ravno stanje napona i deformacije
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
1/13
METOD KONAČNIH ELEMENATA
1. Ravno stanje napona
Oznake:
• A površina ploče; m• !A !i"eren#i$alno mali elemen% površine A; m
• % !e&l$ina ploče; m• '() '* komponen%e vek%ora pomeran$a u ; m• p() p* komponen%e vek%ora +pol$ašn$e, op%ere-en$a na kon%'ri ploče; kNm
• pv)() pv)* komponen%e vek%ora pA / t p0; kNm p0 zapremin+ke +ile
• 2( ) 2*) 2(* komponen%e %enzora napona σ; kNm
• n() n* komponen%e vek%ora normale n na kon%'ri 3
Kinema%ika veza izme4' pomeran$a i !e"orma#i$a:
( ) ( ) ( )
( )
∂∂
∂∂
∂
∂∂
∂
== y xu
y xu
x y
y
x
y x y x y
x
)
)5
5
)) Luε ) ,!e $e L ma%ri#a opera%or.
Kon+%i%'%ivne rela#i$e veza izme4' napona i !e"orma#i$a:
Eεσ =
1
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
2/13
−−=
155
51
51
1
ν
ν
ν
ν
E E
Napomena: εz ≠5) i o!re4'$e +e iz '+lova !a $e napon σz / 5 : ( ) y x z E σ σ ν
ε +−=
6rin#ip vir%'alno, ra!a:
. Ravno stanje deformacije
Oznake:• A površina ploče; m
• !A !i"eren#i$alno mali elemen% površine A; m
• '() '* komponen%e vek%ora pomeran$a u ; m• p() p* komponen%e vek%ora +pol$ašn$e, op%ere-en$a na kon%'ri ploče) po $e!ini#i !'7ine ' z
prav#'; kNm
• pv)() pv)* komponen%e vek%ora pA) po $e!ini#i !'7ine ' z prav#'; kNm
• 2( ) 2*) 2(*) 2z komponen%e %enzora napona σ; kNm
• n() n* komponen%e vek%ora normale n na kon%'ri 3
Kinema%ika veza izme4' pomeran$a i !e"orma#i$a:
( ) ( ) ( )
( )
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
== y xu
y xu
x y
y
x
y x y x y
x
)
)5
5
)) Luε ) ,!e $e L ma%ri#a opera%or.
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
3/13
Kon+%i%'%ivne rela#i$e veza izme4' napona i !e"orma#i$a:
Eεσ =
( )( ) ( )
( )
−
−−
−
−+
−=
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν ν
ν
1
155
511
51
1
11
1 E E
Napomena: σz ≠5) i o!re4'$e +e iz '+lova !a $e napon εz / 5 : y x z σ σ ν σ +=6rin#ip vir%'alno, ra!a:
TROUGAONI KONAČNI ELEENT
8
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
4/13
( )
( ) y x y xu
y x y xu
y
x
111
)
)
γ β α
γ β α
++=
++=
( )
( )
( ) 88181188
111
11111111
)
)
)
x x
x x
x x
u y x y xu
u y x y xu
u y x y xu
=++=
=++=
=++=
γ β α
γ β α
γ β α
( )
( )
( )88181188
111
11111111
)
)
)
y y
y y
y y
u y x y xu
u y x y xu
u y x y xu
=++=
=++=
=++=
γ β α
γ β α
γ β α
=
8
1
8
1
1
1
1
88
11
88
11
1555
1555
1555
5551
5551
5551
y
y
y
x
x
x
u
u
u
u
u
u
y x
y x
y x
y x
y x
y x
γ
β
α
γ
β
α
=
8
1
8
1
81
81
11
81
81
81
1
1
1
555555
555
555
555
555
1
y
y
y
x
x
x
uu
u
u
u
u
cccbbb
yaa
ccc
bbb
aaa
A
γ β
α
γ
β
α
88
11
1
1
1
y x
y x
y x
A =
118
8118
881
y x y xa
y x y xa
y x y xa
−=
−=
−=
18
18
81
y yb
y yb
y yb
−=
−=
−=
18
81
81
x xc
x xc
x xc
−=
−=
−=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )8811
8811
))))
))))
y y y y
x x x x
u y x N u y x N u y x N y xu
u y x N u y x N u y x N y xu
++=
++=
9
!
"
i# $
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
5/13
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) yc xba A
y x N
yc xba A
y x N
yc xba A
y x N
8888
1111
1)
1)
1)
++=
++=
++=
=
=
8
8
1
1
:
;
9
8
1
y
x
y
x
y
x
u
u
u
u
u
u
v
v
v
v
v
v
v
( ) ( )vNu y x y x )) =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
y x N y x N y x N
y x N y x N y x N y x
)5)5)5
5)5)5))
81
81N
Kinema%ika:
%vLNvLuε ===
=
8811
81
81
555
555
1
bcbcbc
ccc
bbb
A%
6rin#ip vir%'alno, ra!a:
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
6/13
0ek%or čvorno, op%ere-en$a:
pA / #on+%. p / #on+%.
Naponi:
−−=
8
8
1
1
8811
81
81
555
555
1
1
55
51
51
1
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
u
u
u
u
u
u
bcbcbc
ccc
bbb
A
E
ν ν
ν
ν
σ
σ
σ
dA
dA
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
7/13
ATRI&A KRUTO'TI TROUGAONOG KONAČNOG ELEENTA
#1=?n1) &1?n?#1>#1?n1?&1) &1?&>#1?n1?#) &1?n?#>#1?n1?&) &1?&8>#1?n1?#8) &1?n?#8>#1?n1?&8@
< &1?n?#1>#1?n1?&1) #1=>&1=?n1) #1?n?&>&1?n1?#) #1?#>&1?n1?&)#1?n?&8>&1?n1?#8) #1?#8>&1?n1?&8@
< &1?&>#1?n1?#) #1?n?&>&1?n1?#) &=>#=?n1) &?n?#>#?n1?&) &?&8>#?n1?#8) &?n?#8>#?n1?&8@
< &1?n?#>#1?n1?&) #1?#>&1?n1?&) &?n?#>#?n1?&) #=>&=?n1)
#?n?&8>&?n1?#8) #?#8>&?n1?&8@
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
8/13
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
9/13
+'miran$e po ponovl$enom in!ek+'
G
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
10/13
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
11/13
0ek%or čvorni +ila:
L jk !'7ina op%ere-ene kon%'re
a pA i p / #on+%. :
Naponi ' elemen%':
11
&
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
12/13
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−−−++−−+−−−
−−++−−
+−+−−−
−−=
ym
xm
yk
xk
yj
xj
yi
xi
xy
y
x
u
u
u
u
u
u
u
u
abababab
bbbb
aaaa
E
1
11
11
11
11
11
11
11
1
1
151
151
151
15
51
151
151
151
1
(
(
155
51
51
1)
)
)
η ξ η ξ η ξ η ξ
ξ ξ ξ ξ
η η η η
ν ν
ν
ν η ξ σ
η ξ σ
η ξ σ
Ma%ri#a kr'%o+%i:
K / 1.C1?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B9?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?B8?nC1)11?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=Ca=>a=?n)
C1F?%?e?B8?nC1@
.1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)C1F?%?e?B8?nC1)1?%a&?e?BC&=>&=?n>a=)C1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)1F?%?e?B8?nC1)C11?%a&?e?BC&=>&=?n>9?a=@
8.C11?%a&?e?B9?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?B8?nC1)C1?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=Ca=>a=?n)1F?%?e?B8?nC1)11?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?Bn>1@
9.1F?%?e?B8?nC1)1?%a&?e?BC&=>&=?n>a=)
1
-
8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije
13/13
C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)C1F?%?e?B8?nC1)C11?%a&?e?BC&=>&=?n>9?a=)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B&=C&=?n>?a=@
.11?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?B8?nC1)C1?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B9?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?B8?nC1@
.C1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)1F?%?e?B8?nC1)C11?%a&?e?BC&=>&=?n>9?a=)1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)C1F?%?e?B8?nC1)1?%a&?e?BC&=>&=?n>a=@
.1?%a&?e?B&=Ca=>a=?n)1F?%?e?B8?nC1)11?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B9?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?B8?nC1)C1?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?Bn>1@
F.
C1F?%?e?B8?nC1)C11?%a&?e?BC&=>&=?n>9?a=)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B&=C&=?n>?a=)1F?%?e?B8?nC1)1?%a&?e?BC&=>&=?n>a=)C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=C&=?n>?a=@
18