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TESIS DOCTORAL
CARACTERIZACIÓN TOPOLOGICA DE LOS
SISTEMAS BASADOS EN REGLAS DE PRODUCCIÓN
POR
LUIS E. MUÑERA
MATEMÁTICO POR LA UNIVERSIDAD DEL VALLE
MASTER EN INFORMÁTICA POR LA U.P.M.
PRESENTADA EN LA
FACULTAD DE INFORMÁTICA
DE LA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
PARA LA OBTENCIÓN DEL
GRADO DE DOCTOR EN INFORMÁTICA
MADRID,ABRIL DE 1988
r->i7
TESIS DOCTORAL
CARACTERIZACIÓN TOPOLOGICA DE LOS
SISTEMAS BASADOS EN REGLAS DE PRODUCCIÓN
POR : LUIS EDUARDO MUÑERA SALAZAR
DIRECTORA DE LA TESIS : MARÍA COVADONGA FERNANDEZ BAIZAN
MADRID,ABRIL DE 1988
CARACTERIZACIÓN TOPOLOGICA DE LOS SISTEMAS BASADOS EN REGLAS DE
PRODUCCIÓN
RESUMEN
El objetivo de la tesis es crear un modelo deductiva a partir de
un sistema inferencial que consta de los axiomas de ARMSTRONG,
fundamentado en una aproximación entre la lógica y la topología
a través de la convergencia.
Se trata de ver la deducción como un procedimiento de
convergencia a un límite.
Esto trae como consecuencia el hecho de que podemos generar un
espacio topológico,cuya topologia,sea la mínima posible asociada
a las regias de producción,y la familia de cerrados complemento
de la topología, constituya nuestro espacio de búsqueda,pues en
ella efectuaremos las deduce iones,calculando cierres.
TOPOLOGY CARACTERIZA!"ION OF SYSTEMS BASED IN PRODUCTION RULES
ABSTRACT
Ihe m a m purpose of this thesis is to créate a Deductive Model
an Inferential System composed of the ARHSTRONG*S axioms.This
Inferential System is based on an approach between Logic an
Topology by means of convergence.
It is meant to see deductions as a convergence procedure up to a
1imi t.
Therefore we can genérate a Topological Space, whose Topology is
a minimun of al 1 the posible íopologies associated to the
Production Rules,and that the complement of Topology, or the
closed family,is our Search Space,where we can make deductions
for the procedure of computation closures.
AGRADECIMIENTOS
t£ 1 desarrollo y conclusión de esta tesis, no hubiera sido posible
sin la ayuda de muchas personas, en una amplia gama de niveles de
contri buc ion.
bn primer lugar,quiero agradecer al Exmo.Sr.D. Rafael Portaencasa
Baeza,Rector de la Universidad Politécnica de Madrid; y a D. Luis
Maté Hernández, Decano de la Facultad de Informática de Madrid.
A mi directora de tesis Da. Maria Covadonga Fernández Baizán, le
agradezco el estímulo, apoyo y dedicación que me ha proporcionado
constantemente para que este trabajo saliera adelante, y sin cuya
dirección no hubiera sido posible.
Finalmente la ayuda y el apoyo moral de mi Madre y mis Hermanos,
posibilitó la conclusión de la presente tesis.
ÍNDICE
PAG
CAPÍTULO O. INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO 1. HISTORIA Y EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE
PRODUCCIÓN.
1 . 1 PRESENT AC ION 3
1.2 PROBLEMAS Y ESPACIOS DE BÚSQUEDA 5
1 .3 SISTEMAS DE PRODUCCIÓN 7
1.4 SISTEMAS DE INFERENCIA DIRIGIDOS POR PATRONES 10
1.5 REPRESENTACIÓN DE LOS ESPACIOS DE BÚSQUEDA 20
l.é> SISTEMAS DE PRODUCCIÓN CONMUTATIVOS 23
CAPITULO 2. CONVERGENCIA MOORE-SMITH EN LOS SISTEMAS DE
PRODUCCIÓN.
5.1 DEFINICIONES BÁSICAS Y NOTACIÓN 25
2.2 SISTEMA INFERENCIAL 28
2.3 DEDUCCIONES DIRIGIDAS POR LAS METAS 31
2.4 DEDUCCIONES DIRIGIDAS POR LOS DATOS 42
CAPITULO 3. SÍNTESIS Y DESCOMPOSICIÓN DE LOS ESPACIOS DE
BÚSQUEDA.
3.1 NECESIDAD DE UNA SÍNTESIS 51
3.2 GENERACIÓN DE BASES TOPOLOGICAS DEL ESPACIO DE
BÚSQUEDA DIRIGIDO POR LAS METAS 52
3.3 GENERACIÓN DE BASES TOPOLOGICAS DEL ESPACIO DE
BÚSQUEDA DIRIGIDO POR LOS DATOS 57
3.¿4 PARTICIÓN DE LAS BASES Y ESPACIOS EN SUB-BASES Y
SUB-ESPACIOS CONEXOS 6B
3.5 ALGORITMOS DE SÍNTESIS 70
CAPITULO **. APLICACIONES.
4.1 DISEÑO DE MOTORES DE INFERENCIA 80
4.2 CICLO DE BASE DE UN SISTEMA DE PRODUCCIÓN EN
ENCADENAMIENTO HACIA.ATRÁS 82
4.3 MOTOR DE INFERENCIAS FUNCIONANDO CON ENCADENAMIENTO
HACIA ATRÁS 83
4.4 CICLO DE BASE DE UN SISTEMA DE PRODUCCIÓN EN
ENCADENAMIENTO HACIA ADELANTE 90
4.5 MOTOR DE INFERENCIAS FUNCIONANDO CON ENCADENAMIENTO
HACIA ADELANTE 91
CAPITULO 5. CONCLUSIONES 96
BIBLIOGRAFÍA 115
ANEXO. TOPOLOGÍA Y CONVERGENCIA MOORE-SMITH.
A.l NOCIONES BÁSICAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS 98
A. 2 CLAUSURA 99
A. 3 , BASES Y SUB-BASES DE UNA TOPOLOGÍA 102
A.4 CONVERGENCIA DE SUCESIONES 104
A.5 CONVERGENCIA DE MOORE-SMITH 105
LAP1IULU O
ÍNiRÜDUÜCiUN
La inteligencia Artificial ha pasado de ser una disciplina
científica conocida por unos pocos especialistas y desconocida
por ios diferentes profesionales y el público en general, a
convertirse en un autentico "boom" que ha invadido los medios de
comunicación social y en cuyo auqe y expansión esta entrando en
contacto con muchas profesiones y ciencias, siendo cada vez mayor
el alcance de sus dominios de aplicación.
tste cambio se ha operado principalmente gracias a la aparición
de los Sistemas fcxpertos, ya que éstos se caracterizan por- su
utilidad práctica en la resolución de algunos problemas
especiticos,para ios cuales los sistemas tradicionales se
muestran ineficientes o poco apropiados.
H este desarrolla han contribuido el proyecto Japonés de
Uuinta Ueneración y los proyectos e iniciativas similares de
hstados Unidos y los países turopeos, empeñados en una carrera de
adquisición y dominio de tecnologías punta y de conocimientos
estra teqicos.
Los Sistemas de Producción son uno de los formalismos más
utilizados por la inteligencia Artificial, por su flexibilidad y
versatilidad a la hora de ser utilizados en la resolución de
problemas, o como modelos cognoscitivos.No es de extrañar su
amplia utilización desde su formulación inicial por bmii Post en
Hrtb-i-
lVHd,en diferentes aplicaciones en Inteligencia Artificial, que
van desde la Lúqica Simbólica nasta los Sistemas Expertos,
pasando por la Lingüistica y la Psicología.
bl objetivo primordial de esta tesis,es aplicar una herramienta
de la topología genera 1,conocida con el nombre de convergencia de
redes o convergencia de Moore—Smith,a la. estructura ínferencial
de ios Sistemas de Producción.
be trata de analizar- cada regia de producción como una red de
lioore—Smi th, gue converge a un límite,y al conjunto de todas las
posibles regias de producción inferidas a partir del conjunto de
reglas dadas - conocido con el nombre de base de reglas - como
una ciase de convergencia, de tai manera que se genere un espacio
topologico a partir del cual se obtienen las bases de búsqueda,
las cuales son nuestro objetivo especifico, ya gue a partir de
ellas efectuamos las deducciones, siguiendo las técnicas gue
tradieíonalmente se usan para estos sistemas, es decir, la
equiparación de un patrón con elementos existentes en una base de
datos, procedimiento que habituaimente lleva consigo una
instanciacion si el patrón contiene variables, sustituyendo
estas por los valores particulares presentes en la base de datos.
bl Capitulo 1 esta dedicado a una presentación formal de los
Sistemas de Producción.bi Capitulo B sienta las bases de la
caracterización de los Sistemas de Producción en términos de
convergencia lioore—Smith. bl Capitulo 3 presenta la obtención de
ios espacios de búsqueda,a partir de consideraciones topoióqicas.
bl Capitulo <4 esta dedicado a la aplicación en el diseño de
motores de inferencia.
HAb-a-
CAPITULO 1
HISTORIA Y EVOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE PRODUCCIÓN
1.1 PRESENTACIÓN
Desde su nacimiento oficial<conferencia del Dartmouth College,
verano de 1956), la Inteligencia Artificial ha tenido como objeto
el estudio e investigación de MODELOS DEL COMPORTAMIENTO
INTELIGENTE y,en general,de procesos cognoscitivos, para los
cuales no se dispone de métodos algorítmicos capaces de
describ ir los.
En el periodo que abarca desde 1956 a 1968,los principales
problemas que abordaron los investigadores de la Inteligencia
Artificial,fueron los juegos como el ajedrez y las damas, la
traducción automática, la demostración automática de teoremas y
el resolutor general de problemas.
De los trabajos realizados en juegos,es especialmente conocido el
programa de SAMUEL para el juego de " checkers " (variante
anglosajona del juego de damas),se construyeron traductores
automáticos del ruso al inglés y NEWELL,SHAW Y SIMÓN
presentaron su LOGIC THEORIST que era -un programa ejecutado por
un ordenador, y que podía demostrar teoremas de la lógica de
proposiciones. , ,~ ."Ti.
Estos resultados,unidos al resolutor general de problemas
PAG-3-
elaborado porNEWELL,SHAW,Y SIMÓN;asi como la aparición de LISP,
un lenguaje de programación creado por McCARTHY,apropiado para la
Inteligencia Artificial junto con los avances en la fabricación
de ordenadores más potentes,condujeron a un optimismo exagerado y
a predicciones que no se cumplieron.
Se descubrió entonces que, por ejemplo,para hacer una buena
traducción no era. suficiente la utilización de un diccionario y
de unas pocas reglas gramaticales;que éste y muchos otros
problemas, eran más complejos de lo que les habia parecido y que
era necesario aproximarse al comportamiento y a los métodos que
utilizamos los seres humanos para resolver los problemas.
Esto condujo a un cambio de enfoque que ha dado muy buenos
resultados,sobre todo prácticos,a partir de la década de los 70,
con la incorporación al ordenador de una gran cantidad de
conocimiento,y especialmente,con la distinción entre el
conocimiento y los mecanismos que lo manipulan.
En 1974 aparece MYCIN,el primer sistema experto:Se trata de un
sistema capaz de diagnosticar y tratar enfermedades infecciosas
de la sangre que fué elaborado incorporándole los conocimientos
y la experiencia de un ser humano especialista en el tema.
A partir de entonces,la Inteligencia Artificial deja de ser una
disciplina "inútil" para ser de gran utilidad en la solución de
muchos problemas en una diversidad de campos .Prueba de ello,es
la aparición cada vez mayor de sistemas expertos.
También es de resaltar la aparición de entornos y herramientas de
ayuda para el desarrollo de estos sistemas, así como la de
numerosos lenguajes y algunas máquinas para uso específico en
PAG-4-
Inteligencia Artificial.
De los lenguajes,el que ha cobrado mayor notoriedad en los
últimos años es PROLOG,un lenguaje basado en la lógica de
predicados de primer orden,creado por ALAIN COLMERAUER en la
universidad de Marsella y cuya estructura inferencial está
fundamentada en el PRINCIPIO DE RESOLUCIÓN de ALAIN ROBINSON.
Uno de los formalismos más utilizados por la inteligencia
artificial,para la modelización de la solución de problemas y de
procesos cognoscitivos,son los SISTEMAS DE PRODUCCIÓN.
Este capitulo está dedicado a presentar su origen y evolución,
mostrando su diversidad de aplicaciones y definiéndolos con un
cierto grado de formal izacion y generalidad,pues ellos son
nuestro objeto de estudio.
1.2 PROBLEMAS Y ESPACIOS DE BÚSQUEDA
DEFINICIONC1.1): Un problema P es una cuaterna P=(E,©,eo,M), en
donde E es el espacio de estados del problema,es decir,el
conjunto de todas las posibles configuraciones o estados del
problema; 0 es el conjunto de operadores o reglas que se aplican
sobre el espacio de estados obteniendo otros estados, E X © — > E ;
M, es el conjunto de estados que se aceptan como metas;eo es un
estado privilegiado de E, denominado estado inicial.
Los operadores se denominan destructivos si al aplicarlos no
aumentan el numero de estados, es decir los disminuyen o los
mantienen; y se denominan creativos si aumentan el número de
PAG-5-
estados o alternativas.
DEFINICIÓN*1.S):Decirnos que un estado e* es sucesor de un estado
e,si e* es alcanzable desde e por aplicación de una secuencia
de operadores.
Si e' puede ser alcanzado desde e por aplicación de un
operador,decirnos que e' es el sucesor inmediato o el adyacente de
e.
Al conjunto de todos los sucesores de un estado e, lo
representamos por S e.
DEFINICIÓN*1-3): Denominamos espacio de búsqueda de un problema P
al conjunto de todos los estados que pueden ser alcanzados por la
aplicación de secuencias de operadores,comenzando en el estado
inicial.
DEFINICIÓN* 1 .**) :Dec irnos que un problema P es resoluble si y sólo
si para cualquier • € E, S e l~l M Jm p*.
DEFINICIÓN*1.5):Sea P un problema resoluble. Decimos que S e o e s
una solución,si y sólo si S e o '1 M f* •
DEFINICIÓN*1.6): Dados dos problemas P=*E,9,eo,M) y
P'asíE' ,©* ,eo' ,M' ),decimos que P es homomorfo a P" , lo que
simbolizamos por P-"V->P* , si existe una función f: EU© — > E'U6'
tai que: <1) f*E) C E ' y f<0) C 8'
*2) f*eo) C eo' y f *M> C M'
Si f es biyectiva, es decir: Si se cumple que P*-'V->P, entonces
PAG-6-
decimos que P y P* son isomorfos,lo que simbolizamos por P~P'.
1-3 SISTEMAS DE PRODUCCIÓN.
ti origen de los sistemas de producción se remonta a 19¿+3, cuando
el lógico EMIL POST desarrolló un modelo para representar
cualquier sistema formal en el que se efectúen deducciones
lóg icas-
ti sistema propuesto por post es una clase finita de reglas de
reescritura aplicable a cadenas de símbolos.Estas reglas,
denominadas PRODUCCIONES,(de ahí el nombre de sistema de
produce ion),se parecen a las reglas de las gramáticas formales,
pero contienen,ademas de símbolos terminales y no terminales,
cadenas variables que representan cadenas arbitrarias de letras
terminales que pueden aparecer en derivaciones permitidas por el
sistema.
DEFINICIONÍ1.7): Un sistema de producción de Post es una cuaterna
SPP=(T,a,V,R) en donde T es un conjunto finito de símbolos,
T=ta,b,c,-..,n>; o es un conjunto finito de símbolos auxiliares,
<x-<A,B,C, . - . ,N> ; V es un conjunto finito de cadenas variables,
V=ÍX,Y,2,...>.
R es un conjunto finito de reglas de reescri tura,cada una de las
cuales es un par ordenado de cadenas en (T U a U V)*.Si (X,Y) es
una regla perteneciente a R , escribimos X — > Y.Cada regla es de
la forma AXB — > AYB,estableeiendose con ello que la cadena X
podría ser reemplazada por la cadena Y en el contexto de A y B.
PAli-7-
Análogamente al modo en que las reglas de una gramática formal
permiten la derivación de cadenas terminales a partir de un
símbolo de comienzo, las reglas de producción permiten que, a
partir de un conjunto de axiomas (cadenas de símbolos sobre algún
algún alfabeto),se deduzcan teoremas (cadenas que pueden ser
deduzcan teoremas (cadenas que pueden ser derivadas en un número
finito de pasos a partir de los axiomas).
DEFINICIONÍ1-8): Si X — > Z decimos que Z es deducible
inmediatamente de X,y escribimos X —J> Z.
Si Xj — > Xg — > . . . — > X|< decimos que X^ es deducible finalmente
de Xj y escribimos Xj — » * Xj^.La cadena secuencial Xj,Xg,-..Xk
constituye una demostración de X^ a partir de Xj .
Si A es un conjunto finito de cadenas pertenecientes a T*,
entonces A es un conjunto válido de axiomas para SPP y el
conjunto TCSPP,A> = tY € T* / X — » * Y, X € A> es el conjunto de
teoremas demostrables a partir de los axiomas.
En los años 60,algunos investigadores como NEWELL,SHAN,SIMÓN,
utilizaron los sistemas de producción para modelar procesos
cognoscitivos humanos,especialmente en el análisis de juegos y de
problemas de criptaritmética.
Las razones para utilizar estos sistemas para esos propósitos,se
pueden resumir en las siguientes:
(1) Tienen la generalidad computaciona1 de las máquinas
universales de Turing, y por tanto son un buen modelo para el
procesamiento de información del tipo de la dirigida por los
PAG-8-
datos, que poseen las acciones inteligentes.
(2) Puesto que las reglas de producción tienden a representar
componentes independientes del comportamiento, la creación y
adición de reglas puede ser incremental.
(3) Las reglas de producción proporcionan un posible modelo de la
memoria humana.
Estos sistemas de producción se caracterizan por una separación
de los datos,reglas y la estructura de control que los maneja.
Los datos(símbolos o listas) se encuentran almacenados en una
base de datos, que es simplemente una memoria de trabajo,en la
que se puede escribir,borrar,modificar,efectuar operaciones,etc.,
y puede ser tan simple como un vector o una matriz o cualquier
otro tipo de estructura; pero no hay que confundirla con el
concepto de base de datos que usualmente se utiliza en
informática.
A diferencia de los sistemas de producción de Post, las reglas no
son reglas de reescritura del tipo de las reglas gramaticales,
sino más bien pares ordenados del tipo condición—acción.Es decir,
se trata de reglas de la forma: SI condición ENTONCES acción.
Este tipo de reglas de produce ion,traducen la experiencia de un
ser humano y,por lo tanto,no necesariamente reflejan
implicaciones lógicas, si no más bien las convicciones del ser
humano.
En general,la condición se expresa en forma de una conjunción de
varias condiciones elementales, que se deben satisfacer para
ejecutar determinada acción o acciones, que pueden agregar,borrar
o modificar los elementos de la base de datos.
PAG-9-
Sin embargo,los sistemas de producción también son utilizados
como sistemas de inferencia y,más específicamente,como sistemas
deductivos en donde los datos hechos son aserciones y las reglas
de producción son del tipo antecedente—consecuente.
En estos casos,la premisa o antecedente expresa las hipótesis que
deben verificarse para que se pueda extraer la conclusión.En
estos sistemas,usualmente se representan los antecedentes como
una combinación lógica de predicados cuyos valores de verdad
pueden ser determinados examinando los datos.Los consecuentes son
usualmente representados como aserciones acerca del valor de
verdad de los enunciados.
Un sistema de producción típico, además de la base de datos y de
la base de reglas,posee un mecanismo de contro1,1lamado
intérprete que se encarga de tomar los datos o hechos y
equipararlos con los lados izquierdos de las reglas para
determinar cuáles aplicar hasta satisfacer unas determinadas
condiciones,mediante unas estructuras de control llamadas
estrategias de control.
l.t* SISTEMAS DE INFERENCIA DIRIGIDOS POR PATRONES.
Los sistemas de producción son un caso particular de sistemas de
inferencia que utilizan patrones para guiar los procesos de
decisión.
En general,un sistema de inferencia dirigido por patrones tiene
tres componentes básicas:
(1) Un conjunto de sub-estructuras,1lamados módulos dirigidos por
PAG-10-
los patrones, los cuales pueden ser activados o disparados por
patrones que se encuentran en las estructuras de datos o hechos.
(2) Una o más estructuras de datos o hechos que pueden ser
examinadas y modificadas por los módulos.
(3) Un motor de inferencias o ejecutor que controla la selección
y activación de los módulos.
Los patrones pueden ser de muchos tipos: cadenas de caracteres,
ternas objeto-atributo-valor, árboles, grafos complejos,redes
semánticas, etc.
La información en la estructura de datos puede estar en forma
de 1istas,árboles,redes,reglas o cualquier otra representación.
Las modificaciones generadas por los módulos pueden ser
simplemente aseverar que alguna proposición es verdadera,o algo
más complejo,como disparar acciones que modifiquen datos,reglas o
una determinada acción de la realidad (por ejemplo el tratamiento
médico de un paciente).
£1 ejecutor o motor de inferencias (que también recibe el nombre
de intérprete,resolutor ó demostrador de teoremas,dependiendo del
tipo de sistema) posee un ciclo básico de cuatro etapas:
selección,equiparación (en inglés,"matching"),resolución de
conflictos y ejecución.
(1) ETAPA DE SELECCIÓN: Activa o selecciona los módulos
relevantes y los datos.
(2) ETAPA DE EQUIPARACIÓN: Filtra o equipara los patrones
frente a los datos en la estructura de datos.
(3) ETAPA DE RESOLUCIÓN DE CONFLICTOS: De todos los módulos para
PAG-11-
los cuales la equiparación ha tenido éxito,se elige uno de
acuerdo a algún criterio que puede ser el primero,o el
menos general,etc.
(4) ETAPA DE EJECUCIÓN: Se dispara el módulo escogido en la etapa
de resolución de conflictos.
Ei ciclo se repite hasta que el hecho que se ha fijado como meta
se añada a la estructura de datos, o cesa de efectuarse cuando ya
no pueda aplicarse ningún módulo.
ti anterior ciclo es válido cuando el sistema funciona dirigido
por los datos, es decir,posee un encadenamiento hacia adelante.
En un encadenamiento hacia atrás, o dirigido por las metas,el
ciclo se convierte en:
<1) Búsqueda de módulos cuya conclusión se corresponde con la
submeta actual.
(2) Elección de un módulo entre estos.
(3) Reemplazamiento de la meta por la conjunción de los términos
que forman parte del patrón del módulo elegido,como submetas
equivalentes.
El ciclo se detiene cuando la meta inicial ha podido reducirse a
submetas elementales verificadas en la estructura de datos, o
cuando no puede dispararse ningún módulo.
La variedad de sistemas de inferencia dirigidos por patrones es
amplia, y depende de la clase de representación del conocimiento
que se adopte frente a un determinado tipo de problema.
Como señalamos anteriormente,los sistemas de producción son
PAG-1H-
únicamente un caso particular de estos sistemas, en los que los
módulos dirigidos por patrones son las reglas de producción y en
donde el patrón a ser confrontado (lado izquierdo de la regla)
puede ser simplemente una cadena de caracteres, una conjunción
de literales o fórmulas del cálculo de predicados de primer
orden.El lado derecho o acción o consecuente es el que introduce
modificaciones en las estructuras de datos (base de datos).
La equiparación en sistemas de producción depende de la
complejidad de las reglas.Es decir,si las reglas son reglas de
reescri tura,será tan sencillo como un emparejamiento de
caracteres, pero si son reglas que utilizan el cálculo de
predicados, la equiparación por ejemplo de la parte izquierda de
la regla (encadenamiento hacia adelante) frente a las expresiones
contenidas en la memoria de trabajo, será un proceso de
sustitución de tal manera que las expresiones de la memoria de
trabajo sean instancias de las expresiones del lado izquierdo de
la regla.
Una sustitución es una función que asigna términos a las
variables.
Podemos considerar una sustitución S como un conjunto de
componentes de sustitución, que podemos expresar como xj=t¿ o
mediante pares ordenados (Xj/tj) en donde x¿ es una variable y tj
es un término (constante,variable o función).
Si E es una expresión (término,átomo o cláusula),el resultado de
aplicar la sustitución S = t xl=*l» - - - »xm=*"m •* a - e s una nueva
expresión ES.
PAG-13-
Decimos que un conjunto tEi5i=i...n de expresiones es unificable,
si existe una sustitución S tal que E^S = EgS =-..= E nS.
Si S es el unificador más general de ÍE¿>, esto es, si S 7 es
cualquier unificador de CE;}, entonces existe una sustitución <r *
tal que ÍE¿>S' = {Ej>(T, decimos que S equipara a CEj>.
El desarrollo de las clases de representación del conocimiento
tiene una clara influencia de las que podríamos calificar como
escuelas más importantes que han jugado un papel determinante en
la génesis y evolución de la inteligencia artificial y de los
sistemas basados en el conocimiento, me refiero a la escuela
matemática y a la escuela psicológica.
La escuela matemática se caracteriza por una representación del
conocimiento bastante formalizada, mediante la utilización de la
lógica,que le permite manejar los sistemas de inferencia como
sistemas demostradores de teoremas.Existen dos tipos principales
de tales sistemas: Los sistemas de demostración directa y los
sistemas de demostración por contradicción o refutación.
Los sistemas de demostración directa,son sistemas de producción
en donde el conocimiento acerca de un problema es expresado como
reglas y hechos. Las reglas consisten en aserciones enunciadas en
forma de implicaciones lógicas y los hechos son las aserciones
que no están expresadas como implicaciones.
E.1 conocimiento asercional es representado por literales y
fórmulas bien formadas del cálculo de predicados de primer orden.
La labor de estos sistemas consiste en demostrar una fórmula o
literal que se tiene como meta u objetivo a partir de esos hechos
PAtí-14-
y reglas,razonando hacia adelante o hacia atrás o en forma
b id irecc ional.
Los sistemas de demostración por contradicción o refutación son
sistemas de inferencia dirigidos por patrones, basados en el
principio de resolución de Robinson.
£1 conocimiento asercional, es inicialmente expresado por
cláusulas ( disyunción de literales ). Se tiene entonces un
conjunto de tales cláusulas a partir de las cuales se desea
demostrar alguna que sea meta u objetivo.
El proceso de resolución—refutación,consiste en negar la cláusula
meta y agregar su negación al conjunto de cláusulas, convirtiendo
este conjunto en un conjunto ampliado de cláusulas para luego
utilizar la resolución para derivar una contradicción,
representada por la cláusula vacía.
Los sistemas de producción que utilizan la lógica como formalismo
de representación del conocimiento y,en general,los sistemas de
producción con representaciones estructuradas, están muy
orientados hacia una sintaxis de las reglas, lo que les hace muy
rígidos y por lo tanto inadecuados para representar algunos
comportamientos complejos, como,por ejemplo,los que incluyen
secuencias temporales,invocacion procedimental y recursión.
Uno de los campos de investigación en Psicologia,ha sido entender
cuándo,dónde,y porqué el conocimiento es almacenado,mientras que
para los investigadores de la Inteligencia Artificial, ha sido el
entender qué conocimiento es necesario para ejecutar algún
trabajo <representacion del conocimiento) y cómo ese conocimiento
PAG-15-
debe ser equiparado a unas condiciones apropiadas y aplicarlo
para modificarlas (arquitectura para los sistemas de inferencia).
Así que los dos campos ofrecen teorias complementarias de los
procesos de información.
La escuela psicológica ha investigado los modelos de
procesamiento de información de la cognición humana,
estableciendo sus componentes principales:
<1) Mecanismos del comportamiento mental para percibir, razonar y
aprender.
(2) Memorias para almacenar y acceder a la información.
Como resultado de estas investigaciones,se han obtenido
representaciones del conocimiento para ser utilizadas por los
computadores, permitiéndoles una mayor aproximación al modo como
razonan los seres humanos y que se caracterizan por un mayor
nivel de abstracción y un incremento en la riqueza semántica.
Una de tales clases de representación del conocimiento son las
denominadas REDES SEMÁNTICAS,las cuales fueron desarrolladas
inicialmente para representar la semántica de las palabras en
inglés, y que han sido utilizadas como modelos de la memoria
humana.
En el campo de la Inteligencia Artificial se utilizan como una
alternativa a la lógica formal, para representar el conocimiento.
En una red semántica, la información es representada como un
conjunto de nodos, que se clasifican como:
conceptos,eventos,atributos y valores.Y unos arcos etiquetados
que enlazan a los nodos, representando relaciones entre ellos.
PAG-16-
Las redes semánticas se fundamentan en el concepto de ENTIDAD
(sujeto) y en el de las llamadas CLASES que son un conjunto de
Entidades, todas con un tipo de características similares.Las
entidades tienen asociados atributos, que se definen por un
nombre y sus valores-clase.
Las conexiones entre las clases pueden ser de dos tipos:
conexiones de subclase ( una de las clases se restringe a un
conjunto de elementos de la otra, la clase restringida,se
denomina subclase y la clase general se llama superclase); y
conexiones de grupo (conexiones que agrupan clases en grupos que
contienen, como miembros, a los conjuntos de entidades de las
clases).
Las clases que no pueden ser supere lases se llaman clases
básicas. Los miembros de una clase heredan los atributos de los
elementos de las superclases a las que está asociada.
Las relaciones entre conceptos son asertos, las relaciones entre
conceptos y clases son instanciaciones y las relaciones entre
clases corresponden a relaciones binarias (que en si mismas son
consideradas clases).
Algunas relaciones como ES-UN y PARTE—DE expresan jerarquizacián
de conceptos y clases.
Dado que es dificil manejar la cuantificación en redes semánticas
una forma de resolver el problema es particionar la red semántica
en un conjunto de espacios jerárquicos, cada uno de los cuales
corresponde al alcance de una o más variables.
Un ejemplo de red semántica, es el siguiente:
El objeto SILLA es una instancia de la clase MUEBLES y MARRÓN es
PAG-17-
un valor del atributo COLOR del objeto SILLA. Las relaciones
PERTENECE y ES UN, indican una jerarquizacion como se aprecia en
la figura .
C A S A
p e r t e n e c e
M U E B L E S
Es Un
S I i ' a C.n 1 r>*-
M A R R Ó N
Utra clase de representación del conocimiento en la linea de la
escuela psicológica, son los denominados MARCOS,que son una
generalización de las redes semánticas.
Un marco es una estructura de datos para representar una
situación estereotipada, de tal manera que puede ser adaptado y
ajustado a una determinada realidad, cambiando si es necesario
los detalles, pero manteniendo la armazón.
Los marcos consisten de las siguientes entidades:
(1) NOMBRE: Nombre del marco.
(S) CAMPOS DEL MARCO: Un campo del marco es un área donde un
valor opcional es almacenado.Este valor es llamado valor del
campo del marco.
(3) BRUPO: Grupo es un Área para almacenar valores especiales que
clasifican los marcos enfocando la atención sobre ellos en la
base de conocimientos.
(4) PISTAS: Una pista (en inglés,slot) consiste de las siguientes
PAG-18-
subentidades: (**!> NUMBRE: Nombre de la pista.
(^ii) VALOR: Valor almacenado en la pista.
(4iií) TIPG DE DATO: Solamente determinados tipos
de valores son permitidos para ser almacenados.
(*Ȓv) CAMPOS: Un campo consiste de un nombre de
campo y de un valor almacenado para el campo.
< MARCO >
< PISTA 1 > < TIPO DE DATO 1 > < VALOR 1 >
< CAMPO 1 > < VALOR DEL CAMPO 1 >
< CAMPO 2 > < VALOR DEL CAMPO S >
< PISTA H > < TIPO DE DATO E > < VALOR E >
Ademas existen otras representaciones del conocimiento como los
guiones y la dependencia conceptual de SCHANK.
Finalmente,clasificaremos los sistemas de inferencia dirigidos
por patrones ÍS.I.D-P.) de la siguiente manera:
sistemas de producción
-S.I .D.P.
iistemas basados en ei principio de
resolución
cláusulas de horn
sistemas de representaciones estructuradas
HAÜ-1V-
reqlas de reqlas de redes marcos otras reescritura implicación
o lógica reqlas de derivación
1.5 REPRESENTACIÓN DE LOS ESPACIOS DE BÚSQUEDA
Existe una estrecha relación entre los sistemas de inferencia
diriqidos por patrones y la solución de problemas.Así,un sistema
de inferencia con encadenamiento hacia atrás, se puede utilizar
como un modelo de descomposición o reducción de problemas.
Dado un problema P=(E,6,eo,M),lo podemos modelar mediante un
sistema de producción.Es decir,el conjunto de operaciones © es un
conjunto de reqlas de producción en donde los patrones son
configuraciones de E y eo,M son hechos; y los espacios de
búsqueda son espacios de derivacion,que usualmente se representan
qráficamente mediante los denominados árboles o gratos de
derivación.
bea IN el conjunto de los números naturales,y sea IN* el conjunto
de secuencias finitas sobre IN,v.gr.,IH*-in¿...nj...n¿/n¿feIN> con
la convención de que la secuencia vacía f* definida porl'n = nP = n
para todo n fe IN*.
üea M un subconjunto finito de |N*,tal que las siguientes
condiciones son válidas:
(i) tíi n t M y n • niny, entonces ni fe M, donde n,nj,njj fe IN*
<ii) Si nj fe M y i<j,entonces n¿ € M,donde n fe |N* y i,j fe IN.
DEFINICIÓN (l.V): Un árbol es una terna A=ÍN,E,f) , donde un
PAtí-tíÜ-
elemento de N es llamado nodo,E es un conjunto finito de
etiquetas, y f es una función de N en L.
N contiene a i', l" es llamado el nodo raíz.Sea n^ € N para n £ N,
i t IN.Entonces,se dice que el nodo nj es un sucesor del nodo n y
que n es el padre del nodo n x.
Sea n € N y n¿ no perteneciente a N. tntonces,se dice que el nodo
n es un nodo hoja.
Si n fc N y n no es el nodo raíz y tampoco es un nodo hoja,
entonces se dice que es un nodo interior.
UEFINICIUN (I-IO): Un árbol A=(N,E,f) es llamado un árbol Y/0 si
A satisface las siguientes condiciones:
(i) La etiqueta t(l') del nodo raíz es el problema inicial.
i'd.) Si la etiqueta del nodo raíz es P, las etiquetas de los
sucesores de I' son:
t(l)=H1, t(cí)=Ps, ,f(k>=Pk
Si estos nodos son interiores,entonces corresponden a una
descomposición del problema P.ts decir,la secuencia P¿ ,P¿J, - . . ,Pk
es una secuencia de subproblemas de P.Si corresponden a un
subproblema que puede deducirse de varias reqlas,sale una
ramificación de tipo U (y si sólo hay una reqla,sólo sale una
ramal.ts decir,ios nodos 1 ,cñ, . - . ,k . son llamados nodos U.
(3) Si m es la longitud o cantidad de condiciones o literales que
forman parte del patrón de una reqla asociada a un nodo i,
entonces las etiquetas de los sucesores de i (+(i)=PX),son:
t(íl)=Pil,f íiB)=Pi£i, f (im)=Pim
HAÜ-cil-
Los nodos i i , íídr . . . , im son llamados nodos Y
Pi Pi Pk
Pil PiE Pxm
DEFINICIÓN (1.11): Sean A 4 = (N1,E1,'f1> y fiy = (Ne,Es,fe> dos
árboles Y/U, y sean l'j y I'JJ los nodos raíces de Aj y Aj¿
respectivamente. tíi t¿j(r¡j)=Fi j € E¿, entonces el árbol A=(N,E,f>
es definido como sique:
(1) N = NjU Ny* en donde Ny* = t ijn/n € N¡_» >, si íj es un
nodo de Pjj en Al.
(fc»> fc = tj U Ey
Í3) t'(n) = tj(n) si n fc Nj y +(n> =* f jj(n* ) si n no pertenece a
Nj y n = ijn', n* t N¿¿
t*+) fc.1 nodo raíz de A es l'j.
H = <N,E,f > es llamado composición de A¿ y A¿>, A = Aj+A^.Y
Decimos que el árbol Ay está injertado sobre el nodo íj.
Descomponer un subproblema P x corresponde a injertar un árbol
Y/U,sobre el nodo etiquetado P¿ .
Los nodos hoja representan subproblemas indescomponibles.
P
^1 I—I—1
^k I—I—1
PAÜ-ütí-
^il - - - ^í a "*" ^in
"ijl ---rijk--- "ijm
üi A es un árbol no necesariamente Y/O, entonces en la
definicióní1.lü) podemos reemplazar el árbol Y/U, Aj por A, es
decir: nosotros podemos obtener la composición A + A',en donde A'
es un árbol Y/U.
1.6 SISTEMAS DE PRODUCCIÓN CONMUTATIVOS
DEFINICIÓN (1.12): Decimos que un sistema de producción
SH(BD,BR,I) es conmutativo,si tiene las siguientes propiedades
con respecto a cualquier base de datos BD:
(1) Cada miembro del conjunto de reqlas BK aplicable a BD es
también aplicable a cualquier base de datos BD',producida por la
aplicación de una reqla aplicable a BD.
íc¿) tíi la condición meta es satisfecha por BD,entonces también es
satisfecha por cualquier base de datos BD',producida aplicando
cualquier reqla aplicable a BD.
(3> La base de datos que resulta aplicando a BD cualquier
secuencia compuesta de reqlas que son aplicables a BD,es
invariante bajo permutaciones de la secuencia.
La importancia de un sistema conmutativo estriba en que siempre
es posible llegar a la meta aplicando las reglas en cualquier
orden,es decir,es necesario considerar solamente una de las
HAÜ-¿y-
muchas trayectorias mostradas.fcsto es importante porque evita
explorar trayectorias innecesarias que conduzcan a la solución,ya
que todas son equivalentes,excepto por el orden de las reglas.
Los sistemas de producción qozan además de una propiedad
atractiva que consiste en que si hacemos una búsqueda hacia
atrás sobre un sistema conmutativo utilizando los árboles Y/U que
acabamos de ver,obtenemos una descomposición del sistema.Con esto
nos referimos a dos cosas:
(1) Los componentes de la base de datos inicial se descomponen o
particionan en componentes separados que pueden ser procesados
independientemente,esto es: Las regias de producción pueden ser
aplicadas a cada una de esas componentes independientemente „
(posiblemente en paralelo).Los resultados de esas ap1icaciones,a
su vez pueden ser particionados y,así,sucesivamente.
iü) Las condiciones de terminación o metas se pueden descomponer,
esto es: Las podemos expresar por las condiciones de terminación
de cada uno de sus componentes.
PAtí-£4-
CAPIIULU a
CONVERGENCIA MQORE-SMITH EN LOS SISTEMAS DE PRODUCCIÓN
d.l DEFINICIONES BÁSICAS Y NOTACIÓN.
Teniendo en cuenta 10 expresado en el capitulo anterior,
consideraremos un sistema de producción SP como una terna
ordenada (BD,BR,I) en donde BD es la base de datos o hechos
(conocimiento asercional),BR es la base de reqlas (conocimiento
procedimental),I es el intérprete (motor de inferencias, o
máquina deductiva).
Una regla de producción es un par ordenado (a,6) en donde a
recibe el nombre de premisa o antecedente y & el de conclusión o
consecuente.
hn principio,consideraremos que tanto a como (J están formadas por
la disyunción de expresiones que denominaremos compuestas por
estar constituidas por la conjunción de subexpresiones
elementales.
Consideraremos como expresiones elementales una gama de
representaciones: símbolos de un altabeto, o ternas
objeto-atributo-valor, o proposiciones, o literales del cálculo
de predicados de primer orden.bm consecuencia,consideraremos
expresiones compuestas: cadenas de símbolos de un alfabeto, o
listas de propiedades (una propiedad es un par atributo-valor), o
PAG-cib-
conjunción de proposiciones o literales del cálculo de predicados
de primer orden.
Los hechos de la base de datos podrán ser expresiones elementales
o compuestas.
Si las reqias de producción están expresadas en cálculo de
predicados de primer orden,supondremos que las expresiones
lógicas están en forma normal prenex y en forma normal de Bkolem,
es decir: No poseen símbolos de implicación entre hechos (salvo
el de la regia), los símbolos de negación están situados de modo
que su alcance incluye a lo sumo un sólo predicado,los
cuantificadores existenciales han sido reemplazados por funciones
de Skoiem y no aparecen cuantiTicadores universales, ya que
para las variables que permanezcan se supone que tienen un
cuantificador universal cuyo alcance es el de la reqla.
DEFINICIÓN te.l>:Dado un sistema de producción SPÍBD,BR,I>,
denominamos base de conocimientos BC del sistema a la pareja
(Bü,BR).
DEFINICIÓN (a.£>:Dada una base de conocimientos BC(BD,BR),
denominamos universo o dominio del discurso con respecta a la
base,al conjunto de todas las expresiones elementales,tanto del
lado izquierdo como del lado derecho de las regias de producción
de BK.Lo simbolizaremos por ü*.
DEFINICIÓN (2.3)s Dada una base de conocimientos BC(BD,BR) y el
dominio del discurso D* asociado a ella, denominaremos
HAtí-Hfe-
expresiones simples a ios elementos de D ,y expresiones
compuestas a cualquier subconjunto de D*.
NUIACIUN: Usaremos las primeras letras del altabeto A,B,U,...
(posiblemente con subíndices) para denotar expresiones simples, y
a las Ultimas del alfabeto V,X,¥,...(posiblemente con subíndices)
para denotar expresiones compuestas.
Una reqla como,por ejemplo,A & tí — > C,la podemos simbolizar
como X — > Y,en donde X = ÍA,B> y Y * tü>.
DEFINICIÓN (£-4)s Dada una base de conocimientos BC(BD,BK),
denominamos dominio izquierdo con respecto a la base al
subconjunto de D* al que pertenecen todas las expresiones
simples que Torman parte de las expresiones compuestas que son
lados izquierdos de reqlas de ÜH,y lo simbolizaremos por Di*.
Análogamente denominamos dominio derecho con respecto a la base
ai subconjunto de D* al que pertenecen todas las expresiones
simples que torman parte de las expresiones compuestas que son
lados derechos o torman parte de lados derechos de reglas de tíK,y
lo simbolizaremos por Dd*.
Ubviamente,D* = Di* U lid*, pero no necesariamente Di* fl Dd* = p.
tiH es una relación binaria sobre H(D*>, el conjunto de partes de
D*.
NUIACIUN:
A la unión de expresiones compuestas pertenecientes a FíD*),como,
por ejemplo,X U Y, la simbolizaremos por la concatenación XY.
HÁU-CÍ7-
ü.í¿ SISTEMA INFERENCIAL.
Nuestro modelo deductivo está fundamentado en un sistema
inferencial il, que consta de tres axiomas y una o dos reglas de
inferencia.
Los axiomas fueron enunciados por AHSTRQNG E13 para dependencias
funcionales, pero nosotros los adaptamos para reglas de
producción:
(Al) KEhLEXIVIDAU: X — > X.
<AH) IRANSITIVIDAD GENERALIZADA: Si X — > Y y a|Y' C Ys Y'~>Z.
entonces X — > Z U (Y - Y ' ) .
<A3) PRÜYECTIVIDADs Sí X — > Y, entonces X — > Y' para todo Y'
tal que Y* C Y.
<A4> A D I T I V I D A D Í Sí X — > Y y V — > W entonces X U V — > Y U W.
Las reglas de inferencia son la "modus ponendo ponens": tíi V y
V — > M entonces W.Y la "modus tollendo tollens": tíi -» W y
V — > W entonces -» V.
Si se utilizan predicados en vez de proposiciones, debemos
utilizar estas reqlas en combinación con la regla de
especificación o especial izacion universal: Si para todo X» W(X)
entonces W(A),en donde A es una constante.
Lomo se dijo en la sección (1.5), usualmente en los sistemas de
producción y,en general,en los sistemas de inferencia dirigidos
por patrones, se utilizan árboles y grafos de derivación para
efectuar deducciones e inferencias y representar espacios de
búsqueda.
HAS-cíB-
ti eje central de esta tesis es tratar matemáticamente los
procedimientos y mecanismos inferenciales como procedimientos y
mecanismos de convergencia topolóqica de tal manera que los
arboles y gratos de derivación sean sólo un caso particular de
unas clases de representación más general, que denominaremos
clases de derivación,tales que sus cierres con respecto a los
axiomas de inferencia constituyan clases de convergencia a partir
de las cuales se puedan generar espacios topológicos de búsqueda.
DEFINICIÓN (2.3)süada una base de conocimientos BC<BD,BR),
denominamos ciase de derivación hacia adelante o dirigida por los
datos a ia clase de todos los pares ordenados (X,Y) tales que
<X,Y) € BR. A esta clase de derivación la simbolizaremos por Cd y
a los pares <X,Y) € Cd los representaremos por X > — > Y, en donde
la flecha indica el sentido de ia derivación y no una implicación
lógica.Por lo tanto,no debe confundirse X — > Y con X > — > Y.
Cd - i <X >—> Y> / (X — > V) € BR >.
DEFINICIÓN (S.6)s Dada una base de conocimientos,BC<BD,BR),
denominamos clase de derivación hacia atrás o dirigida por las
metas a la clase de todos los pares ordenados <X,Y) tales que
(Y,X) t BH. P¡ esta clase de derivación la simbolizaremos por Cd'
y a los pares <X,Y) € Cd* los representaremos por X < — < Y
Cd' - t <X < — < Y) / <X — > Y) € BR >.
lambién podemos referirnos a Cd* como la ciase dual de Cd, ya que
posee sus mismos objetos pero con el sentido de derivación
HAB-c!V-
contrar10.
ianto Ud cbmo Ld ' son relaciones binarias sobre P(D*), inducidas
por la relación binaria tíH sobre P(D*).
bi obtenemos los dominios li*,üi*,üd* con base en üd,en torma
similar a como los obtenemos con base en ÜH,y los dominios duales
l)*' ,M\*J ,üd** con base en üd', fácilmente se ve que se verifican
las siguientes identidades:
<1> ü* = l>*>
(tíl 1>* = Ü*J = l)i* U Dd* = i>i*' U Dd*'
(3) Di* = Dd*' y Dd* = Di*'
lambien asociamos a estas relaciones binarias o ciases de
derivación, los siguientes axiomas de ímerencia:
(Al) Hfcl-LLXIVIUAD: X >—> X.
(Atí) IRANSITIVIDAÜ GtNERALIZADAí Si X >—> Y y •|Y'C Y»Y'>—>Z
entonces X > — > ¿ U í Y - Y ' ) .
(A3) PRUYfcCTIVIDAD: Si X > — > Y entonces X >—>Y ' para todo Y"
tal que Y'C Y.
<A<»> ADltlVIDADs Si X > — > Y y V >—>W entonces X U V > — > Y U W
Y para Ld' los siguientes:
(Al)' Hfcl-LEXIVIDAD: X < — < X.
(Atí)' IRANSITIVIDAÜ GENERALIZADA: Si X < — < Y y 3|X'CX:Z <—<X
entonces 2 U i X - X') < — < Y
<A3)' PRÜYECJ1V1DAD: Si X < — < Y entonces X < — < Y' para todo
Y' tal que Y' C Y.
(A4)' ADIT1V1DAD: Si X < — < Y y W < — < V entonces XUW < — < YUV
Httb-JO-
tn síntesis,nuestro modelo deductivo basado en la convergencia de
MOURE-SMIIH,consta de las clases Cd y Cd*, de los sistemas de
inferencia que acabamos de enunciar (que están basados en el
sistema i. y que denominaremos sistemas inf erenc iales
relativizados al modelo;,y de todos ios conjuntos construíbles,es
decir,de todos los conjuntos que se pueden obtener a partir de Cd
y Cd' por aplicación repetida de los axiomas de inferencia.
H.3 DEDUCCIONES DIRIGIDAS POR LAS METAS.
bada una base de conocimientos BC(BD,BH>,consideremos las clases
Cd y Cd' de nuestro modelo.1ambíén consideraremos sin pérdida de
qeneraiidad que en Cd" no existen derivaciones de la forma:
X < — < ¥¿ o Y¿¡ o ... o Y n con n ¿ ü, ya que estas se pueden
transformar en n der ivac iones: X < — < *£,X < — < Y¿¿,...,X < — < Yn.
Hntes de construir las nuevas clases del modeio, daremos las
siguientes definiciones:
DEFINICIÓN (cí.7>: Decimos que una clase S es construible, si se
obtiene a partir de Cd por aplicación repetida de ios axiomas
iAl) a itíd) o a partir de Cd' por aplicación repetida de los
axiomas m i ; a m d r .
DEFINICIÓN (c¿.8): Dada una ciase construible S, denominamos dual
de S,a la clase construible S* que posee los mismos objetos de S,
pero con derivación contraria.
DEFINICIÓN <éí.V>s bi consideramos a Cd * sin derivaciones de la
HMb-31-
forma A ^ — < Y¿ o t^ o ... o Y n con n i. id, entonces üd sera
Ld = l X >—> Y / X < — < Y fc üd' >.Por lo tanto,en Cd no habrá
derivaciones de la Torma X > — > ¥ ¿ o Y¿j o ... o tn.
Recordemos que una derivación no es una implicación lógica.
Hhora estamos en condiciones de qenerar las clases construibles
del modelo, que poseen un tuerte significado topológico.
H partir de üd' podemos obtener la clase construible C,obtenida
a partir de:
i i) bi X <. — < V fc üd-' entonces X <. — < V fc Ü
tci) aplicando el axioma de proyección sobre cada derivación de
U, es decir: bi X < — < Y fc ü, entonces X < — < Y" fc Ü
para cada Y'Ü Y
t3> Por ei axioma de retiexividad X < — < X fc Ü para todo X Ü Ü*
i<4) Hpiícando el axioma de aditividad sobre ü,si X < — < Y fc ü
y W <—< V t Ü entonces X U W < — < ¥ U V fc ü.
(b) nplicando el axioma de transitividad generalizada en Ü,
es decir: si X < — < Y £ L y S|X'CX: Z <—<X ? € L,entonces
¿ U IX - *') <—< v fc ü
Demostraremos que ü = t < X , Y í / X , t ü Lí* i es una clase de
convergene i a .
consideremos Fll>*>,ei conjunto de partes de Ü* y la relación de
suDconjuntos Ü sobre P(ü*í.bntonces ei par (PÍD*,Ü) constituye un
conjunto dirigido,ya gue ia relación ü dirige a P(Ü*>,ya gue es
retlexiva,transí ti va y satisface ia propiedad de ia composición.
Hor lo tanto,cualguier función cuyo dominio es(H(D*l,ü) sera una
HHb-dci-
red de lioore-Smi th y,en par t ícu i ar , cualquier función í en donde
T: (FtD*),C> — > D*.
Ls decif.L es una ciase de pares ordenados, en donde la primera
componente es el conjunto de miembros de i»* y la segunda
la sequnda componente es una red de hloore-bmith o sucesión
qeneraiizada sobre O*.
Lo que debemos demostrar ahora es que la primera componente es
el limite al cual converqe la sucesión generalizada o segundo
componente del par.
hará que esto sea va i ido,es necesari o y suficiente que L. sea una
clase de converqencía,y esto se da si y solamente si,se cumplen
en L las siguientes cuatro propiedades:
(1) bi <-i*q-*qtP(D*'' e s u n a recl d e '''oore-Smi th tai que Aq = A,para
todo qtHib*>,entonces tAqi converge a A icón respecto a L,es
deci r,H v.—«. Aq pertenece a L, i .
id.) t3i <-^q>qtP( Lí*íes u n a recl cle '"'loore -Smi th que converge a Hícon
respecto a U, o sea:H <—<. A q pertenece a O , entonces toda subred
tH_T }f tPíb* > cle *ttqJ converge a H (con respecto a L.) .
tJ) Si toda subred de iAq> posee una subred que converge a H,
entonces la red í-ftq-íqtHiÜ*)c:onver5e a *"* l c o n respecto a (U> .
KH) bi IHqJ converge a H icón respecto a i,) y iBxq>itP(D*>
converge a Hq tq Tijoí icón respecto a (L) , entonces ^ % ( i j^^
converqe a H \con respecto a L¿.
La primera propiedad se cumple por el axioma de retlexividad, es
aecir,esta garantizado que en L se encuentran las parejas
VH,tt) o H <.—<. A, para todo A fc ü*.
HHb-JJ -
I_a propiedad (. d) se cumple por ei axioma de proyect i vidad. La (3)
se cumple por el axioma de transítívitíad.
La propiedad (H) también se cumple, pues esta propiedad del
limite iterado se convierte en la propiedad transítiva,una vez
aplicados ios axiomas de proyectívidad y de aditividad.
Por io tanto,podemos aTirmar con certeza que C es una clase de
convergencia y por tanto las derivaciones X < — < V poseen un
siqniTicado topoloqico que consiste en interpretarlas como una
sucesión generalizada (V> que converge a sus limites tX).
un hecho relevante es que ei operador de cierre o clausura,•+,
+ : H<D*> — > Htl)*>, que asigna a cada subconjunto X de L>* el
conjunto de todas sus expresiones 1imites,X+;es un operador ae
clausura de K.UHAIUWSK1, es decir,satISTace ias siguientes
propíedades:
\ K i ) jí+ = *>
*K¡¿; para todo X L i»*9 X L X+
tK3> para todu X L. D*, ÍX+> + = X +
ik*+> bi A,Y son subconjuntos de O*,entonces <X U *> + = X + U Y +
ALüUHilHU (¿.1): Computación de la clausura de una expresión X C
L>* con respecto a Ld .
bNIRAÜA: Un conjunto de expresiones U*,una base de regias BR
sobre ü*, y una expresión X, subconjunto de U*.
SALIDA: X+,ia clausura de X con respecto a L.Ú1 .
HA(J-3H-
MfclUDU: Si X = P entonces X + = p y tin del algoritmo.
Si no: para cada rtj t X hacer:
Lomputar una secuencia de expresiones ,rtj **•** ,AX * * *,.. .
por ias reqias:
v i > « j * 0 1 = iAj>
,jj) ^ tj + l> e 5 ^ < j > unido a las expresiones X, tales
que hay alguna reqla X < — < v en Cd ' en la que
ttx * J > L. Y O V IL A x * J * .
Puesto que lrt1>=rt1i°' L. L A j ^ ' L. ü* y D*
es un conjunto Tinito,tiene que alcanzarse
eventuaimente un j tai que Hx*J' = AX^J+** =
Hl»J+«í' = ...
Hor lo tanto puede detenerse en este momento el
proceso y í«j>+ = A x*J' para ese valor de j.
Tin ciclo.
Hacer K* = U t.H,i"*"
u n dei algoritmo.
hste algoritmo esta tundamentado en ias propiedades del operador
de clausura de KUKAIUWSK1.
bi X = P entonces X + = P por iK.1 ).
H j l ü ' = i«1J por tKci).
Hlcanzar un j tal que tttji"*" = A x * J' esta garantizado por IK3) .
X+ = U <.ttx>+ por <K<+> .
La consecuencia Tundamentai dei hecho de que L es una clase de
convergencia, es gue l>* se convierte en un espacio topoiógico con
ia topología asociada ai operador de clausura de kuratowski,+.hn
l-Hb-dD-
otras palabras:!/* es un espacio topológico cuya topología se
obtiene como complemento de la familia de subconjuntos de
ü* cuyos cierres son iguales a ellos.
Una topología tai,gue las únicas redes que convergen en D* son
aquéllas que pertenecen a L.hsta topología la simbolizaremos por
T' y al espacio topoiogico por < D * , T ' ) .
bn cuanto a las características de este espacio topologico, es
evidente que no puede ser un espacio de HAUSüUHFF,ya que siempre
habrá redes de puntos que converjan a mas de un limite.
tampoco podra ser un espacio topológico I¿,pues los puntos de
Ud* no serán cerrados <.iguales a sus cierres).
bera un espacio topológico jo,si y sólo si üx*" l"l Dd*' = ^.bn
otros términos:(D*,TJ) sera lo si y solo si en BH no existen
expresiones simples que formen parte de alguna expresión
compuesta que este a la izquierda en una reqia y de una expresión
compuesta que este a la derecha de una regia, o sea que no exista
un H tai que tt fc Di* II Üd*.Hues de lo contrario tendríamos en L
derivaciones de la forma A < — < B y ti < — < A con A ¿ B; io que
nos conduciría a que #4 fc tB)"*" y B fc ÍA) + .
Lo útil del espacio topológico < U * , T Í Í no es la topología T * en
si, sino la familia de subconjuntos de L>*, cuyos cierres son
iguales a ellos, es decir,la ramilla de cerrados a partir de la
cual se obtiene T'.tsta familia,a la que simbolizaremos por F * ,
es importante porque ella constituye el espacio de búsqueda que
necesitamos,ya que,dada cualquier expresión compuesta X como meta
u objetivo, si queremos obtener su descomposición en submetas,
basta con obtener su cierre o clausura y este se obtiene buscando
HAli-dó-
en k-- el menor cerrado que lo contiene, es decir, la intersección
de todos los cerrados que lo contienen.
ALüUKIlMU (2.c£): Computación del espacio de búsqueda dirigido por
las metas con respecto a una ciase de derivación Cd' .
bNIKADA: Una base de reglas BK.
SALIDA: I-', el espacio de búsqueda con respecta a Cd' y un
conjunto finito de expresiones simples,D*.
MkiUDU: (i) A partir de BH,obtenemos Cd y Cd'.
til) ü* = iAk / Ak t U (Xx U Yj)>
lnii Calculamos PíD*),el conjunto de partes de L»*.
(iV) Aplicamos el algoritmo {id.i) a cada una de las
expresiones compuestas pertenecientes a H(D*)
<V> Ubtenemos h'= <. X, X £ P(D*) / X = X + >.
hJfcMPLU (2.1): Sean ios siquientes hechos,
ti: Perro Uucas;
bc¿: -i bruñe i Jucas)
b.3: liueve la Lola (lucas)
b4: Maulla (mimi)
i sean las siguientes reqias:
Hi: Lllueve la Cola (X) & Herró (X)J —-> Amigable (X)
Hc¿: LAmigable (X) & -> bruñe (X)J — > -. Pelean (V,X)
PAG-37-
R3: Maulla (Y; ---.> bato (y i
buponqamos que deseamos preguntar si existe un gato y un perro
tales que el qato no pelea con el perro.normalmente expresamos
que el gato no pelea con el perro .f-orma lmente expresamos
esta Neta como ( = j X ) < = | Y ) Ltíato <Y> & Perro (X) &, -. Pelean < Y , X > 3
Hará contestar esta prequnta,debemos construir el espacio de
búsqueda I- a partir de las tres reglas anter íores, ap 1 icando el
algoritmo (¿.tí).
L>* = <. Mueve la Lola tX),Perro (X),Amigable (X),^. Bruñe (X),
-* Pelean (Y, X),bato t Y ), Maulla tY> >-
Hdoptarnos las siguientes abreviaturas:
MLC(X) = MUEVE_LA COLA ÍX>
PER(X) = PERRU (X)
A M K X ) = AMIGABLE (X)
-.GRU(X) = -> BRUÑE (X)
-•PEL<Y,X) = -- PELEAN (Y,X)
BATÍ Y) = BATO (Y)
MAUÍY) = MAULLA (Y)
PRIMER PASO: Ld = í MLC(X) & PER(X) >—> A M K X ) ,
A M K X ) & -*BRUÍX) >—> -.PEL(Y,X>
MAUÍY) > — > B A K Y ) >
Cd' = i MLCíX) & PER(X) < — < A M K X ) ,
A M K X ) & -.GRUÍX) < — < -.PELÍY,X)
MAUÍY) < — < B A K Y ) >
PAB-38-
SfcCiUNUU H A S U : F(D*> = <.& , ÍMLC ( X ) > , ÍPER ( X ) > , { AMI ( X ) > , Í-GRU ( X ) >
Í-.PEK Y, X ) > , ÍGAT( Y) > , í MAU ( Y) > , ÍMLC<X ) , PER ( X ) >,ÍMLC<X> , AMI ( X) >,
ÍMLC< X ) ,-GRU( X) i ,ÍMLC< X ) , -PEL ( Y , X ) > , ÍMLC(X ) , GA \ ( Y ) > , ÍMLCÍX > ,
MAU ( Y ) > , i PER ( X ) , AMI ( X ) } , í PER ( X ) , -G R U ( X ) > , í PER < X ) , - P E L < Y , X ) > ,
i PER ( X ) , G A r ( Y ) > , í PER ( X ) , MAU ( Y ) > , í AM I ( X ) , -GRU (X)},í AMI< X) ,
-PEL<Y,X ) } , {AMI < X) ,GAT< Y ) > ,ÍAMI (X ) , MAU ( Y ) > , í-.GRU ( X ) , -PEL ( Y , X ) > ,
í -.GRU < X ) , GAI ( Y ) > , í - G R U ( X ) , M A U < Y ) > , i -iPEL < Y , X ) , G A I ( Y ) > , í - P E L ( Y , X ) ,
M A U ( Y ) > , í GA I" < Y ) , M A U ( Y ) > , í M L C ( X ) , P E R ( X > , A M I ( X ) > , i M L C < X ) , P E R ( X ) ,
-.GRU < X ) > , í M L C ( X ) , P E R ( X ) , - P E L ( Y , X ) > , í M L C ( X ) , P E R < X ) , GA í ( Y ) > ,
í M L C < X ) , P E R ( X ) , M A U < Y ) } , í M L C < X > ,AMI< X > , -.GRU ( X ) > , í M L C ( X ) , AM I ( X ) ,
-PEL< Y , X ) } , ÍMLC( X ) ,AMÍ C X ) , GA I < Y ) > , ÍMLC< X ) , AMI < X ) , M A U ( Y ) > , ÍMLC< X )
-.GRU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) > , { MLC ( X ) , -.GRU < X ) , GAT ( Y ) > , { MLC ( X ) , -GRU ( X ) ,
MAU( Y ) i , ÍMLC( X ) ,-.PEL( Y, X ) ,GAI ( Y ) ) , ÍMLC( X) ,-.PEL ( Y , X ) , MAU ( Y ) } ,
iMLC(X),GA F <Y) ,MAU < Y)>,{PER <X) ,AMI(X) ,-GRU(X)>,{PER < X) ,AMI(X) ,
-PEL < Y , X ) ) , i PER(X) ,AMI(X) ,GAI (Y)>,íPER(X) ,AM i (X) ,MAU(Y) } , i PER < X >
-.GRU ( X ) , GA 1 ( Y ) > , í PER < X ) , -GRU ( X ) , MAU ( Y ) > , i PER ( X ) , -PEL ( Y , X ) ,
GAI <Y) >,íPER(X) ,-PEL(Y,X) ,MAU(Y)>,ÍPER(X) ,GAI (Y) ,MAU( Y )>,ÍAMI(X >
-GRU(X ) , -PELí Y ,X ) y ,í AMI < X ) , -GRU ( X ) , GA i" ( Y) } , ÍAMI ( X ) ,-GRU ( X ) ,
MAU(Y) } , iAMI <X ) ,-PEL(Y,X) ,GA F < Y) >, íAMI (X) ,-PEL(Y,X) ,MAU(Y)i,
ÍAMI<X) ,GA[ (Y) ,MAU< Y>,Í-GRU(X) ,-PEL(Y,X) ,GAI (Y)>,í-GRU<X) ,
-PEÍ - < Y,X) ,MAU(Y)>,í-GRU(X) ,GA í(Y) ,MAU(Y)> , í-PEL < Y,X > ,GAI (Y > ,
MAU(Y)>,ÍPER(X),-GRU(X),-PEL(Y,X)>,ÍMLC(X),PER(X),AMI(X),-GRU(X)>
ÍMLC(X),PER(X) ,AMI(X) ,-PEL(Y,X)>,ÍMLC(X),PER< X),AMI(X),GAI (Y)>,
í MLC(X) ,PER(X) ,AMI(X) ,MAU(Y)>,í MLC(X) ,PER < X) ,-GRU(X) ,-PEL < Y,X)>,
íMLC < X) ,PER(X) ,-GRU <X) ,GA T < Y) },íMLC(X) ,PER(X) ,-GRU(X) ,MAU(Y)>,
í MLC(X) ,PER(X) ,-PEL(Y,X) ,GAT <Y)>,íMLC(X) ,PER(X) ,-PEL(Y,X) ,MAU(Y)>
í MLC(X) ,PER <X) ,GA1 < Y) ,MAU < Y)>,íMLC(X) ,AMI (X) ,-GRU(X) ,-PEL(Y,X)J,
PAG-39-
i M L C ( X ) , A M I ( X ) , - G R U ( X ) , tí A T < Y ) i , í M L C ( X ) , A M i ( X ) , - G R U ( X > , M A U < Y ) > ,
i M L C ( X ) , AM I ( X ) , -P E L ( Y , X > , G A T ( Y ) > , i M L C ( X ) , AM I < X ) , - P E L < Y , X ) , M A U ( Y ) >
i M L C ( X ) , AM I < X ) , 6 A I ( Y ) , M A U ( Y ) } , i M L C ( X ) , - G R U ( X ) , - P E L <Y,X),GAT~(Y>>,
i MLC ( X ) , -GRU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) , M A U < Y ) > , i MLC ( X ) , - G R U ( X > , GAT ( Y ) , MAU ( Y ) > ,
ÍMLC( X ) ,-PEL( Y ,X ) ,GA1 ( Y) , MAU < Y) > , ÍPER( X) ,AMI (X ) ,-.GRU ( X ) ,
-•PEL ( Y , X ) > , í PER ( X ) , AM I ( X ) , --GRU (X) , GAT ( Y ) > , í PER ( X ) , AM I ( X ) , --GRU ( X ) ,
MAU( Y) >,ÍPER< X ) , AMI < X ) ,-PEL< Y , X ) , GA F ( Y ) >,ÍPER< X ) ,AMI ( X) ,-PEL ( Y , X )
MAU( Y) >,ÍPER(X ) ,AMI ( X ) ,GAT( Y) ,MAU< Y> > ,ÍPER(X ) ,-.GRU < X ) ,-PEL ( Y , X ) ,
GAf ( Y ) >,ÍPER( X ) ,-GRU( X ) ,-PEL<Y,X ) , MAU ( Y ) >, ÍPER<X ) ,-GRU< X) ,GAT( Y) ,
MAU< Y) > , íPER(X ) ,-PEL( Y,X ) , BA T ( Y ) , MAU ( Y ) >, ÍAMI ( X ) ,-GRU ( X ) ,
-PEL ( y , X ) , GA f <. Y ) > , i AM I ( X ) , - G R U ( X ) , - P E L ( Y , X ) , M A U ( Y ) i , í A M I ( X ) ,
- G R U ( X ) , 6 A T ( Y ) , M A U ( Y ) > , i A M I < X ) ,-PEL<Y,X ) , GA I (Y ) , M A U ( Y ) > , í - G R U ( X ) ,
- P E L ( Y , X ) ,GAI (Y > , M A U ( Y ) >,í M L C ( X > , P E R ( X ) ,AMI< X) , - G R U ( X ) , - P E L ( Y , X ) }
íMLC(X) , P E R ( X ) , A M I ( X ) , - G R U ( X ) , G A T ( Y ) > , í M L C < X) , P E R ( X ) ,AMI (X) ,
-GRU( X ) ,MALi( Y ) > , ÍMLC( X ) ,PER( X ) , AMÍ ( X ) ,-PEL ( Y ,X ) , GA i < Y) } , {MLC(X > ,
PER(X) ,AM1(X) ,-PELí Y,X) ,MAU(Y)>,ÍMLC(X) ,PER(X) ,AMI (X) ,GAT(Y) ,
MAU( Y) ) , ÍMLC< X ) ,PER< X ) ,-GRU < X ) ,-PEL < X ) , GA I'( Y ) >,ÍMLC( X ) , PER ( X ) ,
-GRU < X) ,-PEL < Y,X) ,MAU(Y)>,<MLC(X),PER < X) ,-GRU(X),GAT < Y) ,MAU < Y)>,
iMLC(X) ,PER(X) ,-PEL(Y,X) ,GA T(Y) ,MAU(Y)>,{MLC(X) ,AMI(X) ,-GRU(X) ,
-PEL(Y,X) ,MAU(Y)>,íMLC(X) ,AMI(X) ,-GRU(X) ,GA í < Y) ,MAU(Y)>,í MLC < X) ,
AMI(X) ,-PEL(Y,X) ,GAT<Y) ,MAU(Y)>,<MLC< XJ ,-GRU(X) ,-PEL(Y,X) ,GAí(Y > ,
MAU( Y) > ,4.PER(X ) ,AMI < X) , -GRU < X ) ,-PEL ( Y , X ) , GA í ( Y ) >,ÍPER( X) ,AMI (X ) ,
-GRU(X) ,-PEL(Y,X) ,MAU < Y) } ,íPER(X) ,AMI(X) ,-GRU(X) ,GAI (Y) ,MAU(Y)>,
ÍPER(X),-GRU(X),-PEL<Y,X),GAT<Y),MAU(Y) },ÍAMI(X),-GRU(X),
- P E L ( Y , X ) , GA f ( Y ) , M A U ( Y ) > , í M L C < X ) , AM 1 ( X ) , - G R U ( X ) , - P E L ( Y , X ) , GA I" < Y ) >
ÍMLC(X),PER(X),AMI(X),-GRU(X),-PEL(Y,X),GAT(Y)>,ÍMLC(X),PER(X),
AMI(X) ,-GRU(X) ,-PEL(Y,X) ,MAU(Y)) , iMLC(X > ,PER(X) ,AMI< X) ,-GRU(X) ,
PAG-¿+0-
G A f ( Y ) , MAL) ( Y ) > , í M L C ( X ) , P E R ( X ) , A M i ( X > , -.PEL ( Y , X ) , G A T ( Y > , M A U ( Y ) } ,
i P E R ( X ) , A M I ( X ) , --GNU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) , G A T ( Y ) , M A U ( Y ) > , i P E R ( X ) , AM I ( X ) ,
-.PEL < Y , X ) ,GAI í Y ) , M A U ( Y ) } , i M L C ( X ) , P E R ( X ) , -.GRU < X ) , -.PEL < Y , X) , G A f í Y ) ,
M A U ( Y ) } , i M L C ( X ) , A M I ( X ) , -.GRU ( X ) , -.PEL < Y , X ) , G A T < Y ) , M A U ( Y ) > , i M L C < X ) ,
P E R ( X ) , A M 1 ( X > , -.GRU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) , G A I " < Y ) , M A U < Y ) > > .
TERCER PASÜ: Aplicamos el algoritmo í E . 1 ) a cada uno de los 12tí
elementos de P(D*),seleccíonando los que son iguales a su cierre.
CUARiU PASU: Obtenemos F's
I- *= í)0, tMLCí X ) > , IPERí X) } , C-.GRUÍX) > , ÍMAUÍ Y) > , ÍMLCí X ) ,PER(X ) > ,
i MLC < X ) , -.GRU ( X ) ) , i MLC < X ) , MAU ( Y ) i , i PER ( X ) , -.GRU í X ) > , i PER í X ) , MAU ( Y ) >
i-.GRUÍ X ) , MAUÍ Y) >, CGATí Y ) , MAU ( Y ) >,ÍMLCÍ X ) ,AM1 (X ) , PER ( X ) >, ÍMLCí X i ,
PER( X ) ,^GRU( X ) > , ÍMLCÍX ) ,PER< X ) , MAU ( Y ) > , ÍMLCÍX ) , -iGRU < X ) , MAU ( Y ) >,
ÍMLC( X ) , GAI ( Y ) ,MAUí Y ) }, tPERí X ) ,-.GRU < X ) , MAU ( Y ) > , Í-.GRUÍ X ) ,GAI"< Y) ,
MAU< Y ) > , ÍMLCÍ X ) , AM1 < X) , PER ( X ) ,-.GRU ( X ) >, ÍMLCÍ X ) ,AMI ( X ) , PER ( X > ,
M A U < Y ) } , i M L C ( X ) , -.GRU < X > , G A 1 ( Y ) , M A U ( Y ) } , í M L C ( X ) , A M i Í X ) , P E R < X ) ,
-.PfcLÍ Y,X ) ,-.GRUÍ X ) } , ÍMLCÍ X ) ,AMI ( X) ,PER< X ) ,-.GRUÍ X ) , M A U < Y ) > , ÍMLCí X ) ,
AM 1 í X ) , PE R í X ) , G A I í Y ) , M A U í Y ) > , i M L C ( X ) , P E R í X ) , -.GRU í X ) , G A 1 í Y > ,
MAUÍ Y ) >, ÍMLCÍ X ) ,AMI í X ) , PER ( X ) ,->PEL ( Y , X) ,-.GRU ( X ) ,MAUÍ Y) >,
L M L C í X ) , AM 1 ( X ) , P E R ( X ) , -.PEL í Y , X ) , -.GRU í X ) , G A 1 í Y ) , M A U í Y ) > > .
La pregunta (5|Y)(S|X) LGATQ(Y) & PERRO(X) & -PELEAN<Y,X)3,
tendrá una respuesta afirmativa si el conjunto <. GATO(Y),
PERRÜ(X) ,-iPELEAN<Y,X) > , se puede descomponer en un conjunto de
hechos y los hechos de la base se equiparan con estos.
La descomposición del conjunto ÍGAÍCK Y),PERRO(X),^PELEAN<Y,X)> la
P A G - H I -
obtenemos buscando el menor conjunto en F' que lo contiene y
extrayendo ios elementos de ei que son hechos,es decir,aquél ios
que no admiten más descomposiciones.Posteriormente equiparamos
los hechos de la base, y si tal equiparación es posible,
obtendremos los valores de las variables X,Y, produciéndose una
respuesta a la prequnta o expresión meta.
CGATOÍ Y) ,PERRO( X > ,^.PELEAN< Y, X ) > + = {MUEVE_LA_COLA( X ) , AMIGABLE< X ) ,
PERROÍ X>,HPELEAN(Y,X),-GHUÑE(X),GATO(Y),MAULLA(Y)>.
De éstos,los que son hechos finales,es decir,que no se pueden
descomponer,son aquellos que son iguales a su cierre:
<MUEVE_LA_COLA< X > } , íPERRO(X > > , C^GRUKE( X ) > , < MAULLA (Y ) >
Equiparando con los hechos El a E¿* de la base, tenemos que
X = LUCAS, Y = M1M1 y la respuesta:
LGATO(MIMI) & PERRO(LUCAS) & -.PELEAN(MIMI ,LUCAS) 3
S.*t DEDUCCIONES DIRIGIDAS POR LOS DATOS
Dada una base de conocimiento BC(BD,BR),consideraremos,sin
perdida de generalidad, que en tíR no existen reqlas del tipo
X^ o Xjj o ... o X n — > y con ti í id, ya que estas se pueden
transformar en n reqlas del tipo X¿ — > Y, X¿j — > Y,...,Xn — > Y.
Si Cd = ÍXJ > — > tx> í=l...m,entonces consideraremos Lü*J=tDl*3
U LDd*J = tX1,..-,Xm,Y1,...,Ym>.
I emendo en cuenta la definición (£.'?), diremos que una ciase S
es construible, si se obtiene a partir de ÜK por aplicación
repetida de los axiomas de nrmstronq.
HAb-Hci-
A partir de L,ú podemos obtener la ciase construíbie
Ud+,calculando el cierre reflexivo y transitivo de üd que es una
relación binaria sobre Ll>* J, obtenida de la siguiente manera:
(1) Si (X > — > Y) t Cd,entonces (X > — > i) t üd +.
(tí) <Z > — > Z> t Cd + para todo Z € LD*3 .
(3) Si (X > — > Y) € Cd+ y (V'C Y > — > Z) £ Cd+,entonces
<X > — > Z> t Cd +.
Hliora,sea L = t (X,Y) € CU*3XCD*J / (X > — > Y) € Cd + >
Demostraremos que esta clase es una clase de convergencia.
Consideremos un conjunto unitario u y la relación de igualdad =
sobre u.bntonces,el par ordenado tu,=> constituye un conjunto
dirígido,porque la reíacion"="tri vialmente dirige a u, ya que es
reíiexiva,transí ti va y satistace la propiedad de la composición
en un sentido trivial.
Hor io tanto,cuaiquier función cuyo dominio sea íu,=) sera una
red de ñoore-Smith y,en partícular,cualquier función t, en donde
r: (u,=> — > Lü*J.
bs aecir:L es una ciase de pares ordenados, en donde la primera
componente es una red de Moore-Smith o sucesión generalizada
sobre LU*J, y la segunda componente es un elemento de LD*J.
Lu que debemos demostrar ahora es que la segunda componente es
el limite ai cual converge la sucesión generalizada o primer
componente del par.
Hará que esto sea val ido,es necesario y suficiente que C sea una
ciase de convergencia^ esto se da si,y solamente si,se cumplen
en u las siguientes cuatro propiedades:
H H Ü - H 3 -
<1) bi *-*g->gtu e s u n a r e d d e Moore-bmi th tal que Xg = X, para
gfcu, entonces *-*q>qfcu converge a X (con respecto a C,es decir:
X„ >—> X pertenece a ü ).
(tí) bi *-Xq-*qtu e s u n a r e d d e Moore-Smith que converge a H (con
respecto a L, o sea Xg > — > H pertenece a L.) , entonces toda subred
*-XgT>-|.tu d e *-xg*gfcu converge a H (con respecto a O
(3) bi toda subred de *Xg>gtu posee una subred que converge a H,
entonces la red *-Xg>gtu converge a H (con respecto a C) .
t*t) bi *-xq*qtu converge a H (con respecto a C) y <-Bj9>j^u
converge a Xg (g ti jo; icón respecto a ü;,entonces ítí^^^fQ >
converqe a H (con respecto a L. > .
Ln nuestra clase ü todas ias redes constan de un solo termino,es
decir,son de la forma <-Xg>gtu tal que Xg = X y gtu,en donde u es
un conjunto unitario.
La primera propiedad se cumple por el axioma de reflexividad,es
decir ,esta garantizado que en ü se encuentran las parejas
(X,X) o X > — > X para todo X perteneciente a Lt>I*3 .
Las propiedades (cí) y (3) se cumplen tr i vialmente, pues las
únicas subredes posibles de estas redes de un solo término son
ellas mismas.
La propiedad (<*> también se cumple porque,al constar las redes de
un súlo término,ésta propiedad del limite iterado se convierte en
la propiedad transítiva,la cual,obviamente,se cumple en C,ya que
la relación binaria sobre LD*J,Cd+,es transitiva por la
construcción que hicimos de ella.
Por lo tanto,podemos afirmar con certeza que L, es una clase de
Hrtü -tn-
convergencia y,por ende,las reglas X > — > Y poseen un significado
topoiogico que consiste en interpretarlas como una sucesión
generalizada tX) que converge a su limite <Y>.
Un hecho relevante que se desprende de que L sea una clase de
convergencia,es que el operador de cierre o clausura,+,
+ : H(Ll>*J) — > P(L1>*J>, que asigna a cada subconjunto Z* de
L1>*J el conjunto de todas sus expresiones 1 imi tes ,Z' + ,
Z' + i X / tZ > — > X> t Cd"*~, para algún Z £ Z* >, es un
operador de clausura de KURATOWSK1(ver teorema (A.14),es decir:
satistace las siguientes propiedades:
(Ki) p+ - »*
(Ktí)Hat-a todo X ü LU*3, X' C tX')"1"
lK3)Paia todo X ü CU*J, (X'"*~) + = XJ,+
(K4)Si X',¥" son subconjuntos de LD*J, entonces:
(X'U Y ) + = t X ' > + U CY'> +
L.a consecuencia fundamental del hecho de que í. es una clase de
Lunvergene la,es que LÜ*J se convierte en un espacio topológico
con la topología asociada ai operador de clausura de Kuratowski,
+ .bn otras pa labras: L1>*J es un espacio topológico, cuya topología
se obtiene como complemento de la familia de subconjuntos de Lü*J
que simbolizaremos por F y cuyos cierres son iquales a ellos,
bichos cienes se pueden calcular mediante el siguiente algoritmo
ALGORITMO (<£.3>: Computación de la clausura de una expresión
Z'L LD*J con respecto a Cd.
PAÜ-Hb-
bNIRADA: Un conjunto de expresiones tD*3,una base de reglas BR
sobre LU*J , y una expresión Z' subcon junto de LD*3 .
SALIDA: (¿') + ,la clausura de Z con respecto a Ud.
liblUÜO: Si Z* = ¥> Entonces <Z)* + = |6, y fin del algoritmo
Si no: para cada Z x € 2* hacer:
computar una secuencia de expresiones,
Z1<°), ¿ x
( 1 ), por las reglas:
<1> Zx«>> = ¿ i
ttí) ¿ 1t J + l í es ¿%
ii> mas el conjunto de
expresiones V,tales que hay alguna regia
X >—> ¥ en Cd en la que X t 2 X * •* * .
Puesto que Z x = ¿ j *0 * C C Zi
i^) C LÜ*3 y
LD*J es un conjunto finito, tiene que
alcanzarse eventual mente un j tal que Z x*J* =
Z1ÍJHI"*Í = ¿1*J'*"éi> = ... por io que puede
detenerse en este momento el proceso y
iZ1i'*" = Z x*J i para ese valor de j.
í-in del ciclo
Hacer lZ') + = <ZX> + U U tZx>
+
hin del Algoritmo
tste algoritmo esta fundamentado en las propiedades del operador
de clausura de KUKATOUSK1.
Si Z' = P,entonces (Z'>+ = * por tKl).
¿ 1t O Í = Z x por (Kcí) .
Hhib-t6-
ti alcanzarse un j tal que <<¿1)'*" = ( Z j ) * ^ esta garantizado por
<K3> .
(¿'> + = i¿í)+ u U ( ¿ Í > + por (K*»>.
Una topología tal que las únicas redes que convergen en LD*3 son
aquellas que pertenecen a C.bsta topología la simbolizaremos por
T y al espacio topológico por (tD*J,T).
Sin embargo,nuestro interés es hacer de i>* un espacio topológico
y no propiamente a LD*J-
U* es un espacio topológico recubierto por LD*J,asi que la
topología de U*,TL>*,se obtiene calculando los máximos
descriptores recubiertos por cada conjunto abierto de T .
Hnáioqamente obtenemos la Tamilia de cerrados de Ü*,F-D*,
calculando los máximos descriptores recubiertos por cada conjunto
cerrado de h y señalando en ellos los i dent íT icadores o claves,
es decir,los elementos que generan todo el descriptor.
H continuación damos un algoritmo para obtener hü*.
AL6UKI)MU iü.kii Lomputacidn del espacio de búsqueda dirigida poi
ios hechos con respecto a BH.
LNIRADA: Una base de reglas BH sobre Ü*-
bALIDAs l>*, el espacio topológico recubierto por LD*J ,
y t-D*,ei espacio de búsqueda con respecto a BH.
MLIUÜU: (1> H partir de BH,obtenemos LÜ*1.
HAb-"4/-
id) D* = U ÍX / X € LD*J>
(3) Calculamos F(LD*J>.
t*t> Calculamos el cierre de cada expresión X* de H í C D * ! ) ,
mediante el aiqoritmo (d.3>.
íb) Ubtenemos I-, la familia de cerrados.
<¿>) Hará cada Z* - {Z¿,...,Z m> t F hacer:
(í) Z = U ¿j
(ii) SI Z a t LDI*3
t-NlONCÜS marcar en Z los A¿ € Z¿
(iíí) introducir Z en FD*
fcJEMFLU (2-cí): bea BR = CRl,R2>,en donde:R1: H — > K y
H2: K & M — > L. Cd = í H > — > K, K & M > — > L i.
PASÜ 1: CD*i = < ÍH>,tKJ,<LJ,tK,M> >
PASU 2: P(CD*Ü> = í p , í í H > > , í Í K } } , i Í L > > , i < K , M > > , i iH>,ÍK>>,
iíH>,ÍL>>,iÍH>,tK,M>>,iíK>,ÍL>i,ÍÍK},ÍK,IÍ>i,<:íL>,tK,r1>},
t í H > , í K > , í L > 1 , í. ÍH>,ÍK>,ÍK,M>>,ÍÍHÍ,ÍL>,ÍK,M>>,Í1K>,ÍL>,ÍK,H>>,
í t H > , I K > , í L > , í K , M > > > .
F A S Ü S 3 Y H : F = l P, í íK> > , i ÍL> > , <! Í H > , CK> > , i <K> , íL> i , í iL> , iK ,M> > ,
í í H > , Í K } , Í L > J , i ( K > , t L > , Í K , M > } , < Í H > , l K > , Í L } , l K , N > > > .
F A S U b : F D * = <. p , í K> , ÍL> , í H , K> , i K ,L> , <.H, K , L> , <.K,M, L> , í H , K , M , L > >
FI>* es una familia de cerrados que constituye nuestro espacio
de búsqueda.
HA6-HÜ-
«unque el espacio de búsqueda real lo constituye el subconjunto
de KD* formado por las clases que poseen una clave.
Dicho subconjunto posee una estructura de retículo (en inglés
lattice) que refleja una ordenación de acuerdo a los elementos
que constituyen a las c1 ases.Así,para nuestro ejemplo el retículo
es el siguiente:
t H,K,M,L >
/ \
tH,K,L>ÍK,M,L>
• I íH,Kí
bn donde las clases minimales 1H,K> y ÍK,M,L> corresponden a las
clases a ser activadas o,lo que es lo mismo,a las reglas a ser
u t i i izadas.
H5i que,dado un descriptor (base de hechos),al que se le quiere
calcular su cierre (deducir hechos a partir de él;,basta con
establecer las claves que son subconjuntos de él,para establecer
las reglas o clases que pueden ser "disparadas" y decidir con
respecto a qué clave se quiere calcular el cierre o,lo que es lo
mismo,hacer la deducción.
Una vez establecida la clave,y,por tanto,su correspondiente ciase
minimaljse procede a calcular el cierre,estableeiendo la menor
ciase que contiene al descriptor de las que poseen dicha clave
únicamente.Si no existe una ciase que contenga ai descriptor,
el cierre se caicula uniendo la clase minimal con el descriptor.
nsi,para nuestro ejemplo,si X = <.H>, la única clave contenida en
HAb-tV-
X es H y,por lo tantu,ei cierre X"*" = 1H,K>.
Si X = tH,K,M> , tanto la clave H como ia clave K. & M,están
contenidas en X; asi que hay tres opciones: la prímera,calcular
el cierre con respecto a la clave H, la segunda,con respecto a
K. & M y ia tercera, con respecto a ambas:
1> X+ = 1H,K,M>
¿i X+ = iH,K,M,L>
3) X+ = tH,K,MJ U 1H,K,M,L> = ÍH,K,M,I_>-
KAb-50-
CAPITULO 3
SÍNTESIS Y DESCOMPOSICIÓN D E L O S ESPACIOS D E BÚSQUEDA
3.1 NECESIDAD DE UNA SÍNTESIS
Los algoritmos desarrollados en el capitulo anterior para la
obtención de los espacios d-e búsqueda F" y FD*. Se caracterizan
por ser muy ineficientes desde el punto de vista computacional.
Se elaboraron para mostrar la construcción de espacios de
búsqueda a partir de consideraciones topológicas de convergencia
y su utilización operativa como herramientas deductivas.
Son útiles para poner de manifiesto la posibilidad de aproximar
las categorías lógicas a las categorías topológicas, pero no para
ser utilizados a nivel práctico,por ser, como ya se ha dicho, muy
inef icientes.
Por ejemplo,en el ALGORITMO(2.2) debemos calcular el cierre de
cada una de las expresiones compuestas pertenecientes a P(D*),es
decir,que,si la cardinalidad de D* es n,lo que simbolizamos por
#D*=n;entonces debemos calcular el cierre de S n expresiones.Esto,
para obtener el espacio de búsqueda,F*.
En cuanto a la obtención del espacio de búsqueda FD*, mediante el
ALGORITMO (2. A-) , la situación es aún peor,pues debemos calcular el
cierre de cada una de las expresiones X* pertenecientes a P(CD*D)
en donde CD*3 es una extensión de D*,es decir,que,si la
PAG-51-
cardinalidad de D* es n,entonces la cardinalidad de CD*3 es m,
tal que m ¿ n.Es decir,que debemos calcular el cierre de S*
expresiones con m > n.Además,antes de obtener FD*,debemos obtener
F.
Otro factor a tener en cuenta es el tamaño de los espacios de
búsqueda,siendo obvio que cuanto mayor sea el tamaño del espacio,
más lenta será la búsqueda en él.
Por estas razones se hace necesaria la síntesis de espacios de
búsqueda que cumplan con dos requisitos:(1) menor tamaño y (2)
para su obtención calcular el cierre de una cantidad no
exponencial de expresiones.
Este capitulo se orienta a la consecución de estos objetivos
utilizando algunos conceptos y herramientas muy familiares de la
topología general,como son el concepto de base de un espacio
topológico y el de espacio conexo.
3.2 GENERACIÓN DE BASES TOPÓLOSICAS DEL ESPACIO DE BÚSQUEDA
DIRIGIDO POR LAS METAS.
Para empezar daremos aquí la DEFINICIÓN (3.1) que aparece en el
apéndice como DEFINICIÓN (A.6) y enunciaremos el TEOREMA (3.1)
cuyo enunciado y demostración también se encuentra en el apéndice
como TEOREMA (A.4).
DEFINICIÓN (3.1): Sea (X,T) un espacio topológico.Una clase B de
subconjuntos abiertos de X (B C T ) , es una base de la topología T
si y sólo si todo conjunto abierto G € T es la unión de elementos
PAG-5E-
de B.
TEOREMA (3.1): Una familia B de conjuntos es base de alguna
topología del conjunto X " U I H / H C B ) , s i y sólo si para
cada par de miembros U y V de B y cada punto P de U O V, hay un W
en B, tal que P € M y U C ( U n V ) .
Nuestro interés no es propiamente generar bases de las topologías
T* y T D * de los espacios topológicos ( D * , T * ) y (D*,TD*>
respectivamente, sino la de generar bases de los espacios de
búsqueda F* y FD*; es decir, que en realidad nos interesa una
definición dual de (3.1) para cerrados:
DEFINICIÓN (3.1)*s Sea (X,T) un espacio topológíco y F el
complemento de T.Una clase B de subconjuntos cerrados de X, es
una base de F si y sólo si todo conjunto cerrado 6 € F es la
unión de elementos de B.
TEOREMA (3.1)*: Una familia B de conjuntos es base del
complemento de la topologia del conjunto X * U Í H / H € B >,si y
sólo si para cada par de miembros U y V de B y cada punto P de
U O V, hay un U en B, tal que P € W y U C ( U H V ) .
Con esta definición y teorema como herramientas, vamos a analizar
cómo se podría generar una base del espacio de búsqueda F*.
Recordemos que F* es una familia de cerrados del espacio
topológico ( D * , T * ) , lo que quiere decir que para todo X € F* ,
X C D* y X = X+.
PAG-53-
Como X C D* entonces X = U CAj> con A¿ € D* ó X = f* y teniendo en
cuenta que + es un operador de clausura de KURATOWSKI entonces:
X = X + = (U tAi>>+ = U tAi>+, Ai € D* ó *+ = +.
Es decir que toda expresión perteneciente a F* y diferente de 96
se puede obtener como la unión de cierres de las expresiones
simples pertenecientes a D*.
En consecuencia,el conjunto B' = í Y / Y = A +, A € D* >
constituye una base para F*; teniendo en cuenta que el cierre es
calculado sobre Cd * .
ALGORITMO (3.1): Computación de la base de un espacio de búsqueda
dirigido por las metas.
ENTRADA: Un conjunto finito de expresiones simples D*,una clase
de derivación Cd* = ÍXj < — < Y¿> í = 1,8,.,.m
SALIDA: B',la base del espacio de búsqueda F* con respecto a Cd*.
MÉTODO: (i) Obtenemos el universo de expresiones simples D* = {A^
/ A k £ U <Xj U Yi)>.
(ii) Obtener la matriz de implicación MI,que es una matriz
de m x n, siendo n = #D* (la cardinalidad de D*),cuyas filas se
identifican por los m elementos de los miembros de las reglas de
produce ionrA^ € Y¿, =|i.Y sus columnas se identifican por las
expresiones simples A^, pertenecientes a D*; de modo que:
1 si Aj € (Xi U Y ±)
PA6-54-
O en caso contrario
ííii) Calcular la matriz de cierre de MI,MI +, mediante los
siguientes pasos:
(i) rii+ = MI .
(2) Para cada dos filas Aj y Aj de MI+,tales que A¿ es diferente
Aj,si se verifica Aj.Aj = 1,copiamos todos los unos de la fila
A; en los lugares homólogos de la fila Aj.
(IV) Obtenemos B' como una familia de conjuntos,creados de la
siguiente forma:
Para cada fila Aj de M I + ,
(1) SI N i t = N i 2 (Ntl = ÍAk/Ai.Ak = l,en MI} y N i 2 = {Ak / A .A,,-
= 1 ,en MI + >) .
ENTONCES crear un conjunto S, S = (Aj) U <Ak/Ak±Aj &, Aj.Ak
= 1 en MI +>.
SI NO
<e> SI N i t - <A¿> » <Ar>
ENTONCES para cada <Ak> = CAr> hacer:
C3> SI N k l = HkE
ENTONCES crear un conjunto S, S = <Ai> U
<Nkl = N k E)
SI NO hacer:
(a) i = k
íb) Regresar a (S).
(c) Crear los conjuntos S*= CAj> U S
en donde el valor de í es el
anterior a k y los conjuntos S
son los calculados en <b).
PAG-55-
SI NO hacer:
(a) Para cada ^A|í> = tArj> para algún A rj €
{A,- j , . . . ,Arn> = Njj — <Aj>, regresar a (1)
<b> Obtener combinaciones de los conjuntos S
formados respecto a cada A r j .
<c) De los conjuntos obtenidos por
combinaciones en (b),eliminar los que
contengan a otros de las combinaciones.
<d) Con cada uno de esos S restantes obtener,
S'-.ÍAj} U S U <A r j/A rj ^ A i ? para todo i>
(4) SI Aj € D* y Aj no pertenece U tAj >
ENTONCES creamos un conjunto S, S — <A¿}.
ÍV> Fin.
A continuación vamos a utilizar este algoritmo para calcular la
base del espacio de búsqueda correspondiente al ejemp1 o(2.1 ) .
EJEMPLO (3.1): Consideremos los hechos y reglas del ejemplo<2.1).
Por lo tanto tenemos que:
Cd' = i NLC (X)& PER (X) < — < AMI (X>, AMI (X) & -. BRU (X) < — <
- PEL (Y,X), MAU <Y> < — < GAT (Y) >.
Aplicamos a continuación el algoritmo (3.1):
PRIMER PASO: D* = CMueve_la_cola (X), Perro (X>, Amigable (X>,
-.Gruñe (X), -«Pelean (Y,X), Gato (Y), Maulla (Y)>
SEGUNDO PASO: La matriz de implicación MI, es:
PAG-56-
MLC(X) PER(X) AMI(X) -.GRU < X ) -PEL<Y,X> GAT ( Y ) MAU(Y)
AMI(X) 1 1 1 O O O O
-nPEL(Y,X) 0 0 1 1 1 0 0
GAT(Y) 0 0 0 O 0 1 1
TERCER PASO: La matriz de cierre M I + , es:
MLC(X) PER(X) AMI(X) -.GRU ( X ) --PEL(Y,X) GAT ( Y ) MAU<Y)
A M I ( X )
• i P E L ( Y , X )
G A T ( Y )
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
o
1
CUARTO PASOs La base B' , es:
B'=C<MLC(X ) >,{PER(X ) >,ÍAMI(X) ,PER(X) ,MLC< X ) } , C-.GRU ( X ) } , { ->PEL( Y,X )
PER( X ) ,AMI ( X ) ,-.GRU( X ) ,MLC( X ) } ,<6AT<Y>,MAU(Y) } , C MAU ( Y ) >>.
La base B* reemplaza a F' como espacio de búsqueda y sobre ella
podemos calcular cierres tal y cual como lo hacíamos sobre F'.Así
por ejemplo {GAÍ(Y),PER<X),-PEL(Y,X)>+ = <6AT(Y)>+ U <PER(X)>+ U
Í-.PELÍY.X ) >+ = <GAT< Y) , MAU < Y) > U CPER(X)> U CMLC ( X ) , PER < X ) , AMI ( X )
-.GRU ( X ) , iPEL ( Y , X ) > = í GAT ( Y ) , MAU ( Y ) , PER ( X ) , MLC ( X ) , AMI < X ) , --GRU ( X ) ,
-.PEL(Y,X)>.
3.3 GENERACIÓN DE BASES TOPÓLOSICAS DEL ESPACIO DE BÚSQUEDA
DIRIGIDO POR LOS DATOS.
PAG-57-
Obtener una base para el espacio de búsqueda FD* es más delicado,
pues en F se distinguieron elementos como <<K>,<N>> y <{K,N>>
considerándose el primero como cerrado y el segundo como abierto,
pero,al obtener el máximo descriptor recubierto,nos encontramos
con que es el mismo (K,N> y esto trae como consecuencia que (K,N>
aparezca como cerrado en FD*.
Sin embargo,es fácil inducir una base para FD* sin que se pierda
la información que nos proporcionan las reglas, de la siguiente
manera:
(1) FD* es una familia de subconjuntos de D*, por lo tanto D* es
una base trivial de FD*.
Es decir,todo conjunto perteneciente a FD* está formado por
elementos de D*.
(2> Si bien D* es una base que no nos sirve porque perdemos la
información proporcionada por las reglas de producción, tengamos
en cuenta que Jos elementos de D* que no son implicantes (lados
izquierdos de las reglas) son obviamente cerrados y,por lo tanto,
pertenecen a FD*,así que,para obtenerlos como unión de otros
conjuntos,la única posibilidad es que pertenezcan a la base de
FD*.Por lo tanto, Bj = CAk € D* / Ak > — > Y no pertenece a Cd+ ,
para todo Y C D*> formará parte de una base B de FD*.
(3) Como en FD* existe la posibilidad de que haya conjuntos que
no se puedan obtener por unión de los elementos de Bj, ya que
poseen algún implicante, entonces,en vez de utilizar los
elementos de D* que son implicantes, podemos utilizar los
descriptores formados por los implicantes más los atributos de su
cierre reflexivo-transitivo.Ya que todo descriptor X € FD* que
PAG-5B-
posea un implicante, para poder ser cerrado tendrá que ser el
implicante más sus expresiones implicadas, pudiendo tener además
elementos de Bj,por lo tanto,Bs = <X+ / X > — > Y € Cd+J
De (2) y (3) tenemos entonces que B - Bj U Bg es una base para
FD*.
ALGORITMO (3.2): Computación de la base de un espacio de búsqueda
dirigido por los datos.
ENTRADA: Una clase de derivación Cd = ÍXj > — > Y¿> 1=1,2, m
SALIDA: B, la base del espacio de búsqueda Fo con respecto a Cd.
METODOiíi) Obtenemos el universo de expresiones simples D* = CA|<
/ Ak € U (Xj U Yj)>.
(ii) Obtener la matriz de implicación MI.Es una matriz de
mxn,cuyas filas se identifican por los primeros miembros de las m
reglas de produce ion:Xj,Xg,. „ . ,Xm,y cuyas columnas se identifican
por las expresiones simples A^ pertenecientes a D*;
de modo que:
1 Si Aj £ (Xj U Yj»
Xj.Aj —
O En caso contrario.
(iíí) Calcular la matriz de cierre de MI,MI+,medi ante los
siguientes pasos:
(i) MI* = MI.
(2)Para cada dos filas X¿ y Xj de MI+,tales que Xj no
PAG-59-
contiene a Xj,si se verifica Xj „Ak = 1 para todo A k
perteneciente a Xj,copiamos todos los unos de la fila
Xj en los lugares homólogos de la fila Xj.
(iV) Obtenemos B como una familia de conjuntos,creados de la
siguiente forma:
Para cada fila X¿ de MI*,
(1) SI N Ü = N i E
ENTONCES crear un conjunto S, S = X¿ U ÍAk/Ak no pertenece
a Xj 8, X|,Ak = 1 en MI"*"!
SI NO
(E) SI Njj - Xj * <Ar>
ENTONCES para cada Xk = CAr3 hacer:
Í3) SI N k l = N k S
ENTONCES S = Xj U <Nkl = N k E>
SI NO hacer
(a) i = k
<b> Regresar a (2>
(c) Crear los conjuntos S*=X¡ U S en
donde el valor de í es el
anterior a k y los conjuntos S
son los calculados en (b).
SI NO hacer:
(a) Para cada Xk C CAr¿> = N j j - Xj regresar
a í 1) .
(b) Obtener combinaciones de los S formados
respecto a cada Xk.
<c> De los conjuntos obtenidos por
PAG-60-
combinaciones en (b),eliminar a los
que contengan otros de las
comb inac iones.
(d) Con los S restantes obtener, S' = X¿ U S
U ÍA^/Aj-j no pertenece a UX¿>.
<¿t) SI Aj € D* y <A¿> =}= X¿, para todo i
ENTONCES creamos un conjunto S, S = {A¿>.
(V) Fin.
A continuación vamos a utilizar este algoritmo para calcular la
base del espacio de búsqueda correspondiente al EJEMPLO (2.2).
EJEMPLO (3.2): Consideremos la base de reglas BR del EJEMPLO
(2.2), BR = CRt,Rs> en donde Rj : H — > K y R E: K & M — > L
y Cd = t H > — > K, K & M > — > L >.Aplicamos a continuación
el algoritmo (3.2):
D* = CH,K,L,M>
La matriz de implicación MI, es:
H K L M
H 1 1 O O
K & M O 1 1 1
La matriz de cierre M I + = MI.
PAG-61-
La base es B = iCH,K>,ÍK,M,L>,<K>,<L>,CM3>.
La búsqueda sobre la base B es muy similar a la búsqueda sobre el
retículo obtenido a partir de FD*,sólo que es un poco más simple.
Así que,dado un descriptor X,se establecen las claves que
pertenecen a X,pudiendo establecerse la búsqueda con respecto a
cada una de ellas o con respecto a todas.
La búsqueda con respecto a una clave,se establece encontrando la
menor clase en la base con esa clave que contiene al descriptor.
Si no existe una clase que lo contiene, entonces se unen el
descriptor y la menor clase con esa clave.Y si en vez de una
existen varias clases que contienen al descriptor, pero no hay
una menor,entonces hay que seleccionar una de ellas (esto es lo
que se conoce con el nombre de resolución de conflictos).
La búsqueda con respecto a varias claves es equivalente a la
unión de las menores clases en B que poseen dichas claves.
3.^ PARTICIÓN DE LAS BASES V ESPACIOS EN SUB-BASES Y
SUB-ESPACIOS CONEXOS
DEFINICIÓN (3.2): Sea BR - < Rj / Xj — > Y i f í=l,2,...ro > la base
de reglas.Decirnos que R¿ y Rj son adyacentes si (X¿ U Yj ) O <Xj U
Yj) ¿= &. La simbolizaremos por Rj <> Rj.
Decimos que Rj y Rj están conectadas si se cumple (1) ó (H):
(1) Rj O Rj
(H> E x i s t e u n a s e c u e n c i a * R k i * *- "R. t a l q u e
R i < > R k i < > R k i + 1 O . . . O R k i + r < > R i .
P A S - 6 2 -
La relación de conexión la simbolizaremos por <C».
Fácilmente se puede verificar que la relación de conex ión,<C» ,es
una relación de equivalencia sobre BR.Por lo tanto determinará en
BR una partición en clases de equivalencia CCR¿3.Cada clase puede
representarse por uno cualquiera de sus elementos.
ALGORITMO (3.3): Determinación de la partición de una base de
reglas.
ENTRADA: Un conjunto finito de reglas BR.
SALIDA:Un conjunto finito de clases de equivalencia PgR = tCCR¿3>
MÉTODO: (í) Obtenemos el universo de expresiones simples D* = ÍA^
/ A k £ U (Xj U Yj)}.
(ii) Obtener la matriz de implicación MI,en donde MI es
una matriz de raxn.Siendo m — #BR (la cardinalidad de BR) y n =
#D* (la cardinalidad de D*),cuyas filas se identifican con las
reglas de BR,y cuyas columnas se identifican por las expresiones
simples A n pertenecientes a D*; de modo que:
1 si Aj £ CXj U Yj)
Ri.Aj =
0 en caso contrario
(iii) Calcular la matriz de incidencia MI*,que se define como
s igue:
1 si existe un A^ tal que R¿.A^ = 1 y Rs.A^ = i
O en caso contrario
PAG-63-
<ÍV) Calcular la matriz de cierre de MI*,MI* +.
<V) Los unos de cada diferente fila de MI"+,definen una clase de
equivalencia bajo 4C)> (teniendo en cuenta que las filas y columnas
de MI* y,por tanto,de su cierre,MI*+,son ahora las reglas de
producción Rj ,R£>, - . . ,Rm ) -
EJEMPLO (3.3): Consideremos nuevamente la base BR del ejemplo
(2.1), BR = <R 1,R e,R 3>, en donde,
Rj: CMLC(X) S. PER(X)3 — > AMI(X)
Rs: CAMI(X) & -GRU(X)J — > ^PEL(Y,X>
R3: CMAU(Y)J — > GAT(Y>
aplicando el algoritmo ( 3 . ¿*) tenemos:
(i) D* = í MLC(X) ,PER(X) ,AMI(X) ,-.PEL(Y,X) ,MAU(Y) ,GAT(Y) >
( i i ) L a m a t r i z d e i m p l i c a c i ó n M I e s :
MLC PER A H Í --GRU
Hl . 1 1 1 0
R e 0 O 1 1
R 3 O 0 0 0
( i i i ) L a m a t r i z d e i n c i d e n c i a M I " e s :
R 1 R 2 R 3
R j 1 1 O
R e 1 1 0
- iPEL HAU GAT
0 0 0
1 O O
O 1 1
PAG-6¿+-
R3 O O 1
( i v ) La m a t r i z de c i e r r e MI e s :
R l R g R 3
Rt 1 1 0
Rg 1 1 0
R 3 O O 1
(v) Las clases de equivalencia son:
CCRjí = CR1,RS> y CCR33 = <R3>
P B R = CCCRjJ^CRaJl
EJEMPLO O.'»): Consideremos nuevamente la base BR del
ejemplo(E.2>: BR = ÍR!,Re>,en donde, Rjs H — > K,RE: K & M — > L
Aplicamos el ALGORITMO (3.4):
(í) D* = CH,K,L,M>
(ií) La matriz de implicación MI es:
H K L M
Rj 1 1 0 0
Rg 0 1 1 1
(iii) La matriz de incidencia MI * es:
PAG-65-
Ri Rs
Rj 1 1
Rg 1 1
<iV) La matriz de cierre M I , + es:
Rl RE
Rl 1 1
R 2 1 1
(V) Las clases de equivalencia son:
C C R ^ = <R],RS> = BR y P B R = CCCRjIO
LEMA (3.1): Una partición en BR = CR¿>, induce otra partición en
D*.
DEMOSTRACIÓN: Si Rj y R¿ están en diferentes clases de
equivalencia se sigue, o bien que R¿ O Rj no se cumple o que no
existe un Rk € CCRjl tal que Rj O R k.
Luego, si A¿ es el conjunto de atributos de R¿ es obvio que A¿ fl
A¿ = ¡á para todo i ¿ j, y UA¿ = D*. Luego <Aj> es una partición
de D*.
De una manera muy natural una partición sobre BR, es una
partición sobre Cd y Cd'. Es decir,si BR * { Rj / Xj — > Y i f
i=i,...,m > entonces,teniendo en cuenta las definiciones de Cd y
PAG-66-
Cd',Cd = ÍDj / X| > — > Yj, i=l,...,m> y Cd' = {Dj - 1 / Xj < — < Y4>
Por lo tanto si Pgpj = ÍCCR¿3> es una partición sobre BR entonces
pCd = c CCDjl / Dj € CCDj3 si y sólo si Rj € CCRj] > y P C d > =
< CCDj - 1] / D j - 1 € CCDi - 1! si y sólo si Rj G CCRj] >.
Sin embargo nuestro interés es inducir particiones sobre las
bases de búsqueda B* y B.
LEMA (3.E): Una partición en Cd = <D¿>, induce otra partición en
B.
DEMOSTRACIÓN: Si D| y Dj están en diferentes clases de
equivalencia,se sigue, o bien que no se cumple Dj O Dj o que no
existe un D k G CCDjl tal que Dj O D k .
Luego,si definimos BCCDj] > ( Z ^ , Z € B / para todo A € Z, A €
Dj para algún Dj € CCD¿3 > U €|»>,entonces es obvio que BCCDj] fl
BCCDj] « jd para todo i ¡k j y U BCCDjD • B. Pues si suponemos lo
contrario, es decir,que existe un Z ¿= f¿ £ B tal que Z € BCCD¿3 y
Z € BCCDj] con i¿j.Entonces,para todo A € Z, A € <Xn U Yn) para
algún D n € CCDiH y A € CXm U Y m) para algún D m € CCDjU. Y,en
consecuencia,(Xn U Yn) fl ( X m U Y m) i ^ y,por lo tanto,Dn O Dm;
lo cual es absurdo.Pues D^ € CCDjl y D m € CCDj3 y por hipótesis
CCDj3 y CCDjJ son clases de equivalencia diferentes.
Análogamente se puede demostrar que una partición en Cd = €Dj~*>
induce otra partición en B*.
ALGORITMO (3.4)sDeterminacion de la partición de las bases de
búsqueda B y B*.
PAG-67-
ENTRADA: Una base de búsqueda B'(o B) y una partición de BR,
P B R - <CCRi3>.
SALIDA: Un conjunto finito de sub-bases de búsqueda conexas SB =
CBCCDi3> (ó SB' = <BCCD i~13>).
MÉTODO: (i) Para cada CCRj 3 G PBR.Formar una clase BCCDi3 = f* (ó
BCCD¿—*3 = ^ según sea el caso).
(ii) Para cada X ^ 0 € B < ó X € B' > ,ver ificar si para todo A € X
Rfc.A = 1 en la matriz de implicación, para algún R^ € CCR¿3.Si es
así,introducir X en BCLD^l (ó en BCCDj-13>.
En caso contrario, es decir si R^-A = O para todo R^ € CERjU,
entonces hacer la verificación con otra clase de equivalencia
CCRiD € P B R.
(íii) SB = (BCCDjJ} (ó SB' = ÍBC CD i~13>).
EJEMPLO (3.5): Consideremos la base de búsqueda B' del ejemplo
(3. 1 ) :B' - í (MLC< X ) >, {PER( X ) >, CMLCCX ) , PER ( X) ,AMI ( X ) > , C-.GRUCX) >
(MLC(X) ,PER(X) ,AMI< X) , -.GRU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) > , (GAT(Y) ,MAU(Y> >,{MAU(Y) >
También consideraremos la partición en clases de equivalencia del
ejemplo(3.3):PBR = CCCRj3,CCR33J en donde CCRj3=tR!,R2> y
CCR33=CR3>.
Recordemos que Cd* = €Dj~^»^S~*»D3~**>en d o n d e
D i - 1 : MLC(X> & PER(X) <—< AMI(X)
D 2_ 1: AMI(X) & -.GRU(X) < — < -PEL ( Y , X )
D 3_ 1: MAU(Y) < — < GAT<Y)
Entonces,teniendo en cuenta la matriz de implicación del
PAG-68-
ejemplo(3.3),obtenemos que: SB' = (BCCDj-13,BCCD3_13>,en donde,
BCCDj - 1] = (ÍMLC(X ) > ,<PER<X ) > , ÍMLC< X ) ,PER( X ) , AMI ( X) >, £-.GRU<X ) >
C MLC < X ) , PER < X) ,AMI< X) , -GRU ( X ) , -nPEL ( Y , X > > J .
B C E D 3_ 1 3 = ({GAT<Y),MAU<Y)>,<MAU<Y)>>.
A partir de dichas sub-bases conexas podemos generar subespacios
topológicos conexos de CD*,*r*).
DEFINICIÓN (3.2): Un espacio topológico es conexo si no es la
unión de dos conjuntos no vacios,abiertos y disyuntos.
DEFINICIÓN (3.3): Un espacio topológico X se llama conexo si sus
únicos subconjuntos simultáneamente abiertos y cerrados son 0 y X
DEFINICIÓN (3.*»): Se dice que una parte A de un espacio
topológico es un conjunto conexo, si A,considerado como espacio
topológico (con la topología relativa), es conexo.
Teniendo en cuenta las definiciones anteriores,fácilmente podemos
establecer que el par (dj -* , i*d¿ —*) es un subespacio topológico
conexo de (D*,T').En donde di _ 1 = (A € X / X € BCCDi-13> y
T'di"1 es la topología relativa de d j - 1 c o n respecto a T*.
EJEMPLO <3.6): Sea D* = (MLC ( X ) ,PER ( X ) , AMI ( X ) , -.GRU < X ) , -.PEL ( Y , X > ,
MAU<Y),GAT(Y)> y consideremos la sub-base conexa BCCDj-13 del
ejemplo (3.5>:BCEDj-13 = (<MLC(X)>,€PER(X)>, iMLC(X),PER(X),
AMI (X) > , <-.GRU< X) >,{MLC(X ) ,PER(X) ,AMI (X ) , ~<GRU < X ) ,-iPEL < Y , X ) >>.
Entonces dj^-1 = (MLC ( X ) , PER ( X ) , AMI < X ) , -.GRU ( X ) , -.PEL ( Y , X ) > es un
subconjunta de D*.
PAG-69-
Ahora T'dt-1 = d^-1 fl T ' = CÍMLC ( X ) , PER< X ) , AMI ( X ) , ->GRU< X ) ,
-iPEL<Y,X) >,{PER( X),AMI<X) ,-iGRU ( X ) , -.PEL < Y , X ) >,CMLC(X) ,AMI < X) , GRU
(X) ,->PEL(Y,X> },CMLC<X ) ,PER(X) , AMI (X) , -«PEL < Y, X ) >,<AMI(X) ,-GRU<X) ,-.
P E L < Y , X ) > , < P E R < X ) , AM I< X ) , -iPEL ( Y , X ) > , i M L C ( X ) , AMI ( X ) , -.PEL ( Y , X ) > ,
C-iGRU(X) ,--PEL(Y,X ) >,CAMI (X) , -.PEL ( Y , X ) > , i -.PEL ( Y , X ) >,{¿>.
Se puede verificar que los únicos abiertos y cerrados
simultáneamente son |4 y d j ~ .Por lo tanto el subespacio
topológico (d¡i~* ,T *dj~ * J es conexo de acuerdo a la
definicion(3.3 ) .
3.5 ALGORITMOS DE SÍNTESIS
Es nuestro interés sintetizar todos estos procedimientos en dos
a lgor i tinos .
ALGORITMO (3.5): Algoritmo de síntesis de los espacios de
búsqueda conexos dirigidos por las metas.
ENTRADA: Un conjunto finito de reglas BR - CXj — > V|> i=l...m
SALIDA: Un conjunto finito de sub-bases de búsqueda conexas
SB = {B*({Rmp>)> y de sus respectivos ident i f icadores
I « <I'(B'(€Rmp>))>.
MÉTODO:
(i)Formar la matriz de incidencia MI',en donde MI* es una
matriz cuadrada de mxm,cuyas filas y columnas son las reglas de
producción Rj ,Rg, . . . ,Rm (ó R^-!,R£~1,...,Rm-1>,de modo que:
PAG-70-
1 Si existe un A^ tal que Yj.A^ = 1 y Yi-A^ = 1
Rj.Rj = en MI +
O En caso contrario.
(ii) Los unos de cada fila determinan los subespacios de búsqueda
conexos.Es decir que B*({R m p>), en donde tR m p> es una subred de
Rj,Rg,.-.»Rmj es un subespacio de búsqueda conexo si y solamente
si Rj.Rj = 1 con respecto a la matriz de incidencia MI*, para
todo Rj,Rj en {Rmp>.
(iii) Para cada <R m p> hacer:
(a) Obtenemos los universos de expresiones simples D = CA^/ A^ €
U <X m p U Y m p)>.
(b) Formar la matriz de implicación MI,en donde MI es una matriz
de fíxn,cuyas filas se identifican por los f» elementos de los
segundos miembros de las reglas de producción de tRmp>,A|t € Ymp,y
sus columnas por las n expresiones simples A n de D* de modo que:
1 Si Aj € (X m p U Y m p)
Ak.Aj =
O fcn caso contrario.
te) Calcular la matriz de cierre de MI,MI+,medi ante los
siguientes pasos:
(1) M I + = MI
(H) F'ara cada dos filas A¿,Aj de MI4",tales que A¿ es diferente a
A;,si se verifica A¿.Aj = 1, copiamos todos los unos de la fila
Aj en los lugares homólogos de la fila A¿.
PAG-71-
(d) Obtenemos B'<tRmp>) como una familia de conjuntos,creados de
la siguiente forma:
Para cada fila A¿ de M I + ,
(1) SI N Ü = N i 2 <Nil = ÍAk/Ai.Ak = 1, en MI> y N i 2 = ÍAk/ Ai.Ak
=1,en MI +>).
ENTONCES crear un conjunto S, S = <:Aj> U ÍAk/Ak i A ¿ &
At -Ak = 1 en MI+>
SI NU
(S) SI N Ü - CAi> = CAr>
ENTONCES para cada tAk> = <Ar> hacer
<3> SI N k l - N k S
ENTONCES crear un conjunto S, S = <A¿> U
<Nkl = NkS>
SI NO hacer
(a) i = k
(b) Regresar a <S>
(c) crear los conjuntos S'= €Ai> U S
en donde el valor de í es el
anterior a k y los conjuntos S
son los calculados en (b).
SI NU hacer:
ia.)Para cada (Ak> = CArj> para algún A r¿ €
CAj-! , . . . ,A,-n> = N Ü *~ €Aj>,regresar a (1)
(b)Obtener combinaciones de los conjuntos S
formados respecto a cada A r¿.
(c)De los conjuntos obtenidos por
combinaciones en (b),eliminar los gue
PAG-72-
contengan a otros de las combinaciones.
(d)Con cada uno de esos S restantes obtener,
S'»<Ai> U S U <A rj/ A rj ¡js Aifpara todo i>
<*t) SI Aj € D* y Aj no pertenece U tAj}
ENTONCES creamos un conjunto S, S = <Aj>.
IV) Para cada base BMtR,™!) obtenemos un ident if icador
IMÍR m p>) en donde IM<R m p>> = <Ak / Ak € U Y^ 8. Yj = Y m p, Y m p €
Rmp J
(V) Fin.
EJEMPLO (3.7): Sea BR = {Rt,Re,R3,R^,R5> en donde RX:A & B — > C
RS:H — > K & L, R 3: B & D — > F & G, R^: A & E — > C, R 5: K & M
— > L .
Si aplicamos el algoritmo de síntesis (3.5), para una búsqueda
dirigida por las metas, tenemos:
(i) La matriz de incidencia MI* es:
Rl R£ R3 R<4 R5
Rl
R2
R3
R¿t
R5
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
<ii) Los subespacios de búsqueda conexos son:
PA6-73-
B M { R 1 , R 3 , R í t > ) y B ' C € R e , R 5 > >
( i í i ) ( a ) D* ~ < A , B , C , D , F , G , E > y D * = { H , K , L , M >
(b> L a s m a t r i c e s de i m p l i c a c i ó n M I , s o
A B C D E F G
L 1 1 1 O O O O K
F 0 1 0 1 0 1 0 L
G 0 1 0 1 0 0 1 L
C 1 0 1 0 1 0 0
( c ) L a s m a t r i c e s de c i e r r e M I + , s o n :
A B C D E F G
C 1 1 1 0 0 0 0 K
F 0 1 0 1 0 1 0 L
G 0 1 0 1 0 0 1 L
C 1 0 1 0 1 0 0
( d ) B ' ( { R 1 , R 3 , R < I > ) = Í Í C , A , B > , { F , B , D } , Í G , B , D > , C C , A , E > , Í A > , < : B > ,
( D } , { E ) }
B ' ( Í R e , R 5 > ) = € Í K , H > , { L , H > , < : L , H , K , M } J Í H > , { M > >
( i V ) L o s r e s p e c t i v o s i d e n t i f i c a d o r e s s o n :
I , ( B ' ( C R 1 , R 3 , R 4 > ) ) = < C , F , G >
I ' ( B ' ( < R 2 , R 5 > > > = t K , L >
P A 6 - 7 4 -
n;
H K L M
1 1 0 0
1 0 1 0
0 1 1 1
H K L M
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 1
ALGORITMO (3.6): Algoritmo de síntesis de los espacios de
búsqueda conexos dirigidos por los datos.
ENTRADA: Un conjunto finito de reglas BR = ÍXj — > Yj> i-1,..„,m
SALIDA: Un conjunto finito de sub-bases de búsqueda conexas SB =
íB(ÍR,„p>)> y de sus respectivos ident if icadores I = {I <B(<Rmp>> ) >
MÉTODO:
(i) Formar la matriz de incidencia MI*,en donde MI* es una
matriz cuadrada de mxm, cuyas filas y columnas son las reglas de
producción Rj,...,Rm, de modo que:
1 Si existe un A^ tal que Xj.A^ = 1 y Xj.A|¿ = 1 en
Rj-Rj = MI +.
O En caso contrario.
(ii) Los unos de cada fila determinan los subespacios de búsqueda
conexos.ts decir que B(<Rmn>),en donde ÍR m p> es una subred de
Rj,Rg,...,Rm,es un subespacio de búsqueda conexo si y sólo si
Rj .R j = l.Con respecto a la matriz de incidencia MI*,para' todo
Ri,Rj en ÍR m p>.
(iii) Para cada tRmp> hacer:
(a) Obtenemos los universos de expresiones simples D* = tA^/ A|< €
U <X m p U Y m p)>.
(b) Obtener la matriz de implicación MI,que es una matriz de fíxn
siendo n = #D* < 1 a cardina1idad de D*) ,cuyas filas se identifican
por los primeros miembros de las fí reglas de producción de ^X m p>
y cuyas columnas se identifican por las expresiones simples Aj^
PAG-75-
pertenecientes a D ; de modo que:
1 Si Aj € CX m p U Y m p)
O En caso contrario
(c) Calcular la matriz de cierre de MI,MI*,mediante los
siguientes pasos:
(1> M I + - MI
(2) Para cada dos filas X| y Xj de M I + tales que Xj no contiene a
X;,si se verifica Xj„Ak = 1 para todo A k € X¿,copiamos todos los
unos de la fila Xj en los lugares homólogos de la fila Xj.
(d) Obtenemos B(CRmp>> como una familia de conjuntos,creados de
la siguiente forma:
Para cada fila X¿ de M I + ,
(1) SI N 4 1 - N i e
ENTONCES crear un conjunto S, S = X¿ U {Ak/Ak no pertenece
a X¿ & Xj.Ak = 1 en MI+>
SI NO
(E) SI Njj - Xj = <Ar>
ENTONCES para cada Xk = ÍAr> hacer
(3) SI N k l = N k 2
ENTONCES S = Xj U <N k l = N k 2 )
SI NO hacer:
(a) i = k
<b» Regresar a (S)
(c) crear los conjuntos S* = Xj U S
en donde el valor de i es el
anterior a k y los conjuntos S
PAG—76-
son los calculados en (b).
SI NO hacer:
(a) Para cada X|< C <Arj> = Njj — X¿ regresar
a (1 )
<b) Obtener combinaciones de los S formados
respecto a cada X^.
<c) De los conjuntos obtenidos por
combinaciones en <b),eliminar a los que
contengan otros de las combinaciones.
<d) Con los S restantes obtener, S' - X¿ U S
U ÍArj/Arj no pertenece a U X¿>
(¿O SI Aj € D* y <Aj> j= X¡, para todo i
ENTONCES creamos un conjunto S, S = CAjJ.
(iV) Para cada base B({Rmp>) obtenemos un identificador I(<Rmp>)
en donde:
I^Rmp^* = * *i ^ *i = xrop» *inp ^ " m p -* *
(V) FIN
EJEMPLO (3.8): Sea BR = CRj,Re,R3,R^,R5> en donde Rj: A&B — > C,
R2s H — > KW_,R3: B&D — > F8.G, R4s A&E — > C, R 5: K8.M — > L.
Aplicando el algoritmo (3.6) tenemos:
(í) La matriz de incidencia MI* es:
Ri Re R3 R¿* R5
R1 1 0 1 1 0
PA6-77-
R 2
R 4
« 5
0 1 0 0 1
1 0 1 1 0
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
( i í ) L o s s u b e s p a c i o s de b ú s q u e d a c o n e x o s s o n : B < Í R j , R 3 , R ^ > ) y
B ( { R E f R 5 > > .
< i i i > ( a ) D* = f A , B , C , D , E , F , G > , D * = C H , K , L , M > .
i b ) L a s m a t r i c e s d e i m p l i c a c i ó n M I , s o n :
A B C D E F G H K L M
A &. B
B 2* D
A &, E
1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 0
H
K &< M
1 1 1 0
0 1 1 1
( c ) L a s m a t r i c e s d e c i e r r e M I + , s o n ;
A B C D E F G H K L M
A &, B
B &• D
A 8» E
1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 0
H
K & M
1 1 1 0
0 1 1 1
( d ) B ( < : R 1 , R 3 , R < t t > ) = c { A , B , C > , C B , D , F , G > , Í A , E , C > , Í A > , { : B > , < : C } , < : D }
, Í E > , Í F > , < : G } > .
B ( € R e , R 5 > ) = « Í H , K , L J , í K , H , L > , < K > , { L > , € M > > .
P A G - 7 8 -
( i V ) L o s r e s p e c t i v o s i d e n t i f i c a d o r e s s o n :
K B ( < R 1 , R 3 , R < t > > > = < C A , B > , < B , D > , { : A , E > >
K B ( Í R E , R 5 > ) > = C Í H > , € K , M > >
P A G - 7 9 -
CAPITULO **
APLICACIONES
h.l DISECO DE MOTORES DE INFERENCIA
La aplicación que vamos a considerar es al diseño de un motor de
inferencia para sistemas de producción.
Un motor de inferencia debe cumplir los tres requisitos básicos
siguientes:
(1) Conducir a una solución.
(H> Utilizar una estrategia no aleatoria.
(3) Ser eficiente computac i ona luiente .
Independientemente del tipo de razonamiento empleado,la
construcción de un motor de inferencias o intérprete comporta dos
etapas particularmente delicadas: La definición de los métodos de
equiparación o selección de las reglas candidatas válidas y la
elección de la regla a disparar.La calidad de estos dos elementos
afecta de modo determinante a la eficiencia del motor de
i. nf erenc i as .
El intérprete de un sistema de produce ion,es el cerebro o núcleo
del sistema,de modo que,alimentado por una Base de Datos,
construye dinámicamente una solucion,diciendo qué reglas disparar
y en qué orden.Para ello utiliza una memoria de trabajo,en la
cual se conservan las informaciones describiendo la situación
inicial,es decir,el problema planteado y las situaciones
deducidas en el curso del razonamiento.
PAG-80-
Visto de una manera muy general,lo que hace un motor de
inferencias,viene dado por el siguiente procedimiento:
PROCEDIMIENTO CONTROL
1. DATOS < — Base de Datos inicial.
£. Hasta que DATOS satisfaga la condición de terminación, hacer:
3. Comenzar
A. Seleccionar alguna regla,R,del conjunto de reglas,que pueda
aplicarse a DATOS.
5. DATOS < — resultado de aplicar R a DATOS.
6. Fin.
Este procedimiento es muy general y no especifica con precisión
cómo vamos a seleccionar una regla.Las normas para seleccionar
reglas y para anotar aquellas secuencias de reglas ya intentadas
y las Bases de Datos que produjeron,constituyen lo que llamaremos
la estrategia de control para el sistema de producción.
La estrategia de control puede considerarse como un proceso de
búsqueda.Existen diversas maneras según las cuales una estrategia
de control puede efectuar la búsqueda de una solución.Ona de las
más utilizadas es la exploración de gratos.
Podemos llevar cuenta de las reglas aplicadas y de las Bases de
Datos a que dieron lugar,medi ante árboles de búsqueda.En la parte
superior o raíz del árbol figura la descripción de la
configuración inicial.Las distintas reglas que se le pueden
aplicar corresponden a enlaces o arcos dirigidos hacia nodos
descendlentes,que representan los estados que pueden alcanzarse
PAG-81-
por un único movimiento a partir del estado inicial.Una
estrategia de control de exploración de grafos crece como un
árbol hasta que se produce una Base de Datos que satisface la
condición de terminación.
Nuestro propósito es utilizar los algoritmos que hemos
desarrollado hasta ahora para diseñar y construir un motor de
inferenc ias.
En primer lugar,es obvio que el proceso de búsqueda sea efectuado
no sobre árboles,sino sobre las bases de búsqueda que obtuvimos
en el capitulo 3 (algoritmos 3.1 y 3.2) y,en segundo lugar,que el
proceso de equiparación esté relacionado con el calculo de
cierres sobre las bases de búsqueda B y B*.
lambién es menester que tengamos en cuenta la posibilidad de
particionar las bases de búsqueda en sub-bases conexas,como un
proceso previo.
<*.Z CICLO DE BASE DE UN SISTEMA DE PRODUCCIÓN EN ENCADENAMIENTO
HACIA AFRAS.
ti motor de inferencias encadena los ciclos de trabajo,
comportando cada ciclo de trabajo,en su caso más general,tres
fases: la fase de preprocesamiento,la fase de decisión y la fase
de ejecución.
1) FASE DE PREPROCESAMIENTO.
transiste en transformar la base de regias en bases conexas de un
espacio topológico,que denominamos bases de búsqueda,
identificando además cada base con el conjunto de expresiones
simples que sirven de identificadores de las clases
PAB-8S-
pertenecientes a ella.Por lo tanto,esta fase comporta tres
etapas:
a) Generación de la base topológica
b) Descomposición en sub-bases conexas
c) Obtención del identificador de cada sub-base
Esta fase se da con el propósito de que la equiparación sea lo
más rápida posible, y se da solamente en el primer ciclo,a no ser
que haya una modificación en la base de reglas.
2) FASE DE DECISIÓN.
Consiste en seleccionar en cada ciclo una clase para ser
ac t i vada.
E-sta fase comporta también tres etapas:
a) SELECCIÓN: I nic i a luiente , consiste en seleccionar una meta de
las que aparecen en ei conjunto de metas que se encuentra en la
memoria de trabajo; quedando las demás metas pendientes de
verificación.
Luego,teniendo en cuenta esta meta escagi da,procede a la
selección de la sub-base conexa a la que debe dirigirse la
equiparación,valiéndose del identificador de la sub-base.
b) EQUIPARACIÓN O FILTRADO: Consiste en establecer el conjunto de
clases de la sub-base seleccionada que tienen como cabecera una
expresión que puede equipararse o instanciarse con la expresión
nieta .
A dicho conjunto lo denominamos conjunto conflicto.
c) RESOLUCIÓN DE CONFLICTOS: Si el conjunto obtenido
anteriormente no posee una única c1 ase,entonces debemos
seleccionar una de acuerdo a algún criterio,que puede ser la
PAG-83
primera,o la que contenga menos eIementos,o,por el contrario,la
que contenga una mayor cantidad de expresiones,o,simplemente,
hacerlo de forma arbitrari a,etc.Quedando las demás clases
pendientes de activación.
3) FASE DE EJECUCIÓN.
Toma la clase seleccionada en la resolución de conflictos y le
suprime la cabecera o identificador.Si la clase resultante es un
subconjunto de la Base de Datos presente en la memoria de trabajo
entonces esto quiere decir que la meta se ha descompuesto en
sub-metas elementales verificadas en la base de datos y entonces
se procede a incluir la meta en la base de datos.También procede
a modificar la memoria de traba jo,como,por ejemplo,haciendo
iguales a vacío los conjuntos meta escogida,con junto conflicto y
clase escogida; o alterando cualquier conjunto de la memoria de
ti aba ju .
Si,por el contrario,la clase resultante no es un subconjunto de
la base de datos presente en la memoria de trabajo,entonces hay
que calcular la intersección entre la base de datos y la clase
iesultante.
Si la intersección es vacía,entonces es que la meta no se puede
obtener a partir de los hechos presentes en la base de datos.
Si la intersección no es vacía,hay que preguntarse si la familia
de conjuntos pertenecientes a la base de búsqueda que no
contienen al identificador,pero contienen algún elemento de la
interseco ion,es un recubrimiento de la clase resultante.
Si la respuesta es pos 11i va,entonces la meta se puede descomponer
en sub—metas verificadas en la base de datos.
PAG-B4-
Si la respuesta es negativa,entonces no.
El ciclo se detiene cuando el conjunto de metas es un subconjunto
de la base de datos,o cuando no haya en el conjunto conflicto más
clases a ser activadas y una de las metas no se verifica con
respecto a la clase activada.
Si una meta se verifica y hay más metas pendientes,entonces el
motor de inferencias efectúa el encadenamiento con un nuevo
ciclo,comenzando en la fase de decisión.Ya que la fase de
preprocesamiento la consideramos únicamente en eJ primer ciclo,
ya que tácitamente estamos asumiendo que la base de reglas no
sufre modificaciones.
Al finalizar el ciclo (fase de ejecución) en el que la meta se
ver ifica,entre las modificaciones que se ejecutan en la memoria
de trabajo hay que tener en cuenta no sólo el agregar la meta a
la base de datos,sino el de hacer vacio los conjuntos: meta
escogida,conjunto conflicto y clase escogida.
Si una meta no se verifica con respecto a una clase y hay más
clases en el conjunto conf1icto,entonces se inicia un nuevo ciclo
comenzando en la etapa de resolución de conf1ictos,lo equivale a
hacer un retroceso (en inglés backtracking) a la etapa de
resolución de conflictos del ciclo anterior, borrando la clase
existente en el conjunto clase escogida,seleccionando otra clase
del conjunto conflicto,introduciéndola en el conjunto clase
escogida y suprimiéndola en el conjunto clases pendientes de
activación.Y prosiguiendo con la siguiente etapa del ciclo.
k.3 HQTOR DE INFERENCIA CON ENCADENAMIENTO HACIA ATRÁS.
PAG-85-
A continuación presentamos un algoritmo correspondiente a un
motor de inferencias para razonamiento dirigido por las metas.
Se trata de un motor de inferencias muy general,que hace
abstración del proceso de equiparación y provee una estrategia
parcial para la resolución de conflictos.
ALGORITMO <*».l): Motor de inferencia con encadenamiento hacia
atrás.
ENTRADA: Una base de reglas BR, una base de datos BD, y un
conjunto de metas MTS.
SALIDA: Un valor booleano,"verdadero" o "falso".
MÉTODO: (1) Inicial izar en la memoria de trabajo los conjuntos
ntetas pendientes MTP = MTS, meta escogida MTE, conjunto conflicto
CC,ciase escogida CE, y clases por activar CPA; haciéndolos
iguales al conjunto vacío.
Activar la variable booleana VALE con el valor FALSO.
(2) Mediante el algoritmo(3.5) preprocesar la base de reglas
hasta obtener un conjunto de bases de búsqueda conexas SB y un
conjunto de identificadores I'.
(3) Seleccionar una meta M 4 £ MTS, y hacer MTE * ÍMj> y MTP = MTP
- MTE.
(4) SI MTE es un subconjunto de BD,
ENTONCES vale < — verdadero y
SI MTP = s¿
PAG-8Ó-
ENTONCES Fin del algoritmo
SI NO regresar a (3)
SI NO
SI M^ £ I'<B"<íRmn>)) para algún I'<B'<£Rmn>)) € I'
ENTONCES Seleccionar la base B'(ÍRmn>) en SB
SI NO Fin del algoritmo
(5) Incluir en CC todas las clases de B'({Rmn>) cuyos
identificadores equipara Mj .
(6) Seleccionar una sub-familia de CC,SCC,con aquellas clases
cuya intersección con BD no es vacía, y hacer CPA = SCC.
(7) SI CPA = Í¿
ENTONCES Hacer vale < — falso y Fin del algoritmo
SI NO
SI Existe una clase en CPA, cuya intersección con BD
sea mayor que las demás.
ENTONCES Hacer CE igual a esa clase y CPA = ¿
SI NO Seleccionar alguna clase en CPA, cuya
intersección con BD sea maximal y hacer CPA =
CPA - CCE>
(S) SI CE - identificador es un subconjunto de BD
ENTONCES Hacer vale < — verdadero, incluir Mj en BD y
SI MI'P = s¿
ENTONCES Fin del algoritmo
SI NO Hacer MTE = Í¿ , CC = (ó, SCC = f¿, CE = p y
regresar a < 3) .
SI NO Calcular F = iZ £ B'(ÍRmn>) / (Ak} C Z, Ak £ BD II
LE-i dent if icador 8* (identif icador) C 2 }
PAG-S7-
SI F recubre a CE - identificador
ENTONCES Hacer vale < — verdadero, incluir Mi en BD y
SI MTP = s¿
ENTONCES Fin del algoritmo
SI NO Hacer MTE = ¡¿, CC = ¿, SCC = jó, CE = f¿,
y regresar a (3)
SI NO Hacer CE = 0 y regresar a (7)
EJEMPLO (4.1): Consideremos la base de reglas del ejemplo (3.7),
BR = iRí ,R2,R3,R¿t,R5> en donde R 1: A&B — > C, RE: H — > K&L , R3:
B&D — > F&G, R^: A&.E — > C, R5: K&M — > L. Y la base de datos, BD
= ÍA,B,H> y el conjunto de metas, MTS = ÍC,L>. Aplicando el
algoritmo (<+ . 1 ) tenemos:
PRIMER CICLO
< 1 ) A la memoria de trabajo inicial que consta de BD y MTS,
agregar MTP = MTS, MTE = Í¿ , CC = ¡¿, CE = ¡JS , CPA = Í¿ y vale < —
falso.
(c! í Aplicando el algoritmo (3.5) obtenemos:
SB = (B* ( ÍR, ,R3,R^> ) , B'({Rg,R5}¡} y I = í 1 ' ( B ' < ÍRj , R3 , R^ > ) ) ,
I ' (B' (CRE,R5}) )} en donde:
B7 ( iRí ,R3,R^ > > =
(CC,A,B},ÍF,B,D},ÍG,B,D>,{C,A,E>,ÍA>,ÍB},ÍD},ÍE>>
B'(CRa,R53) = ÍÍK,H>,CL,H>,ÍL,H,k,M>,-CH>,ÍM>>
1' (B'(<R1,R3,R¿t>>) = ÍC,F,G>
I'<B'<{RE,R5>)) = ÍK,L>
(3) Supongamos que seleccionamos la meta C en MTP y hacemos MTE =
£C> y MTP = MTP - MTE = CL>
PAG-88-
(¿+) Como MTE no es un subcon junto de BD, y C £ I ' ( B * ( CR1 , R3 , R 4 } ) )
entonces seleccionamos la base B ' ( ÍR± , R3 , R¿ > ) en SB .
(5) Como C equipara con las cabeceras de ÍC,A,B> y CC,A,E> en
B'({R 1,R 3,R¿ t}).Entonce5 hacemos CC = < ÍC , A , B> , <C , A , E> > .
<é>) SCC = CÍC,A,B>,<:C,A,E}} y CPA = SCC.
(7) Como CPA 4= p> y la intersección de <C,A,B> con BD es mayor
que la intersección de <C,A,E> con BD, entonces CE = <C,A,B> y
CPA = í¿.
(8) CE - identificador = <A,B> C BD. Entonces vale < — verdadero
y BD = ÍA,B,H,C> y como MTP =J= p, hacemos MTE = p, CC = P, SCC =
P, CE = P y regresamos a (3).
SEGUNDO CICLO
(3) Seleccionamos la meta L en MTP, hacemos MTE = ÍL> y MTP = P.
(¿+) Como MÍE no es un subconjunto de BD, y L £ I ' ( B' ( ÍRg , R 5 } ) )
entonces seleccionamos la base B M Í R J D J R ^ } ) en SB.
(5) Como L equipara con los identificadores de CL,H1 y ÍL,H,K,M>
en B'i ÍR 2,R 5) ) .Entonces hacemos CC = í ÍL ,H> , ÍL , H, K , MJ } .
(6) SCC = {{L,H>,(L,H,K,M>> y CPA = SCC.
(7) Como CPA ±r P y las intersecciones de ÍL,H> y <L,H,K,M> con BD
son iguales, entonces podemos seleccionar cualquiera.Supongamos
que seleccionamos ÍL,H,K,M>, entonces CE = £L,H,K,M) y CPA =
ÍÍL,H>>.
(8) CE - identif icador = \rH,K,M} que no es un subconjunto de BD.
Entonces F = í iK,H>,<H>> y F no recubre a ÍH,K,M>. Por lo tanto
hacemos CE = P y regresamos a <7).
TERCER CICLO
(7) Como CPA =k p y ÍL,H> es la única clase en CPA. Entonces la
PAG-B9-
seleccionamos, es decir CE = íL,H> y CPA = s6 -
<8> CE - identificador = (H> C BD. Entonces hacemos vale <--
verdadero y BD = i A,B,H,C,L>.
Como MTP = f¿ entonces fin.
<».<» CICLO DE BASE DE UN SISTEMA DE PRODUCCIÓN EN ENCADENAMIENTO
HACIA ADELANTE.
El motor de inferencias encadena los ciclos de trabajo,
comportando cada ciclo,en su caso más general, tres fases: la
fase de preprocesamiento., la fase de decisión y la fase de
ejecucion.
1) FASE DE PREPROCESAMIENTO.
Es similar a la fase de preprocesamiento en el encadenamiento
hac ia a tras.
2) FASE DE DECISIÓN.
Consiste en seleccionar en cada ciclo una clase para ser
se: 11 vada .
Esta fase comporta también tres etapas:
a) SELE.CCION: A diferencia de la búsqueda dirigida por las metas,
aquí lo que se seleccionan únicamente son las bases de búsqueda
conexas que guardan relación con la base de datos, es decir
aquellas cuyos identificadores poseen algún elemento (clase)
subconjunto de la base de datos.
b) EQUIPARACIÓN O FILTRADO: Similar a la establecida para la
búsqueda dirigida por las metas.
ORESOLUCION DE CONFLICTOS: Esta etapa comporta tres subetapas.
La primera consiste en particionar el conjunto conflicto en
PAG-90-
subfamilias de clases con igual identificador.La segunda consiste
en seleccionar una de tales sub-fami1 i as.Y la tercera es idéntica
a la resolución de conflictos en la búsqueda dirigida por las
metas, es decir,de la sub-familia escogida se selecciona, de
acuerdo a algún criterio, la clase a ser activada.
3) FASE DE EJECUCIÓN: Toma la clase seleccionada en la resolución
de conflictos y le suprime la cabecera o identificador y procede
a incluir esta clase resultante en la base de datos.
El ciclo se detiene cuando la meta pertenece a una base de datos,
o cuando no pertenece a ninguna base de datos de todas las
posibles, generadas por todas las clases activadas y con respecto
a todas las bases de búsqueda conexas seleccionadas.
*».5 MOTOR DE INFERENCIA CON ENCADENAMIENTO HACIA ADELANTE.
A continuación,presentamos un algoritmo correspondiente a un
motor de inferencias para razonamiento dirigido por los datos.
Se trata de un motor de inferencias muy general, que hace
abstración del proceso de equiparación y de la resolución de
conf1ictos.
ALGORITMO (*».2): Motor de inferencia con encadenamiento hacia
adelante.
ENTRADA: Una base de reqlas BR, una base de datos BD y una meta.
SALIDA: Un valor boo1eano,"verdadero" ó "falso".
PAG-91-
MÉTODO: <1) Jnicializar en la memoria de trabajo los conjuntos
bases seleccionadas BS, bases pendientes de activación BPA, clase
escogida CE; haciéndolos iguales al conjunto vacío.
Mctivar la variable booleana vale con el valor falso.
(¿) Mediante el algoritmo (3.6), preprocesar la base de reglas
hasta obtener un conjunto de bases de búsqueda conexas SB y un
conjunto de identificadores I.
(3) Hacer i = <£ y BD < i ) = BD.
(4) SI meta pertenece a BD<i)
ENTONCES hacer vale <-- verdadero y fin del algoritmo.
SI NO
SI existe un ident i f icador I<Rmp> tal que Z¿ C BD, para
algún Z^ t i(Rmp ) .
ENTONCES incluir B<{Rmp>) en BS y hacer BPA = BS.
SI NO Fin del algoritmo.
(5) SI BRA = <£
ENTONCES Fin del algoritmo.
SI NO Seleccionar una base B(<Rmp}) en BPA y hacer BPA = BPA
- íB(ÍKmp.>)>.
(6)SI BD(i) no se equipara con ningún identificador perteneciente
a IUR m p>>.
ENTONCES hacer BD<i) = <f> y i = í-1, SS(i-l) = (á e ir a (9)
SI NO Incluir en CC(i) todas las clases de B({Rmp}) cuyos
identificadores equipara BD(i) y hacer SPA(i) = CC<i).
(7)Si meta pertenece a alguna clase de CC(i)
ENTONCES hacer vale < — verdadero y Fin del algoritmo.
SI NO
PAG-92-
SI SPA( i ) = i¿
ENTONCES ir a (4) y hacer CC(i) = 0
SI NO Particionar SPA(i) en subfamilias de clases con
igual identificador.
(8) Seleccionar una sub-familia de SPA(i) y hacer SS(i) igual a
ella y SPA(i) = SPA(i) - SS(i). Hacer CSSA<i) = SS<i).
(9) SI CSSA< i ) = ¡¿
ENTONCES ir a (7)
SI NO Seleccionar una clase CSSA(i). Hacer CE igual a esa
clase y CSSA(i) = CSSA(i) - <CE>.
(10) Hacer i = i+1 y BD(i> = (BD(i-l) U CE) - identificador y CE
= <fi
(11) SI meta pertenece a BD(i)
ENTONCES hacer vale <-- verdadero y Fin del algoritmo.
SI NO regresar a (6).
EJEMPLO (¿*.2>: Consideremos la base de reglas, BR = <'Rí , R2, R3, R^ ,
R5> en donde Ri : K &, M — > L, RE: L — > S, R3 : L --> Y, R^ : S &, "I
--> U, Rb : K — > H. Y la base de datos, BD = ÍK,I1> y la meta
<U>. Aplicando el algoritmo (h.£) tenemos:
PRIMER CICLO
(1) BS = ¡ri, BPA = j¿, CE = $ó, vale < — falso.
(£) Aplicando el a lgoritmo(3.6) obtenemos:
SB = Ctíí íRi ,Re,R3,R¿» ,R5>) > y 1 = i I (Rj ,RE ,R3 ,R<+ ,R5 ) ) en
donde:
B(ÍR1,RS,R3,R¿+,R5> ) = ÍÍL,S},<:L, r},<:S,T,U>,ÍK,H},CK,M,L,S},
iK,M,L,I},íM>,iS>,iT>,iH>,tU>>.
PAG-93-
I <,Hl ,Ra,R3,R^ ,H5 ) = <ÍL>,ÍS, r>,{K>,{K,M>> .
(3) i = ¡¿, Bü(0) = <K,M> .
(<4 ) Como meta no pertenece a BD(O) y ÍK>,<K,M> son subconjuntos
de BD(O). Entonces BS = {B ( <:RX , Rg , R3 , R^ ,R5 } ) } y BPA = BS.
(5) Como BPA i ¡ó , entonces seleccionamos B ( CR j , Rg, R3, R^, R^> ) en
BS y hacemos BPA = <fi.
(6) C C ( O ) = Í { K , H } , { K , H , L , S } , C K , M , L , T > } = S P A ( 0 ) .
(7) S P A ( O ) = <;<:K,H>> U Í C K , M , L , S > , Í K , M , L , T > > .
(8) SS(O) = ÍÍK,H>> y SPA(O) = iCK,M,L,S>,<K,M,L,T>> y CSSA(O) =
SS(O).
(9) Como CSSA(O) J= 0 entonces CE = ÍK,H> y CSSA(O) = ¡¿.
(10) i = 1, CE = s¿ y BD<1) = tM,H>.
(11) Regresar a (6).
SEGUNDO CICLO
( 6 ) B L X 1 ) = P, 1 = O , i r a ( 9 ) .
( 9 ) Como C S S A ( O ) = fó, i r a < 7 > .
( 7 ) S P A ( Ü ) = Í Í K , H , L , S > , Í » C , M , L , T } }
( 8 ) S S ( ü ) = í Í K , M , L , S > , C K , M , L , T>> y S P A ( Ü ) = ¡¿ y CSSA ( ü ) = SS ( O )
( 9 ) CE = i R , M , L , í > y C S S A ( Ü ) = < { K , M , L , S > >
< 1 0 ) i = 1 , B D ( 1 ) = í L , r > , CE = 0 .
( 1 1 ) R e g r e s a r a ( 6 ) .
TERCER CICLO
(6) CC(1) = (. iL,S> , ÍL, F> ) y SPA(l) = CC ( i )
(7) SPA(l) = (ÍL,S>,ÍL,T>>
(8) SS(1) = {ÍL,S>,ÍL,T>>, SPA(l) = 9¡>, y CSSA(l) = SS<1).
(9) CE: = ÍL,T> y CSSA ( 1 ) = <<L,S>}
(10) i=£, BD<£) = CT>, CE = P.
PAG-9¿+-
(11) Regresar a (6).
CUARTO CICLO
(6) BD<2> = 0, i=l.
( 9 ) CE = Í L , S > y C S S A < 1 ) = p.
( 1 0 ) i = 2 , BL><£) = Í S , T > , CE = <fi.
( 1 1 ) R e g r e s a r a ( 6 ) .
QUINTO CICLO
(6) CC<2) = CCS,T,U>> y SPA(2) = CC(2)
(7) U € {S,'I,U> entonces fin. vale < — verdadero.
PAG-95-
CAPITULO 5
CONCLUSIONES
La aportación de esta tesis consiste fundamentalmente en la
caracterización topológica de los mecanismos inferenciales de los
Sistemas de Producción.
Más concretamente,aporta una interpretación conceptual de los
procedimientos deductivos en términos de Convergencia
Generalizada.
Esta interpretación se manifiesta en la caracterización de la
Base de Reglas de un Sistema de Producción como una Clase de
Convergencia y conlleva intrínsecamente la generación de Espacios
Topológícos.
Esto trae como consecuencia la posibilidad de utilizar conceptos
y herí amientas propias de la Topología General,ap1 i cadas a estos
si s temas, tal corno hacemos en la tesis con un conocido invariante
Lopológico como es la conexidad.Pero,fundamentalmente,es la
utilización de los Conjuntos Abiertos y Cerrados asociados a la
noción de Clausura,lo que constituye el elemento básico en los
procesos de búsqueda.
Este enfoque Conjuntista y Construccionista es más general y más
r ico que el de los Grafos de Derivación que se suelen utilizar en
estos procedimientos.
Este construccionismo implica la necesidad de hacer un mayor
énfasis en el preprocesamiento, no solamente para efectuar una
descomposición de la base de conocimientos, sino,sobre todo,para
PAli-96-
la creación de las bases y sus respectivos conjuntos, con el
consiguiente gasto de recursos que debe tener una contrapartida
en el momento de la ejecución, que debe traducirse en unos
tiempos de respuesta mas óptimos.
Sin embargo este tema de la eficiencia computacional no es
objetivo de la tesis y por ello queda abierto.
La transformación de las Reglas en Clases y de la Base de Reglas
en Bases de una Topología, aparentemente podría acarrear
problemas de seguimiento del razonamiento, pero creemos que no es
así, porque la Base de Búsqueda contiene en si misma todo el
"historial" de las Reglas Aplicadas, por lo que,a la hora de
efectuar una implantación práctica, creemos que no será dificil
la recuperación de las reglas.
PAG-97-
ANEXO
A.l NOCIONES BÁSICAS SOBRE ESPACIOS TOPOLOGICOS
DEFINICIÓN (A.l): Sea X un conjunto no vacío.Una clase T de
subconjuntos de X es una topología de X si y sólo si T verifica
los axiomas siguientes (llamados Axiomas de Hausdorff):
(AHÍ) X y »4 pertenecen a T.
(AHS) La unión de cualquier número de conjuntos de T pertenece a
T.
(AH3) La intersección de dos conjuntos cualesquiera de T
pertenece a T.
Los elementos de T se llaman abiertas, y el par (X,T) es un
espacio topológico.
DEFINICIÓN (A.B)í Sea (X,T) un espacio topológico.Un subconjunto
A de X es un conjunto cerrado si y sólo si su complemento C(A) es
un conjunto abierto.
DEFINICIÓN (A.3): Sea (X,T) un espacio topológico.Un punto P € X i
es un punto de acumulación o punto límite (también llamado punto
de aglomeración o punto derivado) de un subconjunto A de X,si y
sólo si todo conjunto abierto G que contiene a P contiene algún
punto de A diferente de P.
El conjunto de los puntos de acumulación de A, denotado por A*,
se llama conjunto derivado de A.
PAG-98-
TEOREMA (A.l): Un subconjunto A de un espacio topológico (X,T) es
cerrado si y sólo si A contiene todos sus puntos de acumulación.
D/: Supongamos que A es cerrado. Sea p un punto tal que p no
pertenece a A, en consecuencia p € C(A), y C(A) es abierto por
ser complemento de un cerrado; por lo tanto p no pertenece a A*
porque C(A) es un abierto tal que p € C<A) y CÍA) fl A = #. En
consecuencia,A contiene todos sus puntos de acumulación si A es
cerrado.
Ahora supongamos que A contiene todos sus puntos de acumulación:
Demostraremos que CÍA) es .abierto. Sea p € C(A).Entonces,p no
pertenece a A',y,por consiguiente,ex iste algún abierto 6 tal que
p € G y (G - Cp>) fl A = ffi, pero como p no pertenece a A, entonces
G O A = (G - <p>) fl A = * Por lo tanto, G C CÍA), y,en
consecuenci a,CÍA) es abierto.
PROPOSICIÓN (A.l): Sean A y B subconjuntos de X.Entonces A C B
implica A* C B*.
D/: Sea p € A*.Entonces para todo abierto G que contiene a p,se
tiene que <G - íp>) fl A ¿= (zi pero,como B contiene a A,entonces <6
- íp>) fl B ¿ s¿,pues (G - <p>) (1 B contiene a (G - <p>) D A.
En consecuencia,si p € A*,entonces p € B* y esto para todo p en
A',es decir: A' C B'.
A.2 CLAUSURA.
DEFINICIÓN ÍA.4): Sea A un subconjunto de un espacio topológico
<X,T).l_a clausura de A,denotada por A~, es la intersección de
PAG-99-
todos los subconjuntos cerrados de X que contienen a A, es decir:
A - = íl F¿, en donde F¿ es cerrado,y contiene a A.
PROPOSICIÓN <A.2>: Un subconjunto A de (X,T> es cerrado si y sólo
si A = A~.
D/: Si A es cerrado, entonces A contiene a fl F¿ = A~, pues la
clausura es el menor cerrado que contiene a A, pero como contiene
a A, es decir A - contiene a A, entonces A = A —.
DEFINICIÓN (A.5): Sea <X,T) un espacio topológico.Un punto p € X
es un punto de clausura o un punto de adherencia de un
subconjunto A de X,si y sólo si todo conjunto abierto G que
contiene a p intersecta a A.
TEOREMA (A.S): Sea (X,T) un espacio topológico y A un
subconjunto de X.Entonces A - = A U A*.
ü/i Como A C A~ y A~ es cerrado. A' C ( A - ) ' C A~ y,por
consiguiente,A U A' C A-.Ahora bien, puesto que A U A* es un
conjunto cerrado que contiene a A, se tiene que A C A~ C A U A'.
Por lo tanto. A - = A U A'.
PROPOSICIÓN (A.3): Sean A y B subconjuntos de X.Entonces,A C B
implica A~ C B~.
D/: Si A C B entonces por la proposición (A.1),A' C B" por lo que
A U A' C B U B*, y,por el teorema (A.S), tenemos que A~ C B~.
PROPOSICIÓN (A.*»)* El operador clausura que asocia a cada
PAG-100-
subconjunto A de X su clausura A - C X, verifica las cuatro
propiedades que se enuncian a continuación y que se conocen como
axiomas de clausura de KURATOWSKI:
( AK1 ) ¥T = * .
<AK2) A C A~.
<AK3) (AUB>~ = A~ U B~.
<AK¿t) <A~)~ = A~.
D/: (AK1) y (AK¿t) »4 y A~ son cerrados, por lo tanto son iguales a
sus respectivas clausuras.
(AKH) A C A U A' = A~ por el teorema <A.£).
(AK3) Como A C A U B y B C A U B,entonces,por la proposición
(A.3),A~ C (A U B ) ~ y B~ C (A U B ) ~ , de donde:A_ U B~ C (A U B>~
Ahora bien: (A U B) C (A~ U B ~ ) , que es un conjunto cerrado por
ser la unión de dos conjuntos cerrados.Entonces,(A U B) C (A U
B ) — C (A- U B~),pues (A U B ) - es el menor cerrado que contiene a
(A U B ) .
En consecuencia: (A U B ) ~ = A~ U B —.
TEOREMA (A-3): Sea X un conjunto no vacío y sea k un operador k:
P(X) — > PíX) que verifica los axiomas de clausura de KURATOWSKI:
(AK1) k<^) = ¿, (AKH) A C k(A>, (AK3) k(A U B) « k<A) U k(B),
(AK4) k(k(A)) = kíA).
Sea F la familia de todas las partes A de X tales que k(A) = A,y
sea T la familia de los complementos de los miembros de
F.Entonces T es una topologia de X y k(A> es la clausura de A
para cada parte A de X.
í)/i El axioma (AK1) muestra que el conjunto vacío pertenece a F y
PAG-101-
< AK^t) muestra que la unión de dos miembros de F está en F. Por
consiguiente,1 a unión de toda subfamilia finita (vacía o no) de F
es miembro de F, por (AK2),X C k(X),de modo que X = k(X) y la
unión de los miembros de F es,pues,X.
En virtud de un teorema que afirma: " Sea F una familia de
conjuntos tal que la unión de una subfamilia finita está en F y
la intersección de una subfamilia no vacía arbitraria, así como X
38 U Cf": f € F>, también pertenecen a F.Entonces,F es la familia
de los conjuntos cerrados de X con respecto a la topología
formada por todos los complementos de miembros de F " T
resultará ser una topología de X si podemos probar que la
intersección de los miembros de una subfamilia no vacía
cualquiera de F está en F.Si B C A, entonces k(B) C k(A), porque
k(A) = kC(A-B) U Bl = k(A-B) U k(B>.Supongamos que L es una
subfamilia no \/acía de F y que B *= O CA: A € L>.E1 conjunto B
está contenido en todo miembro de L, y por lo tanto k(B) C (1 {
k(A): A € L> = B.Como también B C k(B), se deduce que B « k(B) y
B G F.Esto prueba que T es una topología, y falta mostrar que
k(A) es A~, la clausura de A.
Por definición,A~ es la intersección de todos los conjuntos
cerrados,es decir, miembros de F que contienen a A.Por el axioma
<AK3),k(A> € F,de donde A~ C k(A), pero como A - G F y A - contiene
a A,se deduce que A - contiene a k(A>— y,por lo tanto,A- = k(A).
A.3 BASES V SUB-BASES DE UNA TOPOLOGÍA
DEFINICIÓN (A.6): Sea (X,T> un espacio topológico.Una clase B de
PAG-102-
subconjuntos abiertos de X (B C T),es una base de la topología T
si y sólo si todo conjunto abierto G € T es 1 a unión de elementos
de B.
TEOREMA <A.4>: Una familia B de conjuntos es base de alguna
topología del conjunto X = U < H: H € BJ, si y sólo si para cada
par de miembros U y V de B y cada punto p de U fl V,hay un W en B,
tal que p C W y W C U I l V .
D/: Si B es base de una topología,U y V están en B y p € U O V.
Entonces, como U O V es abierto, hay un miembro de B que contiene
a p y es parte de U fl V.
Sea B una familia con la propiedad especificada, y sea T la
familia de todas las uniones de miembros de B.La unión de
miembros de T es a su vez también unión de miembros de B y,por lo
tanto,está en T y sólo falta mostrar que la intersección de dos
miembros U y V de T está en T.Si p € U O V, entonces podemos
encontrar U* y V* en B tales que p C U C L T fl V* C U f l V.Por lo
tanto,U fl V es unión de miembros de B, o sea: T es una topología.
Si S es una clase cualquiera de subconjuntos de un conjunto no
vacio X,es posible que S no sea base de una topología de X.Sin
embargo,S siempre genera una topología de X,en el sentido
s iguiente:
TEOREMA (A.5): Si S es cualquier familia no vacía de conjuntos,la
familia de todas las intersecciones finitas de miembros de S es
base de una topología del conjunto X — U ÍHs H € S>.
D/: Sea B la familia de las intersecciones finitas de miembros de
PAG-103-
S.Entonces la intersección de dos miembros de B es también
miembro de B y,por el teorema (A.4),B es base de una topología.
DEFINICIÓN <A.7)s Un espacio topológico (X,T) es un espacio de
HAUSSDORF o un T2 espacio, si y sólo si,dados dos puntos
distintos cualesquiera a,b € X, cada uno pertenece a un conjunto
abierto y estos conjuntos abiertos son disjuntos.En otras
palabras:Existen conjuntos abiertos G y H tales que a € G, b € H
y G O H = »».
A.<t CONVERGENCIA DE SUCESIONES
TEOREMA (A.6): Si (X,T) es un espacio de HAUSSDORF, entonces toda
sucesión convergente de X tiene un límite único.
D/: Sea ía n^ u n a sucesión de puntos de X. Supongamos que (an>
converge a a y a b, y supongamos que a ¿= b . Como X es un espacio
de HAUSSDORF, existen conjuntos abiertos G y H tales que a € 6, b
€ H y G O H = fí.Por h ipótesi s ,ían> converge a a, luego existe un
n 0 € N, tal que n > n 0 implica a n € G y G contiene todos los
términos de la sucesión, excepto un número finito de ellos. Ahora
bien: G y H son disjuntos luego H solamente puede contener los
términos de la sucesión que no pertenecen a G, y estos términos
constituyen un conjunto finito.En consecuencia,<an> no puede
converger a b, luego a = b.
El recíproco del anterior teorema no es verdadero,a menos que se
agregue una condición más: El espacio X debe ser 1—contable, es
decir,que,para cada punto del espacio, existe una base local
PAG-104-
numerable,que no es otra cosa que una base del sistema de
entornos del punto, es decir, una familia de entornos de p tal
que todo entorno de p contiene algún miembro de esa familia.
TEOREMA (A.7): Sea (X,T) un espacio 1-contable.Entonces,1 as
siguientes proposiciones son equivalentes:
(i) X es un espacio de HAUSSDORF.
<ii) Toda sucesión convergente tiene un límite único.
£)/: (i) implica (ii) por el teorema anterior.
(ii) implica (i). Supongamos que (X,T) no es un espacio de
HAUSSDORF.Entonces existen a y b € X, a Je b, tales que la
intersección de todo conjunto que contenga a a con cualquier
conjunto que contenga a b rto es vacía.
Sean ahora ÍGn> y *Hn> bases locales encajadas en a y b
respec t i vamente. Entonces G n (1 H n ¿= & para todo n € N y,por
consiguiente,'ex iste una sucesión tan> tal que aj € Gj fl H j , ag €
G¿> O H¡s,...,an € G n fl H n. En consecuencia, ían> converge a a y a
b, lo cual es un absurdo. Luego X es un espacio de HAUSSDORF.
A.5 CONVERGENCIA M00RE-SM1TH
De estos dos últimos teoremas podemos concluir que la
convergencia de sucesiones permite caracterizar los espacios de
HAUSSDORF 1-contables.Es decir,que si nosotros pretendiéramos
caracterizar un espacio topológico general en términos de
convergencia tal como lo hicimos con el operador de clausura
(ver teorema <A.3)>,estaríamos forzados a abandonar la
PAG-105-
convergencia de sucesiones, pues éstas nos sirven para
caracterizar perfectamente espacios métricos o,a lo sumo,espacios
de HAUSSDORF 1-contables.
Se impone pues,la necesidad de desarrollar una teoría más general
de la convergencia.Este trabajo fué realizado por los
matemáticos E.H. HOORE y H.L. SMITH en 1922, fundamentados en
un trabajo previo de HOORE de 1915.
El objetivo de HOORE y SHITH era la construcción de una teoría
general del analisis.Sería BIRKHOFF en 1937 quien llevaría esta
teoría general de la convergencia a la topología.
Las definiciones y teoremas que vendrán a continuación ,
corresponden a la convergencia HOORE—SHITH.
DEFINICIÓN (A.8): Una relación binaria R dirige a un conjunto no
vacío D si:(l) m € D implica mRm, es decir: La relación es
reflexiva (2).Si m,n y P están en D,ver ificandose que mRn y nRp,
entonces mRp,es decir:La relación es transitiva.(3) Si m y n
están en D,entonces existe un p en D tal que pRm y pRn,es decir:
La relación satisface la llamada propiedad de la composición.
Un CONJUNTO DIRIGIDO es un par (D,R> tal que R dirige a D.
La propiedad de la composición se debe a HOORE y SMITH y es una
propiedad intrínseca de la convergencia, tal como lo demostró
HcSHANE en 1952.
DEFINICIÓN <A.9>: Una RED es un par (f,R>, tal que f es una
función arbitraria, y R dirige a su dominio.Las REDES también
reciben el nombre de sucesiones generalizadas, o sucesiones de
PAG-106-
MOORE-9MITH.
DEFINICIÓN (A.10): Sea <X,T) un espacio topológico.Consideremos
la red fs D — > X^ donde D es un conjunto dirigido por R.La red
<Zn> n € D (notación secuencial) se dice que converge al punto
límite Z € X (en símbolos Z n — > Z) si y sólo si,dado cualquier
abierto S que contenga a Z, existe un n 0 = n(S) tal que nRrip
implica Z n C S .
Por comodidad en la notación podemos simbolizar la relación R por
>= y asi hablaremos del conjunto dirigida (D,>—).
TEOREMA (A.8)s Un subconjunta S de X es abierto si y sólo si
ninguna RED de puntos fuera de S converge a un punto en S.
D/: Supongamos que S es abierto.Entonces cualquier red tZn> n € D
que converge a cualquier Z £ S,debe tener todo Z n con n >— n(s)
en S; por lo tanto la red de puntos fuera de S no puede converger
a un punto en S.Recíprocamente, supongamos que S no es abierto.
E"ntonces,por (AHE) , 1 a unión de sus subconjuntos abiertos debe
excluir ai menos un Z € S, y todo conjunto abierto Uj, que
contenga a este Z debe tener al menos un punto Z n fuera de S.
Ahora ordenemos los índices n por la regla "rij sigue a ng"
significa U nj C Un2»entonces por el álgebra de conjuntos, la
inclusión y (AH3), los índices formarán una red, y por
definición, Z n — > Z a cualquier conjunto abierto U n conteniendo
a Z asociado a n.Por lo tanto,existe una red de puntos fuera de S
que converge a un punto en S.
PAG-107-
TEOREMA (A.9): Un espacio topológico es de Haussdorff,si y sólo
si cada red en el espacio converge, a lo sumo a un punto.
U/i Si X es un espacio topológico de Haussdorff, y si n ¿ m y si
Zp — > n, entonces escogemos conjuntos abiertos disjuntos U
que contiene a n y V que contiene a m.Vemos que para todo p>=p0,
Zp € U,y por lo tanto,Zp no pertenece a V, y Z„ — > m es
imposible.
Esto es: Si X es un espacio de Haussdorff, entonces Z p — > n, Z p
— > m implica n = n» .Rec í pr ocamente, si X contiene puntos distintos
n y m cuyas vecindades se interceptan, entonces,ordenando a cada
par (U,V) de vecindades U de n y V de m usando la regla p >= p *
si y sólo si U C U* y V C V* y asignando a cada p cualquier Z D €
U n V, tenernos una red Z p que converge a n y a m.Esto es, si X
no es un espacio de Haussdorff, entonces Z p — > n, Z p — > nt no
implica n — m.
DEFINICIÓN (A.11): Un subconjunto B del conjunto dirigido D se
dice que es cofinal si y sólo si para cada pj € D existe un pg €
B que satisface pg >= P\-
fcn genera 1,cuaIquier subconjunto cofinal de un conjunto dirigido
es un conjunto dirigido.
DEFINICIÓN (A.12): Una subred de la red f: D — > X (en donde X es
un conjunto arbitrario) es la composición f o g, donde g: B — > D
es una función creciente y cofinal en D, esto es:
(i) Si q >= q 0 entonces g<q) >«= g(qD> (g es creciente)
(li) Para cada p £ D, existe un q € B tal que g(q> >= p.
PAG-108-
Para q € B, el punto -f o g (q) generalmente se escribe Z p q y
usualmente hablamos de la subred CZpq> de ÍZp>.Si g es la función
identidad de B en D y la segunda condición <ii) de la definición
se convierte en el requerimiento de que B sea cofinal en D.
Entonces tenemos obviamente que los subconjuntos cofinales son
una subred particular que tiene la ventaja de ser sencilla,
aunque,desafortunadamente,estos subconjuntos cofinales no son
adecuados para todos los propósitos.
No es difícil verificar que las dos propiedades siguientes de la
convergencia de redes son. válidas en cualquier espacio topológico
X .
(Pl) Si t2p> p € D es una red tal que Z p = Z para todo p,
entonces Z p, p € D;converge a Z.
(P£) Si tZp> p € D converge a Z; la misma propiedad tiene toda
subred tZpqJ de ÍZp>.
Un espacio topológico X que cumpla con las propiedades (Pl) y
(PH) y además con el teorema (A.8), es una extensión simple de la
definición de los espacios L de Fréchet.
TEOREMA (A.10): Sea (B,>=) un conjunto dirigido, y sea (Ep,>=p)
un conjunto dirigido asociado a cada p € B.Considérese la clase
de todas las funciones S: U <p> X E p , es decir, tales que S(p,q)
es un punto del espacio topológico X para cada p € B y q € E p .
Si Z p — > Z, lím S(p,q) = Z p (p fijo) y si B X w<E p: p € B> (en
donde el producto cartesiano iríEpi p € B> = tf: B — > U E p / f(p)
£ Ep> está dirigido por la convención (p,f) » <r,g) si y sólo si
p >= r y f(k) >=|,r g(k) para todo k € B. Entonces, S(p,f(p) ) =
PAG-109-
2 p — > Z.Es decir : liniplím-f Síp,-f(p)l * Z.
D/: Para cualquier vecindad U de Z, escogemos r € B tal que si p
>= r entonces Z p € U y para cada uno de tales p >= r escogemos
g(p> € E„ tal que para todo q >=pg<p) entonces S(p,q) € U.
Si p es un punto de B que no sigue a r,sea g<p> un elemento
cualquiera de E„.Si ahora (p,f) )> (r,g), entonces p >— r (por la
definición de ») y como -f(p) >=„ g(p >, entonces S(p,f(p>) € U, es
decir: líoiplínif S(p,f<p)) = Z.
TEOREMA (A.11): Z € E~ si y sólo si existe una red en E,{Zp> p€B
con Zp — > Z.
ü/i Si Z € E~, entonces toda vecindad U de Z intersecta a E al
menos en un punto Zv.Entonces la relación Vj <= Vg definida por
Ug C Uj dirige a B, en donde B es una base fija en Z, y Z v € U
para todo U € B.E1 resultado es una red Z v contenida en E la cual
converge a Z-
Rec: í procamente, s i <Zp> es una red contenida en E,que converge a Z
intersecta a E y por lo tanto Z € E~.
TEOREMA (A.12): Un espacio topológico X con la propiedad del
limite iterado (teorema A.10), es un espacio en el cual dado
cualquier A C X entonces A* es cerrado.
D/: Sea A arbitrario y A C X.Sea Z € (A')~.Entonces,por el
teorema anterior, existe una red en A", *^p* P ^ B,tal que Z -
linip Zp y Zp = lioiq Z„P por ser los Z p puntos de acumulación de
A. Entonces,por el límite iterado Z = líoiplíoiq Z„P, es decir:Z €
A' .
PAG-110-
En otras palabras,Z € <A'> implica Z € A', es decir: (A') — C A*.
Por lo tanto,A" es cerrado.
TEOREMA (A.13)! En un espacio topológico X, la red Z p — > Z si y
sólo si para toda subred Z ^ p ) de Z„, existe una subred Za(u(p))
de Z(p) tal que Zaiil(p)lt — > Z.
D/: Si Zp — > Z,entonces podemos tomar B = D y a(p(p)) — p(p) y
la subred arbitraria Z„(p) — > Z por (PE).Entonces,Za(„(pj) — >
Z.
Si ÍZ„> p € D no converge, a Z, entonces está frecuentemente en el
complemento de un entorno U de Z, y entonces, para un conjunto
cofinal B de D, la red tZ„(p)> p€B está en el complemento,pero es
claro que Zj,(p) es una subred de Z p que no posee ninguna subred
que converja a Z.
Como síntesis,se puede establecer que la convergencia de redes en
un espacio topológico satisface las siguientes cuatro
prop iedades:
(Pl) Si Zp = Z, para todo p € B, entonces Z p — > Z.
(P2) Si Z p — > Z,entonces toda subred de CZp> p € B converge a Z.
<P3) Si toda subred de <Zp> tiene una subred que converge a Z,
entonces la red ÍZpJ converge a Z.
(P4> (Limite iterado) Si Zp — > Z, Z„P — > Z p (p fi jo),entonces
Zf<p)P " > 2.
Como culminación de este proceso queremos caracterizar la
topología en términos de convergencia de redes.Es decir, si C es
una clase formada por pares <Y,Z) donde V es una red en X, y Z un
punto de X, ¿ cuándo hay una topología T de X tal que (V,Z) € C
PAG-111-
si y sólo si Y converge a Z con respecto a T ?.
Con lo que acabamos de ver acerca. de convergenci a,conocemos
varias propiedades que C debe cumplir o satisfacer si tal
topología existe.
Diremos que C es una clase de convergencia para X si y sólo si
satisface las propiedades < Pl ) , ( PS ) , ( P3 ) , y ÍP tl .Por conveniencia
diremos que V converge <C) a Z, o que lint Y„ & Z (C) si y sólo si
(Y,Z) € C.
(i) Si Y es una red tal que Y n = Z para todo r», entonces Y
converge (C) a Z.
<ii) Si Y converge (C) a Z, la misma propiedad tiene toda subred
de Y.
(iii) Si toda subred de Y tiene una subred que converge ( O a Z,
entonces la red Y converge.<C) a Z.
(iv) Si Y„ converge (C) a Z y Y„P converge <C) a Y p (p fijo),
entonces Y^(p)P converge (C> a Z.
Ahora demostraremos que toda clase de convergencia se deriva en
realidad de una topología.
TEOREMA (A.14): Sea C una clase de convergencia para un conjunto
X, y,para cada subconjunto A de X, sea k(A) el conjunto de todos
los puntos Z tales que, para alguna red Y en A, Y converge(C) a
Z.Entonces k es un operador de clausura,y <Y,Z) € C si y sólo si
Y converge a Z con respecto a la topología asociada con k (la
topología del teorema (A.3>).
1)/: Primero mostraremos que k es un operador de c 1 ausura. Como una
red es una función de un conjunto dirigido, y tal conjunto no es
PAS-11E-
vacío,por definición k(j4) es vacío.En vista de la condición (i)
para redes constantes,para cada punto Z de A hay una red Y que
converge <C> a Z, y por lo tanto A C k(A).Si Z € k(A) entonces,
por la definición del operador k„ Z € kíA U B).Por consiguiente,
k(A) C k(A U B) para todo conjunto B.Por lo tanto,k(A) U k(B) C
k(A U B).Para obtener la inclusión opuesta,supongamos que ÍZn> n
€D,es una red en A U B y que converge ( O a Z.
Si D A * ín: n€D & Y n € A > y D B - ín: n€D & Y n € B >, entonces D A
U Dg = D.Por lo tanto, ó D A ó Dg es cofinal en D, y por
consiguiente ó CY n, n€D^> ó <Y n, n€Dg> es una subred de ÍY n, n€D>
que también converge <C) a Z en virtud de la condición (ii).Por
lo tanto,Z € k<A> U k(B) y hemos probado que k(A) U k(B) = k<A U
B).Falta ver que k(k(A)> « k(A) y la condición (iv) es justamente
lo que hace falta.Si <-Tmf m€D> es una red en kíA) que converge
(C) a t, entonces para cada m de D hay un conjunto dirigido E m y
una red {Y(m,n),n € £„,> que converge <C) a Tm.La condición (iv)
exhibe entonces una red en A que converge ( O a t, y por
consiguiente t € k(A).Es decir, que k(k(A>) = k(A).
Queda por demostrar que la convergencia ÍC) es idéntica a la
convergencia con respecto a la topología T asociada al operador
k.Primero supongamos que €Yn,n £ D> converge (C) a Z y Y no
converge a Z con respecto a T.Entonces hay un entorno abierto U
de Z tal que Y no está eventualmente en U.Por lo tanto hay una
parte cofinal E de D tal que Y n € X — U para n en E.
Como <Y n, n € E> es una subred de Y, esta subred en X — U
converge (C) a Z por la condición (ii), por lo tanto,X - U ¿ k<X
— U) y U no es abierto con respecto a T, lo que es una
PAG-113-
contradicción.
Por último, supongamos que una red p converge a un punto r con
respecto a la topología T pero no converge (C) a r.Entonces
(iii), hay una subred €T m, m € D> , ninguna de cuyas subredes
converge <C) a r, y resultará una contradicción si construímos
una subred que converja.Para cada m de D, sea B m = (n: n€D y n >=
m> y sea A m el conjunto de los T n con n en Bm.Como ÍTm,m € D>
converge a r con respecto a T, r debe estar en la clausura de
cada Agjj.Por consiguiente, para cada m de D hay un conjunto
dirigido E m y una red {UCm,n), n € Ero> que converge <C) a r.
Apliquemos ahora la condición (iv) de las clases de convergencia.
Si R(m,-f) = <m,f(m>) para cada <m,f") de D X TKE m, m€D> , entonces
1 o U o R converge (C) a r. Además,si p >= n, entonces U o R(p,f)
= U(p,f(p>) € B m; es decir, U o R(p,f) >- m. Se deduce que T o U
o R es una subred de T, y queda demostrado el teorema.
PAG-114-
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TESIS DOCTORAL
CARACTERIZACIÓN TOPOLOGICA DE LOS
SISTEMAS BASADOS EN REGLAS DE PRODUCCIÓN
POR
LUIS E. MUÑERA
MATEMÁTICO POR LA UNIVERSIDAD DEL VALLE
MASTER EN INFORMÁTICA POR LA U.P.M.
PRESENTADA EN LA
FACULTAD DE INFORMÁTICA
DE LA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
PARA LA OBTENCIÓN DEL
GRADO DE DOCTOR EN INFORMÁTICA
MADRID,ABRIL DE 1988
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
FACULTAD DE INFORMÁTICA
TESIS DOCTORAL
CARACTERIZACIÓN TOPOLOGICA DE LOS
SISTEMAS BASADOS EN REGLAS DE PRODUCCIÓN
POR
LUIS E. MUÑERA
MATEMÁTICO POR LA UNIVERSIDAD DEL VALLE
MASTER EN INFORMÁTICA POR LA U.P.M.
PRESENTADA EN LA
FACULTAD DE INFORMÁTICA
DE LA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
PARA LA OBTENCIÓN DEL
GRADO DE DOCTOR EN INFORMÁTICA
MADRID,ABRIL DE 1988