quantum field theory by peskin_chap04 solution

8

Click here to load reader

Upload: phoool

Post on 05-Jun-2017

216 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

�������������� ������������������� �������� ����! "�$#%��&'$���(�)#*�)�,+-/. 0�.21436587(9;:"1=<>5?. @;5 AB9DC(.E1=9GF H�<>IKJL7 @NMDI�5O3)PQ*RTS�UWV�X�UWY[Z\T]_^�Ua`>b�c6`TbdbTe

fhgjiakmlonGprqsutwvOxGy�zK{ |*}�~

�����W�����>�����L�W�4���=�2�_�=���L�������>�������������4�¡ £¢¥¤4��¦§�W¨©¨��«ª¬���4­¯®±°�­� �°²�4­W��°���³��©�µ´��W¨©´µ���4­$¢¶ª)� ¥�L°²¨·�¥¸¡°�¨�°� �¹>�¡¨º�4�"»N°����G¼G½¾À¿ÂÁÃÅÄ�ÆµÇ »,ȶÉËÊ ÁÃ�Ì É�»)É�Í ÁÃwÄ�ÆµÇ ¼dÈ¶É¬Ê Á÷ΠÉL¼TɬÊaÏ�»,¼T¼ÐÑ,¤4�6¨º°��Ò¢�¢¥�¡ ¥Ó��º�±°����©��¢��L ¥°W¸�¢¥�©�W�o¢�¤�°²¢°²¨�¨©�«ªË�±°"»DÔ�°² �¢��º¸�¨��_¢��"�=�L¸L°�Õ"����¢��¬¢¶ª)�K¼T�¡³«Ô4 ¥�«´µ���4�L�¢�¤>°«¢ Ì×Ö Ã ÎaØ6Ù �¥��Ú4Ó��©�4­O¢¥¤�°«¢¬¢¥¤4���K¸����>�=�Û¢¥�©�W�$���,Ó���¢Ü³�¸¡°�¨�¸¡Ú4¨º°«¢��8¢¥¤4��¨©�©¦§��¢¥�©Ó��£��¦¢¥¤4�?»¢���¨��«ª��Ü�¶¢¬�W ¥�=�L ,�©�$Ý ØÞD�Wß ¨�¨6 ¥��¦§�L o¢��¯»à°����a¼EÔ�°² �¢��º¸�¨��L��°W��áÒ�µÚ�¸�¨��¡�W���¥â*°�����á�Ó��L������� Ø âuã4�� £°$�=�ܸ¡°�ÕÔ4 ¥�=¸��L�¥�)ª��8¢�°²ä��8¢¥¤4���©���Û¢¥��°�¨±�¶¢�°«¢¥�"¢¥�(å>�æ ç_è ʬé"ꪬ¤4�L �� ç ���)¢¥¤4��Ó���Ó��¡��¢�Ú�Óë�²¦�¢�¤����©�4�©¢��º°²¨±��Ú>¸�¨��¡��� ØÑ,¤4�o¹���°�¨��¶¢�°«¢¥����� æ �wì«íÒ� É è Í"é8ꪬ¤4�L ��o�6ì�íÒ� É °² ¥�8¢�¤4��Ó��WÓO�L��¢¥°O�²¦¢�¤4�o¹��>°²¨©îï�Ò¢¥°²¢��oÓ��L������� ØÑ,¤4�ñðòÓ�°²¢� ¥�Ûó*�¡¨��¡Ó��¡��¢Ë�º�ô � ì í�� É�õõõõõ¥ö Ä

Í�÷øí¡Ê"÷�È õõõõõç6ù

¿ ô�ú õõõõõÒû�üµý�ûWü�þ ö ÄÍ�÷NíLÊ"÷òÈÒÿ��

� õõõõõú ù

Á

Page 2: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; ꬤ4�L ��Oÿ � �º�K¢�¤4�O�µÚ�¸�¨��¡�W�¯¸� ¥�L°²¢������ �WÔ>�L ¥°²¢��� Ü³d°²���

û�º�K¢�¤4�OÓ��L�����¯�=�Ü�¶¢¥ �Ú>¸�¢������D��Ô=î�¡ �°«¢¥��  Ø Ñ,¤���Ô>�L Ò¢¥Ú4 �å>°«¢������$���¡ ¥�©�Ü�Ŧ§�W ,¢�¤4�º�¬�Wå=<¶�L¸�¢Ë���ð ¿?> �wì²íÒ� É æ�ç ê Ä ¿ ú ��åµ´µ�©�WÚ���¨©ÕµÈÍ Ä Ê1@¶È Ý�ACBEDGF ô�ú õõõõõ

éIHû�üµý�ûWü�þ

¼ Ä FdÈÒ¼ Ä FdÈ�» Ä Fdȶÿ ��KJ õõõõõú ù

Í Ä Ê1@¶È ÉÃ�L Ý�É�AMB D F ì ACB D F É ô)ú õõõõõéONû�üµý�û�ü�þ

¼ Ä F ì ÈÒ¼ Ä F ì È�» Ä F ì ÈÒ¼ Ä F É È�¼ Ä F É È¥» Ä F É È¶ÿ ��P õõõõõú ù

ÍRQ5QSQÞa�*ª¬��¨©¨,�W�4¨©Õ;�L´�°�¨©Ú>°«¢���¢�¤4�*¹� ��¶¢�î[�W ¥�4�¡ �¢¥�¡ ¥Ó�³Åå4Ú=¢�ª��*Ô�°²Ú�����¢¥�D�Wå����¡ ¥´��(¢¥¤�°«¢O¢�¤4����L¸��W���µîï�� ��=�¡ ,°²�>�*°�¨©¨·¤4��­�¤��¡ ¬�¡´W�¡�=îï�� ��=�L Å¢¥�¡ ¥Ó��Ë´�°��4�º�Ò¤�å>�ܸ¡°�Ú��Ò��°��*�=�4���µÚ4ÓñåT�¡ ¬��¦»À¹>�¡¨º�4�˸¡°��4�4��¢,åT�o¦§Ú4¨�¨©Õ�¸��W�W¢¥ ¥°W¸�¢¥�L�*ª¬�Û¢¥¤*¢¥¤4�£���©�4­W¨©��ÿ2�WÔ>�L ¥°²¢��W  ØÑ,¤4��¨��«ª��Ü�¶¢�î[�W ¥�=�L Å¢¥�¡ ¥Ó��º�ð±ì ¿ Ä Ê1@¶È Ý A B D F H °²¨�¨d¦§Ú4¨�¨±¸��W�W¢¥ ¥°W¸�¢¥�©�W���)�²¦

û ü ý�û ü þ¼ Ä FTÈÒ¼ Ä FTÈ�» Ä FTÈÒÿ���TJ Ð Ä Á ÈÑ,¤4�8���4¨�Õ�¸�¤4�W��¸¡�K�²¦ª¬¤�°«¢)¢����=�Oª¬�Û¢¥¤G»�°�����ÿ;�º��¢���¸��W�W¢¥ ¥°W¸�¢�¢�¤4�LÓ ¢��W­���¢¥¤4�¡ Ü³µ�Ò����¸���4�L�Û¢¥¤4�¡ o¸¡°�� å>��¸��W��¢� �°�¸�¢¥�L�$ª¬�©¢�¤¯°��µÕW¢¥¤4���4­��L¨���� Ø Ñ,¤4�¡�¯�©�Dª¬¤�°«¢8 ��LÓ�°��©�>�˪)�?¸��WÚ4¨º�¸��W��¢� �°�¸�¢�¢�¤4�

û�)ª¬�Û¢¥¤��Ü°�¸�¤��WÔ=¢�¤��¡ ¬°²����¢�¤4��¼T�,ª¬�Û¢¥¤*�Ü°�¸�¤���¢�¤4�L L³µå4Ú4¢)¢¥¤4�º�,ª��WÚ4¨���å>�Ô�°� Ò¢¬�²¦ Á Ô�°² �¢¬�²¦¢�¤4�ñð�îïÓ(°«¢¥ ��©ó Ø Ñ,¤������4¨�Õ��4�W�W¢¥ ���´µ��°�¨·¸�����¢¥ ¥°W¸�¢������*���Ë�²¦±¢¥¤4�o¦§�� ¥ÓÑ,¤4��Ô4 ¥�=�=Ú�¸�¢¬��¦¢¥¤4�£¸��W�W¢¥ ¥°W¸�¢¥�©�W���)¤4�¡ ¥�o���U0VXWZY ý#[ Y þS\^]._�`Ga `°²�>�(¢�¤��¡ ¥�8°� �� à ¢¥�¡ ¥Ó��,¨���ä��"¢�¤4�º�¡³=åT�L¸L°²Ú����Ë¢¥¤4�¡ ¥�oª)°W�Å�W�4�o°²¨©¢��¡ ¥��°²¢���´��Kª,°�Õ�ª��o¸��WÚ4¨º�¤�°�´W�8¸¡����¢� �°�¸�¢��L��¢�¤��

û�,ª¬�©¢�¤�¢¥¤4�ñ¼T� Øcb �����¡ �¢����4­����W¢¥� Ä Á È�³ð±ì ¿ Ê Ã Q Ä Ê1@ È¶Ý A BED5F U0VXWdY ý#[ Y þ!\)]._X`�a `¿ à @ïÝ Ä Ã�e È D5f0D Ähg ì Í g É Êji²È����Ó�Ô�°� ����4­Dª¬�Û¢¥¤�¢¥¤4�G�=��¹>�4�Û¢¥�©�W� Ä�k lnm �Go�Ú�°«¢¥�©�W�qp ØZr�s È£��¦K¢¥¤4�G�©�µ´«°² ¥�º°²��¢OÓ(°²¢� ¥�Ûó�¡¨��¡Ó��L�W¢Ü³4ª)�8 ¥�L°W���Et u ¿ à ÝwÐk ¨�Ú4­W­����4­?����¢�� k lvm ¦§�� ¥ÓñÚ4¨º° Ä p Ø wEx È�³µ¢�¤��£�=�L¸L°�Õ� ¥°²¢��o�º�Bzy ¿ ÁÃ Ì Bz{ g ì!Bz{ g ÉÄ Ã�e È.| Ã(} ì Ã(} É Ä Ã Ý±È¶É Ä Ã�e È DGf0D Ä�~ Ê g ì Ê g ì È Ä Ã ÈÑ,¤4��p²î �=��Ó��¡�����©�W��°²¨ f ¦§Ú4��¸�¢������G��ÓOÔT�W���L�)¢¥¤4�£¸��W���=�©¢��������� ì ¿ ʬ� É í

Page 3: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; s} ì6Í } É ¿ Ì Ðb �����¡ �¢����4­O¢�¤4�o¹> ¥�Ò¢¬�²¦�¢�¤4�Ü�Ò�o���W¢¥��¢�¤4�£���L¸¡������³=ª��o��å4¢¥°²���*¢�¤4�£¸¡�����=�©¢������g É ì ¿ g ÉÉ ¿ Ì Ép Ê Î É�ÐÑ,¤4�L� Ä Ã È�åT�L¸��WÓ��L� B/y ¿ Ý Éw e É g É ìÌ } É B��¿ Ý Éw e É Ì � Á Ê p Î ÉÌ É�� B��8Ðb ��¢��L­� �°«¢����4­O�«´��L ,����¨��º�*°��4­�¨��L�L³µª��o¹��>��¢¥¤4�o¢���¢¥°�¨��=�L¸L°�Õ� ¥°²¢��W½y ¿ Ý ÉÃ�e � Á Ê p Î ÉÌ É��

Page 4: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; psutwvOxGy�zK{ |*}¶|

����������«�[�>�����±���4�¡�L���«����EÑ,¤4�*¸¡ ������£���L¸�¢������2¦§�W ?�¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­ ��¦Ë°²�E�L¨©�ܸ�¢� ¥���2åµÕD¢�¤4�����Ú�¨©�WÓñå ¹>�¡¨º�D��¦)°��µÚ�¸�¨��¡Ú>�£¸¡°��DåT�(¸���Ó�Ô4Ú4¢��L��³�¢��G¨��«ª)�L�Ò¢8�W ¥�=�L L³·ª¬�©¢�¤���Ú=¢�o�Ú�°��W¢¥�� L�©��­¢�¤�� �¡¨��L¸�¢� ¥��Ó(°²­W�4��¢¥��¸�¹��L¨�� Ø b �>�¶¢¥�L°���³,¢� ¥�L°«¢(¢¥¤4� ¹>�¡¨º�N°���°2­W�©´W�¡��³¬¸¡¨�°W������¸L°²¨ËÔT�²¢¥�¡��¢��º°²¨� ÇdÄ FTÈ Ø Ñ,¤4���©��¢¥�¡ �°�¸�¢¥�©�W���"°²Ó���¨Û¢¥���4�º°²�������� ¿ A B { F U ��� Ç � � Ç íª¬¤4�L �� � Ä FTÈ)�º�,¢�¤���Ú��ÒÚ>°²¨ o�Ú�°²��¢¥�� L�L���K�� ¥°W¸"¹��¡¨º� Ø� ��� m ¤4�«ªN¢�¤>°«¢,¢�¤4�oé¬îïÓ(°«¢¥ ��©ó(�¡¨��¡Ó��¡��¢)¦§�� ¬�¡¨��L¸�¢� ¥������¸L°«¢Ò¢¥�¡ ¥�©��­ñ�(t¯°?¨��µ¸L°²¨��� L�L�*¸�¨º°��¥�Ò�º¸¡°�¨ÔT�²¢¥�¡��¢��º°²¨±���L³µ¢��(¨��«ª��Ü�¶¢,�� ��=�L L³> g�� æ @ïé æ g ê ¿ Ê1@ U Ï Ähg�� È � Ç Ï Ähg È�Q��� Ç ÄZg�� Ê g È�íª¬¤��¡ ¥� �� Ç·Ä i²È)�º�,¢�¤��o¦§��Ú4 �îï�4�©Ó��¡�>�Ò������°�¨·ã4��Ú� ����¡ ,¢¥ ¥°����¶¦§�W �Ó ��¦ � ÇdÄ FTÈ Ø�! � b ¦ � Ç·Ä FTÈ8�º�8¢���Ó��(�©�>�=�¡ÔT�¡���4�¡��¢L³�Û¢���ã4��Ú� ����¡ 8¢� �°²�>�¶¦§�W �Ó ¸¡����¢¥°��©���o°$�=�L¨Û¢�°�¦§Ú���¸�¢¥�©�W���¦��L�4�¡ ¥­�Õ Ø b ¢Ë�º�,¢¥¤4�¡�$��°²¢�Ú4 �°²¨d¢¥���4��¹��4�> g � æ @ïé æ g ê#"R@ u Q Ä Ã(e È f Ä }%$ Ê } V È�íª¬¤��¡ ¥� } V °²��� } $ °² ¥��¢¥¤4�¬���4�Û¢¥��°�¨�°²�>�ñ¹>��°²¨4�L�4�¡ ¥­����L����¦>¢¥¤4�¬Ô�°² �¢��º¸�¨���³�°²���ñ¢��£°W�=��Ô4¢°O�4�Lªmã��¡Õµ�4Ó(°²�$ ¥Ú4¨��"¦§�W Ë¸��WÓOÔ�Ú=¢����4­ u ½ª¬¤��¡ ¥�&�� Ç Ä ç È*����¢¥¤4�D¢�¤4 ¥�¡�¡îï�=��Ó��¡����������°�¨oã���Ú4 ¥���¡ *¢� �°²���Ò¦§�� ¥Ó �²¦ � Ç Ä FTÈ Ø(' ��´��L�¢¥¤4�º�(�=��¹����Û¢¥�©�W����¦ u ³���¤4�«ª�¢¥¤�°«¢�¢�¤��$¸¡ ������O���L¸�¢¥�©�W�ò¦§�W (��¸L°«¢Ò¢¥�¡ ¥�©��­¯�(t�°¯¢���Ó���î�����=�LÔ>�L���=�L�W¢Ü³�¨��=¸¡°²¨��) ¡�L�*ÔT�²¢��L��¢��º°²¨·�º�B+* ¿ Á, V ÁÃE} V B/{ g $Ä Ã�e È { ÁÃ(} $ õõõ

u Ähg V.- g $ È õõõ É Ä Ã(e È f Ä }/$ Ê } V È�íª¬¤��¡ ¥� , V ���±¢�¤4��Ô�°² �¢��º¸�¨���ß ��©�4�©¢��º°²¨�´��L¨©�=¸¡�Û¢¶Õ Ø Ñ,¤4�º��¦§�W �Ó?Ú4¨º°¬����°Ë�>°«¢�Ú� ¥°�¨�Ó��=�=�Û¹T¸¡°«¢¥�©�W���¦ Ä p ØZr�0 È Ø9b ��¢��¡­W ¥°²¢��8�«´��L  æ g $ æ ¢¥�?¹>���$°O����ÓOÔ�¨©���¡óµÔ� ��Ü�����©�W��¦§�W B+*21(B��8Ð� �3� m Ô>�ܸ��º°²¨��� L�O¢���¢�¤4��¸L°������²¦��L¨©�ܸ�¢¥ ��W�a�¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­*¦§ ��WÓ ° ����Ú4¨���Ó?åDÔT�²¢¥�¡��¢��º°²¨ Ä �54 ¿6 U 10p e87 È�ÐWÞa�� ¥äµ�©��­ñ���(¢�¤4�8�4�W�4 ��L¨�°²¢���´µ���Ò¢��º¸Ë¨��©Ó��©¢L³=�=�L ���´��K¢�¤4�:9¬Ú=¢�¤��¡ �¦§�� ��(¦§�� ¥ÓñÚ�¨�°�³B+*B�� ¿ ÿ É 6 Ép Î É , D �Ò��� D Ä; 1 Ã È ÐÄ ÞN�Û¢¥¤a°(¦§�¡ªu¸L°²¨º¸�Ú4¨º°«¢¥�©�W��°²¨±¢� ¥��¸�ä=�K¦§ ��WÓ m �L¸�¢¥�©�W�=< Ø Á ³TÕ��WÚ ª¬��¨©¨�¤�°�´��ñ�4�*�=��>�¸�Ú4¨©¢¶Õ�Ü�¶¢�°²å4¨��º�Ò¤4���4­o¢¥¤4�¬­��L�4�¡ �°²¨4¸¡ ������_���L¸�¢¥�©�W���©��¢¥¤4�¬ ��L¨�°²¢���´µ���Ò¢��º¸¬¸¡°W�Ò� è �Ò�L� k  ¥��å4¨��¡Ó?< Ø Á Ø È� ���8Ñ,¤4�o¹� ��¶¢,¢��L �Ó �©��¢¥¤4�@�KÕ=�����$��ó=Ô�°����Ò�����*�²¦�¢�¤4��éËî[Ó(°«¢¥ ��©ó��¡¨��¡Ó��L�W¢¬�º�> g � æ @ïé æ g ê ¿ Ê1@ A B D F > g � æ éBADC�� Ä FTÈFE æ g ê¿ Ê1@ U ACBED5F � Ç Ä FTÈ > g � æ é � Ä FdÈ � Ç � Ä FdÈ æ g ê¿ Ê1@ U A BED5F � Ç·Ä FTÈ QzN�°�¨©¨�¦§Ú4¨©¨¸�����¢¥ ¥°W¸�¢������>����¦ > g � æ � Ä FTÈ � Ç � Ä FTÈ æ g êSPËÐ

Page 5: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; <

Ñ,¤4�L ��o�º�,��ó4°�¸�¢�¨�Õ����4�8¦§Ú4¨�¨¸¡����¢� �°�¸�¢�������½¿ Ê1@ U ACBED5F � Ç Ä FTÈ > g � æ � Ä FdÈ � Ç � Ä FTÈ æ g ê¿ Ê1@ U A BED5F � Ç·Ä FTÈ Ï���� ÄZg � È � Ç Ï�� ÄZg È U0VXWZY � \ Y _Xa¿ Ê1@ U Ï � � ÄZg � È � Ç Ï � ÄZg È9Q0ACB D F � Ç Ä FdÈ U V�WdY � \ Y _Xa¿ Ê1@ U Ï � � ÄZg � È � Ç Ï � ÄZg È��� Ç·Ähg � Ê g È�Ð

�! �*Þa�¯¸��W���Ò�º�=�L �¢�¤4� �¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­;�²¦�°2���©�4­W¨©�$Ô�°� Ò¢¥��¸¡¨©�$¦§ ¥��Ó °;¨©�=¸¡°�¨©�) ¡�Ü��¸¡¨�°W�����º¸¡°²¨�¡¨��L¸�¢� ¥��Ó(°²­W�4��¢¥��¸£Ô>��¢��¡��¢¥��°�¨_¸¡�¡��¢��L ��Ü� °«¢"¢�¤4���W ���­���� Ø ÞD��¸��W���¶¢¥ �Ú>¸�¢8°�� ���4�Û¢¥��°�¨w�¶¢�°«¢��¸��W�������Ò¢����4­$�²¦¬°$ª)°�´W�?Ô>°�¸�ä��¡¢��²¦,��°² ¥ ��«ª �ÒÔ�°²¢��º°²¨6ª¬�º�µ¢¥¤2�©�a¢�¤��3Fò°²�����a�=�© ¥�L¸�¢��������°²�>����°� � ¥�«ªøÓ���Ó��L�W¢¥Ú4Ó ��Ô4 ¥�L°W�����*¢¥¤4���(�=�� ��ܸ�¢¥�©�W��½��� ¿ A B��Ä Ã(e È { Ä ÃE} Y È ì � É ¼ Ä �_È æ �wê·Ðª¬¤4�L ���¼ Ä �wÈ)���)ÔT�L°²äW�L�*°«¢¬� ¿ Ä ú í ú í g È�еÑ,¤4�º�,ª)°�´W�KÔ�°W¸�ä��¡¢)�º�,°²��ÓO�Ü�*�4�© ¥�L¸�¢�¨�Õ�°«¢,¢�¤4��� ¥��­�����³�� Ø � Ø ª¬�Û¢¥¤ ��ÓOÔ>°�¸�¢"Ô�°² �°²Ó���¢¥�¡  ¿ ú ØËÙ ª,°�´���Ô�°W¸�ä��¡¢Ëª¬�Û¢¥¤ �4���D ¡�¡ ¥�(��ÓOÔ>°�¸�¢Ô�°� ¥°�ÓO�¡¢��L )Ó(°�Õ�åT�� ¥�¡Ô4 ¥�L���¡��¢��Ü��åµÕ(¢¥¤4�£�¶¢�°«¢¥�

��� ¿ U0V ��� � � ��¿ A BW�Ä Ã�e È { Ä ÃE} Y È ì�� É ¼ Ä �wÈ U0V ��� ü æ �_êdÐÑ,¤4��Ô4 ¥��å�°�å4��¨©�©¢¶ÕG¢�¤>°«¢�¢�¤������Ò¢¥°²¢��(ª¬��¨©¨w�L´���¨�´��O���W¢¥� °�Ô4¨�°��4��ª)°�´W�?ª¬�©¢�¤;Ó���Ó��L�W¢¥Ú4Ó� � ���~ � Ä ��¸L°«¢Ò¢¥�¡ ¥�©��­O����¢����Ò¢¥°²¢��o� � È¿ õõõ > � � æ @[é æ �� ê õõõ É¿ A B��9B çÄ Ã�e È#| Ä p } Y } ]È ì�� É ¼ Ä �wÈÒ¼�� Ä ç È UGV � W ü \ � _ > � � æ @ïé æ �wê > � � æ @ïé æ ç ê �k Ú4¢Ò¢����4­ > � � æ @ïé æ �wê ¿ Ã(e @ f Ä } Y � Ê } Y È u Ä � ��� �_È�³=¢�¤4�º�¬åT�L¸¡��Ó��L�

¿ A B��9B çÄ Ã�e È D Ä p } Y } ]È ì�� É A¼ Ä �wÈÒ¼�� Ä ç È UGV � W ü \ � _ f Ä } Y � Ê } Y È f Ä } Y � Ê } ]

È u Ä � � � �_È u � Ä � � � ç È EÑ,¤4�º�(�º��<¶Ú��Ò¢�¢�¤4�GÔ� ��Wå�°²å4��¨��Û¢¶ÕE��¦o�¥¸¡°²¢Ò¢¥�¡ ¥�©�4­;����¢��E°2���©�4­W¨©�GÔ�¨�°��4�Gª)°�´W���Ò¢¥°²¢�� Ø Ñ±���å4¢¥°²���(¢¥¤4�KÔ4 ¥��å>°²å4��¨©�©¢¶ÕO�²¦�¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­£����¢��O°£Ó���Ó��¡��¢¥Ú4Ó� ¥°��4­�� BW� � ª)�KÓ?Ú4¨©¢���Ô4¨©Õ�åµÕ

Page 6: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; x¢�¤�����Ú�ÓñåT�¡ ¬�²¦w�Ò¢¥°«¢¥�L�,����¢�¤�°²¢Ë ¥°��4­��W½~ � Ä �¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­����W¢¥�� ¥°��4­���B�� � °� ��WÚ4����� � È¿ BW� �Ä Ã�e È { ÃE} Y � A BW�9B çÄ Ã�e È D Ä p } Y } ]

È ì � É A� ¼ Ä �_È�¼�� Ä ç È U0V � W ü \ � _ f Ä } Y � Ê } Y È f Ä } Y � Ê } ]

È u Ä � � � �_È u � Ä � � � ç È%EÑ�G­���¢�¢¥¤4��Ô4 ¥��å>°²å4��¨©�©¢¶Õ¯��¦Ë��¸L°«¢Ò¢¥�¡ ¥�©��­�����¢�� °G ¥�¡­W�©�W�D��¦Ë�Ò�W¨©�º�;°²�4­W¨©�*B�� Ä ª¬�Û¢¥¤ò°²�µÕÓ(°²­W�4�Û¢¥Ú��=�o�²¦_Ó���Ó��¡��¢¥Ú4Ó�È)ª���¤�°�´W�K¢¥�(�©��¢¥�¡­� �°«¢¥�o�«´��¡ )¢¥¤4��Ó(°²­����Û¢¥Ú��=�o�²¦�¢�¤4�o¹>��°²¨Ó���Ó��¡��¢¥Ú4Ó$½~ � Ä �¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­����W¢¥�3B��¬È¿ B�� A g � É B g �Ä Ã�e È { ÃE} Y � A BW��B çÄ Ã(e È D Ä p } Y } ]È ì�� É A

� ¼ Ä �_È�¼�� Ä ç È U0V � W ü \ � _ f Ä } Y � Ê } Y È f Ä } Y � Ê } ]È u Ä � � � �_È u � Ä � � � ç È Eã��©�>°²¨�¨©ÕW³=¢���­W��¢¬¢¥¤4�ñ¸� ¥�W�¥�,�Ò�ܸ�¢¥�©�W�*¦§�W K�¥¸¡°«¢�¢��L ����4­(���W¢¥��¢�¤4�º�¬ ¥�¡­W�©�W����¦_����¨��º��°��4­�¨��oª�����W¢¥�¡­W ¥°²¢��8�«´��¡ ,��Ó�Ô�°�¸�¢ËÔ�°² �°²Ó���¢¥�¡ Ü½B * ¿ A B ~ � Ä �¥¸¡°²¢Ò¢��L ����4­����W¢¥�3B��¬È¿ B�� AMB A g � É B g �Ä Ã(e È { ÃE} Y � A BW�9B çÄ Ã�e È D Ä p } Y } ]

È ì � É A� ¼ Ä �_È�¼ � Ä ç È U V � W ü \ � _ f Ä } Y � Ê } Y È f Ä } Y � Ê } ]

È u Ä � � � �wÈ u � Ä � � � ç È:EñÐÑ,¤4� �©��¢¥�¡­� �°²¨4¸L°²�(åT�K�=�W�4�Ë ¥�©­W¤W¢Å°�ª,°�Õ�¢¥�£Õµ�©�L¨���°£�=�L¨Û¢�°o¦§Ú4��¸�¢�������¸¡�����Ò¢� �°²���4���4­o¢�¤4�¢¶ª)�?¢¥ ¥°�����´��¡ ����KÓ���Ó��¡��¢¥Ú4Ó �=�� ¥�L¸�¢¥�©�W���L½B+*B�� ¿ Ä Ã�e È A g � É B g �Ä Ã(e È { Ã(} Y � A B��9B çÄ Ã�e È { Ä p } Y } ]È ì � É f Ä ç�� Êa� � È A

� ¼ Ä �wÈÒ¼�� Ä ç È f Ä } Y � Ê } Y È f Ä } Y � Ê } ]È u Ä � � � �wÈ u � Ä � � � ç È E ÐÄ�s È

�Ë�¡óµ¢L³>¢�¤4�O�=�¡¨©¢¥°�¦§Ú���¸�¢¥�©�W�¯¸��W���¶¢¥ ¥°��©���©�4­ }]Ó(°�Õ*åT�ñ¸��W�µ´��¡ �¢��Ü�*¢���°��4�¡¨©¢¥°�¦§Ú4�>¸�¢������¸��W���Ò¢� �°²���4�©��­ i��£°�¸L¸��� ��=���4­?¢��f Ä } ]

Ê } Y È ¿ f��� g É � Íqi«É� Í Î É� ì � É¬Ê � g É � Í g É� Í Î É� ì�� É� ¿ }]æ i�� æ f Ä i � Ê g � È�Ð

Page 7: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; rÑ,¤4�L� Ä�s È�åT�L¸��WÓ��L�B+*B�� ¿ Ä Ã�e È A g � É B g �Ä Ã(e È { Ã(} Y � A B��9B çÄ Ã�e È { Ä p } Y } ]

È ì � É } ]æ i � æ f Ä ç�� Êa� � È f Ä i � Ê g � È A� ¼ Ä �wÈÒ¼ � Ä ç È f Ä } Y � Ê } Y È u Ä � � � �wÈ u � Ä � � � ç È E¿ Ä Ã�e È A g � É B g �Ä Ã(e È { Ã(} Y � A BW�Ä Ã�e È { ÃE} Y } Yæ g � æ æ ¼ Ä �wÈ æ É æ u Ä � � � �_È æ É f Ä } Y � Ê } Y È�Ð Ä p�È�Ë�¡óµ¢o°W����Ú4Ó��©��­�¢�¤>°«¢£¼ Ä �_È"�º�K�>°² ¥ ��«ª¬¨�Õ*ÔT�L°�ä��Ü� °² ¥��Ú4�>�G� ¿ Ä ú í ú í g È�íTª)�?¸¡°��¯Ô4Ú�¨©¨°²¨�¨d¢�¤����²¢�¤��¡ ,¦�°�¸�¢��W ¥�,�WÚ=¢¬�²¦�¢�¤4���2����¢��¡­W ¥°�¨d¢�����å4¢¥°²���B *B�� ¿ Ä Ã�e È Áà g æ u æ É A g � É B g �Ä Ã(e È { Ã(} Y � f Ä } Y � Ê } Y È A B��Ä Ã(e È { æ ¼ Ä �wÈ æ É æ¿ Ä Ã�e È Áà g æ u æ É A g � É B g �Ä Ã(e È { Ã(} Y � f Ä } Y � Ê } Y È Ä <�ÈÙ ­�°²����¢¥ ¥°����Ò¦§�� ¥ÓO���4­?¢�¤4�£�4�¡¨©¢¥°O¦§Ú4��¸�¢������G°�¸L¸��W ¥�=���4­?¢��f Ä } Y � Ê } Y È ¿ f � � g � É Í Î É ì � É Ê � g É Í Î É ì�� É ¿ } Y �g � f ÄZg � Ê g Ȫ)�8�Wå=¢¥°��©�*¹���°�¨©¨�Õ B+*B�� ¿ Ä Ã�e È Áà g æ u æ É A g � É B g �Ä Ã�e È { Ã(} Y � } �Yg � f Ähg � Ê g È¿ ÁÁ x e É æ u æ É Ð Ä�x È� �3�8Ñ,¤4�£ã4�WÚ4 ¥�©�L �¢¥ ¥°����Ò¦§�� ¥Ó��²¦¢�¤4�?���WÚ4¨©�WÓñå�Ô>��¢��L�W¢¥��°�¨��º�

� 4 Ä ç È ¿ 6 Up e A B�� U V � � �

7¿ 6 Up e � p ei É �¿ 6 Ui É ÐÑ,¤4�L�*¦§ ¥��ÓëÔ�°² �¢Ë°ñ¢¥¤4������´«°� ��º°²��¢Ë°²Ó�Ô4¨��Û¢¥Ú��=���º�u ¿ Ê1@ U Ï � � ÄZg � È � Ç Ï � ÄZg È � Ç ÄZg � Ê g È Ä r È¿ Ê1@ 6 U ÉÄhg � Ê g È É Ï � � Ähg � È � 4 Ï � ÄZg È�Ð Ä�w È

Page 8: quantum field theory by Peskin_Chap04 solution

����������� ����� ������������������������ �!�#"$�%�'&(�)�*�,+.-��!�/�0�$���1� � ��2���� �3�5416�-7&589�:� ��; wÑ,¤4����Ô4�©���� ¬Ô4 ¥�=�=Ú�¸�¢Ë�º�Ï � � ÄZg � È � 4 Ï � Ähg È ¿ Ï � � � ÄZg � È � 4 � 4 Ï � Ähg È¿ Ï � � � ÄZg � È¶Ï � Ähg È¿ ��� �� ��� g � Q * � �� ��� g � Q *� ��� g Q�* � �� g Q * � � � Ðb �a¢�¤4���4���4 ¥�¡¨º°«¢¥�©´µ�º�¶¢¥��¸O¨��©Ó��©¢£¢�¤��(�¡�4�L �­WÕ ���£ÓñÚ�¸�¤;¨º°² ¥­��¡ o¢¥¤�°²�a¢¥¤4��¸��WÓOÔT�����¡��¢¥����¦¢�¤���ÓO�WÓ��¡��¢�Ú4Ó$³�����ª���°�Ô4Ô4 ¥��óµ��Ó(°«¢¥�K¢¥¤4���K°��

� Ã(} f � �� � Ðk ¨�Ú4­W­����4­?����¢�� Ä�w È�³ u ¿ Ê Ã @ 6 U É }ÄZg � Ê g È É f � � � �°�����Ô4¨�Ú4­�­W�©�4­O¢¥¤4���,����¢�� Ä�x È)Õµ�©�L¨���� Ä ª¬�©¢�¤�¢�¤4�£��Ô4���$ä� ¥�����L¸�ä��L )�4�¡¨©¢¥°�Ú4���4�¡ ��¶¢¥���=��ÈB *B�� ¿ p 6 É U D } ÉÁ x e É Ähg � Ê g È D f � � � �¿ 6 É ÿ É } Ég D Ä Á Ê;¸���� ; È É f � �� �¿ 6 É ÿ É } Ép g D ���©� D�É f � � � ��GÚ4¨©¢���Ô4¨�Õ�åT�²¢¥¤$���º�=�L�,åµÕ } É °²���*���4�¡��¢��©¦§Õ , ¿ g 1 } ½¿ 6 É ÿ Ép } É , D ���©� D É f � � � �ã��©�>°²¨�¨©ÕW³4°²Ô4Ô4 ¥��ó=�©Ó(°²¢����4­ } � Î �©��¢¥¤4���4���� ��L¨�°²¢���´��º�Ò¢��º¸"¨���ÓO�©¢L³�ª���¤�°�´W�B *B�� ¿ 6 É ÿ Ép } É , D ���©� D É f � � � � Ð