quevedo - captulo 4

5/14/2018 Quevedo - Captulo 4 - slidepdf.com

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Capftulo 4

A CORRENTE,ELETRICA

lniciamos 0 capitulo conceituando forca eletromotriz, mostrando como e criada a

diferenca de potencial nas pilhas, baterias e geradores. A seguir analisamos a corrente

eletrica e a lei de Ohm, surgindo entao 0 conceito de resistencia, Postulando a conservacao

da carga eletrica chegamos a chamada equacao da continuidade, que e aplicada a alguns

casos de geometria simples. Finalizando 0 capitulo, apresentamos 0 conceito de resistencia

de aterramento de uma instalacao eletrica e 0 princfpio de funcionamento do microfone deresistencia variavel.

4 . 7 - F O R9A E LE TR OM O T R IZ

o nome nao e apropriado, mas a tradicao ja nao perrnite que seja alterado. Na rea-

lidade, de forma analoga que a diferenca de potencial, trata-se de urn trabalho por unidade

de carga. A necessidade do conceito surge ao observarrnos que urn campo eletrico coulom-

biano agindo sozinho cria corrente eletrica, mas nao a consegue manter. Assim, se injetar-

mos cargas no interior de urn bloco condutor, a repulsao mutua vai produzir movimento de

cargas ate que estas alcancem a superffcie, mas este sera urn fenomeno apenas transit6rio,

consequencia da lei de Coulomb. A energia que produz este movimento e a energia poten-

cial do sistema de cargas injetadas no condutor. Ja 0 que ocorre em uma pilha eletrica ou

bateria nao e 0 mesmo. E~terior hiuma rea~~()_quimica que fomece a energia para

criar a corrente eletrica, Esta rea<;fu)Cri~~afo;:p que ~~purra-as-cargaspoSltlVaS para

o polo.positive da.pilhaepuxa as.cargas negativasparaopolo negauvo. Esta ferca de

origern-qutmica provoca uma separacao de cargas que cessa~-~ifatIl:l0 seu valor e

igualado pela repulsao coulombiana das cargas que sao levadaspara o~_P91~~.=-_---

Ocampo coulombiano e semelhante ao campo de urn dipolo, existindo dentro e fora

da pilha. 0 campo da reacao quimica e chamado de E' e existe somente no interior da

pilha. Os p6los se comportam como as placas de urn capacitor carregado.

2 - 1 - 6



o trabalho realizado por E' desde 0 polo negativo (2) ate 0 polo positivo (1) recebe

o nome de forca eletromotriz (fem):

fem = f if '.deo trabalho realizado pelo campo coulombiano independe do caminho e e a diferenca

de potencial (ddp):

ddp = r if .deObservar que a forca eletromotriz e a causa do fenomeno e a diferenca de potencial

e a consequencia. Primeiro surgiu E', depois surgiu E. A separacao de cargas cessa quando

E = E' no interior da pilha. Observar ainda que a fem e positiva de 2 para 1, e a ddp epositiva de I para 2, valendo apos 0 equilfbrio, que e rapidamente atingido:

[em (de 2 para 1) = ddp (de 1 para 2)

Se agora fecharmos 0 circuito extemo teremos movimento continuo de cargas en-

quanta existir a reacao que cria E'. A energia necessaria ao movimento provem desta

reacao.

Ha outras formas de conseguir a energia para a separacao de cargas provocada pela

forca eletrornotriz, ou seja, ha outras fontes de fem. A mais utilizada e a de origemmagnetica onde a forca de Lorentz F = q vxB obriga a separacao de cargas em urn fio

condutor que se move ortogonalmente as linhas de campo. Assim ocorre nos geradores das

usinas hidroeletricas como se ve na figura a seguir.

247



x x x

B

x

x

x

x

FIG. 4.2

B

x

x

o chamado par termoeletrico e constituido de dois metais diferentes mantidos a di-

ferentes temperaturas onde e conseguida a forca eletromotriz de origem termica.

Nas celulas solares a forca eletromotriz e obtida da energia radiante do sol incidindo

em uma juncao pn semelhante as dos diodos. Assim e gerada a energia que alimenta os

transrnissores de ondas radioeletricas dos satelites de comunicacoes.

Nos cristais piezoeletricos a pressao mecanica gera a forca eletromotriz; assim funcio-

nam os rnicrofones piezoeletricos e alguns acendedores de gas. A reciproca do fenomenoe verdadeira, sendo ela 0 principio de funcionamento dos pequenos alto- falantes usados em

rel6gios.

Nos navios ha equipamentos chamados de ecobatfrnetros que medem a profundidade

do mar pela transmissao na agua de ondas de ultra-som criadas pel a ressonancia mecanica

de cristais piezoeletricos, ao receberem tensoes eletricas altemadas. A recepcao do eco

proveniente do fundo do mar e feita pelo mesmo cristal que agora recebe excitacao meca-

nica e ressoa eletricamente, ou seja, seus dipolos acompanham a frequencia de ultra-som.

Outra especie de forca eletromotriz e aquela obtida nos semicondutores dopados onde

o material n tern eletrons livres e 0 material p tern ausencia de eletrons, embora ambos

sejam neutros. Se esses materiais pen forem colocados juntos havera uma tendencia

natural dos eletrons de n passarem para 0 lado p. Esta tendencia e analoga ao que ocorre

com gases diferentes que sempre tern facilidade de se rnisturar. No caso de solucoes lfqui-

das a diferenca de concentracoes produz 0 mesmo fenomeno que e chamado de osmose. Na

juncao pn 0 trabalho realizado pelo campo que produz a separacao de cargas e chamadode forca eletromotriz de difusao, Este campo de difusao atua como 0 campo E' no interior

da pilha, sendo entao a causa da separacao de cargas na juncao pn. Porem essas cargas

criam urn campo coulombiano para anular 0 campo de difusao e 0 equilfbrio se estabelece.

Se ligarmos uma fonte extema cujo campo venha a reforcar 0 campo de difusao, dizemosque a juncao foi polarizada diretamente e havera passagem de corrente. Se a fonte extema

for invertida, seu campo vai contrariar 0 campo de difusao; a polarizacao e dita inversa e

nao havera corrente. Esta e uma breve ideia de como funciona 0 diodo sernicondutor.

2 - 1 - 8



4.2 - C O RR EN TE E LE TR IC A

Para visualizar a corrente eletrica vamos fechar 0 circuito da pilha com urn condutor

que acompanhe 0 formato das linhas do campo eletrico conforme se ve na figura.

rI,

FIG,4,3

A intencao e que 0 aluno veja a corrente eletrica sendo criada pelo fato de existir

campo eletrico dentro do.condutor, empurrando as cargas livres positivas do polo positivo

para 0 p610 negativo. -Quem produz 0 movimento de cargas e 0 campo coulombiano queja existia no espaco e agora ao encontrar as cargas livres do condutor lhes entrega sua

energia. Cada carga que sai dos p610s pelo circuito extemo e logo recolocada pela forca

eletromotriz que age no circuito intemo. 0 fen6meno e analogo ao da queda livre de urn

corpo, onde dizemos que sua causa e a forca newtoniana da gravidade. Na pilha, a causa

do movimento extemo e a forca coulombiana do campo eletrico; a causa do movimento

intemo e a forca de origem qufrnica.

Observar que a pilha trabalha entregando carga em urn p610 e recebendo no outro, nao

havendo nenhum fomecimento de excesso de carga ao circuito. As cargas que se movimen-

tam sao apenas os eletrons livres do material que estao na banda de energia chamada debanda de conducao. Ao lado de cada eletron livre em movimento esta 0 atomo positivo

parado, de modo que urn condutor percorrido por corrente e urn corpo descarregado, ou

seja, seu mimero de eletrons (alguns em movimento) e igual ao seu mimero de pr6tons.

Vamos ainda mostrar que 0 movimento dos eletrons livres no condutor extemo se faz

com atrito, de forma semelhante a uma queda no ar onde a forca de resistencia do ar nao

permite que a velocidade ultrapasse certo limite. Nos condutores chamados de lineares a

forca de atrito e proporcional a velocidade, sendo entao 0 movimento de cada carga q, com

massa m, regido pela seguinte equacao diferencial:

dvEq - Kv = m

dt

249

-~



i=

(nq) (A£)

t

No imcio do movimento a velocidade venula e 0 campo E atua sozinho acelerando

as cargas. Imediatamente surge a forca de atrito Kv que reduz a aceleracao. Logo em

seguida essas forcas se igualam e 0 movimento dos eletrons livres fica uniforme com a

velocidade limite:

qv=--EK

Observar que a velocidade das cargas m6veis depende linearmente do valor do campo

eletrico no interior do condutor. A constante de proporcionalidade e chamada de mobili-

dade !l do material:

v = IlE

A seguir alguns valores de mobilidade de condutores:

Cobre 0,0033

Prata 0,0052

Alumfnio 0,0014

A essencia da lei de Ohm ja pode ser observada, pois, se dobrarmos a tensao da pilha,

dobra 0 campo eletrico, dobra a velocidade das cargas m6veis, dobrando entao a taxa de

escoamento de cargas que e a corrente eletrica. Podemos entao deduzir a lei de Ohm,

chamando de:

V tensdo da pilha

A seciio reta do fio

£ comprimento do flo

corrente eletrica

n n" de eletrons livres par ni' do condutor

/('/1'."0 para uma carga percorrer a fio

q carga do eletron

A corrente eletrica e dada pela razao entre a quantidade de carga livre (nq) no volume

do fio (A£) e 0 tempo de escoamento:

Substituindo £ It pela velocidade, vern:

i= nqAv

Substituindo a velocidade em funcao do campo eletrico temos:

i= nqA!lE

Lembrando que:

v - Ef

250



Vern:. A Vz = nq 11--

e

Ou~

V= ---- i= RiIlqnA

Onde a resistencia, cuja unidade e ohm (Q), vale:

eR=---

e

Onde definimos a condutividade por:

A unidade de condutividade e siemenlm ou mho/m (U/m). 0 inverso da condutivi-

dade e a resistividade medida em Qm.

Exemp/o 4.2- 7

Calcular 0 mimero n de eletrons livres em urn metro ciibico de cobre, sabendo que

ele e 10 vezes mais pesado que a agua e que ha urn eletron livre em cada atomo de cobre.

sotucao:A massa de 1 m3 de cobre sera entao igual a 10 toneladas ou 10 milhoes de gramas.

Lembrando que na massa molecular do cobre (64g) 0 mimero de atomos e igual ao ntimerode Avogadro, vern:

n=10 X 106g

64gX 6 X 1023 = 9,4 X 1028 eletrons liorestm)

Exemp/o 4.2-2

Calcular a condutividade do cobre a partir de sua mobilidade (0,0033), da carga dos

eletrons (1,6 x 10-19) e da concentracao de eletrons livres (9,4 x 1028).

sonicao:

G = Ilqn = 0,0033 X 1,6 X 10-19 X 9,4 X 1028 = 5 X 107u/m

Suponhamos agora que 0 fio ligado it pilha nao acompanhe as linhas de campo e que

o circuito tenha curvas entre 0 p6lo positivo e 0 negativo. A pergunta que surge e comoocampo se acomodara de modo a obrigar as cargas livres a seguir 0 fio condutor. A

resposta e que as primeiras cargas que atingirem essas curvas vao tentar sair do condutor

e vao estacionar na superffcie obrigando as cargas seguintes, por meio de forca coulombiana,

251

a J .....



a seguir 0 caminho no interior do fio. As cargas positivas (falta de eletrons) e negativas

(excesso de eletrons) ficam paradas convenientemente na superffcie do condutor de modo

que 0 campo eletrico resultante delas e das cargas que estao nos poles se tome paralelo ao

eixo do fio. As curvas representam pequenas capacitancias que precisam ser carregadas

para a corrente prosseguir.

o fio com 0 qual estamos fechando 0 circuito, apesar de ter resistencia, nao sera

normalmente chamado de resistor. Para receber este nome e necessario que 0 material tenha

poucos eletrons livres e ofereca grande atrito ao movimento das cargas, isto e, deve ter alta

resistividade.

Vejamos 0 que ocorre se fecharmos 0 circuito com urn fio de cobre e urn resistor. No

cobre ha muitos eletrons livres e pouco atrito sendo entao muito pequeno 0 valor do campo

necessario ao movimento. As primeiras cargas pereorrem 0 cobre com faeilidade e encon-

tram grande atrito ao atingir 0 resistor. Vao, entao, se acumulando na entrada (eargas

positivas) e na safda (eargas negativas) do resistor ate que seja eriado urn campo suficien-

temente intenso para veneer a forca de atrito imposta pelo resistor.

FIG. 4.5

"= E C = Ri = _.__ icr A



Ocampo eletrico no interior do cobre e desprezado em presenca do campo no resistor.

A ddp no resistor e 0 produto deste campo pelo seu comprimento. A presenca das cargas

estacionadas nas fronteiras entre 0 resistor e 0 cobre obriga a presenca de uma capacitancia

no circuito equivalente.

++

FIG. 4.6

Observar que esta capacitancia e pequena pois a distancia entre as placas e grande.

Sua influencia e normalmente desprezada exceto em altas frequencies.No intervalo de tempo em que 0 acumulo de cargas esta se formando, nao e valida

- .onhecida lei das correntes de Kirchhoff, pois na fronteira do cobre com 0 resistor entra

_~::-gae nao sai carga. Em regime permanente a quanti dade de carga estacionada nao varia

~ corrente no cobre e igual a corrente no resistor. Para compensar 0 pequeno mimero de

_c-_~onsivres que tern 0 resistor, eles precisam ter maior velocidade do que ados eletrons

-~, do cobre. Esta maior velocidade resulta em maior atrito e maior aquecimento.

A transformacao do trabalho de atrito em calor e 0 conhecido efeito Joule. A potencia

~~ ser calculada por:

p = _t_ra_b_a_lh_o_ Fe = Eqe = EC _!!_ = Vi = Ri2

tempo t t t

~ ~ - DENS /DADE DE CORRENTE

Enquanto 0movimento de cargas ocorre dentro de fios, 0 conceito de corrente eletrica

~ suficiente para definir a taxa de escoamento de cargas. No entanto, se tivermos uma

:orrente com distribuicao volumetric a como a mostrada na figura da pagina seguinte, onde

ernos dois pequenos eletrodos imersos na agua, vamos precisar da densidade de corrente

~ara especificar 0 movimento de cargas em cada ponto do espaco.

253



~ i v

-,~+

/

FIG. 4.7

Para definir a densidade de corrente J imaginamos urn filete de corrente di atraves-

sando uma secao reta dS:

J = _!!i_dS

Para ca1cular a corrente eletrica saindo do eletrodo positivo fazemos a integral de

superffcie envolvendo este eletrodo:

A densidade de corrente admite outra interpretacao, em funcao da velocidade e da

densidade qn de cargas m6veis:

J = _!! j_ = dq/dt = dq/dt X ~ = _dq;::__ X _ d _ f _ , = qnv

dS dS dS d e a s a s dt

Com este resultado podemos confirmar que no resistor de urn circuito a velocidadedos eletrons livres e maior do que no fio de cobre, onde a velocidade e ate bern pequena,

como se pode constatar no exemplo seguinte.

Exemp/o 4.3-7

Urn fio de cobre de 1 rnrrr' de secao e percorrido por corrente de 1 ampere. Ca1cular

a velocidade dos eletrons em movimento.

SO/UC;XJO:

iJ---- -

A

lA=

lA

254



J 106

V =-- = =6,6 x 1 D - sm/s

nq 9,4 x 1028 X 1,6 X 10-19

De onde concluirnos que cada eletron leva horas para percorrer 1 metro do fio. Fique

claro que a velocidade de propagacao das correntes e muito maior, analogamente a umafileira de bolas de bilhar onde, batendo na primeira, a ultima logo se move. Mais adiante

provaremos que a velocidade da corrente e a mesma da onda eletromagnetica que envolve

o fio, ou seja, e a velocidade da luz.

4.4 - L E I V E T O RIA L D E O H M

Nas distribuicoes nao-uniformes de correntes conforme a da figura 4.7, toma-se ne-

cessaria uma visao pontual da lei de Ohm. Consideremos urn pequeno volume (Ae) do

condutor de condutividade o, onde vale a lei de Ohm:

V R· e .

= 2=--2crA

ou

ou ainda

c rE = _i_ = JA

Observando que J e E representam vetores que tern mesma orientacao, temos a lei

vetorial de ohm:

J = crE

A condutividade e uma caracteristica de cada material que depende do seu mimero deeletrons livres e do coeficiente de atrito tentando frear a corrente eletrica. A seguir uma

tabela de condutividades.

MATERIAL

Cobre

Prata

Ferro

Vidro

Madeira

Agua do marAgua destilada

Terra

Quartzo

CONDUTIVIDADE CUlM)

0,57 x 108

0,68 X 108

0,11 X 108

10-10

10-8

510-4

10-2

10-17

255



5,32 g/cm'

72,6

0,38 m2j(s volt)0,18 m2j(s volt)

4 C/m3

4 C/m3

4,4 x 1028

2,24 U/m

Os materiais de alta condutividade sao os bons condutores; os materiais de baixa

condutividade sao os isolantes. Os materiais chamados de semicondutores tern condutividade

intermediaria entre ados bons condutores e ados isolantes. Muitos metais, tais como alumfnio,

merciirio e chumbo, sao chamados de supercondutores quando mantidos a temperaturas pr6-

ximas de zero absoluto, onde a agitacao termica e quase nu1a, nao havendo entao forca de

atrito freando os eletrons 1ivres. Sua condutividade e da ordem de 1025 U'm.

4.5 - S E M I C O N D U T O R E S

Os principais materiais semicondutores sao 0 Silicio e 0 Germanic, ambos utilizados na

fabricacao de diodos, transistores e circuitos integrados. Os dois sao elementos tetravalentes

(quatro eletrons na ultima camada, todas em ligacao covalente, 0 que leva a quase inexistencia

de eletrons livres). Experimentalmente observa-se que a temperatura de 27° Cern cada grupo

de 7 x 109 eletrons nas ligacoes covalentes do Germanic temos apenas 1 eletron livre. Para

o Silicio sao necessaries 2,9 x 1012 eletrons de valencia para que 1 esteja livre.

Nos semicondutores quando urn eletron se libera da ligacao covalente deixa em seu

1ugar urn vazio que e chamado de buraco ou lacuna. Se aplicarmos uma tensao ao semi-

condutor os eletrons livres caminham em urn sentido e os buracos carninham em sentido

oposto. A seguir vemos algumas propriedades do Silicio e do Germanic.

SILicIO GERMANIO

Densidade

Peso atomico

Mobilidade de eletrons ( 1 - 1 )Mobilidade de buracos (!l)

Densidade de carga (eletron)

Densidade de carga (buraco)

N° de Atomos por m3

Condutividade

2,33 g/cm'

28,1

0,13 m

2

j(s volt)0,05 m2j(s volt)

0,011 C/m3

0,011 C/m3

5 x 1028

0,0198 U/m

Nos metais 0 aumento de temperatura aumenta a resistencia eletrica em virtude da

agitacao termica fazer crescer a forca de atrito freando os eletrons livres. Nos semicondu-

tores 0 aumento de temperatura faz baixar a resistencia em virtude da energia termica

ajudar alguns eletrons a se liberarem da ligacao covalente, aumentando 0 mimero de ele-

trons livres. Esta propriedade permite 0 uso de alguns tipos de semicondutores (CuO,

ZnO, Ag2S) na fabricacao de termistores, cuja resistencia cai com a temperatura. Se

adicionarmos urn elemento pentavalente a urn semicondutor teremos mais urn eletron livre

em cada atomo adicionado, 0 que aumenta bastante a condutividade do material. Dizemos

que 0 sernicondutor e agora do tipo n (de negativo). Se 0 elemento adicionado e trivalentea condutividade tambem aumenta, pois teremos urn acrescimo de 1 buraco em cada atomo

adicionado. Este semicondutor e entao chamado de tipo p (de positivo).

Exemp/o 4.5-7

Calcular 0 valor da condutividade do Silfcio a partir dos dados da tabela anterior,

lembrando que os portadores de carga sao os eletrons livres e tambem os buracos.

256



sotucao:

(J = fleqn + flbqn = 0,13 x 0,011 + 0,05 x 0,011 0,0198 U/m

4.6 EQUA9AO DA CONTINUIDADE

o titulo desta secao vern da ideia de que acarga eletrica nao pode ser criada nem pode

desaparecer; ela simplesmente existe e pode ser transportada, mas nunca sofre descon-

tinuidade em sua existencia. Observar que nao se pode dizer 0 mesmo da massa, pois a

Relatividade mostra que ela pode desaparecer transformando-se em energia, segundo a

relacao de Einstein:

Energia = me 2

Para chegarmos a equacao da continuidade da carga eletrica vamos imaginar urn

excesso de carga positiva injetada no interior de urn material condutor.

Estas cargas se repelem mutuamente e VaG buscar uma posicao de equilibrio na

superffcie do condutor. Chamando 0 excesso de carga contido no volume tracejado de qtt),

vemos que a corrente saindo deste volume sera dada pelo decrescimo de sua carga:

d f - -= - - q(t) = J .d S

d t

Chamando de p a densidade de carga, vern:

d f f - -= - -- pdv = J .d Sd t

Fazendo constante 0 volume tracejado na figura, vern:

257



FIG. 4.9 +++

J - - J a pJ .dS = ( - - ) dv

a t

Mas 0 teorema da divergencia da:

Comparando, temos a equacao da continuidade:

Seu significado e que para divergir densidade de corrente de urn ponto tern de haverurn decrescimo na densidade de carga deste ponto. Por esta equacao logo vemos que a lei

das correntes de Kirchhoff nao e valida no caso da figura a seguir, onde 0 fio em que estava

passando corrente e repentinamente cortado.

+++

As cargas continuam a escoar e se acumulam na extremidade do fio atendendo a

igualdade:- a p

- V . J= +--a t

A corrente so vai se anular quando a repulsao das cargas estacionadas for suficien-

temente grande para nao permitir a entrada de mais uma carga positiva. Durante este

fen6meno transitorio a corrente chega a extremidade do fio e nao sai, nao valendo entaoa lei de Kirchhoff.

Vamos agora mostrar que a duracao deste fen6meno e muito pequena nos bons

condutores, sendo esta a razao de dizermos que a corrente se anula quase instantaneamente

ao cortarmos 0 fio. Vamos resolver a equacao da continuidade no interior de urn meio

homogeneo de permissividade £ e condutividade 0, injetando nele uma densidade de carga

P o no instante t = O . Queremos saber a densidade pet) em urn instante qualquer, no mesmo

ponto onde 0 excesso de carga foi lancado, Como so temos variacao com 0 tempo a

derivada parcial se transforma em total:

V . s = -!!£_d t

258



Lernbrando das relacoes:

V, jj = P

J = aE

D = £E

Podernos ficar com urna equacao apenas em p:

_ - jj a - a dpV . J = V.a E = V.a - = - V . D = - p = - - -

£ £ £ d t

ou

dp a-=--dt

p £

Integrando, vern:

P afn--=---t

P o e

ou

Resultado analogo obternos se urn excesso de carga q 0 for colocado em urn pontoqualquer do condutor, podendo ser inclusive na superffcie.

FIG. 4.10

/..,..-_ . . . . . . . . . . . . . . . .

/ ,

q o

, . .: .• .~,

. dqZ=---=

dtf - - J - - J D - a J.dS = aE.dS = a--. dS =-

£ £

- - aD.dS = - q

e

259



P s (t)=

Ps(0)

(J

e-~t

Donde

dq c r-=--dtq £

Integrando, vern:

q c re n --=---tq o e

Se esta carga for colocada em uma pequena area A da superffcie do condutor, bastadividir por A e temos:

Assim vemos que a resposta natural de urn material a uma perturbacao eletrica de-

pende da condutividade e da perrnissividade. A razao £/a e chamada de constante de tempo.

Neste intervalo de tempo a densidade de carga cai a 37% de seu valor inicial. A constante

de tempo dos bons condutores e muito pequena, indicando uma resposta quase instantanea.

Para os isolantes, como por exemplo 0 quartzo, a resposta natural leva horas para ser

atingida. Observar que, mesmo durante 0 fen6meno transitorio, so existe excesso de carga

no interior do condutor, no local onde ela foi injetada. Nos demais pontos interiores 0

excesso vale zero.

Exemp/o 4.6-7

Uma esfera metalica de raio a esta imersa no centro de uma esfera de agua destilada

de raio b. Em t = 0 uma carga de valor qo esta na superficie do metal. A perrnissividade

da agua vale 80co e a condutividade vale 10-4 U /m. Calcular a constante de tempo dofen6meno e a corrente i(t) na agua,

Soiuoao:

e

o

80£_ 0_

10-4

80 x 8,85 X 10-12

10-4= 7 microssegundos

dq o (J

itt) = - - = q _ e -Et

dt ° £

.260



Com este resultado podemos dar uma nova interpretacao para a constante de tempo.

Basta calcular a corrente inicial:

i(O) = q ~o f

E observar que, se a corrente se mantivesse constante neste valor inicial, em apenas

uma constante de tempo !1t = £/0 toda carga qo teria escoado para a superffcie da agua:

a f

carga = i(O) M = (q -) (-) = qo f a 0

o mesmo ocorre em urn capacitor com tensao inicial Vo ao se descarregar com

constante de tempo RC:

carga = i(O) M = ( Vo ) (RC) = CV = q

R O O

Onde vemos que se 0 fenomeno fosse linear em lugar de exponencial, ele terminaria

em apenas uma constante de tempo em vez de terrninar em cinco constantes de tempo.

A analise da equacao da continuidade nos mostra que a reacao dos materiais condu-

tores (e qualquer material conduz) a uma excitacao eletrica e uma exponencial. Cessado 0

fen6meno transit6rio as cargas correram para a superffcie e 0 campo eletrico se anulou no

interior do material. No entanto, se a excitacao se mantiver sob a forma de uma fonte de

tensao continua em circuito fechado, teremos, ap6s 0 transit6rio, corrente continua com a

presenca de campo eletrico. A equacao da continuidade nos conduz, em urn meio homo-

geneo, onde podemos tirar 0e £ de dentro do divergente:

D a - a dpV. J = V.aE = V.a -- = - - V.D = - - P = - - -

e e e dt

Porem, ap6s 0 termino do transit6rio, nao ha mais variacoes e temos:

dp-=0d t

donde p = 0

A interpretacao e que em regime permanente de corrente continua (tambem chamado

de corrente estacionaria) nao ha acumulo de carga p no interior dos materiais homogeneos,

isto e, a cada eletron livre em movimento corresponde urn atomo ionizado positivamente

que ficou parado; em qualquer elemento de volume do interior de urn fio, percorrido por

corrente continua, 0 mimero de eletrons e igual ao mimero de pr6tons, resultando:

v. J = 0

Aplicando 0 teorema da divergencia, temos a lei das correntes de Kirchhoff:

261



Uma gaussiana envolvendo urn no de urn circuito de corrente continua prova que a

corrente entrando e igual it corrente saindo:

f J.d S = 0 = - i + i, + i2

~------. . . . .// . . . . .,/ "-II

I

I

FIG. 4.11

E claro que durante 0 transitorio 0 divergente de j nao e zero, pois as cargas estaraose acumulando nas fronteiras, nao sendo entao valida ainda a lei das correntes de Kirchhoff.

Se estivermos trabalhando com corrente altemada, as variacoes senoidais sao permi-

tidas. Admitindo uma densidade pet) variando senoidalrnente no interior do fio condutor

homogeneo, vern:

pet) = P o seruo t

Substituindo na equacao diferencial:

o-p

E

dp---

dt

Temos:

c r d- p seruo t = - - - (p serusit) = - p mcosmtE a dt a 0

Donde se conclui que a amplitude da senoide P o = 0, indicando que a existencia de

uma densidade de carga variando senoidalmente no interior do condutor nao e compativel

com a equacao da continuidade, prevalecendo a ideia fisica de que a cada eletron movel

corresponde urn Ion positivo parado, mesmo em regime senoidal.

Porem, para corrente altemada, embora pet) seja nulo no interior do condutor, esta

densidade pode existir e estar variando na superffcie do condutor, resultando que 0 diver-

262



gente de J nao e nulo em todos os pontos do volume da gaussiana envolvendo urn no, nao

sendo entao valida a lei das correntes de Kirchhoff em regime senoidal. Uma visualizacao

e a de que as cargas estacionadas nas fronteiras variam, havendo ai entao correntes capa-

citivas que precis am tambem ser consideradas nessa lei.

No entanto, enquanto trabalharmos com bons condutores e em baixas frequencias,

essas correntes capacitivas podem ser desprezadas, e a lei das correntes de Kirchhoff e uma

excelente aproximacao na solucao de circuitos eletricos.

4.7 R E S IS T E N C IA

A resistencia de urn resistor depende de sua forma geometrica sendo definida pela

razao entre uma integral de linha e uma integral de superficie:

V f E . d eR = -1, - = J J.d S

FIG. 4.12

A integral de linha do campo eletrico vai desde a face onde entra a corrente ate onde

ela sai. Para obrigar que estas faces sejam eqiiipotenciais devemos ai colocar duas placas

de condutor perfeito e nelas soldar os fios.

A integral de superficie do campo J e feita em qualquer secao do condutor. No caso

particular do condutor ser cilfndrico essas integrais sao bern faceis de realizar, pois 0 campoeletrico sera uniforme em todo seu volume. Esta uniformidade pode ser facilmente provada

por absurdo observando a figura 4.13a onde 0 campo e suposto ir enfraquecendo ao longo

da corrente; isto nao pode ocorrer, pois a densidade J = (J E tambern se reduziria, 0 que

reduziria a corrente i= JA, invalidando a lei de Kirchhoff.

FIG. 4.130 FIG.4.13b

2 63



Tambem a hip6tese da figura 4.13b, onde a densidade J seria menor pr6ximo ao eixo

do cilindro e urn absurdo, pois conduziria a diferentes campos E ao longo de mesmos

comprimentos e , 0 que implicaria diferentes tensoes para dois caminhos entre as faces do

condutor. Assim a resistencia do condutor cilfndrico vale:

v fE d C E CR - - - --.-=---- = =

f «sas crEA

C

crA

Exemplo 4.7-]

Calcular a resistencia de fuga do dieletrico do capacitor esferico da figura.

FIG. 4.14

\ /.:.~\;\

J \\

.':~/ \A

-rimeira soiucoo:

Obtem-se a distribuicao do campo eletrico em funcao da carga estacionada na fronteira:

qE=-=--

4mr2

A integral de linha resulta:

q 1 1dr = - ( - - - )

4m a b

A integral de superficie sera:

A resistencia vale entao:

V 1 1 1R=-=- (---)i 4ncr a b

264



Segundo sciucoo:

Obtem-se a distribuicao do campo eletrico em funcao da densidade deU -

v = J Edr = J _ ! _ dr = J i dr = i_1_ ( _ ! - _ _l_)a a4nr2 4na a b

donde:1 1 1

R=- (---)4na a b

Exemp/o 4.7-2

Ca1cular a resistencia de fuga de urn comprimento C de cabo coaxial.

b

FIG. 4.15

Primeiro SO /Uc ;OO :

Obtem-se a distribuicao do campo eletrico em funcao da carga estacionada no fio intemo:

qE = --=----

21t£rC

A integral da linha sent:

V = J Edr = f b - - - -=-q- dr = s: e n (J !_)a 21t£rC 21t£C a

A integral de superffcie resulta:

i= J JdS = J aEdS = aE2nrf= ~ qe

265



ia1

A resistencia sent:

V 1 bR = - = - ' - en -i 2naC a

Segundo solucoo:

I IJ 1 j.: i b,V = Edr = - - dr = - - - - dr = - - en - = Rz

a a 2nre 2na£ a

donde:

1 bR = - - en-

2na£ a

Exemplo 4.7-3

Calcular a resistencia do condutor da figura.

FIG. 4.16

Soiucao:

A distribuicao do campo eletrico pode ser obtida por:

V = I E d e = Enr donde

A corrente sera:

' I I V I o Vc b= JdS = aEdS = a -- drdz = - - en __r tr rr a

266



A resistencia resulta:

R = _ _ _ _ _ ! 1 t . ! . . . _ _ . , , - - - - - -

adn _ Q _a

Exemp/o 4.7-4

Calcular a resistencia entre dois fios paralelos, de raio a, distancia d e 00 1 1 " . - - .

e , imersos em meio de condutividade 0. Desprezar efeito de bordas e considerar a « fl.

SO/U900:

dr =2

= i 1 (Cn _ ! ! : . _ en ! ! . . . ) = i_1_ en E _2 1 t a C a d 1tar a

Donde:R = _1_ en!i

1tar a

267



4.8 - A S S O C IA qA O D E R E S IS TE N C IA S ELEMENTARES

o calculo da resistencia entre duas faces de urn condutor de formato generico pode

tambem ser feito por associacao paralela e serie de elementos de resistencia, A figura

mostra uma resistencia elementar de comprimento de e secao reta dS.

o elemento de resistencia vale:

dR = dv = Edr

di aEdS=

de

adS

Para associar em paralelo ha que tomar 0 inverso da soma dos inversos, fazendo uma

integracao parcial ao longo da secao reta do condutor; a resistencia assim obtida ainda e

elementar, pois ainda resta associar em serie:

dR = _ _ 1__

f fadS

de

Associando em serie, fazemos a integracao ao longo da corrente e temos:

d R " f f f~de

Exemp/o 4.8-1:

Ca1cular a resistencia de fuga de urn capacitor esferico de raios a e b, associando

resistencias elementares.

268



So1U900 :

FIG. 4.19

1------------------=f f a (rd8) (rsen8d<r)

dr

= f f:dr

=

f2 IT

a ad<rr 2sen8d8

= f d__ _ = J b dr

a2nr 2 [- COS 8]0 IT a 4nr 2a

1 1 1=-(---)4na a b

4.9 - R EL A9 A O E N TR E R E S IS TE N C IA E C A PA C IT AN C IA

Se observarmos as expressoes da resistencia e da capacitancia do cabo coaxial:

R = 1 en _b_ c = 2mC

2naC a en _ Q _a

2 69



RC=~(J

E multiplicarmos R por C veremos que as relacoes geometricas se simplificam e

resulta:

Vamos agora provar que este resultado e geral considerando urn capacitor generico

cujo dieletrico tern permissividade £ e condutividade cr.

/--

/

//{

II\

\\,'-" /

-----

i-

FIG. 4.20

Uma gaussiana para os campos D e J, mostra:

£ .= -~

(J

Mas as definicces de R e Csao:

v = Ri

q = Cv

Resultando:

£. Cq=-~= v

(J

CRi

Donde:

RC=~(J

E podemos conc1uir que a constante de tempo para carregar ou descarregar urn ca-

pacitor atraves de sua resistencia de fuga nao depende da geometria das placas. Esta pro-

priedade nos permite calcular resistencias em geometrias onde ja sabemos a capacitancia,

como por exemplo entre duas esferas ou entre uma esfera e urn plano.

Exemp/o 4.9-1

Calcular a resistencia de fuga entre as esferas da figura.

270



Solu<;oo:

R = 1

2 n c r a (1a a l R z ...)-+ +

R l 1 - _ ! ! : _ _

R l

A capacitancia ja foi calculada no capitulo 3, exercfcio 3.15. A resistencia resulta:

4 . 7 0 - C ELU LA S D E R ES IS TE NC IA

Trata-se de urn metodo aproximado de calcular a resistencia entre duas faces de urn

condutor onde a solucao analftica seja complicada. 0 metodo consiste em associar em serie

e em' paralelo celulas de resistencia que sao formadas pelo tracado das linhas de campo e

das eqiiipotenciais na regiao onde passa a corrente.

A figura 4.22 mostra urn condutor de profundidade constante h onde vamos ilustrar

o procedimento. As linhas de campo e as eqiiipotenciais sao tracadas par aproximacoes

sucessivas de forma que cada celula vista de lado seja urn quadrado de lado e e suaresistencia seja:

eR = - - , - - - -c r area

e 1=

271



1 1R=---=---=

L c rh10

10/3

c rh

Observar que e e cancelado apesar de ser variavel ao longo do condutor. Como temos

10 celulas em serie, vem:

R (/ . ) 10

sene =--c rh

E como sao 3 celulas em paralelo resulta:

Ou seja, basta contar a mimero de celulas em serie e dividir pelo mimero de celulas

em paralelo; a razao n dad a resistencia:

R = _ ! ! _ _

c rh

Exempfo 4. 10-1 :

Ca1cular aproximadamente a resistencia de fuga do coaxial da figura 3.26, pelo metoda

aqui exposto.

soiucao:

A profundidade h vale I metro. Temos 5 celulas em serie e 24 em paralelo, resultando:

R = 5/24= _5 Q/mo 24cr

4 .17 - CONDI<;OES DE CONTORNO PARA CORRENTE

Vamos analisar nesta secao a comportamento das componentes do campo J quando

a corrente passa de um para outro condutor, em regime permanente de corrente continua,

tambem chamado de regime de corrente estacionaria, Neste caso as variacoes ja cessaram

e a equacao da continuidade, associada ao teorema da divergencia, nos da:

'1. J = 0

J J.d S = 0

272



273

Para a gaussiana cilfndrica da figura podemos escrever:

Resultando:

Ou seja, a componente normal de j se mantem na fronteira. E claro que as compo-nentes normais de if e de i5 nao serao mantidas, resultando ai densidades de carga de

polarizacao e de carga livre:

Dc ~2 E

2

Onde:

Exemplo 4.77-7:

Dois condutores sao ligados conforme a figura. Calcular as densidades de carga P s eP na fronteira.sp

? f , < ' ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ W 1 i ! . % ~ . ~ · W ~ ~ ; ~ + ' ~ 1 ~ ~ ~ ~ : ~ ' : ~ : : i \ ' O ; ~ ~ : : : f f m · ~~l~:

\ J 2 + \ d1

: + +: II

: E a ++' E a/'/'

": i ; ' i f ~ ; ~ i ~ ~ ~ ! ; , ; ; ; ; ~ t i~~~,t~~1~~:~): ;0.~i~~: .~, ; ; ' ; j ,~; :

+--i V

~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

FIG. 4.24

So IW;XJo :



sotucoo:

FIG,4,25

i £1 £2p=DD=-(---)s 1 2 A o o

1 2

P_ e (E _ E ) _ P = e _i_ (_1 1_) __ i_ (_l_ _ ~)

sp- 0 1 2 s 0 A()1 ()2 A ()1 ()2

4.12 - R EFR AC ;AO D E C OR REN TE

Vimos que a componente normal da densidade de corrente J se mantem na fronteira

entre dais meios. Vamos mostrar agora que a componente tangencial de J nao se mantem.

Basta lembrar que a componente tangencial do campo eletrico if nao sofre descontinui-

dade, resultando:

Dai podemos concluir que a vetar J pode se refratar, isto e , mudar de direcao ao

mudar de meio, como se ve no exemplo a seguir.

Exemp/o 4. 12-1 :

Uma corrente atinge uma fronteira fazendo um angulo de 45° com a normal. Calcular

este angulo ao sair da fronteira, sabendo que a condutividade do meio caiu a metade.

274



A componente normal de J

Jt1

Jt2

se mantem e a componente tangencial cai it metade:

Jt2

Jt1

= _- donde J = _-o /2 t2 2

1

=

=1

2donde

4 . 13 - D E N S ID A DE D E E F E IT O JO U L E

Quando uma corrente percorre urn resistor, a forca do campo eletrico e igual it forca

de atrito oferecida pelo material, produzindo 0 aquecimento conhecido como efeito Joule.

Para urn resistor elementar de comprimento f e secao A vern:

Ri2 =_f_ i2 =_f_ (JA)2 =_f_ (crEA)2 = crE2 (Af)

crA crA crA

Onde vemos que c r E 2 pode ser chamado de densidade volumetrica de potencia trans-

formada em calor. Em distribuicoes volumetricas de corrente 0 efeito Joule podera ser

calculado pela integral:

Exemplo 4. 13-1

Uma corrente iatravessa radialmente urn resistor esferico de raios a e b. Calcular 0

efeito Joule.

Soiucco:

i= J4rrr2 = crE4rrr

2 dondez

E=--- 4rrr2cr

( i ) 2 4 2d i (1 1)cr rrr r=-- ---4rrr 2cr 4rrcr a b

4 . 14 - R E S IS TE N C IA N AO L IN EA R

A resistencia de que tratamos ate 0 momento e chamada de linear, pois a condutivi-

dade do material e considerada constante, havendo entao proporcionalidade entre a tensao

e a corrente. Isto resulta em urn grafico para estas variaveis que e uma reta passando pela

275



origem. E, porem, bastante comum a nao linearidade onde a condutividade varia com a

pr6pria corrente ou tensao no resistor. 0 caso mais simples de visualizar e 0 da lampada

incandescente em que 0 aquecimento provoca maior agitacao termica da estrutura do material,

criando entao maior forca de atrito sobre os eletrons livres, reduzindo a condutividade. 0

grafico relacionando a tensao e a corrente, que e chamado de curva caracteristica, deixa de

ser uma reta. A resistencia continua a ser definida pela razao vii mas seu valor, que e a

tangente do angulo indicado na figura, passa a depender do ponto de operacao (Vo' I) do

resistor nao linear.

i

" I

" I. . . . < . . . I

" , , ' " ' . . . . . . . I- - ,a I

I

I

I

II

III

v

FIG. 4.26

Os resistores nao lineares representam a base de toda a Eletronica. 0 primeiro deles

a ser amplamente utilizado foi 0 diodo a vacuo que e constitufdo de dois eletrodos, 0 catodo

e 0 anodo. 0 catodo e feito de material que emite eletrons quando aquecido. Assim, a

regiao entre os eletrodos apresenta uma resistencia nao linear, pois s6 havera fluxo de

eletrons do catodo para 0 anodo, ja que no sentido oposto nao havera portadores de carga,

pois 0 anodo nao emite eletrons.

o triodo possui um terceiro eletrodo chamado grade, cujo potencial (negativo) con-

trola 0 fluxo de eletrons do catodo para 0 anodo. Para cada tensao de grade temos umacurva caracteristica diferente. Trata-se entao de uma familia de resistores nao lineares. A

resistencia varia com 0 ponto de operacao que depende da tensao de grade.

A juncao pn e um resistor nao linear que apresenta baixa resistencia no sentido

chamado de polarizacao direta e apresenta elevada resistencia no sentido chamado de

polarizacao inversa. Para compreender como ocorre 0 fen6meno e necessario observar que

a chamada regiao de transicao, onde hi a difusao de eletrons, e um local de baixa

condutividade, pois ela nao possui nem buracos nem eletrons livres, ou seja, ali nao hi

portadores de carga. Quando a polarizacao e direta a largura da regiao de transicao e

reduzida significando baixa resistencia. Na polarizacao inversa a largura dessa regiao eaumentada significando a presenca de um resistor de maior comprimento inserido no cir-

cuito, ou seja, de maior resistencia. Este resistor nao linear tem 0 sfrnbolo e a curva

caracteristica mostradas a seguir.

276



__ ~an~o~d~o_ ~ [ : > 1 catodo

i

FIG. 4.27

v

No transistor sao duas as juncoes pn resistivas e os valores das resistencias nao lineares

dependem do ponto de operacao, Trabalhamos entao com os sfrnbolos e as familias de curvas

carcteristicas mostradas a seguir, onde os parametres sao a tensao Vee e a corrente lb '

IbI

c00l.eto» ~ +--

+ y +Vb" Va"

I

Ib~

- - - - .

1+

+Vbe V

a"

FIG. 4.28

Va..

o nome transistor vern de "transfer resistor", em virtude do valor da resistencia do

circuito de coletor (saida) ser bern maior do que 0 valor da resistencia do circuito da base

(entrada), 0 que permite a amplificacao,

4 . 15 - R ES IS TE N C IA D E A TE RR AM E NT O

Grande parte das instalacoes de distribuicao de energia eletrica em baixa tensao e feitapor sistema trifasico em Y onde temos quatro fios: tres fases e urn fio neutro aterrado. 0

base

277



aterramento do neutro e feito de modo a descarregar para a terra qualquer pico de tensao

indesejavel, como por exemplo 0 que surge quando um raio atinge a rede eletrica. Um bom

aterramento permite que a energia da sobre-tensao se escoe para a terra sem causar proble-

mas.

A resistencia de aterramento de um eletrodo e aquela existente entre 0 eletrodo e 0

infinito. A figura a seguir mostra como podemos calcular essa resistencia para 0 caso de

um eletrodo em forma de serni-esfera de raio a. Para perrnitir 0 calculo, devemos imaginar

um segundo eletrodo em forma de coroa semi-esferica de raio b.

vFIG. 4.29

A fonte representa _ a sobre-tensao que cria a corrente na terra. A resistencia entre a

e b pode ser calculada:

v = rEdr = J _ _ { _r = 2J _i_ dr = _i- (l_ _ _ l _ )a 0 0 2m·2 21t0 a b

VII 1R = - = - ( - - - )i 21t0 a b

A resistencia de aterramento e obtida fazendo b tender ao infinito.

R=_1_at 21t0a

R ----------------------at

FIG. 4.30

Supondo a = 10 em e uma condutividade do terreno igual a 10-2 U lm, temos:

278



R=_1_at 21tcra

1160 Q

Para avaliarmos a rapidez de aproximacao da curva de R com a assintota basta

fazermos b = 1 m e vern:

R = _1_ (2 . _2 .)2 1 t c r a b

_1_ ( _ _ i _ _l_) = 143Q

21t1(r2 0,1 1

Cuja diferenca para 0 valor de Rat e apenas de 10%. Se fizermos b = 10 m, vern:

R = _1_ (_1 1_)= 158Q

21t1(r2 0,1 10

Cuja diferenca para Rat e apenas de 1%, mostrando que 0 infinito esta bern mais

proximo do que pensamos, ou seja, a 10m de distancia ja podemos dizer que ele foiatingido. 0 fato da resistencia R praticamente nao variar depois dos 10 m pode ser inter-

pretado pela imensa area que e oferecida a passagem da corrente. Ja a regiao proxima ao

eletrodo aterrado oferece areas bern menores a corrente, af estando praticamente toda a

resistencia de aterramento. Esta e a razao de colocarmos algum material condutor, tal como

o sal, no terreno junto ao eletrodo para baixar a resistencia de aterramento.

E evidente que aumentar 0 tamanho do eletrodo corresponde a substituir por metal

uma camada de terra correspondendo ao acrescimo do raio deste eletrodo, 0 que faz baixar

a resistencia de aterramento.

A chamada ten sao de passo e a diferenca de potencial entre os pes de uma pessoa,na situacao mais desfavoravel, criada por uma corrente de fuga no eletrodo de aterramento,

conforme ilustrado no exemplo a seguir.

Exemplo 4. 75- 7

o aterramento de uma torre de transmissao de energia e feito por uma malha de terra

constituida por varies condutores. Suponha que esta malha possa ser substituida por uma

semi-esfera equivalente de raio valendo a. Admita que a condutividade do terreno e

10-2 U 1m . Por acidente urn dos cabos eletricos encostou na torre descarregando para terra

uma corrente de 100 A. Calcule a tensao de passo no local mais desfavoravel, para

a = 1 m e para a = 2 m. Estimar 0 passo em 60 em.

FIG. 4.31

279



R = _1_ ( 1 _ -l_; = 12 1 t c r a b 21 t10 -2

1 1

( - - - ) = 6 Q1 1,6

SO/U900:

Para a = 1:

V(passo) = 6 x 100 = 600 volts

Para a = 2:

R = _1_ (_1 1_)= 1,8n21 t10-2 2 2,6

V(passo) = 1,8 x 100 = 180 volts

Onde vemos que maiores eletrodos reduzem 0 perigo de choque eletrico. Para obter

maior reducao, os eletrodos devem ser mais profundos, de forma a reduzir a corrente junto

a superffcie.

Exemp/o 4. 75-2

Calcular a resistencia de aterramento de urn eletrodo esferico de raio a, profundamen-

te enterrado no solo.

SO/U900:i

J = - - = c r E41tr2

E=z

41tr2cr

V= f=Edr = f i

dr =i

a 41tr 2 c r 41tcra

R =1

at41tcra

280



FIG,4,32

Observar que esta resistencia e a metade da obtida com a semi-esfera. 0 resultado

pode ser interpretado como duas semi-esferas em paralelo descarregando para 0 infinito.

Exemp/o 4. 75-3

Ca1cular a corrente indicada na figura, onde os eletrodos tern raio a e estao bastanteafastados entre si em terreno de condutividade cr.

_ i V

1----------..

SO/U900:

Temos a resistencia de aterramento de uma serni-esfera em serie com a associacaoparalela de duas esferas:

1 1R=---+---

2nc ra 8nc ra

5

8ncra

. V 8ncraVz=--=----

R 5

Vejamos agora como podemos medir a resistencia de aterramento de urn sistema

eletrico ja instalado. Precisamos de dois eletrodos auxiliares com cerca de 50 em cada urn.

Vamos chamar de R; a resistencia a ser medida e de R2 e R3 as resistencias destes dois

eletrodos auxiliares que serao enterrados a cerca de 10 metros (teoricamente no infinito) da

instalacao existente. Aplicando tens6es e medindo correntes entre os tres eletrodos, dois a

dois, teremos as resistencias R 12 , Rl3 e R 23 :

281



Resolvendo 0 sistema, temos 0 valor desejado de R • No caso de para-raios este valor

deve ser da ordem de 10 Q.

No caso de aterramento de transformadores de potencia encontra-se 5 Q. Em labo-

rat6rio de precisao recomenda-se terra menor que 1 Q.

No comercio ja temos medidores de aterramento que resolvem 0 sistema acima enosdao a indicacao direta do valor da resistencia medida.

Ja calculamos, e foi bem simples, a resistencia de aterramento de eletrodos esfericos

e semi-esfericos que, embora nao sendo usados na pratica, nos permitiram conceituar 0

assunto. 0 eletrodo mais usado e uma haste cilindrica enterrada ate seu extremo, cuja

resistencia ja nao e simples de calcular. Para chegarmos a este calculo precis amos antes

obter a expressao da resistencia de aterramento de uma haste ou de um fio cujas extremi-

dades tambem estejam profundamente imersas no solo. Para facilitar 0 calculo vamos

associar a esta haste de comprimento e e raio r 0 formato de um elips6ide muito achatado

como se ve na figura 4.33, onde a distancia focal vale 2f.

E

-rJJ

I

do

FIG. 4.33

Este artiffcio visa podermos utilizar 0 que estudamos no capitulo 2, onde vimos que

um fio carregado gera equipotenciais em forma de elips6ides. Assirn, 0 campo eletrico E

criado pelas cargas estacionadas no eletrodo e 0 mesmo gerado pelo fio imagem de com-

primento 2 f e vale:

E (x) = f _ _ d _ q _ _ = f :r

4rre (x - X')2

Prdx'_ _ - - ~ - - - - - - - =4rre (x - x')2

P I ( 1

4rre x -

Este campo integrado desde 0 extrema da haste (x = a) ate 0 infinito, da a tensao

aplicada:

282



v = f E d x - f x = co _ _ _ _ & _ ( 1 _ 1 ) d x = ~ en a + ~- x = a 41t£ X - e X + C 4rr£ a - e

Ern funcao do raio r da haste vern:

P a + - I a 2 ".2 p a + a (1 _ " :>/a 2 )112V = _J_ en __ ~v==;;::-=r:;;::-_ = _c_en r: _

41t£ a - - v a 2- r 2 4rr£ a - a (1 - r/a 2

)112

Lernbrando da relacao valida para pequenos valores de x = rla2:

X(1 - X )1 I2 " " 1 - -_

2

Vern:

1+ 1- r/2a 2

1- 1+ r2/2a2

P 4a2 -r= _ _ c en _41t£ r

Ainda por ser r « a, vern:

P 4a2 p 2aV= -[_ en-_ = _ '_ ' en--

41t£ r 2 21t£ r

Charnando de q a carga estacionada no eletrodo ou no fio imagem, ternos:

q = p[2e= f D.dS = f EE.dS = f E .L. .d S = eicr cr

Donde:

Substituindo Pi' vern:

V = _ _ E_i_ e n ~ = _ _ Z_ e n _2 _a_ = Ri

cr2 £ 21tE r 41tcr£ r

Lernbrando que e " " L12, vern:

1 LR=---en--

21tcrL r

283



/ ' , r',

I ;, I

I II ,

/ :: : FIG. 4.34, ,: 1 h, ',I ,

i ?, I, ,, .

~2r t . -I/ '/ L/ »> '/ ."/r. // ~ // r.: /< - " _ '/ / _/ . / / < . / '/ /

'/ .

Agora fica facil obter a resistencia de aterramento de uma haste de comprimento h

e raio r como a da figura 4.34. Basta considerar que a haste profundamente enterrada da

fig. 4.33 e constituida de duas hastes de comprimento h em paralelo.

· · : 1 · . ' · · · · · · ~ · ' / · .

< : ;; - : / : ~ '

/ < _

/ < >

A resistencia de aterramento da haste de comprimento h enterrada ate seu extremo sera

o dobro da resistencia da haste de comprimento L = 2h totalmente enterrada, resultando:

R=2x-_1-

21tcrL

e n ~ = __1_ e n 2h

r 1tcr2h r

4.76 - E FEITO D E S U PER F[C IE NO A TE R R A ME NTO

o aterramento de uma subestacao de energia e feito por uma malha de terra onde os

fios ficam enterrados horizontalmente a cerca de 1 metro de profundidade. Para saber seesta profundidade ja pode ser considerada infinita no calculo do aterramento, vamos ana-

lisar 0 efeito provocado pela superffcie quando ela esta pr6xima do eletrodo.

Seja uma pequena esfera de raio a enterrada a uma profundidade h. Uma tensao V

e aplicada entre a esfera e 0 infinito para calcular sua resistencia de aterramento. A distri-

buicao de corrente ja nao sera radial, pois a superffcie esta pr6xima exigindo que a corrente

lhe seja tangencial. Esta configuracao de corrente sera obtida pois as primeiras cargas que

atingem a superffcie ai ficam estacionadas criando urn campo eletrico que obriga as cargas

seguintes a seguir a trajet6ria mostrada na figura da pagina seguinte.

Ao ser atingido 0 regime permanente 0 campo J no ponto da superficie mais pr6-

ximo do eletrodo sera nulo enos demais pontos sera tangencial. Pela lei vetorial de Ohm,

ocampo eletrico tera identica configuracao, Se quiserrnos buscar uma carga imagem que

substitua 0 efeito das cargas estacionadas na superffcie da terra, ela sera positiva, de mesmo

2 8 - 1 -



+ f r. = = q dr = q

r, = 2h 41t£r 2 2 41t£2

1 1(-+-)a 2h

FIG. 4.35

\

h \r2

1 \ \

valor que a carga do eletrodo e estara a uma distancia h acima da superffcie, So assim as

exigencias da configuracao de campo eletrico serao atendidas.

o potencial da esfera pode ser obtido por integracao do campo eletrico devido as duas

cargas, desde 0 eletrodo ate 0 infinito:

Porem, q em funcao da corrente vale:

Substituindo, vern:

illv=-- (- + -) = R

47tc r a 2h

1 1 1 1 1R=--(--+--)= +--

47tc r a 2h 47tcra Stush.

285



/TI

I

00

/

/

Onde vemos que a resistencia de aterramento sofre urn acrescimo que somente sera

nulo se a profundidade for bastante grande (exercfcio 4.20).

Se quisermos calcular a densidade de cargas livres na superffcie da terra temos de

obter a descontinuidade do campo D normal. Para calcular D acima do solo temos de fazer

a carga imagem coincidir com 0 eletrodo, ai resultando uma carga 2q (exercfcio 4.22).

Exemp/o 4. 76- 7

Calcular a resistencia de aterramento de urn fio de comprimento L e raio r enterrado

horizontalmente a uma profundidade h em terreno de condutividade cr.

Sotucao:

o fio sera substitufdo por urn elips6ide achatado. As condicoes de fronteira de corrente

e campo eletrico tangenciais a superffcie da terra exigem urn elips6ide imagem como se ve

na figura. Cada elips6ide tern seu fio imagem que ocupa a distancia 2 e entre seus focos. Aintegracao do campo eletrico para obter a tensao V fica mais facil ao longo do eixo y.

FIG. 4.36

--- ----------"., .. . ------- -- .. _ . . . . . . . . . . . .

( _ ~ _ : · ~ - : . + . ~ . ~ . F: . ~~ : . : ) Ih

1+------2£

14------- L=2a -----...-{

/

Vamos entao fixar y e integrar a contribuicao para 0 campo eletrico de cada dq do

fio de baixo:

fr:t.=e

E = 2 r:t.= adq 1 f Prdx

--- casu = - - - - - - - ' - - - - casu41t£S2 21t£ S2

286



A figura nos da:

xtqc: =-

ydonde

scosa = y donde s = yseca

Substituindo, vern:

E = _1_ f p,.ysec2ada

2m y2sec2acosa = sene

A integral de linha deste campo nos leva a resistencia de aterramento do eletrodo sernainda 0 efeito de superficie:

v = f Edy = f P f sene dy2 1 C £ Y

etge=-

y

donde y = ecotge e dy = - e cossec2ede

A figura da:

Substituindo, vern:

v = - _ P _ f _ f sen e e cossec-O de = - _ P _ r _ f sece de =2m ecotge 2m

P Y==

= - _ _ f_ [en (sece + tge)]2m Y = r

Porem da figura tirarnos que em y = r, vale:

etge=-

re

asece = -

r

Em y = 00 0 valor de e e zero, resultando:

v = __ P ,_ e n _---'1=---,--- = ~ e n a + e2m a e 2m r

-+-r r

287



2h

E como no elipsoide achatado 0 valor de a se confunde com 0 de e , temos:

A carga estacionada no eletrodo vale:

Donde:

Substituindo, vern:

i LV= e n -

2rrc rL r

Onde podemos confirmar a expressao da resistencia de aterramento de uma haste

profundamente enterrada. Porem, temos ainda de acrescentar a este resultado a integral de

linha do campo eletrico criado pelo elips6ide imagem. Considerando uma nova origem para

y neste elips6ide imagem vemos que a integral vai de y = 2h ate 0 infinito:

P Y==

V = - _f_ [ ( e n (sec8 + tg8)]2m: . Y = 2h

A figura nos permite concluir que em y = 2h temos, aproximadamente:

L/2tg8 =--

2he

- v (L/2)2 + (2h)2sec8 = - - - - - - - -

Resultando:

P f 1V = - - -

e n--;========----- =

2m: . - v (L/2)2 + (2h)2

2h

+ L/22h

L+ 'IU + 16h2

4h

Substituindo P f' vern:

i

v=--e n2nc rLL+ 'I U + 16h

2

4h

Acrescentando este valor ao obtido antes, vern:

288



289

i L i L + 1 / U + 16h2

v= ~n-+ ~n = Ri21tcrL r 21tcrL 4h

R=1 L 1 L + 1 / U + 16h2

~n-+ ~n21tcrL r 21tcrL 4h

Onde vemos que ha urn acrescimo na resistencia de aterramento em razao do efeito

de superffcie. Observar que se h tender ao infinito este acrescimo se anula.

4.17 - p A R A - R A I O S

oatrito produzido pelo vento e pelas gotas de chuva caindo provoca transferencia de

cargas entre massas de ar e nuvens, criando intensos campos eletricos na atmosfera. Du-

rante uma tempestade a rigidez dieletrica do ar e reduzida em virtude da umidade, facili-

tando a existencia de raios descarregando as nuvens e as massas de ar. Existem raios de

cima para baixo, de baixo para cima e tambem de nuvem para nuvem.

o para-raios e uma ponta metalica localizada 0 mais alto possivel e ligada a terra porurn eletrodo bern aterrado. Este aterramento e necessario, pois ele e 0 carninho por onde

as cargas sobem ate ficarem mais proximas da nuvem, ai criando campos mais elevados,

que vao romper a rigidez dieletrica do ar. Durante a descarga 0 aterramento permite 0

escoamento da energia do raio.

o fio que liga 0 para-raios ao aterramento deve ser suficientemente grosso (cerca de

8mm de diametro) para suportar a corrente da ordem de 1O .OOOA produzida por urn raio.



4.18 - MEDIDA DA CO ND U TIV IDA DE

E claro que este diametro nao e 0 encontrado nas tabelas de fios que sao calculadas para

regime permanente, pois os raios, embora tenham elevada corrente, atuam durante muito

pouco tempo, 0 que reduz 0 aquecimento.

E muito importante observar 0 perigo de uma instalacao feita com fio fino; enquanto

a nuvem carregada se forma, as cargas de sinal oposto sobem lentamente por este fio e 0

raio sera atraido. Se 0 fio nao suportar a descarga, ele vai se romper por efeito Joule e aenergia do raio, nao tendo por onde escoar, vai provocar uma explosao,

A conclusao e que e preferivel nao instalar urn para-raios do que faze-lo mal feito.

H a para-raios que possuem substancia radioativa em sua extremidade visando ionizar

o ar em sua proximidade para facilitar 0 rompimento da rigidez dieletrica.

Para obter 0 valor da condutividade do solo basta enterrar ate seu extremo uma hastede comprimento h e raio r, medir a resistencia R de aterramento e calcular:

(J = _ _ 1_ e n E!:_2nhR r

A condutividade deve ser grande em terrenos onde sao construfdas estacoes de radio-

comunicacao ou subestacao de potencia.

No projeto de circuitos integrados ha necessidade da medida mais precisa da condu-

tividade dos materiais usados. Usa-se entao 0 metodo dos quatro pontos onde sao encra-

vados no material quatro pequenos eletrodos mantendo igual distancia [. Faz-se passar uma

corrente conhecida ientre os eletrodos mais afastados e mede-se a tensao Vl2entre os

eletrodos centrais.

+-- i IIr--------.,.

VI

~~

/ I ~ : ~ +/~ .

//

~~~""Y-

FIG,4,38

A carga estacionada junto ao eletrodo positivo pode ser obtida por uma gaussiana

semi-esferica:

290



291

J E iq =D2nr2 =EE2nr2 =E - 2nr2 =-

(J (J

Ocampo eletrico e 0 potencial criados por esta carga valem:

qV=---

21tEr

o potencial VI' criado pelos dois eletrodos, resulta:

q -q q

o potencial V2, vale:

A diferenca VI 2 resulta:

Substituindo a carga q, vern:

E iV

12=----

21tEe(J

i

A condutividade e obtida por:

i(J = - - -2n£ V1 2

4.19 - MICROFONE DE CARVAO

E este 0 tipo de microfone ainda usado no telefone, enquanto nao e substitufdo por

microfone de eletreto. No local onde falamos ha uma capsula cheia de carvao em p6

prensado. A pressao da onda sonora varia a distancia entre os graos de carvao alterando

assim a condutividade do material. 0 telefone e alimentado por uma tensao continua de 48

volts proveniente da central telefonica, criando uma corrente continua entre os assinantes.

Ao falar sobre a capsula de carvao sua resistencia varia e a corrente continua passa a ter

uma componente altemada que vai fazer vibrar 0 alto-falante de quem esta ouvindo.



48V

\

\

\

FIG,4,39

E interessante mostrar que esta modulacao nao e perfeita, pois gera harmonicos (fre-

quencias nuiltiplas) indesejaveis como se pode provar chamando a resistencia de:

R + R senrot°

Onde Rea resistencia de todo 0 circuito, Ru-€ a amplitude da pequena variacao que

sofre a resistencia do carvao em p6 ewe a frequencia angular que se deseja transmitir. 0

ideal seria que a corrente fosse uma sen6ide de me sma frequencia co para transmitir com

fidelidade a informacao sonora. Porem isto nao ocorre, pois a corrente vale:

i= _ _ --=-_V__ V

R + Rosenrot R(1 + !1_ sencst)

RLembrando que:

11- X + X2 - r + X4 - X5 + ...

l+x

Vern:

. V[ R R R ]~= _ 1- _0 senrot + (_0 seiuot)" _ (_0 senrotj3 + ...

R R R R

Onde vemos que, alem da sen6ide, temos termos com maiores expoentes contendo

harmonicos que podem distorcer a informacao. Para provar que seno ao quadrado contem

o segundo harmonico basta lembrar a identidade:

2 1 1sen ro t = - - - cos2rot

2 2

A identidade seguinte mostra que 0 seno ao cuba contem 0 terceiro harmonico:

3 1sen3rot = - senrot - - sen3rot

4 4

292



E assim sucessivamente. 0problema e minimizado fazendo pequena a razao R/R

(da ordem de 1/50) de modo que as amplitudes dos harmonicos (exceto 0 primeiro) possam

ser desprezadas, pois (1/50)2«1/50).

4.2 0 - TERRA FLU TU AN TE

Trata-se de urn problema comum em laborat6rio de eletronica quando estamos obser-

vando no oscilosc6pio a tensao de urn gerador de funcoes, Em geral, os terminais de terra

do oscilosc6pio e do gerador sao ligados, cada urn, a sua carcaca, Na montagem experimen-

tal correta os dois terminais de terra devem ser ligados urn ao outro. No caso contrario,

dizemos que 0 terra do oscilosc6pio e flutuante, 0 que vai perturbar a forma de onda

observada.

Para compreender 0 fenomeno devemos lembrar que ha ondas eletrornagneticas indu-

zindo rufdos na carcaca do gerador e do oscilosc6pio. Vamos representar este ruido por

pequenas fontes que vern do infinito. Na ligacao correta da figura 4.40a vemos que as duas

fontes de ruido ficaram em curto pelo circuito dos dois terras. Na ligacao errada da figura

4.40b vemos que as duas fontes de ruido se somam a ficam em paralelo com a entrada do

oscilosc6pio.

FIG. 4,400

FIG,4,40b

293



--.-- .--:7 ~ ~l~ I .P"' __::-:---:-""_:__::::._ ....--::; 1 \

- 1 - - ~ 1 \

\ - _ _ - _ I I II \

1~ I - C J ~ - " I \ 2-=-~1 ~~--- i I 1 \

---=-- 1 --= - - - = - - I I- I -

~ : . _ _: ~ - - - - = --4-~~-

b

EXERCfclOS

4.1 Cern metros de fio de cobre com 8 QJkm sao ligados a uma fonte de 12 volts.

Calcular:

a) 0 campo eletrico no interior do fio;

b) a corrente;

c) a velocidade .dos eletrons livres, usando 0 valor da mobilidade do cobre dada no

texto;

d) a forca de atrito agindo em cada eletron;

e) a potencia transformada em calor no fio.

4.2 Uma corrente de lOA escoa radialmente de urn pequeno eletrodo colocado na agua

do mar, cuja condutividade vale 5 U 1m e cuja permissividade vale 80Eo' Calcular:

a) a densidade de corrente a uma distancia de 2 metros do eletrodo;

b) 0 campo eletrico neste mesmo ponto;

c) a carga livre estacionada na fronteira entre 0 eletrodo e a agua.

4.3 Calcular a condutividade do Germanic a partir dos dados encontrados no texto.

4.4 Uma pequena esfera metalica de raio a esta no centro de uma esfera de vidro

(condutividade o e permissividade E) de raio b. Em t = a ha uma carga q o na

superffcie do metaL Calcular:

a) 0 tempo para 99,23% desta carga atingir a superffcie do vidro;

b) 0 valor do campo eletrico E(t) a meia distancia entre a e b;

c) a densidade de carga P s (t) na superffcie do vidro.

4.5 Calcular a resistencia R; 2 do resistor da figura entre as faces 1 e 2 e a resistencia

R3 4 entre as faces 3 e 4.

a

FIG, ex, 4,5

294



4.6 Calcular a resistencia de fuga do dieletrico da figura.

FIG, ex, 4,6

4.7 Calcular a resistencia do condutor da figura, cuja condutividade vale cr.

ic

~

FIG, ex, 4,7

v

4.8 Calcular a resistencia de fuga de urn comprimento e de coaxial de raios a e b por

integracao de elementos de resistencia.

4.9 Obter 0 produto RC para urn capacitor de placas paralelas.

4.10 Ca1cular a resistencia de fuga por metro entre urn fio de raio a e uma placa metalicainfinita a uma distancia h em meio de condutividade cr.

4.11 0 cabo coaxial da figura tern dois dieletricos, Ca1cular:

a) a resistencia de fuga por metro;

b) a carga livre estacionada em r = b, por metro.

FIG, ex, 4,8

295

,

\I



FIG, ex, 4,19

o e - - - - l

l_~l_J

4.12 Obter a lei de refracao para corrente estacionaria, relacionando os angulos com a

normal a fronteira entre os dois meios.

4.13 Calcule 0 raio da serni-esfera equivalente de urn aterramento em terreno de 10-2 (5 [m

onde a tensao de passo (60 em) seja de 70 volts, para uma descarga de 100 A.

4.14 Duas pequenas esferas metalicas de raio a estao bastante afastadas a uma distancia de imersas profundamente no mar de condutividade o e perrnissividade E. Aplica-se a

elas uma tensao V. Calcular:

a) a corrente;

b) a carga livre estacionada no eletrodo positivo;

c) a densidade de corrente a meia distancia entre as esferas.

4.15 Em uma fazenda ha urn gerador de 200 volts cujo neutro e aterrado junto a ele com

uma resistencia de aterramento de 4 Q. A distancia ate a residencia e de 500 m.

Vamos ligar 0 gerador a residencia por apenas urn fio (de 2 Qlkm), fazendo 0

retorno pel a terra. A tensao e a corrente desejadas na cas a sao 100 Vel 0 A. A

condutividade do terreno vale 10-2 (5 [m. Calcular 0 minimo de barras de 2 m com

1 em de raio que seriam necessarias para fazer 0 aterramento junto a residencia,

4.16 Uma pequena esfera metalica de raio a esta imersa em agua do mar e dista d do

casco plano de urn navio. Aplica-se entre a esfera e 0 navio uma tensao V e mede-

-se uma corrente i. Calcular:

a) a condutividade da agua;

b) 0 campo eletrico a meia distancia entre a esfera e 0 navio.

4.17 Temos uma haste metalica de 2 m de comprimento e 1 em de raio. A condutividade

do terreno vale 10-2 (5 [m. Calcular as resistencias de aterramento:

a) da haste profundamente enterrada (os dois extremos bern profundos);

b) enterrada apenas ate urn dos extremos.

4.18 Urn eletrodo de 2 m de comprimento e 1 em de raio e enterrado verticalmente ate

seu extremo. Mede-se a resistencia de aterramento obtendo-se urn valor de 100 Q.

Calcular a condutividade do terreno.

4.19 Tres eletrodos de raio a sao dispostos conforme a figura nos vertices de urn trianguloequilatero de lado e e imersos no mar. Calcular 0 campo eletrico no centro geometrico

da figura em funcao da tensao Vaplicada, sabendo que a « e .

296



4.20 Calcular a resistencia de aterramento de uma esfera de 10 em de raio em terreno de

C Y = 10-2 U Im nos seguintes casos:

a) profundamente enterrada;

b) enterrada a 1 m de profundidade.

4.21 Uma haste de 2 m com 1 em de raio esta enterrada horizontalmente a 50 em dasuperficie. Calcular a resistencia de aterramento. A condutividade vale 10-2 U Im.

4.22 Uma pequena esfera rnetalica de raio a esta enterrada a uma profundidade h em

terreno de condutividade cr. Calcular a densidade de carga livre na superffcie da terra

em funeao do angulo excom a vertical do ponto onde esta 0 eletrodo, quando uma

corrente iescoar para terra. Sugestao: calcular a descontinuidade da componente

normal de D na fig. 4.35.

4.23 Ao medir a condutividade de certo material pelo metodo dos quatro pontos, mediu-

-se uma tensao de 10 milivolt entre os eletrodos centrais quando a corrente era de6,28 miliampere. Calcular a condutividade sabendo que a distancia entre os ele-

trodos e de 10 em.

29 7

4.24 No circuito do telefone, sabendo que a corrente continua no circuito vale 25 mA e

que a razao R/R vale 1150,calcular:

a) a amplitude do 1° harmonico de corrente;

b) a amplitude do 2° harmonico de corrente.



CAPiTULO - 4

,RESPOSTASDOS EXERCICIOS

4.1 a) E = 0,12 Vim

b) i= 15 A

c) v = 3,96 X 10.4 mis

d) F = Kv = qE = 1,92 x 10.20 newton

e) P = 180 watts

4.2 a) J = 0,199 Alm2

b) E = 0,0398 Vim

c) q = 16080coulomb

4.3 0= 2,24 Ulm

(0

4.4 a ) t = 5 -

a

(J

q e=z:'b) E(t) = _ _ 0_'__

4m ( ! ! . + b /2

(t) - q o (1 - _ ( J _ t)c) P - -b

2- e ,

s 4n

a4.5 R12=--abc

bR 34=--

aac

1 b4.6 R = - - en-

nae a

4.7 R = . n

2aC£n !!_a

298



1 b4.8 R = - - - £ n _

2ncr£ a

e4.9 RC

= _ o

4.lOR = _1_ e n _ _ ! ! ! _2ncr a

1 b 1 c4.11 a) R = - - e n _ + -- e n _

2ncr1 a 2ncr2

b

4.13 a = 3,4 m

4.14 a) i= 2ncmV

b) q = 2nwV

4Vcrac) J = - - -

4.16 a) cr = - - _4naV

i

4.15 lObarras

40aVb)E =-_

9d2

4.17 a) 42,2 Q

b) 47,7 Q

4.18 0,47 x 10-2 U1m

29 9



4.22 P s =

4.20 a) 79,6 Q

b) 83,6 Q

4.21 R = 49,2 Q

4.23 o = 1 U [m

4.24 a) 0,5 mA

b) 0,005 mA

300

quevedo - captulo 4

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