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Pumpspeicherkraftwerk
Einführungin die
Integralrechnung
Ulla Schmidt, Freiherr-vom-Stein-Gymnasium Lünen
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Charakteristika
Realitätsnahes Problem Keine Flächenberechnung Bestimmung von Zufluss und Abfluss Von Anfang an negative Integrale Schwerpunkt auf dem Aspekt
„Kumulation“ Verschiedene Modellbildungen möglich
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Einstiegsproblem
Quelle: Lernsequenzen zum Thema Energie, Sek. I, Heft 5 (Kraftwerke und Kraftwerkstypen), Hrsg.: Arbeitskreis Schulinformation Energie, Frankfurt 1986
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Problem
Nachts wird weniger Strom benötigt als tagsüber.
Man könnte mehr Strom produzieren als gebraucht wird.
Der Strom kann nicht gespeichert werden.
Oder doch?
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Pumpspeicherkraftwerk
Pumpspeicherkraftwerk „Koepchenwerk Herdecke“
Informationsbroschüre der RWE Energie, Essen
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Aufbau
Speicherbecken
Zufluss-/Abflussrohr
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1. Aufgabe
Skizziere die Wassermenge, die durch die Rohre fließt.
Vereinbarungen: Wassermengen, die nach oben gepumpt
werden, werden positiv gezählt und Wassermengen, die nach unten abfließen, werden negativ gezählt.
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Eine Schülerlösung …
Zeit t
Zufluss-/Abflussrate
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1. Modellierung Treppenfunktionen
Zusatzannahmen: • Anfangsmenge im oberen Wasserbecken = 10 (Volumeneinheiten)• bei f(t)=1 nimmt die Wassermenge im Becken in 1 h um genau eine Volumen- einheit zu
3 0 62 6 94 9 12
( )0 12 131 13 182 18 24
für tfür tfür t
f tfür tfür tfür t
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Aufgabe
Idee:Die pro Teilintervall zugeflossene Wassermenge lässt sich als vorzeichenbehafteter (orientierter) Flächeninhalt des Rechtecks zwischen Graph und x-Achse deuten.
Ermittle die Wassermenge im oberen Becken zu den angegebenen Zeitpunkten.
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Wassermenge im oberen Becken
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2. Modellierungstückweise lineare Funktionen
Gegeben sind nur Punkte, die zu einem Streckenzug verbunden werden:
1 2 3 4 5 6(0 | 3), (4 | 2), (6 | 0), (8 | 3), (10 | 4), (12 | 4),P P P P P P
7 8 9 10 11(13 | 0), (15 | 1), (18 | 0), (20 |1), (24 | 3)P P P P P
Idee:
Berechnen der Flächeninhalte der Trapeze
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Wassermenge im oberen Becken
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3. Modellierungquadratische Funktion
Idee:Die Teilflächen zwischen Parabel und x-Achse werden durch (orientierte) Trapezflächenapproximiert.
21 24 19( )25 25 5
f x x x
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Wassermenge im oberen Becken
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Vermutung: Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Zufluss-/Abflussrate.
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Zum Hauptsatz Test: Die Stammfunktion wird direkt berechnet:
und der zugehörige Graph direkt gezeichnet:
Die Graphen der numerischen Näherung und der Stammfunktion unterscheiden sich nur minimal.
3 21 12 19( )
75 25 5F x x x x
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Experimentieren mit anderen Funktionenund Streifenbreiten