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Fiche 11 – Le programme de mathématique

Quelle sera la formation en mathématique au secondaire ?

Au secondaire, l’enseignement de la mathématique se fait dans un cadre interdisciplinaire, au même titre que l’enseignement des autres disciplines. Il est important de se rappeler que le programme Mathématique s’inscrit dans un domaine d’apprentissage plus large au sein du Programme de formation de l’école québécoise (PFÉQ). Pour bien comprendre la place et le rôle qu’il y occupe, il serait judicieux de consulter aussi la Fiche 9 – Le domaine de la mathématique, de la science et de la technologie. Le programme Mathématique

Lors des trois premières années du secondaire, un programme de mathématique d’environ 150 heures par année est offert à tous les élèves et assure une formation de base commune. Aux 4e et 5e secondaires, l’élève doit choisir une séquence particulière de cours parmi les suivantes :

Culture, société et technique ;

Technico-sciences ;

Sciences naturelles.

Un résumé de ces séquences est présenté à la page suivante.

En principe, l’élève peut se réorienter et changer de séquence lors du passage à la 5e secondaire. Cependant, bien que l’ensemble des séquences doit être offert dans chaque commission scolaire, il arrive que des écoles n’offrent pas toutes les séquences aux élèves. De plus, le passage de la séquence Culture, société et technique à la séquence Technico-sciences ou Sciences naturelles peut nécessiter une formation compensatoire déterminée par l’école. Pour l’instant, les modalités de cette formation ne sont pas précises, mais les Comités-conseils des programmes d’études préuniversitaires Sciences de la nature et Sciences, arts et lettres recommandent une formation compensatoire de 150 heures. Toutes les séquences de cours en mathématique permettent d’entreprendre une formation au collégial. Cependant, pour être admis dans certains programmes préuniversitaires et techniques, l’élève doit avoir réussi la séquence Technico-sciences ou Sciences naturelles de la 5e secondaire. Pour plus d’informations sur les nouveaux préalables d’admission aux programmes d’études collégiales, nous vous invitons à consulter le document disponible en ligne à l’adresse suivante : http://www.mels.gouv.qc.ca/sections/publications/index.

asp?page=fiche&id=869.

Les compétences du programme Mathématique

En continuité avec le programme du primaire, toutes les séquences du programme Mathématique du secondaire visent le développement des trois mêmes compétences :

Résoudre une situation-problème ;

Déployer un raisonnement mathématique ;

Communiquer à l’aide du langage mathématique.

Ces compétences, leurs composantes, leurs critères d’évaluation, de même que la pondération accordée à l’évaluation de chacune d’elles sont présentés dans le tableau de la page 3.

Dans cette fiche, on aborde :

Le programme et les séquences de mathématique ;

Les compétences et les concepts prescrits de ce programme ;

Les situations d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ) ;

La transition secondaire-collégial.

2 Fiche 11 – Le programme de mathématique

Séquences en mathématique

Particularités des séquences de cours en mathématique (tiré du Programme de formation de l’école québécoise, 2e cycle, Mathématique, p. 3)

SEQUENCE CULTURE, SOCIETE ET TECHNIQUE SEQUENCE TECHNICO-SCIENCES SEQUENCE SCIENCES NATURELLES

S’adresse à l’élève qui aime concevoir des objets et des activités, élaborer des projets ou coopérer à leur réalisation.

Vise à éveiller chez l’élève un intérêt

pour les causes sociales et de développer son esprit d’entreprise.

Fait davantage appel à la statistique et

aux mathématiques discrètes (branche de la mathématique qui étudie principalement les situations mettant en jeu des ensembles finis et dénombrables d’objets).

Met l’accent sur des situations

auxquelles l’élève devra faire face dans sa vie personnelle et professionnelle.

Vise la consolidation des facettes de la

mathématique qui aideront à devenir un citoyen autonome participant de façon active et raisonnée à la vie en société.

Prépare plus particulièrement à

poursuivre des études dans le domaine des arts, de la communication ou des sciences humaines et sociales.

S’adresse à l’élève désireux d’explorer des situations qui combinent à l’occasion le travail manuel et le travail intellectuel.

Met l’accent sur la réalisation

d’études de cas ainsi que sur l’aptitude à repérer des erreurs et des anomalies dans des processus ou dans des solutions, en vue d’établir un diagnostic et d’apporter des correctifs appropriés.

Vise à dégager les concepts et

processus mathématiques associés à la conception, au fonctionnement ou à l’utilisation d’instruments liés à certaines techniques.

Vise particulièrement à rendre

l’élève apte à s’engager efficacement dans des domaines techniques liés à l’alimentation, la biologie, la physique, l’administration, les arts et la communication graphique.

S’adresse à l’élève qui cherche à comprendre l’origine et le fonctionnement de certains phénomènes, à les expliquer et à prendre des décisions dans ces domaines.

Amène l’élève à élaborer des preuves

ou des démonstrations formelles dans des situations où le besoin d’affirmer une vérité est omniprésent.

Fait davantage appel à la capacité

d’abstraction de l’élève, notamment dans le recours aux propriétés des objets mathématiques au regard de la complexité des manipulations algébriques mises à sa portée.

Met l’accent sur la recherche,

l’élaboration et l’analyse de modèles issus d’expériences touchant principalement les domaines scientifiques.

Favorise l’acquisition de stratégies et

d’une formation intellectuelle qui permettent à l’élève de poursuivre tout particulièrement ses études en Sciences de la nature ou de s’orienter éventuellement vers la recherche.


COMPÉTENCES DISCIPLINAIRES DU PROGRAMME MATHÉMATIQUE

(tiré du Programme de formation de l’école québécoise, 2e cycle, Mathématique)

COMPÉTENCES SENS DE LA COMPÉTENCE COMPOSANTES DE LA

COMPÉTENCE CRITÈRES D’ÉVALUATION PONDÉRATION

COMPÉTENCE 1 Résoudre une situation-problème

Une situation-problème doit susciter un besoin de résolution ou un conflit cognitif par sa nouveauté ou son caractère inédit. Elle soulève un ou plusieurs aspects d’une problématique et l’obtention d’une solution nécessite la combinaison non apprise de règles et de principes mathématiques.

Décoder les éléments qui se prêtent à un traitement mathématique

Représenter la situation-problème par un modèle mathématique

Élaborer une solution

Valider la solution

Échanger l’information relative à la solution

Manifestation, oralement ou par écrit, d’une compréhension adéquate de la situation-problème.

Mobilisation de savoirs mathématiques appropriés à la situation-problème.

Élaboration d’une solution appropriée à la situation problème.

Validation appropriée des étapes de la solution élaborée.

30 %

COMPÉTENCE 2 Déployer un raisonnement mathématique

Déployer un raisonnement mathématique consiste à émettre des conjectures, à critiquer, à justifier ou à infirmer une proposition faisant appel à des savoirs scientifiques.

Émettre des conjectures

Construire et exploiter des réseaux de concepts et de processus mathématiques

Réaliser des preuves ou des démonstrations

Formulation d’une conjecture appropriée à la situation

Application correcte des concepts et des processus appropriés à la situation

Structure adéquate des étapes d’une preuve ou d’une démonstration adaptée à la situation

Justification congruente des étapes d’une preuve ou d’une démonstration adaptée à la situation

45 %

COMPÉTENCE 3 Communiquer à l’aide du langage mathématique

Communiquer à l’aide du langage mathématique, c’est s’approprier des éléments spécifiques qui le composent et les coordonner de façon adéquate pour interpréter, produire et transmettre des messages.

Interprétation des messages à caractère mathématique

Produire et transmettre des messages à caractère mathématique

Réguler une communication à caractère mathématique

Transposition juste d’un concept ou d’un processus mathématique à l’aide d’un autre registre sémiotique

Interprétation juste d’un message à caractère mathématique comportant au moins deux registres de représentation sémiotique

Production d’un message approprié au contexte de la communication

Production d’un message conforme à la terminologie, aux règles ainsi qu’aux conventions propres à la mathématique

25 %


Par ailleurs, au sein de chacune des séquences de mathématique, le développement des compétences nécessite de recourir à des ressources diverses dont font partie les concepts prescrits. On retrouve une répartition particulière des concepts abordés dans chacune des séquences. Vous trouverez en annexe 1 des tableaux, tirés du PFÉQ, qui résument l’ensemble des concepts prescrits pour chacune des séquences d’enseignement en mathématique. En annexe 2, vous trouverez un diagramme, réalisé par Gauthier et Therrien (2008), qui met en évidence les recoupements ainsi que les particularités des séquences en ce qui a trait aux concepts prescrits pour la 4e secondaire. Soulignons qu’on ne retrouve pas dans ces séquences le même partage des concepts qui apparaissait dans les anciens programmes (416, 436, 536, etc.). Les concepts prescrits sont répartis différemment entre les séquences, mais il demeure que pour ce qui est des séquences Technico-sciences et Sciences naturelles, elles abordent un grand nombre de concepts qui étaient auparavant abordés dans les programmes 436 et 536.

Les situations d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ) De façon générale, l’élève issu du renouveau pédagogique devrait être habitué de réaliser des situations d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ) qui permettent de contextualiser les apprentissages.

Nous présentons ci-dessous un exemple de SAÉ qui peut être utilisée dans le cadre de l’enseignement de la mathématique au secondaire. Soulignons qu’il s’agit d’un exemple parmi d’autres et que les formes que peuvent prendre les SAÉ sont diversifiées. La SAÉ présentée est tirée du Service national du RÉCIT – Mathématique, Science et Technologie, un site Internet qui propose notamment une diversité de SAÉ pour l’enseignement de la mathématique au primaire et au secondaire (http://recitmst.qc.ca/).

Un exemple de SAÉ : « Achat d’ordinateurs » (Gino Normand, Martin Blanc, Marie-Josée Frappier et Nathalie Taillefer)

Mise en situation

Un groupe d’aînés de votre municipalité désire rénover une partie de leur parc informatique. Le parc informatique est constitué de 35 ordinateurs et un minimum de 18 appareils est à changer. Pour ce faire, ils ont prévu un budget de 20 000 $. Sachant qu’il est possible que vous vous dirigiez dans le domaine de l’administration, ils ont cru bon de faire appel à vos services. Ils vous font part de leurs contraintes et désirent que vous leur fassiez votre analyse pour prendre la meilleure décision.

Le groupe demande que vous compariez les trois soumissions jointes et que vous présentiez votre étude tout en expliquant votre point de vue.

Soumissions (les prix comprennent les taxes)

Compagnie A : 1103,22 $ par ordinateur (licences comprises)

Compagnie B : 912,48 $ par ordinateur + 4500 $ pour l’ensemble des licences

Compagnie C : 850,00 $ par ordinateur avec un achat minimum de 25 ordinateurs (licences comprises)

Qu’est-ce qu’une situation d’apprentissage et d’évaluation (SAÉ) ?

La SAÉ comprend différentes tâches à réaliser par l’élève qui permettent le développement de compétences transversales et disciplinaires. Elle comprend une problématique complexe (liée au quotidien, par exemple), un ensemble de tâches et d’activités d’apprentissage liées à des connaissances, et une étape d’évaluation qui permet à l’élève et à l’enseignant de porter un jugement sur le développement des compétences. Pour plus d’informations sur la structure générale des SAÉ, nous vous invitons à

consulter la Fiche 5 – Le contexte pédagogique.


Déroulement

Préparation : l’élève s’intéresse aux métiers et professions en lien avec la SAÉ. Il prend connaissance de la SAÉ et identifie la stratégie adéquate qui lui permettra de résoudre le problème en s’appuyant sur ses connaissances antérieures.

Réalisation : l’élève s’interroge sur les moyen à utiliser pour se représenter les trois soumissions (tableaux, graphiques, etc.). Ensuite, en équipe de deux, les élèves discutent de leurs pistes de solution et de la stratégie qu’ils utiliseront. Ils élaborent une solution en s’appuyant sur les ressources matérielles et humaines à leur disposition, et en faisant appel aux concepts mathématiques appropriés. Enfin, ils préparent une présentation adaptée à la clientèle visée.

Intégration : les élèves présentent leur solution en classe en justifiant leur choix. Suite aux commentaires des autres élèves, ils apportent des améliorations à leur solution. Enfin, ils effectuent un retour réflexif sur l’activité à l’aide d’un questionnaire.

Programme Technico-sciences (4e secondaire) Domaines généraux de formation Environnement et consommation : amener l'élève à entretenir un rapport dynamique avec son milieu, tout en gardant une distance critique à l'égard de la consommation et de l'exploitation de l'environnement.

Compétences disciplinaires

Résoudre une situation-problème

Compétences transversales

Résoudre des problèmes

Exercer son jugement critique Relativiser son opinion

Concept prescrit

Système d’équation du 1er degré à deux variables Processus Analyse de situations :

Expérimentation, observation, interprétation, description et représentation graphique de situations concrètes

Modélisation d’une situation à l’aide de registres de représentation: verbalement, algébriquement, graphiquement et à l’aide d’une table de valeurs

Description des propriétés d’une fonction

Interprétation des paramètres

Interprétation et représentation graphique de la réciproque de la fonction du second degré, de la fonction exponentielle et de la fonction partie entière

Résolution de systèmes d’équations du premier degré à deux variables

Pour plus de détails concernant le déroulement de la SAÉ, consultez l’adresse suivante : http://domaine.recitmst.qc.ca/?ACHAT-D-ORDINATEURS

La transition secondaire-collégial : des impacts possibles

Quel sera l’effet du bagage que l’élève aura intégré au primaire et au secondaire sur la poursuite d’études collégiales ? Sera-t-il facilitant ou limitatif ? Il est difficile pour l’instant de répondre adéquatement à ces questions puisque les 1ers étudiants issus du renouveau pédagogique ne feront leur entrée au collégial qu’à partir de l’automne 2010. Par contre, des comités formés par le ministère de l’Éducation, du Loisir et du Sport (MELS) soulèvent des questions qui permettent de réfléchir au sujet de la transition et offrent un éclairage intéressant sur l’impact possible du renouveau sur l’enseignement des mathématiques au collégial.

Le point de vue des Comités-conseils sur les programmes d’études

Des questions se posent en ce qui concerne le nouveau programme de Mathématique. En février 2008, les Comités-conseils des programmes d’études préuniversitaires Sciences de la nature et Sciences, lettres et arts exprimaient certaines préoccupations quant à la mise en œuvre effective du programme de Mathématique :

En ce qui a trait à la séquence Technico-sciences, le fait que les concepts prescrits soient enseignés de manière pratique peut conduire à penser que plusieurs élèves auront de la difficulté à s’adapter à des cours collégiaux de Mathématique moins contextualisés.


De manière générale, le temps alloué à l’étude des concepts prescrits n’est pas précisé dans le programme de Mathématique, ce qui laisse planer des doutes quant au traitement qui en sera fait et à la profondeur de leur apprentissage.

Les séquences Technico-sciences et Sciences naturelles seraient relativement équivalentes. Elles partageraient à 83% les mêmes contenus et donnent toutes deux accès aux programmes Sciences de la nature et Sciences, lettres et arts. Cependant, pour l’un des Comités-conseils, le degré d’approfondissement des concepts par les élèves inscrits à la séquence Technico-sciences, plus appliquée, risque d’être moindre que celui atteint par les élèves de Sciences naturelles.

Le style d’enseignement dans la séquence Technico-sciences, préconisant une approche où les concepts sont abordés de la pratique vers la théorie et l’abstraction, pourrait faire en sorte que les élèves issus de cette séquence aient plus de difficulté à s’adapter à l’enseignement plus conceptuel qui caractérise fréquemment la formation en Sciences de la nature.

Le style d’enseignement dans la séquence Sciences naturelles serait donc mieux adapté à la manière traditionnelle d’enseigner les sciences au collégial.

Les Comités-conseils mettent aussi en relief les impacts positifs que pourrait avoir le programme Mathématique :

La différenciation des approches pédagogiques au secondaire (voir la Fiche 5 – Le contexte pédagogique) pourrait accroître la motivation et la persévérance des élèves au secondaire, et ainsi contribuer à augmenter le nombre de ceux qui s’inscrivent en sciences au collégial.

Les 50 heures de formation en mathématique ajoutées en 3e secondaire permettraient à l’élève de faire davantage de manipulations algébriques afin de mieux préparer son arrivée dans les cours de mathématique du collégial.

L’un des Comités-conseils estime, en examinant les concepts mathématiques des cours collégiaux de Chimie générale, de Chimie des solutions et de Physique mécanique, que les concepts mathématiques abordés au secondaire sont suffisants dans les séquences Technico-sciences et Sciences naturelles.

La séquence Technico-sciences préconiserait une approche par problème, comme ce serait souvent le cas dans les profils environnement et santé. Cela pourrait avoir pour effet d’avantager les élèves issus de cette séquence.

La séquence Technico-sciences est considérée comme adéquate pour l’accès aux programmes techniques et supérieure aux anciens programmes 436/536 par l’un des Comités-conseils.

Le Rapport aux comités-conseils des programmes d’études préuniversitaires, Sciences de la nature et Sciences, lettres et arts

Dans le but d’estimer les impacts possibles des nouveaux programmes d’études secondaires sur le collégial, des comités d’analyse du PFÉQ ont été formés par le MELS. Nous présentons ici brièvement les grandes lignes du rapport réalisé par l’un de ces comités.

En regard des méthodes pédagogiques mentionnées dans le PFÉQ, le comité pense que les étudiants issus du renouveau pédagogique devraient être plus autonomes, plus critiques, plus débrouillards que leurs prédécesseurs et avoir une plus grande capacité d’adaptation. Par contre, les étudiants auront des profils plus variables en ce qui concerne leurs connaissances et leurs méthodes de travail. En regard de l’évaluation le comité s’interroge sur :

le degré d’approfondissement et de maîtrise des concepts prescrits ;

le nombre d’évaluations sommatives qui auront cours. Y aura-t-il plus ou moins d’évaluation que par le passé ?

la possibilité que certains concepts ne soient pas évalués au secondaire en soulignant que certaines connaissances sont difficiles à évaluer sous la forme de tâches complexes.


Le comité d’analyse conclut que le nouveau programme Mathématique pourrait avoir des impacts positifs et négatifs sur l’enseignement des mathématiques au collégial. D’une part, les compétences « Résoudre une situation problème » et « Déployer un raisonnement mathématique » développées au secondaire devraient faciliter l’adaptation des élèves aux études collégiales en sciences de la nature qui poursuivent explicitement ces buts. D’autre part, plusieurs notions d’algèbre auparavant enseignées au secondaire ne sont plus prescrites dans la séquence Technico-sciences. L’absence de ces notions pourrait amplifier le problème d’arrimage entre le secondaire et le collégial qui existait déjà avant l’implantation du nouveau programme.

Ainsi, bien que les séquences Technico-sciences et Sciences naturelles soient jugées équivalentes, le comité d’analyse n’est pas convaincu que les élèves issus des deux séquences auront développé les mêmes habiletés mathématiques.

Des recommandations pour faciliter la transition

Il est difficile pour l’instant d’estimer quelles seront les forces et les lacunes des étudiants en ce qui a trait à l’apprentissage de la mathématique. Par contre, il semble y avoir des différences notables entre l’ancien et le nouveau programme de formation en ce qui a trait à la répartition des concepts prescrits. De plus, le contexte pédagogique dans lequel se réalisent maintenant les apprentissages peut être différent de ce qu’il était auparavant, notamment à cause de l’insistance portée sur les SAÉ. Ce contexte peut aussi varier d’une classe à une autre, dépendamment des stratégies pédagogiques mises en œuvre par l’enseignant. Par ailleurs, le contexte dans lequel se réalise l’évaluation des apprentissages est maintenant différent. Les élèves devraient être habitués à une évaluation par compétences qui met en évidence leurs forces et leurs lacunes, notamment par le biais de grilles d’évaluation descriptives (voir la Fiche 6 – Les compétences et leur évaluation au secondaire). Par contre, les modalités d’évaluation auront été probablement différentes d’une école à une autre.

Afin de faciliter la transition de ces élèves du secondaire vers le collégial, il nous semble pertinent de rappeler les recommandations faites par les comités d’analyse du PFÉQ dans le rapport intitulé Arrimage secondaire-collégial : Profil général de l’élève issu du renouveau pédagogique au secondaire :

1. Vérifier les acquis des élèves en relation avec les disciplines enseignées pour s’assurer d’une bonne transition en ce qui a trait aux contenus enseignés (éviter les répétitions, s’assurer de l’acquisition des savoirs essentiels, etc.).

2. Varier les stratégies pédagogiques, ce qui permettrait d’assurer une certaine continuité avec ce qui se fait au secondaire.

3. Élaborer une évaluation conforme à l’approche par compétences, ce qui permettrait d’identifier les forces et les lacunes des étudiants, en continuité avec ce dont ils auront fait l’expérience au secondaire.

Une analyse pertinente des enseignants de mathématique

Des résumés du Rapport aux comités-conseils des programmes d’études préuniversitaires, Sciences de la nature et Sciences, lettres et arts sont disponibles en ligne à l’adresse suivante : http://www.mels.gouv.qc.ca/ens-

sup/ens-coll/arrimage.asp. L’un de ces

résumés expose plus spécifiquement les impacts probables du nouveau programme de Mathématique du secondaire sur l’enseignement collégial de la mathématique. L’analyse réalisée traite de certains problèmes d’arrimage entre le secondaire et le collégial et identifie plus précisément certains concepts dont l’enseignement n’est plus prescrit dans la

séquence Technico-sciences.


RÉFÉRENCES ET LIENS UTILES COMITÉS-CONSEILS SUR LES PROGRAMMES D’ÉTUDES, « Compte rendu de la réunion spéciale des comités-conseils des programmes d’études préuniversitaires Sciences de la nature (200.B0) et Science, lettres et arts (700.A0) tenue au collège Ahuntsic, à Montréal, le vendredi 22 février 2008 », [en ligne], www.mels.gouv.qc.ca/ens-sup/ens-coll/COMITE/22fev2008.pdf (page consultée le 6 avril 2009) DOMAINE MST, « Achat d’ordinateurs », http://domaine.recitmst.qc.ca/?ACHAT-D-ORDINATEURS, [en ligne], (page consultée le 27 avril 2009) GAUTHIER, Johanne et THERRIEN, Nicolas. « Les séquences de mathématique », documents de travail, Commission scolaire de Laval, 2007-2008. MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION, DU LOISIR ET DU SPORT, « Programme de formation de l’école québécoise, enseignement secondaire, 1er cycle », [en ligne], http://www.mels.gouv.qc.ca/DGFJ/dp/programme_de_formation/secondaire/prformsec1ercycle.htm (page consultée le 23 février 2009) MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION, DU LOISIR ET DU SPORT, « Programme de formation de l’école québécoise, enseignement secondaire, 2e cycle », [en ligne], http://www.mels.gouv.qc.ca/sections/programmeFormation/secondaire2/ (page consultée le 23 février 2009) MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION, DU LOISIR ET DU SPORT, « Arrimage secondaire-collégial, Rapport aux comités-conseil des programmes d’études préuniversitaires, Sciences de la nature (200.B0) et Sciences, lettres et arts (700.A0), février 2009, [en ligne], http://www.mels.gouv.qc.ca/ens-sup/ens-coll/arrimage.asp, (page consultée le 22 février 2010). MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION, DU LOISIR ET DU SPORT, « Arrimage secondaire-collégial, Profil général de l’élève issu du renouveau pédagogique au secondaire, Rapport du Comité d’analyse du Programme de formation de l’école québécoise », juin 2009, [en ligne], http://www.mels.gouv.qc.ca/ens-sup/ens-coll/arrimage.asp, (page consultée le 3 novembre 2009).

Groupe de travail sur le renouveau, Cégep Limoilou

Jean-François Maltais, enseignant en biologie

Marcel Lafleur, conseiller pédagogique

Pierre Ross, enseignant en histoire

Février 2010

Concepts prescrits au 2e cycle du secondaire au sein des séquences, tiré du Programme de formation de l’école québécoise, Mathématique, 2e cycle, p. 137-143.137-143.

Concepts et processus prescrits dans chacune des séquences de mathématique, 4e secondaire

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