas)
24Raízes de Equações não Lineares
xxxf )sin()(
27 Março 2017