prueba de significancia

7/18/2019 Prueba de Significancia

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6. Inferencia estadística: Pruebas de significancia

• Objetivo: Usar métodos estadísticos para verificar

hipótesis tales como

– “Salud mental tiende a ser mejor para niveles más

altos de status socioeconómico (SES)” (un efecto)

– “Para tratar anorexia, terapias de comportamiento

cognitivo y familiar tienen el mismo efecto” (no

efecto)

1



• Hipótesis: Predicciones sobre la población expresadas

en términos de parámetros para ciertas variables.

• Una prueba de significancia usa datos para resumir

evidencia sobre una hipótesis comparando

estimaciones muestrales de parámetros con valores

predichos por las hipótesis.

• Respondemos a preguntas como, “Si la hipótesis fuera

verdad, sería improbable obtener estimaciones comolas que obtuvimos?”

2



Cinco partes de una prueba de significancia

1. Supuestos

– sobre los tipos de datos (cuantitativos, categóricos),

– métodos de muestreo (aleatorio), – distribución de la población (binaria, normal),

– tamaño de muestra (grande?)

2. Hipótesis

– Hipótesis nula (H0): Afirmación que parámetro(s) toma(n) valor(es) determinado(s) (Generalmente: “no efecto”)

– Hipótesis alternativa (Ha): establece que valores del parámetro caen en algún rango alternativo de valores (un

“efecto”)

3p.1 ejemplos?



5. Conclusión (continuación)

– El nivel mínimo más comúnmente aceptado es

0.05, y se dice que la prueba es significativa a un nivel de 0.05 si el valor‐p ≤0.05.

– Si el valor‐p no es lo suficientemente pequeño, no

rechazamos H0 (entonces, H0 es no necesariamente verdardera, pero sí plausible)

– Proceso es análago al sistema judicial Americano

• H0: Acusado es inocente

• Ha: Acusado es culpable

5



Prueba de significancia para la media

1. Supuestos: Aleatorización, variable cuantitativa,

distribución de la población normal

2. Hipótesis nula: H0: µ = µ0 donde µ0 es un valor

determinado para la media poblacional (típicamente

“no efecto” o “sin cambios” del estándar)

Hipótesis alternativa: Ha: µ µ0 (alternativa de dos‐

lados incluye ambos > y < valores de la nula)

3. Estadística de prueba: El número de errores estándar

que la media muestral cae del valor de H0

6

0 where / y

t se s nse



— Cuando H0 es verdadera, la dist. muestral de la estadística

de prueba‐t tiene una distribución t con df = n ‐ 1.

4. Valor ‐ p:

Bajo el supuesto que H0 es verdadera, la

probabilidad que la prueba estadística sea igual al valor

observado o incluso un valor más extremo (es decir, más

grande en valor absoluto), provee más fuerza en la

evidencia contra H0

– Esta es una probabilidad de dos‐colas, para una Ha de

dos‐lados

5. Conclusión: Reportar e interpretar valor‐p. Si es

necesario, tomar una decisión sobre H0.

7



Ejemplo: Estudio de anorexia (anteriormente visto)

• Peso medido antes y después del periodo de

tratamiento

y = peso al final – peso al inicio

• En capítulos anteriores, encontramos IC para la media

poblacional de y con base en n=17 niñas recibiendo

“terapia familiar”, con los datos

y

=

11.4,

11.0,

5.5,

9.4,

13.6, ‐

2.9, ‐

0.1,

7.4,

21.5, ‐

5.3,

‐3.8, 13.4, 13.1, 9.0, 3.9, 5.7, 10.7

8



Hay evidencia de que la terapia familiar tenga un efecto?

• Sea µ = media del cambio en peso poblacional

• Probar H0: µ = 0 (no efecto) contra Ha: µ 0.

• Datos tienen

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Variable N Mean Std.Dev. Std. Error Mean

weight_change 17 7.265 7.157 1.736

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Recordar que el error estándar (se) se obtiene con

9

/ 7.157 / 17 1.736se s n



• Prueba estadística (df = 16):

• Valor‐p: P = 2P(t > 4.2) = 0.0007

– Nota que tabla t (Tabla B, p. 593) nos dice que P(t > 3.686) =

0.001, entonces la prueba estadística t = 3.686 (ó ‐3.686)

tendría valor‐p = 0.002

– Interpretación: Si H0 fuera verdadera, habría una probabilidad= 0.0007 de obtener una media muestral de al menos 4.2

errores estándar del valor 0 de la nula.

• Conclusión:

Evidencia muy fuerte que la

media

población diferede 0. (Específicamente, parece que µ > 0, como fue sugerido

por el IC del 95% CI (3.6, 10.9) que econtramos en las notas del

Cap. 5)

10

0 7.265 0 4.21.736

yt se



Resultados de SPSS

One‐Sample Statistics

N Mean Std. Deviation Std. Error Mean

weight_change 17 7.265 7.1574 1.7359

One‐Sample Test

Test Value = 0

t df Sig. (2‐tailed) Mean 95% Confidence

diff. Interval of the Difference

Lower Upperweight_change 4.185 16 .001 7.2647 3.58 10.945

11



Equivalencia entre los resultados de

la

prueba de

significancia y

el

intervalo de

confianza• Cuando el valor‐p ≤ 0.05 en una prueba de dos‐lados,

un intervalo de confianza del 95% para µ no contiene el

valor de H0 de µ (tal como 0)

• Cuando valor‐p > 0.05 en una prueba de dos‐lados, un

intervalo de confianza del 95% necesariamente

contiene el valor de H0 de µ

(Esto es cierto para pruebas de dos‐lados)

• Un intervalo de confianza tiene más información acerca

del valore real de µ

12



Ejemplo

• Asume media muestral = 7.265, s = 7.16,

basado en n = 4 (en lugar de n = 17)

• Entonces,

con df = 3, tiene valor‐p dos‐lados = 0.14.• Evidencia no muy fuerte contral la hipótesis nula.

Es plausible que µ = 0.

• Margen de error = 3.182(3.58) = 11.4, y un intervalo de

confianza del 95% es (‐4.1, 18.7), el que contiene 0 (de

acuerdo con los resultados de la prueba)

13

/ 7.16 / 4 3.58

and (7.265 0) / 3.58 2.0

se s n

t



Prueba de un‐lado para la media

• Ejemplo: Si el estudio predice que la terapia familiar

tiene un efecto positivo, podemos usar Ha: µ > 0

• Datos apoyan esta hipótesis si t está lejos de la cola

derecha, entonces valor‐p = probabilidad cola‐derecha.

valor ‐

p:

P

=

P(t

>

2.0) =

0.07

(para el

caso n

=

4)

• Para Ha: µ < 0, valor‐p = probabilidad cola‐izquiera

valor ‐ p: P = P(t < 2.0) = 0.93

• En la práctica, pruebas de dos‐colas son más comunes

14



Tomando una decisión

• El nivel‐ es un número fijo, también llamado nivel de

significancia, como

– Si valor‐p ≤, “se rechaza H0” – Si valor‐p > , “no se rechaza H0”

– Nota: Decimos “No se rechaza H0” en lugar de

“Aceptar H0” porque el valor de H0 uno de todos los

valores plausibles.

•

Ejemplo (n

=

4,

dos‐

colas):

Asume =

0.05.

Ya que el

valor‐p = 0.14, no se rechaza H0 . Pero 0 es sólo un

valor en el rangos de valores posibles en el intervalo de

confianza del 95% (‐4.1, 18.7).15



Efecto del tamaño de muestra en las pruebas

• Con n grande (digamos, n > 30) , no es importante el supuesto de

distribución normal de la población por el Teorema Central del Límite.

• Para n pequeña , las pruebas‐t de dos‐lados son robustas contra violaciones de este supuesto. Pruebas de un‐lado no son

robustas.

• Para una media y desviación estándar muestrales observados, a

mayor tamaño de muesta n, más grande la prueba estadística(porque el error estándar en el denominador es más pequeño) y más pequeño el valor‐p. (es decir, con más datos tenemos másevidencia)

• Estamos más propensos a rechazar una H0 falsa cuando tenemosun tamaño de muestra más grande (entonces a prueba tienemás “poder”)

• Con un tamaño de muestra grande n, “significancia estadítica”

no

es igual a

“significancia práctica.” 16



Ejemplo

• Asume el estudio de anorexia tiene un cambio de peso

con

• Prueba

IC del 95% es 1.0 ± 1.96(0.1), ó (0.8, 1.2).

• Esto muestra que el efecto es positivo, pero que es muy

pequeño para términos prácticos.

17

1.0, 2.0, for 400Then 2.0 / 400 0.1,

(1.0 0) / 0.1 10.0,

value = 0.000000.......

y s nse

t

P



Prueba de significancia para una proporción

• Supuestos:

– Variable categórica

– Aleatorización – Muesta grande (pero dos‐lados ok para casi toda n)

• Hipótesis: – Hipótesis nula: H0: 0 – Hipótesis alternativa : Ha: 0

(dos‐lados)

– Ha: 0 Ha: 0 (un‐lado) – Establecer las hipótesis antes de obtener los datos

18



• Prueba estadística:

Nota

Como en la prueba para la media, la prueba estadística tiene la

forma

(estimación del parámetro – valor H0)/(error estándar)

= núm. de errores estándar del estimador del valor de H0

• Valor‐p:

Ha: 0 valor‐p = prob. 2‐colas de la dist. normal estándar

Ha: 0 valor‐p = prob. cola‐derecha de la dist. normal est.

Ha: 0 valor‐p = prob. cola‐izquierda de la dist. normal est.

• Conclusión: Como en la prueba para la media (p.ej., rechazar H0si valor‐p ≤)

19

0 0

0 0ˆ

ˆ ˆ

(1 ) / z n

ˆ 0 0 0ˆ ˆ(1 ) / , not (1 ) / as in a CIse n se n



Ejemplo: Pueden los perros oler cáncer?

(British

Medical

Journal ,

Sept.

25,

2004)• En cada ensayo, una muestra de orina del cáncer de

vejiga colocada entre seis muestras de control de la orina

• Los perros hacen una selección correcta, mejor que si adivinaran al azar?

• En 54 ensayos, los perros hace una selección correcta22 veces.

Sea = probabilidad de acierto, para un determinado

ensayoH0: = 1/7 (= 0.143, no efecto), Ha: > 1/7

Proporción muestral = 22/54 = 0.407

20



Error estándar

• Prueba estadística

z = (muesta – nula)/se0

= [0.407 – (1/7)]/0.0476 = 5.6

• Valor‐p = prob. cola derecha de la normal estándar

= 0.00000001

• Esta es evidencia extremadamente fuerte que la selección de los perros es mejor que adivinaraleatoriamente (para la población conceptual querepresenta esta muestra

• Para un punto de corte estándar de 0.05, rechazamosH0

y concluimos que > 1/7.

21

0 0 0(1 ) / (1/ 7)(6 / 7) / 54 0.0476se n



• Advertencia: como en la mayoría de los estudios médicos,

los sujetos fueron una muestra de conveniencia. No es realista buscar una muestra aleatoria de pacientes de

cáncer de vejiga o de perros para el experimento.

• A pesar de que las muestras no son aleatorias, es importante emplear la aleatorización en el experimento, en

la colocación de la muestra de orina de pacientes de cáncer

de

vejiga

entre

las

6

muestras

de

control.

22



Decisiones en pruebas

• Nivel- (nivel de significancia): Pre‐especificado punto

de corte para rechazar H0 si el valor‐p es menor a este

valor (típicamente 0.05 ó 0.01)

• Región de rechazo: Valores de la estadística de prueba

para los que rechazamos la hipótesis nula

• Para pruebas de dos‐lados con = 0.05, rechazamos H0

si |z| 1.96

23

P -Va lue H 0 Co nc lusion H a Conc lus ion

.0 5 R e jec t A ccep t

> .0 5 D o no t R e jec t D o no t A ccep t



Tipos de errores

• Error Tipo I: Rechazar H0 cuando es verdadera

• Error Tipo II: No rechazar H0 cuando es falsa

24

Resultado

de la prueba

Estadoverdadero

Rechazar H0 No rechazar H0

H0 Verdadera Error Tipo I Correcto

H0 Falsa Correcto Error Tipo II



P(Error Tipo I)

• Asume nivel‐ = 0.05. P(Error Tipo I) = P(rechazar nula, dado que es verdadera) = P(|z| > 1.96) = 0.05

– Es decir, nivel‐ es la P(Error Tipo I).

• Dado que le “damos es beneficio de la duda a la nula” al hacer esta prueba, por lo general se escoge pequeña, usualmente 0.05, se considera 0.01 es muy cauteloso para

no rechazar la nula cuando sea cierta.

• Como en los ICs, no usamos demasiado pequeña, ya quea medida que disminuye, = P(Type II error) aumenta

(Piensa en

la

analogía a

un

juicio)• Es mejor reportar el valor‐p que simplemente decir que

rechazamos H0

(Son valor‐p = 0.049 y 0.051 muy diferentes?) (Ve ej. 6.24)25



P(Error Tipo II)

• P(Error tipo II) = depende del verdadero valor del

parámetro (del rango de valores en Ha ).

• Entre más lejos el valor verdadero del parámetro del

valor de la nula, más fácil es rechazar la nula, y P(Error

tipo II) disminuye. (ver gráfica de dist. nula y alternativa)

• Poder de la prueba= 1 ‐ = P(rechazar nula, dado que

es falsa)

• En la práctica, queremos una n lo suficientementegrande tal que P(Error tipo II) es pequeña para el

tamaño del efecto que esperamos.

26



Ejemplo: Probando nuevo tratamiento para anorexia

• Para un nuevo tratamiento , esperamos el cambio en peso =

alrededor a 10 libras, con desv. est. de alrededor a 10. Si

nuestro estudio tendrá n = 20, cuál es P(Error tipo II) si

planeamos probar H0: µ = 0 contra Ha: µ > 0, usando =

0.05?

• No rechazamos H0

: µ = 0 si obtenemos valor‐p > 0.05

• Obtenemos valor‐p = 0.05 si la prueba estadística t = 1.729

(es decir, con df = 19, 0.05 es la prob. de la cola‐derecha

arriba de

1.729,

entonces la

“región de

rechazo”

incluyevalores de t > 1.729)

• Con n = 20, esperamos un error estándar de

2710 / 20 2.24se



• Obtenemos t = 1.729 si la media muestral es

1.729(2.24) = 3.87. Es decir, t = (3.87 – 0)/2.24 = 1.729.

• Así, obtenemos t < 1.729 y valor‐p > 0.05 (y cometemosun error Tipo II) si la media muestral < 3.87.

• Pero, si en realidad µ = 10, una media muestral de 3.87

está (3.87 – 10)/2.24 = ‐2.74 errores estándar de µ

(es decir,

2.74

errores estándar abajo de

µ

=

10)• Cuando df = 19, la probabilidad de caer al menos 2.74

errores estándar abajo de la media es de 0.007. Así,

existen muy poca posibilidad de

un

error

tipo II.• Pero, si µ es en realidad sólo 5? (ejercicio; > 0.007 or <

0.007?)

28



Limitaciones de pruebas de significancia

• Significancia estadística no implica significancia

práctica (Recuerda ejemplo en p. 17 de estas notas)

• Pruebas de significancia no nos dan información sobreel tamaño del efecto (como lo hace el IC)

•

Algunas pruebas puede resultar ser

“estadísticamentesignificativas” sólo por casualidad

(y algunas revistas sólo reporta resultados

“significativos”!)

29



Ejemplo: Son muchos de los “descubrimientos” médicos, en

realidad errores Tipo I?

• Realidad: La mayoría de estudios médicos son “no‐

significativos,” no se encuentra un efecto.

• En investigación médica, cuando un efecto existe pero no esfuerte, puede no ser detectado con los tamaños de muestraprácticos para el estudio.

• (Un artículo de British Medical Journal en 2001 estimató

que cuando un efecto realmente existe, P(Error tipo I) = 0.50!)

• En estudios médicos, asume que un efecto realmente existe8% de las veces. Podría un porcentaje substancial de

“descubrimientos” médicos (es decir, resultadossignificativos) en realidad ser errores tipo I?

30



Solución simple

• Dibuja un diagrama de árbol para morstrar que esperaríaramosque pasara con muchos estudios (digamos, 1000)

Verdadero Decisión

efecto?

Rechazar nula?

Sí (40)Sí (80) ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|

No (40)1000 estudios‐‐‐|

Sí (46 = .05 x 920)No (920) ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐|

No (874)

De los estudios con hipótesis nula rechazada, la tasa de error Tipo I = 46/(46+40) = 0.53

31



• Moraleja: Sé escéptico cuando oirgas reportes de

nuevos avances médicos.

• Puede no ser un efecto real

(es decir, todo el estudio puede ser de tipo I!)

• Si un efecto real existe, podemos estar viendo el resultado en la cola‐derecha de la distribución muestral

de los posibles efectos de la muestra, y el efecto real

puede ser

mucho

más débil que el

reportado.(dibujo de lo que quiero decir con esto)

32



Caso real: Un estudio en 1993 estimó que las inyecciones

de magnesio podrían duplicar la posibilidad de

sobrevivir un

ataque al

corazón.Un estudio más grande de 58,000 pacientes de ataque

cardiaco no encontró ningún efecto en absoluto.

33



Imagen de Agresti and Franklin, Statistics: The Art and Science of

Learning from Data (p. 468)

34



La distribución binomial

Si

• Cada observación es binaria (una de dos categorías)

• Probabilidades para cada observ.: para categoría 1

1 ‐ para categoría 2

• Las observaciones son independientes, entonces para n

observaciones, el número x en la categoría 1 tiene

• Esta puede ser usada para llevar a cabo pruebas sobre

cuando n es demasiado pequeña para contar con métodospara muestras grandes (p.ej., cuando se espera que el número de observaciones en cada categoría < alrededor de

10)35

!( ) (1 ) , 0,1,...,!( )!

x n xnP x x n

x n x



Ejemplo: Ejercicio 6.33 (Percepción extrasensorial)

• Persona dice ser capaz de adivinar con frecuencia el resultado

de cara o cruz en la otra habitación correctamente

• = probabilidad de adivinar correctamence (en cualquierlanzamiento)

• H0: = 0.50 (adivinando al azar)

• Ha: 0.50 (mejor que adivinar al azar)

• Experimento: n = 5 lanzamientos, x = 4 correctos. Encuentre

el valor‐p, e interprételo. (No se puede asumir que esta

propoción muestral tiene una dist. normal. Los conteosesperados son 5(0.50) = 2.5 correctos, 2.5 incorrectos, que

son menos de 10; se necesita n ≥20 para usar TCL)

36



La distribución binomial para n = 5, = 0.50

37

2 3 5! 5!(2) (1 ) (0.50) (0.50) 10(0.50) 10 / 32

!( )! 2!3!

x n xnP

x n x

3 25!(3) 0.5 (1 0.5) 10 / 32

3!2!P

4 15!

(4) 0.5 (1 0.5) 5 / 324!1!P

5 05!(5) 0.5 (1 0.5) 1/ 32

5!0!P

1 4 5! 5!(1) (1 ) (0.50) (0.50) 5(0.50) 5 / 32!( )! 1!4!

x n xnP x n x

0 5 5! 5!(0) (1 ) (0.50) (0.50) (0.50) 1/ 32

!( )! 0!5!

x n xnP

x n x



• Para Ha : 0.50,

valor ‐ p es la probabilidad del resultado observado o

uno incluso más extremo en la cola‐derecha

= P(4) + P(5) = 6/32 = 0.19

No hay mucha evidencia que apoye esta afirmación

Necesitaríamos observar x = 5 en n = 5 ensayos pararechazar la nula a un nivel de 0.05

(Entonces, valor‐p = 1/32 < 0.05)

38



Notas sobre la distribución binomial

• La binomial es la distribución de probabilidad más

importante para datos categóricos

• Se puede usar la binomial para encontrar prob. paraejemplos en el Cap. 4 donde construimos dist.

muestrales para el número (o proporción) que apoyan

al nuevo plan de sistema de salud con n = 4 personas

• Dist. binomial para x = número en la categoría 1 tiene

mientras que la proporción muestral = x/n tiene

39

( ) , (1 ) E x n n

ˆˆ( ) , (1 ) / E n



Ejemplo

• Resultados de una proporción con n = 1000, = 0.50

• x = número en la categoría de interés tiene

• proporción en la categoría de interés tiene

• El efecto de n? A medida que n aumenta, la dispersiónde la distribución aumenta para el número, disminuye

para la proporción. Se vuelve más con forma de campana a medida que n aumenta. Ver gráficas en p. 171 .

40

( ) 1000(0.50) 500, (1 ) 1000(0.50)(0.50) 15.8 E x n n

ˆˆ( ) 0.50, (1 ) / (0.50)(0.50) /1000 0.0158 E n



Revisión de preguntas de pruebas de significancia

Una minoría de Americanos cree que el matrimonio entre

personas del mismo sexo debe ser legal? Cuál es la

hipótesis alternativa apropiada?

a. Ha : 0.50

b. Ha : 0.50c. Ha

: 0.00

d. Ha : 0.50

e. Ha : 0.50

41



Qué le pasa a la P(Error tipo II)

1. Cuando se disminuye la P(Error tipo I) de 0.05 a 0.01

para tomar una decisión?2. Cuando la proporción poblacional real se acerca al

valor de la hipótesis nula?

a. Disminuye

b. Aumenta

c. Permanece igual

42



Practiquemos con otro ejercicio (tarea opcional ej. 6.21)

Pregunta de opción múltiple, 4 opciones. Prueba si la

probabilidad de una respuesta correcta es más alta

que la

que uno esperaría si se

adivinaranaleatoriamente las respuestas.

a. Establece las hipótesis

b. Para 400 estudientes, 125 obtienen respuestascorrectas. Encuentra valor‐p e interprétalo.

(respuesta: valor‐ p = 0.002)

43

prueba de significancia

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