quel che vedo è sempre vero? lattività è stata realizzata e sperimentata in classe nel corso...
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Quel che vedo è sempre Quel che vedo è sempre vero?vero?
Quel che vedo è sempre Quel che vedo è sempre vero?vero?
L’attività è stata realizzata e sperimentata in classe nel corso dell’anno scolastico 2006/07 nell’ambito del Progetto [email protected]
A cura di Lucio Vecchio
Liceo Scientifico Statale “Giovanni da Procida” - Salerno
I parte
La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è sempre un numero
dispari
La mia affermazione è corretta?
Verifichiamola con alcuni esempi
Completiamo la tabella
numero
precedente
quadrato del numero
quadrato del precedente
differenza
5 4
8 7
11 10
25
64
121
16
49
100
9
15
21
La somma di due numeri uguali è sempre uguale al loro prodotto
Come prima verifichiamola con alcuni esempi
Completiamo la tabella
numero numero numero + numero
numero x numero
0 0
2 2
0
4
0
4
La mia affermazione è corretta?
Quel che vedo è sempre vero ?
Un’altra affermazione ….
Certamente NO !!! Ma allora …
3 + 3 ≠ 3 x 3
Un semplice esempio numerico è sufficiente per dimostrare la falsità della seconda affermazione
Provate ora a verificare la prima affermazione con i primi 100 numeri di No e, per non perdere tempo nei calcoli, utilizzate il foglio elettronico Excel
Basta la verifica fatta per affermare la verità di tale proposizione?
Che cosa ci assicura che l’affermazione: “La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il
quadrato del suo precedente è un numero dispari” è sempre vera?
22 )1( nn
Formalizziamo algebricamente il problema
Un numero: n Il suo precedente: n - 1
La differenza dei quadrati:
Qual è lo sviluppo di ?
2n -1 è pari o dispari?
Qual è la differenza tra verificare e dimostrare una congettura?
Ripeti la dimostrazione indicando il primo numero con n+1 ed il suo precedente con n
Qual è lo sviluppo di ?22 )1( nn
1. la somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari (anzi è un multiplo di 4);
4. il prodotto di due numeri, di cui almeno uno è pari, è pari.
2. la somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari;
3. il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari;
(2n+1) +
2n +
(2n+1)
(2m+1) oppure (2n)
oppure (2n-1) +(2n+3) (2n+1)
(2m+1)
Quanti casi dobbiamo considerare?
Formalizziamo algebricamente i seguenti problemi e
dimostriamo, come prima, la loro verità
(2m+1)
2n (2m)
Risolvi e commenta
Ciascuna delle persone che ha partecipato a un ricevimento ha dato un certo numero di strette di mano. Dimostra che il numero di quelli che ne hanno dato un numero dispari è pari.
Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:
• “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3”.
• “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari”. • “La somma di due numeri pari è sempre pari”
• “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo”.
• “La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari”.
Esercizi per casa
II parte
I programmi di geometria dinamica servono a dimostrare
le relazioni che intercorrono tra enti geometrici?
Costruiamo, ad esempio, con Geogebra le mediane
di un triangolo qualsiasi.
Registrazione da LIM
Le mediane sembrano incontrarsi in uno stesso punto !
Se i punti di intersezione fossero distinti, ma distanti l’uno dall’altro meno di 0,00001 mm, ci accorgeremmo della differenza?
… occorre dimostrare
… non basta verificare
Le costruzioni fatte ci aiutano ad intuire le possibili relazioni che intercorrono tra gli enti geometrici considerati, ma ….
ma ne siamo sicuri?
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto
come somma di due numeri primi
Un’altra congettura …. famosa
Come prima, proviamo a verificarla con alcuni esempi
4 = 6 =8 =
10 = 12 = 14 = 16 =
2+2 5+3 3+3
5+5 7+5 7+7 11+5
Esercizi per casa
1) Utilizzando l’algoritmo di Cantor e le tavole dei numeri primi, verifica la congettura enunciata scegliendo 20 numeri pari a tuo piacimento
Scegli un numero pari
Scegli il numero primo più vicino al pari considerato, purché minore
Calcola la differenza
La differenza è un numero primo?
Il numero pari considerato è la somma
dei numeri primi trovati
Via
Fine
Si No
2) Prova a dimostrare la congettura enunciata
XLIII. PROPOSITIO DE PORCIS.
Homo quidam habuit CCC porcos, et jussit, ut tot porci numero impari in III dies occidi deberent. Similis est et de XXX sententia. Dicat, qui potest, quot porci impares sive de CCC sive de XXX, inter tres dies [ter] occidendi sunt? Haec ratio indissolubilis ad increpandum composita est.
SolutioEcce fabula! quae a nemini solvi potest, ut CCC porci, sive triginta in tribus diebus impari numero occidantur. Haec fabula est tantum ad pueros increpandos.
Da BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa
XLIII. PROPOSIZIONE SU ALCUNI MAIALI.
Un uomo aveva 300 maiali. Ordinò che fossero tutti macellati in 3 giorni, ma ogni giorno doveva essere ucciso un numero dispari di maiali. Egli volle che la stessa cosa fosse fatta con 30 maiali.Dica, chi può, quanti maiali vennero uccisi al giorno in numero dispari, del gruppo dei 300 e dei 30 maiali? Questo calcolo irrisolvibile è stato composto per scherno.
SoluzioneEcco uno scherzo! Nessuno può risolvere il problema nel modo indicato, cioè in modo che 300 o 30 maiali siano uccisi in 3 giorni, macellandone un numero dispari ogni giorno. Questo è un problema inverosimile ideato solo per mettere alla prova i giovani.
Uno scherzo matematico: tre dispari fanno un pari
3) Leggi il brano e dici perché il problema è inverosimile
Un po’ di storia ed un libro da leggere
Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Leonhard Euler in cui propose la seguente congettura:
Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi.
Euler, interessandosi al problema, rispose con una versione più forte della congettura:
Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi.
La prima delle due è oggi conosciuta come congettura "debole" di Goldbach, la seconda come congettura "forte" di Goldbach. (L'enunciato della versione forte implica quello della congettura debole, poiché ogni numero dispari maggiore di 5 può essere ottenuto aggiungendo 3 ad ogni numero pari maggiore di 2). Si conviene che il termine congettura di Goldbach sia sinonimo di congettura forte di Goldbach.
La storia …..
Entrambi i problemi sono rimasti irrisolti fino ad oggi.
…. il libro
Apostolos Doxiadis
Zio Petros
e la congettura
di Goldbach
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