Êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêà è

êâàíòîâûé êîìïüþòåð

Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ä.À.Êðîíáåðã, Þ.È.Îæèãîâ, À.Þ.×åðíÿâñêèé

ÌÃÓ èìåíè Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, ôàêóëüòåò ÂÌÊ

1

Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûñòóäåíòîâ, ñëóøàþùèõ êóðñ ¾Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ¿ èëèëþáîé äðóãîé êóðñ ïî îñíîâàì êâàíòîâîé èíôîðìàòèêè.Ïðîðàáîòêà äàííîãî ïîñîáèÿ îçíà÷àåò îñâîåíèå îñíîâàìèêâàíòîâîé èíôîðìàòèêè, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòüäàëüíåéøåé ñïåöèàëèçàöèè â ýòîì íàïðàâëåíèè, âêëþ÷àÿïîñòóïëåíèå â àñïèðàíòóðó. Ðàáîòà ñ äàííûì ïîñîáèåìçàêëþ÷àåòñÿ â ñàìîñòîÿòåëüíîì ðåøåíèè ïðåäëàãàåìûõâ êîíöå çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâåäåíèé, èçëîæåííûõâ ðåãóëÿðíîì êóðñå.  ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè â êà÷åñòâåèñòî÷íèêà òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé ìîæíî âìåñòî êóðñàìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü ïîñîáèå [65]. Âñå òåîðåòè÷åñêèåñâåäåíèÿ, ôîðìàëüíî íåîáõîäèìûå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷,êðàòêî èçëàãàþòñÿ â äàííîì ïîñîáèè. Ïðè ðåøåíèèçàäà÷ ìîæíî, â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè, ïîëüçîâàòüñÿóêàçàííîé ëèòåðàòóðîé êàê âñïîìîãàòåëüíûì ñðåäñòâîì,íî òîëüêî åñëè çàäà÷à óïîðíî íå ïîääàåòñÿ ðåøåíèþ, èëèäëÿ ñàìîêîíòðîëÿ - ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ. Ñàìàÿâàæíàÿ ÷àñòü ðàáîòû ñîñòîèò èìåííî â ïîïûòêàõ íàéòèñàìîñòîÿòåëüíîå ðåøåíèå âñåõ ïðåäëàãàåìûõ çàäà÷.Ðåøàòü èõ íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ïîìåùåííûåïîäñêàçêè. Ïîñëå ðåøåíèÿ âñåãî ñïèñêà çàäà÷ ìîæíîñäàâàòü ýêçàìåí ïî äèñöèïëèíå êâàíòîâàÿ èíôîðìàòèêàíà êàôåäðå è íà÷èíàòü íàó÷íûå èññëåäîâàíèÿ â äàííîéîáëàñòè.

2

Îãëàâëåíèå

1 Êâàíòîâûå ïðîöåññû 4

1.1 Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ îäíî÷àñòè÷íîéêâàíòîâîé ìåõàíèêè . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Êóáèòîâûé ôîðìàëèçì . . . . . . . . 121.1.2 Òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ . . . . . . . 19

1.2 Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ . . . . . . 221.2.1 Àáñòðàêòíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî

êîìïüþòåðà . . . . . . . . . . . . . . . 261.3 Ðîëü çàïóòàííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.1 Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì . . 33

2 Çàäà÷è 38

2.1 Ôèçè÷åñêèå ðåàëèçàöèè êâàíòîâûõêîìïüþòåðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Ëèòåðàòóðà 59

3

Ãëàâà 1

Êâàíòîâûå ïðîöåññû

 äàííîì ðàçäåëå îïèñûâàåòñÿ ôîðìàëèçì êâàíòîâîéôèçèêè ñ êóáèòîâîé òî÷êè çðåíèÿ, òàê ÷òî ñòóäåíò,çíàêîìûé ñ îñíîâàìè êâàíòîâîé òåîðèè, ñìîæåòïåðåïèñàòü ëþáóþ åå ÷àñòü íà ýòîì ÿçûêå. Îáû÷íîâ ëèòåðàòóðå ïî ôèçèêå èñïîëüçóåòñÿ òðàäèöèîííûåîáîçíà÷åíèÿ èç òåîðèè ôóíêöèé, íàïðèìåð, âîëíîâóþôóíêöèþ çàïèñûâàþò êàê Ψ(x), ÷òî âûçûâàåò êîëëèçèþñî çíà÷åíèåì âîëíîâîé ôóíêöèè â êîíêðåòíîé òî÷êå x, èïîòîìó äëÿ íåãî èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå∫

Ψ(y)δx(y) dy. Ýòè òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ óäîáíûäëÿ ðó÷íûõ âû÷èñëåíèé, ïðè êîòîðûõ ðàçðåøåíèå òàêèõêîëëèçèé íå ñîçäàåò ïðîáëåìû äëÿ ÷åëîâåêà. Îäíàêîäëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåîáõîäèìà áîëüøàÿñòåïåíü ôîðìàëèçàöèè îñíîâíûõ ïîíÿòèé. Áîëåå òîãî,ôîðìàëèçì äîëæåí áûòü ïðèñïîñîáëåí ê òîìó, ÷òî ìûáóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ êîíå÷íûìè ÷èñëàìè äàæå åñëèâ èñïîëüçóåìûõ íàìè ôîðìóëàõ ìîæíî ïîäñòàâëÿòüáåñêîíå÷íûå âåëè÷èíû. Îñîáåííî ýòî êàñàåòñÿ êâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêè, äëÿ êîòîðîé çäåñü ïðåäëàãàåòñÿôîðìàëüíàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé êóáèòîâîãî òèïà.

4

1.1 Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ

îäíî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé

ìåõàíèêè

Ãëàâíûé ïîñòóëàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òîâñÿ äèíàìèêà ëþáîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ åå âîëíîâîéôóíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèåé îòêîîðäèíàò âñå ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòåìó:

Ψ(t, r1, r2, . . . , rn).

Çäåñü rj åñòü êîîðäèíàòû ÷àñòèöû j (èìåþòñÿ â âèäó íåòîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû ÷àñòèö, íî è èõñïèíîâûå êîîðäèíàòû). Ýòà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîëæíàðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé n ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû. Çíà÷åíèÿ ýòîéôóíêöèè íàçûâàþòñÿ àìïëèòóäàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìèïðåáûâàíèþ ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t â òàêîìñîñòîÿíèè, ïðè êîòîðîì äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , n÷àñòèöà j èìååò êîîðäèíàòû rj. Òàêàÿ òðàêòîâêàñîñòîÿíèÿ â âèäå âåêòîðà ñðàçó âåäåò ê íåòðèâèàëüíîìóñëåäñòâèþ: ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñîñòîÿíèé ñíîâàÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìîæíûì ôèçè÷åñêèì ñîñòîÿíèåìäàííîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèéîáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîåóðàâíåíèå, êîòîðîìó ïîä÷èíÿåòñÿ âåêòîð Ψ, äîëæíîáûòü ëèíåéíûì. Ýòîò ïðèíöèï íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîìñóïåðïîçèöèè, è èç íåãî âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå îñîáîãîïðîöåññà, íàçûâàåìîãî èíòåðôåðåíöèåé àìïëèòóä,êîòîðûé íå èìååò ïðÿìîãî àíàëîãà â êëàññè÷åñêîéôèçèêå (íå ñ÷èòàÿ âîëíîâóþ ôèçèêó, ãäå èíòåðôåðåíöèÿïðîÿâëÿåòñÿ êàê êîëëåêòèâíûé ýôôåêò, ê ÷åìó ìûâåðíåìñÿ).

Èíòåðôåðåíöèþ àìïëèòóä ïðîùå âñåãî

5

ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, ïðèìåíÿÿ ìàòðèöû. Ïðåäñòàâèìñåáå, ÷òî ìû âûáðàëè áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé, è ïðåäñòàâëÿåì âñÿêèé âåêòîð Ψ â âèäå íåêîåãîñòîëáöà êîîðäèíàò ýòîãî âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. Òîãäàèç ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè âûòåêàåò, ÷òî ñîñòîÿíèå âñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè t+ δt ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâê ñîñòîÿíèþ â ìîìåíò âðåìåíè t íåêèé ëèíåéíûé îïåðàòîðU , íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì óíèòàðíîé ýâîëþöèè (äàëüøåìû óâèäèì, ÷òî îí äîëæåí áûòü íå òîëüêî ëèíåéíûì,íî è óíèòàðíûì). Ýòîò ôàêò ìîæíî âûðàçèòü íà ÿçûêåìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ òàê:(

u1,1 u1,2 . . . u1,nu2,1 u2,2 . . . u2,n. . . . . . . . . . . .un,1 un,2 . . . un,n

)(ψ1(t)ψ2(t). . .ψn(t)

)=

(ψ1(t+ δt)ψ2(t+ δt). . .ψn(t+ δt)

)(1.1)

Òî åñòü ëþáàÿ àìëèòóäà ψj(t+ δt) ìîæåò áûòü íàéäåíà ïîôîðìóëå

ψj(t+ δt) =n∑i=1

ψi(t)uj,i. (1.2)

Ôîðìóëà (1.2) îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäûâ íåêîòîðîé òî÷êå â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè íàäîïðîñóììèðîâàòü âñå àìïëèòóäû âî âñåõ òî÷êàõ âïðåäûäóùèé ìîìåíò, ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæèâ èõ íàñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç ýòèõ òî÷åê âèñõîäíóþ. Çíà÷èò, äâèæåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû ìîæíîïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê äâèæåíèå íåêîåé ñðåäû, ãäåàìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå ñêëàäûâàåòñÿ èç âêëàäîâ,êîòîðûå âíîñÿò â ýòó òî÷êó äâèæåíèÿ ýòîé ÷àñòèöûèç âñåõ äðóãèõ òî÷åê. Ïðè ýòîì êàæäûé âêëàä áåðåòñÿñ êîìïëåêñíûì âåñîì, ñîîòâåòñòâóþùèì îïèñàííîìóïåðåõîäó èç òî÷êè â òî÷êó. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå êâàíòîâîé÷àñòèöû â âèäå ñðåäû ïîðîæäàåò àíàëîãèþ êâàíòîâîéôèçèêè ñ ãèäðîäèíàìèêîé.

6

À òåïåðü ðàññìîòðèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäà,êîòîðûå îñóùåñòâëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òîãî æå îïåðàòîðàýâîëþöèè U : îò ìîìåíòà t äî ìîìåíòà t + 2δt. Òîãäà óíàñ ïîëó÷èòñÿ: Ψ(t + 2δt) = U2Ψ(t). Âûïèñàâ ïîäðîáíåå,ìû ïîëó÷èì ψj(t + 2δt) =

∑i,k ψi(t)ui,kuk,j. Ýòî îçíà÷àåò,

÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò äâèãàòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ,âäîëü ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè, à íå òîëüêî ïî ïðÿìîé, èåå àìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå åñòü ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿàìïëèòóä ïî âñåì ïóòÿì, âåäóùèì èç êàæäîé òî÷êèâ äàííóþ. Ïðè ýòîì âêëàä â ñóììó êàæäîãî ïóòèïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ýâîëþöèè U ,ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì ýòîãîïóòè (ìû ïðåäñòàâëÿåì ïóòü â âèäå ëîìàíîé è ÷àñòè- ýòî åå çâåíüÿ). Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ñ÷èòàåòñÿêàê ñóììà ïî âñåì ïóòÿì, à âäîëü êàæäîãî ïóòèýòî - ïðîèçâåäåíèå àìïëèòóä ïåðåõîäîâ ïî âñåì åãîïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì.

Ýòî ïðàâèëî ñïðàâåäëèâî âåçäå, â òîì ÷èñëå è âêâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ãäå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿäèàãðàììàìè. Îíî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëåäëÿ ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñëîæíîãî ñîáûòèÿ â òåîðèèâåðîÿòíîñòåé, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â òåîðèèâåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå,à ó íàñ çäåñü - êîìïëåêñíûå. Òàêàÿ àíàëîãèÿ íàâîäèòíà ìûñëü î âîçìîæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèèêâàíòîâîé òåîðèè, à òàêæå íà âîçìîæíîñòü îòêàçà îòêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðè åå îïèñàíèè, - ìû òàêæå âåðíåìñÿê ýòèì èäåÿì ïîçæå.

Êëàññè÷åñêèì âåëè÷èíàì â êâàíòîâîé òåîðèèñîîòâåòñòâóþò îïåðàòîðû. Âåëè÷èíå êîîðäèíàòû xñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ýòó êîîðäèíàòó:x : f(x) −→ xf(x), âåêòîðó r = (x, y, z) - îïåðàòîð

r : f(x, y, z) −→ (xf(x, y, z), yf(x, y, z), zf(x, y, z)),èìïóëüñó px âäîëü êîîðäèíàòíîé îñè x - îïåðàòîð

7

èìïóëüñà px = hi∂∂x, ïîëíîìó èìïóëüñó p - îïåðàòîð

p = hi( ∂∂x, ∂∂y, ∂∂z

), ýíåðãèè - îïåðàòîð ýíåðãèè p2

2m+ V (x),

ãäå V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Îïåðàòîð ýíåðãèèíàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì. Ïðè ýòîì ìû ïðèíèìàåìîáû÷íûå ïðàâèëà ïåðåõîäà ê âåêòîðûì âåëè÷èíàì,íàïðèìåð îïåðàòîð êâàäðàòà ìîäóëÿ êîîðäèíàòûäåéñòâóåò êàê |r|2 : f(x, y, z) −→ (x2 + y2 + z2)f(x, y, z),îïåðàòîð êâàäðàòà èìïóëüñà - êàê p2 : f −→ −h2∆f(òî åñòü êâàäðàò òðàêòóåòñÿ íàìè êàê ñêàëÿðíûéêâàäðàò), ìîìåíòó èìïóëüñà r × p - îïåðàòîð ìîìåíòà,êîîðäèíàòû êîòîðîãî ïîëó÷àþòñÿ ïî ïðàâèëó âçÿòèÿâåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èç êîîðäèíàò åãî ñîìíîæèòåëåé- îïåðàòîðîâ, è ò.ä.

Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò âîëíîâîé ôóíêöèèíàçûâàåòñÿ èìïóëüñíûì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîéôóíêöèè:

Φ(p) =

∫R

e−ipxh Ψ(x)dx, (1.3)

ãäå îáðàòíûé îïåðàòîð âûãëÿäèò òàê:

Φ(x) =1

2πh

∫R

eipxh Φ(p)dp.

Ïîëíûé ïåðåõîä ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è îáðàòíîâ òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä

Φ(p) =∫R3

e−ip·Rh Ψ(R)d3R,

Ψ(R) = 1(2πh)3

∫R3

eip·Rh Φ(p)d3p,

Ïðè ýòîì åñëè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò îò 3ïåðåìåííûõ, ìîæíî ïåðåõîäèòü ê åå èìïóëüñíîìóïðåäñòàâëåíèþ ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò íåçàâèñèìîîîò äðóãèõ, íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ

8

âèäà Φ(x, py, z), èëè Φ(px, y, pz), è ò.ä. Ïîä÷åðêíåì,÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ååèìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ - îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîòæå ñàìûé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé.Èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå åñòü ïðîñòî çàïèñü ýòîãîâåêòîðà â äðóãîì áàçèñå, â êîòîðîì áàçèñíûå âåêòîðû - ýòîíå äåëüòà ôóíêöèè, êàê ïðè êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè,à ôóíêöèè âèäà exp(ipR). Ìû ìîãëè áû âûáðàòü êàêîé-ëèáî èíîé áàçèñ, íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûìâåêòîðàì ýðìèòîâà îïåðàòîðà ñóììû R + p èìïóëüñ ïëþñêîîðäèíàòà, è çàâåñòè ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèåâîëíîâûõ ôóíêöèé, åñëè ýòî íåîáõîäèìî. Òàêèì îáðàçîì,âñå ìàíèïóëÿöèè, ñâÿçàííûå ñ ïåðåõîäîì ê èìïóëüñíîìóïðåäñòàâëåíèþ, åñòü ïðîñòàÿ îïåðàöèÿ èçìåíåíèÿ áàçèñà.Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ïåðåõîäîâ åñòü ÷àñòü ñòàíäàðòíîãîôîðìàëèçìà, è èç ýòîãî ñëåäóåò âàæíûé äëÿ äàëüíåéøåãîâûâîä: òðóäíîñòè ñ çàïèñüþ òåõ èëè èíûõ âçàèìîäåéñòâèéâ ðàçíûõ áàçèñàõ ñâèäåòåëüñòâóþò î ñåðüåçíûõ ïðîáëåìàõ.

Âàæíåéøèì ïðàâèëîì êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿïðàâèëî Áîðíà, êîòîðîå ãëàñèò, ÷òî êâàäðàò ìîäóëÿâîëíîâîé ôóíêöèè åñòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòèîáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå x:

p(x) = |Ψ(x)|2 (1.4)

Ýòî ïðàâèëî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî áàçèñàïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé â òîì ñìûñëå, ÷òî ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû ðàâíûì p åñòüêâàäðàò ìîäóëÿ èìïóëüñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîéôóíêöèè.

Ïðàâèëî Áîðíà ÿâëÿåòñÿ ñóòüþ êâàíòîâîé òåîðèè. Îíîóòâåðæäàåò, ÷òî ñ åå ïîìîùüþ ìû ìîæåì ïðåäñêàçàòüòîëüêî âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ òîãî èëè èíîãîñîáûòèÿ íî íå ñàìè ýòè ñîáûòèÿ, êàê â êëàññè÷åñêîéôèçèêå. Èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ

9

âåðîÿòíîñòè àâòîìàòè÷åñêè ïðåäïîëàãàåò ñóùåñòâîâàíèåòàê íàçûâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,êàæäûé èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåò óæå íå âåðîÿòíîñòü, àòî÷íîå íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ. Èäåîëîãèÿ êîïåíãàãåíñêîéêâàíòîâîé òåîðèè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî íàì ïðèíöèïèàëüíîíå äîñòóïíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ýòîòçàïðåò íà äîñòóï ê ýëåìåíòàðíûì èñõîäàì îáû÷íîôîðìóëèðóþò êàê îòñóòñòâèå ñêðûòûõ ïàðàìåòðîâ. Ýòîòèäåîëîãè÷åñêèé ïîñòóëàò1 èìååò ñìûñë òîëüêî â ðàìêàõêëàññè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, ëåæàùåãî âîñíîâå êâàíòîâîé òåîðèè.  äàëüíåéøåì ìû ðàññìîòðèìêîíñòðóêòèâíóþ òðàêòîâêó âåðîÿòíîñòè â êâàíòîâîéòåîðèè, ïðè êîòîðîé ýëåìåíòàðíûå èñõîäû ïðèíàäëåæàòàäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè ìîäåëè.  íàñòîÿùåå âðåìÿïîÿâèëèñü ýêñïåðèìåíòû, ñâÿçàííûå ñ êâàíòîâîéíåëîêàëüíîñòüþ, òî÷íîå ðàññìîòðåíèå êîòîðûõ òðåáóåòÿâíûõ ìàíèïóëÿöèé ñ ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè.

Äèíàìèêà âîëíîâîé ôóíêöèè â ñòàíäàðòíîìôîðìàëèçìå çàâèñèò îò ñòåïåíè èçîëèðîâàííîñòèðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, ïðè÷åì íå ñóùåñòâóåò òî÷íîãîîïðåäåëåíèÿ èçîëèðîâàííîñòè.  ñëó÷àå èçîëèðîâàííîéñèñòåìû äèíàìèêà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà,â ñëó÷àå êîíòàêòà ñ îêðóæåíèåì - èçìåðåíèÿìèâîëíîâîé ôóíêöèè. Èçìåðåíèå â äàííîì áàçèñåïðîñòðàíñòâà âîëíîâûõ ôóíêöèé åñòü ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ èç âåêòîðîâ ýòîãîáàçèñà ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè, çàäàâàåìîé ïðàâèëîìÁîðíà. Îêðóæåíèå âñåãäà ñ÷èòàåòñÿ êëàññè÷åñêîéñèñòåìîé, ïîä÷èíÿþùåéñÿ çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè,è èçìåðåíèå ñèñòåìû äàåò âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèååå ñîñòîÿíèé, ïîä÷èíÿþùååñÿ ïðàâèëó Áîðíà. Óðàâíåíèå

1Äðóãèì ïîñòóëàòîì òîãî æå ñòàòóñà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå îòîæäåñòâåííîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö îäíîãî òèïà.

10

Øðåäèíãåðà èìååò âèä

ih∂Ψ

∂t= HΨ (1.5)

ãäå H åñòü îïåðàòîð ýíåðãèè ÷àñòèöû (èëè ñèñòåìû÷àñòèö).  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîìïîëå îïåðàòîð ýíåðãèè âûïèñàí âûøå.  áîëåå ñëîæíûõñëó÷àÿõ (íåñêîëüêî ÷àñòèö, íàëè÷èå âåêòîðíîãîïîòåíöèàëà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) îïåðàòîð ýíåðãèèïîëó÷àåòñÿ èç âûðàæåíèÿ äëÿ êëàññè÷åñêîé ýíåðãèèñ ïîìîùüþ çàìåíû âñåõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí íàñîîòâåòñòâóþùèå èì êâàíòîâûå îïåðàòîðû.  ÷àñòíîñòè,èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àåïîñòîÿíñòâà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âî âðåìåíè, îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äàåòñÿ âûðàæåíèåì

Ψ(x, t) = exp

(− ihHt

)Ψ(x, 0) (1.6)

Ýêñïîíåíòà îò îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàêñîîòâåòñòâóþùèé ðÿä, ñîñòàâëåíûé èç îïåðàòîðîâ. Ýòîæå âûðàæåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ íåïîñòîÿííûõãàìèëüòîíèàíîâ, òîëüêî ýêñïîíåíòó íàäî òîãäà òðàêòîâàòüêàê òàê íàçûâàåìóþ õðîíîëîãè÷åñêóþ ýêñïîíåíòó.

Ïî ñóùåñòâó, ìû îïèñàëè âåñü ñòàíäàðòíûé ôîðìàëèçìêâàíòîâîé òåîðèè. Èç ýòèõ îñíîâíûõ ïîëîæåíèéâûòåêàþò íåêîòîðûå äðóãèå (íàïðèìåð, êàñàþùèåñÿèçìåðåíèé è âîçìîæíîñòåé âûáîðà áàçèñîâ), êîòîðûåìû ðàññìîòðèì â êóáèòîâîì ôîðìàëèçìå. Âñå âûâîäûêîïåíãàãåíñêîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëó÷àþòñÿ èç ýòèõîñíîâíûõ ïîëîæåíèé ñ ïîìîùüþ ðàçíîãî ðîäà ýâðèñòèêè àíàëîãèé ñ êëàññè÷åñêîé ôèçèêîé; ìàòåìàòè÷åñêèéàïïàðàò ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè èñ÷åðïûâàåòñÿèçëîæåííûì â ýòîì ïàðàãðàôå.

11

1.1.1 Êóáèòîâûé ôîðìàëèçì

À ñåé÷àñ çàéìåìñÿ âàæíûì ìîìåíòîì ïåðåõîäàîò âîëíîâîé ôóíêöèè ê êîíå÷íîìó âåêòîðó. Ýòàïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì ê êóáèòîâîìóïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè. Ñîáñòâåííî êóáèòûâ äàííîì ñëó÷àå èãðàþò äåêîðàòèâíóþ ðîëü, à ñåé÷àñâàæíà ïðîöåäóðà äèñêðåòèçàöèè âîëíîâîé ôóíêöèè.Äèñêðåòèçàöèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé èìååò ãëóáîêèéñìûñë, òàê êàê îíà ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì âîçìîæíîãîçåðíà â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè ìûïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî íåÿâëÿåòñÿ äåëèìûì äî áåñêîíå÷íîñòè, à â íåì ñóùåñòâóåòíàèìåíüøàÿ íåíóëåâàÿ äëèíà d > 0, òî ó íàñ ïîëó÷èòñÿ,÷òî âìåñòî íåïðåðûâíîé âîëíîâîé ôóíêöèè íàäîðàññìàòðèâàòü åå äèñêðåòíîå ïðèáëèæåíèå, êîòîðîåíà ñàìîì äåëå áóäåò óæå íå ïðèáëèæåíèåì, à òî÷íûìâûðàæåíèåì, òî åñòü ïðèáëèæåíèåì íàäî áóäåò ñ÷èòàòüêàê ðàç íåïðåðûâíûé âàðèàíò âîëíîâîé ôóíêöèè.Ñóùåñòâîâàíèå òàêîé äèñêðåòèçàöèè ïðîñòðàíñòâàêîñâåííî âûòåêàåò èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ â êâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêå (ñì. íèæå), à òàêæå èç ñâîéñòâ âîëíîâûõôóíêöèé äàæå îäíîé ÷àñòèöû ïðè óìåíüøåíèè çåðíàïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ (ýòî ìû ðàññìîòðèì âïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííîì ôåéíìàíîâñêèì èíòåãðàëàì ïîòðàåêòîðèÿì). Íî ãëàâíîå, äëÿ ÷åãî íà ñàìîì äåëå íóæíîäèñêðåòíîå ïðåäñòàâëåíèå - ýòî êîíñòðóêòèâèçàöèÿêâàíòîâîé òåîðèè. Íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü èðàáîòàòü èìåííî ñ ïðèáëèæåíèÿìè êîîðäèíàò ÷àñòèö, àíå ñ èõ âåùåñòâåííûìè �òî÷íûìè� çíà÷åíèÿìè, âåäåò íàñê êóáèòîâîìó ôîðìàëèçìó.

Çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî-âðåìåííîãî ðàçðåøåíèÿ d =(dx, dt) ìîæåò è íå áûòü àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé, àçàâèñåòü îò ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà. Îíî ôàêòè÷åñêè

12

îïðåäåëÿåò ñòåïåíü íåñîâåðøåíñòâà ìåòîäîâ êëàññè÷åñêîéìàòåìàòèêè, êîòîðûìè ìû ïîíåâîëå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ,äàæå ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìîâ. Ýòî çåðíî åñòü ãðàíèöàïðèìåíèìîñòè îäíîãî òàêîãî àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà, íàîäíîì øàãå êîíñòðóêòèâíîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåàëüíîãîïðîöåññà (ñì. ñåêöèþ �Êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèéàíàëèç�).

Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ îäíà ÷àñòèöà, êîîðäèíàòû êîòîðîéïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà R (äëÿ îäíîìåðíîé ÷àñòèöû ýòîâåùåñòâåííûå ÷èñëà, íî â äàííîì ñëó÷àå ñòðóêòóðà R íàìíå î÷åíü âàæíà). Ðàçîáúåì R íà êîíå÷íîå ÷èñëî ñåãìåíòîâD1, D2, . . . , Dm è ðàññìîòðèì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè Ψñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé |Ψ〉, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò íàñåãìåíòå Dj íåêîòîðîå çíà÷åíèå λj ∈ C. Ïóñòü |j〉îáîçíà÷àåò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñåãìåíòà Dj.Òîãäà ìû ìîæåì çàïèñàòü ôîðìàëüíîå ðàâåíñòâî

|Ψ〉 =m∑j=1

λj|j〉 (1.7)

Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîåôóíêöèÿìè |j〉. Åñëè ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåôóíêöèé ïî ñòàíäàðòíîìó ïðàâèëó (g, f) =

∫f(x)g(x)dx,

ó íàñ ïîëó÷èòñÿ, ÷òî |j〉 îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Åñëè ìû íîðìèðóåì èõ (ýòî ìîæíîñäåëàòü, ôèêñèðîâàâ λj è ïîäáèðàÿ íóæíûå Dj), òîýòîò áàçèñ áóäåò îðòîíîðìèðîâàííûì. Òîãäà ðàâåíñòâî(1.7) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà |Ψ〉 ïîîðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó, ñîñòîÿùåìó èç âåêòîðîâ |j〉.Ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â âèäå (1.7) ÿâëÿåòñÿêîððåêòíûì, â îòëè÷èå îò äâóñìûñëåííîãî âûðàæåíèÿΨ(x), ïîñêîëüêó â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ïåðåìåííàÿx ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé, è ïîòîìó íåÿñíî, ÷òî âûðàæàåòçàïèñü Ψ(x) - ôóíêöèþ Ψ èëè åå çíà÷åíèå â êîíêðåòíîé

13

òî÷êå x. Ïîäîáíûå òîíêîñòè íå âàæíû â êëàññè÷åñêîéìàòåìàòèêå, òàê êàê ïðè àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ âñåãäà ìîæíî ñâÿçàòü ëîãè÷åñêèìêâàíòîðîì, íî â êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå îíè âàæíû.Ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà ìû äîëæíû ÷åòêî ðàçëè÷àòüñàìó ôóíêöèþ, âêëþ÷àþùóþ âñå ñâîè çíà÷åíèÿ, êàê â(1.7) è åå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå.

Òåïåðü ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå êâàíòîâîãîôîðìàëèçìà è ëèíåéíîé àëãåáðû. Áóäåì ÷åðåç|a〉 ïîíèìàòü çàïèñü âåêòîðà a â êîíå÷íîìåðíîìãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé â âèäå ñòîëáöàåãî êîîðäèíàò â âûáðàííîì çàðàíåå áàçèñå. Òîãäàäåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A íà äàííûé âåêòîðâûðàçèòñÿ êàê ðåçóëüòàò ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ A|a〉,ãäå ïîä A ïîíèìàåòñÿ ìàòðèöà A â äàííîì áàçèñå.Äîãîâîðèìñÿ òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî 〈a| åñòü âåêòîð- ñòðîêà, ïîëó÷åííàÿ èç |a〉 òðàíñïîíèðîâàíåì èêîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì ýëåìåíòîâ. Ýòà îïåðàöèÿ -òðàíñïîíèðîâàíèå è êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå - íàçûâàåòñÿïðîñòî ñîïðÿæåíèåì, êîãäà ðå÷ü èäåò î ìàòðèöàõ. Áóäåìòàêæå ñëèâàòü äâå ðÿäîì ñòîÿùèå âåðòèêàëüíûå ÷åðòû âîáîçíà÷åíèÿõ. Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ aè b çàïèøåòñÿ êàê 〈a|b〉. Çàïèñü 〈a|A|b〉 ìîæíî òîëêîâàòüâäîÿêî: ëèáî êàê 〈a|(A|b〉), ëèáî êàê (〈a|A∗)|b〉. Íîåñëè ìàòðèöà A ñàìîñîïðÿæåííàÿ, òî åñòü A = A∗,äâîéñòâåííîñòü èñ÷åçàåò, è ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòüâûïèñàííîå âûðàæåíèå áåç ñêîáîê. Ñàìîñîïðÿæåííûåìàòðèöû åùå íàçûâàþò ýðìèòîâûìè. Ìàòðèöû âèäàexp(iH), ãäå H - ýðìèòîâà, íàçûâàþòñÿ óíèòàðíûìè.Ïðèâåäåíèåì ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ,÷òî ìàòðèöà U óíèòàðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàU−1 = U∗, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, êîãäà ìàòðèöà Uñîõðàíÿåò âñå ðàññòîÿíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Ìîæíî îïðåäåëèòü èçìåðåíèå ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 â

14

îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå |φ1〉, |φ2〉, . . . , |φN〉 êàêñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ |φj〉 ñâåðîÿòíîñòÿìè |〈φj|Ψ〉|2. Ýòî åñòü ïåðåôîðìóëèðîâêàáîðíîâñêîãî ïðàâèëà. Òàêèì îáðàçîì, èçìåðåíèå çàäàåòñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ êîëëàïñîìâîëíîâîé ôóíêöèè: ïðè ýòîì ïðîöåññå ïðîèñõîäèòïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 ê îäíîìó èç ñîñòîÿíèé |φj〉,ïðè÷åì äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , N íàì èçâåñòíàèñêëþ÷èòåëüíî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ýòî ñîñòîÿíèå, èáîëüøå íè÷åãî.  ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ñòàíäàðòíîé èëèêîïåíãàãåíñêîé êâàíòîâîé òåîðèè. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé âòîì ñìûñëå, ÷òî ïîïûòêà åå èçìåíèòü, íàïðèìåð, ââåñòè,ïîìèìî âîëíîâîé ôóíêöèè |Ψ〉 åùå è íåêîòîðûå äðóãèåïàðàìåòðû, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿíèå (òàê íàçûâàåìûåñêðûòûå ïàðàìåòðû) íåèçìåííî ïðèâîäèò ê îòêàçó îòèñïîëüçîâàíèÿ ñòàíäàðòíîãî àïïàðàòà âîîáùå, è ïðèîòñóòñòâèè àëüòåðíàòèâíîãî àïïàðàòà òàêàÿ ïîïûòêàïðåâðàùàåòñÿ â íè÷òî.

Êîïåíãàãåíñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îáëàäàåò âñåéãèáêîñòüþ, íåîáõîäèìîé äëÿ ïîëíîé ôèçè÷åñêîé òåîðèèîäíîé - äâóõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, ëþáîé ôèçè÷åñêîéâåëè÷èíå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ýðìèòîâ îïåðàòîð A,òàêîé ÷òî êëàññè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ýòîãî îïåðàòîðà. Èçìåðåíèå ýòîéâåëè÷èíû åñòü èçìåðåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîéñèñòåìû â áàçèñå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A. Åñëèó äâóõ îïåðàòîðîâ îáùèé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ýòîòî æå ñàìîå, ÷òî èõ êîììóòàòèâíîñòü), òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òîäàííûå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü èçìåðåíû îäíîâðåìåííî (ñîäèíàêîâî âûñîêîé òî÷íîñòüþ). Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòüýíåðãèÿ ÷àñòèöû è ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà ìîìåíòà èìïóëüñàíà îäíó èç êîîðäèíàòíûõ îñåé (÷àùå âûáèðàþò z). Åñëèæå îïåðàòîðû íå èìåþò îáùåé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõôóíêöèé, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåëè÷èíû íå ìîãóò

15

áûòü èçìåðåíû îäíîâðåìåííî. Íàïðèìåð, êîîðäèíàòà èèìïóëüñ âäîëü ýòîé æå îñè íå ìîãóò áûòü èçìåðåíûîäíîâðåìåííî. Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òîåñëè ìû âûáèðàåì ñåãìåíòû Dj êàê ïîñëåäîâàòåëüíûåîòðåçêè ðàâíîé äëèíû, òî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýôôèöèåíòàìàòðèöà îïåðàòîðà êîîðäèíàòû x áóäåò èìåòü âèä

1 0 . . . 00 2 . . . 00 0 3 . . .. . . . . . . . . . . .

(1.8)

â òî âðåìÿ êàê ìàòðèöà îïåðàòîðà èìïóëüñà äëÿ òîé æåêîîðäèíàòíîé îñè èìååò âèä

DFT

( −h2 12/2m 0 . . . 00 −h2 22/2m . . . 00 0 −h2 32/2m . . .. . . . . . . . . . . .

)DFT−1

(1.9)ãäå DFT îáîçíà÷àåò äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå (ñì. Ïðèëîæåíèå - QFT ). ×èñëà 1, 2, . . . âçÿòûçäåñü äëÿ ïðèìåðà. Ýòî ïðîñòî ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿêîîðäèíàòû èëè èìïóëüñà â äâîè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè.Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èçîïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî, à äëÿ äîêàçàòåëüñòâàâòîðîãî çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèòäèôôåðåíöèðîâàíèå â óìíîæåíèå íà ìíèìóþ åäèíèöó èàðãóìåíò ðåçóëüòàòà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ýòî ñâîéñòâîçäåñü è èñïîëüçîâàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû äèàãîíàëèçîâàòüìàòðèöó, ñîîòâåòñòâóþùóþ îïåðàòîðó èìïóëüñà.Ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé â áàçèñå, êîòîðûéïîëó÷àåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå èç èñõîäíîãî, òàê÷òî ó îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà äåéñòâèòåüíîíåò îáùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ðàçóìååòñÿ, åñëèðàññìîòðåòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòó x è îïåðàòîðèìïóëüñà âäîëü äðóãîé îñè, íàïðèìåð, py, òî ó òàêèõ

16

îïåðàòîðîâ áóäåò îáùàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, èèõ ìîæíî èçìåðèòü îäíîâðåìåííî.

Îäíîâðåìåííîå èçìåðåíèå çäåñü òðàêòóåòñÿ êàêèçìåðåíèå îáîèõ âåëè÷èí ñ îäèíàêîâîé òî÷íîñòüþ. Òîåñòü âîçìîæíîñòü ñêîëü óãîäíî òî÷íî çíàòü îäíîâðåìåííîçíà÷åíèÿ è îäíîé è äðóãîé âåëè÷èíû. Åñëè æå îòêàçàòüñÿîò òðåáîâàíèÿ àáñîëþòíîé òî÷íîñòè, òî, êîíå÷íî,èçìåðèòü ìîæíî ëþáûå äâå âåëè÷èíû. Ïðè ýòîì,åñëè îäíà èç íèõ ïðèíÿëà îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå (òî åñòüíàø âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñîâïàë ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîìñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé âåëè÷èíå îïåðàòîðà), òî äðóãàÿ,âîîáùå ãîâîðÿ, áóäåò èìåòü íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîåðàñïðåäåëåíèå çíà÷åíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîìÁîðíà. Ðàññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, äâóìåðíîå ãèëüáåðòîâîïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì èçìåðÿåòñÿ ¾êîîðäèíàòà¿, à çàòåì¾èìïóëüñ¿ ÷àñòèöû. ß çàêëþ÷àþ íàçâàíèå ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí â êàâû÷êè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü,÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ íå íàñòîÿùàÿ êîîðäèíàòà èëèèìïóëüñ, à èõ ñàìûå ãðóáûå ïðèáëèæåíèÿ, âûòåêàþùèåèç òîãî, ÷òî ÷àñòèöà ìîæåò çàíèìàòü òîëüêî äâàïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëîæåíèÿ, à íå êîíòèíóàëüíûéíàáîð, êàê â ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ïî ôèçèêå. Ïîñêîëüêóïðè èçìåðåíèè ¾êîîðäèíàòû¿ ìû ïîïàäàåì â îäíî èç äâóõñîñòîÿíèé |1〉, |2〉, à ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â äâóìåðíîìñëó÷àå èìååò ìàòðèöó Àäàìàðà (ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçîâîãîñäâèãà (

1/√

2 1/√

2

1/√

2 −1/√

2

)òî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü êàæäûé èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé�èìïóëüñà� 1 èëè 2, áóäåò ðàâåí 1/2. �Èìïóëüñ ÷àñòèöû�ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòà ÷àñòèöà ñïîñîáíà çàíèìàòü òîëüêîäâà ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëîæåíèÿ: |0〉 èëè |1〉, îçíà÷àåò,÷òî ýòà ÷àñòèöà ëèáî ñîâåðøàåò ïðûæîê èç îäíîãîïîëîæåíèÿ â äðóãîå, ëèáî ñòîèò íà ìåñòå. Ôèçè÷åñêàÿ

17

èíòóèöèÿ äàåò íàì âåðíîå ïîíèìàíèå ýòîãî ïîíÿòèÿâ òàêîé íåîáû÷íîé ñèòóàöèè. Êàê âèäèì, ìîæíîïðèïèñàòü ïîíÿòèþ èìïóëüñà ÷àñòèöû ñîâåðøåííîîïðåäåëåííîå ïîíèìàíèå, ïóñòü è íå ñâîäÿùååñÿ êîäíîìó ÷èñëó, íî òåì íå ìåíåå ñòðîãîå è êîððåêòíîå âòîì ñìûñëå, ÷òî ñ ýòèì ïîíèìàíèåì ìîæíî ðàáîòàòüäàëüøå. Ìû ñäåëàëè ýòî, îïèðàÿñü íà êóáèòîâûéôîðìàëèçì, òî åñòü íà ñïåöèàëüíûé ìàòåìàòè÷åñêèéïðèåì.2 Êóáèòîâûé ôîðìàëèçì, êàê ìû âèäèì, áîëååíàäåæåí, ÷åì ñòàíäàðòíûé ôîðìàëèçì âîëíîâûõôóíêöèé. Îí îáëàäàåò áîëüøèìè âûðàçèòåëüíûìèâîçìîæíîñòÿìè, òàê êàê ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòüîïåðàòîðû êàê êîíêðåòíûå ýðìèòîâû ìàòðèöû, èòàêèì îáðàçîì, ÿâíî èñïîëüçîâàòü àëãåáðàè÷åñêèåïðèåìû. Êóáèòîâàÿ òåõíèêà áîëåå òðåáîâàòåëüíà,÷åì òðàäèöèîííàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ, òàê êàê îíà ÿâíîñîäåðæèò íåêîå çåðíî ðàçðåøåíèÿ êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà. Ëþáîé èçúÿí ôîðìàëèçìà, êîòîðûéìîæíî ëåãêî ñêðûòü, èñïîëüçóÿ àíàëèòè÷åêóþ òåõíèêó,ñòàíîâèòñÿ ÿâíûì ïðè èñïîëüçîâàíèè òåõíèêè êóáèòîâ,â ÷åì ìû óáåäèìñÿ äàëåå íà ïðèìåðå êâàíòîâîéýëåêòðîäèíàìèêè. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èèçåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ ãîðàçäî áëèæå êðåàëüíîñòè, ÷åì ïðåäïîëîæåíèå î áåñêîíå÷íîé äåëèìîñòèïðîñòðàíñòâà. Ââèäó ýòîãî, ÿ áóäó â äàëüíåéøåì ñòàðàòüñÿïðèìåíÿòü èìåííî êóáèòîâóþ çàïèñü êâàíòîâûõ îáúåêòîâ,íå îãîâàðèâàÿ ýòîãî ñïåöèàëüíî. Ðàññìîòðåííàÿ íàìèñèòóàöèÿ âîîáùå òèïè÷íà â òîì ñìûñëå, ÷òî ñàìûìêîðîòêèì ïóòåì ê ÷èñëåííîìó ðåçóëüòàòó ÿâëÿåòñÿïðîñòàÿ ìàíèïóëÿöèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòîì;

2ß ïðåäëàãàÿ ÷èòàòåëþ ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿäëÿ òàêîé çàäà÷è ýâðèñòèêó ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà(òî åñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòî ïîíèìàòü ïîä ôèçè÷åñêîé èíòóèöèåé),êîãäà ñêîðîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïðåäåë ∆s/∆t, è ò.ä.

18

âñå òî, ÷òî ïîíèìàþò ïîä ôèçè÷åñêîé èíòóèöèåé,îáÿçàòåëüíî äîëæíî ñâîäèòüñÿ ê òàêîé ìàíèïóëÿöèè.Ñàìîñòîÿòåëüíîå ñóùåñòâîâàíèå íåêîé ôèçè÷åñêîéèíòóèöèè, íå îôîðìëåííîé êàê òàêàÿ ìàíèïóëÿöèÿ, åñòüâåðíûé ïðèçíàê îòñòàëîñòè èñïîëüçóåìîé ìàòåìàòèêè.

Èòàê êîïåíãàãåíñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îáëàäàåòïîëíûì àðñåíàëîì äëÿ ðàññìîòðåíèÿ îäíîé èëè äâóõ÷àñòèö, òàê êàê äâå ÷àñòèöû ìîæíî ñâåñòè ê îäíîé,âûáèðàÿ â êà÷åñòâå íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò èõîáùèé öåíòð ìàññ. Îäíàêî â áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷àõîíà íå ïðèìåíèìà. Òðóäíîñòè íà÷èíàþòñÿ óæå âôîðìàëüíî îäíî÷àñòè÷íûõ çàäà÷àõ, íî ñîäåðæàùèõèçìåðåíèÿ, ñì. Ïðèìåð 2 èç 2.4.2. Ôèçè÷åñêè èçìåðåíèåîçíà÷àåò âçàèìîäåéòñâèå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû ñîêðóæåíèåì, ñîñòîÿùèì èç î÷åíü áîëøîãî ÷èñëà ÷àñòèö,è ïîòîìó ïðîÿâëÿþùåãî êëàññè÷åñêèå ñâîéñòâà. Òî åñòüôàêòè÷åñêè, çàäà÷à îá èçìåðåíèè íå ÿâëÿåòñÿ óæåîäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷åé. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â âèäå òàêíàçûâàåìîé äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü ðàñïàäå êâàíòîâîãîñîñòîÿíèÿ ïðè êîíòàêòå åãî ñ îêðóæàþùèìè ÷àñòèöàìè,íå âõîäÿùèìè â ðàññìàòðèâàåìûé àíñàìáëü.

1.1.2 Òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ

Ìû ïîäîøëè ê ÿäðó ãèëüáåðòîâà ôîðìàëèçìà êâàíòîâîéìåõàíèêè - îïèñàíèþ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþòåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé. Ýòàêîíñòðóêöèÿ ñèìâîëèçèðóåò âñþ ìîùü êëàññè÷åñêîéìàòåìàòèêè, ïîñêîëüêó äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäñêàçàòüÿâëåíèå, êîòîðîå óæå íåâîçìîæíî ñòðîãî îïèñàòüñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ïîäõîäà: ñóùåñòâîâàíèåçàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ìû äîëæíû òùàòåëüíîèçó÷èòü ôîðìàëèçì òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé òàê êàê îíÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ êâàíòîâûõ

19

êîìïüþòåðîâ.Êëþ÷åâîé ýëåìåíò ñòàíäàðòíîãî ôîðìàëèçìà

ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè - âçÿòèå òåíçîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö.Ñîñòîÿíèå àíñàìáëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö â êâàíòîâîéòåîðèè íå ñâîäèòñÿ ê íàáîðó èõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé,à ïðèíàäëåæèò òåíçîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ ïðîñòðàíñòâñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ äàííûéàíñàìáëü.  ýòîì ñîñòîèò ôóíäàìåíòàëüíîå îòëè÷èåêâàíòîâîé òåîðèè îò êëàññè÷åñêîé. Ïóñòü H1,H2, . . . ,Hn

- ïðîñòðàíñòâà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ÷àñòèö 1, 2, . . . , nñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà êâàíòîâûå ñîñòîÿíèå àíñàìáëÿäàííûõ ÷àñòèö ñîñòàâëÿþò òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèåH = H1

⊗H2

⊗. . .⊗Hn, êîòîðîå ìû ñåé÷àñ îïðåäåëèì.

Ïóñòü bj1, bj2, . . . , b

jkj

åñòü íåêîòîðûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâàHj, j = 1, 2, . . . , n. Òîãäà áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà H, ïîîïðåäåëåíèþ, áóäåò íàáîð âñåõ ôîðìàëüíûõ ïðîèçâåäåíèéâèäà

b1i1

⊗b2i2

⊗. . .⊗

bnin ,

ãäå çíàê òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ.Íàïðèìåð, åñëè ó íàñ òîëüêî äâà ïðîñòðàíñòâà,è îáà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîñòîÿíèÿ êóáèòîâ -ïåðâîãî è âòîðîãî, òî â èõ ïðîèçâåäåíèè áàçèñ áóäåòòàêèì: |0〉|0〉, |0〉|1〉, |1〉|0〉, |1〉|1〉. ×àñòî â äèðàêîâñêèõîáîçíà÷åíèÿõ 〉| òàêæå îïóñêàåòñÿ è ïèøóò ïðîñòî |00〉 èò.ä. Òåïåðü ìû ìîæåì îòîæäåñòâèòü âîëíîâóþ ôóíêöèþâèäà Ψ(r1, r2, . . . , rn) ñ âåêòîðîì â òåíçîðíîì ïðîñòðàíñòâåH = H1

⊗H2

⊗. . .⊗Hn ãäå âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ r1

ïðèíàäëåæàò áàçèñó H1, è ò.ä. Åñëè ó íàñ åñòü ñîñòîÿíèÿ|ψj〉 ∈ Hj j = 1, 2, . . . , n, òî èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå|ψ1〉

⊗|ψ2〉

⊗. . .⊗|ψn〉 îïðåäåëÿåòñÿ òàê. Íàäî

ðàçëîæèòü êàæäîå ñîñòîÿíèå ïî áàçèñó, è ïåðåìíîæèòüýòè çàïèñè, ñ÷èòàÿ ÷òî çíàê òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ⊗

îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïðîèçâåäåíèÿ, êðîìå

20

êîììóòàòèâíîñòè, òî åñòü äèñòðèáóòèâåí ïî îòíîøåíèþ êñëîæåíèþ, è äîïóñêàåò âûíåñåíèå ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ.Òàêîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé ïðèíàäëåæèò òåíçîðíîìóïðîèçâåäåíèþ ïðîñòðàíñòâ.

Åñëè Aj : Hj −→ Hj åñòü ëèíåéíûå îïåðàòîðû,ìû îïðåäåëèì èõ òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå A =A1⊗

A2⊗

. . .⊗

An òàê. Ñíà÷àëà îïðåäåëèì ýòîòîïåðàòîð åñòåñòâåííûì îáðàçîì íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ

H : A(b1i1

⊗b2i2

⊗. . .⊗

bnin) =

= A1(b1i1

)⊗

A2(b2i2

)⊗

. . .⊗

An(bnin),

à çàòåì ðàñïðîñòðàíèì ýòîò îïåðàòîð ïî ëèíåéíîñòè íàâñå ïðîñòðàíñòâî H.

Íå âñÿêèé âåêòîð èç H èìååò âèä òåíçîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ èç îòäåëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.Íàïðèìåð, â ñëó÷àå äâóõ êóáèòîâ âåêòîð |00〉 + |11〉ïðåäñòàâèòü â òàêîì âèäå íåâîçìîæíî. Òàêèå ñîñòîÿíèåíàçûâàþòñÿ çàïóòàííûìè, â çíàê òîãî, ÷òî èõ íåëüçÿñâåñòè ê êîìáèíàöèè (ïðîèçâåäåíèþ) îòäåëüíûõñîñòîÿíèé. Èìåííî íàëè÷èå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèéäåëàåò êâàíòîâóþ ôèçèêó ìíîãèõ ÷àñòèö ïðèíöèïèàëüíîáîëåå ñëîæíîé, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ, ãäå íåò òàêîãî ïîíÿòèÿêàê çàïóòàííîñòü. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàïóòàííîñòüíå èìåëà áû íèêàêîãî îñîáîãî ñìûñëà, åñëè áû ìûïðåäñòàâëÿëè ÷àñòèöó êàê òî÷å÷íóþ, òî åñòü êëàññè÷åñêè.Òàêèì îáðàçîì, çàïóòàííîñòü åñòü óäèâèòåëüíîå, ÷èñòîêâàíòîâîå ÿâëåíèå.  ãëàâå 6 ìû óâèäèì, ÷òî îíîïðèâîäèò ê ìàêðîñêîïè÷åñêèì ñëåäñòâèÿì. Òàêèìîáðàçîì, êâàíòîâóþ ìåõàíèêó íåëüçÿ ñâåñòè ê ïîïðàâêàìê êëàññè÷åñêîé. Îíà îäíà äàåò íàì êëþ÷ ê ïîíèìàíèþíàáëþäàåìîé êàðòèíû ìèðà.

Åñëè ìû ðàáîòàåì ñ îáû÷íîé çàïèñüþ âîëíîâûõôóíêöèé Ψ(r1, . . . , rn), òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå íàäî

21

òðàêòîâàòü êàê îáû÷íîå ïðîèçâåäåíèåψ1(r1)ψ2(r2) . . . ψn(rn). Ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîãîîïðåäåëåíèÿ, äàííîãî íàìè ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíîäåéñòâóåò â êóáèòîâîì ôîðìàëèçìå, êîòîðûé ïîëíîñòüþàäåêâàòåí êâàíòîâîé òåîðèè, ïîñêîëüêó âêëþ÷àåò â ñåáÿçåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ: ìû èñïîëüçóåìýòî çåðíî äëÿ âûáîðà áàçèñà bj1, . . . äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû.Íàïðèìåð, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî b1

1 îçíà÷àåò íàõîæäåíèåïåðâîé ÷àñòèöû â òî÷êå 1, b1

2 - íàõîæäåíèå åå â òî÷êå 2è ò.ä. Ïðè ýòîì çåðíà äëÿ ðàçíûõ ÷àñòèö ìîãóò, âîîáùåãîâîðÿ, èìåòü ðàçíûé ðàçìåð. Òàêæå è ÷àñòèöà ñàìà ïîñåáå ìîæåò áûòü öåëûì àíñàìáëåì, ñîñòîÿùèì èç áîëååìåëêèõ ÷àñòèö, òàê ÷òî åå ïðîñòðàíñòâî òîæå ïîëó÷àåòñÿêàê òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå, è ò.ä.

1.2 Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è

èçìåðåíèÿ

Ñàìîé ôóíäàìåíòàëüíîé îñîáåííîñòüþ êâàíòîâîé òåîðèèÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííîå îïèñàíèå äèíàìèêè ëþáîãîîáúåêòà, êîòîðàÿ ïîäðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ñîâåðøåííîîñîáûõ òèïà: óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ.Ýòà îñîáåííîñòü íàñòîëüêî ôóíäàìåíòàëüíà, ÷òî, ïîâèäèìîìó, äîëæíà áûòü â òîé èëè èíîé ôîðìå ñîõðàíåíàäëÿ ëþáîãî íîâîãî ïîäõîäà ê âû÷èñëåíèÿì íà áàçåêâàíòîâîé òåîðèè.

Ðàññìîòðèì ýòè äâà âèäà äèíàìèêè îòäåëüíî.Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âîçìîæíûå

ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 êâàíòîâîé ñèñòåìû îáðàçóþò íåêîåãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèéH, òàê ÷òî èçìåíåíèåëþáîãî ñîñòîÿíèÿ âî âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò ìîìåíòà t0ê ìîìåíòó t1 çàäàåòñÿ óíèòàðíûì îïåðàòîðîì

Ut0,t1 : H −→ H (1.10)

22

Ìîæíî åùå äåòàëèçèðîâàòü ýòî óòâåðæäåíèå, ñêàçàâ, ÷òîýòîò îïåðàòîð èìååò âèä U = exp(− i

hH(t1 − t0)), ãäå

H íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì äàííîé ñèñòåìû, è ðàâåíîïåðàòîðó åå ïîëíîé ýíåðãèè (çàâèñÿùåé îò ñàìîé ýòîéñèñòåìû è îò âíåøíèõ ïîòåíöèàëîâ), ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîïåðåôîðìóëèðîâêîé òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî ýâîëþöèÿêîíêðåòíîãî ñîñòîÿíèÿ |Ψ(t)〉 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåìØðåäèíãåðà. Ïðèíöèïèàëüíûì â ýòîé àêñèîìå êâàíòîâîéòåîðèè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî åñëè áû ìû âçÿëè âìåñòî |Ψ〉ëþáîå äðóãîå ñîñòîÿíèå |Ψ1〉 â ïðîñòðàíñòâåH è ïîñòàâèëèáû åãî â òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, ÷òî è |Ψ〉, òî ìû áûïîëó÷èëè ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîãî æå ñàìîãî îïåðàòîðàUt0,t1 .

Êàê ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïðîâåðèòü ? Äëÿ ýòîãîåñòü åäèíñòâåííûé ïóòü: íàäî áðàòü âñåâîçìîæíûåñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé èïîäâåðãàòü èõ äåéñòâèþ òåõ æå ñàìûõ ïîòåíöèàëîâ, ÷òîáûïîñìîòðåòü íà ðåçóëüòàò èõ ýâîëþöèè. Ïîñëå ýòîãî íàäîêàêèì òî îáðàçîì ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû èõ ýâîëþöèé, òîåñòü ñîñòîÿíèÿ âèäà Ut0,t1|Ψ〉, ÷òîáû ñäåëàòü âûâîä î òîì,íàñêîëüêî ýòà àêñèîìà âåðíà.

Íî äëÿ ýòîãî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìî ñðàâíèâàòüìåæäó ñîáîé êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Îêàçûâàåòñÿýòîãî íåëüçÿ ñäåëàòü òîëüêî ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîéýâîëþöèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèì ñîâåðøåííî äðóãîé âèäýâîëþöèè êâàíòîâûõ ñèñòåì, íàçûâàåìûé èçìåðåíèåì.Òàêèì îáðàçîì, äàæå ñàìî îïðåäåëåíèå óíèòàðíîñòèýâîëþöèè ðîâíûì ñ÷åòîì íè÷åãî íå îçíà÷àåò äî òåõïîð, ïîêà ìû íå ïðèìåíèëè ê íàøåé ñèñòåìå èçìåðåíèå.Ýòîò ïðèíöèïèàëüíûé ôàêò ãîâîðèò î òîì, ÷òî íå

ñóùåñòâóåò ÷èñòî êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êîòîðàÿ

áû íå îïèðàëàñü áû íà êëàññè÷åñêóþ ìåõàíèêó,

îïèñûâàþùóþ ïðîöåññ èçìåðåíèÿ.

Èçìåðåíèÿ. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ

23

{|ψ1〉, . . . , |ψn〉} â ïðîñòðàíñòâå H, î êîòîðîì áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî îí îðòîíîðìèðîâàí. Òîãäà èçìåðåíèåì â ýòîìáàçèñå íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿçíà÷åíèÿ |ψj〉 ñ âåðîÿòíîñòÿìè |〈ψj|Ψ〉|2. Ýòî è åñòüïðàâèëî Áîðíà âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ âåðîÿòíîñòåé,êîòîðîå â ñòàíäàðòíîì ôîðìàëèçìå ïðèíèìàåòñÿêàê àêñèîìà. Íåò íèêàêîãî èíîãî ñïîñîáà èçâëå÷üèíôîðìàöèþ î êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, êðîìå êàêïîäâåðãíóòü åãî ïðîöåäóðå èçìåðåíèÿ. Åäèíñòâåííûéâûáîð ïðè ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå áàçèñà |ψj〉- îí çàâèñèò îò ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè, íàêîòîðîé ïðîâîäèòñÿ èçìåðåíèå. ×àùå âñåãî âûáèðàþòèçìåðåíèå êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ âåëè÷èí,íàïðèìåð, êîîðäèíàòû (è òîãäà ãîâîðÿò î êîîðäèíàòíîìáàçèñå â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé), ëèáî èìïóëüñà (èòîãäà ãîâîðÿò îá èìïóëüñíîì áàçèñå â ïðîñòðàíñòâåñîñòîÿíèé). Èçìåðèòü æå îäíîâðåìåííî è êîîðäèíàòó èèìïóëüñ íåâîçìîæíî â òîì ñìûñëå, ÷òî íå ñóùåñòâóåòîðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, îáúåäèíÿþùåãî âåêòîðûèç äâóõ ðàçëè÷íûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ îäíîãîïðîñòðàíñòâà.

Ôèçè÷åñêè èçìåðåíèå îçíà÷àåò êîíòàêò èçó÷àåìîéñèñòåìû ñ íåêîòîðûì êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì, ñîñòîÿùèìèç ìíîæåñòâà ÷àñòèö. òàê ÷òî óíèòàðíûé õàðàêòåðêâàíòîâîé äèíàìèêè ïðè òàêîì ïðîöåññå ñîâåðøåííîòåðÿåòñÿ è îò íåãî îñòàþòñÿ òîëüêî âåðîÿòíîñòè.Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå åñòü åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü÷òî-òî óçíàòü ïðî ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû, äëÿòîãî, ÷òîáû ïîëüçîâàòüñÿ êâàíòîâîé òåîðèåé, àáñîëþòíîíåîáõîäèìà êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà.

Èç ýòèõ äâóõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé òåîðèè ìîæíîñäåëàòü î÷åíü ñåðüåçíîå çàêëþ÷åíèå. Óòâåðæäåíèåîá óíèòàðíîñòè êâàíòîâîé ýâîëþöèè êàñàåòñÿ íå îäíîéîòäåëüíî âçÿòîé ýâîëþöèè, à îãðîìíîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ

24

ýêñïåðèìåíòîâ, ïðè êîòîðûõ òîëüêî ïîñëå ñòàòèñòè÷åñêîéîáðàáîòêè èõ ðåçóëüòàòîâ áóäóò âèäíû òàêèå ñâîéñòâàêàê ëèíåéíîñòü, ñîõðàíåíèå íîðì âåêòîðîâ è ò.ä. Ïðèýòîì äëÿ îáðàáîòêè äàæå åäèíè÷íîãî ýêñïåðèìåíòà(îäíîé ýâîëþöèè) íåîáõîäèìî ïðèâëåêàòü ïðèíöèïèàëüíîìíîãî÷àñòè÷íûå ñèñòåìû, ê êîòîðûì ìû óæå íå ñìîæåìïðèìåíÿòü êâàíòîâîé ìåõàíèêè, à áóäåì âûíåæäåíûïîëüçîâàòüñÿ ìåõàíèêîé êëàññè÷åñêîé, ÷òîáû îïðåäåëèòü,êàêîé æå èñõîä èçìåðåíèÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ïðîèçîøåë:|ψj1〉 èëè |ψj2〉. Åñëè ìû ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì íåìîæåì îáåñïå÷èòü èäåíòè÷íîñòè óñëîâèé ýêñïåðèìåíòîâ(âêëþ÷àÿ ñîâïàäàþùóþ íàñòðîéêó àïïàðàòóðûäëÿ ðàçíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, è âîîáùå âîçìîæíîñòüïîëüçîâàòüñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ïðèáîðàìè äëÿèçìåðåíèÿ), óòâåðæäåíèÿ î êâàíòîâîì õàðàêòåðåýâîëþöèè òåðÿþò âñÿêèé ñìûñë.

Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîâàÿ òåîðèÿ äëÿ ñàìîãî ñâîåãîñóùåñòâîâàíèÿ òðåáóåò íàëè÷èÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõñèñòåì è âîçìîæíîñòè íåïîñðåäñòâåííî âîâëåêàòü èõâ ýêñïåðèìåíò. Ïðè ýòîì ìû äîëæíû èìåòü ìíîãî÷àñòèö (ìàêðîñêîïè÷åñêèé ïðèáîð) îäíîâðåìåííî äëÿèçìåðåíèÿ ñîñòîíèÿ, à òàêæå ìíîãî ÷àñòèö äëÿ âûáîðàèõ â êà÷åñòâå èçìåðÿåìîé êâàíòîâîé ñèñòåìû, ÷üåñîñòîÿíèå |Ψ〉 ìû èçó÷àåì. Ñêîëüêî âðåìåíè çàéìåòïðîöåäóðà èçìåðåíèÿ ? Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷àñòèöûîäíîãî òèïà èäåíòè÷íû, ìîæíî ïðîèçâåñòè îäíîâðåìåííîî÷åíü ìíîãî ýêñïåðèìåíòîâ (êàê ýòî è äåëàåòñÿ âñòàòèñòè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè). Ìîæíî íàïðÿìóþïðîâåðèòü àêñèîìó î èäåíòè÷íîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö,èìåþùèõ îäèíàêîâûé òèï. Äëÿ ýòîãî íàäî ïðîèçâåñòèìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íàä îäíîéè òîé æå ÷àñòèöåé. Ñîâðåìåííûå ïðèáîðû, òàêèåêàê ñêàíèðóþùèé òóííåëüíûé ìèêðîñêîï, ïîçâîëÿþòàäðåñîâàòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê èíäèâèäóàëüíûì àòîìàì,

25

ïîýòîìó äëÿ ïîñòàíîâêè òàêîãî ðîäà ýêñïåðèìåíòîâ íåòïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé, êðîìå âðåìåíè.

1.2.1 Àáñòðàêòíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî

êîìïüþòåðà

Òåïåðü ìû îïèøåì àáñòðàêòíóþ ìîäåëü êâàíòîâîãîêîìïüþòåðà, êîòîðàÿ ìîæåò óæå èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿïîäñ÷åòà åãî ñëîæíîñòè, òî åñòü âðåìåíè Tqua.

Ýòà ìîäåëü ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: êëàññè÷åñêîéè êâàíòîâîé. Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç ðåãèñòðîâ,â êîòîðûõ óêàçàíû íîìåðà ýëåìåíòàðíûõ óíèòðàíûõîïåðàöèé èç íåêîòîðîãî ñïèñêà U1, U2, . . . ïðîñòûõ 1-2èëè 3 êóáèòíûõ óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ, è óêàçàòåëåé,òî åñòü ñòðåëîê, êîòîðûå óêàçûâàþò, ê êàêèì êóáèòàìíàäëåæèò ïðèìåíèòü äàííûé îïåðàòîð. Êðîìå ýòîãî,êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîäåðèò äâà îñîáûõ ðåãèñòðà: ðåãèñòðêîíöà âû÷èñëåíèÿ è ðåãèñòð âîïðîñà ê îðàêóëó.

Êâàíòîâàÿ ÷àñòü êîìïüþòåðà - ýòî ëåíòà, â ÿ÷åéêàõêîòîðîé ñòîÿò êóáèòû. Ïîòåíöèàëüíî ëåíòà íå îãðàíè÷åíàâ òîì ñìûñëå, ÷òî ê íåé ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíîâñåãäà äîáàâëÿòü íîâûå êóáèòû, èíèöèàëèçèðîâàííûåñîñòîÿíèåì |0〉. Åñëè ëåíòà ñîäåðæèò n êóáèò, òî ååêâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ çàïîëíÿþò 2n ìåðíîå ãèëüáåðòîâîïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé. Îáùèé âèä ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé÷àñòè êîìïüþòåðà òàêîâ:

|Ψ〉 =N−1∑j=0

λj|j〉 (1.11)

ãäå N = 2n, à êîýôôèöèåíòû λj åñòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà,íàçûâàåìûå àìïëèòóäàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé |j〉.Òàêèì îáðàçîì, ìû âñåãäà ìîæåì ñ÷èàòü, ÷òî ýâîëþöèÿñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé ëåíòû ïðîèñõîäèò â êîíå÷íîìåðíîì

26

ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî N íàìíåäîñòóïíà, õîòÿ ÷èñëî êóáèòîâ n åñòü âïîëíå äîñòóïíàÿâåëè÷èíà. Ìû âèäèì, ÷òî (1.11) ñîâïàäàåò ñ òåì, ÷òîìû ìû íàçâàëè êóáèòîâûì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîéôóíêöèè. Ïîýòîìó êâàíòîâûé êîìïüþòåð âûðàæàåòñòàíäàðòíóþ ôîðìó ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâàôîðìàëèçìà.

Êâàíòîâûé àëãîðèòì - ýòî êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì,çàäàþùèé èçìåíåíèå âî âðåìåíè ñîñòîÿíèÿ êëàññè÷åñêîé÷àñòè êîìïüþòåðà. Âû÷èñëåíèå íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå- ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàäñîñòîÿíèåì êâàíòîâîé ÷àñòè, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñîñòîÿíèåìêëàññè÷åñêîé ÷àñòè êîìïüþòåðà. Òî åñòü íà êàæäîì øàãåj íàä ñîñòîÿíèåì |Ψj〉 âûïîëíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå âèäà

U⊗

V⊗

W⊗

. . . (1.12)

ãäå äàííûå ýëåìåíòàðíûå îïåðàòîðû U, V,W . . .êîäû êîòîðûõ ñòîÿò â ðåãèñòðàõ êëàññè÷åñêîé ÷àñòèâûïîëíÿþòñÿ íàä òåìè êóáèòàìè, íà êîòîðûå óêàçûâàþòñòðåëêè, âûõîäÿùèå èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåãèñòðà.

Òàêèì îáðàçîì, ÷èñòî êëàññè÷åñêèé çàêîí èçìåíåíèÿóïðàâëÿþùåé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðàèíäóöèðóåò êâàíòîâóþ óíèòàðíóþ ýâîëþöèþ åãîêâàíòîâîé ÷àñòè âèäà

|Ψ(t)〉 =N−1∑j=0

λj(t)|j〉

òî åñòü ñâîäèòñÿ ê èçìåíåíèþ âî âðåìåíè àìïëèòóäáàçèñíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé.

Ìû äàëè îïðåäåëåíèå âû÷èñëåíèÿ áåç îðàêóëà, èëèàáñîëþòíîãî êâàíòîâîãî âû÷èñëåíèÿ. Ïî àíàëîãèè ñêëàññè÷åñêèì ñëó÷àåì, ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå êâàíòîâîãîâû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàí

27

íåêîòîðûé óíèòàðíûé îïåðàòîð U : H1 −→ H2,ãäå H1 - m è k êóáèòíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâîñîñòîÿíèé. Çàâåäåì íà ëåíòå îïðåäåëåííîå ìåñòî: íàáîðêóáèò (ðåãèñòð) èç m êóáèò, è ñïåöèàëüíûé ðåãèñòðâ êëàññè÷åñêîé ÷àñòè, íàçûâàåìûé ðåãèñòðîì âîïðîñà(query). Óñëîâèìñÿ ÷òî åñëè ðåãèñòð âîïðîñà ñîäåðæèò0, âû÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäÿò â îáû÷íîì ïîðÿäêå. Åñëèæå ðåãèñòð âîïðîñà ñîäåðæèò 1, ìû âìåñòî îáû÷íîãîóíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, èíäóöèðóåìîãî êëàññè÷åñêîé÷àñòüþ êîìïüþòåðà, ñîâåðøàåì îáðàùåíèå ê îðàêóëó,êîòîðîå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðèìåíÿåòñÿ îïåðàòîðI⊗

U , ãäå U ïðèìåíÿåòñÿ ê âûäåëåííîìó íàìè mêóáèòíîìó ðåãèñòðó, à èäåíòè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå - êîâñåì ïðî÷èì. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèåÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ðàñïðîñòðàíåíèåì ïîíÿòèÿâû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì íà êâàíòîâûé ñëó÷àé.

Êîíêðåòèçèðóåì ïîíÿòèå êâàíòîâîãî îðàêóëà íàñëó÷àé îáû÷íîé ôóíêöèè âèäà

f : {0, 1}m −→ {0, 1}k

Çàâåäåì íà êâàíòîâîé ëåíòå m è k êóáèòíûå ðåãèñòðû,íàçâàâ ïåðâûé ðåãèñòðîì âîïðîñà, à âòîðîé - ðåãèñòðîìîòâåòà. Ïóñòü a è b - êîðòåæè èç íóëåé è åäèíèö,ñîäåðæàùèåñÿ â ýòèõ ðåãèñòðàõ. Ââåäåì óíèòàðíîåïðåîáðàçîâàíèå, îïðåäåëåííîå òàêèì åãî äåéñòâèåì íàáàçèñíûõ âåêòîðàõ:

Quf |a, b〉 −→ |a, b⊕

f(a)〉 (1.13)

ãäå⊕

îçíà÷àåò ïîáèòîâîå ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2.Òàêîé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïåðåñòàíîâêîé áàçèñíûõâåêòîðîâ, è ïîòîìó îí ëèíåéíî ïðîäîëæàåòñÿ äîóíèòàðíîãî îïåðàòîðà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå êâàíòîâûõñîñòîÿíèé. Îí èíâîëþòèâåí, òî åñòü Qu2

f = I. Â

28

Ïðèëîæåíèè îïèñàíî, êàê ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðèåìàïîñòðîèòü áûñòðûé êâàíòîâûé àëãîðèòì ïåðåáîðà.

1.3 Ðîëü çàïóòàííîñòè

Êàê ìû çíàåì, çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ êâàíòîâûõñèñòåì S1 è S2, ýòî ñîñòîÿíèå, êîòîðîå íåâîçìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå |ΨS1〉

⊗|ΨS2〉. Ýòî â òî÷íîñòè

ñîîòâåòñòâóåò, â îáû÷íîé àíàëèòè÷åñêîé çàïèñèíåâîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè âñåéñèñòåìû â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé åå÷àñòåé S1 è S2. Ìîæíî ââåñòè ìåðó òàêîé çàïóòàííîñòèðàçëè÷íûìè ïóòÿìè. Íàïðèìåð, ñ èñïîëüçîâàíèåìîòíîñèòåëüíîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè ρS1 . Îïðåäåëèì ìåðóçàïóòàííîñòè êàê êâàíòîâóþ ýíòðîïèþ H = tr(ρS1 ln ρS1),êîòîðàÿ ðàâíà òîìó æå âûðàæåíèþ, âçÿòîìó äëÿ S2.Òàêàÿ ìåðà çàïóòàííîñòè ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèèêâàíòîâîé èíôîðìàöèè.

Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî êâàíòîâàÿ ýâîëþöèÿ ëþáîéñèñòåìû, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàêýâîëþöèÿ íåçàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ (òî åñòü òåíçîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé) ìîæåò áûòüìîäåëèðîâàíà íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå â ðåæèìåðåàëüíîãî âðåìåíè, òî åñòü ñ ñëîæíîñòüþ, ðàâíîéôèçè÷åñêîìó âðåìåíè. Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî ðåàëèçàöèÿáûñòðûõ êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ íà íåçàïóòàííûõñîñòîÿíèÿõ íåâîçìîæíà, òî åñòü êâàíòîâûé êîìïüþòåðïîñòðîåí êàê ðàç íà çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, è áåç íèõ îíñâåëñÿ áû ïðîñòî ê ñîáñòâåííîé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè.

Íî áûëî áû îøèáî÷íî îòîæäåñòâèòü ìíîæåñòâîâñåõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ñ ñîñòîÿíèÿìè, èìåþùèìèìàêñèìàëüíóþ ýíòðîïèþ çàïóòàííîñòè H. Âîçìîæíîñòüïîëó÷åíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé

29

äàæå ñ ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíüþ çàïóòàííîñòè ñîâñåìíå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ñîçäàëè êâàíòîâûé êîìïüþòåð. Âêà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâà êëàññà çàïóòàííûõêâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ðåàëüíî äåòåêòèðóþòñÿ âýêñïåðèìåíòàõ íà èîíàõ â ëîâóøêå Ïàóëÿ. Ýòî GHZ è Wñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå âèä

GHZ : λ1|11 . . . 1〉+ λ2|22 . . . 2〉+ . . .+ λk|kk . . . k〉,W : λ1|100 . . . 0〉+ λ2|010 . . . 0〉+ . . .+ λk|00 . . . 1〉.

(1.14)Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ õðàíåíèÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé â

ïàìÿòè êîìïüþòåðà äîñòàòî÷íî âûäåëèòü ïîðÿäêà n ÿ÷ååêïàìÿòè, ãäå n - ÷èñëî êóáèòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáûåâû÷èñëåíèÿ ñ òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè ìîæíî âîñïðîèçâîäèòüíà êëàññè÷åñêèõ êîìïüþòåðàõ, è èìåÿ òîëüêî òàêèåêâàíòâîûå ñîñòîÿíèÿ íåâîçìîæíî ðåàëèçîâàòü áûñòðûåêâàíòîâûå àëãîðèòìû.

 äåéñòâèòåëüíîñòè, ñîñòîÿíèÿ òèïà GHZ è W ìîæíîñâåñòè ê îäíî÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèÿì. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëàñîñòîÿíèå GHZ. Åãî àíàëîãîì äëÿ n = 2 ÿâëÿåòñÿ òàêíàçûâàåìîå øìèäòîâñêîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö, òî åñòüñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö âèäà∑

j

λj|ψ1j 〉⊗|ψ2j 〉 (1.15)

ãäå {|ψ1j} è {|ψ2

j} åñòü îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñûâ ïðîñòðàíñòâàõ ñîñòîÿíèé ïåðâîé è âòîðîé ÷àñòèöñîîòâåòñòâåííî. Ñîñòîÿíèå (1.15 õàðàêòåðèçóåòñÿN ÷èñëàìè, ãäå N åñòü ðàçìåðíîñòü ãèëüáåðòîâûõïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îäíîé ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì,äëÿ õðàíåíèÿ òàêîãî äâóõ÷àñòèöíîãî ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèìòîò æå îáúåì ïàìÿòè, ÷òî è äëÿ õðàíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ îäíîé÷àñòèöû.

30

Ñîñòîÿíèå GHZ åñòü ôîðìà øìèäòîâñêîãî ñîñòîÿíèÿäëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö. Òàêîå ñîñòîÿíèå îçíà÷àåòñëåäóþùåå. Ó íàñ ðåàëüíî èìååòñÿ òîëüêî îäíà ÷àñòèöà,íî îíà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, âåäóùèõ ñåáÿ ïðîñòîêàê îäíî öåëîå. Ðàññìîòðèì GHZ ñîñòîÿíèå ïðè k = 2:|Ψ〉 = |00〉 + |11〉. Áóäåì òðàêòîâàòü 0 è 1 êàê ïîëîæåíèÿîäíîé ÷àñòèöû â äâóõ ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ òî÷êàõ.Òîãäà èçìåðåíèå â ñòàíäàðòíîì áàçèñå îäíîé èç ÷àñòèöïîâëå÷åò íàõîæäåíèå îáåèõ ÷àñòèö â îäíîé è òîé æåòî÷êå. Åñëè æå ìû çàõîòèì èçìåðèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû,íàì ïðèäåòñÿ ïðèìåíèòü ê ñîîòâåòñòâóþùåìó êóáèòóïðåîáðàçîâàíèå êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ÷òîâ ñëó÷àå îäíîãî êóáèòà åñòü ñ òî÷íîñòüþ äî óñëîâíîãîïîâîðîòà ôàçû, îïåðàòîð Àäàìàðà. Ïðèìåíèâ ê îáîèìêóáèòàì òàêîé îïåðàòîð ìû ïåðåéäåì â áàçèñ, â êîòîðîìçíà÷åíèÿìè êóáèòîâ áóäóò èìïóëüñû ñîîòâåòñòâóþùåé÷àñòèöû. Ïðîñòîé ïîäñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåçóëüòàòáóäåò òîò æå: |00〉 + |11〉. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî è èìïóëüñó îáåèõ ÷àñòèö áóäåò îäíèì è òåì æå ïðè èçìåðåíèèåãî ó ëþáîé èç íèõ. Ýòî è îáúÿñíÿåò òî, ÷òî òàêîåñîñòîÿíèå åñòü ñîñòîÿíèå ïî-ñóùåñòâó, îäíîé ÷àñòèöû. Äëÿäåòåêòèðîâàíèÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòüèíòåðôåðåíöèîííûå ñâîéñòâà îáúåêòà, ñîñòîÿùåãî èçíåñêîëüêèõ ÷àñòåé, íàïðèìåð, èíòåðôåðåíöèþ ìîëåêóëûâîäîðîäà íà äâóõ ùåëÿõ. Íàëè÷èå èíòåðôåðåíöèîííîéêàðòèíû è áóäåò îçíà÷àòü çàïóòàííîñòü GHZ òèïà.Òàêèì îáðàçîì, äàííûé òèï çàïóòàííîñòè ÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì. Áîëåå èíòåðåñíîäåòåêòèðîâàíèå òàêîãî òèïà çàïóòàííîñòè íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõ. Äëÿ èîíîâ â ëîâóøêàõ Ïàóëÿ îíî ñîñòàâëÿåòíåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ, äëÿ ôîòîíîâ - äî íåñêîëüêèõêèëîìåòðîâ.

Íå çàâèñèìî îò ÷èñëà òî÷åê êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà (ëèøü áû îíî áûëî íå ìåíüøå äâóõ)

31

ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1) Âñÿêîå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ.2) Ñóùåñòâóþò ñîñòîÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö, êîòîðûå íåëüçÿ

ïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ïðîñòåéøèé ïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ 3 êóáèòîâ, äàåò

ñîñòîÿíèå |100〉 + |010〉 + |001〉, èëè åãî àíàëîã ñðàçíûìè àìïëèòûäàìè, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèìïðèìåðîì ñîñòîÿíèÿ òèïà W (è óíèâåðñàëüíûì â ñìûñëåñâîäèìîñòè ñ ïðèìåíåíèåì îäíî÷àñòè÷íûõ óíèòàðíûõîïåðàòîðîâ, çàïóòûâàíèé îòäåëüíûõ êóáèòîâ ñ àíöèëëàìèè èçìåðåíèé, ò.í. LOCC- ñâîäèìîñòè).

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê îáùåìó âèäó ñîñòîÿíèÿ Wòèïà. Ýòî ñîñòîÿíèå íå ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê GHZñîñòîÿíèþ íèêàêèìè LOCC - îïåðàöèÿìè. Îäíàêîåãî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå,åñëè ðàññìàòðèâàòü êàæäûé êóáèò êàê ýëåìåíòêîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàïîìíèì, ÷òîïðè êóáèòîâîì ïðåäñòàâëåíèè âîëíîâîé ôóíêöèèìû äîãîâàðèâàëèñü êîäèðîâàòü êóáèòàìè òî÷êèêîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà â òîì ñìûñëå, ÷òîêàæäûé ñëåäóþùèé êóáèò áûë óòî÷íåíèåì â äâà ðàçàïîëîæåíèÿ òî÷êè êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà.À òåïåðü ìû âðåìåííî ïðèìåì èíîå ñîãëàøåíèå:êàæäûé êóáèò áóäåì îòîæäåñòâëÿòü èìåííî ñ òî÷êîéêîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, âçÿòîé ñ ïðåäåëüíîéâîçìîæíîé òî÷íîñòüþ. Ýòî ñîãëàøåíèå áóäåò ñîâåðøåííîèíûì. Íî òîãäà, ñêàæåì, áàçèñíîå ñîñòîÿíèå |100〉 áóäåòîçíà÷àòü íàõîæäåíèå ÷àñòèöû â òî÷êå 1 (à òî÷êè 2 è 3ñâîáîäíû), ñîñòîÿíèå |010〉 îçíà÷àåò íàõîæäåíèå ÷àñòèöûâ òî÷êå 2 (à òî÷êè 1 è 3 ñâîáîäíû), è ò.ä. Òîãäà ñîñòîÿíèåGHZ òèïà âèäà (1.14) áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü âîëíîâîé

ôóíêöèè îäíîé ÷àñòèöû âèäàk∑j=1

λj|j〉.

32

Çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ èãðàþò öåíòðàëüíóþ ðîëü âêâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, áåç íèõ íåâîçìîæíî äàòü îïèñàíèå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé.

1.3.1 Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å êâàíòîâîãî ìîäåëèðîâàíèÿôèçè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýòî êàê ðàç è åñòü òà çàäà÷à, êîòîðóþèìåë â âèäó Ð.Ôåéíìàí, âûäâèãàÿ èäåþ êâàíòîâîãîêîìïüþòåðà. Ñîñòîÿíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæåòáûòü îïèñàíî íàáîðîì ÷èñåë, âûðàæàþùèõ çíà÷åíèåôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, òàêèõ êàê ìàññû, êîîðäèíàòû,ñêîðîñòè, âðåìÿ è ò.ä. Ýòè ÷èñëà (â îòëè÷èå îòàìïëèòóä) âåùåñòâåííûå. Áîëåå òîãî, ïðè íàäëåæàùåìîãðàíè÷åíèè îáëàñòè ðàññìîòðåíèÿ è ðàçðåøèìîñòèèçìåðÿþùåãî ïðèáîðà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îíèïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå l

2n, ãäå n ðàçóìíîé âåëè÷èíû

÷èñëî. Òîãäà áàçèñíîå ñîñòîÿíèå ðàññìàòðèâàåìîéìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêáàçèñíûé æå âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé êâàíòîâîéïàìÿòè èç n êóáèò. Ñîîòâåòñòâåííî, ëèíåéíîé êîìáèíàöèèáàçèñíûõ ñîñòîÿíèé èçó÷àåìîé ñèñòåìû áóäåò îòâå÷àòüñîñòîÿíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ñ òî÷íî òàêèìè æåàìïëèòóäàìè. Êóáèòû íàøåãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðàäëÿ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû íîñÿò âèðòóàëüíûéõàðàêòåð, ò.å. ìû íå ìîæåì ïðèïèñàòü èì íèêàêîãîåñòåñòâåííîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. Îäíàêî â íàøåìêâàíòîâîì êîìïüþòåðå, êîòîðûé áóäåò ìîäåëèðîâàòüèçó÷àåìóþ ñèñòåìó, ýòî ðåàëüíûå, �ôèçè÷åñêèå� êóáèòû.Òàêîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíîíàçâàòü �êóáèòîâûì�. Ìû óâèäèì, ÷òî òàêîé ïîäõîä êîïèñàíèþ ôèçèêè ïðèíöèïèàëüíî áîëåå ýôôåêòèâåí,÷åì òðàäèöèîííûé �áèòîâûé� ïîäõîä, èñïîëüçóåìûéïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ

33

ïðîöåññîâ íà êëàññè÷åñêèõ êîìïüþòåðàõ. Äëÿ ýòîãîïîïðîáóåì ðåøèòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå óðàâíåíèåØðåäèíãåðà. Çäåñü ñíîâà êëþ÷åâóþ ðîëü áóäåò èãðàòüáûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, íî èñïîëüçîâàòüñÿ áóäåòíåìíîãî èíîå åãî ñâîéñòâî, ÷åì ðàíüøå. Ýòî ñâîéñòâîñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèòîïåðàöèþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â îïåðàöèþ óìíîæåíèÿíà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ñ ìíèìûì êîýôôèöèåíòîì.Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðèìåíèòü åãî ê âîëíîâîé ôóíêöèè,ïîëó÷èòñÿ, ÷òî îïåðàòîð äâîéíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ,âõîäÿùèé â Ãàìèëüòîíèàí, ïðåâðàòèòñÿ äëÿ Ôóðüå-îáðàçà âîëíîâîé ôóíêöèè â îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íàêâàäðàò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ýòîãî Ôóðüå-îáðàçàñ íåêèì êîýôôèöèåíòîì, à ýòà ïåðåìåííàÿ åñòü íå÷òî èíîå êàê èìïóëüñ. Ýòà èäåÿ, õîðîøî èçâåñòíàÿôèçèêàì, âðó÷íóþ ðåøàþùèì âîëíîâîå óðàâíåíèå,âåëèêîëåïíî ðàáîòàåò è äëÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà.Íàäî ëèøü óáåäèòüñÿ, ÷òî êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèåÔóðüå îáëàäàåò àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì, ñâÿçàííûì ñîïåðàöèåé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (äëÿ íàøåãî êâàíòîâîãîñèìóëÿòîðà ðîëü äèôôåðåíöèðîâàíèÿ áóäåò èãðàòüñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü). Ýòî ñëåäóåòèç òîãî, ÷òî QFT ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèåì îïåðàòîðàíàñòîÿùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðè ïåðåõîäå êêóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè.

Íàøåé öåëüþ áóäåò ïîëó÷åíèå ñîñòîÿíèÿ íàøåãîêâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîñòîÿíèþèçó÷àåìîé ñèñòåìû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t. Íàìíóæíî ñ ïîìîùüþ ðàáî÷èõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèáëèçèòüäåéñòâèå îïåðàòîðà ýâîëþöèè e−iHt/h íà âîëíîâóþôóíêöèþ ψ0, ãäå H = Hp + Hx, Hp = p2

2m, Hx = V (x), p =

hi∂∂x

è ïîòåíöèàë V (x) åñòü âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿïðîñòîòû âîçüìåì âðåìÿ t ðàâíûì åäèíèöå. Ðåàëèçîâàòüíà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå äåéñòâèå Hx ïðîñòî. Ïîñêîëüêó

34

ìàòðèöà ýòîãî îïåðàòîðà (à çíà÷èò è eiHx) äèàãîíàëüíà,äëÿ ýòîãî íàäî âñåãî ëèøü èçìåíèòü ôàçû â çàâèñèìîñòèîò âèäà áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé, - à ýòî äåëàåòñÿ ïðèìåðíîòàê æå, êàê èíâåðñèÿ íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ â àëãîðèòìåÃðîâåðà. Îäíàêî ñî âòîðûì ñëàãàåìûì Ãàìèëüòîíèàíà ýòîíå ïðîéäåò. Òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îïåðàòîðHp

íå áóäåò äèàãîíàëüíûì â âûáðàííîì íàìè �êîîðäèíàòíîì�áàçèñå. Îäíàêî ìû óæå çíàåì, êàê ñâåñòè äåëî ê ïðîñòîìóäèàãîíàëüíîìó ñëó÷àþ: íàäî ïåðåéòè ê èìïóëüñíîìóáàçèñó, èíûìè ñëîâàìè, ñîâåðøèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå- à ýòî ó íàñ î÷åíü õîðîøî ïîëó÷àåòñÿ. Äëÿ ýòîãî âûáåðåììàëåíüêèé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t ïðåäñòàâèì ïðèáëèæåííîíàø ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð ÷åðåç ôîðìóëó Òðîòòåðà:

e−iH ≈ (e−iHx∆t e−iHp∆t)1/∆t. (1.16)

 ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé ôîðìóëû ëåãêî óáåäèòüñÿ,ðàñêëàäûâàÿ ýêñïîíåíòó â ðÿä. Ìû âûáðàëè�êîîðäèíàòíûé� áàçèñ, òàê ÷òî Hx èìååò äèàãîíàëüíûéâèä. Ïðèìåíÿÿ êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:QFT : f −→

∫ +∞−∞ e−ipxf(x) dx è åãî ñâîéñòâî ïåðåâîäèòü

äèôôåðåíöèðîâàíèå ∂/∂x â óìíîæåíèå íà ip, ìû ìîæåìïðåäñòàâèòü äåéñòâèå èìïóëüñíîé ÷àñòè îïåðàòîðà êàêe−iHp = FT−1 e−ip

2∆t/2m FT, ãäå ñðåäíèé îïåðàòîð èìååòäèàãîíàëüíûé âèä. Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèìåíåíèÿQFT è ôàçîâîãî ñäâèãà íà −p2/2m ïðè ðåàëèçàöèèïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1.16) äàþò òðåáóåìîå ïðèáëèæåíèå.

Ïðèìåíåííîå â äàííîì ìåòîäå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåîñóùåñòâëÿåòñÿ ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò îòäåëüíî, è åñëèó íàñ íåñêîëüêî ÷àñòèö - òî ïî êàæäîé èç êîîðäèíàòêàæäîé ÷àñòèöû îòäåëüíî. Íåêîòîðóþ ñîâåðøåííîòåõíè÷åñêóþ ïðîáëåìó ïðåäñòàâëÿåò ðåàëèçàöèÿ íàêâàíòîâîì êîìïüþòåðå óíèòàðíîãî îïåðàòîðà e−iHx ,ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Åñëèïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîñòî ðàâíà p, òî ðåàëèçàöèÿ

35

òàêîãî äèàãîíàëüíîãî îïåðàòîðà ìîæåò áûòü ñäåëàíà,åñëè ìû ïðîñòî ñîâåðøàåì ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîâîðîòûôàçû âèäà |0〉 −→ |0〉, |1〉 −→ eiφ|1〉, â çàâèñèìîñòè îòìåñòà î÷åðåäíîãî êóáèòà â ðåãèñòðå, ñîäåðæàùåì çíà÷åíèåêîîðäèíàòû.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âèäà ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åå ìîæíî ðàçëîæèòüâ ðÿä Òåéëîðà ñ êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿñ ïîìîùü äîñòàòî÷íî áûñòðîãî àëãîðèòìà. Íàïðèìåð,åñëè ýòîò ïîòåíöèàë ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà êóëîíîâñêèõïîòåíöèàëîâ îò n ðàçíûõ ÷àñòèö, òî òàêîé àëãîðèòì áóäåòèìåòü ñëîæíîñòü ëèíåéíóþ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà nïðè óñëîâèè, ÷òî êîîðäèíàòû ÷àñòèö òàêæå âûäàþòñÿíåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì àëãîðèòìîì (êîòîðûé ìîæíîðàññìàòðèâàòü êàê îðàêóë). Òîãäà îïåðàòîð e−ihHx ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ñõåìû êâàíòîâûõ âåíòèëåé (quantumgate array) ðàçìåðà, ëèíåéíî çàâèñÿùåãî îò n.

Ñëîæíîñòü äàííîãî ìåòîäà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíèt ðåàëüíîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû áóäåò O(t2). Ýòîíåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî òî÷íîñòü ôîðìóëûÒðîòòåðà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, ïîñêîëüêó îíà âûòåêàåòèç òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû äî ïåðâîãî÷ëåíà. Ìîæíî ïîíèçèòü ñëîæíîñòü äî çíåà÷åíèÿ O(t1+ε)äëÿ ëþáîãî ε > 0, åñëè âìåñòî ôîðìóëû Òðîòòåðàèñïîëüçîâàòü òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå áîëåå âûñîêèõïîðÿäêîâ (ñì. [65]). Èòàê, íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðåìîæíî ìîäåëèðîâàòü óíèòàðíûå ýâîëþöèè - ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ïî÷òè â ðåàëüíîì âðåìåíè, è ñïàìÿòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé ðàçìåðó ðàññìàòðèâàåìîéñèñòåìû.3  òî âðåìÿ êàê íà îáû÷íîì êîìïüþòåðå ýòîïîòðåáîâàëî áû ýêñïîíåíöèàëüíûõ ðåñóðñîâ. Îäíàêî âêâàíòîâîì êîìïüþòåðå ìû ïîëó÷àåì ëèøü êâàíòîâîåñîñòîÿíèå, ÿâëÿþùååñÿ êóáèòîâûì ïðèáëèæåíèåì

3Ïðåäñêàçûâàòü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò t çà ìåíüøåå âðåìÿt′ < t ìîæíî òîëüêî â ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ, ñì., íàïðèìåð, [32].

36

ðåàëüíîãî, â òî âðåìÿ êàê êëàññè÷åñêîå âû÷èñëåíèåäàåò íàì çíà÷åíèå àìïëèòóä êàê òàêîâûõ.

Çàìåòèì òàêæå, ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíîïðîèçâîäèòü ìîäåëèðîâàíèå óíèòàðíîé êâàíòîâîéäèíàìèêè ñèñòåìû äâèæóùèõñÿ çàðÿæåííûõ÷àñòèö â íåðåëÿðèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè, ñ ó÷åòîìýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîìA. Äëÿ ýòîãî íàäî çàìåíèòü îïåðàòîð èìïóëüñà pëþáîé ÷àñòèöû íà p − e

cA, ãäå e åå çàðÿä, c - ñêîðîñòü

ñâåòà. Ïðîñëåäèâ âûøåèçëîæåííûå ðàññóæäåíèÿ, ìûóâèäèì, ÷òî ýòî íèêàê íå îòðàçèòñÿ íà êîíå÷íîìðåçóëüòàòå. Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèåìêâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à ëèøü íåðåëÿòèâèñòñêèìïðèáëèæåíèåì, äëÿ êîòîðîãî ìîæíî ó÷åñòü ýôôåêòûïîëÿ, ââîäÿ óêàçàííóþ ïîïðàâêó â ãèìèëüòîíèàí. Òî åñòüçäåñü ìû ñ÷èòàåì ïîëå êëàññè÷åñêèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþîçíà÷àåò, ÷òî åãî ìîæíî âêëþ÷èòü â ãàìèëüòîíèàí â âèäåïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èëè äîáàâêè ê íåé, èëè â âèäåóêàçàííîé äîáàâêè ê èìïóëüñó.

37

Ãëàâà 2

Çàäà÷è

1). Äîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî êâàíòîâûõ ñîñòîíèéñ åñòåñòâåííûì ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (÷òî ýòî?)ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì (äîêàçàòü ëèíåéíîñòü ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà).

2). Êàê îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ñëó÷àåíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé |Ψ〉? Äîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèåïåðåõîäèò â åñòåñòâåííîå íà êîíå÷íîìåðíîì ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå.

3). Ýêñïîíåíòà îò ìàòðèöû A: exp(A) îïðåäåëÿåòñÿ êàêñóììà ðÿäà Ìàêëîðåíà äëÿ ýêñïîíåíòû (÷òî ýòî òàêîå?).

à) Ïîêàçàòü, ÷òî ðàâåíñòâî exp(A+B) = exp(A)exp(B)èìååò ìåñòî äëÿ êîììóòèðóþùèõ ìàòðèö A è B (÷òî ýòîòàêîå?) è ìîæåò íàðóøàòüñÿ äëÿ íåêîììóòèðóþùèõ.

á). Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíóþ ìàòðè÷íîé ôóíêöèèexp(A t) ìîæíî íàéòè ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó (exp(A t))′ =A exp(A t).

3). Ýðìèòîâ ëèíåéíûé îïåðàòîð H îïðåäåëÿåòñÿôîðìóëîé (Hf, g) = (f,Hg) äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. Óíèòàðíûé îïåðàòîð U ïîîïðåäåëåíèþ åñòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, ñîõðàíÿþùèéäëèíû âñåõ âåêòîðîâ. Äîêàçàòü, ÷òî à) äëÿ ëþáîãî

38

ýðìèòîâà îïåðàòîðà H îïåðàòîð exp(iH) ÿâëÿåòñÿóíèòàðíûì, á) äëÿ ëþáîãî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà Uñóùåñòâóåò ýðìèòîâ îïåðàòîð H, òàêîé ÷òî U = exp(iH).(Óêàçàíèå: 1) âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î ïðèâåäåíèèê äèàãîíàëüíîìó âèäó, 2) èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèåìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû).

4). Ïî÷åìó çàïèñü 〈ψ|H|φ〉 ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíîé òîëüêîâ ñëó÷àå ýðìèòîâîñòè îïåðàòîðà H?

5).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå èçìåðÿåìûì âåëè÷èíàìñîîòâåòñòâóþò ýðìèòîâû îïåðàòîðû, êîòîðûå ñòðîÿòñÿïî àíàëîãèè ñ îáû÷íûìè âåëè÷èíàìè â êëàññè÷åñêîéìåõàíèêå. Åñëè íåêîòîðîå ñîñòîÿíèå |Ψ〉 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà A, òî ãîâîðÿò, ÷òî âåëè÷èíà,ñîîòâåòñòâóþùàÿ îïåðàòîðó A ïðèíèìàåò â ñîñòîÿíèè|Ψ〉 îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå, ðàâíîå ñîîòâåòñòâóþùåìóñîáñòâåííîìó ÷èñëó A. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ îïåðàòîðîâáóäóò ýðìèòîâûìè:

à) îïåðàòîð ãðàäèåíòà (÷òî ýòî òàêîå?),á) îïåðàòîð èìïóëüñà p = h

i∇ ãäå h ≈ 10−27ýðã ñåê -

ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà,â) îïåðàòîð êîîðäèíàòû x : ψ(x) −→ xψ(x) ?ã) îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (âûïèñàòü åãî)?ä) îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (âûïèñàòü åãî äëÿ

÷àñòèöû â êóëîíîâñêîì ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà)?6). Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 5) ïîñòðîèòü êâàíòîâî

ìåõàíè÷åñêèå îïåðàòîðû: êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè,òðåõìåðíîãî íàáîðà êîîðäèíàò r, ìîìåíòà èìïóëüñà.Êàêèå èõ ýòèõ îïåðàòîðîâ áóäóò ýðìèòîâûìè?

7). Êàê îïðåäåëèòü äèàãîíàëüíûé âèä îïåðàòîðîâíàä íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè? (Óêàçàíèå: ïåðåéòèê êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà). Êàêèå èç îïåðàòîðîâ çàäà÷ 5) è 6)èìåþò äèàãîíàëüíûé âèä?

8). Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû

39

îïåðàòîðîâ Ïàóëè

σx =

(0 11 0

), σy =

(0 −ii 0

), σz =

(1 00 −1

)è ïðèâåñòè èõ ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. ßâëÿþòñÿ ëèýòè îïåðàòîðû ýðìèòîâûìè? óíèòàðíûìè? Ïîëó÷èòüêîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ âèäà [A,B] = C ãäå A, B- ìàòðèöû Ïàóëè. Íàéòè ýêñïîíåíòû îò ýòèõ îïåðàòîðîâ.

9). Îïåðàòîð H â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà íàçûâàåòñÿÃàìèëüòîíèàíîì è ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ýíåðãèè.

à). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ îäíîìåðíîé ÷àñòèöû.(Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû çàäà÷ 5) è 6), à òàêæåêëàññè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè E = p2/2m+Vãäå p- èìïóëüñ, V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.

á). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ òðåõìåðíîé ÷àñòèöû.â). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç

ýëåêòðîíà è ïðîòîíà (àòîì âîäîðîäà áåç ó÷åòà ñïèíîâ).ã). Íàïèñàòü åãî ÿâíûé âèä äëÿ ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç

äâóõ ïðîòîíîâ è äâóõ ýëåêòðîíîâ (ìîëåêóëà âîäîðîäà áåçó÷åòà ñïèíîâ).

10). Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååòâèä çàäà÷è íà íàõîæäåíå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé èñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ Ãàìèëüòîíèàíà. Ñôîðìóëèðîâàòüåå â âèäå çàäà÷è ïîèñêà ðåøåíèé íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ(Óêàçàíèå: ýòî óðàâíåíèå èìååò âèä H|Ψ〉j = j|Ψ〉j.Ej íàçûâàþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèìè óðîâíÿìè, |Ψ〉j- ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòàöèîíàðíûìè ñîñòîÿíèÿìè.Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñòàöèîíðàíûå ñîñòîÿíèÿ - ýòî òàêèå, âêîòîðûõ ñèñòåìà íå èçëó÷àåò ôîòîíîâ.)

11). Ðåøèòü ñòàöèîíàðíóþ çàäà÷ó äëÿà) ñâîáîäíîé ÷àñòèöû (ýòî ÷àñòèöà â íóëåâîì

ïîòåíöèàëå).á) îäíîìåðíîé ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé

ïîòåíöèàëüíîé ÿìå.

40

â) òðåõìåðíîé ñâîáîäíîé ÷àñòèöûã)*** òðåõìåðíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ìàññîé m

è çàðÿäîì e â êóëîíîâñêîì ïîòåíöèàëå òî÷å÷íîãîíåïîäâèæíîãî çàðÿäà (Ýòî - òðóäíàÿ çàäà÷à. Óêàçàíèå:êàêîé ôèçè÷åñêèé îáúåêò ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì äëÿäàííîé èäåàëèçàöèè? Ðåøåíèå ìîæíî íàéòè â ëþáîé êíèãåïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå, à òàêæå â âèêèïåäèè).

ä)** ìîæíî ëè ïðèìåíÿòü èäåàëüíóþ ìîäåëü èçïóíêòà ã), åñëè êóëîíîâñêîå ïîëå ñîçäàåòñÿ äðóãîé÷àñòèöåé ñ òåì æå çàðÿäîì, íî ìàññîé M ≈ 2000m?Äàòü ãðóáóþ îöåíêó òî÷íîñòè íàõîæäåíèÿ ýíåðãèéòàêîé äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ïðè ïðèìåíåíèè èäåàëüíîéìîäåëè ïóíêòà ã).

12). Íàïèñàòü óðàâíåíèå äëÿ ïîèñêà ñîáñòâåíûõâåêòîðîâ è çíà÷åíèé îïåðàòîðà èìïóëüñà.

à) Ðåøèòü ýòó çàäà÷ó äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû(Óêàçàíèå: âîëíà äå Áðîéëÿ exp(ipr/h). Èñïîëüçîâàòüçàäà÷ó 5)).

á) Êàê âûãëÿäèò ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà â ñëó÷àå ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ îïðåäåëåííûìíà÷àëüíûì èìïóëüñîì? (Óêàçàíèå: áóäåò ëè îïðåäåëåííîéòàêæå è åå ýíåðãèÿ? Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 11à)).

13). Ñôîðìóëèðîâàòü çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà. Êàê ðåøàòü ýòó çàäà÷ó, åñëè åñòü ôîðìóëàäëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà?

14). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à äëÿóðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ðåøåíà. Íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿîáùåãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà.

15). Íàïèñàòü ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿîáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (Óêàçàíèå:ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Ãàìèëüòîíèàí - ýòî ïðîñòî ÷èñëî,à çàòåì èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû èðåçóëüòàò ðåøåíèÿ çàäà÷è 3á).  êàêîì ñëó÷àå óäîáíîïîëüçîâàòüñÿ íàéäåííîé ôîðìóëîé? Ìîæíî ëè ïðèìåíÿòü

41

åå, åñëè ïîòåíöèàë V çàâèñèò îò âðåìåíè? Êàê íàäîïîíèìàòü ýêñïîíåíòó äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòó ôîðìóëó ìîæíîáûëî ïðèìåíÿòü â ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîãî ïîòåíöèàëà?***(Ýòî - òðóäíàÿ çàäà÷à. Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèåõðîíîëîãè÷åñêîé ýêñïîíåíòû (ñì. [?]).

16). Íàéòè ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ (âåêòîðû) èñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà êîîðäèíàòû. Ðàññìîòðåòüñëó÷àé îäíîé ÷àñòèöû è n ÷àñòèö. (Óêàçàíèå: ðåøèòüçàäà÷ó ñíà÷àëà â êóáèòîâîé ôîðìå. Çàòåì ïåðåéòèê íåïðåðûâíîìó ñëó÷àþ, èñïîëüçóÿ äåëüòà ôóíêöèèÄèðàêà.) Êàê âûãëÿäèò ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîãîñîñòîÿíèÿ â ðÿä ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îïåðàòîðàêîîðäèíàòû? Ñîáñòâåííûå âåêòîðà îïåðàòîðà êîîðäèíàòûñîñòàâëÿþò òàê íàçûâàåìûé êîîðäèíàòíûé áàçèñãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé.

17). Êàê âûãëÿäèò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âíåïðåðûâíîì ñëó÷àå?  äèñêðåòíîì? Íàïèñàòü îïåðàòîðÔóðüå â êóáèòîâîé ôîðìå (Óêàçàíèå: Èñïîëüçóÿêóáèòîâîå ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè |Ψ〉, íàïèñàòü,âî ÷òî êóáèòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèòñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà êîîðäèíàòû èç çàäà÷è16)). Êóáèòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàçûâàåòñÿêâàíòîâûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå (Quantum Fouri-er Tranform - QFT). Âûïèñàòü, âî ÷òî îáðàòíîåêâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò ïðîèçâîëüíûéáàçèñíûé âåêòîð. Âûïèñàòü ìàòðèöó ïðÿìîãî è îáðàòíîãîêâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

18). Cîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðà èìïóëüñàîáðàçóþò òàê íàçûâàåìûé èìïóëüñíûé áàçèñïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò çàäà÷è12), íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà ïåðåõîäà îòêîîðäèíàòíîãî áàçèñà ê èìïóëüñíîìó è îáðàòíîãîîïåðàòîðà. Áóäåò ëè ýòîò îïåðàòîð óíèòàðíûì?Ýðìèòîâûì? Êàêîâî êîðîòêîå íàçâàíèå ýòîãî îïåðàòîðà?

42

(Óêàçàíèå: Ðàññìîòðåòü êóáèòîâûé è íåïðåðûâíûéñëó÷àè. Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 17)).

19). Êàê âûãëÿäèò QFT è îáðàòíîå åìó â ñëó÷àå îäíîãîêóáèòà?

20). Íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, â êîòîðîììàòðèöà îïåðàòîðà èìïóëüñà äèàãîíàëüíà. (Óêàçàíèå:èñïîëüçîâàòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ðåøèòü çàäà÷óäâóìÿ ñïîñîáàìè: à) ñ èñïîëüçîâàíèåì çàäà÷è 18) èá) ñ èñïîëüçîâàíèåì òîãî ôàêòà, ÷òî íåïðåðûâíîåïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò äèôôåðåíöèðîâàíèå âóìíîæåíèå íà àðãóìåíò è ìíèìóþ åäèíèöó (ñì. [?]), è òîãî,÷òî QFT ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé âåðñèåé ïðåîáðàçîâàíèÿÔóðüå).

21). Íàéòè áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, â êîòîðîéîïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äèàãîíàëåí. (Óêàçàíèå:èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 20).

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 2 êóáèòîâ. Èçìåðåíèå êàæäîãîèç íèõ ìîæåò äàòü 0 èëè 1. Ïîýòîìó ó ñèñòåìû åñòü 4êëàññè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿ: 00, 01, 10 è 11. Àíàëîãè÷íûå èìáàçîâûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ:

|00〉, |01〉, |10〉, |11〉.

È íàêîíåö, îáùåå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû èìååò âèä

|Ψ〉 = a|00〉+ b|01〉+ c|10〉+ d|11〉.

Òåïåðü |a|2 � âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü â ðåçóëüòàòåèçìåðåíèÿ |00〉, è ò.ä. Îòìåòèì, ÷òî |a|2+|b|2+|c|2+|d|2 = 1êàê ïîëíàÿ âåðîÿòíîñòü.

Åñëè ìû èçìåðèì òîëüêî ïåðâûé êóáèò êâàíòîâîéñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè |Ψ〉, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ:

1) ñ âåðîÿòíîñòüþ p0 = |a|2+|b|2 ïåðâûé êóáèò ïåðåéäåòâ ñîñòîÿíèå |0〉 à âòîðîé - â ñîñòîÿíèå

1√|a|2 + |b|2

(a|0〉+ b|1〉),

43

2) ñ âåðîÿòíîñòüþ p1 = |c|2+|d|2 ïåðâûé êóáèò ïåðåéäåòâ ñîñòîÿíèå |1〉 à âòîðîé - â ñîñòîÿíèå

1√|c|2 + |d|2

(c|0〉+ d|1〉).

 ïåðâîì ñëó÷àå èçìåðåíèå äàñò ñîñòîÿíèå

|Ψ0〉 = |0〉⊗ 1√

|a|2 + |b|2(a|0〉+ b|1〉),

âî âòîðîì - ñîñòîÿíèå

|Ψ1〉 = |1〉⊗ 1√

|c|2 + |d|2(c|0〉+ d|1〉)

Ìû ñíîâà âèäèì, ÷òî ðåçóëüòàò òàêîãî èçìåðåíèÿíåâîçìîæíî çàïèñàòü êàê âåêòîð â ãèëüáåðòîâîìïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Òàêîå ñîñòîÿíèå, â êîòîðîìó÷àñòâóåò íàøå íåçíàíèå î òîì, êàêîé æå ðåçóëüòàòïîëó÷èòñÿ íà ïåðâîì êóáèòå, íàçûâàþò ñìåøàííûìñîñòîÿíèåì.  íàøåì ñëó÷àå òàêîå ñìåøàííîå ñîñòîÿíèåíàçûâàþò ïðîåêöèåé èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 íà âòîðîéêóáèò, è çàïèñûâàþò â âèäå ìàòðèöû ïëîòíîñòè âèäàρ2 = p0ρΨ0 + p1ρΨ1 ãäå ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèÿ |ψ〉îïðåäåëÿåòñÿ êàê |ψ〉〈ψ|.

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ. Ó íàñ èìååòñÿñîñòîÿíèå A, ïðî êîòîðîå ìû çíàåì, ÷òî äëÿ êàæäîãîj = 1, 2, . . . , k ñ âåðîÿòíîñòüþ pj îíî ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì|Ψ〉j äëÿ íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ñïèñêà ñîñòîÿíèé{|Ψ〉j , j = 1, 2, . . . , k}. Òàêîå ñîñòîÿíèå ìîæíîïðåäñòàâèòü ñåáå êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùóþçíà÷åíèÿ |Ψ〉j ñ âåðîÿòíîñòÿìè pj. Òàêèì îáðàçîì, A íåÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé.Òàêîå ñîñòîÿíèå íàçûâàþò ñìåøàííûì, â îòëè÷èå îò÷èñòûõ ñîñòîÿíèé - ýëåìåíòîâ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.

44

Èìåÿ ñìåøàííîå ñîñòîÿíèå, ìû, â äåéñòâèòåëüíîñòè,èìååì íåêîòîðîå ÷èñòîå ñîñòîÿíèå, ïðîñòî ìû íåçíàåì, êàêîå èìåííî, è ñìåøàííîñòü ñîñòîÿíèÿ ìîæíîòðàêòîâàòü êàê ìåðó íàøåãî íåçíàíèÿ. Ìàòðèöàïëîòíîñòè ñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ A ïî îïðåäåëåíèþðàâíà ∑

j

pjρΨj.

Ìàòðèöû ïëîòíîñòè áûëè âïåðâûå ââåäåíû âêâàíòîâóþ ìåõàíèêó Ë.Ä.Ëàíäàó (ïîçæå òàêæå Äæ.ôîí Íåéìàíîì). Èõ ðîëü ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå âûâîäûêâàíòîâîé òåîðèè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òîëüêî íàÿçûêå ìàòðèö ïëîòíîñòåé.

22). Íàïèñàòü îáùèé âèä ìàòðèöû ïëîòíîñòè ρΨ =|Ψ〈〉Ψ| ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 n êóáèòîâ. Êàêîé ñìûñë èìåþòäèàãîòàëüíûå ýëåìåíòû ýòîé ìàòðèöû?

23). Ïóñòü ñîñòîÿíèå |Ψ(t)〉 çàâèñèò îò âðåìåíè, èÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Íàïèñàòüóðàâíåíèå, êîòîðîìó ïîä÷èíÿåòñÿ åãî ìàòðèöàïëîòíîñòè ρΨ(t). (Óêàçàíèå: äîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëàäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íàìàòðèöû è èñïîëüçîâàòü åå äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ íàìàòðèöó ïëîòíîñòè.)

24). Âåðíî ëè, ÷òî åñëè äâà (ñìåøàííûõ) ñîñòîÿíèÿèìåþò îäèíàêîâûå ìàòðèöû ïëîòíîñòè, òî ìû íå ìîæåìíèêàêèìè ýêñïåðèìåíòàìè îòëè÷èòü èõ äðóã îò äðóãà?Ïîä ýêñïåðèìåíòîì ïîíèìàåòñÿ âûäà÷à ýêñïåðèìåíòàòîðóðåàëüíîé ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â çàäàííîì ñîñòîÿíèè,è ïîñëåäóþùèå äåéñòâèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà íàä äàííîéñèñòåìîé. (Óêàçàíèå: äàòü ðàçëè÷íûå óòî÷íåíèÿ ýòîéîáùåé ôîðìóëèðîâêè, è ðàññìîòðåòü óíèòàðíûå ýâîëþöèè- ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, è èçìåðåíèÿ.)

25). Äîêàçàòü, ÷òî îáùèé ôàçîâûé ìíîæèòåëü exp(iφ)äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ êâàíòîâîé ñóïåðïîçèöèè íå èìååò

45

ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà. (Èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 24).26). Åñòü ëè ôèçè÷åñêèé ñìûñë â ïðèáàâëåíèè

êîíñòàíòû ê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè? ×òî ýòà îïåðàöèÿîçíà÷àåò íà óðîâíå ìàòðè÷íîé çàïèñè óðàâíåíèÿØðåäèíãåðà?

27). Ðàññìîòðèì N - ìåðíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâîñîñòîÿíèé. Êàê çàïèñàòü áàçèñíîå ñîñòîÿíèå |j〉 èç ýòîãîïðîñòðàíñòâà, ãäå j ∈ {0, 1, . . . , N − 1} â âèäå ñòîëáöàêîîðäèíàò? Êàê çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå îáúåêò〈j|? (Óêàçàíèå: íàäî, ÷òîáû âûðàæåíèå 〈j|k〉 îáîçíà÷àëîáû ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé |j〉 è |k〉; íàäîïðèìåíèòü îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèèÿ - ñì.çàäà÷è 1 è 2). Êàê çàïèñàòü â äèðàêîâñêèõ îáîçíà÷åíèÿõìàòðèöó ïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉?

28). Âåðíî ëè, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè âñåãäà ÿâëÿåòñÿýðìèòîâîé? Êàêîâ êàíîíè÷åñêèé (äèàãîíàëüíûé) âèäìàòðèöû ïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ? Ñìåøàííîãîñîñòîÿíèÿ? Ïðèâåñòè àëãîðèòì, ðàñïîçíàþùèé ÷èñòîòóñîñòîÿíèÿ ïî çàäàííîé åãî ìàòðèöå ïëîòíîñòè.

29). ×åìó ðàâåí ñëåä ìàòðèöû ïëîòíîñòè? Îáîñíîâàòüîòâåò. (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî Áîðíà è àêñèîìûâåðîÿòíîñòè).

30). Äîêàçàòü ôîðìóëó trace |Ψ〉〈Φ| = 〈Φ|Ψ〉.31). Íàáëþäàåìîé íàçûâàåòñÿ ëþáîé ýðìèòîâ îïåðàòîð

H. Êàê îïðåäåëèòü ïîíÿòèå ñðåäíåå 〈H〉Ψ çíà÷åíèÿíàáëþäàåìîé H â ñîñòîÿíèè |Ψ〉? (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòüíàáîð ñîáñòâåííûõ ÷èñåë).

32). Äîêàçàòü ôîðìóëó 〈H〉 = trace (ρΨH) =trace (HρΨ). (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü çàäà÷ó 31). Êàêâû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå íàáëþäàåìîé â ñìåøàííîìñîñòîÿíèè?

33). Âåðíî ëè, ÷òî ïî ìàòðèöå ïëîòíîñòè ñìåøàííîãîñîñòîÿíèÿ îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàþòñÿ åãî ÷èñòûåêîìïîíåíòû? Îáîñíîâàòü îòâåò. Êàêîå óñëîâèå íàäî

46

íàëîæèòü íà ÷èñòûå êîìïîíåíòû, ÷òîáû èõ ìîæíîáûëî âîññòàíîâèòü îäíîçíà÷íî? (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòüòåîðåìó î ïðèâåäåíèè ëþáîé ýðìèòîâîé ìàòðèöû êêàíîíè÷åñêîìó âèäó).

Ðàññìîðèì äâà ïðîñòðàíñòâà A è B, è çàôèêñèðóåìâ íèõ îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû a1, a2, . . . , aN èb1, b2, . . . , bM . Òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì ýòèõ ïðîñòðàíñòâA⊗

B íàçûâàåòñÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ôîðìàëüíûõâûðàæåíèé ai

⊗bj, i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . . ,M ,

êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì âòåíçîðíîì ïðîèçâåäåíèè. Óñëîâèìñÿ, ÷òî çíàê

⊗îáëàäàåò

ñâîéñòâàìè àññîöèàòèâíîñòè, è ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþäèñòðèáóòèâíîñòüþ. Òîãäà òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåìñîñòîÿíèé a ∈ A è b ∈ B íàçûâàåòñÿ a

⊗b ∈ A

⊗B. Òàêîå

ñîñòîÿíèå íàçûâàåòñÿ íå çàïóòàííûì.Òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì îïåðàòîðîâ A è B

íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð A⊗

B, äåéñòâóþùèé íà áàçèñíûåâåêòîðà ïî ïðàâèëó: A

⊗Bai

⊗bj = A(ai)

⊗B(bj).

Ýòè îïðåäåëåíèÿ åñòåñòâåííî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àéíåñêîëüêèõ ïðîñòðàíñòâ.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè äèðàêîâñêèõ îáîçíà÷åíèé çíàêòåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ.

34). Ñóùåñòâóþò ëè çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ?Îáîñíîâàòü îòâåò.

35). Ïóñòü |Ψ〉 - ñîñòîÿíèå 2 êóáèòîâ. Íàïèñàòü åãîîáùèé âèä. Íàïèñàòü, êàê áóäåò âûãëÿäåòü ìàòðèöàïëîòíîñòè ρ1 ñìåøàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïåðâîãî êóáèòà ïîñëåèçìåðåíèÿ âòîðîãî. Äîêàçàòü, ÷òî ρ1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåéïëîòíîñòè ÷èñòîãî ñîñòîÿíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàñîñòîÿíèå |Ψ〉 áûëî íå çàïóòàííûì.

36). Îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ íå çàïóòûâàþùèì, åñëèîí ïåðåâîäèò íå çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ äâóõ êóáèòíîéñèñòåìû â íå çàïóòàííûå. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáîéíå çàïóòûâàþùèé îïåðàòîð äëÿ 2 êóáèòîâ ÿâëÿåòñÿ

47

òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì?36). Îïåðàòîð CNOT (control not) äåéñòâóåò òàê:

|x y〉 −→ |x x⊕

y〉, x, y ∈ {0, 1},⊕

åñòü ñëîæåíèå ïîìîäóëþ 2. Áóäåò ëè ýòîò îïåðàòîð çàïóòûâàþùèì? Áóäåòëè îí òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì? Íàïèñàòü åãî ìàòðèöó.Àíàëîãè÷íûå âîïðîñû ïðî îïåðàòîð Òîôôîëè íà òðåõêóáèòàõ:|x y z〉 −→ |x y z

⊕xy〉.

36). Ïóñòü |Ψ〉 - íå çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ êóáèòîâ,îäèí èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ â ðàñïîðÿæåíèè Àëèñû, àäðóãîé - ó Áîáà. Ìîæåò ëè Áîá áåç îáìåíà èíôîðìàöèåé ñÀëèñîé îïðåäåëèòü, êàêèå äåéòñâèÿ (óíèòàðíûå îïåðàöèèè èçìåðåíèÿ) îíà äåëàåò íàä ñâîéì êóáèòîì? Èçìåíèòñÿëè âûâîä, åñëè ó Àëèñû è Áîáà åñòü åùå äîïîëíèòåëüíûåêóáèòû (êîòîðûìè îíè íå ìîãóò îáìåíèâàòüñÿ), êîòîðûåîíè ìîãóò çàïóòûâàòü ñ îñíîâíûìè?

37). Ïóñòü A è B çàäàíû ìàòðèöàìè. Íàïèñàòüêîðîòêóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöûèõ òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îáîáùèòü ýòó ôîðìóëó íàñëó÷àé ìíîãèõ êóáèòîâ.

38). Íàïèñàòü ìàòðèöó îïåðàòîðà Àäàìàðà H : |0〉 −→1√2(|0〉+ |1〉), |1〉 −→ 1√

2(|0〉 − |1〉).

39)*. Îïåðàòîð Óîëøà Àäàìàðà W åñòü n - ÿòåíçîðíàÿ ñòåïåíü H (÷òî ýòî òàêîå è ïî÷åìó ýòî ïîíÿòèåêîððåêòíî?). Âûïèñàòü êîðîòêóþ ôîðìóëó äëÿ ýëåìåíòîâìàòðèöû W . (Óêàçàíèå: Èñïîëüçóåì çàäà÷è 37) è 38) èðàññìîòðèì ýëåìåíò wij. Íàïèñàòü ðàçëîæåíèå ÷èñåë i èj â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ è íàëîæèòü èõ äðóã íàäðóãà à ïîòîì ïîñ÷èòàòü ñêîëüêî ðàç åäèíèöà ïðèäåòñÿ íàåäèíèöó.)

40). Ýêñïåðèìåíò íàä ñîñòîÿíèåì ñ íåêîòîðîé ìàòðèöåéïëîòíîñòè åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü øàãîâ, êàæäûé èçêîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàòîðïîëó÷àåò íîâóþ ñèñòåìó, íàõîäÿùóþñÿ â äàííîì

48

ñîñòîÿíèè, à çàòåì ïðîâîäèò íàä íåé (è íóëåâûìèàíöèëëàìè) íåêîòîðûå îïåðàöèè - óíèòàðíûå è èçìåðåíèÿ.Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ñòàòèñòè÷åñêè îáðàáîòàòü äàííûå,ïîëó÷åííûå íà âñåõ øàãàõ. Ìîæíî ëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêîîäíîêðàòíîé âûäà÷åé äàííîãî ñîñòîÿíèÿ - íà ïåðâîìøàãå? Èíûìè ñëîâàìè, áóäåò ëè òàêàÿ îãðàíè÷åííàÿôîðìóëèðîâêà ýêâèâàëåíòíà ïåðâîíà÷àëüíîé? Îáîñíîâàòüîòâåò.

41). Ñóùåñòâóåò ëè óíèòàðíûé îïåðàòîð U , òàêîé÷òî äëÿ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ |Ψ〉 U |Ψ〉

⊗|0〉 = |Ψ〉

⊗|Ψ〉?

(òåîðåìà î çàïðåòå êëîíèðîâàíèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé).Ïðèìåíèòü ðåçóëüòàò ê çàäà÷å 40).

Óïðîù¼ííàÿ ñõåìà âû÷èñëåíèÿ íà êâàíòîâîìêîìïüþòåðå âûãëÿäèò òàê: áåðåòñÿ ñèñòåìà êóáèòîâ,íà êîòîðîé çàïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. Çàòåìñîñòîÿíèå ñèñòåìû èëè å¼ ïîäñèñòåì èçìåíÿåòñÿïîñðåäñòâîì áàçîâûõ êâàíòîâûõ îïåðàöèé.  êîíöåèçìåðÿåòñÿ çíà÷åíèå, è ýòî ðåçóëüòàò ðàáîòû êîìïüþòåðà.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëþáîãî âû÷èñëåíèÿäîñòàòî÷íî äâóõ áàçîâûõ îïåðàöèé. Êâàíòîâàÿ ñèñòåìàäàåò ðåçóëüòàò, òîëüêî ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþÿâëÿþùèéñÿ ïðàâèëüíûì. Íî çà ñ÷åò íåáîëüøîãîóâåëè÷åíèÿ îïåðàöèé â àëãîðèòìå ìîæíî ñêîëüóãîäíî ïðèáëèçèòü âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîãîðåçóëüòàòà ê åäèíèöå.

Ñ ïîìîùüþ áàçîâûõ êâàíòîâûõ îïåðàöèé ìîæíîñèìóëèðîâàòü ðàáîòó îáû÷íûõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, èçêîòîðûõ ñäåëàíû îáû÷íûå êîìïüþòåðû. Ïîýòîìó ëþáóþçàäà÷ó, êîòîðàÿ ðåøåíà ñåé÷àñ, êâàíòîâûé êîìïüþòåððåøèò, è çà òàêîå æå âðåìÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íîâàÿ ñõåìàâû÷èñëåíèé áóäåò íå ñëàáåå íûíåøíåé.

×åì æå êâàíòîâûé êîìïüþòåð ëó÷øå êëàññè÷åñêîãî?Êâàíòîâûé êîìïüþòåð ñïîñîáåí ïîëó÷àòü ðåøåíèÿíåêîòîðûõ òèïîâ çàäà÷ (ïåðåáîðíîãî òèïà) çíà÷èòåëüíî

49

áûñòðåå, ÷åì ëþáîé êëàññè÷åñêèé êîìïüþòåð. Ýòî èíàçûâàåòñÿ êâàíòîâûì óñêîðåíèåì.

42). Îòðàæåíèåì âäîëü âåêòîðà |a〉 íàçûâàåòñÿîòîáðàæåíèå, äåéñòâèå êîòîðîãî íà áàçèñíûõ âåêòîðàõçàäàåòñÿ ôîðìóëîé

Ia : |b〉 −→{

|b〉, if 〈b|a〉 = 0,−|a〉, if |b〉 = |a〉.

Äîêàçàòü, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå óíèòàðíî. Ïîñòðîèòüåãî ìàòðèöó. ×òî îíî îçíà÷àåò ãåîìåòðè÷åñêè?

43). Ïóñòü |0〉 - áàçèñíûé âåêòîð âèäà |00 . . . 0〉, |0〉 =W |0〉. Íàïèñàòü ðàçëîæåíèå |0〉 ïî ñòàíäàðòíîìó áàçèñó.Êàê âûðàçèòü I0 ÷åðåç I0 è W?

44)**. Ðåàëèçîâàòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå îïåðàòîðI0 . (Óêàçàíèå: ñêàíèðîâàòü êóáèòû àðãóìåíòà ñëåâàíàïðàâî, îäíîâðåìåííî ñ íóëåâîé àíöèëëîé, íóæíîé äëÿñáîðà ìóñîðà, à ðåçóëüòàò âûÿâëåíèÿ õîòÿ áû îäíîéåäèíèöû íàêàïëèâàòü â ñïåöèàëüíîì êóáèòå, êîòîðûéïîñëå ñêàíèðîâàíèÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ èçìåíåíèÿ çíàêà.Ïîñëå ýòîãî ñäåëàòü âñå îïåðàòîðû â ñêàíèðîâàíèè âîáðàòíîì ïîðÿäêå.)

45). Ïóñòü f : {0, 1}n −→ {0, 1} - n- ìåñòíàÿ áóëåâñêàÿôóíêöèÿ. Êâàíòîâûé îðàêóë, ñîîòâåòñòâóþùèé åé,äåéñòâóåò íà áàçèñíûå âåêòîðû òàê: Quf : |x, y〉 −→|x, y

⊕f(x)〉 (ÿâíî óêàçàíû òîëüêî ðàçðÿäû àðãóìåíòà è

çíà÷åíèÿ ôóíêöèè. Ïóñòü f çàäàíà â âèäå êëàññè÷åñêîéñõåìû èç ôóíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. Ïîñòðîèòüêâàíòîâûé àëãîðèòì, ðåàëèçóþùèé Quf , à òàêæå Ixtar .Ñêîëüêî âûçîâîâ f íåîáõîäèìî äëÿ ýòîãî? Ìîæíî ëèîáîéòèñü îäíèì?

46). Ïóñòü xtar - åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ f(x) =1, LR2 - âåùåñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà (÷òî ýòî òàêîå?)âåêòîðîâ |0〉 è |xtar〉. Äîêàçàòü, ÷òî LR2 åñòü èíâàðèàíòîòðàæåíèé Ixtar è I0.

50

47). Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà ÃðîâåðàG = −IxtarI0? (Óêàçàíèå: ðàññìîòðåòü äåéñòâèå G íà LR2 èåãî îðòîãîíàëüíîì äîïîëíåíèè (÷òî ýòî?).

48). Ïóñòü óðàâíåíèå f(x) = 1 èìååò íå îäèí, à lêîðíåé. Êàêîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë òîãäà áóäåò èìåòüîãðàíè÷åíèå G íà LR2 ?

49). Íàéòè íàòóðàëüíîå t, òàêîå ÷òî Gt|0〉 ìàêñèìàëüíîáëèçêî ê |xtar〉. Åñëè äëÿ ýòîãî çíà÷åíèÿ t èçìåðèòüñîñòîÿíèå Gt|0〉, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïîëó÷èòñÿ |xtar〉?Êàê îòâåò çàâèñèò îò ÷èñëà êîðíåé l?

50). Ïîñòðîèòü àëãîðèòì äëÿ íàõîæäåíèÿ êàêîãî-ëèáîêîðíÿ óðàâíåíèÿ f(x) = 1 íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå.Åñëè èçâåñòíî îáùåå ÷èñëî êîðíåé, òî êàêîâà áóäåò åãîñëîæíîñòü?

51). Ðåøèòü çàäà÷ó 50) â ñëó÷àå íåèçâåñòíîãî ÷èñëàâñåõ êîðíåé.

52)***. Äîêàçàòü, ÷òî ïîìåùåííàÿíèæå êâàíòîâàÿ ñõåìà ðåàëèçóåò QFT−1.

51

ii

ii

i

r r r rr r r

r rr

rr r

r r rr r r r

a4

a3

a2

a1

a0

b0

b1

b2

b3

b4

Ðèñóíîê 1. Êâàíòîâàÿ ñõåìà äëÿ QFT−1.

Êðóæêè îáîçíà÷àþò îïåðàòîð Àäàìàðà, äâóõêóáèòíûåîïåðàòîðû èìåþò âèä:

Uk,j =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0 0 eiπ/2k−j

, k > j. (2.1)

Óêàçàíèå: Çàôèêñèðîâàòü äâà ïðîèçâîëüíûõ áàçèñíûõñîñòîÿíèÿ a =

∑j

aj2j è b =

∑k

bk2k è ðàññìîòðåòü,

ñ êàêîé àìïëèòóäîé a ïåðåõîäèò â b (ýòî åñòüñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò ìàòðèöû îïåðàòîðà, î êîòîðîìíàäî äîêàçàòü, ÷òî îí ðàâåí QFT−1 - ñì. îïðåäåëåíèå

52

îáðàòíîãî êâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èç çàäà÷è17).) Àìïëèòóäà åñòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ó êîòðîãî åñòüìîäóëü è ôàçà. Ïðîñëåäèòü ïðîöåññ èçìåíåíèÿ òåêóùåãîâåêòîðà ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîãî âû÷èñëåíèÿ - ñëåâà íàïðàâîâ ïîêàçàííîé ñõåìå. Ïðè âñòðå÷å ñ îïåðàòîðîì Àäàìàðàìåíÿåòñÿ ìîäóëü àìïëèòóäû (à ïðè äâóõêóáèòíûõ?) -âûïèñàòü åãî ðåçóëüòèðóþùåå èçìåíåíèå è óáåäèòüñÿ,÷òî îíî òàêîå, êàêîå íàäî. Ïîñëå ýòîãî ïîñ÷èòàòü ôàçóàìïëèòóäû. Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðîâàòü äâà çíà÷åíèÿ j > kè îïðåäåëèòü âêëàä äâóõêóáèòíîãî îïåðàòîðà ìåæäó jè k êóáèòàìè. Îáðàòèòü âíèìàíèå íà îáðàòíûé ïîðÿäîêaj è bk íà âõîäå è âûõîäå. Èñïîëüçîâàòü, òî, ÷òî ajïåðåõîäèò â bn−j+1 òîëüêî â ðåçóëüòàòå îïðåäåëåííîãîîïåðàòîðà Àäàìàðà. Ïðîñóììèðîâàòü âñå âêëàäû â ôàçóè óáåäèòüñÿ, ÷òî îíè äàþò òî, ÷òî òðåáóåòñÿ îïåðàòîðîìQFT−1. Ïðè íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçîâàòü ïîñîáèå ([65]) àòàêæå ïåðâîèñòî÷íèê ([40]).

53). Äàíà ñõåìà êâàíòîâûõ âåíòèëåé, ðåàëèçóþùàÿóíèòàðíûé îïåðàòîð U . Ïîñòðîèòü ñõåìó, ðåàëèçóþùóþîïåðàòîð Useq|Ψ, a〉 = (Ua|ψ〉|a〉, ãäå a- îäèí êóáèò(îïåðàòîð óñëîâíîãî ïðèìåíåíèÿ, òèïà CNOT). Óêàçàíèå:ðàñøèðèòü íàáîð ýëåìåíòàðíûé âåíòèëåé, âêëþ÷èâ â íåãîóñëîâíûå âåíòèëè òèïà CNOT äëÿ âñåõ èñïîëüçóþùèõñÿâåíòèëåé.

54)**.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 53) ðåàëèçîâàòü Useq äëÿa- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî êóáèòîâ. Êàêîâà ñëîæíîñòü ýòîãîêâàíòîâîãî àëãîðèòìà?

55). Ïóñòü a- n-êóáèòíûé ðåãèñòð, à ñîáñòâåííûå ÷èñëàU èìåþò âèä exp(2πiwk) ãäå wk èìåþò âèä k/2n, k -íàòóðàëüíîå. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà

RevU = QFT2 Useq

ãäå ïîñëåäíèé îïåðàòîð ïðèìåíÿåòñÿ ê àíöèëëå, êíà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ âèäà |ψ, 0〉 è ïîñëåäóþùåå

53

èçìåðåíèå àíöèëëû äàñò îäíî èç ÷èñåë wk. (Óêàçàíèå:âû÷èñëèòü ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà.) Ýòîòàëãîðèòì ïðèíàäëåæèò Àáðàìñó è Ëëîéäó.  ÷àñòíîìñëó÷àå, êîãäà U åñòü óìíîæåíèå íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî,åãî èñïîëüçîâàë Øîð.

56)***. Ïîêàçàòü, ÷òî ïðîöåäóðà èç çàäà÷è 55)ñïîñîáíà äàòü ïðèáëèæåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî s/2n îäíîãîèç wk ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − 1/s, äàæå åñëè wk íåèìåþò óêàçàííîãî â çàäà÷å 55) âèäà. (Óêàçàíèå: îöåíèòüâåðîÿòíîñòü îøèáêè, åñëè öåëü ñîñòîèò â ïîëó÷åíèèïðèáëèæåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ s/2n äëÿ íàòóðàëüíîãî s.Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîñîáèåì ([?]). )

57)***. Ïóñòü q - íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òàêîå ÷òî 2n−1 <q < 2n, xr = 1 (mod(q)) (r - ìóëüòèïëèêàòèâíûé ïåðèîäx ïî ìîäóëþ q), îïåðàòîð Ux äåéñòâóåò íà n êóáèòíîåáàçèñíîå ñîñòîÿíèå êàê Ux|y〉 = |yx mod(q)〉 åñëè y < qè Ux|y〉 = |y〉 åñëè y = q, q + 1, . . . , 2n − 1. Äîêàçàòü,÷òî ïðèìåíåíèå RevUx ê ñîñòîÿíèþ èç çàäà÷è 55) èïîñëåäóþùåå èçìåðåíèå àíöèëëû ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòür. (Óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò çàäà÷è 56). Êàêîâàñëîæíîñòü äàííîãî àëãîðèòìà?

58)***. Ïîêàçàòü, ÷òî ñëîæîñòü àëãîðèòìà èç çàäà÷è57) ìîæíî ðàäèêàëüíî óìåíüøèòü, åñëè ñäåëàòüðåàëèçàöèþ Ux seq ýêîíîìíûì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ

ïîñëåäîâàòåëüíîå óìíîæåíèå âèäà x2d , d = 0, 1, 2, . . ..Èç ðåçóëüòàòîâ çàäà÷ 56)-58) âûòåêàåò êâàíòîâûé

àëãîðèòì Ï.Øîðà ôàêòîðèçàöèè ïðîèçâîëüíîãîöåëîãî ÷èñëà q. Äëÿ ýòîãî íàäî óìåòü íàõîäèòüìóëüòèïëèêàòèâíûå ïåðèîäû ñëó÷àéíî âûáðàííûõ÷èñåë ïî ìîäóëþ q; ñëîæíîñòü ýòîãî àëãîðèòìàO(log q)2 log3(log q) íå íàìíîãî ïðåâûøàåò ñëîæíîñòüïðîñòîãî óìíîæåíèÿ öåëûõ ÷èñåë (log2 q). ÀëãîðèòìØîðà ÿâëÿåòñÿ ñàìûì áûñòðûì èç èçâåñòíûõ êâàíòîâûõàëãîðèòìîâ. Ê ñîæàëåíèþ, äî ñèõ ïîð íå äîêàçàíî, ÷òî íå

54

ñóùåñòâóåò ñòîëü æå áûñòðîãî êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà.Ñàìûé áûñòðûé èç èçâåñòíûõ êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâòðåáóåò âðåìåíè O(q1/3).

59). Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò çàäà÷è 52), äîêàçàòü, ÷òîïðèáëèæåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ìîæíî ðåàëèçîâàòüçà âðåìÿ O(n) ãäå n - ÷èñëî êóáèòîâ. (Óêàçàíèå: îòáðîñèòüäâóõêóáèòíûå âåíòèëè ñ áîëüøèì çíà÷åíèåì |j − k| èîöåíèòü âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì îøèáêó.)

60). Äîêàçàòü ôîðìóëó Òðîòòåðà exp(A + B) ≈(exp( 1

mA)exp( 1

mB))m äëÿ ýðìèòîâûõ ìàòðèö A è B (âàæíà

ëè çäåñü ýðìèòîâîñòü?). Îöåíèòü îøèáêó ýòîé ôîðìóëû.(Óêàçàíèå: ïðèìåíèòü ðàçëîæåíèå â ðÿä ýêñïîíåíòû).

61). Âûâåñòè áîëåå òî÷íîå âûðàæåíå äëÿ exp(A + B)÷åì ôîðìóëà Òðîòòåðà.

62)***. Äîêàçàòü, ÷òî íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðåìîæíî ïîëó÷èòü ñîñòîÿíèå èç O(n) êóáèò, ñëóæàùååêóáèòîâûì ïðèáëèæåíèåì òî÷íîãî ðåøåíèÿ Ψ(t, r)óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ êâàíòîâîé ñèñòåìû èç nðåàëüíûõ ÷àñòèö çà âðåìÿ O(t2), ïðè óñëîâèè, ÷òîïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè èìåþòïðîñòîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ (ñõåìó èç ôóíêöèîíàëüíûõýëåìåíòîâ). Óêàçàíèå: èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû çàäà÷ 18),20) è 52), ïðåäñòàâèòü ãàìèëüòîíèàí â âèäå ñóììûêèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé è ïðèìåíèòü êâîçíèêàþùèì ýêñïîíåíòûì ôîðìóëó Òðîòòåðà. Çàòåìïðèìåðèòü ðåçóëüòàòû çàäà÷ 18) è 20) ê èìïóëüñíîé÷àñòè. Èñïîëüçîâàòü òàêæå èìåþùèåñÿ ñõåìû âû÷èñëåíèÿïîòåíöèàëîâ.

Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íå äëÿ âñÿêîãî àëãîðèòìàâîçìîæíî ¾êâàíòîâîå óñêîðåíèå¿. Áîëåå òîãî,âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ êâàíòîâîãî óñêîðåíèÿ äëÿïðîèçâîëüíîãî êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿáîëüøîé ðåäêîñòüþ ([30])

Ïðèìåíåíèå èäåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè óæå îòêðûëè

55

íîâóþ ýïîõó â îáëàñòè êðèïòîãðàôèè, òàê êàê ìåòîäûÊâàíòîâàÿ êðèïòîãðàôèÿ|êâàíòîâîé êðèïòîãðàôèèîòêðûâàþò íîâûå âîçìîæíîñòè â îáëàñòè ïåðåäà÷èñîîáùåíèé. Ïðîòîòèïû ñèñòåì ïîäîáíîãî ðîäà íàõîäÿòñÿíà ñòàäèè ðàçðàáîòêè

2.1 Ôèçè÷åñêèå ðåàëèçàöèè

êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ

Ïîñòðîåíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà â âèäå ðåàëüíîãîôèçè÷åñêîãî ïðèáîðà ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé çàäà÷åéôèçèêè 21 âåêà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîñòðîåíû òîëüêîîãðàíè÷åííûå åãî âàðèàíòû (â ïðåäåëàõ 10 êóáèò). Âîïðîñî òîì, äî êàêîé ñòåïåíè âîçìîæíî ìàñøòàáèðîâàíèåòàêîãî óñòðîéñòâà, ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì íîâîé èíòåíñèâíîðàçâèâàþùåéñÿ îáëàñòè - ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîéìåõàíèêè. Öåíòðàëüíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î ïðèðîäåäåêîãåðåíòíîñòè (òî÷íåå, î êîëëàïñå âîëíîâîé ôóíêöèè),êîòîðûé ïîêà îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Ðàçëè÷íûå òðàêòîâêèýòîãî ïðîöåññà ìîæíî íàéòè â ñïèñêå ëèòåðàòóðû.Ïðèâåäåì ïðèìåð ðåàëèçàöèè îïåðàöèè CNOT íàçàðÿäîâûõ ñîñòîÿíèÿõ ýëåêòðîíà â êâàíòîâûõ òî÷êàõ.

Îäèí êóáèò ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ýëåêòðîíà âäâóõ ÿìíîì ïîòåíöèàëå, òàê ÷òî |0〉 îçíà÷àåò íàõîæäåíèååãî â ëåâîé ÿìå, à |1〉 - â ïðàâîé. Ýòî íàçûâàåòñÿ êóáèò íàçàðÿäîâûõ ñîñòîÿíèÿõ. Îáùèé âèä êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿòàêîãî ýëåêòðîíà:

|Ψ〉 = λ0|0〉+ λ1|1〉.

Çàâèñèìîñòü åãî îò âðåìåíè åñòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíèàìïëèòóä λ0, λ1; îíà çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðàâèäà

ih∂Ψ

∂tΨ = HΨ,

56

ãäå ãàìèëüòîíèàí H èìååò â ñèëó îäèíàêîâîãî âèäà ÿì èýðìèòîâîñòè âèä (

a −a−a a

)äëÿ íåêîòîðîé êîíñòàíòû a, òàê ÷òî âåêòîð

|0〉 =1√2

(|0〉+ |1〉)

åñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð ýòîãî ãàìèëüòîíèàíà ññîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 0 (òàê íàçûâàåìîå îñíîâíîåñîñòîÿíèå), à

|1〉 =1√2

(|0〉 − |1〉)

- ñîáñòâåííûé âåêòîð ñî çíà÷åíèåì 2a (ïåðâîåâîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå). Íèêàêèõ äðóãèõ ñîáñòâåííûõñîñòîÿíèé (ñ îïðåäåëåííûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè) çäåñüíåò, òàê êàê íàøà çàäà÷à äâóìåðíàÿ. Ïîñêîëüêó êàæäîåñîñòîÿíèå |Ψ〉 ïåðåõîäèò çà âðåìÿ t â ñîñòîÿíèå

λ0 exp(0t)|0〉+ λ1 exp(−2at/h)|1〉,

òî äëÿ ðåàëèçàöèè îïåðàöèè NOT (ïåðåõîäà |0〉− > |1〉è íàîáîðîò) äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïîäîæäàòü âðåìÿ t =πh/2a. Òî åñòü ãåéò NOT äàåòñÿ ïðîñòî åñòåñòâåííîéêâàíòîâîé ýâîëþöèåé íàøåãî êóáèòà ïðè óñëîâèè, ÷òîâíåøíèé ïîòåíöèàë çàäàåò äâóõ ÿìíóþ ñòðóêòóðó; ýòîäåëàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåõíîëîãèè êâàíòîâûõ òî÷åê.

Äëÿ ðåàëèçàöèè CNOT íàäî ðàñïîëîæèòü äâà êóáèòà(òî åñòü äâå ïàðû ÿì) ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã äðóãó, è âêàæäîé èç íèõ ðàñïîëîæèòü ïî îòäåëüíîìó ýëåêòðîíó.Òîãäà êîíñòàíòà a äëÿ ïåðâîé (óïðàâëÿåìîé) ïàðû ÿìáóäåò çàâèñåòü îò òîãî, â êàêîì ñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿýëåêòðîí âî âòîðîé (óïðàâëÿþùåé) ïàðå ÿì: åñëè áëèæåê ïåðâîé, a áóäåò áîëüøå, åñëè äàëüøå - ìåíüøå. Ïîýòîìó

57

ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà âî âòîðîé ïàðå îïðåäåëÿåò âðåìÿñîâåðøåíèÿ NOT â ïåðâîé ÿìå, ÷òî ïîçâîëÿåò ñíîâàâûáðàòü íóæíóþ äëèòåëüíîñòü âðåìåíè äëÿ ïðîèçâîäñòâàîïåðàöèè CNOT.

Ýòà ñõåìà î÷åíü ïðèáëèçèòåëüíàÿ è èäåàëèçèðîâàíà;ðåàëüíûå ñõåìû ñëîæíåå è èõ ðåàëèçàöèÿ ïðåäñòàâëÿåòâûçîâ ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôèçèêå.

58

Ëèòåðàòóðà

[1] G. Adenier, A. Yu. Khrennikov. Is the Fair Sampling As-sumption supported by EPR Experiments?, J. Phys. B40 No 1 (2007) 131-141

[2] V.Akulin et al, Description of quantum entanglementwith nilpotent polynimials: extensive characterization ofentanglement and canonical forms, Proceedings of SPIE,2006, vol. 6264, pp. 02-1 - 02-11.

[3] V.Akulin et al, Quantum computers and computing,2006, vol. 6 N1, pp. 107-125.

[4] V. Aho, J. E. Hopcroft, and J. D. Ullman. The Designand Analysis of. Computer Algorithms. Addison-Wesley,1974.

[5] K.Arakelov, Y.Ozhigov, Association of two-atommolecules. Simulation via Quantum state selection,accepted for publication on Vestnik of MGU, Computa-tional mathematics and cybernetics, issue 2009.

[6] Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell'sInequalities, A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, Phys-ical Review Letters, Vol. 49, Iss. 2, pp.91-94 (1982)doi:10.1103/PhysRevLett.49.91

59

[7] P.Benio�, Quantum mechanical hamiltonian models ofTuring machines, J. Stat. Phys. 29, 1982, 515-546.

[8] C.H. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard and U.V. Vazi-rani, �Strengths and weaknesses of quantum computing�SIAM J. on Computing, Vol. 26, No. 5, pp. 1510�1523,1997.

[9] G. Birkho�, J. von Neumann, The Logic of Quan-tum Mechanics, ¾Annals of Mathematics¿, 37 (1936), p.823�843.

[10] C.H.Bennett, G.Brassard, C.Crepeau, U.M.Maurer, Gen-eralized privacy ampli�cation, IEEE Trans. Inform. Teo-ry, 41, 1915, 1995.

[11] R.Blatt et al, Ion trap quantum computing with Ca+ions, Quantum Information Processing, vol.3, 1-5, pp. 61-73, 2004.

[12] D.V.Blohintsev, Principal topics of quantum theory,1977, Moscow, Nauka (Phys-math. lit.).

[13] M. Boyer, M., G. Brassard, P. Hyer, and A. Tapp, �Tightbounds on quantum searching�, Proc. 4th Workshop onPhysics and Computation, pp. 36�43, 1996.

[14] Bravyi S.B., Kitaev A.Yu. Fermionic Quantum Compu-tation, Ann. Phys. - 2002.- v.298, N.1. - p.210-226

[15] L. E. J. Brouer. Intuitionism and formalism. Amer. Math.Soc. Bull., 20:81�96, 1913.

[16] Durr, C., Hoyer, P., A Quantum Algorithm for �nding theMinimum, Proc.Roy.Soc.Lond. A455 (1999) 2165-2172

[17] R.Feynman, The theory of fundamental processes, Cal-tex, W.A.Benjamin, Inc., NY, 1961.

60

[18] R.Feynman, Simulating physics with computers, J. The-oret. hys., 1982, 21, pp. 467-488.

[19] R.Feynman, D.Hibbs, Quantum mechanics and path in-tegrals, 1984, Moscow, Nauka (Phys-math. lit.).

[20] M.Genovese, Research on hidden variable theories: Areview of recent progress, Physics Reports, 413, 2005,pp.319-396

[21] L.Grover, A fast quantum mechanical algorithm fordatabase search, Proceedings, 28th Annual ACM Sym-posium on the Theory of Computing (STOC), May 1996,pages 212-219. Proceedings, Melville, NY, 2006, vol. 810,electronic version: xxx.lanl.gov, quant-ph/0610052.

[22] M.A.Horne, A.Zeilinger, Speakable and Unspeakable inQuantumMechanics, Invited book review, Amer.J.Phys.,42,630 (1989).

[23] A.Khrennikov, Prequantum Classical Statistical FieldTheory: Complex Representation, Hamilton-Schr?dingerEquation, and Interpretation of Stationary States, Foun-dations of Physics letters, vol. 19, N4, pp. 299-319

[24] Kleene, S. C. and Vesley, R. E., 1965, The Foundationsof Intuitionistic Mathematics, Especially in Relation toRecursive Functions, North-Holland, Amsterdam.

[25] D.E.Knuth, The art of computer programming, Addison-Wesley, 1997

[26] P.Kurakin, G.Malinetskii, H.Bloom, Dialogue model ofquantum dynamics, Proccedings of SPIE, vol. 6264, 2005,Quantum Informatics - 2005 (ed. Y.Ozhigov)

61

[27] A.A.Markov, About the continuity of constructive func-tions, Uspehi Mat. Nauk (rus), 1954, 9, N 3 (61), pp.226-229.

[28] Yu.I.Ozhigov, A.Yu.Ozhigov, Algorithmic container forphysics, AIP Conference Proceedings, vol. 962 (QuantumTheory, Reconsideration of Foundations) pp. 168-174

[29] Y.Ozhigov, Amplitude quanta in multi particle systemsimulation, Russian Microelectronics, 2006, vol. 35, 1, 53-65.

[30] Y.Ozhigov, Lower bounds of a quantum search for an ex-treme point, Proc.Roy.Soc.Lond. A455 (1999) 2165-2172

[31] Y.I.Ozhigov.Quantum Computers Speed Up Classicalwith Probability Zero, Chaos Solitons Fractals 10 (1999)1707-1714

[32] Y.Ozhigov, How behavior of systems with sparse spec-trum can be predicted on a quantum computer, Pis'mav JETP, vol. 76, 11, pp. 799-804.

[33] Y.Ozhigov, Dynamical di�usion as the approximationof one quantum particle dynamics, lanl e-print, quant-ph/0702237

[34] Y.Ozhigov, Quantum recognition of eigenvalues, struc-ture of devices and thermodynamic properties. ZhETF,2003, vol. 123, iss. 2, pp. 384-398.

[35] Y.I.Ozhigov, Easy control on fermionic quantum compu-tations, NATO Science Series, 2005, vol. 189, pp. 27-32.

[36] A.Ozhigov, K.Arakelov, Y.Ozhigov, Principles of the nu-merical simulation of many body quantum dynamics,Quantum computers and computing, 2006, vol. 6 N1, pp.137-148.

62

[37] Y.Ozhigov, L.Fedichkin, Quantum Computer with FixedInteraction is Universal, JETP Lett. 77, 328-330 (2003)

[38] R. Penrose, The road to the reality, NY 2006.

[39] J. Shen�eld, Mathematical Logic, Nauka, Moscow (1975).

[40] P.Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factor-ization and Discrete Logarithms on a Quantum Com-puter, SIAM J.Sci.Statist.Comput. 26 (1997) 1484-1512

[41] J.L. Andrade E Silva, J. Loshak, Fields, Particles, Quan-ta. Moscow, Science, 1972.

[42] G.S.Tseitin, Algorithmic operators in the constructivemetric spaces, Doklady Academii Nauk USSR (rus),1959, 128, N 1, pp.49-52.

[43] J.A. Wheeler and W.H. Zurek, Quantum Theory andMeasurement, Princeton UP, 1983

[44] Wolfram, S. Twenty Problems in the Theory of CellularAutomata. Physica Scripta T9, 170-183, 1985.

[45] C. Zalka: Grover's quantum searching algorithm is opti-mal. Phys. Rev. A 60 (1999) 2746�2751.

[46] V. Zarnitsyna , J.Huang , F.Zhang , Y.Chien ,D.Leckband , C.Zhu , Memory in receptor ligand-mediated cell adhesion, Proc Natl Acad Sci U S A. 2007Nov 8.

[47] W.Zurek, Probabilities from entanglement, Born's rulefrom invariance, Phys. Rev. A 71, 052105 (2005)

[48] Í.Áîãîëþáîâ, Á.Øèðêîâ, Ââåäåíèå â òåîðèþêâàíòîâàííûõ ïîëåé, Ì.,Íàóêà, 1974.

63

[49] Âàëèåâ Ê.À., Êâàíòîâûå êîìïüþòåðû: ñìåíàïàðàäèãìû âû÷èñëåíèé, Âåñòí. ÌÃÓ,ñåð.15:Âû÷.ìàò.èêèáåðí. 2005, N.2. còð .3-16.

[50] Âàëèåâ Ê.À., Êâàíòîâûå êîìïüþòåðû è êâàíòîâûåâû÷èñëåíèÿ, ÓÔÍ, 175 1 (2005), ñòð. 3-39

[51] Âàëèåâ Ê.À., Êîêèí À.À. Êâàíòîâûå êîìïüþòåðû:íàäåæäû è ðåàëüíîñòü, Ìîñêâà-Èæåâñê, ÐÕÄ, 2000.

[52] Ï. Âèòàíüè, Ì. Ëè, Êîëìîãîðîâñêàÿ ñëîæíîñòü:äâàäöàòü ëåò ñïóñòÿ, ÓÌÍ, 1988, 43:6(264), 129�166

[53] Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ì.: Íàóêà, 1981.

[54] Ï.Äèðàê, Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèèîòíîñèòåëüíîñòè, Ì., Ìèð, 1982.

[55] Â.Ì.Äóáîâèê, ÷àñòíîå ñîîáùåíèå

[56] Â.Ï.Êóäðÿ, ÷àñòíîå ñîîáùåíèå.

[57] Á. À. Êóøíåð. Ëåêöèè ïî êîíñòðóêòèâíîìóìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. � Ì.: Íàóêà, 1973.

[58] Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà.Íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ, Ìîñêâà, Íàóêà, 1974.

[59] Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö, Ãèäðîäèíàìèêà, Ì.Íàóêà,1988.

[60] À.Í.Ìàëüöåâ, Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè,Ì., Íàóêà, 1986.

[61] Ìåíñêèé Ì. Á. Êîíöåïöèÿ ñîçíàíèÿ â êîíòåêñòåêâàíòîâîé ìåõàíèêè, ÓÔÍ 175 413 (2005)

64

[62] Ñ.Í.Ìîëîòêîâ, Êâàíòîâàÿ êðèïòîãðàôèÿ è òåîðåìûÂ.À.Êîòåëüíèêîâà îá îäíîðàçîâûõ êëþ÷àõ è îáîòñ÷åòàõ, ÓÔÍ, 2006, ò. 176, 7, ñòð. 777-788

[63] Íîâèêîâ Ï. Ñ. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿëîãèêà ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé. Ì.: Íàóêà. 1977

[64] Íîâîñàäîâ Á.Ê. Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèéêâàíòîâîé õèìèè: Îñíîâû òåîðèè ìîëåêóëÿðíûõîðáèòàëåé. Íàóêà, Ìîñêâà, 1988, 184 ñ.

[65] Þ.È.Îæèãîâ, Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ, ó÷åáíîåïîñîáèå, Èçä-âî ÂÌÊ ÌÃÓ, 2003.

[66] Ä.Ðîäæåðñ, Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå ôóíêöèè, Ì.,Ìèð, 1970.

[67] À.Í.Òèõîíîâ, Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷,1986, Ì.Íàóêà, ñì. òàêæå ÄÀÍ ÑÑÑÐ, 1963, ò. 151, N3,ñòð. 501-504.

[68] Ð. Òåìàì, Óðàâíåíèå Íàâüå-Ñòîêñà. Òåîðèÿ è÷èñëåííûé àíàëèç, Ì.Ìèð, 1981.

[69] Óñïåíñêèé Â.À., ×òî òàêîå íåñòàíäàðòíûé àíàëèç?Ì.Íàóêà, 1987.

[70] Óñïåíñêèé Â.À. Ëåêöèè î âû÷èñëèìûõ ôóíêöèÿõ,Ìîñêâà, Íàóêà, 1960

[71] À.Þ.Õðåííèêîâ, Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ èíôîðìàöèè, Ì.,Ôèçìàòëèò, 2008.

65