COLEGIO PARROQUIAL MIXTO SAN PEDRO CHANEL

SOCIEDAD DE MARIA (PADRES MARISTAS)

SULLANA

CURSO: FSICA PROFESOR: LIC. ROSA MELVA VERA R.

CRITERIO II: RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACINTEMA: PORCENTAJE SERIES - SUMATORIAS.

1 | 5to

Regla del tanto por Cuanto

El 4 por 11 < >

Ejemplo 1: Calcular el 2 por 5 de 15.

Solucin:

Tanto por Ciento (%): En general:

NOTA

Si pierdo o gasto

Queda

20%

80%

35%

65%

2,5%

97,5%

2%

98%

x%

(100 - x)%

Si gano o agrego

Resuelta

22%

122%

45%

145%

2,3%

102,3%

0,5%

100,5%

x%

(100 + x)%

Descuentos y Aumentos Sucesivos

Ejemplo: A qu descuento nico equivale 2 descuentos sucesivos del 20% y 30%?

Solucin:

Cantidad Inicial: 100%

Descuento

Queda

20%

80%

30%

70%

Cantidad final: 70 % x 80 % (100 %)

=

Luego el descuento nico ser de:

100% - 56% = 44%

Observacin:

Si tenemos que hacer dos descuentos sucesivos del % y del % stos pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores, ste es el descuento nico equivalente (Du) y se calcula as:

Ejemplo 7. A qu aumento nico equivalen 2 aumentos sucesivos del 20% y 30%?

Solucin:

Cantidad Inicial: 100%

Cantidad final : 130% x 120% (100%)

=

Luego el aumento nico ser de:

156% - 100% = 56%

Observacin:

En el caso de tener dos aumentos sucesivos del % y del %, el aumento nico equivalentes (Au) que reemplaza a estos dos aumentos es:

Ejemplo 8. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 40% equivalen a un descuento nico de ...

Solucin:

Inicio: 100%

Final: 80% . 70% . 60% . (100%)

Por frmula:

Como son ms de 2 descuentos sucesivos, se aplica la frmula de 2 en 2.

Aplicacin Comercial del Porcentaje

Observacin:

La ganancia o prdida generalmente, se expresa como un porcentaje del precio de costo, salvo que se diga otra cosa.

La rebaja o descuento se expresa como un porcentaje del precio de lista.

1. Si el precio de un producto se rebaja en un 80 %, en qu porcentaje hay que aumentar el nuevo precio para volver al precio original?

a) 160 % b) 16 % c) 400 %

d) 500 % e) 200 %

2.

Cul es el nmero que multiplicado por si mismo, y disminuido en la unidad es igual al del 200 por 2 del del inverso del mismo nmero?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 10

3.

El del del del de 500000, es:

a) 12 b) 11 c) 8 d) 16 e) 40

4. El 30 % del 120 % del 40 % de un nmero es igual al 60 % del 80 % de 30. Hallar el 20 % del 40 % de dicho nmero.

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

5. se vende un lapicero en S/. 680 perdiendo el 15 % del costo. A cmo se debe vender para ganar el 9 %?

a) S/. 872 b) S/. 836 c) S/. 827

d) S/. 724 e) S/. 936

6. Milagros vendi un libro Ganando el 20 % del precio de venta y el 10 % del precio de costo. Si lo vendi en S/. 748, cul fue su costo?

a)S/. 468 b) S/. 500 c)S/. 525 d)S/. 544 e)S/. 642

7.

Restar del 5 % de y restar de el 10 % de . Al dividir el primer resultado entre el segundo se obtiene.

a) b) c) d) e)

8. los lados de un cuadrado se triplican, en que porcentaje aumenta el rea?

a) 300 % b) 800 % c) 600 %

d) 900 % e) 200 %

9. Un Instituto tena 1200 alumnos de los cuales el 40 % eran mujeres y el 60% hombres. El nmero de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, en qu porcentaje aument el total de alumnos?

a) 30%b) 24%c) 50%

d) 40%e) 25%

10.

El de es . Hallar

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 4

11. Tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, equivalen a un descuento nico.

a) 47.78% b) 47.62% c) 44%

d) 48.62% e) 47.72%

12. Cul es el aumento nico equivalente a los aumentos sucesivos del 10%, 20%, 25% y 30%?

a) 148% b) 164% c) 172% d) 149% e) 128%

13. El 7 por 10 del 5 por 13 del 2 por 5 de 260 es:

a) 27 b) 29 c) 26 d) 28 e) 25

14. Si un equipo de sonido fue vendido en S/. 2340 dejando una utilidad del 30%, entonces para ganar solamente el 20% sobre el costo debera venderse en:

a) S/. 2 000 b) S/. 1 990 c) S/. 2 160 d) S/. 1 980 e) S/. 2 120

15. El ancho del rectngulo aumenta en 20%, mientras que el largo disminuye en 20%. En qu tanto por ciento vara su rea?

a) 4% b) 6% c) 8% d) 5% e) 3%

16. Si el radio de una piscina circular aumenta en 100%, entonces para que su volumen no vari, su altura debe disminuir en un:

a) 55% b) 70% c) 50% d) 60% e) 75%

17. Para vender un producto se aumenta su precio en S/. 40, a fin de ganar el 20% del precio de costo. Qu porcentaje del precio de venta se gan? :

a) 15% b) 14% c) 16,66% d) 17,2%e) 15,5%

SERIE NUMRICA

Es la adicin indicada de los trminos de una sucesin numrica y al resultado se le llama valor de la serie.

Sea la sucesin:

Entonces la serie numrica ser:

SERIE ARITMTICA

Es la adicin indicada de los trminos de una sucesin o Progresin Aritmtica.

En general: Para toda sucesin aritmtica de trminos:

La suma de todos sus trminos se obtiene:

SERIE GEOMTRICA

Pueden ser:

SERIE GEOMTRICA FINITA

Para toda sucesin o progresin geomtrica de trminos:

La suma de todos sus trminos se obtiene:

SERIE GEOMTRICA INFINITA

Para toda serie geomtrica de infinitos trminos su suma se calcula as.

SUMATORIAS

Se denota por la letra , leeremos suma de sus elementos:

PROPIEDADES DE SUMATORIAS

Nmero de trminos:

II.SUMAS NOTABLES

Suma de los primeros nmeros naturales:

Suma de los primeros nmeros pares.

Suma de los primeros nmeros impares.

Suma de los primeros cuadrados.

Suma de los primeros cubos.

Otras Formulas:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.

H.

I.

J.

K.

L.

1.

Sabiendo que:

Hallar el valor de:

a) 4b ) 5c) 10d) 12e) 14

2. Hallar n en:

a) b) c) d) e)

3. En una progresin aritmtica se conoce que:

; ; , hallar

a) 5b) 4c) 3d) 6e )7

4. En una progresin aritmtica, el tercer trmino es igual a 4 veces el primero y el sexto trmino es 17. Hallar la suma de los 10 primeros trminos.

a) 95b) 100c) 105d) 112e) 15

5.

Calcular

a) 9 870b) 9 960c) 9 710d) 9 250 e) 10 000

6.

Si: , hallar el valor de:

a) 42 130 b) 41 230 c) 44 100 d) 41 620 e) 42 62

7.

Calcular :

a) 1b) 2c) 2/5d) 3/4e) 1/2

8.

Calcular el valor de

a) 2 640b) 2 710c) 3 410 d) 2 570e) 3 650

9. Qu precio pide por su caballo quien exige por el primer clavo de sus herraduras s/. 125; s/. 216; por el segundo; s/. 343 por el tercero; hasta s/. 1 331 por el penltimo clavo

a) s/. 5 316b) s/. 5 984c) s/. 5697

d) s/. 5 270e) s/. 6 084

10.

Hallar el trmino 30 de una progresin aritmtica, si la suma de los primeros trminos es: .

a) 355b) 360c) 357d) 350e) 362

11.

Si:

Hallar:

a) 6b) 8c) 9d) 7e) 10

12. Calcular:

a) 7 479b) 7 849c) 8 749

d) 8 400e) 8 479

13. Hallar la siguiente suma:

a) b) c)

d) e)

14.

Calcular:

a) 110b) 100c) 105d) 92e) 115

15.

Calcular:

a) 1050b) 1400c) 1300d) 1030e) 1500

16. Calcular la suma de todos los nmeros que conforman el siguiente arreglo:

a) 36 000 b) 36 100c) 36 200 d) 36 400 e) 36 500

17. Hallar:

a) 16 250 b) 17 520 c) 18 510 d) 17 740e) 18870

n

1234

.......

n

Sttttt

qqqqq

=+++++

(

)

1

1

1

n

tq

S

q

-

=

-

1

Donde:t=Primertrmino

q=Razn (q1; q0)

n=Nmerodetrminos

1

1234

.......

1

t

Stttt

q

qqqq

=++++=

-

11

4

(

)

letragriegasigma

123

1

""sumandos

......

n

in

i

n

ttttt

=

=++++

144424443

(

)

12

....

NmerodeTrminos1

n

ikkkn

ik

ttttt

nk

++

=

=++++

=-+

(

)

nnnn

iiiiii

ikikikik

abcabc

====

++=++

111

nkn

iii

iiik

ttt

===+

=+

n

(

)

1

1

123....

2

n

i

nn

in

=

+

=++++=

n

(

)

1

2246.....21

n

i

innn

=

=++++=+

x

6

15

15

de

5

por

El 2

5

2

=

4

3

4

2

1

(

)

(

)

2

1

211357.......21

n

i

inn

=

-=+++++-=

(

)

(

)

22222

1

121

123.....

6

n

i

nnn

in

=

++

=++++=

(

)

2

33333

1

1

123....

2

n

i

nn

in

=

+

=++++=

(

)

(

)

(

)

332

3332

1

2246...221

n

i

innn

=

=++++=+

(

)

(

)

(

)

33

33322

1

23135....2121

n

i

innn

=

-=++++-=-

(

)

(

)

(

)

(

)

1

12

1122334.....1

3

n

i

nnn

iinn

=

++

+=+++++=

(

)

(

)

(

)

1

11111

.....

112233411

n

i

n

iinnn

=

=++++=

+++

(

)

(

)

(

)

(

)

1

11111

...

2121133557212121

n

i

n

iinnn

=

=++++=

-+-++

)

1

n

2

)(

1

n

(

n

)

n

2

(

...

8

6

4

2

)

i

2

(

3

2

2

2

2

2

2

n

1

i

2

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

100

a

%

a

=

)

1

n

2

)(

1

n

2

(

n

)

1

n

2

(

...

5

3

1

)

1

i

2

(

3

1

2

2

2

2

n

1

i

2

+

-

=

-

+

+

+

+

=

-

=

(

)

1.

n

ik

cnkc

=

=-+

2

2

3

3

3

3

3

n

1

i

3

)

1

n

(

n

2

)

n

2

(

...

8

6

4

2

)

i

2

(

+

=

+

+

+

+

+

=

=

)

1

n

2

(

n

)

1

n

2

(

...

7

5

3

1

)

1

i

2

(

2

2

3

3

3

3

3

n

1

i

3

-

=

-

+

+

+

+

+

=

-

=

30

)

1

n

n

9

n

6

)(

1

n

(

n

4

4

4

4

4

4

n

1

i

4

2

3

n

...

5

4

3

2

1

i

-

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

=

)

1

n

(

n

....

5

x

4

4

x

3

3

x

2

2

x

1

)

1

i

(

i

n

1

i

+

+

+

+

+

+

=

+

=

)

2

n

)(

1

n

(

n

3

1

+

+

=

)

2

n

2

(

n

2

...

10

x

8

8

x

6

6

x

4

4

x

2

)

2

i

2

(

ix

2

n

1

i

+

+

+

+

+

+

=

+

=

)

2

n

)(

1

n

(

n

3

4

+

+

=

4

3

3

x

)

1

n

2

(

n

4

3

2

n

1

i

i

1

n

3

nx

...

3

x

4

3

x

3

3

x

2

3

x

1

3

ix

+

-

=

+

=

+

+

+

+

+

=

)

1

n

(

n

)

1

n

(

n

1

5

x

4

1

4

x

3

1

3

x

2

1

2

x

1

1

n

1

i

)

1

i

(

i

1

...

+

+

=

+

=

+

+

+

+

+

=

%

56

%

100

x

100

80

x

100

70

=

1

n

2

n

)

1

n

2

)(

1

n

2

(

1

9

x

7

1

7

x

5

1

5

x

3

1

3

x

1

1

n

1

i

)

1

i

2

)(

1

i

2

(

1

...

+

+

-

=

+

-

=

+

+

+

+

+

=

)

1

n

(

4

n

)

2

n

2

(

n

2

1

8

x

6

1

6

x

4

1

4

x

2

1

n

1

i

)

2

i

2

(

ix

2

1

...

+

+

=

+

=

+

+

+

+

=

)

2

n

)(

1

n

(

4

)

3

n

(

n

)

2

n

)(

1

n

(

n

1

5

x

4

x

3

1

4

x

3

x

2

1

3

x

2

x

1

1

n

1

i

)

2

1

)(

1

i

(

i

1

...

+

+

+

+

+

=

+

+

=

+

+

+

+

=

1234...50

1357...69

K

E

=+++++

=+++++

2()

RKE

=-

2

(1)(2)(3)...()

nnnnaa

++++++++=

1

a

1

2

a

-

1

4

a

-

1

2

a

+

1

D

21

2

a

-

1

2

ta

=-

2

ra

=-

105

n

sa

=-

n

M

240 sumandos

123234345...

M

=+++++++++

1444442444443

2

()(1)

fnnn

=+

(0)(1)(2)...(19)

Rffff

=++++

K

2

D

123

...

282877

K

4

=++++

E

123466810...2544

Exxxxx

=+++++

n

2

63

nn

+

(2)(4)...7(1)

aaaanama

++++++=+

mn

+

244 sumandos

45736593...

P

=++++++++

1444442444443

33333

2468...(2)

Sn

=+++++

2

(1)

nn

-

%

100

D

x

D

D

D

Du

2

1

2

1

-

+

=

2

(1)

2

n

+

2

2(1)

nn

+

22

2(1)

nn

+

2

2

1

n

n

+

262015

201511

765

ijn

M

===

=++

10

2

1

(357)

k

Skk

=

=++

1491625361

491625361

91625361

16

25

361

L

L

L

MM

L

M

152637...3640

Axxxx

=++++

%

156

%

100

x

100

120

x

100

30

=

1

A

2

A

%

100

A

x

A

A

A

Au

2

1

2

1

+

+

=

%

6

,

33

%)

100

.(

100

60

.

100

70

.

100

80

=

=

%

4

,

64

%

6

,

33

%

100

Du

=

-

=

%

40

;

%

30

;

%

20

4

3

4

2

1

%

44

%

100

)

30

(

20

30

20

Du

=

-

+

=

%

40

;

%

30

;

%

20

%

44

4

3

4

2

1

%

4

,

66

%

100

)

40

(

44

40

44

Du

=

-

+

=

G

Pc

Pv

+

=

Descuento

P

P

v

L

+

=

Gastos

G

G

N

B

+

=

12%

50%

0,2%

2000%

3%

20

%

3

1

30

1

6

1

35

1

7

2

7

-

4

7

-

7

4

-

7

4

(

)

1%

x

-

(

)

36

x

+

2

5

x

""

x

123

;;;.....;

n

tttt

123

.....

n

Stttt

=++++

n

1234

.......

n

ttttt

rrrrr

+++++

+++++

1

123

......

2

n

n

tt

Sttttn

+

=++++=

1

n

Donde:t=Primertrmino

t=ltimotrmino

n=Nmerodetrminos