Quem levou vantagem?• Denise e Pedro são colegas. No ano

passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês.

Quem levou vantagem?• Denise queria receber 10,00 reais em

janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior.

• Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior.

Quem levou vantagem?• Os pais acharam as propostas

interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem?

• A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões.

Sucessão ou sequência

Sequências Numéricas

É uma sequência(ou sucessão) composta por números que estão dispostos em uma

determinada ordem pré-estabelecida.

Alguns exemplos de sequências numéricas:

é uma sequência de números pares positivos.

é uma sequência de números naturais. é uma sequência de quadrados perfeitos.é uma sequência de números múltiplos de 5, maiores que cinco e menores que 35.

• (2, 4, 6, 8, 10, 12, ... )

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)

• (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)

• (10, 15, 20, 25, 30)

Sequências numéricas - representação

• De modo geral os termos consecutivos de uma sequência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice.

a1 → primeiro termo

a2 → segundo termo

a3 → terceiro termo

a4 → quarto termo........................................

an → enésimo termo ou termo geral

O índice indica a posição do elemento

na sequência.

Sequências numéricas - representação

• De modo geral os termos consecutivos de uma sequência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice.

(a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma sucessão finita

(a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma sucessão infinita

Vale para qualquer sequência numérica:

(a1, a2, a3, a4, ... , an) sequência finita.

(a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) sequência infinita.

primeiro termo

segundo termo

terceiro termo

quarto termo

enésimo termo

Para obtermos os elementos de uma sequência é preciso ter uma lei de formação da sequência.

Por exemplo: an = 2n + 1, n N*

Determine os cinco primeiros elementos dessa sequência:

primeiro termo

segundo termo

terceiro termo

quarto termo

quinto termo

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

an = 2n + 1

a1 = 21 + 1 a1 = 3

a2 = 22 + 1 a2 = 5

a3 = 23 + 1 a3 = 9

a4 = 24 + 1 a4 = 17

a5 = 25 + 1 a5 = 33

Logo a sequência será: ( 3, 5, 9, 17, 33, ...)

Exemplo:

• Obtenha os 4 primeiros termos da sequência dada por an=3n+1

• a1=3.1+1=4

• a2=3.2+1=7

• a3=3.3+1=10

• a4=3.4+1=13

Sequência formada(4, 7, 10, 13,...)

Exemplo:

• Obtenha os 4 primeiros termos da sequência dada por an=3n+1

• a1=3.1+1=4

• a2=3.2+1=7

• a3=3.3+1=10

• a4=3.4+1=13

Sequência formada(4, 7, 10, 13,...)

Exemplo• O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter os

termos a2 e a7 .

• Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição.

Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7.

n = 2 ⇒ a2 = 22 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8

n = 7 ⇒ a7 = 72 + 2.7 ⇒ a7 = 49 + 14 = 63

Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48

⇒ n2 + 2n – 48 =0 ⇒ n’ = –8 (F)⇒ n” = 6

⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48.

Exemplos• Obter os cinco primeiros termos da sucessão

numérica infinita, definida pela lei de formação.

a1 = 3

an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1

(3, 7, 15, 31, 63)

n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1⇒ a2 = 7

n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒a3 = 15

n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 +1 ⇒ a4 = 31

n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 +1 ⇒ a5 =63

Exemplos

• Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos.

a) (2, 7, 12, 17, ...)

b) (1, 8, 27, 64, ...)

c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...)

d) (3, 6, 12, 24, ...)

e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)

f) (0, 3, 8, 15, 24, ...)

22 e 27.

125 e 216.

1 e 162.

48 e 96.

21 e 34.

35 e 48.

*IMPORTANTE:

• Uma sequência é finita, quando o último termo está determinado.

• Uma sequência é infinita, quando o último termo não está determinado.

• Uma sequência nada mais é do que uma função, cujo domínio é o conjunto dos números naturais e cujas imagens são subconjuntos dos números reais.