pruty namáhané prostým tahem a tlakem staticky neurčitá...
TRANSCRIPT
Pruty namáhané
prostým tahem a tlakem
staticky neurčitá úloha
Staticky neurčité úlohy
Předpoklad: pružné chování materiálu
Staticky neurčité úlohy:
počet neznámých > počet podmínek rovnováhy
početneznámých =
podmínkyrovnováhy +
podmínkydeformační
Řešení:
Příklad 1
Fdl1=1,5m
l2=2,5m
Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v obou prutech o průřezech IPN140 a IPN180. Nosník je na obou stranách nepoddajně uložen a zatížen dle obrázku silou Fd=650kN (již návrhová hodnota).Posuďte oba pruty, je-li fyk=235MPa, γM=1Předpoklad: pružné chování materiálu
IPN180
IPN 140
Statické podmínky rovnováhy:
Deformační podmínka:
Průběh N sil a z něj vyjádření N1 a N2 z jedné strany:
Řešení deformační podmínky:
N1
N2
N
-
+
bRN ====1
∑ = 0ixF
FNFRN b −=−= 12
0====∆∆∆∆l 021 ====∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆ lll
0)(
02
21
1
11
2
22
1
11 =−
−≡=+=∆EA
lFN
EA
lN
EA
lN
EA
lNl
Rb
Ra
Příklad 1
Fd
l1=1,5m
l2=2,5m
Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v obou prutech o průřezech IPN140 a IPN180. Nosník je na obou stranách nepoddajně uložen a zatížen dle obrázku silou Fd=650kN (již návrhová hodnota).Posuďte oba pruty, je-li fyk=235MPa, γM=1.
Pro IPN profil z tabulek: A1=1830mm2, A2=2790mm2
IPN180
IPN 140N1
N2 -
+
Výsl.:
N1=339,47kN, N2=-310,53kN
σ1= 185,5MPa, σ2= -113,3MPa
Výsledná přetvoření
)325,1(1
111 mm
EA
lNl ==∆
)325,1(2
222 mm
EA
lNl −==∆
Posouzení průřezů prutů
1yd1Rd AfN = kN05,430=
2yd2Rd AfN = kN65,655=
Průřezy vyhoví
1EdN≥
2EdN≥
11 EdNN = 22 EdNN =
N
Daná tyč je zatížena dle obrázku. A1 = 3cm2, A2 = 10cm2 , E1 = E2, F1 = 20kN, F2 = 45kN. Vykreslete průběh N sil. Určete reakce ve vetknutí.Rozdělte tyč na úseky, kde se vyskytnou různá napětí a tyto hodnoty spočtěte. Počítejte se zadanými neredukovanými hodnotami sil F1 a F2.Předpoklad: pružné chování materiálu
1
2F2
F1
0,6m
0,8m
0,4m
x
Příklad 2
Statická podmínka rovnováhy
Deformační podmínka
Odhad průběhů N sil - 3 úseky, (zvolte směry reakcí), z jedné strany vyjádřete N síly
Řešení deformační podmínky
Výsl.:
N1=26,875kN
N2=-18,125kN
N3=1,875kN
Ra(dole)=26,875kN ↓
Rb(nahoře)=1,875kN ↑
σ1= 26,875MPa
σ2= -18,125MPa
σ3= 6,25MPa
a
b
N1
N2 -
+
+
N3
Rb
Ra
N
Vnitřní síly vykreslete
Příklad 3
2) Statická podmínka rovnováhy (pouze osová úloha):
∑ = 0Fix NRRRR baba ⇒=⇒=− 0
N
3) Deformační podmínka :
0=⋅∆+=∆⇒ lTEA
Nll Tα
EATN T ⋅∆α−=⇒
Ra Rb
∆T
1) Úloha 1x staticky neurčitá v osové úloze
0=∆l
Pozn. : úlohu lze vyřešit pouze z def. podmínky
4) Výpočet napětí v prutu:
Posouzení průřezu prutů :
AfN ydRd =
EdRd NN ≥ …průřez vyhoví
=317,3kN
Stanovte stupeň statické neurčitosti konstrukce. Spočítejte normálové napětí v oboustranně nepoddajném prutu o průřezu UPN100, jenž je rovnoměrně oteplen o ∆T=75°C. Napište název tohoto napětí a vykreslete jeho průběh po výšce průřezu. Prut posuďte, je-li: l=6m, E=2,1.105MPa, fyk=235MPa, γM=1Předpoklad: pružné chování materiálu.
[ ]151021 −−⋅=α C,
o
T
Příklad 4
kN15,255−=
MPa0,189A
Nx −==σ
N
Příklad 5
Měděný prut délky l = 1 m je vložen za pokojové teploty mezi tuhé opěry s mezerou 0,2 mm. Jaké normálové napětí vznikne v prutu po jeho oteplení o 50°C?
1) Deformační podmínka:m102,0 3−
⋅=∆l
αT = 17 · 10-6 °C-1, E = 1,1 · 105 MPa
3
T 102,0lTEA
Nl −⋅=⋅∆α+
0,2 mm
L =
100
0 m
m
2) Výsledek: Není dána plocha průřezu, vyjádřete z rovnice celý výraz N/A
MPa5,71x −=σ
Příklad 6
g = 120 kNm-1 l = 1
2 m
a = 3 m b = 4 m
7 m
a
b c
1 2
Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.
Předpoklad: pružné chování materiálu táhel a tuhé chování desky
Pozor: neposuzujete ani nenavrhujete
výsledky:
N1 = 152,1 kN, N2 = 354,8 kNσ1 = 83,1 MPa, σ2 = 193,9 MPa
Napětí v táhlech:
A
N,
A
N 22
11 =σ=σ
2) Stat. podm. rovn.:
∑ = 0izF
∑ = 0ixF
∑ = 0iaM
l = 1
2 m
a = 3 m b = 4 m
7 m
a
b
Rb Rc
Raz
Rax
1 2
1) Úloha je 1x staticky neurčitá
Příklad 6
Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.
g = 120 kNm-1
Statická podmínka rovnováhy: ∑ = 0Mia
�� ��=
12
m
a b
a
b c
1 2
1l∆
2l∆
3) Deformační podmínka a výpočet N sil:
ba
l
a
l 21
+
∆=
∆
(2 neznámé N1 a N2, stačí přidat jednu rovnici ze stat.podmínek rovnováhy, která obsahuje pouze neznámé N1 a N2)
N1 N2
Příklad 6
7
1
3
1 21
EA
lN
EA
lN=⇒
Stanovte stupeň statické neurčitosti a určete napětí v táhlech, oba mají průřez IPN 140.
05,37q7N3N 21 =⋅⋅−⋅+⋅⇒
g = 120 kNm-1
Rb Rc
výsledky:
N1 = 152,1 kN, N2 = 354,8 kNσ1 = 83,1 MPa, σ2 = 193,9 MPa
4) Napětí v táhlech:
A
N,
A
N 22
11 =σ=σ
0,5 1,0 0,5 1,0 m
q = 10kN/ma α
Určete osové síly v prutech. A1 = A2, E1 = E2
α =30°
Příklad 7
N1.0,5 + N2sinα.1,5 - q.1,0.2,5 = 0
Statická podmínka rovnováhy :
Deformační podmínka:
R1.0,5 + R2sinα.1,5 - q.1,0.2,5 = 0
5,1
sin.l
5,0
l 21 α∆=
∆
2
1
l
lsin =αNápověda:
Výsl.:
N1=9,09kN … svisné táhlo
N2=27,27kN… šikmé táhlo
12
R1R2
∑ = 0iaM
α =30°
Příklad 8
Ocelobetonový sloup je tvořen trubkou vyplněnou betonem. Určete normálová napětí v oceli i v betonu a posuďte únosnost trubky. Její vnější průměr je 80 mm, vnitřní 70 mm.
Fe360 / S235Eo = 210·103 MPaEb = 80 GPa
L =
0,5
m
F= 112 kN
Statické podmínky rovnováhy:
Deformační podmínka:
Průběh N sil:
Řešení deformační podmínky:
N
- -
NONb
Úloha 1x VNITŘNĚ staticky neučitá: N = No
+ NB
Příklad 8
Ocelobetonový sloup je tvořen trubkou vyplněnou betonem. Určete normálová napětí v oceli i v betonu a posuďte únosnost trubky. Její vnější průměr je 80 mm, vnitřní 70 mm.
Fe360 / S235Eo = 210·103 MPaEb = 80 GPa
L =
0,5
m
F= 112 kN
Výsledky: No = -50kN, Nb = -62kNσo= -42,4MPa, σb = -16,15MPa
Statické podmínky rovnováhy:
Deformační podmínka:
Průběh N sil:
Řešení deformační podmínky:
N
- -
NONb
Úloha 1x VNITŘNĚ staticky neučitá: N = No
+ NB
⇒∆=∆ betonuoceli llbB
B
oo
o
AE
lN
AE
lN=
∑ = 0ixF F - R = 0 R = F = -N = - No
- NB
No
=-F- NB