Rapport du jury

CONCOURS DE RECRUTEMENT DES PROFESSEURS CERTIFIES DE L’ENSEIGNEMENT AGRICOLE

CAPES A et deuxième catégorie

externe

section MATHÉMATIQUES session 2013

Rapport présenté par Xavier SORBE, président du jury

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Table des matières 1. PRÉSENTATION DU CONCOURS 2013

1.1 Composition du jury .................................................................................................. 1.2 Effectifs et notes ........................................................................................................ 1.3 Textes réglementaires ................................................................................................

2. COMMENTAIRES

2.1.1 Épreuves écrites .............................................................................................. 2.1.2 Épreuves orales ...............................................................................................

3. SUJETS

3.1 Énoncé de la première épreuve écrite ..................................................................... 3.2 Énoncé de la deuxième épreuve écrite .................................................................... 3.3 Liste des sujets de la première épreuve orale ......................................................... 3.4 Énoncés de la deuxième épreuve orale ...................................................................

2 3 4 6 8

10 17 23 25

Les épreuves écrites se sont déroulées les 25 et 26 février. Les épreuves orales se sont tenues du 28 au 31 mai 2013 dans les locaux du lycée d’enseignement général et technologique agricole Le Valentin à Bourg-lès-Valence. Que soient ici remerciés Monsieur le Proviseur et les personnels du lycée pour la qualité de leur accueil.

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1. PRÉSENTATION DES CONCOURS 2013 1.1 Composition du jury ARNAL Florent, professeur agrégé, IUT BORDEAUX 1,

BODY Bernard, professeur agrégé, rectorat de GRENOBLE,

BOULAY-BADOR Karine, professeur certifié, LEGTA MACON,

BOYER Philippe, professeur certifié, LEGTA BOURG-LES-VALENCE,

FARDOUX Marc, professeur agrégé, LEGTA CASTANET-TOLOSAN,

GAUMET Jean-Pascal, professeur agrégé, lycée Montaigne BORDEAUX,

GÉRARD Danielle, professeur agrégé, IUFM TOULOUSE,

KRIR Mohamed, vice-président du jury, maître de conférences, université VERSAILLES SAINT-QUENTIN,

LARBI Kamel, professeur agrégé, LEGTA BOURG-LES-VALENCE,

MACÉ Alain, inspecteur d’académie − inspecteur pédagogique régional, rectorat ROUEN,

MASOUNAVE Alice, professeur certifié, LEGTA PAU,

MONTMASSON Lionel, professeur agrégé, LEGTA CASTANET-TOLOSAN,

PACULL Christian, vice président du jury, inspecteur de l’enseignement agricole, ministère de l’agriculture,

QUET Guillaume, professeur agrégé, LEGTA AUBENAS,

REBIHA Nadia, professeur certifié, LEGTA CHATEAUROUX,

SORBE Xavier, président du jury inspecteur général de l’éducation nationale, ministère de l’éducation nationale,

WATRIN Emmanuelle, professeur agrégé, LEGTA TOULOUSE-AUZEVILLE.

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1.2 Effectifs et notes Effectifs 2013 Inscrits Présents Admissibles Admis Liste

complémentaire Postes

CAPES A 132 59 45 5 13 5

deuxième catégorie (privé) 34 10 8 2 - 2

Certains candidats peuvent être inscrits aux deux concours, de sorte que cinq d’entre eux ont été admissibles aux deux concours. La session précédente des concours de recrutement des professeurs certifiés de l’enseignement agricole s’était tenue en 2011. Effectifs 2011 Inscrits Présents Admissibles Admis Liste

complémentaire Postes

CAPES A 215 112 59 8 16 8

deuxième catégorie (privé) 38 20 10 3 - 9

Les barres d’admissibilité sont identiques pour le CAPES A (public) et le concours de deuxième catégorie (privé).

Notes 2013 (sur 20) Écrit : moyenne dernier admissible (sur 20)

Écrit + oral : moyenne du dernier admis

Externe 6,05 13,02 (public)

9,46 (liste supplémentaire) 10,22 (privé)

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1.3 Textes réglementaires Des informations générales sont disponibles sur le site du ministère de l’agriculture, de l’alimentation, de la pêche, de la ruralité et de l’aménagement du territoire : http://www.chlorofil.fr/metiers-recrutements/textes-officiels/recrutement.html Les épreuves sont définies par l’arrêté du 14 avril 2010 fixant les sections et les modalités d’organisation des concours du certificat d’aptitude au professorat de l’enseignement du second degré agricole et du certificat d’aptitude au professorat de l’enseignement technique agricole (NOR : AGRS1005171A).

NATURE DES ÉPREUVES DURÉE COEFFICIENTÉpreuves écrites d’admissibilité

1. Culture disciplinaire 5 heures 2 2. Étude de thème 5 heures 2

Épreuves orales d’admission 3. Exercice pédagogique Préparation : 3 heures 3

Exposé : 30 minutes maximum Entretien : 30 minutes maximum

4. Épreuve professionnelle : exposé et entretien avec le jury Préparation : 1 heure 3 Exposé : 15 minutes maximum

Épreuves écrites d’admissibilité Les classes de lycées d’enseignement général et technologique agricole constituent le socle de référence du programme des épreuves d’admissibilité. Les épreuves écrites d’admissibilité visent à évaluer :

- la solidité et l’étendue des connaissances scientifiques du candidat ; - l’aptitude des candidats à mobiliser ses connaissances dans des contextes variés ; - les capacités du candidat dans le domaine de l’expression, clarté et précision des

raisonnements, qualité de la présentation et de la rédaction. 1. La première épreuve d’admissibilité consiste en une composition pouvant être constituée d’un

ou plusieurs problèmes, mobilisant des connaissances disciplinaires dans un ou plusieurs champs. Elle vise plus particulièrement à évaluer le candidat sur :

- sa maîtrise des savoirs et des compétences disciplinaires ; - sa capacité à organiser les connaissances. A ce titre, des aspects épistémologiques et

historiques de la discipline peuvent être intégrés dans cette épreuve. 2. La deuxième épreuve d’admissibilité porte sur des thèmes abordés dans les référentiels de

formation de mathématiques de l’enseignement agricole. Elle vise plus particulièrement à évaluer le candidat sur sa capacité à réinvestir les connaissances acquises au cours de sa formation dans la mise en œuvre de ces référentiels de formation.

Épreuves orales d’admission : Les épreuves d’admission permettent au jury d’apprécier les qualités d’expression orale du candidat, sa conviction dans les points de vue exprimés, son ouverture d’esprit, et finalement sa motivation et son aptitude professionnelle. 3. L’épreuve consiste en la présentation d’une leçon exposée par le candidat sur un thème parmi

deux qu’il tire au sort, en relation avec les référentiels de formation des classes de lycée d’enseignement général et technologique agricole. Le candidat élabore une séquence d’enseignement (plan et exercices) cette présentation est suivie d’un entretien avec les membres du jury portant sur l’exposé réalisé. Pendant la préparation, le candidat peut tirer profit du matériel informatique mis à sa disposition, afin d’illustrer devant le jury certains aspects de sa

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présentation. Il a également accès aux ouvrages de la bibliothèque du concours et peut, dans les conditions définies par le jury, utiliser des ouvrages personnels. L’épreuve vise à évaluer le candidat sur :

- l’utilisation des connaissances dans le cadre d’un exercice pédagogique ; - sa capacité à adapter le niveau de la leçon aux élèves susceptibles de lui être confiés ; - sa capacité à justifier ses choix portant sur les connaissances proposées et l’organisation

de la leçon ; - sa capacité à percevoir les relations possibles des mathématiques avec d’autres disciplines

et, d’une façon plus générale, la place des mathématiques dans la formation de l’élève 4. La deuxième épreuve orale d’admission est une épreuve professionnelle. Elle se compose :

1° D’un exposé en deux parties au cours duquel le candidat présente : - dans une première partie, son analyse d’une question tirée au sort (préparation : une

heure), en s’appuyant sur un ou plusieurs documents portant sur le thème de l’éducation et de l’enseignement agricole ;

- dans une seconde, son projet professionnel et ses motivations. L’exposé est d’une durée totale de 15 minutes, la première partie ne pouvant excéder 10 minutes. 2° D’un entretien avec le jury d’une durée de 30 minutes. Cette épreuve permet de vérifier que le candidat possède les connaissances, aptitudes et compétences requises : - aptitude à communiquer ; - ouverture culturelle et qualité de leur réflexion ; - connaissances des valeurs et exigences du service public et faculté d’agir en fonctionnaire

de l’État de façon éthique et responsable ; - intérêt pour le métier d’enseignant et aptitude à se projeter dans l’exercice du métier ; - connaissance de l’enseignement agricole, de son environnement, des différents publics et

partenaires.

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2. COMMENTAIRES 2.1 Épreuves écrites Première épreuve Le sujet ne posait pas de difficultés particulières. Une bonne maîtrise des programmes de terminale scientifique permettait aux candidats de valoriser leur culture mathématique et leur capacité de rédaction. Les démonstrations par récurrence sont utilisées trop systématiquement au détriment d’autres méthodes souvent plus simples. Certains candidats éludent les difficultés du raisonnement par récurrence, en généralisant à l’ensemble N des résultats constatés pour deux ou trois entiers naturels. Le jury rappelle que la maîtrise du raisonnement par récurrence est exigible d’un candidat au baccalauréat scientifique. La culture mathématique est dans l’ensemble assez faible : trop peu de candidats connaissent des résultats très classiques tels que la formule des probabilités totales ou le théorème de la bijection continue. Les questions sur la diagonalisation de matrices ou sur les séries entières ne sont pas abordées, ce qui laisse supposer que de nombreux candidats ne connaissent pas ces sujets. Le jury constate que les candidats qui réussissent sont ceux qui traitent le sujet progressivement sans tenter de grappiller des points. Partie 1 Il s’agit de la partie la mieux traitée, exceptée l’application aux probabilités dans la dernière partie de la question 3. La démonstration par récurrence est inadaptée à la question 1c) (i). Très peu de candidats abordent l’application des suites arithmético-géométriques aux probabilités, ce qui est surprenant pour ce type d’exercice régulièrement proposé au baccalauréat scientifique. Partie 2 Trop de candidats considèrent qu’on peut généraliser aux matrices les résultats démontrés pour les nombres réels dans la partie 1 et, de ce fait, en arrivent à diviser par des matrices sans se soucier de savoir si elles sont inversibles. Un candidat sur deux oublie que le produit matriciel n’est pas commutatif, par exemple en écrivant à la question 2)a) Un

= U0An . Il n’est pas admissible que des candidats ne sachent pas déterminer si une matrice d’ordre 2 est diagonalisable. Partie 3 Cette partie est peu abordée sauf dans quelques bonnes copies. Les connaissances sur les séries entières géométriques sont beaucoup trop lacunaires. Le reste est traité de manière très marginale. Deuxième épreuve Le sujet comporte deux exercices. Le premier porte les propriétés du nombre e et sur la vitesse de convergence de certaines suites vers ce nombre. Le second traite du problème des moindres carrés à l’aide de l’outil matriciel. Le premier thème est le mieux traité ; certaines parties du deuxième n’ayant quasiment pas été abordées. Il s’agit probablement d’une erreur stratégique due à des connaissances superficielles sur le calcul matriciel. Les candidats obtenant les meilleurs résultats sont ceux qui ont pu balayer le sujet dans son intégralité. Bien entendu, dans un concours de recrutement d’enseignants, la qualité de la rédaction est un critère important dans l’évaluation d’une copie. La plupart des candidats ont rendu des copies bien présentées et agréables à lire, reflétant la clarté de leur réflexion, mais certaines sont peu soignées et parfois confuses

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Exercice 1 Globalement les candidats traitent correctement les questions guidées mais laissent de côté les questions ouvertes. Ainsi les trois premières parties de l’exercice sont rédigées correctement. Le jury note parfois un manque de rigueur dans les équivalences entre inégalités ou encore l’oubli des conditions d’application lors d’une intégration par parties. On trouve également dans certaines copies des erreurs inattendues révélant un manque de maîtrise de quelques notions de base en particulier dans partie I question 3 où on demande de justifier la convergence de suites. Dans la partie III question 3.b, les candidats n’ont généralement pas su trouver une suite

géométrique dépendant de a et de raison 12

, ce qui ne les a pas empêchés d’utiliser ce résultat dans

la question suivante. Il est surprenant de constater que certains calculs sont effectués correctement mais sans prendre de recul sur leur intérêt et leur exploitation. Le jury remarque que l’objectif général du problème n’est pas toujours compris. Ainsi, pour la cinquième question de la partie III aucun candidat ne réalise une réelle synthèse des résultats obtenus. Il ne s’agissait pas de donner une liste des résultats précédents mais de les exploiter afin d’établir les propriétés du nombre e.

La partie IV consiste à démontrer l’égalité n→+∞lim 1+ 1

n

n

= e. Cette partie n’est souvent traitée que

partiellement, les candidats ayant du mal à faire le lien entre les questions. Rappelons ici que la

déduction « n→+∞lim 1+ 1

n

= 1 donc

n→+∞lim 1+ 1

n

n

= 1 » est incorrecte.

L’objectif de la partie V est de comparer la vitesse de convergence vers le nombre e de deux suites en utilisant certains résultats précédents. On trouve très peu de traces de recherche de cette partie dans les copies. On pouvait démontrer le résultat demandé dans la question 1 en utilisant un raisonnement par l’absurde ; peu de candidats semblent y avoir pensé. Les vitesses de convergence demandées pouvaient être conjecturées à l’aide de la calculatrice, ce qui aurait évité à certains

d’affirmer que « 1

k!k=0

n

∑ converge lentement vers le réel e ».

De futurs enseignants doivent se convaincre que la démarche algorithmique est une composante essentielle de l’activité mathématique, faisant partie intégrante des programmes du lycée. Exercice 2 Un nombre important de candidats a été déstabilisé par le thème et laisse apparaitre des connaissances trop superficielles en algèbre linéaire et en statistiques. L’étude comporte quatre parties. Les trois premières parties consistent à établir le résultat suivant : étant donnée une matrice A de Mn,p(R) et B un vecteur de En, si le rang de la matrice A est égal à son nombre de colonnes alors l’équation AX = B admet pour unique pseudo solution X =( tAA)

−1 tAB. On trouve deux types de copies : d’une part celles des candidats ayant quelques connaissances sur le sujet, d’autre part celles de nombreux candidats déstabilisés par manque de connaissances. Pour la partie I, les démonstrations des résultats des questions 1 et 2 sont parfois incomplètes, toutes les conditions nécessaires n’étant pas vérifiées. Les parties II et III ne sont souvent traitées que partiellement. La partie IV, application des parties précédentes, permet de déterminer les coefficients associés à la droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés pour une série bi variée. La partie consacrée à l’application est traitée par de nombreux candidats mais les calculs permettant de mettre en évidence le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite de régression obtenue avec

la méthode des moindres carrés, respectivement égaux à ˆ a = cov(X;Y )σ 2(X)

et ˆ b = y − ax , aboutissent

rarement. Certains candidats ont cependant des connaissances sur la méthode des moindres carrés.

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2.2 Épreuves orales Première épreuve d’admission Cette première épreuve consiste à présenter une leçon tirée au sort en relation avec les référentiels de formation des classes de lycée d’enseignement général et technologique agricole. Le candidat élabore le plan de la leçon, propose des exercices et développe un point précis qu’il a choisi. On observe que tous les candidats utilisent le vidéoprojecteur à leur disposition pour illustrer les corrections de leurs exercices. Certains s’en servent également pour projeter leur plan de cours. Les logiciels généralement retenus sont Geogebra, Xcas, les simulateurs de calculatrices et Open Office (tableur et traitement de texte). Cette épreuve est maintenant bien connue des candidats ; ceux-ci ne semblent plus déstabilisés par l’exposé. La gestion du temps est correcte. La présentation d’un plan et d’un développement prend diverses formes, l’outil informatique est très souvent utilisé pour exposer les grandes lignes, les détails étant par ailleurs développés au tableau. Les candidats doivent veiller à bien choisir la police de caractère. Certaines polices rendent parfois le plan projeté illisible. Cette épreuve permet au jury de vérifier que le candidat maîtrise suffisamment bien la discipline qu’il sera amené à enseigner et qu’il possède les qualités pour transmettre efficacement son savoir. Ainsi, lors de l’exposé, les pré-requis doivent être clairement identifiés et le plan cohérent et structuré. Il faut veiller à introduire les différentes notions dans un ordre logique. Les candidats doivent donc avoir une réflexion sur le sujet traité. Certains ne savent pas justifier leurs choix. Les illustrations d’une nouvelle notion, d’une conjecture au moyen de logiciels mathématiques de géométrie dynamique, d’algorithmes, de calcul formel sont nombreuses et bien adaptées. Les candidats qui ont fait le choix de copier le cours d’un manuel puis de le projeter lors de l’exposé, ont perdu beaucoup de temps pendant leur préparation. Le jury attend du candidat la maîtrise des différents points figurant dans son exposé. Les théorèmes et les définitions doivent être énoncés rigoureusement et sans erreur. En particulier les démonstrations exigibles au lycée doivent être parfaitement maitrisées Les exercices choisis pour illustrer le cours doivent être simples mais efficaces, sans être répétitifs ni donner lieu à des calculs compliqués. Il faut éviter toute technicité pouvant nuire à la compréhension de la notion introduite. Les candidats pensent rarement à utiliser des contre-exemples et des cas concrets. Lorsqu’une figure est réalisée à l’aide d’un logiciel il ne faut pas oublier qu’elle nécessite une vision collective. Elle doit donc être de taille suffisante et assez claire pour être lue par le jury. L’utilisation du vidéoprojecteur par les candidats manque parfois de pertinence, en particulier lorsqu’elle consiste à projeter une figure qui pourrait être construite simplement au tableau. Bien qu’une figure réalisée avec un logiciel permette de gagner du temps, il ne faut pas négliger l’aspect formateur d’une construction à la règle et au compas. Certains candidats ont eu par exemple des difficultés à construire au tableau la bissectrice d’un angle. L’utilisation des logiciels de géométrie à des fins dynamiques doit être privilégiée, afin d’aider à la réflexion et à la recherche de solutions. Le candidat doit impérativement savoir résoudre tous les exercices qu’il propose. Ce n’est malheureusement pas toujours le cas. Lorsque des candidats ont tenté de réaliser des algorithmes, quelques erreurs de programmation ont pu être corrigées pendant l’entretien. L’exposé manque souvent de structure ou d’articulation logique. Les contenus mathématiques ne sont pas toujours rigoureux. Les liens possibles avec les autres séquences sont souvent négligés. Parfois la partie consacrée au développement n’apparait pas de façon claire par rapport au plan. Trop de candidats s’appuient exclusivement sur les cours proposés dans les manuels scolaires et manquent de recul. Des efforts ont été faits pour proposer des exercices adaptés à des situations concrètes. Certains candidats savent réagir de façon constructive aux questions posées par le jury.

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Deuxième épreuve d’admission Au cours de cette épreuve, le jury attend que les réponses s’appuient sur une réflexion personnelle des candidats et sur un minimum de connaissance des principaux textes officiels relatifs au métier de professeur. Le jury note une méconnaissance générale des instances du lycée ainsi que des fonctions des divers personnels des établissements. Les connaissances des candidats sur le système éducatif et les spécificités de l’enseignement agricole s’avèrent limitées. Le jury demande que le candidat se positionne comme un futur adulte référent pour les jeunes qui lui seront confiés : il devra donc faire preuve de réflexion, être capable de montrer qu’il peut évoluer dans ses conceptions, même s’il ne maîtrise pas encore l’ensemble des domaines évoqués, ce qui est compréhensible. L’ouverture d’esprit, la capacité à travailler en équipe, la prise en compte des jeunes dans leur globalité, sont des qualités essentielles. Le candidat doit prendre appui sur ses expériences personnelles pour imaginer leur transfert dans le métier d’enseignant. Cette épreuve a déstabilisé plusieurs candidats qui utilisent rarement les quinze minutes à leur disposition et ne savent pas toujours comment présenter leur exposé (debout, assis, au tableau). Le plus souvent les exposés sont confus et assez pauvres. Il apparaît qu’un nombre important de candidats n’a pas préparé cette épreuve et se trouve souvent démuni au cours de sa présentation, utilisant moins de la moitié du temps imparti. Néanmoins, l’exposé du projet professionnel a permis à certains de montrer de réelles aptitudes à communiquer au-delà du champ disciplinaire et à démontrer leur passion pour le métier d’enseignant. La plupart ont réalisé des stages plus ou moins longs dans un établissement et ont effectué quelques heures de cours en responsabilité. Certains en ont retiré un grand profit, montrant une réflexion pertinente et du recul sur la fonction d’enseignant. Cette épreuve demande une préparation minutieuse afin de bien connaître le système éducatif. Le candidat doit pouvoir en commenter les principaux aspects : les rôles des différents personnels, l’organisation générale des établissements, l’orientation des élèves, les dispositifs d’accompagnement, l’évaluation des élèves, etc. En outre, le candidat doit être capable d’exposer avec conviction ses motivations au delà de quelques formules générales. A partir de la réponse à la question posée, le jury évalue les capacités du candidat et ses motivations : capacité d’écoute, ouverture aux autres et au travail en équipe, positionnement en tant qu’adulte, prises de position argumentées et équilibrées, aptitude à l’auto-critique, etc.

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3. SUJETS 3.1 Énoncé de la première épreuve écrite

PREMIERE ÉPREUVE ÉCRITE D’ADMISSIBILITÉ

Culture disciplinaire

Coefficient : 2 − Durée : 5 heures

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu’elles soient à fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante. Le sujet comporte sept pages.

Lesdi¤érentespartiespeuventêtretraitéesdemanièreindépendante, toutefois, lesrésultatsdelapremièrequestiondelapartie1pourrontêtreréinvestisdanslesdeuxautresparties.

Notations

Danslasuite, K désigneR ou C . Onnotepourtoutentiernaturel n supérieurouégalà1:Sn (K ) l’ensembledessuitesnumériquesàvaleursdans K:M n (K ) l’ensembledesmatricescarréesàcoe¢cientsdans K .M n;p (K) l’ensembledesmatricesàcoe¢cientsdans K à n ligneset p colonnes(p entiernaturelnon

nul).

I n désignelamatriceunitéet 0M n (K ) lamatricenulledeM n (K) .0M n;p (K ) désignelamatricenulledeM n;p (K) .Soit A 2M n (K): Si A estinversible,onnote A 1 soninverse.

Rappels,prérequis

Si A 2M n (K);A 0 =I n:A 2M n (K ) estnilpotentesiilexiste k 2 N telque A k =0 M n (K ):

Soit X unevariablealéatoireréellediscrète, dé…niesurunespaceprobabilisé (; P();P) ettellequeX() soitunensemblein…nidénombrablequel’onnotera X()= f xn;n 2 Ng:

Onditque X admetuneespérancemathématique,quel’onnote E(X) silasériePn2N

xnP(X=x n ) estabsolumentconvergenteetonaalors: E(X)=+1Pn=0

xnP(X=x n ):

Soit f uneapplicationde X() dansR:

Lavariablealéatoire f(X) admetuneespérancesilasériePn2N

f(x n )P(X=x n ) estabsolument

convergenteetonaalors: E(f(X))=+1Pn=0

f(x n )P(X=x n ):X possèdeunevariance,notéeV(X); sietseulementsi X 2 possèdeuneespéranceetdansce

casV(X)=E(X 2) (E(X)) 2 : (formuledeHuygens).

Partie1: suitesnumériquesgéométriques

DansS n (K); onappellesuitegéométriquederaison q appartenantà K; toutesuite (un )n2N telleque,pourtout n de N;u n+1 =qu n:

1. RésultatsdebaseOnconsidèrelasuitegéométrique (un )n2N deS n (K) depremierterme u0 donnéetderaison qnonnulle.

a. Expressiondutermegénéralenfonctionde n

Démontrerquepourtout n de N;un =u 0qn; puisendéduire, pour n et p dans N;un en

fonctionde up etde q:

b. Sommedetermesconsécutifs(i) Démontrerquepourtoutcouple (a;b) de K 2; etpourtout n de N ;

an bn =(a b)n1Pk=0

akbn1 k (formuledel’ identitégéométrique)

(ii) Endéduireque,lorsque q 6=1; pour n et p dansN;p<n;nP

k= puk =u p

1 qn p+1

1 q

(iii) ExprimernP

k= puk enfonctionde n;p et up danslecasoù q=1:

c. Limitede (qn );q 2 R(i) Soit q 2]1;+ 1 [; onpose q=1+a:Démontrerque,pourtout n 2 N;(1+a) n na puisendéduire limn !+1

qn:

(ii) Soit q 2] 1;1[:Démontrerque,pourtout n 2 N; j qj

n qn j qjn

puis,àl’aidedelaquestionprécédente,endéduire limn !+1

qn:

(iii) Justi…erquesi q 1; limn !+1qn n’existepas.

(iv) Dresseruntableaudonnant limn !+1qn ,selonlavaleurduréel q.

2. Uneapplication: écriturefractionnaired’unnombrerationnelconnuparsondéveloppementdéci-malpériodiquePourtoutnombreréel x; onappelledéveloppementdécimalillimitéde x toutesuite (dn ) deSn (R)telleque:

d0 2 Z8 n 2 N ;dn 2f 0;1;2;:::;9g

x=limn !+1

nPk=0

dk

10k

Onécritalors x=d 0;d1d2:::dn:::

Si x estunnombrerationnel, alorslasuite (dn ) estpériodiqueàpartird’uncertainrang. Danscecas,onpeututiliserunenotationsimpli…ée.Parexemple, 2;34137137137:::senote 2;34137(onsoulignecequiserépète).L’objectifest, connaissantledéveloppementdécimal d’unnombrerationnel x; deretrouveruneécriturefractionnairedecelui-ci.

a. Exemple1: soit x=4;37

Onpose,pourtout n de N ;x n =4+nP

k=1

37102k

:

Etablirunlienentre x et xn; puisendéduireuneformefractionnairede x:

b. Exemple2: soit y=1;0342 . Détermineruneformefractionnairede y:

c. Exemple3: soit z=0;9 . Détermineruneformefractionnairede z: Quelleremarquecedernierexemplevousinspire-t-il?

3. Suitesarithmético-géométriquesOnappellesuitearithmético-géométrique; toutesuite (un )n2N deSn (K ) telleque,pourtout n deN;un+1 =qu n +r; avecq et r dansK;q 6=1;r 6=0:

a. Expressiondutermegénéralenfonctionde n

Onreprendlesnotationsdeladé…nitionprécédente.

(i) Déterminerleréel L telque L=qL+r:(ii) Pourtout n de N; onpose vn =u n L: Démontrerque (vn ) estunesuitegéométrique.

Précisersaraison.(iii) Donnerl’expressionde vn puisde un enfonctionde n.

b. ApplicationUnemachineàsousaétéprogramméepourfonctionnerdelamanièresuivante:Unjoueuraunechancesur200degagneràsonpremieressai.Etantdonnéunentiernaturelnonnul n,

sicejoueurperdàl’essai n; ilaunechancesur100degagneràl’essaisuivant,s’ilgagneàl’essai n; ilaunechancesur1000degagnerànouveauàl’essaisuivant.

Ondé…nitl’évènementA n : unjoueurdonnégagneau neme essaietonnote un saprobabilité.

(i) Décrirel’espaceprobabilisé.

(ii) Démontrerque,pourtoutentiernaturelnonnul, un+1 = 91000

un + 1100

:

(iii) Endéduire,pourtout n de N ; l’expressiondeun enfonctionde n:

(iv) Déterminer limn !+1(un ) puisendonneruneinterpétation.

Partie2: suitesmatricielles

DansM n;1(K ); onappellesuitematriciellegéométriquederaisonmatricielle A appartenantàM n (K); toutesuitedematrices (Un ) telleque,pourtout n de N;U n+1 =AU n:

1. Résultatsgénéraux

a. SoientA;B et P; troisélémentsdeM n (K); avecP inversible,tellesque A=PBP 1 :

Démontrerquepourtout n 2 N;A n =PB nP 1 .

b. Soit M=a bc d 2M 2(IK):

Aquellecondition M est-elleinversible? Danslecasoù M estinversible, exprimersoninverseenfonctionde a;b;c et d:

2. RésultatsdebaseOnconsidèrelasuitematriciellegéométrique (Un ) deM n;1(K ) depremierterme U0 donnéetderaisonA appartenantàM n (K):

a. Expressiondutermegénéralenfonctionde n

Exprimer,pourtout n de N;U n enfonctionde U0 etde A:

b. Sommedetermesconsécutifs(i) Démontrerquepourtoutematrice A deM n (K ); etpourtout p de N ;

I n A p+1 =(I n A)pP

k=0A k

(ii) Onsupposeque I n A estinversible,endéduireunenouvelleexpressiondepP

k=0A k ,puis

exprimerpP

k=0Uk enfonctionde I n;A;p et U0:

3. Suitesrécurrenteslinéairesd’ordre2Onappellesuiterécurrentelinéaired’ordre2, toutesuite (un ) deS n (K) tellequ’ il existedeuxélémentsa et b de K (b 6=0) telsquepourtoutentier n;u n+2 =au n+1 +bu n:

a. Ecrireunalgorihtmepermettantdecalculer un ; pour n 2; connaissanta;b;u 0 et u1:

b. Exemple1: soit (un ) lasuiterécurrentelinéaired’ordre2deS n (R); dé…niepar:un+2 =5u n+1 6un pourtout n de N ettelleque u0 =1 et u1 =0:

Onpose,pourtout n de N;U n =un

un+1:

(i) Déterminerlamatrice A 2M 2(R) telleque,pourtout n de N;U n+1 =AU n:

(ii) Déterminerlesvaleurspropresde A ainsiquelesvecteurspropresassociésdontlapre-mièrecomposanteestégaleà1.

(iii) Endéduirel’existencededeuxmatrices P et D 2M 2(R); avecP inversibledepremièrelignecomposéede1et D diagonaletellesque: A=PDP 1 .

(iv) Déterminer,pourtout n de N; l’expressiondeUn ; puisde un enfonctionde n:

c. Exemple2: soit (vn ) lasuiterécurrentelinéaired’ordre2deS n (R); dé…niepar:vn+2 =6v n+1 9vn pourtout n de N ettelleque v0 =1 et v1 =9:

Onpose,pourtout n de N;V n =vnvn+1

:

(i) Déterminerlamatrice B 2M 2(R) telleque,pourtout n de N;Vn+1 =BV n:

(ii) Montrerque B n’estpasdiagonalisable.

(iii) Soit Q= 1 13 0 . Montrerque Q estinversible,puiscalculer T=Q 1 BQ .

(iv) Déterminerlamatrice J 2M 2(R) telleque T=3I 2 +J; puismontrerque J estnilpotented’ordre2.

(v) Calculer T n pourtout n de N:

(vi) Endéduire,pourtout n de N; l’expressiondeVn; puisde vn enfonctionde n:

4. Suitesarithmético-géométriquesOnappellesuitematriciellearithmético-géométrique ; toutesuitedematrices (Un ) deM n;1(K )telleque,pourtout n de N :Un+1 =AU n +B; avecA 2M n (K) et B 2M n;1(K);A 6=I n ;B 6=0 M n;1 ( IK ):

a. Expressiondutermegénéralenfonctionde n

Onreprendlesnotationsdeladé…nitionprécédente.(i) Démontrerquesi I n A estinversible,alorsilexisteuneuniquematrice L 2M n;1(K )

telleque L=AL+B: Exprimer L enfonctionde B etdel’ inversede I n A:

(ii) Pourtout n de N; onpose Vn =U n L: Démontrerque (Vn ) estunesuitematriciellegéométriquedontonpréciseralaraison.

(iii) Endéduirel’expressionde Vn enfonctionde A n ;U 0 et L .b. Application

Onconsidèrelessuites (un );(v n ) et (wn ) dé…niesparu0 =v 0 =w 0 =1 etlesrelationsde

récurrence: 8n 2 N

8<

:

un+1 =2u n

vn+1 =2u n +2v n 1wn+1 =v n +2w n 2

Onpose,pourtout n de N;U n =

0

@un

vnwn

1

A

(i) Déterminerlesmatrices A 2M 3(K) et B 2M 3;1(K ) tellesquepourtout n de N;Un+1 =AU n +B

(ii) Déterminerlamatrice L 2M 3;1(K) telleque L=AL+B:

(iii) Démontrerquepourtout n de N;A n =

0

@2n 0 0n2n 2n 0

n(n 1)2n2 n2n1 2n

1

A

(iv) Endéduire,pourtout n de N; l’expressiondeUn ; puisde un ;vn et wn enfonctionde n:

(v) ExprimerpP

k=0Uk enfonctionde I n;A;B;U 0 et C=(I n A) 1

Partie3: sérieetloigéométriques

1. SériesgéométriquesOnappellesériegéométriqueréelle,toutesériedetermegénéral qn ; avecq 2 R:

(a)MontrerquePn2N

qn convergesietseulementsij qj <1 etdonner+1Pn=0

qn danslecasoùj qj <1:

Onprenddésormais q telquej qj <1:(b)Soit p 2 N: enremarquantque np jqj

n=n pp jqj

n pjqj

n; démontrerque

Pn2N

npqn estabsol-

umentconvergente.

(c)Enutilisantl’égaliténP

k=0(k+1)q k+1 =

nPk=0

kqk+1 +nP

k=0qk+1 ; démontrerque

+1Pn=0

nqn =q

(1 q)2 :

(d)Demême,endéveloppantlasommenP

k=0(k+1) 2qk+1 ; démontrerque

+1Pn=0

n2qn = q(q+1)(1 q)3

2. UnefaussesériegéométriqueSoientn unnombreentiernaturelnonnulet fn lafonctiondé…niesur [0;+ 1 [ par:

fn (x)=1+nP

k=1xk:

(a)Montrerquepourtoutentiernaturelnonnul n , fn (x)=n admetuneuniquesolutionnotéean .

(b)Pourtoutentiernaturelnonnul n ,comparer fn (an ) et fn (1),puisendéduireque 0 an <1:(c)Montrerquelasuite (an ) eststrictementcroissante, puisendéduirequ’elleconverge. On

note L salimite.(d)Onsupposeque L 6=1

(i) Montrerquepourtoutentiernaturelnonnul n;f n (an )= 1 an+1n

1 an

(ii) Endéduireque limn !+1(f n (an ))= 1

1 L(iii) Quepeut-onenconclure?

3. LoigéométriqueSoit p 2]0;1[ ;onpose q=1 p:

Onditquelavariablealéatoireréelle X dé…niesurl’espaceprobabilisé (; P();P) suitlaloigéométriquedeparamètre p si:8<

:

X()= Netpourtout k de N ;P(X=k)=pq k1

(a)Véri…erquel’onabiendé…nilaloideprobabilitéd’unevariablediscrète.(b)Démontrerquesi X suitlaloigéométriquedeparamètre p, alors X possèdeuneespérance

mathématiqueetunevariancequel’oncalculera.(c)Application

EnFrance,pour378naissancesde…lles,ona396naissancesdegarçons.Dansunematernité,onconsidère,àpartird’unedatedonnée,lavariablealéatoire X égaleaunombredenaissancesobservéesavantlanaissancedelapremière…lle.

(i) Justi…erqueX suituneloigéométriquedontonpréciseraleparamètre.(ii) Déterminerlepluspetitentier n telque P(X n) 0;99:(iii) Préciseretinterpréter E(X):

− 17 −

3.2 Énoncé de la deuxième épreuve écrite

DEUXIÈME ÉPREUVE ÉCRITE D’ADMISSIBILITÉ

Étude de thèmes

Coefficient : 2 − Durée : 5 heures

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu’elles soient à fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante. Le sujet comporte six pages. Il est composé de deux exercices indépendants l’un de l’autre.

Exercice1Th emed’´ etude: suitesdenombresr´ eelsetcomplexes, convergence, suitesadjacentes,vitessedeconvergence,algorithme,approximationd’unesolutiond’´ equations .

PartieI:pr´ eliminairesSoient(an )n∈ N unesuitestrictementcroissanteet( bn )n∈ N unesuitestrictementd´ ecroissantetellesque:

limn→ + ∞

(an − bn )=0.

Onditalorsquelessuites( an )n∈ N et( bn )n∈ N sontadjacentes.1. Montrerquelasuite( bn − an )n∈ N eststrictementd´ecroissante.2. Montrerque,pourtoutentiernaturel n : bn − an 0.3. Montrerquelessuites( an )n∈ N et( bn )n∈ N convergentetontlamˆ emelimitenot´ eeℓ .4. Montrerque,pourtoutentiernaturel n : an <ℓ<b n .

PartieIIOnconsiderelessuites( an )n∈ N∗ et( bn )n∈ N∗ definies,pourtoutentiernaturel n nonnul,par:

an =n

k=0

1k!

et bn = an + 1n.n!

.

1. Montrerquelessuites( an )n∈ N∗ et( bn )n∈ N∗ sontadjacentes.2. L’objectifdecettequestionestdemontrerquelalimitecommunedecesdeuxsuites,not´ eeℓ ,est

unnombreirrationnel.Onsupposequ’ilexistedeuxentiersnaturelsnonnuls p et q telsque ℓ = p

q.

(a)Montrerque,pourtoutentiernaturel n nonnul: an .n!estunentier.(b)Montrerque:0 <p.q !− aq.q.q! < 1.(c)End´ eduireque ℓ estunnombreirrationnel.

PartieIIIOnseproposeded´ eterminercettelimite ℓ .Danscettepartie, a designeunnombrer´eelstrictementpositif.Onconsiderelessuites( f a(n))n∈ N et( ϕa(n))n∈ N definiespar:

f a(n)=a

0tn e− tdt et ϕa(n)=e a 1− f a(n)

n!.

1. Soit n unentiernaturel.(a)Calculer f a(0)et ϕa(0).(b)Exprimer f a(n +1)enfonctionde f a(n).(c)End´ eduireuneexpressionde ϕa(n +1)enfonctionde ϕa(n).

(d)Montrerque: ϕa(n)=n

k=0

ak

k!.

2. Montrerque,pourtoutentiernaturel n nonnul: an+1

ea (n +1) f a(n) an+1

n +1.

3. Onconsiderelasuite( ua(n))n∈ N definie,pourtoutentiernaturel n,par: ua(n)= an

n! .

(a)Calculer,pourtoutentiernaturel n : ua(n +1)ua(n)

.

(b)Montrerqu’il existeunentiernaturel n1 etunesuiteg´ eometrique( ta(n))n∈ N dependantdea etderaison 1

2 telsque,pourtoutentier n superieurou´egal`an1 : ua(n) ta(n).(c)End´ eduirequelasuite( ua(n))n∈ N estconvergenteetd eterminersalimite.

4. Montrerquelasuite( ϕa(n))n∈ N estconvergenteetpr´ecisersalimite.5. Redigerunesynth esedesresultatsobtenus.

PartieIV

1. (a)Montrerque,pourtoutnombrer´ eelx :e x 1+ x.

(b)End´ eduireque,pourtoutentiernaturel n nonnul: 1+ 1n

n

e.

2. (a)Montrerque,pourtoutnombrer´ eelx strictementinf´erieur`a1:e x 11− x

.

(b)End´ eduireque,pourtoutentiernaturel n nonnul:e 1+ 1n

n+1

.

3. (a)Montrerque: limn→ + ∞

1+1n

n+1

− 1+1n

n

=0.

(b)End´ eduireque: limn→ + ∞

1+ 1n

n

=e.

PartieVL’objectifdecettepartieestdecomparerlesvitessesdeconvergenceversedessuites( an )n∈ N∗ et( cn)n∈ N∗

respectivementdefinies,pourtoutentiernaturel n nonnul,par:

an =n

k=0

1k! et cn = 1+ 1

n

n

.

1. Soit( un)n∈ N unesuiter´eelleconvergeantversℓ telleque limn→ + ∞

|un+1 − ℓ ||un − ℓ |

= k.

Montrerque k appartient`al’intervalle[0;1].2. Laconvergencede( un)n∈ N vers ℓ estdite:

•lentesi k =1;•detypeg´ eometriquesi0 <k< 1;•rapidesi k =0.

(a)Enutilisantdesr´ esultatsdespartiesIetII, etudierlavitessedeconvergenceversedelasuite( an )n∈ N∗ .

(b)Etudierlavitessedeconvergenceversedelasuite( cn )n∈ N∗ .

Exercice2Th emed’´ etude:probl` emedesmoindrescarr´ esenstatistique,approchematricielle.

Notations•Pourtousentiersnaturelsnonnuls n et p,onnoteM n,p (R)l’ensembledesmatrices`a n ligneset

p colonnes`acoefficientsreels.•Onidentifietoutematrice`a1seuleligneet1seulecolonneauseulr´ eelqu’ellecontient.•Latranspos´ eed’unematrice M deM n,p (R)estnot´ ee t M .•Pourtoutentiernaturel n nonnul,ond´ esignepar En l’espacevectorieldesmatrices a n ligneset

1colonne.–Pourtousvecteurs Y et Z de En , onnote: Y,Z = t ZY leproduitscalairede Y et Z.–Pourtoutvecteur Y de En , onnote: Y= Y,Y =

√tYY lanormede Y.

–Ond´ esignepar0levecteurnulde En .•Pourtoutematrice A deM n,p (R)onnote:

Ker A = X ∈ Ep AX =0 et Im A = Y ∈ En ∃X ∈ Ep telque Y = AX .

PartieI

1. Soit A unematricequelconquedeM n,p (R).Montrerque:Ker A estunsous-espacevectorielde Ep etIm A unsous-espacevectorieldeEn .

2. SoientM unematricedeM n,p (R)et N unematricedeM p,n (R).Montrerque:

Im MN ⊂Im M et Ker N ⊂Ker MN .

3. Soit Y unvecteurde En . Montrerque: Y=0sietseulementsi Y =04. Montrerque,pourtoutcouple( Y,Z )devecteursde En ettoutr´ eelλ :

Y + λZ 2 = Y 2 +2 λ tZY + λ2 Z 2 .

DanslespartiesIIetIII, A designeunematricedeM n,p (R)et B unvecteurde En .

PartieII

1. Montrerquetoutvecteur X deKer tAA verifie: AX =0 .2. Montrerl’´egalitedesdeuxespacesvectorielsKer tAA etKer A.3. End´eduirequelesmatrices tAA et A ontmˆemerangpuisqueIm t AA =Im tA.4. Montrerqu’ilexisteunvecteur X de Ep telque: t AAX = t AB.

PartieIIIOnnote(E)l’´ equationmatricielle AX = B d’inconnueX appartenant a Ep.• X estditesolutionde(E)si AX = B.• X elementde Ep estditepseudo-solutionde(E)si:

∀Z ∈ Ep , AX − B≤ AZ − B .

1. Onsupposeque(E)admetaumoinsunesolution.Montrerque:X estunepseudo-solutionde(E)sietseulementsi X estsolutionde(E).

2. Danscettequestion,onsupposeque X estunepseudo-solutionde(E).(a)Montrerque: ∀λ ∈ R, ∀U ∈ Ep , AX − B≤ AX − B − λAU .(b)End´ eduireque: ∀λ ∈ R, ∀U ∈ Ep , λ2 AU 2 −2 λ tU tA (AX − B)≥0 .(c)Montrerque: ∀U ∈ Ep , t U t A (AX − B)≤0.(d)End´ eduireque: tAAX = t AB .

3. Onsupposeque: tAAX = t AB .Montrerque X estpseudo-solutionde(E).

4. Danscettequestion,onsupposequelerangdelamatrice A est egal a p.

(a)Montrerquelamatrice t AA estinversible.(b)End´ eduireque(E)admetuneuniquepseudo-solution X .

PartieIV:application

OnmunitleplanPd’unrep` ereorthonormal O ; −→i,

−→j . n designeunentiersup´erieurou´egala2.

Onconsid ere n points M1,M 2, ··· ,M n d’abscissesrespectivesx1,x 2, ··· ,x n nontoutes´ egalesetd’ordonneesrespectivesy1,y 2, ··· ,y n nontoutes´egales.Pourtoutedroite(D)nonparall` ele`al’axedesordonneeset,pourtoutentier i comprisentre1et n,onnote N D

i leprojet´edupoint M i surladroite(D)parall` element`al’axedesordonnees.

Danscettepartie,onseproposeded´ emontrerlapropositionsuivante:

H: ≪ Parmicesdroites,ilexisteuneuniquedroite(D)tellequen

i =1N D

i M i2 soitminimale ≫ .

1. MontrerquelapropositionHest´ equivalente`alaproposition:K: ≪ ilexisteununiquecouple( a0,b0)de R2 telque,pourtoutcouple( a,b)de R2 :

n

i=1(a0x i + b0 − yi )2 ≤

n

i =1(axi + b− yi )2 (1) ≫ .

2. Onconsiderelesyst`emed’equations

ax1 + b = y1

ax2 + b = y2... ... ...

axn + b = yn

d’inconnueθ = ab .

(a)Montrerquelesyst` emeprecedentest´equivalent`aune equationmatricielledelaformeAθ = Y (S1)

o`ul’onpr´eciseralamatrice A etlamatrice Y.(b)Montrerque:( a0,b0)v´erifiel’in´egalite(1)delapropositionKsietseulementsi

a0

b0estpseudo-solutionde( S1).

(c)Justifierquel’´ equationmatricielle( S1)admetuneuniquepseudo-solutionnot´ eeθ = ab

.

(d)End´ eduirequelapropositionHestv´ erifiee.

3. (a)D´ eterminerlamatrice tAA puissoninverse( tAA)− 1.(b)D´ eterminer t AY etend´eduireθ.(c)Querepr´ esententd’unpointdevuestatistiquelescoordonn´ eesde θ ?

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3.3 Liste des sujets de la première épreuve orale 1. Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle. 2. Variables aléatoires discrètes. 3. Loi binomiale, loi normale. 4. Variables aléatoires réelles à densité. 5 Lois uniformes, lois exponentielles 6 Lois normales. 7 Marches aléatoires. 8. Série statistique à une variable. 9. Séries statistiques à deux variables numériques. 10. Intervalles de fluctuation. 11 Estimation. 12. Équations du second degré à coefficients réels ou complexes. 13. Module et argument d'un nombre complexe. 14. Exemples d'utilisation des nombres complexes. 15 Calcul vectoriel. 16. Exemples d’utilisation d’un repère. 17. Systèmes d'équations et systèmes d'inéquations. 18. Droites du plan. 19. Droites et plans de l'espace. 20. Droites remarquables du triangle. 21. Le cercle. 22. Solides de l'espace. 23. Produit scalaire. 24. Trigonométrie. 25. Relations métriques et trigonométriques dans un triangle 26 Problèmes de constructions géométriques. 27. Problèmes de lieux géométriques. 28. Orthogonalité. 29. Suites monotones. 30. Limites de suites réelles. 31. Suites arithmétiques, suites géométriques. 32. Suites de terme général : an, n

p et ln n (a∈R+* ; p∈N ; n∈N*) 33. Suites de nombres réels définies par une relation de récurrence 34. Problèmes conduisant à l'étude de suites. 35. Limite d'une fonction réelle de variable réelle. 36. Théorème des valeurs intermédiaires. 37. Dérivation. 38. Fonctions polynômes du second degré. 39. Fonctions exponentielles.. 40. Fonctions. logarithmes. 41. Croissance comparée des fonctions réelles : 42. Courbes planes définies par des équations paramétriques. 43. Intégrales, primitives. 44. Techniques de calcul d'intégrales.

e, , lnxxxxaxx

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45. Équations différentielles. 46. Problèmes conduisant à la résolution d'équations différentielles. 47. Problèmes conduisant à l'étude de fonctions. 48. Exemples d’études de courbes. 49. Aires. 50. Exemples d'algorithmes. 51. Exemples d'utilisation d'un tableur. 52 Exemples d’utilisation d’un logiciel de calcul formel. 53. Différents types de raisonnement en mathématiques. 54. Applications des mathématiques à d'autres disciplines.

− 25 −

3.4 Énoncés de la deuxième épreuve orale

Thème : les obligations des fonctionnaires

Le chapitre IV de la loi n° 83-634 du 13 juillet 1983, , portant droits et obligations des fonctionnaires détermine les obligations auxquelles sont soumises ces derniers. Article 25 « obligations de service » I.- Les fonctionnaires et agents non titulaires de droit public consacrent l'intégralité de leur activité professionnelle

aux tâches qui leur sont confiées. Ils ne peuvent exercer à titre professionnel une activité privée lucrative de quelque

nature que ce soit.

Sont interdites, y compris si elles sont à but non lucratif, les activités privées suivantes :

1° La participation aux organes de direction de sociétés ou d'associations ne satisfaisant pas aux conditions fixées au

b du 1° du 7 de l'article 261 du code général des impôts ;

2° Le fait de donner des consultations, de procéder à des expertises et de plaider en justice dans les litiges

intéressant toute personne publique, le cas échéant devant une juridiction étrangère ou internationale, sauf si cette

prestation s'exerce au profit d'une personne publique ;

3° La prise, par eux-mêmes ou par personnes interposées, dans une entreprise soumise au contrôle de

l'administration à laquelle ils appartiennent ou en relation avec cette dernière, d'intérêts de nature à compromettre

leur indépendance.

Les fonctionnaires et agents non titulaires de droit public peuvent toutefois être autorisés à exercer, dans des

conditions fixées par décret en Conseil d'Etat, à titre accessoire, une activité, lucrative ou non, auprès d'une

personne ou d'un organisme public ou privé, dès lors que cette activité est compatible avec les fonctions qui leur

sont confiées et n'affecte pas leur exercice.

(…) Article 28 « Devoir d’obéissance » Tout fonctionnaire, quel que soit son rang dans la hiérarchie, est responsable de l'exécution des tâches qui lui sont confiées. Il doit se conformer aux instructions de son supérieur hiérarchique, sauf dans le cas où l'ordre donné est manifestement illégal et de nature à compromettre gravement un intérêt public. Il n'est dégagé d'aucune des responsabilités qui lui incombent par la responsabilité propre de ses subordonnés.

Questions : 1) On vous propose des vacations d’enseignement dans un établissement autre que votre

établissement d’exercice. Comment réagissez-vous à cette proposition en tenant compte de votre situation professionnelle et de votre établissement ?

2) L’administration centrale vous demande de fournir un sujet d’examen pour un niveau de classe où vous n’enseignez pas. Quelle est votre réaction ?

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Thème : égalité des filles et des garçons

Le cadre législatif : Article L. 121-1 du code de l’éducation « les écoles, les collèges, les lycées et les établissements d’enseignement supérieur […] contribuent à favoriser la mixité et l’égalité entre les hommes et les femmes, notamment en matière d’orientation. […] Ils assurent une formation à la connaissance et au respect des droits de la personne ainsi qu’à la compréhension des situations concrètes qui y portent atteinte. […]» Un dossier sur l’égalité des sexes dans le système scolaire Source : site du ministère de l’éducation nationale. Des conventions interministérielles Depuis 2000, deux conventions interministérielles pour l'égalité entre les filles et les garçons et les femmes et les hommes dans le système éducatif, ont mis en œuvre une politique d'égalité commune à plusieurs ministères. La convention 2012-2017, en cours d'élaboration, réaffirme la nécessité de développer une approche globale dans la démarche éducative, notamment dans le cadre de l'orientation et de l'éducation à l'égalité des sexes, et souligne l'importance : • d'acquérir et de transmettre une culture de l'égalité entre les sexes, au travers des enseignements,

des actions éducatives, des formations et des supports pédagogiques ; • de renforcer l'éducation au respect mutuel et de lutter contre les violences sexistes et sexuelles ; • de promouvoir, développer et consolider la mixité dans toutes les filières de formation. L'éducation à l'égalité à l'école C'est à l'école, et dès le plus jeune âge, que s'apprend l'égalité entre les sexes. L'apprentissage de l'égalité entre les garçons et les filles est une condition nécessaire pour que, progressivement, les stéréotypes s'estompent et d'autres modèles de comportement se construisent. Basée sur le respect de l'autre sexe, cette éducation à l'égalité implique aussi la prévention des comportements et violences sexistes. Dans le cadre des Comités d'éducation à la santé et à la citoyenneté (CESC), les établissements développent des actions de sensibilisation et de formation pour apprendre le respect de l'autre. Le socle commun de connaissances et de compétences identifie précisément le respect de l'autre sexe et le refus des stéréotypes parmi les compétences sociales et civiques que tout élève doit acquérir. Les établissements sont incités à inscrire cette préoccupation dans leur règlement intérieur. QUESTION : Vous enseignez les mathématiques en BTS Génie Des Equipements Agricoles (GDEA). Il y a une seule étudiante dans la classe et ses résultats sont en forte baisse. Elle se sent victime de préjugés sexistes dans la classe ainsi qu’en stage dans une concession de machines agricoles. Elle doute subitement d’avoir choisi la bonne orientation. Quelle est votre réaction face à cette situation et plus généralement quelles réponses la communauté éducative peut-elle apporter aux jeunes filles victimes de ce type de préjugés ?

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Thème : la fraude en milieu scolaire Extrait de la note de service DGER/SDPOFE/N2012-2047, du 10 avril 2012 : Objet : Fraude au cours d'un examen de l’enseignement technique agricole (...) « Sanction de la fraude à une épreuve terminale La fraude à une épreuve terminale entraîne l’exclusion du candidat de la session d’examen concernée : la totalité des épreuves auxquelles le candidat est inscrit est annulée, y compris les résultats en contrôle en cours de formation (CCF) et, le cas échéant, ceux obtenus aux épreuves anticipées. Le candidat ne peut donc pas obtenir son diplôme à la session prévue et devra représenter la totalité des épreuves en épreuves terminales lors d’une session ultérieure. La fraude à une épreuve terminale anticipée entraîne les mêmes conséquences pour son auteur : celui-ci ne pourra pas prétendre à l’obtention de son diplôme lors de la seconde année du cycle en cours. Sanction de la fraude en contrôle en cours de formation (CCF) La fraude à un CCF entraîne pour le candidat l’annulation de la totalité de l’épreuve correspondante (y compris de l’épreuve ponctuelle terminale associée, le cas échéant) pour la session du cycle considéré. Le candidat ne pourra donc pas obtenir son diplôme lors de la session prévue et il devra présenter la ou les épreuves ponctuelles terminales correspondantes lors d’une session ultérieure. En revanche, tous les autres résultats obtenus sont obligatoirement maintenus. » (...) Extra it du s ite Internet « vous nous ils » du 23 avril 2012 :

Triche, fraude, plagiat : les profs s'organisent

Rares sont les enseignants à n'avoir jamais été confrontés à la tricherie dans une copie d'élève ou lors d'un examen. Dès le primaire, mais surtout au collège puis au lycée et à l'université, les profs tentent de trouver des parades. 70% des étudiants avouent avoir déjà triché au cours de leur scolarité. C'est ce que révèle l'étude réalisée auprès de 1815 étudiants par les chercheurs nantais. (...) L'école primaire n'est pas épargnée. « Un de mes élèves en CE2 vient d'être pris "la main dans le sac" : il a sorti sur ses genoux son livre de français », confie Pauline, professeur des écoles dans les Yvelines. Résultat : des réprimandes, un mot aux parents et l'évaluation à refaire entre quatre yeux pendant la récréation. (…) Au collège et au lycée, la triche gagne du terrain. Sonia, prof de maths dans un lycée du Rhône, y est confrontée « comme tout enseignant ». « L'antisèche dans la trousse existe toujours. Les plus futés utilisent leurs calculatrices afin d'y rentrer leurs formules et il est très difficile de contrôler ! » Mais l'enseignante relativise : « Tous mes terminales, où la calculatrice est autorisée le jour du bac, profitent de cet outil comme d'un "aide-mémoire". L'essentiel c'est de savoir appliquer les formules. ». (...) QU ES TION S : Citez différentes situations de fraude en milieu scolaire. Vous êtes confronté à une situation de fraude dans votre classe. Comment la gérez-vous ?

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Thème : insertion scolaire des jeunes en situation de handicap CIRCULAIRE/FOPDAC/C 2002-2005 du 07 juin 2002 (…) Préambule : la loi d’orientation agricole du 9 juillet 1999 et l’articleL811-1 du Code Rural ont défini une nouvelle mission pour l’enseignement et la formation professionnelle agricoles publics : « Ils contribuent à l’insertion scolaire des jeunes, sociale et professionnelle de ces derniers et des adultes » (…) NOTE DE SERVICE : DGER/SDPOFE/N2012-2047, du 02 avril 2012 (…) La présente note de service concerne :

• l’organisation des épreuves de tous les examens de l’enseignement technique agricole, qu’elles soient organisées en cours de formation (épreuves en CCF) ou en fin de formation (épreuves ponctuelles terminales), qu’elles soient anticipées ou pas, qu’elles soient organisées dans le cadre des unités capitalisables ;

• les examens en vue de la délivrance des diplômes suivants : CAPA, BEPA, BPA, BTA, BP, baccalauréats technologique et professionnels délivrés par le ministère chargé de l’agriculture et BTSA ;

• les différentes modalités d’épreuves : écrites, orales, pratiques, sur dossier. (…) Toute personne présentant un handicap et candidate à un examen, est fondée à déposer une demande d’aménagement des épreuves de l’examen qu’elle souhaite présenter. Les dispositions relatives à l’aménagement des épreuves portent sur :

• • les conditions matérielles de déroulement des épreuves : accessibilité des locaux, installations matérielles des salles et lieux de passage des épreuves, utilisation d’aides techniques et humaines, temps majoré ;

• • un déroulement particulier de l’examen selon les possibilités offertes par le règlement de celui-ci : étalement des épreuves avec conservation des notes pendant au plus 5 ans, aménagement des épreuves de langues vivantes.

Il faut souligner que l’aménagement d’épreuves ne remet pas en cause les principes fondamentaux :

• • de la scolarité : les candidats ont l’obligation de complétude de la formation, y compris la formation en milieu professionnel ;

• • de l’anonymat des candidats : les délibérations sont préparées de telle sorte que le président ou président adjoint de jury peut être informé des aménagements de certaines épreuves tout en conservant confidentiels l’identité du candidat et la nature du handicap ;

• • du caractère unique et de l’égale valeur des diplômes délivrés aux candidats valides et handicapés. (…) Le candidat sollicitant un aménagement des conditions d’examen doit établir un dossier de demande d’aménagement (…) D’une façon générale, les candidats doivent initier la démarche pour la demande d’aménagement d’épreuves dès leur entrée en formation. Ainsi, la décision du DRAAF-SRFD permet aux établissements de prévoir les aménagements des épreuves en CCF pour les candidats en formation (…) QUESTION : Vous êtes professeur principal. Vous apprenez que les élèves de votre classe se plaignent d’un camarade bénéficiant d’un aménagement de temps dans les évaluations. Ils pensent qu’il est favorisé car il obtient des bonnes notes. En envisageant différents cas, préciser votre réaction face à cette situation.

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Thème : technologie de l’information et de la communication Extrait des actes du séminaire national (février 2007) « L’utilisation des outils logiciels dans l’enseignement des mathématiques »

Les techniques d’information et de communication pour l’enseignement (TICE) sont inscrites dans le socle commun de connaissances et de compétences qui doit être maîtrisé à la fin de l’enseignement obligatoire. En ceci, la loi d’orientation et de programme pour l’avenir de l’école place les TICE dans un contexte nouveau : les TICE sont toujours des outils au service des apprentissages dans les disciplines, mais elles incluent aussi des objectifs de formation à part entière […]

Mais ces positions fortes ne font pas disparaître les difficultés rencontrées dans toutes les disciplines pour généraliser les usages des TICE, malgré le travail de fond en impulsion, animation et accompagnement réalisé depuis des années. Ces difficultés sont liées aux contraintes matérielles, au manque de formation des enseignants les plus anciens... et au fait que pour nombre d’acteurs la valeur ajoutée des TICE n’est pas toujours clairement perçue. Elle n’est d’ailleurs pas immédiate, et dépend avant tout de la pertinence de l’usage qui en est fait : l’outil seul ne suffit pas, il ne convient pas toujours et partout, et l’énergie personnelle dépensée pour s’en servir ne garantit pas non plus le succès. L’engagement hors du commun des pionniers de la première heure (espèce qui se renouvelle constamment avec l’évolution des technologies) suscite l’admiration... mais est aussi parfois un repoussoir. Une évolution positive est cependant très sensible : les jeunes enseignants arrivent avec des compétences TIC initiales qui changent la donne.[…] Dans ce contexte, les TICE autorisent la généralisation de nouveaux usages, qui nécessitent une réflexion sur leurs conséquences didactiques, et une mutualisation des pratiques. QUESTION Votre établissement souhaite élaborer un projet de développement des TICE. Le proviseur vous demande de vous associer à ce projet. Quelle contribution pouvez-vous apporter dans le cadre de votre discipline ?