Pružnost a plasticita II

CD03

Luděk Brdečko _________________________________________________________

VUT v Brně, Fakulta stavební,

Ústav stavební mechaniky

tel: 541147368

email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz

http://www.fce.vutbr.cz/STM/brdecko.l/html/distcz.htm

Obsah předmětu

• 1. přednáška

spolehlivost konstrukcí

výpočtové modely

základní veličiny pružnosti

základní vztahy pružnosti

nelineární pružnost

• 2. přednáška

těleso (základní veličiny a vztahy)

prut (základní veličiny a vztahy)

• 3. přednáška

Rovinný problém - stěny (základní veličiny a vztahy)

desky (základní veličiny a vztahy)

skořepiny

• 4. přednáška

metody řešení – přesné, přibližné

variační metody – Ritzova metoda, Metoda konečných prvků

Rovinný problém

0

z

v

z

u

• 2D model konstrukce

• 2 rozměry výrazně větší než třetí

• střednicová plocha je rovinná

zatížení a okrajové podmínky působí

ve střednicové rovině

Předpoklady odvození:

deformace a napětí ve střednicové rovině xy se ve směru z kolmém na tuto rovinu

nemění

všechny veličiny jsou funkcí xy

0

z

v

z

u

0

y

w

x

ww

Rovinný problém

• Důsledky předpokladů

0

z

v

0

y

w

0

x

w

0

z

u

0

x

w

z

uzx

0

z

v

y

wyz 0 yzyz G

0 zxzx G

Rovinný problém

• napětí ve stěně

Rovinný problém

• dvě varianty fyzikálních vztahů

1. rovinná napjatost

- deformace v příčném směru není omezena

- napětí vzniká pouze v rovině střednice

- typickým příkladem je běžná stěna

2. rovinná deformace

- je zamezen posun bodů ve směru kolmém na střednici

- deformace vzniká pouze v rovině střednice

- použije se pro výseky dlouhých prizmatických konstrukcí jako jsou opěrné zdi,

tunely apod.

- pokud jsou okrajové podmínky konstantní ve směru z lze tímto způsobem

redukovat 3D na 2D

Rovinný problém

• dvě varianty fyzikálních vztahů

• rovinná napjatost

• rovinná deformace

Rovinný problém

• dvě varianty fyzikálních vztahů

• rovinná napjatost

• rovinná deformace

Rovinný problém

• Rovinná napjatost

• pouze složky napětí ležící v rovině xy jsou nenulové

• není bráněno deformaci v příčném směru nevzniká žádné napětí

• vektor napětí má tedy tvar

• dosazením vektoru napětí do fyzikálních vztahů

Txyyx 0,0,,0,,

C

0z

• se obdrží vektor deformace

• deformace v příčném směru z je způsobena vlivem Poissonova součinitele a

vzniká působením normálových napětím ve střednicové rovině

• deformaci z je možno vyjádřit dodatečně, ale při výpočtu se s ní nepracuje

Rovinný problém

0

0

0

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

1

xy

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

Txyzyx 0,0,,,,

0)( yxzE

Rovinný problém

• zbylé tři rovnice lze zapsat pomocí matice poddajnosti

• matice tuhosti se získá inverzí [D]=[C]-1

)1(2

100

01

01

1 2

ED

)1(200

01

011

EC

Txyyx ,,

Txyyx ,,

C

D

Rovinný problém

• Rovinná deformace

• pouze složky deformace ležící v rovině xy jsou nenulové

• posun bodů ve směru osy z je nulový nevzniká žádná deformace v tomto směru

• vektor deformace má tedy tvar

• dosazením vektoru deformace

do fyzikálních vztahů

0

z

wz

Txyyx 0,0,,0,,

D

• se obdrží vektor napětí

• napětí v příčném směru je způsobeno vlivem Poissonova součinitele

• napětí z je možno vyjádřit dodatečně, ale při výpočtu se s ním nepracuje

Rovinný problém

Txyzyx 0,0,,,,

0)()21)(1(

yxz

E

0

0

0

)21(2

100000

0)21(2

10000

00)21(2

1000

0001

0001

0001

)21)(1( xy

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

Rovinný problém

• zbylé tři rovnice lze zapsat pomocí matice tuhosti

• matice poddajnosti se získá inverzí [D]=[C]-1

Txyyx ,,

Txyyx ,,

C

D

1

200

011

01

1

1 2

EC

)21(2

100

01

01

)21)(1(

ED

Rovinný problém

• geometrické vztahy

• získají se redukcí prostorových vztahů pro rovinu xy

• maticový zápis

u - T

y

u

x

vxy

x

ux

y

vy

xy

yx

//0

/0/

Tyx uuu , Txyyx ,,

Rovinný problém

• diferenciální podmínky rovnováhy

• získají se redukcí prostorových vztahů do roviny xy

• maticový zápis

kde X = { X, Y}T

je vektor objemových sil

0

X

yx

yxx

0

Y

yx

yxy

0 X

xy

yx

//0

/0/

Txyyx ,,

Rovinný problém

• vnitřní síly ve stěně

• předpoklad konstantního rozložení napětí a deformace po tloušťce stěny

• vnitřní síly jsou definovány na jednotku délky řezu

• jednotkou je kN/m

• t ... je tloušťka desky

tn xx

tn yy

tn xyxy

Rovinný problém

• Rekapitulace veličin

• vektor napětí

• vektor deformace

• vektor přemístění

• Rekapitulace vztahů

• diferenciální podmínky rovnováhy (2)

• fyzikální vztahy (3)

nebo

• geometrické vztahy (3)

Txyyx ,,

Txyyx ,,

C D

u - T

Tyx uuu ,

0 X

Desky

• Definice

• 2D model konstrukce

• 2 rozměry výrazně větší než třetí

• střednicová plocha je rovinná

• zatížení a okrajové podmínky působí kolmo ke střednicové rovině

Desky

• Předpoklady odvození

• Kirchhofova (tenká) deska – technická teorie desek

• body střednicové roviny se v této rovině neposunují

• normálové napětí a deformace ve směru normály ke střednicové rovině se zanedbají

• body na normále ke střednici zůstávají po deformaci v přímce, která je kolmá k

ohybové ploše

• Mindlinova (tlustá) deska

• body střednicové roviny se v této rovině neposunují

• normálové napětí a deformace ve směru normály ke střednicové rovině se zanedbají

• body na normále ke střednici zůstávají po deformaci v přímce, která není kolmá k

ohybové ploše

• Rozdíl pojetí

• u tlusté desky se uvažuje vliv smyku na průhyb desky, deformace od smykového

působení způsobí změnu úhlu mezi ohybovou plochou a původní normálou ke

střednicové ploše.

Desky

• napětí v desce

Desky

• vnitřní síly v desce

Desky

• podmínky rovnováhy

• silová SFz,i=0

• momentové

SMy,i=0

SMx,i=0

0

p

y

v

x

v yx

0

x

xyyv

y

m

x

m

0

x

xyx vy

m

x

m

Desky

• geometrické vztahy - ohyb

zzxx

zuz mx

y

x

)()(

x

y

mx

zzyy

zvz my

xy

)()(

y

xmy

zzxyx

v

y

ux mxy

xy

xy

)(

xy

xy

mxy

Desky

• geometrické vztahy – vliv smyku

vxydx

dw

yvxdx

dw

xvydy

dw

vyxdy

dw

Desky

• Fyzikální podmínky - ohyb

• každá vrstva ve stavu rovinné napjatosti:

kde je tzv. desková tuhost

dzzE

dzzm

h

h

xy

h

h

yy

2

2

2

2

21

mxmyy Dm

dzzE

dzzm

h

h

xy

h

h

xyxy

2

2

2

2

2 2

)1(

1

mxyxy Dm

2

)1(

mymxx Dm

yxx

E

21

xyy

E

21

xyxy

E

)1(

1 2

)1(12 2

3

EhD

dzzE

dzzm

h

h

yx

h

h

xx

2

2

2

2

21

Desky

• fyzikální podmínky - smyk

• platí obdobné vztahy jako pro prut

• průřez je obdélník -> redukovaná smyková plocha:

• vztahy jsou odvozeny na základě energetických podmínek

2.1

AA

2

2

h

h

zxx dzv

2

2

h

h

yzy dzv

vxx

Ghv

2.1

vyy

Ghv

2.1

VV

AGGAV

2,1

Desky

• Mindlinova deska (s vlivem smyku) versus Kirchhofova deska

• u Kirchhofovy desky zanedbáváme vliv smyku na průhyb a uvažujeme

• normála ke střednici, zůstává po deformaci normálou k ohybové ploše

• fyzikální podmínky pro měrné posouvající síly a zkosení ztrácí význam

• dosazením za a vyloučením se získají nové geom. pod.

x

y

mx

2

2

x

wmx

2

2

y

wmy

y

xmy

yx

w

xy

w

xy

xy

mxy

22

xy

wmxy

2

2

yvxdx

dw

dx

dwy

xvydy

dw

dy

dwx

Gh 0 vyvx

v

vxx

Ghv

2.1 vyy

Ghv

2.1

Desky

• rekapitulace veličin / vztahů - Mindlinova – tlustá deska (s vlivem smyku)

• měrné vnitřní síly

• deformace průřezu

• přemístění

podmínky statické podmínky geometrické podmínky fyzikální

yxw ,,

0

p

y

v

x

v yx

0

x

xyyv

y

m

x

m

0

x

xyx vy

m

x

m

x

y

mx

y

xmy

xy

xy

mxy

yvxdx

dw

xvydy

dw

mxmyy Dm

mxyxy Dm

2

)1(

mymxx Dm

vxx

Ghv

2.1

vyy

Ghv

2.1

yxxyyx vvmmm ,,,,

vyvxmxymymx ,,,,

Desky

• rekapitulace veličin / vztahů - Kirchhofova – tenká deska (bez vlivu smyku)

• měrné vnitřní síly

• deformace průřezu

• přemístění

podmínky statické podmínky geometrické podmínky fyzikální

yxxyyx vvmmm ,,,,

w

0

p

y

v

x

v yx

0

x

xyyv

y

m

x

m

0

x

xyx vy

m

x

m

mxmyy Dm

mxyxy Dm

2

)1(

mymxx Dm

2

2

x

wmx

2

2

y

wmy

xy

wmxy

2

2

mxymymx ,,

Desky

• Tenká deska – vnitřní síly vyjádřené pomocí průhybů

2

2

2

2

y

w

x

wDmx

2

2

2

2

x

w

y

wDmy

yx

wDmxy

2

1

mxmyy Dm

mxyxy Dm

2

)1(

mymxx Dm

2

2

x

wmx

2

2

y

wmy

xy

wmxy

2

2

Desky

• Desková rovnice

2

2

2

2

y

w

x

wDmx

2

2

2

2

x

w

y

wDmy

yx

wDmxy

2

1

0

p

y

v

x

v yx

0

x

xyyv

y

m

x

m

0

x

xyx vy

m

x

m

D

p

y

w

yx

w

x

w

4

4

22

4

4

4

2

Desky

02

yx

w

• Okrajové podmínky - vetknutí

0w

0y

012

yx

wDmxy

0xym

0

y

wx

0

x

wy

0w

0y

Desky

2

2

2

2

y

w

x

wDmx

• Okrajové podmínky – prosté podepření

zbývá vyřešit kroutící momenty (převedou se do posouvajících sil na hraně)

0w

0xm

0w 02

2

y

wx

02

2

x

w

0xym

Desky

• Okrajové podmínky – prosté podepření

• Kroutící moment na délce Dy

• nahrazený dvojicí sil

• rozdíl sousedních sil

• pomocí Taylorova rozvoje

• přírůstek síly vyjádřený na jednotku délky

• se přidá k posouvajícím silám na hraně

(doplněná posouvající síla)

y

mvv

xy

xx

ymM xyD

xymy

MF

D

ixyixyii mmFFF ,1,1 D

yy

mymy

y

mymymyymmmF

xy

xy

xy

xyxyxyixyixy D

D

DD )()()()(,1,

y

m

y

Fv

xy

x

D

DD

Desky

• Okrajové podmínky – volný okraj

0xm

0xm

0xv

0xym

0xv

0xym

02

2

2

2

y

w

x

wDmx

y

mvv

xy

xx

Desky

• rohové síly

• dvojice sil od kroutících momentů se v rozích nevyruší, ale sečtou, vznikne rohová

síla

• pokud nejsou rohy desky uchyceny, zvedají se, zvýší se momenty v poli a průhyby

• pokud jsou uchyceny vznikají v rozích kroutící momenty

xymA 2

Deskostěna

• 2 rozměry výrazně větší než třetí

• střednicová plocha je rovinná

• zatížení a okrajové podmínky působí obecně

• měrné vnitřní síly – definované na jednotku délky řezu

• membránové

• - od konstantního průběhu napětí po tloušťce (obdoba stěnového chování)

• ohybové

• - od lineární ho průběhu napětí po tloušťce a příčného smyku (obdoba deskového

chování)

yxxyyx vvmmm ,,,,

xyyx nnn ,,

• vnitřní síly

Deskostěna

Skořepiny

• 2 rozměry výrazně větší než třetí

• střednicová plocha není rovinná

• zatížení a okrajové podmínky působí obecně

• Technická teorie tenkých skořepin: (tloušťka, rozměry)

(poloměry křivosti)

• měrné vnitřní síly – definované na jednotku délky řezu

• membránové

𝑛𝑥 , 𝑛𝑦, 𝑛𝑥𝑦, 𝑛𝑦𝑥

• - od konstantního průběhu napětí po tloušťce (obdoba stěnového chování)

• ohybové

𝑚𝑥 , 𝑚𝑦, 𝑚𝑥𝑦, 𝑚𝑦𝑥 , 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦

• - od lineární ho průběhu napětí po tloušťce a příčného smyku (obdoba deskového

chování)

• Oblý tvar u dobře navržené skořepiny zajišťuje výrazně membránové působení –

efektivní využití materiálu – štíhlé konstrukce

yx LLh ,

yx rrh ,

Skořepiny

• vnitřní síly