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Pulse Sense: la matematica per l’individuazione di anomalie in
un tracciato elettrocardiografico
Pasqualina Fragneto
Quando i matematici non entrano in aulaTrento 2017
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AST Applied Math Team
Che cosa facciamo?
• Innovazione e sviluppo su problemi industriali
• Studio di strumenti matematici per l’analisi e l’elaborazione di dati provenienti da applicazioni industriali
• Condivisione della nostra esperienza con gli altri gruppi di AST e il mondo della ricerca
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Localizzazione
AST Applied Math Team
Detezione di anomalie
Classificazione di volti Registrazione 3D
3
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Localizzazione
AST Applied Math Team
Detezione di anomalie
Registrazione 3DClassificazione di volti
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Dispositivi indossabili, volti al monitoraggio di parametri biomedici, inviano continuamente o periodicamente tutti i dati al nodo / dongle
intenso consumo di energia
Si rende necessario l’elaborazione di una grande quantità di dati
elevata complessità nella gestione di dati
1
2
3
1
3
2
dispositivo indossabile
nodo ospite/dongle
application server
Problema industriale: ridurre consumo di energia
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• definizione di una classe normale• e di una classe anomala come tutto ciò che non è normale
Problema applicativo: detezione anomalie in un tracciato ECG
• elettrocardiografia (ECG)• identificare aritmie e artefatti
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• definizione di una classe normale• e di una classe anomala come tutto ciò che non è normale
• elettrocardiografia (ECG)• identificare aritmie e artefatti
Problema applicativo: detezione anomalie in un tracciato ECG
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• definizione di una classe normale• e di una classe anomala come tutto ciò che non è normale
• elettrocardiografia (ECG)• identificare aritmie e artefatti
Problema applicativo: detezione anomalie in un tracciato ECG
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• definizione di una classe normale
• e di una classe anomala come tutto ciò che non è normale
• elettrocardiografia (ECG)
• identificare aritmie e artefatti
Problema applicativo: detezione anomalie in un tracciato ECG
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• definizione di una classe normale
• e di una classe anomala come tutto ciò che non è normale
• elettrocardiografia (ECG)
• identificare aritmie e artefatti
Problema applicativo: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Soluzione proposta:apprendimento modelloMper battiti normaliche rappresenta male le anomalieMbasato su teoria della rappresentazione sparsaFasi per anomaly detection:apprendimento del modellotest di un battitoerrore di ricostruzioneregola discriminante
tempo
…streaming…training set
• apprendimento modello ℳ per battiti normaliche rappresenta male le anomalie
• ℳ basato su teoria della rappresentazione sparsa
Strategia Adottata: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Apprendimentodel modello
ℳ
tempo
…streaming…training set
Fasi per identificare le anomalie:
• apprendimento del modello• test di un battito
errore di ricostruzioneregola discriminante
• apprendimento modello ℳ per battiti normaliche rappresenta male le anomalie
• ℳ basato su teoria della rappresentazione sparsa
Strategia Adottata: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
𝑠
ℳ err. ric
tempo
…streaming…training set
Fasi per identificare le anomalie:• apprendimento del modello• test di un battito
errore di ricostruzioneregola discriminante
• apprendimento modello ℳ per battiti normaliche rappresenta male le anomalie
• ℳ basato su teoria della rappresentazione sparsa
Strategia Adottata: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
Decisione
Normale
Anormalo
𝑠
ℳ err. ric
tempo
…streaming…training set
• apprendimento modello ℳ per battiti normaliche rappresenta male le anomalie
• ℳ basato su teoria della rappresentazione sparsa
Fasi per identificare le anomalie:• apprendimento del modello• test di un battito
errore di ricostruzione
regola discriminante
Strategia Adottata: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
Decisione
Normale
Anormalo
𝑠
tempo
…streaming…training set
err. ricℳ = D,p
Fasi per identificare le anomalie:• apprendimento del modello• test di un battito
errore di ricostruzioneregola discriminante
• apprendimento modello ℳ per battiti normaliche rappresenta male le anomalie
• ℳ basato su teoria della rappresentazione sparsa
Strategia Adottata: detezione anomalie in un tracciato ECG
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Strumento matematico: definizione di sparsità
Il segnale 𝐬 ∈ ℝ𝑀, intero p ∈ ℕ, matriceD ∈ ℝ𝑀×𝑁
Assumiamo che i segnali s siano generati da:𝐬 = D𝐱 con 𝐱 0 ≤ p
x : rappresentazione sparsa di s
dove:D : dizionario𝐱 0 := num. coeff. non nulli𝑝 : livello di sparsità, cioè è il num. max di atomi (colonne)
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Strumento matematico: problema di minimizzazione l0
argmin𝑥
║Dx−s║2 tale che ║x║0 ≤ p
Il sistema è sottodeterminato e a priori ha infinite soluzioni. Il problema è NP
La teoria della RS fornisce delle garanzie teoriche sul numero e sulle proprietà degli atomi del dizionario per poter invertire il sistema attraverso dei metodi di regolarizzazione.
x : rappresentazione sparsa di s
Dato il dizionario D e il livello di sparsità p, la rappresentazione sparsa x del segnale s puòessere ottenuta risolvendo il seguente problemadi minimizzazione
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Strumento matematico: modello del battito cardiaco
Dato il dizionario D e il livello di sparsità p, la rappresentazione sparsa x del battito s puòessere ottenuta risolvendo il seguente problemadi minimizzazione
dove:D : dizionario𝐱 0 := num. coeff. non nulli𝑝 : livello di sparsità, cioè è il num. max di atomi (colonne)
x : rappresentazione sparsa di s
argmin𝑥
║Dx−s║2 tale che ║x║0 ≤ p
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Apprendimentodel modello
Procedura Proposta: detezione anomalie in un tracciato ECG
Consideriamo training set S di battiti normali, livello di sparsità p e numero di atomi N.
Problema: argmin
D,XD ∙ X − S F tale che 𝒙𝒊 0 ≤ p
Possibile soluzione: algoritmo greedy - K-SVD
tempo
…streaming…training set
ℳ = D, p
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Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
𝑠
Procedura Proposta: detezione anomalie in un tracciato ECG
Fissati i parametri D e p del modello M(D; p),
Problema:err. ric = min
𝐱Dx − s 2 tale che 𝐱 0 ≤ p
Possibile soluzione: algoritmo greedy - OMP
tempo
…streaming…training set
err. ricℳ = D,p
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Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
𝑠
M = (D, p)
Procedura Proposta: detezione anomalie in un tracciato ECG
Problema: usare errore di ricostruzione per classificare
Possibile soluzione: • err ric: basso per battiti normali, alto per anomali• scegliere una soglia 𝛄• ammettere una percentuale di false anomalie
err. ricerr. ric
Apprendimentodel modello
Adattamento al modello
Decisione
Normale
Anormalo
𝑠
tempo
…streaming…training set
ℳ = D,p
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Validazione: collezione di tracciati
Il database PULSE contiene:• 20 tracciati ECG di utenti in buona salute • ogni tracciato è lungo da 40 minuti fino a 2 ore
Il database MIT-BIH Arrhythmia contiene: • 48 tracciati ECG, ciascuno di circa 30 minuti• ogni tracciato contiene alcune aritmie annotate
da cardiologi.
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Validazione: cifre di merito
• False Positive Rate (FPR): la percentuale di battiti normali identificati come anomali• True Positive Rate (TPR): la percentuale di battiti identificati correttamente come anomali• Receiving Operating Curve (ROC): ottenuto plottando il TPR vs. FPR al variare di 𝛾
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