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Questões resolvidas no final Função Logarítmica
Exercícios: ................................................................................................................ 1 Gráfico da função logarítmica....................................................................................... 2 Construção de Gráficos da função logarítmica .............................................................. 2 Inequações Logarítmicas............................................................................................... 4 Questões de Vestibular ................................................................................................. 5 Respostas:................................................................................................................... 11
Seja a um número positivo e diferente de 1. Chama-se função logarítmica de base a, a
função f de RemR*+ , definida por: f(x)=logax.
Observação: O domínio da função logaritmo é *+R e o contradomínio é R .
Exercícios: 1. Determine o domínio da função f(x)=log7(2x-26).
Resolução:
( ) ( )[,13]}13;{
130262262log 7
∞+=>∈=>→>−→−=
DfouxRxDfxxxxf
2. Determine o domínio da função f(x)=log(4-3x)123.
3. Determine o domínio da função f(x)=log(x-2)(5x-x2).
4. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=log(3x-1)
b) f(x)=log3x2
c) f(x)=log1/2(x+2)+log1/2(3+x)
d) f(x)=log1/2[(x+2).(3+x)]
e) ( )xxxf
−+
=3log
)2(log)(
5
3
f) f(x)=log(5-25x)
5. Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x)=log(2x+5) 5
b) f(x)=log(x2
-1) x
c) ( )9log)( 2)43( −= − xxf x
d) f(x)=log(12-x2
)(2x-6)
e) f(x)=log(x2
-2)(3-x2)
Gráfico da função logarítmica Examinemos dois exemplos: Exemplo 1: Fazer o gráfico da função f(x)=log2x.
X ¼ ½ 1 2 4 Y -2 -1 0 1 2
Exemplo 2: Fazer o gráfico da função f(x)=log1/2x.
X ¼ ½ 1 2 4 Y
Observação: Gráfico I a>1 a função é crescente e o gráfico II a função é decrescente.
Construção de Gráficos da função logarítmica Seja G o gráfico da função definida por y=f(x) e seja 0≠k .
Exercícios 6. Esboce o gráfico das funções: a) f(x)=1+log3x b) f(x)= -1 + log1/3x
7. Esboce o gráfico da função ( ) ( )1log2 += xxf .
8. Esboce o gráfico da função ( ) .||log3 xxf = 9. Esboce o gráfico da função ( ) .||log
21 xxf =
10. Esboce o gráfico da função ( ) .|log|21 xxf =
11. Esboce o gráfico da função ( ) .|||log| 2 xxf = 12. Esboce o gráfico da função ( ) .1|)1(log|
21 +−= xxf
13. Esboce o gráfico da função ( ) .|log| 2 xxf −=
Inequações Logarítmicas Para aprendermos as regras de resoluções que envolvem logaritmos, lembremos inicialmente a definição: ax=y equivale a dizer que logay=x. Do estudo da função exponencial, temos as equivalências:
21
21
21
21
10
1xx
xx
aaxxaSeaaxxaSe
>⇔<→<<
<⇔<→>.
Para o estudo das inequações logarítmicas, temos:
2121
2121
loglog10loglog1
xxxxaSexxxxaSe
aa
aa
>⇔<→<<<⇔<→>
Exercícios 14. Resolva a inequação: log5(2x-3)<log57. 15. Resolva a inequação: ( ) 328log
31 ≥− x .
16. Resolva a inequação: log12(x-1)+log12(x-2) 1≤ . 17. Resolva a inequação: log(x+4)3 > log(x+4)7.
18. Resolva a inequação: 21log78log
21 xx −≥ .
19. Resolva a inequação, sendo a>1 e 1≠a : ( ) ( ).1log62log +<− xx aa
20. Determine o domínio da função ( )xxf 221 loglog)( = .
21. Resolva a inequação ( )
313
85Log 2
21
>+− xx
.
Questões de Vestibular 22. (FUVEST-SP) O número x>1 tal que xx 4log2log = , é:
2
2
4)
22)
2)
2)42)
e
d
c
b
a
23. (Uneb-BA) O número real x, tal que 21
49log =x , é:
23)
21)
1681)
23)
1681) edcba −−
24. UF-ES) O valor da expressão ( )21
2
2
6.
641log
3125,0
−
−
+=m , e’:
52)55)1)
21)
251) edcba
25. (F.Porto Alegre-RS) Se log8=k, então log5 vale:
31)
31)
32)
15)) 3
ke
kd
kc
kbka
−
+
−
26. A curva da figura representa o gráfico da função y=logax (a>1) . Dos pontos B(2,0)
e C=(4,0) saem perpendiculares ao eixo das abscissas, as quais interceptam a curva em D e E, respectivamente. Se a área do trapézio retângulo BCED vale3, prove que a área do triângulo ABD, onde A=(1,0), vale 1/2.
27. (UF-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função
( )
+=
baxxf 1log 2 . Qual é o valor de f(1)?
28. Determine m de modo que a equação de segundo grau (na variável x) x2-
4.x+log2m=0 apresente duas raízes reais e distintas.
29. (UF-CE) Resolva a equação
=−+ 4
9log3logloglog.2xbbx , onde log representa
o logaritmo decimal. 30. (VUNESP) Considere a função f, definida por f(x)=logax. Se f(a)=b e
f(a+2)=b+1, os respectivos valores de a e b são: a) 2 e 1 b) 2 e 2 c) 3 e 1 d) 3 e 2 e) 4 e 1
31. (FUVESP-SP) A figura abaixo mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor de b é:
a) ¼
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10
32. (ufscar 2004) Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n)
4)23)
3)22)
2)
ed
cb
a
33. (ITA-73) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece a função
( ) tkeCtX ..= , onde X(t) é o número de bactérias no tempo 0≥t ; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias X(0), duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?
a) 3 vezes o número inicial b) 2,5 vezes o número inicial c) 22 vezes o número inicial d) 3 22 vezes o número inicial e) nenhuma das respostas anteriores
34. (CESGRANRIO-76) Uma substância radioativa esta em processo de desintegração, de modo que no instante t, a quantidade não desintegrada é A(t) - A(0).e-3t , onde A(0) indica a quantidade de substância no instante t=0. O tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre é:
( )
2log.31)
0mindet)
.31)
.2)31)
3
ee
Adevaloroconhecidoforsesomenteávelerd
ec
eb
a
−
35. //MACKENZIE 2005
36.
37. (MACKENZIE-2005)
38. \\(MACKENZIE-2005)
39. \\
40.
41. // MAKC 2005
42.
43. MAKC 2005
44. (ExPCex, out/2005, q08) A curva da figura representa o gráfico da função ( ) .log 2 xxf = Dados
08,112log30,02log 1010 == e . Com base nesses dados, a soma das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproximadamente,
( )( )( )( )( ) 60,3
*60,210,208,260,1
45. (Vunesp-SP, bb48, page 54) Se a e b são raízes da equação a seguir:
03210loglog082
222 =xx
xx
, com x>0, então a+b é igual a: ® c)
54)
34)
23)
43)
32)
e
d
c
b
a
Respostas: 1) [,13]}13;{ ∞+=>∈= DfouxRxDf
2) }1{[34;( −−∞=Df
3) Df=]2; 5[ - {3} 4) a) x>1/3; b) R*; c) x> -2; d) x<-3 ou x> -2; e) -2<x<3 e 2≠x ; f) x<1/2 5) a) x> -5/2 e 2−≠x ; b) x>1 e 2≠x ; c) x>3; d) 11323 ≠<< xex ; e) 6) / .
b) a)
7)
8)
9)
10)
11) //
12)
13) /
14) 5
23
<< x
15) 454215
<≤ x
16) 52 ≤< x 17) Como 3>7, imponha: 0<x+4<1. 18) Faça uma mudança de variável yx =
21log , obtenha a inequação
0782
≥+−
yyy e resolva. Solução: 1
21
12810 <≤≤< xoux
19) 3<x<7, com 0<a<1; a>1, x>7
Encontre o domínio: x>3; e divida em dois casos: I. a>1, resolva a inequação; II. 0<a<1 e resolva a inequação. Resposta: I. 3<x<7; II. x>7
20) 21 ≤< x
Condições de existência:
>
>
0log
0
2 xex
, domínio da função: 21 ≤< x
21) 2<x<3 22) 22
( )
( )
( )2
222
222
4
222
222
4
244
4
44
2
122422log
22422log
21loglog
log2log
log2log
====→−=
===→+=
=→=→=
−−−xx
xx
xxx
xx
Como no enunciado x>1, segue que a resposta: 22
23) 1681
1681
23
23
49
21
49log
42/1
22/1 =
=→=
→=→= xxxx
24) d)
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) [ ]
55
51
51536.
36536.
665
36.6
623
36.2log
31
21
36.64log
31
41
6.
641log
3125,0
2/12/12
121
21
21
162
21
12
21
2
2
=
=
==
−−
=
−−
=
−−
+
=
−+
=
−+
=
−
+=
+−
−−−
−
−
−
−
−
m
25) e
k
kkk
.3112log10log
210log5log?5log
312log2log.38log
−=−==→=
=→=→=
26) A área do trapézio BCED= 32
2).2log4(log=
+ aa à loga2=1. A área do
triângulo ABD=21
21.1
22log.1
==a .
27) - 2
( )
( ) ( )
( ) 24log11.3
1log1
3155
1615215
1415.
1log545
12101log0.1log0
122
42
022
−==
+=
=→=
=+→=+
→−=
+=→−=
=→=→==
+=
−
−
f
aa
aaa
ff
bbbba
f
28) 160 << m
( )
1610:Re
0612loglog4log
0log40log.4160log.44
0log.4
4222
2222
22
<<
><→<→−>−→
>−→>−→>−−=∆
=+−
−
msp
memmm
mmm
mxx
29) 3
332793
.
9log3
.log9log3logloglog.2
264
2
42
4
=→=→=→=
→
=→
=−+
xxxxbbx
xbbx
xbbx
30) a)
( )( ) ( ) 22422112log2
1log2
2 =−=→=+→+=+=+
===
aaaaf
baaf a
31) d) 4
( )
44112log2log
41log25,0 122
=
=→−==== −−−
b
bf bbb
32) 3
33)
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
====
===
=→==
=→=
22.2.2.2.6
2...
2ln.2.4
0.
32/34/6
4/2ln2ln.
4/1.4
.
4/4/1
CCCCX
CeCeCtX
kCeCX
CXeCtX
tt
k
tk
t ® 22
34) e) 35) /
36) //
37)
38) //
39) //
40)
41) //
42) //
43) \
??? 3223 <<−<<− xoux
Referências bibliográficas Bb48. Scipione di Pierro Neto, Sérgio Orsi Filho — Quanta, Matemática em
Fascículos para o Ensino Médio — Fascículo 5, 1ª. Edição, Editora Saraiva, 2000