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Zufallige diskrete Strukturen
Ralph Neininger
Institut fur Mathematik
J. W. Goethe-Universitat Frankfurt a.M.
3. Alumni Treffen des Instituts fur Mathematik
27. November 2010
Binare Baume
Stochastische Modelle:
— Catalan-Modell
— Permutationsmodell
(Zufalliger Binarsuchbaum)
— Zufalliger Suffixsuchbaum
Binärbaum mit 12 Knoten
Binare Baume
Stochastische Modelle:
— Catalan-Modell
— Permutationsmodell
(Zufalliger Binarsuchbaum)
— Zufalliger Suffixsuchbaum
Binärbaum mit 12 Knoten
Binare Baume
Stochastische Modelle:
— Catalan-Modell
— Permutationsmodell
(Zufalliger Binarsuchbaum)
— Zufalliger Suffixsuchbaum
Binärbaum mit 12 Knoten
Binare Baume
Stochastische Modelle:
— Catalan-Modell
— Permutationsmodell
(Zufalliger Binarsuchbaum)
— Zufalliger Suffixsuchbaum
Binärbaum mit 12 Knoten
Binare Baume
Stochastische Modelle:
— Catalan-Modell
— Permutationsmodell
(Zufalliger Binarsuchbaum)
— Zufalliger Suffixsuchbaum
Binärbaum mit 12 Knoten
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1 8
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
7
8
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5 7
8
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
7
8
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
7
8
10
.
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
2
7
8
10
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
2
7
8
10
11
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
2 4
7
8
10
11
Binarsuchbaum
Liste der Daten: 6,1,8,7,5,3,10,2,11,4,9.
6
1
5
3
2 4
7
8
10
9 11
Großen im BSB
1
5
3
4
8
7 10
9 11
2
Level 1
Level 3
Level 2
Level 4
Level 0
n
nD =36
H =4
Dn — Tiefe des n-ten Knotens
= Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefugten Knoten
Hn = max1≤j≤n
Dj — Hohe des Baumes
Großen im BSB
1
5
3
4
8
7 10
9 11
2
Level 1
Level 3
Level 2
Level 4
Level 0
n
nD =36
H =4
Dn — Tiefe des n-ten Knotens
= Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefugten Knoten
Hn = max1≤j≤n
Dj — Hohe des Baumes
Großen im BSB
1
5
3
4
8
7 10
9 11
2
Level 1
Level 3
Level 2
Level 4
Level 0
n
nD =36
H =4
Dn — Tiefe des n-ten Knotens
= Abstand zwischen Wurzel und n-tem eingefugten Knoten
Hn = max1≤j≤n
Dj — Hohe des Baumes
Permutationsmodell
——————————
Stochastisches Modell:
——————————
Alle Permutationen von 1, . . . , n gleich wahrscheinlich.
Aquivalent: U1, . . . , Un i.i.d. unif[0,1].
Simulation
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
1/6 1/61/61/61/3
Mit 4 Knoten:
Binare Baume
Anzahl binarer Baume mit n Knoten: 1n+1
(2nn
)(Catalan Zahlen)
Mit 3 Knoten:
1/6 1/61/61/61/3
Mit 4 Knoten:
1/24 1/241/12
1/24 1/241/8 1/8
1/8 1/81/24 1/24 1/24 1/24
1/12
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
O( n)
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
O(log n)
O( n)
Gestalt im Catalan-Modell
(Hn(2nt)√
2n
)t∈[0,1]
d−→ (e(t))t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion
Gestalt im Catalan-Modell
(Hn(2nt)√
2n
)t∈[0,1]
d−→ (e(t))t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion
Gestalt im Catalan-Modell
1 2n
(Hn(2nt)√
2n
)t∈[0,1]
d−→ (e(t))t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion
Gestalt im Catalan-Modell
1 2n
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(Hn(2nt)√
2n
)t∈[0,1]
d−→ (e(t))t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion
Gestalt im Catalan-Modell
1 2n
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(Hn(2nt)√
2n
)t∈[0,1]
d−→ (e(t))t∈[0,1] e : Brownsche Exkursion
Catalan- versus Permutationsmodell
Catalan-Modell Permutationsmodell
O(log n)
O( n)
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Stochastische Analyse der Tiefe Dn
�����������������������������
�����������������������������
2
0
1nk1
Auf- bzw. Ab-Rekorde
sind unabhangig!
Dnd=
n∑j=2
Zj
Zj unabhangig,
Zjd= Ber(2/j).
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
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(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Asymptotisches Verhalten der Tiefe
Dnd=
n∑j=2
Ber(2/j)
Asymptotiken:
E Dn = 2 logn+O(1), Var(Dn) = 2 logn+O(1)
�
(Dn − 2 logn√
2 logn,N (0,1)
)= O
(1√logn
)
dTV(Dn,Π(E Dn)) = O
(1
logn
)
P
(|Dn − E Dn| > εE Dn
)≤ Cn
− ε22+ε
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . .
X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . .
...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . .
X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . .
...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . .
X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . .
...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . .
X5 := 0.B5B6B7B8B9 . . .
...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
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...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
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...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
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...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
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...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
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...
Pattern matching
Problem: Suche kurze Textabschnitte in großen Texten
• Internet: Google
• DNA
Großer Text: B1, . . . , Bn (Folge von Bits)
X1 := 0.B1B2B3B4B5 . . .
X2 := 0.B2B3B4B5B6 . . .
X3 := 0.B3B4B5B6B7 . . .
X4 := 0.B4B5B6B7B8 . . .
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...
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
1
3
4 7
11 9
0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
1
3
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
1
3
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11 9
0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
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B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
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6
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
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X X
X
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X
X
108
6
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
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B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
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2
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
1
3
4 7
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0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Suffixsuchbaum
Binarsuchbaum fur Folge der Suffixe X1, X2, . . .
X
X X
X
X X
X
X
X
X
X
108
6
5
2
1
3
4 7
11 9
0.B BB BBBB1 2 3 4 6
B B B B9 ...1110875
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 2.
Pattern matching: Modell
X1 = 0.B1B2B3B4B5 . . .
Modell: B1, B2, . . . i.i.d. Bernoulli(1/2).
Aquivalente Darstellung:
X1 = U, mit Ud= unif [0,1]
Xn+1 = 2Xn mod 1, n ≥ 1.
Satz (Devroye und N.)
Im zufalligen Suffixsuchbaum gilt fur die Tiefe Dn:
E Dn = 2 logn+O(log2 logn),
Dn
E Dn
P−→ 1.
Satz (Devroye und N.)
Im zufalligen Suffixsuchbaum gilt fur die Tiefe Dn:
E Dn = 2 logn+O(log2 logn),
Dn
E Dn
P−→ 1.
Satz (Devroye und N.)
Im zufalligen Suffixsuchbaum gilt fur die Tiefe Dn:
E Dn = 2 logn+O(log2 logn),
Dn
E Dn
P−→ 1.
Satz (Devroye und N.)
Im zufalligen Suffixsuchbaum gilt fur die Tiefe Dn:
E Dn = 2 logn+O(log2 logn),
Dn
E Dn
P−→ 1.
Satz (Devroye und N.)
Im zufalligen Suffixsuchbaum gilt fur die Tiefe Dn:
E Dn = 2 logn+O(log2 logn),
Dn
E Dn
P−→ 1.
Asymptotisches Verhalten: Hohe
Hohe Hn:
E Hn = α logn+O(log logn),
Var(Hn) = O(1),Hn
logn
P−→ α.
Sattigungslevel Sn:
E Sn ∼ α− logn, Var(Sn) = O(1),
Sn
logn
P−→ α−
0
0,373
2
4,311
[ log
n ]
vollWurzel
keine Knoten
Dabei ist α die in (2,∞) eind. Losung von
α log(2e
α
)= 1, α
.= 4,311
Pittel (’84), Devroye (’86), Reed (’03), Drmota (’03), . . .
Asymptotisches Verhalten: Hohe
Hohe Hn:
E Hn = α logn+O(log logn),
Var(Hn) = O(1),Hn
logn
P−→ α.
Sattigungslevel Sn:
E Sn ∼ α− logn, Var(Sn) = O(1),
Sn
logn
P−→ α−
0
0,373
2
4,311
[ log
n ]
vollWurzel
keine Knoten
Dabei ist α die in (2,∞) eind. Losung von
α log(2e
α
)= 1, α
.= 4,311
Pittel (’84), Devroye (’86), Reed (’03), Drmota (’03),. . .