Quiz Online#3 Matematika Teknik 2 (TKM 2104)

NAMA : Arief Faqihudin NIM : 13/351075/TK/41270

1. Integralkan persamaan berikut pada sebuah unit lingkaran (pusat 0 dan r = 1) dengan arah

berlawanan arah jarum jam.

a)

Penyelesaian :

Dari persamaan turunan fungsi analitis, didapat :

𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 𝑧, 𝑧0 = 0 dan 𝑛 = 3

Sehingga,

𝑓 𝑛 𝑧0 = −𝑐𝑜𝑠 0 = −1

Maka,

𝑠𝑖𝑛(𝑧)

𝑧4𝑑𝑧

𝑐

=2𝜋𝑖(−1)

3!

= −𝝅𝒊

𝟑

b)

Penyelesaian :

Penyelesaian soal ini masih sama seperti nomor (a) yakni dengan persamaan fungsi analitis,

didapat :

𝑓 𝑧 = 𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑧, 𝑧0 =𝜋

4 dan 𝑛 = 2

Kemudian,

𝑓 𝑛 𝑧0 = −2𝑒𝜋

4 𝑠𝑖𝑛𝜋

4= −3,1

Sehingga hasil akhir :

𝑒𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝑧

𝑧 −𝜋

4

3 𝑑𝑧 =2𝜋𝑖(−3,1)

2!

= −𝟑,𝟏𝝅𝒊

2. Tentukan nilai integral pada fungsi bilangan kompleks pada kurva berikut:

a)

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan integral Chaucy (Chaucy’s Integral Formula) didapat,

𝑓 𝑧 = 𝑧 + 2, 𝑧0 = 2

Sehingga,

𝑧 + 2

𝑧 − 2𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 2 + 2

= 𝟖𝝅𝒊

b)

Penyelesaian :

Fungsi diatas tidak merupakan fungsi analitis pada 𝑧0 = 𝑖 (lintasan 𝑧 − 𝑖 = 1,4), sehingga

untuk mempermudah perhitungan fungsi diatas harus dipisahkan menjadi 𝐿𝑛(𝑧+1)

(𝑧+𝑖)(𝑧−𝑖), dengan

dua buah penyelesaian ;

1. 𝑓 𝑧 = 𝐿𝑛 (𝑧+1)

(𝑧−𝑖),𝑧0 = −𝑖 berada di luar kurva

Maka, dari persamaan integral cauchy,

𝐿𝑛 (𝑧 + 1)

(𝑧 − 𝑖)

1

(𝑧 + 𝑖)= 2𝜋𝑖

𝐿𝑛 (𝑖 + 1)

−2𝑖

= −𝝅 𝑳𝒏(𝒊 + 𝟏)

2. 𝑓 𝑧 = 𝐿𝑛 (𝑧+1)

(𝑧+𝑖),𝑧0 = 𝑖

Maka, dari persamaan integral cauchy,

𝐿𝑛 (𝑧 + 1)

(𝑧 + 𝑖)

1

(𝑧 − 𝑖)= 2𝜋𝑖

𝐿𝑛 (𝑖 + 1)

2𝑖

= 𝝅𝑳𝒏(𝒊 + 𝟏)

3. Buktikan, apakah :

Penyelesaian :

Dari definisi integral garis kompleks,

𝑆𝑛 = 𝑓(𝜁𝑚 )∆𝑧𝑚𝑛𝑚=1 , dimana ∆𝑧𝑚 = 𝑧𝑚 − 𝑧𝑚−1

Yang mana limit dari deret bilangan kompleks 𝑆2 ,𝑆3 ,… pada lintasan tertutup C adalah

integral garis

𝑓 𝑧 .𝑑𝑧

Sedangkan dari pertidaksamaan segitiga,

𝑧1 + 𝑧2 ≤ 𝑧1 + 𝑧2

Dapat diperoleh pertidaksamaan

𝑆𝑛 = 𝑓(𝜁𝑚 )∆𝑧𝑚

𝑛

𝑚=1

≤ 𝑓(𝜁𝑚 ) ∆𝑧𝑚

𝑛

𝑚=1

Oleh karena itu, limit dari deret diatas dapat didapatkan

𝒇 𝒛 𝒅𝒛 ≤ 𝒇(𝒛) 𝒅𝒛

CATATAN: 1. Pengumpulan hanya dilakukan melalui ELISA sesuai kelas dan waktu yang sudah ditentukan. 2. Gunakan format ini untuk menjawab.

3. Tuliskan langkah detailnya dalam menjawab semua soal.