razão e proporção razão: é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo...
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Razão e Proporção
Razão: é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, sendo que o segundo número é diferente de zero.
Como você pode perceber, uma razão é representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:
2
1
2
1
4
3
4
3
3
5
3
5
10
7
10
7
Número racional (representado por fração)
Razão (representada por fração)
1/2 lê-se: um meio 1/2 lê-se: um para dois ou um está para dois
3/4 lê-se: três quartos 3/4 lê-se: três para quatro ou três está para quatro
5/3 lê-se: cinco terços 5/3lê-se: cinco para três ou cinco está para três
7/10lê-se: sete décimos 7/10 lê-se: sete para dez ou sete está para dez
OS TERMOS DE UMA RAZÃO: O ANTECEDENTE E O CONSEQÜENTE
Vamos considerar a notação . O que ela representa?
A notação é um numeral (fração) que representa um número “três quintos”, onde 3 é o numerador, e 5, o denominador.
Porém, é a representação também da razão “três para cinco”, onde 3 é o antecedente, e 5, o conseqüente.
5
3
5
3
5
3
RAZÕES EQUIVALENTES
Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão equivalente à primeira.
Veja o exemplo:
16
12
12
9
8
6
4
3
lIrredutíveForma5
4
15
12
30
24
60
48
PROPORÇÃO
A proporção é uma igualdade entre duas ou mais razões.
Quando temos a igualdade só de duas razões , chamamos essa igualdade de proporção simples.
Se tivermos a igualdade de mais de duas razões , chamamos de proporção contínua.
Desta forma temos que:
simplesoporçãoy
xPr
5
2
contínuaoporçãozyx
Pr354
Propriedade Fundamental
A propriedade fundamental da proporção diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
cxbdxad
c
b
a
Exemplos:
1) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:
a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) -124
Solução:
5
3
2
2
3
2
y
xquee
y
x
96.log12)4.(3;8)4(.2
:
4106910691010
3)23(5)22(5
3
23
22
:
33
.22
yxoyx
temosyexemadevalorodosubstituin
aaaaa
xaxaa
a
temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin
ayay
eaxax
2) Sabendo que x + y = 42, determine x e y na proporção .
429
5 yxe
y
x
27)3.(9;15)3(.5
:
314
424214429542
:
99
.55
yx
temosyexemadevalorodosubstituin
aaaayx
temosproporçãooutranayexdevaloresosdosubstituin
ayay
eaxax
3) A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.
452
7 FPe
F
P
10)5.(2;35)5(.7
:
59
45459452745
:
22
.77
FP
temosFePemadevalorodosubstituin
aaaaFP
temosproporçãooutranaFePdevaloresosdosubstituin
aFaF
eaPaP
Porcentagem
Introdução:
Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:
1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
12100
1200
100
10120 x
2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?
quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
40100
4000
100
40100 x
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
( lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Definição de taxa porcentual ou porcentagem:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplos:
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Exercícios
Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Solução:Vamos igualar as razões. 8 = 2X 7 2x = 8 x 7 2x = 56 X = 56/2 X = 28Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual
a 8 é : 8/28 = 2/7
2) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunos desta turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
Solução:Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y. x/y = 5/4 (Igualam-se as razões) x + y = 45 (Soma total de alunos) x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções) x 5 45/x = 9/5 45 x 5 = 9x 225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos : 25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem
par será : 25 – 20 = 5 moças Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.
a)14 e 20 anos
b)14 e 21 anos
c)15 e 20 anos
d)18 e 17 anos
e)13 e 22 anos
Solução:
21)7.(3;14)7(.2
:
75
35355353235
:
33
;.22
ba
temosbeaemxdevalorodosubstituin
xxxxba
temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin
xbxb
xaxa
35;3
2 ba
b
a
4) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.
a)17cm³ e 28cm³
b)18cm³ e 27cm³
c)19cm³ e 28cm³
d)20cm³ e 27cm³
e)n.d.a
Solução:
9;3
2 ab
b
a
27)9.(3;18)9(.2
:
99239
:
33
;.22
ba
temosbeaemxdevalorodosubstituin
xxxab
temosproporçãooutranabeadevaloresosdosubstituin
xbxb
xaxa
5) O preço de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?
Solução:
Porcentagem Preço
120 35 000
100 x
6) Aumentando-se 10% uma grandeza positiva x e do resultado diminui-se 10% obtemos:
(A) x(B) 0,9·x(C) 0,99·x(D) 1,1·x(E) 1,2·x
Solução:
Acrescentar 10% em X significa dizer que x passa a ser 1,1 x.
Retirar 10% de 1,1x é igual: 0,11
Logo :
1,1x – 0,11x = 0,99x
7) Com o reajuste de 10% no preço da mercadoria A, seu novo preço ultrapassará o da mercadoria B em R$9,99. Dando um desconto de 5% no preço da mercadoria B, o novo preço dessa mercadoria se igualará ao preço da mercadoria A antes do reajuste de 10%. Assim, o preço da mercadoria B, sem o desconto de 5%, em R$, é
Solução:
Temos: 1,1 A = B + 9,99 e que 0,95 B = A
1,1( 0,95 B ) = B + 9,991,045 B = B + 9,991,045B – B = 9,990,045B = 9,99B = R$ 222,00
FIM