questões de prova
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1- Enunciar o Teorema da Existncia e Unicidade para as EQDOS. Como funciona para as EQDPS?
2 - Escrever o Operador Laplaciano em coordenadas cartesianas, cilndricas.
esfricas, e
3 - Mostre que o operador Laplaciano linear
4 - O que so EQDPS? 5 - Escreva uma EQDO no linear 6 - Escreva uma EQDP no linear.
7 - Construa um problema de valor inicial com emprego de uma EQDO
8 - Construa um problema de contorno com o emprego de uma EQDO
9 - Construa um problema de valor inicial e de contorno com o emprego de uma EQDP de segunda ordem
10 - Porque o estudo das EQDPS til em Fsica?
11 - Descreva duas das possveis tcnicas para se resolver uma EQDP
12 - Escreva uma EQDP de terceira ordem 13 - Quando uma EQDO pode ser chamada de normal?
14 - Quantas solues LI so necessrias para gerar o espao soluo de uma EQDO de segunda ordem? Porque? Quantas solues LI so necessrias para se formar o espao soluo de uma EQDP?
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1 Resolver a EQDP:
2u = 0, onde u de classe C 2. xyf (t ) C [ , p], onde p P p
2 - A Srie de Fourier da funo f(t) = t , um nmero real no nulo, razo? 3 - Encontre a Srie de Fourier da funo:
tal que f(t+p) = f(t), converge uniformemente. Qual a
f(t) = sen(t 2 ),
para
t ,] . [
4 Resover o Problema de Sturm-Liouville:
y + y = 0 y( x =0) =0, y( x =0) + hy ( x =0) =0, onde h um nmero real positivo .5 Resolver a equao da onda na regio [x (-, +)] e [t [0, +)]:
2 2u 1 u = 0 , c 2 t 2
u( x, t =0) = exp( x 2 ), u( x, t =0) = 0. t
2u = a 2 u tCC: u(0, t) = u(L, t) = 0, ( a 2 , L, M +). CI:
u ( x,0) = f ( x) = sen(
L
x).
3 - Resolver a Equao da Onda.
2u =
1 2u c2 t 2
CC: u(0,t) = u(L,t) = 0, onde (L +). 2
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CI:
u ( x,0) = f ( x) = sen(
2 x). L
1.
Mostrar que todo o par de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear simtrica L : S V , onde S e V so Espaos Euclidianos, ortogonal em V.
2 - Encontre os autovalores e autofunes da matriz de rotao.
1 - Encontrar a soluo geral da EQDP: /x(u/t) = xt,u e uma funo de C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
2 - Encontre a soluo geral da EQDP: u/x + (u/y) = 0,u pertence a C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
1 - Encontrar a soluo geral da EQDP: /x(u/t) = xt,u e uma funo de C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
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2 - Encontre a soluo geral da EQDP: u/x + (u/y) = 0,u pertence a C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
1. Definir Sries de Fourier.
2. A funo
f(t)=s n(1) para t [ ,] tal e t
que f(t+2 ) = f(t)
no pode ser desenvolvida em srie de Fourier. Qual a razo?
3. Encontre a Srie de Fourier: ab-
f(t)= t CP[01 ,] f(t)= t2 CP[0 ]. ,
As sries obtidas convergem uniformemente? Por que? 4. Determinar:
ab
1 e CP[a= 0 b= 1 . m , ]-
n=+ Cne e f(t)= Cne j() para f CP[a,b] com a,b . m xp n=
5. Encontre a Srie Dupla de Fourier de
F(x,y)= x2y2, onde
F CP[R],R [( , ),( , )].4
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1 Escreva a EQDP Correspondente:
a Onda b - Laplace c Conduo do Calor d - Vibraes Longitudinais de uma Viga e - Vibraes Transversais de uma Viga f - Linha de Transmisso
t P 2 - Desenvolva f (t ) = C [0,2] , em Srie de Fourier: (a = 2
pontos) de senos, (b = 2 pontos) de co-senos.
3 Resolver o Problema de Contorno:
22U U = 0 t U (0, t ) = 0 U (3, t ) = 0 U ( x,0) = f ( x ) = 25
4 Resolver a EQDP:
2 F( x, y ) =0 x yx
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3 - Encontrar a Srie de Fourier de f(x) = ].
X
, f CP[- ,
1 - Encontre a Srie de Fourier para f(t): ab-
f (t ) = t CP[0,1] f (t ) = t CP[0, ] .
2 - Encontre a Srie Dupla de Fourier de F ( x, y) = xy2 , onde
F CP[ R], R [( , ),( , )] .
U
x +
U
y = 0
1 - Encontre a Srie de Fourier para f(t): ab-
f (t ) = t CP[0,1] f (t ) = t CP[0, ] .
2 - Encontre a Srie Dupla de Fourier de F ( x, y) = xy2 , onde
F CP[ R], R [( , ),( , )] .
4 - Resolver a EQDP:
U
+ Uy = 0 x
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1 - Enunciar o Teorema da Existncia e Unicidade das Equaes Diferenciais Lineares
3 - Mostre que o operador Laplaciano linear
4 - O que so EQDPs?
5 - Escreva uma EQDO no linear 6 - Escreva uma EQDP no linear.
7 - Construa um problema de valor inicial com emprego de uma EQDO
8 - Construa um problema de contorno com o emprego de uma EQDO
9 - Construa um problema de valor inicial e de contorno com o emprego de uma EQDP de segunda ordem
10 - Porque o estudo das EQDPs util em Fsica?
11 - Descreva duas das possveis tcnicas para se resolver uma EQDP
12 - Escreva uma EQDP de terceira ordem
13 - Quando uma EQDO pode ser chamada de normal?
14 - Quantas solucoes LI sao necessarias para gerar o espaco solucao de uma EQDO de segunda ordem?, porque?.
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32 - Exerccios
1 - Definir matriz simetrica
2 - Mostre que L - D: S C[0, ] C[0, ] e simetrica em S com respeito ao produto interno
=
onde sao impostas as condicoes de contorno
3-
Sejam L1, L2: V V transformacoes lineares simetricas. Prove
que a transformacao L1L2 e simetrica se, somente se, L1L2 = L2L1 (ou seja se L1 e L2 comutam).
1. Definir Tranformao Linear Simtrica. 2. Mostrar que todo o par de autovetores associados a autovalores distintos de uma tranformao linear simtrica L : S V , onde S e V so espaos euclidianos, ortogonal em V. 3. Encontre os autovalores e autofuncoes do problema de SturmLiouville
d 2 y + 4 dy + (4 9 ) y = 0 dx dx2 y(0) = y(a) = 0
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4. Determine todos os autovalores da tranformao linear de R3, definida pela matriz seguinte, determine os autovetores associados aos autovalores reais.
5 6 6 1 4 2 3 6 4
5. Encontre os autovalores e autofunes do problema de SturmLiouville: L
D2
Ly = Y com Y(0) = Y(2 ) e y'(0) = Y'(2 ).
O operador L simtrico no subespao S de
C 2[0,2 ],
descrito
pelas condies de contorno peridicas acima ?
1- Dissertar sobre problemas de contorno para EQDPS 2- Prove que a funcao U(x, t) e uma solucao da equacao de onda unidimensional, quando f e g sao funcoes duas vezes diferenciaveis. U(x, t)= f(x+vt) + g(x-vt) 4- Dissertar sobre analise de Fourier
1- Dissertar sobre problemas de contorno para EQDPS 2- Prove que a funcao U(x, t) e uma solucao da equacao de onda unidimensional, quando f e g sao funcoes duas vezes diferenciaveis. U(x, t)= f(x+vt) + g(x-vt)
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3- Resolver a equacao da onda de Schroendinger 1DOH
2.
Mostrar que todo o par de autovetores associados a autovalores distintos de uma transformao linear simtrica L : S V , onde S e V so Espaos Euclidianos, ortogonal em V.
2 - Encontre os autovalores e autofunes do problema de Sturm-
Liouville:
d 2 y + 4 d y + ( 4 9 ) y = 0 dx d x2 y(0) = y(a) = 0
3 - Dissertar sobre o Problema de Sturm-Liouville. u(x, y, c) = F ( x, y ) = xy CP [ R ], R [( 0, a ), (0, b)] (a, b, c +).
5 Resolver a Equao da Onda:
1.
Definir
Sries
de
Fourier.
2. A funo
f(t)=s n(1) para t [ ,] tal e t
que f(t+2 ) = f(t)
no pode ser desenvolvida em Srie de Fourier. Qual a razo?
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3. Encontre a srie de Fourier:f (t ) =t C [0, L] P
4. Deduzir a equao da onda unidimensional.
5 Resolver a Equao da Onda:
2u 1 2u = 0 c 2 t 2
u(x, 0) = f(x) u`(x,0) = 01. Resolver a EQDP:
u + u = 0 y x
2. A funo
f(t)= sen(1) para t [T ,T ] tal que f(t+2T) = f(t) t
pode ser desenvolvida em Srie de Fourier? Explicar!
3. Encontre a srie de Fourier: f (t ) =t C [ ,T ], T + P T
4 Resolver a Equao da Onda:
2 2u 1 u = 0 c 2 t 2
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u( x,0) = f ( x )
u ( x,0) = 0 t
1 - Encontrar a soluo geral da EQDP: /x(u/t) = xt,u e uma funo de C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
2 - Encontre a soluo geral da EQDP: u/x + (u/y) = 0,u pertence a C1(R)[(x,y) R onde R e uma regio de x].
3 - Desenvolva - Fourier
f(t)
= t, f CP[0, 2], semi-
srie(a), de senos, (b) de co-senos.
Referncias
1 - Murray R. Spiegel, Anlise de Fourier, Coleo Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976
2 - Rafael I. Junior e Valria de Magales Iorio, Equaes Diferenciais Parciais: Uma Introduo, IMPA, Projeto Euclides, RJ, 1988.
3 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introduo a Anlise Linear, Volumes 1, 2, e 3, Ao Livro Tcnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.
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4 - William F. Ames, Numerical Methods for Partial Diferential Equations, Academic Press, New York, 1992.
5 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.
6 - Rodney C. Bassanezi e Wilson C. Ferreira Jr., Equaes Diferenciais com Aplicaes, Editora Harbra Ltda, 1988.
7- E. Butkov, Fsica Matemtica, Guanabara Dois, RJ, 1978.
Lembre-se sempre daquilo que aprendeu. A sua educao a sua vida; guarde - a bem! (Provrbios de Salomo 4:13) (1000AC)
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