7/17/2019 Questão Sobre Função Do 2ª Grau

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01. O administrador de um espetáculo percebeu que, com o ingresso a R$ 10,00 em média 500 pessoas

assistem ao espetáculo e que, para cada redução de R$ 1,00 no preço do ingresso, o público

aumenta de 80 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima?

Resolução:

Problemas que no enunciado se referem a máximo e/ou mínimo, invariavelmente tratam de função

do 2º grau, e especificamente sobre o vértice da parábola. Neste caso em particular ainda é

necessário determinar a lei da função. Então vejamos.

O valor arrecadado na bilheteria é dado pela multiplicação do valor do ingresso pela quantidade de

pagantes. Assim, R = (vlr. do ingresso) x (qde. de pagantes).

O enunciado informa que o ingresso custa R$ 10,00 e que com esse preço há um público médio de

500 espectadores. Logo a receita será R = 10 • 500 = 5000.

Mas se for feita uma promoção, para cada real que diminui no preço do ingresso, aumentam 80

pagantes. Então vamos montar uma tabela e observar o que ocorre.

Então, a função receita ficará R = (10  –  x).(500 + 80x)

Efetuando a distributividade:

R = 5000 + 800x  –  500x  –  80x2  R =  –  80x2 + 300x + 5000 (Nessa função temos: a =  –  80; b = 300 e c

= 5000, onde x, lembre-se, representa o valor do desconto, e não o preço do ingresso).

Como dissemos no início, problemas que se referem a máximo e mínimo dizem respeito ao vértice

da parábola. O vértice é um ponto da curva que tem suas coordenadas (x,y), ou seja, V = (X v, Yv).

Nessa função, o x representa o desconto e R=y o arrecadado. O problema quer saber qual deve ser o

preço do ingresso para que o arrecadado seja o maior possível. Ora, determinando as coordenadas

do vértice, teremos condições de calcular o valor do ingresso.

Para se calcular o vértice podemos usar a fórmula V( Xv =

 ; Yv =

)

Neste caso devemos saber o Xv que representa o maior desconto. Então:

Xv =

  

  

  Xv = 1,875. Isto quer dizer que o maior desconto deve ser R$

1,875. Dessa forma o preço do ingresso será R$ 10  –  1,875 = R$ 8,125.

Preço Público

10 500

10  –  1  500 + 80.1 

10  –  2  500 + 80 + 80 = (500 + 80.2)

10  –  3  500 + 80 + 80 + 80 = (500 + 80.3)

10  –  x  (500 + 80.x)

Para cada x que diminui no preço aumenta 80x no público