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30
⑫２次形式と２次曲線 １４４!１５０ 【２次形式】 ２次形式 ＊２次形式 ｎ次実対称行列Ａに対して　　　　　　を２次形式という。 t xAx ここで、 x = x 1 x 2 ! x n ! " # # # # $ % & & & &

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⑫２次形式と２次曲線

１４４!１５０

【２次形式】２次形式＊２次形式ｎ次実対称行列Ａに対して　　　　　　を２次形式という。

txAx

ここで、

x =

x1

x2

!

xn

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

Page 2: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

A =a h

h b

!

" #

$

% & , x =

x

y

!

" #

$

% & ' ax2 + 2hxy + by2

x y[ ]a h

h b

!

" #

$

% &

x

y

!

" #

$

% & = x y[ ]

ax + hy

hx + by

!

" #

$

% & = x(ax + hy) + y(hx + by) = ax2 + 2hxy + by2

A =

a h g

h b f

g f c

!

"

# # #

$

%

& & &

, x =

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

' ax2 + by2 + cz2 + 2 fyz + 2gzx + 2hxy

x y z[ ]

a h g

h b f

g f c

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= x y z[ ]

ax + hy + gz

hx + by + fz

gx + fy + cz

!

"

# # #

$

%

& & &

= x(ax + hy + gz) + y(hx + by + fz) + z(gx + fy + cz) = ax2 + by2 + cz2 + 2 fyz + 2gzx + 2hxy

①

②

例：

定理１．１：２次形式　　　　　に適当な直交変換　　　　　を行い次式のような形にすることができる。ここで、Ｐは直交行列である。この式の右辺を２次形式の標準形と言う。

txAx

x = Py

txAx = !

1y1

2+ !

2y2

2+!+ !n yn

2

証明： Ａの固有値を　　　　　　　　として、適当な直交行列Ｐによって、行列Ａは次のように対角化できる。

!1, !2,!!n

tPAP = P

!1AP =

"1

O

"2

!

0 "n

#

$

%

%

%

%

&

'

(

(

(

(

このとき、　　　　　とすると次式が得られる。

x = Py

txAx=

t(Py)A(Py)=t

y(t PAP)y=

ty

!1 O

!2!

0 !n

"

#

$

$

$

$

%

&

'

'

'

'

y

= !1y12

+ !2y22

+"+ !n yn2

Page 3: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

問題１．１：定理１．１において、

をしめせ。

a11

+ a22

+!+ ann

= !1

+ !2

+!+ !n

Tr(A) = a11 + a22 +!+ ann

Tr(AB) = Tr aij bji

j =1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' i=1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' = bji aij

i=1

n

!"

#

$ $

%

&

' '

j =1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' = Tr(BA)

Tr(ABC) = Tr aij bjkcki

k=1

n

!"

#

$ $

%

&

' '

j =1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' i=1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' = Tr bjkaij cki

k=1

n

!"

#

$ $

%

&

' '

j =1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' i=1

n

!"

#

$

$

%

&

'

'

= Tr bjk aij cki

i=1

n

!"

#

$ $

%

&

' '

j =1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' k=1

n

!"

#

$

$

%

&

'

' = Tr(BAC)

(1 + (2 +!+ (n = Tr(P)1AP) = Tr(AP)1P) = Tr(A) = a11 + a22 +!+ ann

：行列Ａのトレース

AB[ ]ii= aijbji

j=1

n

!

BA[ ]jj= bjiaij

i=1

n

!

ABC[ ]ii= aij bjkcki

k=1

n

!"#$

%&'j=1

n

!

BAC[ ]kk= bjk aijcki

i=1

n

!"#$

%&'j=1

n

!

２次曲線の分類＊２次曲線座標平面において２次式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　を満たす点　　　　　　の全体からできる図形を２次曲線という。

ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2 fx + c = 0

tx y[ ]

ここで、

とおくと、上記２次式は次のように表される。

A =a h

h b

!

" #

$

% & , x =

x

y

!

" #

$

% & , b =

g

f

!

" #

$

% &

txAx + 2

tb x[ ] + c = 0

さらに、　　　　　　　　　　　　　　とおくと、次式で表される。

tx A x = 0

! =

a h g

h b f

g f c

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

, x =

x

y

1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

Page 4: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

①　Ａは対称行列　⇨　適当な直交行列Ｐによって対角化できる。

tPAP =

! 0

0 "

#

$ %

&

' ( , x = P ) x , ) x =

) x

) y

#

$ %

&

' (

tx A x = 0

x =

x

y

1

!

"

# # #

$

%

& & &

, A =

a h g

h b f

g f c

!

"

# # #

$

%

& & &

A =

a h g

h b f

g f c

!

"

# # #

$

%

& & &

, x =

x

y

1

!

"

# # #

$

%

& & &

' ax2 + by2 + c + 2 fy + 2gx + 2hxy

x y 1[ ]

a h g

h b f

g f c

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

1

!

"

# # #

$

%

& & &

= x y 1[ ]

ax + hy + g

hx + by + f

gx + fy + c

!

"

# # #

$

%

& & &

= x(ax + hy + g) + y(hx + by + f ) + (gx + fy + c) = ax2 + by2 + c + 2 fy + 2gx + 2hxy

②　　　つまり、

　　　これは次式で表される。

t ! x ! A ! x = 0, ! A =

" 0 ! g

0 # ! f

! g ! f c

$

%

&

&

&

'

(

)

)

)

, ! x =

! x

! y

1

$

%

&

&

&

'

(

)

)

)

③　　　　　であるならば、次の変換（平行移動）ができて、

!" # 0

! ! x = ! x +! g

", ! ! y = ! y +

! f

#

" ! ! x 2

+ # ! ! y 2

+ ! c = 0

Q =

1 0 !" g

#

0 1 !" f

$0 0 1

%

&

'

'

'

'

' '

(

)

*

*

*

*

* *

,tQ " A Q =

# 0 0

0 $ 0

0 0 " c

%

&

'

'

'

(

)

*

*

*

t " " x (tQ " A Q) " " x = 0, " x = Q " " x

として、

txAx + 2 t

b x!"

#$ + c = t %x ( tPAP) %x + 2 t

bP %x + c = 0

& %x 2+ ' %y 2 * 2 %g %x + 2 %f %y + c = 0, t

bP = %g %f!"

#$

Page 5: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

＊２次曲線の標準形改めて、次のように表す。

（１）楕円

（２）虚楕円

（３）１点

（４）双曲線

（５）直線

（６）放物線

!x2+ "y2

= c

c

!= a2

,c

"= b2

;x2

a2+

y2

b2= 1

c

!= #a2

,c

"= #b2

;x2

a2+

y2

b2= #1

c = 0, !" > 0; x = 0, y = 0

c

!= a2

,c

"= #b2

;x2

a2#

y2

b2= 1

c = 0;x2

a2#

y2

b2= 0

y2= 4px

例題２．１：２次形式　　　　　　　　　　　　は

とおくと、

と標準形に変形できる。ここで、

である。

ax2 + 2hxy + by2

x

y

!

" #

$

% & =

cos' (sin'

sin' cos'

!

" #

$

% &

u

v

!

" #

$

% & , tan 2' =

2h

a ( b

ax2 + 2hxy + by2 =!u2 + "v2

! = a cos2" + bsin

2" + 2h cos" sin"

# = b cos2" + a sin

2" $ 2h cos" sin"

証明は次ページ

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x

y

!

"##

$

%&&=

cos' (sin'sin' cos'

!

"#

$

%&

u

v

!

"#

$

%& , tan 2' =

2h

a ( b

ax2+ 2hxy + by2

= )u2+ *v2

) = acos2' + bsin

2' + 2hcos' sin' , * = bcos2' + asin

2' ( 2hcos' sin'

とする。

ax2+ 2hxy + by2

= x y!"

#$

a h

h b

!

"%

#

$&

x

y

!

"%%

#

$&&

= u v!" #$cos' sin'(sin' cos'

!

"%

#

$&

a h

h b

!

"%

#

$&

cos' (sin'sin' cos'

!

"%

#

$&

u

v

!

"%

#

$&

= u v!" #$acos2' + bsin2' + 2hcos' sin' h(cos2' ( sin2') + (b ( a)cos' sin'

h(cos2' ( sin2') + (b ( a)cos' sin' acos2' + bsin2' ( 2hcos' sin'

!

"%%

#

$&&

u

v

!

"%

#

$&

h(cos2' ( sin2') + (b ( a)cos' sin' = 0 ) hcos2' +b ( a

2sin 2' = 0 ) tan 2' =

2h

a ( b

* ax2+ 2hxy + by2

= u v!" #$+ 0

0 ,

!

"%%

#

$&&

u

v

!

"%

#

$&

例題２．２：２次曲線の標準形次の２次曲線の標準形を求めよ。①　　　　　②

xy = 1 13x2 + 6 3xy + 7y2 = 16

a = b = 0, 2h = 1 ! tan2" =1

0# 0! 2" =

$

2!" =

$

4

x

y

!

" #

$

% & =

cos'4

(sin'4

sin'4

cos'4

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

u

v

!

" #

$

% & =

u ( v

2

u + v

2

!

"

#

#

#

#

$

%

&

&

&

&

xy =u ( v

2

)

* +

,

- .

u + v

2

)

* +

,

- . =

u2

2(

v2

2= 1

①

②

a = 13, b = 7, 2h = 6 3 ! tan2" =6 3

13# 7= 3 ! 2" =

$3

!" =$6

x

y

%

& '

(

) * =

cos$6

#sin$6

sin$6

cos$6

%

&

'

'

'

(

)

*

*

*

u

v

%

& '

(

) * =

3u # v

2

u + 3v

2

%

&

'

'

'

'

(

)

*

*

*

*

13x2 + 6 3xy + 7y2 = 133u # v

2

+

,

- -

.

/

0 0

2

+ 6 33u # v

2

+

,

- -

.

/

0 0

u + 3v

2

+

,

- -

.

/

0 0 + 7

u + 3v

2

+

,

- -

.

/

0 0

2

= 16u2 + 4v2 = 16

1 u2 +v2

4= 1

Page 7: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

問題２．１：次の２次曲線の標準形を求めよ。

x2 ! xy ! 2y2 = 0

x2 + xy + y2 = 3

3x2 + 4 3xy ! y2 = 15

x2 ! 2xy + y2 ! 8x! 8y

①②③④

x2 ! xy ! 2y2 = (x + y)(x! 2y) = 0

x + y = 0, x! 2y = 0

a = 1, b = 1, 2h = 1 ! tan 2" =1

1#1! 2" =

$2

! " =$4

x

y

%

& '

(

) * =

cos$4

#sin$4

sin$4

cos$4

%

&

'

'

'

(

)

*

*

*

u

v

%

& '

(

) * =

u # v

2u + v

2

%

&

'

'

'

'

(

)

*

*

*

*

x2 + xy + y2 =u # v

2

+

, -

.

/ 0

2

+u # v

2

+

, -

.

/ 0

u + v

2

+

, -

.

/ 0 +

u + v

2

+

, -

.

/ 0

2

=3u2 + v2

2= 3

1u2

2+

v2

6= 1

①

②２直線

楕円

③

a = 3, b = !1, 2h = 4 3 " tan 2# =4 3

4= 3 " 2# =

$3

" # =$6

x

y

%

& '

(

) * =

cos$6

!sin$6

sin$6

cos$6

%

&

'

'

'

(

)

*

*

*

u

v

%

& '

(

) * =

3u ! v

2

u + 3v

2

%

&

'

'

'

'

(

)

*

*

*

*

3x2 + 4 3xy ! y2 = 33u ! v

2

+

,

- -

.

/

0 0

2

+ 4 33u ! v

2

+

,

- -

.

/

0 0

u + 3v

2

+

,

- -

.

/

0 0 !

u + 3v

2

+

,

- -

.

/

0 0

2

= 5u2 ! 3v2 = 15 1u2

3!

v2

5= 1

④

双曲線

a = 1, b = 1, 2h = !2 " tan 2# =!21!1

" 2# =$2

" # =$4

x

y

%

& '

(

) * =

cos$2

+

, -

.

/ 0 !sin

$2

+

, -

.

/ 0

sin$2

+

, -

.

/ 0 cos

$2

+

, -

.

/ 0

%

&

'

'

'

'

(

)

*

*

*

*

u

v

%

& '

(

) * =

u ! v

2u + v

2

%

&

'

'

'

'

(

)

*

*

*

*

x2 ! 2xy + y2 ! 8x! 8y =u ! v

2

+

, -

.

/ 0

2

! 2u ! v

2

+

, -

.

/ 0

u + v

2

+

, -

.

/ 0 +

u + v

2

+

, -

.

/ 0

2

! 8u ! v

2! 8

u + v

2

= 2v2 !16

2u

1 u =2

8v2 放物線

Page 8: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

⑬２次曲面と正値２次形式

１５１!１５９

２次曲面の分類空間において、２次方程式

を満たす点　　　全体の集合からできる図形を２次曲面という。

ここで、

とおくと

と表すことができる。

x

y

z

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

A =

a h g

h b f

g f c

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

, x =

x

y

z

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

, b =

l

m

n

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

txAx +2

tbx + d = 0

ax2+ by2

+ cz2+ 2 fyz + 2gzx + 2hxy + 2lx + 2my + 2nz + d = 0

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Ａは対称行列であるから、適当な直交行列Ｐによって次のように対角化できる。

t PAP =

! 0 0

0 " 0

0 0 #

$

%

&

&

&

'

(

)

)

)

x = P * x , * x =

* x

* y

* z

$

%

&

&

&

'

(

)

)

)

t * x tPAP * x +2

tbPx + d = 0

! * x 2 + " * y 2 + # * z 2 + 2 * l * x + 2 * m * y + 2 * n * z + d = 0

とおくと、

!"# $ 0

% % x = % x +% l

% ! , % % y = % y +

% m

% " , % % z = % z +

% n

% #

! % % x 2 + " % % y 2 + # % % z 2 + % d = 0

ならば、平行移動

して、となる。

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

1

-1

0

1

＊２次曲面の標準形（１）楕円面

（２）空集合（虚楕円面）

（３）１点

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1

x = asin! cos" , y = bsin! sin" , z = ccos!

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= #1

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 0

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!

!

x

y

z

-20

2

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

0

5

-5

-2.5

0

2.5

5

-20

2

-5

-2.5

0

2.5

5

-5

0

5

-5

-2.5

0

2.5

5

x2

a 2+

y2

b2!

z2

c2= !1

x = a sin h" cos# , y = bsin h" sin# , z = c cosh"

x2

a 2+

y2

b2!

z2

c2= 1

x = a cosh" cos# , y = b cosh" sin# , z = c cosh"

（４）２葉双曲面

（５）１葉双曲面

cosh! =

e!+ e

"!

2, sinh! =

e!" e

"!

2

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-2-1

01

2

-2

0

2

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

x2

a 2+

y2

b2!

z2

c2= 0

x = at cos" , y = bt sin" , z = ct

（６）２次錐面

x2

a 2+

y2

b2= 2z

x = at cos! , y = bt sin! , z = ct 2

-2-1

01

2

-2

0

2

0

2

4

6

8

-2

0

2

（７）楕円放物面

x2

a 2+

y2

b2= 1

x = a cos! , y = bsin! , z = ct

x2

a 2+

y2

b2= "1

x2

a 2+

y2

b2= 0

（８）楕円柱面

（９）虚楕円柱面

（１０）直線

-1-0.50 0.51

-1

0

1

-2

-1

0

1

2

-1

0

1

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（１１）双曲放物面

（１２）双曲柱面

（１３）交わる２平面

x2

a 2!

y2

b2= 2z

x = at cosh(" ), y = btsinh(" ), z =1

2t 2

x2

a 2!

y2

b2= 1

x = a cosh(" ), y = bsinh(" ), z = t

x2

a 2!

y2

b2= 0

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

0

1

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-0.5

0

0.5

-2

-1

0

1

2

（１４）放物柱面

（１５）平行２平面

（１６）空集合

（１７）平面

y2 = 4px

y = t, x =1

4pt 2

y2 = 1

y2 = !1

y2 = 0

00.25

0.50.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

00.25

0.50.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

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例題３．１：２次曲面次の２次曲面の標準形を求めよ。

①②

2xy + 2yz + 2zx = x y z[ ]

0 1 1

1 0 1

1 1 0

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=txAx

x =

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

, A =

0 1 1

1 0 1

1 1 0

!

"

# # #

$

%

& & &

' (1 (1

(1 ' (1

(1 (1 '

= '3 ( 3' ( 2 = (' +1)2(' ( 2) = 0

' = (1 :

(1 (1 (1

(1 (1 (1

(1 (1 (1

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= 0 ) x + y + z = 0

*

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=

(s( t

s

t

!

"

# # #

$

%

& & &

= s

(1

1

0

!

"

# # #

$

%

& & &

+ t

(1

0

1

!

"

# # #

$

%

& & &

! = 2 :

2 "1 "1

"1 2 "1

"1 "1 2

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

x

y

z

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

= 0

2 "1 "1

"1 2 "1

"1 "1 2

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

)

2 "1 "1

0 1.5 "1.5

0 "1.5 1.5

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

)

2 0 "2

0 1.5 "1.5

0 0 0

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

* x" z = 0, y " z = 0 )

x

y

z

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

=

z

z

z

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

= z

1

1

1

#

$

%

%

%

&

'

(

(

(

! = "1固有値　　　　に属する固有ベクトル

固有値　　　　に属する固有ベクトル

①

! = 2

!1

1

0

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

,

!1

0

1

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

1

1

1

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

xy + yz + xz = 1

x2+ y2

+ z2+ xy + yz + zx = 2

この固有ベクトルから、グラム・シュミット法により正規直交系を作る。

x1 =

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x2 =

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x3 =

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a1 =1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, b2 =

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

! !1 0 1[ ]1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=1

2

!1

!1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a2 =1

6

!1

!1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, b3 =

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

! 1 1 1[ ]1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

! 1 1 1[ ]1

6

!1

!1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

6

!1

!1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a3 =1

3

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( P =

!1/ 2 !1/ 6 1/ 3

1/ 2 !1/ 6 1/ 3

0 2 / 6 1/ 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x = P ) x

2(xy + yz + zx)=t ) x tPAP ) x

t PAP =

!1/ 2 1/ 2 0

!1/ 6 !1/ 6 2 / 6

1/ 3 1/ 3 1/ 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

0 1 1

1 0 1

1 1 0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1/ 2 !1/ 6 1/ 3

1/ 2 !1/ 6 1/ 3

0 2 / 6 1/ 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!1 0 0

0 !1 0

0 0 2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( 2(xy + yz + zx) = ! ) x 2 ! ) y 2 + 2 ) z 2 = 2 *) x 2

2+

) y 2

2! ) z 2 = !1 ２葉双曲面

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②

2(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx) = x y z[ ]

2 1 1

1 2 1

1 1 2

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=txAx

x =

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

, A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

!

"

# # #

$

%

& & &

' ( 2 (1 (1

(1 ' ( 2 (1

(1 (1 ' ( 2

= (' ( 2)3 ( 2( 3(' ( 2) = (' (1)2 (' ( 4)

' = 1 :

(1 (1 (1

(1 (1 (1

(1 (1 (1

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= 0, x + y + z = 0

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=

(s((t

s

t

!

"

# # #

$

%

& & &

= s

(1

1

0

!

"

# # #

$

%

& & &

+ t

(1

0

1

!

"

# # #

$

%

& & &

' = 4 :

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= 0,

2 (1 (1

(1 2 (1

(1 (1 2

!

"

# # #

$

%

& & &

)

2 (1 (1

0 1.5 (1.5

0 (1.5 1.5

!

"

# # #

$

%

& & &

)

2 0 (2

0 1.5 (1.5

0 0 0

!

"

# # #

$

%

& & &

x( z = 0, y ( z = 0

*

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=

z

z

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= z

1

1

1

!

"

# # #

$

%

& & &

x1 =

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x2 =

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x3 =

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a1 =1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, b2 =

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

! !1 0 1[ ]1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

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' ' '

=1

2

!1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a2 =1

6

!1

1

2

"

#

$ $ $

%

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' ' '

, b3 =

1

1

1

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#

$ $ $

%

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' ' '

! 1 1 1[ ]1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

! 1 1 1[ ]1

6

!1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

6

!1

1

2

"

#

$ $ $

%

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' ' '

=

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a3 =1

3

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

P =

!1/ 2 !1/ 6 1/ 3

1/ 2 !1/ 6 1/ 3

0 2 / 6 1/ 3

"

#

$

$

$

%

&

'

'

'

, x = P ( x

2(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx) = ( x 2 + ( y 2 + 4 ( z 2 = 4

( x 2

4+

( y 2

4+ ( z 2 = 1 楕円面

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問題３．１：次の２次曲面はどんな曲面か調べよ。

xy + yz = 1

2x2 + 2y2 + 5z2 + 2xy ! 4yz! 4zx = 7

x2 + y2 + z2 ! 2xy + 2yz + 2zx = 2

①②③

2(xy + yz) = x y z[ ]

0 1 0

1 0 1

0 1 0

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=txAx = 2

x =

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

, A =

0 1 0

1 0 1

0 1 0

!

"

# # #

$

%

& & &

' (1 0

(1 ' (1

0 (1 '

= '3 ( 2' = ' (' ( 2)(' + 2) = 0

' = ( 2 :

( 2 (1 0

(1 ( 2 (1

0 (1 ( 2

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

= 0,

( 2 (1 0

(1 ( 2 (1

0 (1 ( 2

!

"

# # #

$

%

& & &

)

( 2 (1 0

0 (2

2(1

0 (1 ( 2

!

"

# # # #

$

%

& & & &

)

( 2 0 2

0 1 2

0 0 0

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

=

1

( 2

1

!

"

# # #

$

%

& & &

①

! = 2 :

2 "1 0

"1 2 "1

0 "1 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

x

y

z

#

$

% % %

&

'

( ( (

= 0,

2 "1 0

"1 2 "1

0 "1 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

)

2 "1 0

02

2"1

0 "1 2

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

)

2 0 " 2

02

2"1

0 0 0

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

, x = z, y = 2z

x

y

z

#

$

% % %

&

'

( ( (

= t

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

, x1 =

1

" 2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

, x2 =

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

, x3 =

1

0

"1

#

$

% % %

&

'

( ( (

a1 =1

2

1

" 2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

, b2 =

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

"1

41 2 1[ ]

1

" 2

1

#

$

% % %

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'

( ( (

1

" 2

1

#

$

% % %

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'

( ( (

=

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

, a2 =1

2

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

b3 =

1

0

"1

#

$

% % %

&

'

( ( (

"1

41 0 "1[ ]

1

" 2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

1

" 2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

" 1 0 "1[ ]

1

2

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

1

2

1

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$

% % %

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'

( ( (

=

1

0

"1

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$

% % %

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'

( ( (

a3 =1

2

1

0

"1

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$

% % %

&

'

( ( (

; P =

1/2 1/2 1/ 2

"1/ 2 1/ 2 0

1/2 1/2 "1/ 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

t PAP =

1/2 "1/ 2 1/2

1/2 1/ 2 1/2

1/ 2 0 "1/ 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

0 1 0

1 0 1

0 1 0

#

$

% % %

&

'

( ( (

1/2 1/2 1/ 2

"1/ 2 1/ 2 0

1/2 1/2 "1/ 2

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

"1/ 2 0 0

0 1/ 2 0

0 0 0

#

$

% % %

&

'

( ( (

; * "1

2x2 +

1

2y2 = 2 双曲柱面

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②

2x2 + 2y2 + 5z2 + 2xy ! 4yz! 4zx = x y z[ ]

2 1 !2

1 2 !2

!2 !2 5

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=txAx = 7

x =

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, A =

2 1 !2

1 2 !2

!2 !2 5

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( ! 2 !1 2

!1 ( ! 2 2

2 2 ( ! 5

= (( ! 2) (( ! 2)(( ! 5) ! 4( ) + (!( + 5! 4) + 2(!2! 2( + 4)

=( 3!9(2 +15( ! 7 = (( !1)2 (( ! 7) = 0

( = 1 :

!1 !1 2

!1 !1 2

2 2 !4

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= 0, x + y ! 2z = 0 )

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!s + 2t

s

t

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= s

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+ t

2

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( = 7 :

5 !1 2

!1 5 2

2 2 2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= 0,

5 !1 2

!1 5 2

2 2 2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

)

5 !1 2

0 24 12

0 12 6

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

)

5 0 5/2

0 2 1

0 0 0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

2x + z = 0, 2y + z = 0

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= t

!1/2

!1/2

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x1 =

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x2 =

2

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x3 =

!1/2

!1/2

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a1 =1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, b2 =

2

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

22 0 1[ ]

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

2

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, a2 =1

3

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

b3 =

!1/2

!1/2

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

2!1/2 !1/2 1[ ]

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

3!1/2 !1/2 1[ ]

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!1/2

!1/2

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a3 =1

6

!1

!1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

; P =

!1/ 2 1/ 3 !1/6

1/ 2 1/ 3 !1/6

0 1/ 3 1/3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x2 + y2 + 7z2 = 7

(x2

7+

y2

7+ z2 = 1 楕円面

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③

x2 + y2 + z2 ! 2xy + 2yz + 2zx = x y z[ ]

1 !1 1

!1 1 1

1 1 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=txAx = 2

x =

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, A =

1 !1 1

!1 1 1

1 1 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( !1 1 !1

1 ( !1 !1

!1 !1 ( !1

= (( !1) (( !1)2 !1[ ] ! (( !1!1) ! (!1+ ( !1) = (( +1)(( ! 2)2 = 0

( = 2 :

1 1 !1

1 1 !1

!1 !1 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= 0, x + y ! z = 0 )

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

!s + t

s

t

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= s

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+ t

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

( = !1 :

!2 1 !1

1 !2 !1

!1 !1 !2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= 0,

!2 1 !1

1 !2 !1

!1 !1 !2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

)

!2 1 !1

0 !1.5 !1.5

0 !1.5 !1.5

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

)

!2 0 !2

0 !1.5 !1.5

0 0 0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x + z = 0, y + z = 0

x

y

z

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

= t

!1

!1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

x1 =

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x2 =

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, x3 =

!1

!1

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a1 =1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, b2 =

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

21 0 1[ ]

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

1/2

1/2

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

, a2 =1

6

1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

b3 =

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

21 0 1[ ]

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

61 0 1[ ]

1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

1

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+1

2

!1

1

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!1

2

1

1

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=1

2

0

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

a3 =

0

0

1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

; P =

!1/ 2 1/ 6 0

1/ 2 1/ 6 0

0 2 / 6 1

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

2x2 + 2y2 ! z2 = 2

( x2 + y2 !z2

2= 1 １葉双曲面

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正値２次形式＊正値２次形式　　　　が　　　　である実列ベクトル　　に対して、常に　　　　　であるならば、「２次形式またはＡは正値である」という。

定理４．１：２次形式　　　　が正値であるための必要十分条件は、Ａの固有値がすべて正であることである。

txAx x ! 0

x

txAx > 0

txAx

証明 　適当な直交変換　　　　　を行うことで、２次形式　　　　は次のように変換できる。

x = Py

txAx

txAx = !i yi

2

i=1

n

"

　すべての固有値が正ならば　　　　　である。　　のｉ成分以外はすべて０になるような　についても２次形式は正値でなければならないから　　　　　。したがって、任意の　について　　　　　ならばすべての固有値は正でなければならない。

txAx > 0

txAx > 0

y

x

!i > 0

x

例題４．１：正値２次形式①　２次形式　　　　　　　　　　　　　　は正値であることを示せ。②　　　　　　　　　の時、　　　　　　　　　　　　　の最大値・最小値を求めよ。

3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx

x2 + y2 + z2 = 1 3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx

3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx = x y z[ ]

3 1 1

1 2 0

1 0 2

!

"

# # #

$

%

& & &

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

' ( 3 (1 (1

(1 ' ( 2 0

(1 0 ' ( 2

= (' ( 3)(' ( 2)2 ( 2(' ( 2) = (' (1)(' ( 2)(' ( 4) = 0

3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx = ) x 2 + 2 ) y 2 + 4 ) z 2

①

固有値方程式は、

固有値はすべて正なので２次形式は正値。適当な直交変換で、

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②

したがって、最小値は１で、最大値は４である。

x =

x

y

z

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

txx=

t ' x tPP ' x =

t ' x ' x x = 1 ( ' x = 1

) ' x 2 + ' y 2 + ' z 2 = 1

' x 2 + ' y 2 + ' z 2 * ' x 2 + 2 ' y 2 + 4 ' z 2 = 3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx

' x 2 + 2 ' y 2 + 4 ' z 2 * 4 ' x 2 + 4 ' y 2 + 4 ' z 2 = 4( ' x 2 + ' y 2 + ' z 2)

) 1* 3x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy + 2zx * 4

問題４．１：２次形式　　　　　　　　　　　　　　　　　　は正値であることを示せ。　　　　　　　　　のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　　の最大値、最小値を求めよ。

2x2 + 5y2 + 5z2 ! 2xy ! 4yz! 2zx

x2 + y2 + z2 = 1 2x2 + 5y2 + 5z2 ! 2xy ! 4yz! 2zx

①②

x =

x

y

z

!

"

# # #

$

%

& & &

, A =

2 '1 '1

'1 5 '2

'1 '2 5

!

"

# # #

$

%

& & &

2x2 + 5y2 + 5z2 ' 2xy ' 4yz' 2zx=txAx

( ' 2 1 1

1 ( ' 5 2

1 2 ( ' 5

= (( ' 2) (( ' 5)2 ' 4[ ] ' (( ' 5' 2) + (2' ( + 5) = (( ' 2)(( ' 3)(( ' 7)

2x2 + 5y2 + 5z2 ' 2xy ' 4yz' 2zx = 2 ) x 2 + 3 ) y 2 + 7 ) z 2

①

固有値方程式は

固有値はすべて正なので２次形式は正値。適当な直交変換で

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②

x =

x

y

z

!

"

#

#

#

$

%

&

&

&

txx=

t ' x tPP ' x =

t ' x ' x x = 1 ( ' x = 1

) 1= ' x 2 + ' y 2 + ' z 2 * 2 ' x 2 + 3 ' y 2 + 7 ' z 2 (= 2x2 + 5y2 + 5z2 + 2xy + 4yz+ 2zx)

* 7( ' x 2 + ' y 2 + ' z 2) = 7

したがって、最小値は１で、最大値は７である。

問題４．２：①　次の２次形式の標準形を求めよ。

②　　　　　　　　　　　　　のとき、Ｆの最大値・最小値を求めよ。

F = x y z u[ ]

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

!

"

# # # #

$

%

& & & &

x

y

z

u

!

"

# # # #

$

%

& & & &

x2 + y2 + z2 + u2 = 1

①

! 0 0 "1

0 ! "1 0

0 "1 ! 0

"1 0 0 !

= ! 4+ ! 2 " ! 2 " 1 = (! 2

+ 1)(! " 1)(! + 1) = 0

! = 1 :

1 0 0 "1

0 1 "1 0

0 "1 1 0

"1 0 0 1

#

$

%%%%

&

'

((((

x

y

z

u

#

$

%%%%

&

'

((((

= 0; x " u = 0, y " z = 0

)

x

y

z

u

#

$

%%%%

&

'

((((

=

s

t

t

s

#

$

%%%%

&

'

((((

= s

1

0

0

1

#

$

%%%%

&

'

((((

+ t

0

1

1

0

#

$

%%%%

&

'

((((

Page 21: Í Üq Í¢bonryu.com/Bonryu/Lecture_files/線形代数12_15.pdfa=3,b=!1,2h=43"tan2#= 43 4 = 3"2#= $ 3 "#= $ 6 x y % & ’ ’ * = cos $ 6!sin $ 6 sin $ 6 cos $ 6 % & ’ ’ ’

!1= !( " x 2 + " y 2 + " z 2 + " u 2) # " x 2 + " y 2 ! " z 2 ! " u 2 # " x 2 + " y 2 + " z 2 + " u 2 = 1②

! = "1 :

"1 0 0 "1

0 "1 "1 0

0 "1 "1 0

"1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

x

y

z

u

#

$

%%%%

&

'

((((

= 0; x + u = 0, y + z = 0

)

x

y

z

u

#

$

%%%%

&

'

((((

=

s

t

"t

"s

#

$

%%%%

&

'

((((

= s

1

0

0

"1

#

$

%%%%

&

'

((((

+ t

0

1

"1

0

#

$

%%%%

&

'

((((

P =1

2

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 "1 0

1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

,tP =

1

2

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 "1 0

1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

tPAP =1

2

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 "1 0

1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

#

$

%%%%

&

'

((((

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 "1 0

1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

=1

2

1 0 0 1

0 1 1 0

0 "1 1 0

"1 0 0 1

#

$

%%%%

&

'

((((

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 "1 0

1 0 0 "1

#

$

%%%%

&

'

((((

=1

2

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 "2 0

0 0 0 "2

#

$

%%%%

&

'

((((

x = P *x

) txAx = *x 2

+ *y 2 " *z 2 " *u 2

練習問題８：８．１：ｎ次対称行列Ａの固有値のうち、最大のものを　、最　　　　小のものを　とすると、すべての実列ベクトル　に対　　　　して次式が成立することを示せ。

x

!

!

! x2"txAx "# x

2

適当な直交行列Ｐによって次式が得られる。

tPAP =

!1

0

!

0 !n

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

この行列Ｐを使って　を変換する。

x

x = Py

txAx=

t(Py)APy=

ty(

t PAP)y=ty

!1 0

!

0 !n

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

y = !i yi2

i=1

n

(

) * y 2+txAx +, y 2

x2

=t(Py)Py=

ty(

t PP)y = y2

) * x 2+txAx +, x 2

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８．２：ｎ次対称行列Ａが正値ならば、その余因子行列　　　　　も正値であることを示せ。

!

A

Ax = !x, A!

A =!

A A = AE "!

A Ax = !!

A x " Ax = !!

A x

A " ! > 0 # A > 0

!

A x =A

!x "

A

!> 0 :

!

A !

A :

：正値

の固有値　　　　　正値

８．３：複素数を成分とするｎ次正方行列　　　　　　に対して　　　　　と定義する。　　　　　ならば、　　はエルミート行列であるという。①　エルミート行列の対角成分は実数であることを示せ。②　エルミート行列の固有値は実数であることを示せ。

U = aij[ ]

U = aij[ ]

tU = U

U

tU = U ! aii = aii

①　　　　　　　　　　　　　　　したがって、対角成分は実数。

Uz = !z " Uz = !z "t(Uz) = !

tz "

t(Uz)z = !

tzz

t(Uz)z=

tz

tU z=

tz Uz =!

tz z !

tzz

# !tz z = !

tzz

# ! = !

②

左辺：　　　　　　　　　　　　　　　　　　右辺：

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８．４：ｎ次正方行列Ｕに対して、　　　　　　　　　　ならば、Ｕは　　　　　ユニタリー行列という。この時、次を示せ。①　すべてのｎ次複素ベクトル　に対して、

②　Ｕの固有値の絶対値は１である。

tU U =U

tU = E

t(Uz)(Uz)=

tz z

t(Uz)(Uz)=

tz

tU Uz=

tz Ez=

tz z①

Uz = !z "tUz=

t

!z =! tz

# (tUz)Uz = (!

tz )!z = ! !

tz z

(tUz)Uz=

tz z

$tz z = ! !

tz z # ! ! = 1

②

８．５：Ａはｎ次の正値対称行列ならば、すべてのｎ次複素列ベクトル　　　　　に対して　　　　　　であることを示せ。

z ! 0

tz Az > 0

P :

t PAP =

!1 0

!

0 !n

"

#

$

$ $

%

&

'

' '

!1,....!n > 0

z = Py

tz Az=

ty

tP APy=ty

tPAPy = !1y 1y1 +"+ !y n yn = !1 y12

+"+ !n yn2

> 0

直交行列

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⑭線形微分方程式

１６０!１６９

【 線形微分方程式】要素が変数ｔの関数であるような列ベクトル

ベクトルの微分

x =

x1

x2

!

xn

!

"

#####

$

%

&&&&&

=

x1(t)

x2(t)

!

xn(t)

!

"

#####

$

%

&&&&&

d

dtx(t) = lim

!t"0

x(t + !t) # x(t)

!t= lim

!t"0

x1(t + !t) # x

1(t)

!t

x2(t + !t) # x

2(t)

!t

!

xn(t + !t) # x

n(t)

!t

$

%

&&&&&&&&&

'

(

)))))))))

=

*x1(t)

*x2(t)

!

*xn(t)

$

%

&&&&&

'

(

)))))

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（定数係数）線形連立微分方程式

!x1(t) = a

11x

1(t) + a

12x

2(t) +!+ a

1nx

n(t)

!x2(t) = a

21x

1(t) + a

22x

2(t) +!+ a

2nx

n(t)

!

!xn(t) = a

n1x

1(t) + a

n2x

2(t) +!+ a

nnx

n(t)

＊行列表示

d

dtx = Ax, A =

a11

a12! a

1n

a21

a22! a

2n

!

an1

an2! a

nn

!

"

#####

$

%

&&&&&

n=1の時の微分方程式

!x (t) = "x(t) # x(t) = Ce"t

" = a + bi

＊オイラーの関係式 e

i!= cos! + isin!

! x(t) = Ce

"t= Ce

at+ ibt= Ce

at(cosbt + isin bt)

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一般のｎの時＊行列の対角化

!A = P!1

AP =

"1

0

"2

"

0 "n

#

$

%%%%%

&

'

(((((

, x = Pu

)x = Ax * P!1 )x = P

!1Ax * P

!1P )u = P

!1APu

+ )u = !Au

これは、

⇨

u1(t) = c

1e!1t

u2(t) = c

2e!2t

!

un(t) = c

ne!

nt

!u1(t) = "

1u

1(t)

!u2(t) = "

2u

2(t)

!

!un(t) = "

nu

n(t)

! x = P

c1e"

1t

c2e"

2t

!

cne"

nt

#

$

%%%%%

&

'

(((((

= c1P

e"

1t

0

!

0

#

$

%%%%

&

'

((((

+ c2P

0

e"

2t

!

0

#

$

%%%%

&

'

((((

+"+ cnP

0

0

!

e"

nt

#

$

%%%%

&

'

((((

【線形微分方程式の例】捕食者被食者問題

簡単化した例被食者（例：シマウマ）　生存数に比例して増加捕食者（例：ライオン）　生存数に比例して減少

被食者・捕食者共存

!x = "x!t # lim!t$0

!x

!t= lim

!t$0"x

# %x = "x

!y = &' y!t # lim!t$0

!y

!t= & lim

!t$0' y

# %y = &' y

%x = "x & (y

%y = ) x & ' y

#%x (t)

%y (t)

*

+,,

-

.//=

" &(

) &'

*

+,,

-

.//

x

y

*

+,,

-

.//

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例題２．１次の線形微分方程式を解け

解答

A =3 !2

2 !2

"

#$

%

&'①　行列 の固有ベクトルを求める

! " 3 2

"2 ! + 2= (! " 3)(! + 2) + 4 = (! + 1)(! " 2) = 0

! = "1 :"4 2

"2 1

#

$%

&

'(

x1

x2

#

$

%%

&

'

((= 0 ) x

1=

1

2

#

$%

&

'(

! = 2 :"1 2

"2 4

#

$%

&

'(

x1

x2

#

$

%%

&

'

((= 0 ) x

2=

2

1

#

$%

&

'(

d

dx

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&=

3 '2

2 '2

!

"#

$

%&

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&

対角化可能な場合の解法

②　対角化のための正則行列

P = x1,x

2( ) = 1 2

2 1

!

"#

$

%&

P'1

AP ='1 0

0 2

!

"#

$

%&

③　微分方程式の変換

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&= P

u(t)

v(t)

!

"##

$

%&&

d

dt

u(t)

v(t)

!

"##

$

%&&= P'1 d

dx

x(t)

y(t)

!

"##

$

%&&= P'1AP

u(t)

v(t)

!

"##

$

%&&=

'u(t)

2v(t)

!

"##

$

%&&

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④　微分方程式を解く

!u (t) = "u(t), !v (t) = 2v(t) # u(t) = c

1e"t , v(t) = c

2e

2t

!x(t)

y(t)

"

#$$

%

&''= P

u(t)

v(t)

"

#$$

%

&''=

1 2

2 1

"

#$

%

&'

c1e(t

c2e2t

"

#

$$

%

&

''= c

1e(t 1

2

"

#$

%

&' + c

2e2t 2

1

"

#$

%

&'

一般の行列で表される線形微分方程式の解法

d

dtx = Ax ：線形微分方程式

指数関数の冪級数展開：

行列の指数関数の定義：

ez= 1 + z +

z2

2!+!+

zm

m!+!

eA= E

n+ A +

A2

2!+!+

Am

m!+!

A ! tA : etA= E

n+ tA + t

2A

2

2!+!+ t

mA

m

m!+!

微分：

d

dte

tA= A + 2t

A2

2!+!+ mt

m!1 Am

m!+!

= A En+ t

A

1!+!+ t

m!1 Am!1

(m ! 1)!+!

"

#$%

&'= Ae

tA

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定理３．１前ページの結果から得られる定理

x = etA

a は、次の線形微分方程式の解である。

d

dtx = Ax

x(0) = a

微分方程式初期条件

例題３．１ 行列の指数

A =1 1

0 1

!

"#

$

%& , a =

1

'1

!

"#

$

%& のとき、次の線形微分方程式を解け。

d

dtx = Ax

x(0) = a

微分方程式初期条件

解答定理３．１より、解は次のように表せる。

x = etA

a

したがって、　　をまず求める。 etA

　　は、一般に、無限項の和になるが、ケーリーハミルトンの定理を使えば有限項の和として表せる。 e

tA

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!E " A =! " 1 "1

0 ! " 1= (! " 1)2

= 0

ケーリーハミルトンの定理により (A ! E)2

= 0

!ここで、　　　　　　　　　　であることに注意。

A ! E =0 1

0 0

"

#$%

&'( 0

(A ! E)E = E(A ! E) であるので、

etA= e

t(A!E+E)= e

t(A!E)e

tE

et(A!E)

= E + t(A ! E) +t

2

2!(A ! E)2

+! = E + t(A ! E)

etA= e

t(A!E)e

tE= E + t(A ! E){ }(et

E) = et

E + t(A ! E){ }

" x = et

E + t(A ! E){ }a = et 1 t

0 1

#

$%

&

'(

1

!1

#

$%

&

'( =

(1 ! t)et

!et

#

$%%

&

'((

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