proyeksi cadangan klaim dengan metode munich chain-ladder
TRANSCRIPT
PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE
MUNICH CHAIN-LADDER
IKHWAN ABIYYU
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Proyeksi Cadangan
Klaim dengan Metode Munich Chain-Ladder adalah benar karya saya dengan
arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Ikhwan Abiyyu
NIM G54110015
ABSTRAK
IKHWAN ABIYYU. Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich Chain-
Ladder. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT.
Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan cadangan klaim secara tepat
untuk menutupi pengeluaran dari klaim yang akan terjadi di masa yang akan
datang. Salah satu metode estimasi cadangan klaim yang sering digunakan adalah
metode chain-ladder. Karena kesederhanaan dari metode tersebut, banyak
perusahaan asuransi menggunakannya dalam estimasi cadangan klaim di masa
yang akan datang. Namun, metode chain-ladder tidak bisa mengurangi gap antara
proyeksi IBNR (Incurred but Not Reported) dari kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang sebenarnya terjadi. Metode Munich chain-ladder adalah
pengembangan metode dari metode chain-ladder yang dikembangkan oleh
Gerhard Quarg dan Thomas Mack. Metode Munich chain-ladder dalam
aplikasinya dapat mengurangi gap yang terjadi. Karya ilmiah ini menjelaskan cara
estimasi cadangan klaim menggunakan metode Munich chain-ladder dan
membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode chain-ladder, serta
memberikan contoh data di mana metode Munich chain-ladder tidak
menghasilkan proyeksi yang baik.
Kata kunci: cadangan klaim, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.
ABSTRACT
IKHWAN ABIYYU. Projection of Claim Reserves Using the Munich Chain-
Ladder Method. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT.
Insurance companies are required to manage the appropriate claim
reserves to cover the expenses of the claims that will occur in the future. One of
the claim reserves estimation method that frequently used is the chain-ladder
method. Because of the simplicity of this method, many insurance companies use
the method to estimate the claim reserves in the future. However, the chain-ladder
method is not able to reduce the gap between the projection of IBNR (Incurred but
Not Reported) paid losses and incurred losses. The Munich chain-ladder is the
development of the chain-ladder method introduced by Gerhard Quarg and
Thomas Mack. The Munich chain-ladder method can be applied to reduce the gap
between the projection of IBNR paid losses and incurred losses. This paper
describes how to estimate the claim reserves using the Munich chain-ladder
method and to compare the results with using the chain-ladder method. In
addition, we provide examples of data, where the Munich chain-ladder method
does not produce a good projection.
Keywords: claim reserve, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE
MUNICH CHAIN-LADDER
IKHWAN ABIYYU
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya
ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ibundaku tersayang Ibu Mardiana. Terima kasih atas doa, cinta,
semangat, pengorbanan, dan segalanya kepada penulis. Terima kasih
telah menjadi mama terhebat untuk anak-anaknya.
2. Adik-adikku Sayyid Abyan dan Siti Najwa Assyyfa atas semangatnya
kepada penulis.
3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai dosen pembimbing I
dan Bapak Ruhiyat, MSi sebagai dosen pembimbing II. Terima kasih
atas segala waktu, ilmu, nasihat, dan bantuannya selama penulisan karya
ilmiah ini.
4. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath sebagai dosen penguji
atas kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini.
5. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB atas
semua ilmu, nasihat, dan bantuannya.
6. Teman-teman satu bimbingan yaitu Lilyani dan Sinta atas semua saran,
semangat, dan bantuannya.
7. Sahabat satu kontrakan yaitu Median, Firi, dan Fakhri serta sahabat
dekat selama perkuliahan yaitu Adam, Irma, Henny, Restu, Hendar,
Hasan, dan Resty. Terima kasih atas kebersamaannya, perhatian,
semangat, dan bantuannya kepada penulis selama 4 tahun perkuliahan.
8. Teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, dan adik-
adik Matematika 49 atas kebersamaan dan suka-duka selama penulis
menempuh studi di Departemen Matematika.
9. Sahabat dari SMA hingga saat ini Fadhlulrahman Azis, serta Sahabat
dari TPB yaitu Diko, Adoy, Feber, dan Dody. Terima kasih atas
kebersamaannya dan semangatnya kepada penulis.
10. Kak Julianto, SSi yang telah membagi ilmu dan wawasannya tentang
teknik cadangan klaim dalam asuransi, khususnya asuransi kerugian.
11. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak
dapat disebutkan satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei 2015
Ikhwan Abiyyu
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 2
Teori Peluang 2
Total Klaim 3
Outstanding Claims Liability 3
Teknik Chain-Ladder 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Metode Chain-Ladder 6
Metode Munich Chain-Ladder 7
Implementasi Praktis 11
Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder 14
SIMPULAN DAN SARAN 26
Simpulan 26
Saran 27
DAFTAR PUSTAKA 27
LAMPIRAN 28
RIWAYAT HIDUP 36
DAFTAR TABEL
1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental 4 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif 4 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack 15 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 15
5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter π dari data Quarg
dan Mack 17
6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter π dari data Quarg dan Mack 19
7 Hasil perhitunan Res(ππ,π‘) dari data Quarg dan Mack 20
8 Hasil perhitunan Res(πΌπ,π‘) dari data Quarg dan Mack 20
9 Hasil perhitunan Res(ππ,π β1) dari data Quarg dan Mack 21
10 Hasil perhitunan Res(ππ,π ) dari data Quarg dan Mack 21
11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack dengan metode Munich chain-ladder 23 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
dengan metode Munich chain-ladder 23 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-
ladder 24 14 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 25 15 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 26
DAFTAR GAMBAR
1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 22
2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 22 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloydβs 25
4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloydβs 26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 28
2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 30 3 Pengolahan data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 32
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Setiap orang tidak mengetahui bagaimana kehidupan ke depannya akan
berjalan seperti apa. Ketidakpastian bisa saja terjadi seperti bahaya, kerusakan,
dan kerugian yang pasti akan dialami kapanpun dan oleh siapapun. Risiko
ketidakpastian tersebut dapat merusak kestabilan ekonomi yang sangat besar.
Salah satu solusi untuk mengantisipasi risiko tersebut adalah melalui asuransi.
Asuransi adalah sebuah janji dari pihak penanggung dalam hal ini perusahaan
asuransi kepada pihak tertanggung yakni nasabah, bahwa bila terjadi risiko maka
perusahaan asuransi tersebut akan memberikan santunan (benefit) dengan jumlah
tertentu kepada nasabahnya.
Industri asuransi dewasa ini semakin berkembang dari tahun ke tahun. Ini
bisa digambarkan dengan semakin banyaknya orang yang tertarik untuk membeli
produk berupa jasa yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi. Dengan
membayarkan sejumlah uang yang disebut premi, risiko kerugian yang mungkin
dapat timbul dari nasabah pada waktu mendatang telah ditanggung oleh
perusahaan asuransi tersebut sesuai dengan polis yang berlaku. Perusahaan
asuransi wajib mempersiapkan dana siap pakai secara tepat untuk menutupi
pengeluaran oleh klaim yang terjadi pada periode ke depan. Dana inilah yang
disebut sebagai cadangan klaim.
Pembayaran klaim mungkin dilakukan tidak lama setelah klaim dilaporkan,
namun pada beberapa jenis asuransi, terkadang pembayaran klaimnya
membutuhkan waktu yang cukup lama diukur dari saat terjadinya klaim.
Hubungan antara waktu kejadian dan penundaan terkait klaim ini dikenal dengan
istilah outstanding claims. Ada dua jenis outstanding claims, yaitu Incurred but
Not Reported (IBNR) yaitu peristiwa yang telah terjadi tetapi belum dilaporkan ke
perusahaan asuransi dan Reported but Not Settled (RBNS) yaitu peristiwa yang
telah dilaporkan namun pembayarannya belum terselesaikan (Hossack 1999).
Taksiran outstanding claims memegang peranan yang penting, mengingat
perusahaan asuransi dituntut untuk selalu dapat menyediakan cadangan yang
cukup, guna menutup pembayaran klaim di masa yang akan datang. Jika perkiraan
outstanding claims buruk, maka bisa saja perusahaan dapat mengalami
kebangkrutan. Ada beberapa metode statistik untuk menaksir outstanding claims
baik secara deterministik maupun stokastik. Metode chain-ladder merupakan
metode deterministik yang paling populer untuk menaksir outstanding claims,
karena kesederhanaannya dan bersifat bebas distribusi (Mack 1993).
Sebuah masalah besar dalam cadangan klaim adalah perbedaan perkiraan
IBNR yang dibayarkan dan yang terjadi, yaitu total akhir dari kerugian yang
dibayarkan menyimpang lebih atau kurang dari perkiraan yang sesuai dengan
kerugian yang terjadi. Metode chain-ladder tidak cukup membantu dalam
menyelesaikan masalah ini. Metode Munich chain-ladder, pengembangan dari
metode chain-ladder yang akan mempersempit gap antara proyeksi IBNR dari
kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Menjelaskan cara proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chain-
ladder.
2. Memberikan contoh penerapan proyeksi cadangan klaim dengan metode
Munich chain-ladder. 3. Membandingkan hasil proyeksi cadangan klaim dengan metode chain-
ladder dan metode Munich chain-ladder.
TINJAUAN PUSTAKA
Teori Peluang
Nilai Harapan
1. Jika π adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang ππ(π₯) maka
nilai harapan dari π, dinotasikan dengan πΈ(π), adalah:
πΈ(π) = β π₯
βπ₯
ππ(π₯),
asalkan jumlah tersebut kovergen mutlak.
2. Jika π adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ππ(π₯)
maka nilai harapan dari π adalah:
πΈ(π) = β« π₯ππ(π₯)β
ββ
ππ₯,
asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014).
Nilai Harapan Bersyarat
Misalkan π dan π adalah peubah acak kontinu dan ππ|π(π₯|π¦) adalah fungsi
kepekatan peluang bersyarat dari π dengan syarat π = π¦ . Nilai harapan dari π
dengan syarat π = π¦ adalah:
πΈ(π|π = π¦) = β« π₯ππ|π(π₯|π¦)β
ββ
ππ₯
(Hogg et al. 2014).
Ragam
Ragam dari peubah acak π dapat ditunjukkan oleh:
var(π) = πΈ[(π β π)2] = πΈ(π2) β π2; π = πΈ(π)
Notasi lain untuk ragam adalah π2, sehingga didapat
3
π2 = πΈ(π2) β π2 (Hogg et al. 2014).
Martingale
Kejadian π disebut martingale (relatif terhadap ({β±π}, Ξ‘)) jika:
1. π bersesuaian,
2. π¦(|ππ|) < β, βπ,
3. π¦[ππ|β±πβ1] = ππβ1, ketika π β₯ 1
(Williams 1991).
Total Klaim
Total klaim (claim amounts) atau bisa juga disebut sekumpulan kerugian
(aggregate loss) adalah jumlahan dari total semua klaim yang terjadi dalam
periode tertentu dari kontrak asuransi yang telah ditetapkan. Ini merupakan suatu
metode yang digunakan untuk merekam pembayaran yang dibuat dan kemudian
menambahkannya dengan pembayaran berikutnya. Dalam kasus ini, total klaim
direpresentasikan sebagai jumlahan, banyaknya klaim (number of claims) π, dari
total pembayaran individu (π1, π2, β¦ , ππ), sehingga
π = π1 + π2 + β― + ππ, untuk π = 0,1,2, β¦
dengan π = 0 jika π = 0 (Yunawan 2013).
Outstanding Claims Liability
Umumnya penaksiran klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding
claims liability) untuk asuransi kelas bisnis jangka panjang (long-tail) didasarkan
pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim
keseluruhan (aggregate), dan merupakan ringkasan dari suatu data set klaim-
klaim individu (Antonio et al. 2006). Data yang ada dalam run-off triangle data
biasanya merupakan besarnya klaim (claims amount) dan juga banyaknya klaim
(number of claims), di mana keduanya tersaji dalam bentuk inkremental atau
kumulatif.
Misalkan π·π,π menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk
inkremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode kejadian (accident
period) π dan dibayarkan pada periode penundaan (development period) π, dengan
1 β€ π β€ π dan 1 β€ π β€ π (Olofsson 2006).
Tabel 1 mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data
dalam bentuk inkremental, di mana baris menunjukkan tahun kejadian (accident
year), kolom menunjukkan tahun penundaan (development year), sedangkan
diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim
dalam setiap periode pembayaram (payment period). Run-off triangle data adalah
sel-sel π·π,π (untuk π + π β€ π + 1) yang berwarna putih dan berada dalam segitiga
atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel π·π,π (untuk π + π > π + 1) yang
berwarna abu-abu dan berada dalam segitiga bawah.
4
Tabel 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental
Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif, πΆπ,π dapat dibentuk
berdasarkan inkremental, π·π,π, melalui hubungan berikut:
πΆπ,π = β π·π,π
π
π=1
untuk 1 β€ π β€ π, 1 β€ π β€ π, dan π + π β€ π + 1.
πΆπ,π dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim
yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-π dan dibayarkan sampai dengan tahun
penundaan ke-π. Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam
Tabel 2. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan tahun penundaan ke-π, yaitu
πΆπ,π = β π·π,π
π
π=1
untuk π = 2,3, β¦ , π, disebut ultimate claims (Mack 1993).
Tabel 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
π·2,1
π·π,1
π·2,2
π·1,2
π·π,2
π·πβ1,1 π·πβ1,2
π·π,1
π·π,π
π·2,π
π·1,π π·1,πβ1
π·2,πβ1
π·1,π1
2
1 2 π
π
π β 1π
π β 1
π
π·1,1
π·π,2 π·π,π π·π,πβ1 π·π,π
π·πβ1,π π·πβ1,πβ1 π·πβ1,π
π·π,πβ1 π·π,π
π·2,π
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦ β¦
β¦ β¦
β¦ β¦
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
πΆ2,1
πΆπ,1
πΆ2,2
πΆ1,2
πΆπ,2
πΆπβ1,1 πΆπβ1,2
πΆπ,1
πΆπ,π
πΆ2,π
πΆ1,π πΆ1,πβ1
πΆ2,πβ1
πΆ1,π1
2
1 2 π
π
π β 1π
π β 1
π
πΆ1,1
πΆπ,2 πΆπ,π πΆπ,πβ1 πΆπ,π
πΆπβ1,π πΆπβ1,πβ1 πΆπβ1,π
πΆπ,πβ1 πΆπ,π
πΆ2,π
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦
β¦ β¦
β¦ β¦
β¦ β¦
5
Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke-π (π π) didefinisikan
sebagai
π π = β π·π,π
π
π=π+2βπ
atau π π = πΆπ,π β πΆπ,π+1βπ, untuk π = 2,3, β¦ , π.
Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke- π merupakan
penjumlahan sel-sel π·π,π di baris π yang ada pada future triangle, sedangkan total
outstanding claims liability (π ) didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding
claims liability untuk semua tahun kecelakaan π (π = 2,3, β¦ , π), yaitu
π = β β π·π,π
π
π=π+2βπ
π
π=2
dengan kata lain, total outstanding claims liability (π ), merupakaan jumlah semua
π·π,π dalam future triangle (Mack 1993).
Teknik Chain-Ladder
Misalkan πΆπ,π menunjukkan total klaim yang diakumulasikan dari waktu
kejadian π, untuk π = 1,2, β¦ , π, yang dilaporkan sampai dengan waktu penundaan
j, untuk π = 1,2, β¦ , π. Jika π = 1,2, β¦ , π dan π = 1,2, β¦ , π β π + 1 maka besarnya
πΆπ,π diketahui. Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk memberikan estimasi total
klaim πΆπ,π untuk waktu kejadian π = 1,2, β¦ , π dan total besarnya klaim πΆπ,π untuk
π = 1,2, β¦ , π dan π = π β π + 2, β¦ , π.
Asumsi dasar untuk teknik chain-ladder adalah terdapat nilai faktor
penundaan (development factor) π2, π3, β¦ , ππ dengan
πΈ(πΆπ,π+1|πΆπ,1, πΆπ,2, β¦ , πΆπ,π) = πΆπ,π ππ ,
untuk π = 1,2, β¦ , π dan π = 1,2, β¦ , π β π + 1 . Teknik chain-ladder terdiri atas
estimasi ππ dengan
οΏ½οΏ½π =β πΆπ,π
πβπ+1π=1
β πΆπ,πβ1πβπ+1π=1
dan estimasi total besarnya klaim oleh
πΆπβπ+1,π = πΆπβπ+1,πππ+1ππ+2 β¦ ππ
untuk π = 1,2, β¦ , π atau dengan bentuk lain untuk π = 2,3, β¦ , π berikut:
οΏ½οΏ½π,π = πΆπ,πβπ+1ππβπ+2 β¦ ππ
(Mack 1993).
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
Metode Chain-Ladder
Pertama-tama akan diperkenalkan beberapa notasi dan kemudian
merumuskan asumsi dari metode chain-ladder (CL).
Notasi
Misalkan π β β adalah tahun terjadinya kecelakaan dan π β β adalah
tahun penundaan (biasanya π = π ). Untuk π = 1,2, β¦ , π , misalkan ππ adalah
kerugian yang dibayarkan (paid) oleh perusahaan asuransi pada tahun kecelakaan
ke- π dan πΌπ adalah kerugian yang terjadi (incurred) pada waktu ke- π . Dengan
demikian, ππ,π‘ menyatakan kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-π yang mengalami penundaan selama π‘ tahun, dan πΌπ,π‘ mengartikan kerugian yang
terjadi pada tahun kecelakaan ke-π yang mengalami penundaan selama π‘ tahun.
Selain itu, π«π(π ) β {ππ,1, β¦ , ππ,π } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda
dari kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-π diberikan sampai akhir
tahun penundaan ke-π dan βπ(π ) β {πΌπ,1, β¦ , πΌπ,π } menjelaskan kondisi bahwa waktu
tunda dari kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-π diberikan sampai
akhir tahun penundaan ke-π .
Asumsi Model Beberapa asumsi dalam proses metode CL untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi.
1. Asumsi model untuk kerugian yang dibayarkan (P)
PE (Asumsi Nilai Harapan)
Untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1, terdapat faktor penundaan ππ βπ‘π > 0
sehingga untuk setiap π = 1,2, β¦ , π,
πΈ (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) = ππ βπ‘
π .
PV (Asumsi Ragam)
Untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1, terdapat proporsi konstan ππ βπ‘π β₯ 0
sehingga untuk setiap π = 1,2, β¦ , π,
var (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) =
(ππ βπ‘π )2
ππ,π .
PU (Asumsi Kebebasan)
Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu
{π1,π‘|π‘ β π}, {π2,π‘|π‘ β π}, β¦ , {ππ,π‘|π‘ β π} bebas stokastik.
7
2. Asumsi model untuk kerugian yang terjadi (I)
IE (Asumsi Nilai Harapan)
Untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1, terdapat faktor penundaan ππ βπ‘πΌ > 0
sehingga untuk setiap π = 1,2, β¦ , π,
πΈ (πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π )) = ππ βπ‘πΌ .
IV (Asumsi Ragam)
Untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1, terdapat proporsi konstan ππ βπ‘πΌ β₯ 0
sehingga untuk setiap π = 1,2, β¦ , π,
var (πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π )) =(ππ βπ‘
πΌ )2
πΌπ,π .
IU (Asumsi Kebebasan)
Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu
{πΌ1,π‘|π‘ β π}, {πΌ2,π‘|π‘ β π}, β¦ , {πΌπ,π‘|π‘ β π} bebas stokastik.
Dengan demikian, asumsi metode CL menjelaskan bahwa tahun
kecelakaan yang stokastik independen, tetapi memiliki faktor penundaan yang
sama dan parameter Ο setiap tahun penundaan. Asumsi di atas dirancang untuk
proyeksi segitiga bawah dan untuk menjelaskan tentang hubungan antara proses
kerugian yang dibayarkan dan terjadi. Ekspektasi bersyarat menggambarkan
kemungkinan terbaik peramalan ππ,π‘ jika hanya diketahui proses kerugian yang
dibayar dari tahun kecelakaan, sampai dengan saat ini. Hal ini berlaku analog
dengan proses kerugian yang terjadi
πΈ (ππ,π‘
ππ,π |β¬π(π )) dan πΈ (
πΌπ,π‘
πΌπ,π |β¬π(π ))
dengan β¬π(π ) = {ππ,1, ππ,2, β¦ , ππ,π , πΌπ,1, πΌπ,2, β¦ , πΌπ,π } adalah himpunan waktu
penundaan yang diketahui hingga akhir tahun penundaan π dari proses kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.
Metode Munich Chain-Ladder
Untuk metode Munich chain-ladder (MCL), asumsi independensi PU dan
IU dari metode chain-ladder diperluas, yaitu dengan menambahkan asumsi PIU
(kebebasan dari tahun kerugian yang dibayarkan dan dari tahun kerugian yang
terjadi). Set kebebasan stokastik untuk asumsi kebebasan PIU adalah
{π1,π‘, πΌ1,π‘|π‘ β π}, {π2π‘, πΌ2,π‘|π‘ β π},β¦ , {ππ,π‘, πΌπ,π‘|π‘ β π}. Didefinisikan
ππ =ππ
πΌπ= (
ππ,π‘
πΌπ,π‘)
π‘βπ
dan ππβ1 =
πΌπ
ππ= (
πΌπ,π‘
ππ,π‘)
π‘βπ
8
untuk menjelaskan rasio (P/I) dan rasio (I/P).
Selanjutnya, dengan menambahkan konsep residual bersyarat: jika π adalah
peubah acak, dengan syarat πΆ, maka
π(π|πΆ) = βvar(π|πΆ)
menjelaskan standar deviasi bersyarat dari π oleh πΆ, dan
res(π|πΆ) =π β πΈ(π|πΆ)
π(π|πΆ)
menjelaskan residual bersyarat π oleh πΆ. Residual bersyarat adalah standardisasi
yang berkaitan dengan nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat, dengan
πΈ(res(π|πΆ)|πΆ) = 0 dan var(res(π|πΆ)|πΆ) = 1.
Asumsi Model
Mengacu pada asumsi model oleh Mack, dilakukan analisis lebih lanjut
untuk menghitung faktor nilai harapan bersyarat dari penundaan proses kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi guna mendapatkan residual masing-
masingnya, dengan
res (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) dan res (
πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π )).
Dibandingkan dengan model CL, kelebihan dari model Munich chain-
ladder (MCL) yang menentukan adalah merumuskan asumsi untuk istilah-istilah
berikut, yaitu
πΈ (res (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) |β¬π(π )) dan πΈ (res (
πΌπ,π‘
πΌπ,π |βπ(π )) |β¬π(π )).
dan residual dari rasio (I/P) dan rasio (P/I), didefinisikan
res(ππ,π β1|π«π(π )) atau res(ππ,π |βπ(π )).
Asumsi tambahan untuk rasio (P/I) dan rasio (I/P)
PQ
Terdapat konstanta ππ untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1 sehingga untuk
setiap π = 1,2 β¦ , π,
πΈ (res (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) |β¬π(π )) = ππ res(ππ,π
β1|π«π(π ))
yang ekuivalen dengan
9
πΈ (ππ,π‘
ππ,π |β¬π(π )) = ππ βπ‘
π + ππ π (
ππ,π‘
ππ,π |π«π(π ))
π(ππ,π β1|π«π(π ))
(ππ,π β1 β πΈ(ππ,π
β1|π«π(π ))). (1)
IQ
Terdapat konstanta ππ untuk π , π‘ β π dengan π‘ = π + 1 sehingga untuk
setiap π = 1,2 β¦ , π,
πΈ (res (πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π )) |β¬π(π )) = ππ res(ππ,π |βπ(π ))
yang ekuivalan dengan
πΈ (πΌπ,π‘πΌπ,π
|β¬π(π )) = ππ βπ‘πΌ + ππΌ
π (πΌπ,π‘
πΌπ,π |βπ(π ))
π(ππ,π |βπ(π )) (ππ,π β πΈ(ππ,π |βπ(π ))). (2)
Parameter ππ dan ππΌ yang merupakan kemiringan garis regresi dari plot
residual masing-masing proses, tidak tergantung pada penundaan tahun ke-π .
Persamaan (1) dan (2) mewakili harapan bersyarat untuk faktor penundaan
sebagai jumlah faktor dari chain-ladder dan koreksi dari kedua jenis data. Akan
dianalisis lebih rinci istilah tersebut pada bagian berikutnya.
Analisis Asumsi Model Akan diperiksa lebih dekat model MCL dan khususnya persamaan bentuk
PQ dan IQ, dimisalkan ππ, ππΌ > 0. Kondisi nilai harapan yaitu faktor penundaan
dari proses kerugian yang terjadi akan digunakaan untuk proyeksi tahun
kecelakaan ke-π dari π ke π‘, adalah monoton naik, fungsi linear dari rasio (P/I)
atau ππ,π . Hal ini menunjukkan bahwa pengamatan dari praktik dinyatakan sebagai
asumsi teoritis. Persamaan IQ merupakan ekspektasi bersyarat dari jumlah chain-
ladder faktor penundaan ππ βπ‘πΌ
dan istilah linear dalam ππ,π . Terdapat tiga faktor
terkoreksi yang dijelaskan sebagai berikut:
Faktor ππΌ adalah koefisien korelasi dari residual faktor penundaan dan residual
rasio (P/I), yang akan dibuktikan pada bagian selanjutnya. Oleh karena itu ππΌ
sebagai fakor korelasi atau parameter korelasi. Nilai dari ππΌ haruslah di antara
0 dan 1, dan mengukur keterkaitan faktor penundaan sebelumnya dari rasio
(P/I). Jika hampir tidak ada ketergantungan atau hubungan pada data, maka
ππΌ β 0 dan faktor penundaan rata-rata diproyeksikan seperti pada metode CL.
Faktor standar deviasi adalah hasil bagi dari standar deviasi bersyarat faktor
penundaan yang terjadi dan rasio (P/I). Hal ini menyebabkan penyimpangan
rasio (P/I) dari rata-rata yang diukur sebagai deviasi dari faktor penundaan.
Semakin besar standar deviasi dari faktor penundaan, semakin besar
kemungkinan akan menjadi deviasi yang signifikan dari rata-rata, dan semakin
besar terkoreksi. Semakin kecil standar deviasi dari rasio (P/I), akan semakin
untypical dan menyimpang signifikan dari rata-rata.
10
Linear ππ,π β πΈ(ππ,π |βπ(π )) meliputi proyeksi rasio (P/I). Jika rasio (P/I) di atas
rata-rata memiliki efek memperbaiki faktor penundaan ke atas, dan sebaliknya.
Semakin jauh rasio (P/I) dari rata-rata akan semakin besar koreksinya. Jika
rasio (P/I) berada pada rata-rata, faktor penundan yang digunakan akan
menjadi rata-rata dari data, seperti dalam metode CL. Berlaku untuk faktor
penundaan untuk rasio (I/P).
Parameter korelasi ππ dan ππΌ memperlihatkan hubungan antara segitiga dari
kerugian yang dibayarkan dan segitiga dari kerugian yang terjadi. Besarnya
parameter ini menunjukkan sejauh mana waktu penundaan dari kecelakaan yang
dibayarkan dan kecelakaan yang terjadi, dipengaruhi oleh jenis data masing-
masingnya, karenanya parameter ini sangat penting untuk ukuran proyeksi utama.
Karena pendekatan residual memungkinkan untuk mempertimbangkan semua
tahun penundaan, yaitu menyediakan jumlah yang cukup di titik data, estimasi ini
relatif stabil.
Selanjutnya akan dibuktikan formula ππ dan ππΌ sebagai parameter korelasi.
Menggunakan informasi covπΆ(π, π) β cov(π, π|πΆ) untuk koragam bersyarat dari
dua variabel acak π dan π dengan diberikan kondisi πΆ
πΈ (ππ,π‘
ππ,π |β¬π(π )) =
ππ,π‘
ππ,π .
Diketahui kondisi martingale jika ππ,π‘
ππ,π adalah β¬π(π ) yang terukur, maka
covπ«π(π ) (ππ,π β1,
ππ,π‘
ππ,π )
= covπ«π(π ) (ππ,π β1, πΈ (
ππ,π‘
ππ,π |β¬π(π )))
= covπ«π(π ) (ππ,π β1, ππ βπ‘
π + ππ π(
ππ,π‘ππ,π
|π«π(π ))
π(ππ,π β1|π«π(π ))
(ππ,π β1 β πΈ(ππ,π
β1|π«π(π ))))
= ππ π(
ππ,π‘ππ,π
|π«π(π ))
π(ππ,π β1|π«π(π ))
var(ππ,π β1|π«π(π ))
= ππ π (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) π(ππ,π
β1|π«π(π )).
Mengacu ke pada bentuk berikut:
corr (ππ,π β1, (
ππ,π‘
ππ,π |π«π(π ))) = ππ dan corr (ππ,π , (
πΌπ,π‘
πΌπ,π |βπ(π ))) = ππΌ
untuk koefisien korelasi bersyarat, maka
corr (res(ππ,π β1|π«π(π )), res (
ππ,π‘
ππ,π |π«π(π ))) = ππ
11
dan
corr (res(ππ,π |βπ(π )), res (πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π ))) = ππΌ .
Dengan demikian, parameter Ξ» model MCL sebagai korelasi antara run-off
triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Pada
pembahasannya selanjutnya akan dijelaskan perkiraan nilai parameter yang
digunakan untuk memperoleh residual masing-masing data serta cara memperoleh
nilai Ξ».
Implementasi Praktis
Pada bagian ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang semua perkiraan
parameter yang diperlukan untuk Metode MCL, sebelum melakukan perhitungan
MCL lengkap untuk contoh konkret.
Mengestimasi Parameter
Untuk menghitung residual dan nilai harapan faktor penundaan, harus
diperkirakan setiap parameter dari Model MCL.
Parameter Metode Chain-Ladder
Untuk setiap π‘ = π + 1 , faktor penundaan ππ βπ‘π dan ππ βπ‘
πΌ untuk π =1,2, β¦ , π β 1 digunakan estimasi Metode chain-ladder
ππ βπ‘οΏ½οΏ½ =
1
β ππ,π πβπ π=1
β ππ,π
πβπ
π=1
ππ,π‘
ππ,π =
β ππ,π‘πβπ π=1
β ππ,π πβπ π=1
(3)
dan
ππ βπ‘οΏ½οΏ½ =
1
β πΌπ,π πβπ π=1
β πΌπ,π
πβπ
π=1
πΌπ,π‘πΌπ,π
=β πΌπ,π‘
πβπ π=1
β πΌπ,π πβπ π=1
(4)
untuk = 1,2, β¦ , π β 2. Paramter π juga diestimasi sebagai berikut:
(ππ βπ‘οΏ½οΏ½ )
2=
1
π β π β 1 β ππ,π
πβπ
π=1
(ππ,π‘
ππ,π β ππ βπ‘
οΏ½οΏ½ )
2
(5)
dan
(ππ βπ‘οΏ½οΏ½ )
2=
1
π β π β 1 β πΌπ,π
πβπ
π=1
(πΌπ,π‘πΌπ,π
β ππ βπ‘οΏ½οΏ½ )
2
(6)
dengan standar deviasinya ππ βπ‘οΏ½οΏ½ = β(ππ βπ‘
οΏ½οΏ½ )2 dan ππ βπ‘
οΏ½οΏ½ = β(ππ βπ‘οΏ½οΏ½ )
2.
12
Parameter Metode Munich Chain-Ladder
Untuk menghitung residual bersyarat dari rasio (P/I) dan (I/P), perlu
pendugaan untuk nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,π |βπ(π )) dan πΈ (ππ,π β1|π«π(π )) dan
standar deviasi bersyarat π (ππ,π |βπ(π )) dan π (ππ,π β1|π«π(π )). Asumsi pertama
bahwa πΈ (ππ,π |βπ(π )) adalah konstan, analog dengan model IE chain-ladder untuk
kerugian yang terjadi. Selanjutnya, diasumsikan keterkaitan ragam bersyarat dari
rasio (P/I) pada kerugian yang terjadi, analog dengan kondisi IV. Untuk π =1,2, β¦ , π, asumsi berikut untuk nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat dari
rasio (P/I). Estimasi nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,π |βπ(π )) adalah sebagai berikut:
ποΏ½οΏ½ =1
β πΌπ,π πβπ +1π=1
β πΌπ,π
πβπ +1
π=1
ππ,π =β ππ,π
πβπ +1π=1
β πΌπ,π πβπ +1π=1
(7)
berlaku sama untuk semua tahun terjadinya kecelakaan. Estimasi untuk
π (ππ,π |βπ(π )) yaitu
ππ οΏ½οΏ½
βπΌπ,π
dengan ππ οΏ½οΏ½ didefinisikan
ππ οΏ½οΏ½2
=1
π β π β πΌπ,π
πβπ +1
π=1
(ππ,π β ποΏ½οΏ½)2 (8)
untuk setiap π = 1,2, β¦ , π, dengan ππ οΏ½οΏ½ bersifat bebas dari tahun kecelakaan ke-π.
Kemudian diasumsikan bahwa estimasi untuk rasio (P/I) berlaku analog
dengan nilai harapan bersyarat dan ragam dari rasio (I/P) dengan mengestimasi
nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,π β1|π«π(π )) sebagai berikut:
ποΏ½οΏ½β1 =
1
β ππ,π πβπ +1π=1
β ππ,π
πβπ +1
π=1
ππ,π β1 =
β πΌπ,π πβπ +1π=1
β ππ,π πβπ +1π=1
(9)
serta mengestimasi π (ππ,π β1|π«π(π )) yaitu
ππ οΏ½οΏ½
βππ,π
dengan ππ οΏ½οΏ½ didefinisikan
ππ οΏ½οΏ½
2=
1
π β π β ππ,π
πβπ +1
π=1
(ππ,π β1 β ποΏ½οΏ½
β1)2. (10)
13
Masalah akan timbul karena mengikuti kondisi bahwa kedua nilai harapan
bersyarat πΈ (ππ,π |βπ(π )) dan πΈ (ππ,π β1|π«π(π )) menjadi konstan dengan ππ,π yang
sudah konstan, ini bertentangan dengan kenyataan di lapangan. Oleh karena itu,
hal ini tidak dapat diasumsikan, harus ada struktur ketergantungan yang lebih
rumit dari nilai harapan yang keduanya tergantung pada βπ(π ) dan π«π(π ).
Akan diperkirakan πΈ (ππ,π |βπ(π )) dengan rata-rata di atas rasio (P/I) dari
ππ,π dari kerugian yang terjadi pada tahun ke-π untuk βπ(π ) serupa dengan βπ(π ).
Pada aturan chain-ladder, serupa berarti tingkat πΌπ,π dekat dengan πΌπ,π , atau faktor
penundaan πΌπ,π /πΌπ,π β1 dekat dengan πΌπ,π /πΌπ,π β1. Setidaknya, akan terjadi kecelakaan
tahun ke-π dimana βπ(π ) jelas berbeda dengan βπ(π ). Tentu saja, konsep ini berlaku
analog dengan πΈ (ππ,π β1|π«π(π )). Pendekatan ini akan menghasilkan perkiraan untuk
nilai harapan bersyarat yang tidak timbal balik dengan definisi dan dengan
kecelakaan setiap tahun.
Begitupun untuk ragam bersyarat dengan situasi serupa. Data yang cukup
diberikan dari struktur ketergantungan lebih rumit untuk ragam bersyarat dari ππ,π
dan ππ,π β1 pada βπ(π ) dan π«π(π ), sehingga masing-masing dapat diperhitungkan.
Kesederhanaan uraian benar jika πΈ (ππ,π |βπ(π )) dan πΈ (ππ,π β1|π«π(π )) adalah fungsi
tidak konstan terhadap βπ(π ) dan π«π(π ). Akan diperkirakan residual bersyarat dari
res (ππ,π‘
ππ,π |π«π(π )) , res (
πΌπ,π‘πΌπ,π
|βπ(π )) , res (ππ,π β1|π«π(π )) , res (ππ,π |βπ(π ))
dengan penyederhanaan notasi res(ππ,π‘), res(πΌπ,π‘), res(ππ,π β1), dan res(ππ,π ),
sehingga
res(ππ,π‘) =
ππ,π‘
ππ,π β ππ βπ‘
οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
βππ,π
(11)
res(πΌπ,π‘) =
πΌπ,π‘
πΌπ,π β ππ βπ‘
οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
βπΌπ,π (12)
dan
res(ππ,π β1) =
ππ,π β1 β ποΏ½οΏ½
β1
ππ οΏ½οΏ½
βππ,π (13)
res(ππ,π ) =ππ,π β ποΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
βπΌπ,π . (14)
14
Diestimasikan nilai dugaan ππ dan ππΌ sebagai berikut:
ποΏ½οΏ½ =1
β res(ππ,π β1)
2π,π
β res(ππ,π β1)
2
π,π
res(ππ,π‘)
res(ππ,π β1)
=β resπ,π (ππ,π
β1) res(ππ,π‘)
β res(ππ,π β1)
2π,π
dan
ποΏ½οΏ½ =1
β res(ππ,π )2
π,π
β res(ππ,π )2
π,π
res(πΌπ,π‘)
res(ππ,π )=
β resπ,π (ππ,π ) res(πΌπ,π‘)
β res(ππ,π )2
π,π
Dalam semua penjumlahan ini, indeks π bergerak dari 1 sampai π β 2 dan
indeks π bergerak dari 1 sampai π β π . Jika limpasan segitiga ini berakhir dalam
waktu kurang dari waktu penundaan π tahun, akan lebih tepat untuk memilih
indeks π yang diperpanjang hanya sampai akhir periode run-off.
Perubahan tahun penundaan dalam formula estimasi ππ dan ππΌ
menyimpulkan hanya sejumlah π menghasilkan perkiraan tahun penundaan untuk
parameter Ξ». Parameter Ξ» untuk setiap tahun penundaan harus berfluktuasi secara
acak dan tidak menunjukkan trend yang akan melanggar asumsi model MCL, ini
biasanya terjadi dalam praktek.
Menurut asumsi PQ dan IQ, diperoleh formula rekursif untuk menduga ππ,π‘
dan πΌπ,π‘, yaitu
ππ,οΏ½οΏ½ = ππ,οΏ½οΏ½ (ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
(πΌπ,οΏ½οΏ½
ππ,οΏ½οΏ½
β ποΏ½οΏ½β1))
(15)
dan
πΌπ,οΏ½οΏ½ = πΌπ,οΏ½οΏ½ (ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
(ππ,οΏ½οΏ½
πΌπ,οΏ½οΏ½β ποΏ½οΏ½))
(16)
untuk π β₯ π β π + 1 dengan nilai ππ,οΏ½οΏ½ = ππ,π dan πΌπ,οΏ½οΏ½ = πΌπ,π .
Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder
Metode Munich chain-ladder hanya diaplikasikan untuk asuransi kerugian,
contohnya asuransi kebakaran dan asuransi kendaraan. Pada bagian ini, akan
dilakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret dari data oleh Quarg
dan Mack (2006), serta data dari perusahaan insurance market Llyodβs dengan
perhitungan lengkap pada Lampiran 3.
Pada data oleh Quarg dan Mack, diberikan data awal dari segitiga atas
kerugian yang dibayarkan (Tabel 3) dan kerugian yang terjadi (Tabel 4), yang
melibatkan 7 tahun waktu kejadian dan 7 tahun waktu penundaan.
15
Tabel 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack
Data run-off triangle pada Tabel 3 adalah klaim dalam bentuk besarnya
klaim. Sebagai contoh, ambil baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim
sejumlah 2162 merupakan total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian
pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Data
pada Tabel 3, terdapat bagian yang masih kosong berbentuk segitiga di sebelah
kanan bawah yang disebut future triangle, ini merupakan pembayaran klaim di
masa yang akan datang dan belum diketahui besarnya.
Tabel 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
Ambil contoh baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2466
merupakan total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun
kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Jika dibandingkan
nilai-nilai total klaim pada run-off triangle kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang terjadi, total klaim pada run-off kerugian yang terjadi lebih besar
dari pada besaran klaim pada run-off kerugian yang dibayarkan. Hal ini terjadi
karena total klaim pada run-off kerugian yang terjadi adalah penjumlahan dari
klaim yang sudah dibayarkan dan klaim yang belum diselesaikan. Klaim yang
belum diselesaikan tersebut bisa jadi tidak dibayarkan oleh perusahaan karena
beberapa sebab, misalnya besaran klaim tersebut di bawah nilai minimal klaim
(deductible). Lain halnya dengan run-off triangle kerugian yang dibayarkan, data
klaim yang terdapat di dalamnya adalah penjumlahan dari besaran klaim yang
dilaporkan dan sudah dibayarkan oleh perusahaan. Kelebihan dari metode Munich
1 2 3 4 5 6 7
1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131
2 866 1948 2162 2232 2284 2348
3 1412 3758 4252 4416 4494
4 2286 5292 5724 5850
5 1868 3778 4648
6 1442 4010
7 2044
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1 2 3 4 5 6 7
1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174
2 1844 2552 2466 2480 2508 2454
3 2904 4354 4698 4600 4644
4 3502 5958 6070 6142
5 2812 4882 4852
6 2642 4406
7 5022
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
16
chain-ladder ini adalah mengurangi gap seminimal mungkin antara proyeksi
IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.
Menghitung faktor penundaan rata-rata dan parameter Ο
Langkah pertama adalah mengestimasi parameter dengan metode Chain-
ladder, yakni menghitung faktor penundaan ππ βπ‘οΏ½οΏ½ dan ππ βπ‘
οΏ½οΏ½ serta menghitung
parameter ππ βπ‘οΏ½οΏ½ dan ππ βπ‘
οΏ½οΏ½ .
Sebagai contoh, perhitungan π2β3οΏ½οΏ½ dan π2β3
οΏ½οΏ½ dengan menggunakan
persamaan (3) dan (4). π2β3οΏ½οΏ½ adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian
yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan
diketahui infomasi ππ,2 adalah proses kerugian yang dibayarkan pada tahun
kecelakaan ke-2 dan ππ,3 proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan
ke-3, maka
π2β3οΏ½οΏ½ = (
1
β ππ,27β2π=1
) (β ππ,2
7β2
π=1
ππ,3
ππ,2) =
β ππ,37β2π=1
β ππ,27β2π=1
= (1
β ππ,25π=1
) (β ππ,2
5
π=1
ππ,3
ππ,2) =
β ππ,35π=1
β ππ,25π=1
=1970 + 2162 + 4252 + 5724 + 4648
1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778=
18756
16580= 1.131.
Faktor π2β3οΏ½οΏ½ adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang terjadi
dari tahun penundaan ke- 2 hingga tahun penundaan ke- 3 , dengan diketahui
infomasi πΌπ,2 adalah proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-2 dan
πΌπ,3 proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-3, maka
π2β3οΏ½οΏ½ = (
1
β πΌπ,27β2π=1
) (β πΌπ,2
7β2
π=1
πΌπ,3πΌπ,2
) =β πΌπ,3
7β2π=1
β πΌπ,27β2π=1
= (1
β πΌπ,25π=1
) (β πΌπ,2
5
π=1
πΌπ,3πΌπ,2
) =β πΌπ,3
5π=1
β πΌπ,25π=1
=2134 + 2466 + 4698 + 6070 + 4852
2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882=
20220
19850= 1.019.
Jadi, besarnya faktor penudaan dari tahun kejadian ke- 2 yang ditunda
hingga tahun ke-3 adalah sebesar 1.131 untuk kerugian yang dibayarkan dan
1.019 untuk kerugian yang terjadi.
Sebagai contoh, perhitungan Ο2β3οΏ½οΏ½ dan Ο2β3
οΏ½οΏ½ dengan menggunakan
persamaan (5) dan (6). Ο2β3οΏ½οΏ½ adalah estimasi parameter π untuk kerugian yang
dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3 , dengan
diketahui informasi π2β3οΏ½οΏ½ yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta
ππ,2 dan ππ,3, maka
17
(π2β3οΏ½οΏ½ )
2= (
1
7 β 2 β 1) β ππ,2
7β2
π=1
(ππ,3
ππ,2β π2β3
οΏ½οΏ½ )
2
= (1
4) β ππ,2
5
π=1
(ππ,3
ππ,2β 1.131)
2
= (1
4) [((1804) (
1970
1804β 1.131)
2
) + β― + ((3778) (4648
3778β 1.131)
2
)]
=2.776 + 0.891 + 0.0001 + 13.024 + 37.057
4=
53.748
4= 13.437.
Jadi, π2β3οΏ½οΏ½ = β13.437 = 3.666.
Faktor Ο2β3οΏ½οΏ½ adalah estimasi parameter π untuk kerugian yang terjadi dari
tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui informasi
π2β3οΏ½οΏ½ yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta πΌπ,2 dan πΌπ,3, maka
(π2β3οΏ½οΏ½ )
2= (
1
7 β 2 β 1) β πΌπ,2
7β2
π=1
(πΌπ,3πΌπ,2
β π2β3οΏ½οΏ½ )
2
= (1
4) β πΌπ,2
5
π=1
(πΌπ,3πΌπ,2
β 1.019)
2
= (1
4) [((2104) (
2134
2104β 1.019)
2
) + β― + ((4882) (4852
4882β 1.019)
2
)]
=0.04 + 6.991 + 15.867 + 0.00015 + 2.999
4=
24.898
4= 6.474.
Jadi, π2β3οΏ½οΏ½ = β6.474 = 2.544.
Estimasi parameter π untuk tahun kejadian ke-2 yang ditunda hingga tahun
ke- 3 adalah sebesar 3.666 untuk kerugian yang dibayarkan dan 2.544 untuk
kerugian yang terjadi. Secara keseluruhan faktor penundaan rata-rata dan
parameter Ο akan disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter Ο dari data Quarg
dan Mack
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7
2.437 1.131 1.029 1.021 1.021 1.014
1.652 1.019 1.000 1.011 0.990 0.996
13.456 3.666 0.482 0.210 0.479
9.727 2.544 1.004 0.120 0.860
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
18
Menghitung rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter Ο
Setelah diperoleh estimasi untuk faktor penudaan dan parameter π untuk
masing-masing kecelakaan yang dibayarkan dan terjadi, selanjutnya akan dicari
parameter Metode MCL, dengan menghitung nilai harapan bersyarat dan standar
deviasi bersyarat.
Menghitung (P/I) atau ποΏ½οΏ½ serta (I/P) atau ποΏ½οΏ½β1
dengan formula yang telah
diperoleh dari pembahsan parameter Metode MCL. Sebagai contoh perhitungan
(π
πΌ)
2atau π2 dan (
πΌ
π)
2= π2
β1
dengan menggunakan persamaan (7) dan (9). π2
adalah nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,2|βπ(2)) diperoleh dengan diketahui
informasi ππ,2 dan πΌπ,2, maka
π2 =β ππ,2
7β2+1π=1
β πΌπ,27β2+1π=1
=β ππ,2
6π=1
β πΌπ,26π=1
=1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010
2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406=
20590
24256= 0.849.
Nilai π2β1
adalah nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,2β1|π«π(2)) diperoleh dengan
diketahui informasi ππ,2 dan πΌπ,2, maka
π2β1 =
β πΌπ,27β2+1π=1
β ππ,27β2+1π=1
=β πΌπ,2
6π=1
β ππ,26π=1
=2104 + 2552 + 4354 + 5958 + 4882 + 4406
1804 + 1948 + 3758 + 5292 + 3778 + 4010=
24256
20590= 1.178.
Diperoleh nilai harapan bersyarat πΈ (ππ,2|βπ(2)) sebesar 0.849 dan
πΈ (ππ,2β1|π«π(2)) sebesar 1.178.
Setelah itu, akan dihitung parameter standar deviasi bersyarat Ο. Sebagai
contoh perhitungan π2οΏ½οΏ½2 dan π2
οΏ½οΏ½2dengan menggunakan persamaan (8) dan (10).
π2οΏ½οΏ½2
= (1
7 β 2) β πΌπ,2
7β2+1
π=1
(ππ,2 β π2)2
= (1
5) β πΌπ,2
6
π=1
(ππ,2 β 0.849)2
= (1
5) [((2104) (
1804
2104β 0.849)
2
) +. . . + ((4406) (4010
4406β 0.849)
2
)]
=0.154 + 18.673 + 0.884 + 9.228 + 27.461 + 16.535
5=
72.935
5
= 14.587.
Jadi, π2οΏ½οΏ½ = β14.587 = 3.819.
19
π2οΏ½οΏ½
2= (
1
7 β 2) β ππ,2
7β2+1
π=1
(ππ,2β1 β π2
β1)2
= (1
5) β πΌπ,2
6
π=1
β (ππ,2β1 β 1.178)
2
= (1
5) [((1804) (
2104
1804β 1,178)
2
) + β― + ((4010) (4406
4010β 1,178)
2
)]
=0.249 + 33.949 + 1.422 + 14.418 + 49.256 + 25.213
5=
124.498
5
= 24.899.
Jadi, π2οΏ½οΏ½ = β24.899 = 4.990.
Diperoleh nilai harapan bersyarat π (ππ,2|βπ(2)) sebesar 3.819 dan
π (ππ,2β1|π«π(2)) sebesar 4.990. Secara keseluruhan, hasil perhitungan untuk nilai
harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter Ο dari data Quarg dan Mack
Menghitung residual masing-masing parameter
Langkah berikutnya adalah menghitung nilai residual masing-masing dari
res(ππ,π‘), res(πΌπ,π‘), res(ππ,π β1), dan res(ππ,π ).
Contoh untuk perhitungan res(ππ,π‘) dengan menggunakan persamaan (11),
akan dihitung res(π2,3) dengan mengetahui informasi π2,3 ,π2,2 ,π2β3οΏ½οΏ½ dan π2β3
οΏ½οΏ½ .
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(ππ,π‘) tersaji pada Tabel 7.
res(π2,3) =
π2,3
π2,2β π2β3
οΏ½οΏ½
π2β3οΏ½οΏ½
(βπ2,3) =
2162
1948β 1.131
3.666(β1948) = β0.258.
s 1 2 3 4 5 6 7
53.3% 84.9% 92.8% 94.5% 94.9% 96.0% 98.0%
187.8% 117.8% 107.8% 105.8% 105.4% 104.2% 102.0%
14.943 4.990 2.167 1.619 1.791 0.236
5.711 3.819 1.918 1.461 1.637 0.222
ποΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
ππ β1
20
Tabel 7 Hasil perhitungan res(ππ,π‘) dari data Quarg dan Mack
P 1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7
1 1.240 -0.454 -0.178 0.846 -0.724
2 -0.410 -0.258 0.293 0.572 0.690
3 0.628 0.004 1.248 -0.979
4 -0.433 -0.985 -1.151
5 -1.330 1.661
6 0.971
7
Contoh untuk perhitungan res(πΌπ,π‘) dengan menggunakan persamaan (12),
akan dihitung res(πΌ2,3) dengan mengetahui informasi πΌ2,3 , πΌ2,2 ,π2β3οΏ½οΏ½ dan π2β3
οΏ½οΏ½ .
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(πΌπ,π‘) tersaji pada Tabel 8.
res(πΌ2,3) =
πΌ2,3
πΌ2,2β π2β3
οΏ½οΏ½
π2β3οΏ½οΏ½
(βπΌ2,2) =
2466
2552β 1.019
2.544(β2552) = β1.039.
Tabel 8 Hasil perhitungan res(πΌπ,π‘) dari data Quarg dan Mack
I 1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7
1 1.605 -0.079 0.222 1.131 0.732
2 -1.184 -1.039 0.287 0.096 -0.681
3 -0.846 1.565 -1.415 -0.843
4 0.299 0.005 0.931
5 0.458 -0.681
6 0.082
7
Contoh untuk perhitungan res(ππ,π β1) dengan menggunakan persamaan (13),
akan dihitung res(π2,2β1) dengan mengetahui informasi π2,2
β1 ,π2β1
,π2,2 dan π2οΏ½οΏ½ .
Hasil perhitungan yang lengkap untuk res(ππ,π β1) tersaji pada Tabel 9.
Res(π2,2β1) =
π2,2β1 β π2
β1
π2οΏ½οΏ½
(βπ2,2) =1,310 β 1.178
4.990(β1948) = 1.168.
21
Tabel 9 Hasil perhitungan res(ππ,π β1) dari data Quarg dan Mack
Contoh untuk perhitungan res(ππ,π ) dengan menggunakan persamaan (14),
akan dihitung res(π2,2) dengan mengetahui informasi π2,2,π2,πΌ2,2 dan π2οΏ½οΏ½ . Hasil
perhitungan yang lengkap untuk res(ππ,π ) tersaji pada Tabel 10.
res(π2,2) =π2,2 β π2
π2οΏ½οΏ½
(βπΌ2,2) =0.763 β 0.849
3.819(β2552) = β1.131.
Tabel 10 Hasil perhitungan res(ππ,π ) dari data Quarg dan Mack
Menggunakan hasil perhitungan residual dari kerugian yang dibayarkan dan
residual (I/P) dapat ditarik plot residual kerugian yang dibayarkan (Gambar 3).
Sisaan dari kerugian yang dibayarkan menunjukkkan korelasi sebesar 64%.
Estimasi slop dari garis regresi melalui titik asal ποΏ½οΏ½ = 0.64, yang menjelaskan ππ
sebagai parameter korelasi yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya.
Plot residual dari kerugian yang terjadi (Gambar 4), menunjukkan korelasi
45%. Namun nilai estimasi ποΏ½οΏ½ yang dipilih adalah sebesar 0.44 . ποΏ½οΏ½ dan ποΏ½οΏ½
memenuhi syarat dimana parameter π bernilai antara 0 sampai 1.
I/P 1 2 3 4 5 6 7
1 -0.289 -0.100 0.106 0.033 -0.136 -0.726
2 0.496 1.168 1.343 1.547 1.188 0.687
3 0.450 -0.239 0.808 -0.675 -0.755
4 -1.106 -0.761 -0.615 -0.388
5 -1.077 1.406 -1.075
6 -0.116 -1.006
7 1.753
P/I 1 2 3 4 5 6 7
1 0.309 0.103 -0.107 -0.033 0.137 0.728
2 -0.473 -1.131 -1.317 -1.537 -1.177 -0.686
3 -0.437 0.246 -0.805 0.693 0.771
4 1.245 0.795 0.626 0.396
5 1.223 -1.372 1.102
6 0.119 1.065
7 -1.558
22
Gambar 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack
Gambar 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
Pada akhirnya digunakan metode Munich chain-ladder untuk proyeksi
kerugian yang akan dibayarkan dan kerugian yang akan terjadi. Dengan
menggunakan persamaan (15) dan (16) dilakukan perhitungan guna mencari
faktor pengali πβ1 dan π untuk menduga ππ,π‘ dan πΌπ,π‘. Sebagai faktor penundaan
dari kerugian yang dibayar terlebih dahulu, akan digunakan nilai rata-rata
π1β2οΏ½οΏ½ = 2.473 untuk menghitung π7,2
β1
π1β2οΏ½οΏ½ + ππ
π1β2οΏ½οΏ½
π1π (π7,1
β1 β π1β1)
= 2.473 + (0.64) (13.456
14.943) (2.457 β 1.878) = 2.771.
y = 0.6479x - 0.0486
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
Residual kerugian yang dibayarkan
y = 0.4558x + 0.0982
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
Residual kerugian yang terjadi
23
sedangkan untuk kerugian yang terjadi dengan informasi π1β2οΏ½οΏ½ = 1.652 untuk
menghitung π7,2
π1β2οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
π1β2οΏ½οΏ½
π1πΌ (π7,1 β π1)
= 1.652 + (0.44) (9.727
5.711) (40.7% β 53.3%) = 1.558.
Hasil perhitungan lengkap, terdapat di Lampiran 1.
Hasil di atas sebagai estimasi untuk nilai π7,2 sebesar (2044)(2.771) =5663 dan untuk nilai πΌ7,2 sebesar (5022)(1.558) = 7824 . Untuk proyeksi di
tahun lainnya, tersaji di Tabel 11 untuk kerugian yang dibayarkan dan Tabel 12
untuk kerugian yang terjadi.
Tabel 11 Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan
Mack dengan metode Munich chain-ladder
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1 2 3 4 5 6 7
1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131
2 866 1948 2162 2232 2284 2348 2383
3 1412 3758 4252 4416 4494 4573 4597
4 2286 5292 5724 5850 5967 6081 6119
5 1868 3778 4648 4762 4848 4922 4937
6 1442 4010 4387 4492 4573 4642 4655
7 2044 5663 6948 7180 7332 7487 7549
Tabel 11 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang
dibayarkan, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai
contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus
disediakan adalah sejumlah 4492, merupakan proyeksi total klaim yang
dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang
dilaporkan sampai dengan tahun keempat.
Tabel 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
dengan metode Munich chain-ladder
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1 2 3 4 5 6 7
1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174
2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2444
3 2904 4354 4698 4600 4644 4618 4629
4 3502 5958 6070 6142 6212 6167 6176
5 2812 4882 4852 4885 4945 4932 4951
6 2642 4406 4567 4601 4657 4647 4666
7 5022 7824 7683 7641 7724 7648 7649
24
Tabel 12 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang
terjadi, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai
contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus
disediakan adalah sejumlah 4601, merupakan proyeksi total klaim yang
dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilporkan
sampai dengan tahun keempat.
Langkah selanjutnya yaitu, melihat bagaiamana metode MCL dapat
mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi, sebagai kelebihan dari metode ini. Tabel 13, menjelaskan gap antara
proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, kolom
berwarna putih menunjukkan data klaim sebelum dilakukan proyeksi, dan kolom
berwarna biru menunjukkan proyeksi klaim dengan metode MCL.
Tabel 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-
ladder
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1 2 3 4 5 6 7
1 402 300 164 120 100 80 43
2 978 604 304 248 224 106 61
3 1492 596 446 184 150 45 32
4 1216 666 346 292 244 87 57
5 944 1104 204 124 97 9 14
6 1200 396 180 109 84 5 11
7 2978 2161 735 461 392 161 100
Dibandingkan dengan hasil perhitungan menggunakan metode chain-ladder,
hasil proyeksi dari metode MCL jauh lebih baik dalam mengurangi gap antara
proyeksi IBNR kerugian yang terjadi dengan kerugian yang dibayarkan.
Perhitungan CL jauh lebih sederhana dibandingkan MCL, langkah perhitungan
lengkapnya tersaji pada Lampiran 2.
Dilihat dari Tabel 14, dengan metode CL gap antara proyeksi kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi terdapat nilai negatif. Artinya, ada
proyeksi dari kerugian yang dibayarkan lebih besar dibandingkan dengan proyeksi
dari kerugian yang terjadi. Hasil proyeksi ini tentu saja tidak sesuai dengan
prediksi yang diharapkan, karena hasil perhitungan dari metode CL menghasilkan
prediksi yang kurang baik.
25
Tabel 14 Gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang
terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1 2 3 4 5 6 7
1 402 300 164 120 100 80 43
2 978 604 304 248 224 106 111
3 1492 596 446 184 150 75 78
4 1216 666 346 292 12 -104 -110
5 944 1104 204 -72 -331 -450 -472
6 1200 396 36 -244 -507 -631 -663
7 2978 2706 2589 2530 2456 2503 2628
Pada contoh kasus yang kedua, digunakan data dari perusahaan Lloydβs.
Diberikan data awal dari run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan
kerugian yang terjadi yang melibatkan 10 tahun waktu kejadian dan 10 tahun
waktu penundaan. Dengan menggunakan metode MCL dilakukan perhitungan
mencari parameter yang diperlukan (perhitungan lengkapnya pada Lampiran 3).
Pada akhirnya, diperoleh estimasi untuk ππ dari Gambar 5 sebesar 1.329 dan ππΌ
dari Gambar 6 sebesar β0.081. Estimasi ini tidak memenuhi syarat bahwa nilai π
harus berada antara 0 dan 1 , akibatnya metode MCL tidak dapat melakukan
proyeksi dengan baik karena tidak memenuhi syarat yang ditetapkan.
Gambar 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloydβs
y = 1.3296x + 0.7009
-5
0
5
10
15
20
25
-2 -1 0 1 2 3
Residual kerugian yang dibayarkan
26
Gambar 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloydβs
Dilihat dari Tabel 17, gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan
dan kerugian yang terjadi dengan metode MCL terdapat nilai negatif, artinya
metode MCL tidak cukup baik untuk memproyeksi cadangan klaim untuk data
tersebut. Oleh karena itu, diperlukan metode lain saat metode MCL tidak
menghasilkan proyeksi yang baik.
Tabel 17 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian
yang terjadi dari data Lloydβs dengan metode Munich chain-ladder
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode cadangan klaim Munich chain-ladder (MCL) dalam aplikasinya
dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR berdasarkan kerugian yang
dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan memprediksi pembayaran klaim
dimasa yang akan datang. Metode MCL menunjukkan bahwa antara kerugian
yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi hampir selalu ada korelasi. Dalam
y = -0.081x + 0.374
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-2 -1 0 1 2
Residual kerugian yang terjadi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1346 6393 6816 6932 5942 1570 931 308 290 212
2 1350 4664 4960 2601 6383 2925 1485 934 342 193
3 1829 3863 7302 6041 7334 4511 2334 800 437 173
4 137 2381 7910 10288 10194 3441 2758 1943 -205 -369
5 1363 2668 2819 4193 5661 6984 5922 5398 -1371 -1523
6 247 5061 3790 6773 5768 3093 2211 1571 -175 -304
7 1195 2222 4207 5942 6340 3062 2168 1513 -151 -282
8 274 1751 2542 2708 3682 2542 1853 1361 -181 -281
9 1984 4670 6214 7015 7725 3963 2821 1990 -212 -379
10 1473 5023 7198 8088 9072 4808 3433 2435 -268 -469
Tahun
Kejadian
Tahun Penundaan
27
penerapannya, metode MCL menghasilkan proyeksi yang baik saat memenuhi
kriteria π bernilai antara 0 sampai 1.
Perhitungan dengan metode chain-ladder (CL) lebih praktis dan sederhana
jika dibandingkan dengan perhitungan dengan metode MCL. Namun, proyeksi
yang dihasilkan oleh metode MCL lebih baik dan lebih dapat diandalkan
dibandingkan proyeksi yang dihasilkan oleh metode CL. Oleh karena itu, metode
MCL dapat diaplikasikan pada portofolio asuransi di Indonesia, khususnya
portofolio asuransi kerugian.
Saran
Langkah selanjutnya adalah menduga kesalahan prediksi klaim dari
perhitungan metode Munich chain-ladder dengan teknik bootstrap. Langkah ini
perlu untuk melihat ketepatan metode MCL dalam memproyeksikan pembayaran
klaim di masa yang akan datang, serta mengkaji metode lainnya yang dapat
digunakan saat metode MCL tidak menghasilkan poyeksi yang baik.
DAFTAR PUSTAKA
Antonio K, Beirlant J, Hoedemakers T, dan Verlaak R. 2006. Lognormal mixed
models for reported claims reserves. North American Actuarial Journal.
10(1):30β48.doi:10.1080/10920277.2006.10596238.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed
ke-7. New Jersey (US): Prentice Hall Inc.
Hossack IB, Pollard JH, Zenwirth B. 1999. Introductory Statistics with
Applications in General Insurance. Ed ke-2. Cambridge (UK): University of
Cambride Press.
Mack T. 1993. Distribution-free calculation of the standard error of chain-ladder
reserve estimates. Astin Bulletin. 23(2):213-225.
Olofsson M. 2006. Stochastic loss reserving testing the new guidelines from the
Australian prudential regulation authority (APRA) on Swedish portfolio
data using a bootstrap simulation and distribution-free method by Thomas
Mack [tesis]. Stockholm (SE): Stockholm University.
Quarg G, Mack T. 2008. Munich chain-ladder:a reserving method that reduces the
gap between IBNR projections based on paid losses and IBNR projections
based on incurred losses. Variance. 2(2):266β299.doi: 10.1007/bf02808969.
Williams D. 1991. Probability with Martingales. Cambridge (UK): University of
Cambride Press.
Yunawan G. 2013. Model Stokastik Berdasarkan Teknik Chain-Ladder [skripsi].
Yogyakarta (ID): Universitas Gajah Mada.
28
Lampiran 1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-
ladder
Hasil perhitungan res(ππ,π β1)
2 dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan res(ππ,π β1)res(ππ,π‘) dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan πβ1 dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ π (ππ,π
β1 β ποΏ½οΏ½β1) dari data Quarg dan Mack
1 2 3 4 5 6 7
1 0.083 0.010 0.011 0.001 0.018 0.528
2 0.246 1.363 1.802 2.392 1.412 0.472
3 0.203 0.057 0.652 0.456 0.570
4 1.224 0.579 0.378 0.150
5 1.159 1.978 1.156
6 0.013 1.013
7 3.072
1 2 3 4 5 6 7
1 -0.358 0.045 -0.019 0.027 0.098 0.000
2 -0.203 -0.301 0.393 0.884 0.820
3 0.283 -0.001 1.008 0.661
4 0.478 0.749 0.708
5 1.433 2.335
6 -0.112
7
(π )* ( )
1 2 3 4 5 6 7
1 1.698 1.166 1.083 1.059 1.048 1.038 1.020
2 2.129 1.310 1.141 1.111 1.098 1.045 1.015
3 2.057 1.159 1.105 1.042 1.033 1.018 1.005
4 1.532 1.126 1.060 1.050 1.020 1.019 1.006
5 1.505 1.292 1.044 1.024 1.018 1.015 1.003
6 1.832 1.099 1.094 1.024 1.018 1.015 1.003
7 2.457 2.771 1.226 1.034 1.021 1.021 1.009
1 2 3 4 5 6 7
1
2 1.015
3 1.018 1.005
4 1.020 1.019 1.006
5 1.024 1.018 1.015 1.003
6 1.094 1.024 1.018 1.015 1.003
7 2.771 1.227 1.033 1.021 1.021 1.009
29
Hasil perhitungan res(ππ,π )2 dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan res(ππ,π ) res(πΌπ,π‘) dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan Q dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ πΌ (ππ,π β ποΏ½οΏ½) dari data Quarg dan Mack
1 2 3 4 5 6 7
1 0.095 0.011 0.011 0.001 0.019 0.529
2 0.224 1.280 1.734 2.362 1.386 0.471
3 0.191 0.061 0.648 0.480 0.595
4 1.551 0.633 0.391 0.157
5 1.496 1.883 1.215
6 0.014 1.134
7 2.428
( )
1 2 3 4 5 6 7
1 0.495 -0.008 -0.024 -0.037 0.101 0.000
2 0.560 1.176 -0.378 -0.148 0.802 0.000
3 0.370 0.385 1.139 -0.584 0.000
4 0.373 0.004 0.582 0.000
5 0.560 0.934 0.000
6 0.010 0.000
7 0.000
*
1 2 3 4 5 6 7
1 0.589 0.857 0.923 0.944 0.954 0.963 0.980
2 0.470 0.763 0.877 0.900 0.911 0.957 0.996
3 0.486 0.863 0.905 0.960 0.968 0.994 1.002
4 0.653 0.888 0.943 0.952 1.011 0.993 1.002
5 0.664 0.774 0.958 1.007 1.012 0.997 1.004
6 0.546 0.910 1.037 1.007 1.012 0.998 1.004
7 0.407 1.558 0.982 0.995 1.011 0.990 1.000
1 2 3 4 5 6 7
1
2 0.996
3 0.994 1.002
4 1.011 0.993 1.002
5 1.007 1.012 0.997 1.004
6 1.037 1.007 1.012 0.998 1.004
7 1.558 0.982 0.995 1.011 0.990 1.000
30
Lampiran 2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder
Hasil pembagi rasio run-off kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack
Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk
kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack
Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan
metode chain-ladder
Hasil pembagi rasio dari run-off kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7
1 3.132 1.092 1.027 1.025 1.014 1.014
2 2.249 1.110 1.032 1.023 1.028
3 2.661 1.131 1.039 1.018
4 2.315 1.082 1.022
5 2.022 1.230
6 2.781
7
P 1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7 Tail
Simple Average 2,527 1,129 1,030 1,022 1,021 1,014 1,050
Weighted Average 2,437 1,131 1,029 1,021 1,021 1,014 1,050
Selected 1,291 1,144 1,110 1,087 1,064 1,050 1,000
% Paid 77% 87% 90% 92% 94% 95% 100%
1 2 3 4 5 6 7
1 576 1804 1970 2024 2074 2102 2131
2 866 1948 2162 2232 2284 2348 2465
3 1412 3758 4252 4416 4494 4784 5023
4 2286 5292 5724 5850 6357 6766 7105
5 1868 3778 4648 5161 5608 5969 6268
6 1442 4010 4587 5093 5534 5891 6185
7 2044 2640 3019 3352 3643 3878 4071
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7
1 2.151 1.014 1.005 1.014 1.004 0.996
2 1.384 0.966 1.006 1.011 0.978
3 1.499 1.079 0.979 1.010
4 1.701 1.019 1.012
5 1.736 0.994
6 1.668
7
31
Hasil perhitungan simple average, weighted average dan faktor pengali untuk
kerugian yang diterjadi dari data Quarg dan Mack
Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan
metode chain-ladder
I 1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7 Tail
Simple Average 1,690 1,014 1,000 1,012 0,991 0,996 1,050
Weighted Average 1,652 1,019 1,000 1,011 0,990 0,996 1,050
Selected 1,064 1,049 1,049 1,037 1,046 1,050 1,000
% Inc 94% 95% 95% 96% 96% 95% 100%
1 2 3 4 5 6 7
1 978 2104 2134 2144 2174 2182 2174
2 1844 2552 2466 2480 2508 2454 2577
3 2904 4354 4698 4600 4644 4858 5101
4 3502 5958 6070 6142 6368 6662 6995
5 2812 4882 4852 5089 5276 5520 5796
6 2642 4406 4623 4849 5027 5259 5522
7 5022 5345 5608 5882 6099 6380 6699
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
32
Lampiran 3 Pengolahan data Lloydβs dengan metode Munich chain-ladder
Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter Ο dari data Lloydβs
Hasil perhitungan (P/I) dan (I/P) serta parameter Ο dari data Lloydβs
Hasil perhitungan res(ππ,π‘) dari data Lloydβs
Hasil perhitungan res(ππ,π β1) dari data Lloydβs
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7 7β8 8β9 9β10
5.185 3.149 1.636 1.359 1.486 1.077 1.031 1.134 1.003
3.776 1.858 1.351 1.248 1.096 1.002 0.983 1.105 0.996
136.558 56.419 23.229 23.295 35.175 5.962 0.401 16.739
131.142 56.711 22.110 19.288 15.944 6.239 1.791 13.455
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18.1% 25.0% 45.0% 52.7% 58.4% 79.3% 90.4% 96.5% 97.9% 97.9%
553.2% 400.0% 222.3% 189.8% 171.4% 126.1% 110.6% 103.6% 102.2% 102.1%
5.049 9.221 14.118 21.925 17.846 17.167 4.684 2.264 0.881
110.962 101.386 134.467 755.971 465.824 678.318 246.217 119.428 26.556
ποΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
ππ οΏ½οΏ½
ππ β1
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7 7β8 8β9 9β10
1 1.523 -1.212 -0.617 -0.694 -0.108 -0.005 0.148 -0.784
2 1.465 -0.836 1.762 -0.959 0.240 0.753 1.121 0.686
3 -0.631 2.745 -0.666 0.119 -0.897 -1.229 -0.887
4 0.041 1.924 -0.516 2.868 2.672 1.078
5 -1.009 -1.123 -0.934 0.093 -0.496
6 2.750 4.012 0.045 0.093
7 0.082 1.107 2.820
8 21.350 -1.072
9 2.782
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.340 0.197 0.271 0.375 0.406 -0.122 -0.039 -0.044 0.278
2 0.469 -0.021 0.043 -0.669 0.014 -0.086 -0.045 0.239 -0.201
3 -0.428 -0.618 -0.411 -0.877 -1.225 -0.263 -0.192 -0.147
4 -0.183 0.659 0.893 1.899 1.532 -0.039 0.334
5 -0.836 -0.578 -0.187 0.005 0.287 0.777
6 0.283 1.606 -0.050 0.299 0.047
7 0.879 0.434 0.298 0.260
8 0.304 -0.840 -0.263
9 2.608 0.880
10 0.044
33
Hasil perhitungan res(ππ,π β1)
2 dari data Lloydβs
Hasil perhitungan res(ππ,π β1) res(ππ,π‘) dari data Lloydβs
Hasil perhitungan πβ1 dari data Lloydβs
Hasil perhitungan ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ π (ππ,π
β1 β ποΏ½οΏ½β1) dari data Lloydβs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.116 0.039 0.074 0.141 0.165 0.015 0.001 0.002 0.077
2 0.220 0.000 0.002 0.447 0.000 0.007 0.002 0.057 0.040
3 0.183 0.382 0.169 0.770 1.499 0.069 0.037 0.022
4 0.034 0.434 0.797 3.606 2.346 0.002 0.112
5 0.698 0.334 0.035 0.000 0.082 0.603
6 0.080 2.579 0.003 0.090 0.002
7 0.773 0.188 0.089 0.067
8 0.092 0.705 0.069
9 6.802 0.774
10 0.002
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.518 -0.239 -0.167 -0.260 -0.044 0.001 -0.006 0.035 0.000
2 0.687 0.018 0.075 0.641 0.003 -0.064 -0.050 0.164 0.000
3 0.270 -1.697 0.274 -0.104 1.098 0.323 0.170 0.000
4 -0.008 1.268 -0.460 5.445 4.094 -0.042 0.000
5 0.843 0.649 0.174 0.000 -0.142 0.000
6 0.778 6.443 -0.002 0.028 0.000
7 0.072 0.480 0.842 0.000
8 6.490 0.900 0.000
9 7.255 0.000
10 0.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 8.315 4.465 2.819 2.284 1.954 1.174 1.096 1.031 1.029 1.021
2 9.710 3.946 2.316 1.329 1.721 1.212 1.097 1.059 1.018 1.003
3 3.706 2.689 1.687 1.375 1.331 1.156 1.078 1.026 1.115 1.003
4 3.045 7.488 4.881 4.573 2.611 1.240 1.170 1.033 1.283 1.003
5 2.478 2.576 1.800 1.903 1.880 1.839 1.145 1.042 2.079 1.003
6 12.227 11.371 2.107 2.199 1.738 1.510 1.077 1.033 1.290 1.003
7 16.724 6.108 3.125 2.174 1.472 1.623 1.076 1.033 1.276 1.003
8 12.417 1.983 1.655 1.506 1.181 1.305 1.080 1.033 1.319 1.003
9 51.872 7.268 5.568 1.699 1.399 1.556 1.077 1.033 1.284 1.003
10 5.814 5.646 3.080 1.666 1.365 1.522 1.077 1.033 1.288 1.003
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2 1.003
3 1.115 1.003
4 1.033 1.283 1.003
5 1.145 1.042 2.079 1.003
6 1.510 1.077 1.033 1.290 1.003
7 1.472 1.623 1.076 1.033 1.276 1.003
8 1.506 1.181 1.305 1.080 1.033 1.319 1.003
9 5.568 1.699 1.399 1.556 1.077 1.033 1.284 1.003
10 5.646 3.080 1.666 1.365 1.522 1.077 1.033 1.288 1.003
34
Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Lloydβs dengan metode
Munich chain-ladder
Hasil perhitungan res(πΌπ,π‘) dari data Lloydβs
Hasil perhitungan res(ππ,π ) dari data Lloydβs
Hasil perhitungan res(ππ,π )2 dari data Lloydβs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 184 1845 3748 5400 6231 9006 9699 10008 10035 10068
2 155 1583 3768 7899 8858 13795 15360 15895 19333 19397
3 676 2287 10635 16102 22177 28825 29828 30700 34233 34346
4 67 367 2038 2879 6329 14366 16201 16730 21465 21535
5 922 1693 3523 4641 6431 8325 9530 9934 20658 20726
6 22 488 3424 5649 7813 11799 12711 13127 16929 16985
7 76 435 1980 5062 7450 12094 13017 13441 17156 17212
8 24 1782 3881 5843 6898 9001 9718 10039 13245 13289
9 39 745 4148 7048 9858 15336 16515 17055 21899 21971
10 306 1728 5321 8864 12096 18410 19831 20480 26381 26468
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
1β2 2β3 3β4 4β5 5β6 6β7 7β8 8β9 9β10
1 1.113 -1.043 -0.922 -1.495 -1.465 0.051 -0.732 -0.788
2 0.226 -0.759 -0.685 1.300 0.009 0.114 1.136 0.667
3 -0.790 2.501 -0.783 0.751 0.385 -1.070 -0.391
4 3.875 3.100 -0.142 0.043 -0.153 1.384
5 -0.940 -0.566 0.179 0.686 1.320
6 9.572 -0.835 1.870 -0.937
7 -0.663 0.653 2.029
8 3.662 -0.056
9 -0.617
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 -0.469 -0.256 -0.692 -0.451 -0.443 0.352 0.175 0.223 -0.810
2 -0.598 0.029 -0.120 1.053 -0.016 0.244 0.204 -1.185 0.587
3 0.883 1.036 1.357 1.359 1.617 0.765 0.879 0.739
4 0.418 -0.662 -1.731 -1.613 -1.444 0.109 -1.468
5 2.108 0.990 0.596 -0.007 -0.318 -1.794
6 -0.321 -1.309 0.149 -0.367 -0.054
7 -0.854 -0.482 -0.724 -0.320
8 -0.343 1.640 0.876
9 -1.438 -0.897
10 -0.073
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.220 0.066 0.479 0.203 0.196 0.124 0.031 0.050 0.656
2 0.357 0.001 0.014 1.110 0.000 0.059 0.042 1.405 0.344
3 0.780 1.074 1.841 1.848 2.614 0.586 0.772 0.546
4 0.174 0.438 2.997 2.602 2.085 0.012 2.155
5 4.445 0.980 0.355 0.000 0.101 3.219
6 0.103 1.714 0.022 0.134 0.003
7 0.729 0.233 0.524 0.102
8 0.117 2.689 0.768
9 2.069 0.805
10 0.005
35
Hasil perhitungan res(ππ,π ) res(πΌπ,π‘) dari data Lloydβs
Hasil perhitungan Q dari data Lloydβs
Hasil perhitungan ππ βπ‘οΏ½οΏ½ + ποΏ½οΏ½
ππ βπ‘οΏ½οΏ½
ππ πΌ (ππ,π β ποΏ½οΏ½) dari data Lloydβs
Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Lloydβs dengan metode
Munich chain-ladder
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 -0.522 0.267 0.638 0.674 0.649 0.018 -0.128 -0.175 0.000
2 -0.135 -0.022 0.082 1.369 0.000 0.028 0.232 -0.790 0.000
3 -0.697 2.592 -1.063 1.021 0.623 -0.819 -0.344 0.000
4 1.618 -2.052 0.245 -0.070 0.221 0.151 0.000
5 -1.983 -0.561 0.106 -0.005 -0.420 0.000
6 -3.077 1.093 0.278 0.344 0.000
7 0.566 -0.315 -1.468 0.000
8 -1.255 -0.092 0.000
9 0.887 0.000
10 0.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0.120 0.224 0.355 0.438 0.512 0.852 0.912 0.970 0.972 0.979
2 0.103 0.253 0.432 0.752 0.581 0.825 0.912 0.945 0.983 0.996
3 0.270 0.372 0.593 0.727 0.751 0.865 0.927 0.975 1.101 0.996
4 0.328 0.134 0.205 0.219 0.383 0.807 0.855 0.985 1.139 0.996
5 0.404 0.388 0.556 0.525 0.532 0.544 1.009 0.992 1.258 0.996
6 0.082 0.088 0.475 0.455 0.575 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996
7 0.060 0.164 0.320 0.460 1.253 1.099 1.002 0.985 1.137 0.996
8 0.081 0.504 0.604 0.996 1.237 1.091 1.002 0.985 1.146 0.996
9 0.019 0.138 1.914 0.996 1.250 1.098 1.002 0.985 1.139 0.996
10 0.172 3.795 1.855 0.996 1.249 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2 0.996
3 1.101 0.996
4 0.985 1.139 0.996
5 1.009 0.992 1.258 0.996
6 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996
7 1.253 1.099 1.002 0.985 1.137 0.996
8 1.331 1.237 1.091 1.002 0.985 1.146 0.996
9 1.914 1.357 1.250 1.098 1.002 0.985 1.139 0.996
10 3.795 1.855 1.354 1.249 1.097 1.002 0.985 1.140 0.996
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1530 8238 10564 12332 12173 10576 10630 10316 10325 10280
2 1505 6247 8728 10500 15241 16720 16845 16829 19675 19589
3 2505 6150 17937 22143 29511 33336 32162 31500 34670 34519
4 204 2748 9948 13167 16523 17807 18959 18673 21259 21167
5 2285 4361 6342 8834 12092 15309 15452 15332 19287 19203
6 269 5549 7214 12422 13581 14892 14922 14698 16754 16681
7 1271 2657 6187 11004 13790 15156 15184 14954 17005 16930
8 298 3533 6423 8551 10580 11543 11570 11401 13064 13007
9 2023 5415 10362 14063 17583 19299 19336 19045 21687 21592
10 1779 6751 12520 16952 21168 23218 23264 22915 26113 25999
Tahun
kejadian
Tahun penundaan
36
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada hari Rabu, 26 Januari 1994 di Padang. Penulis
merupakan putra pertama dari Bapak Agus Darusman dan Ibu Mardiana. Tahun
2011 penulis lulus dari SMA Negeri 10 Kota Padang dan lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor melalu Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri
(SNMPTN) jalur undangan. Penulis diterima di Departemen Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selain mengikuti perkuliahan pada
mayor Matematika, penulis juga mengikuti perkuliahan minor Statistika Terapan.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan berorganisasi.
Di tahun pertama penulis aktif menjadi anggota Koperasi Mahasiswa (Kopma)
IPB, aktif di Organisasi Mahasiswa Daerah (OMDA) yakni Ikatan Pelajar
Mahasiswa Minang (IPMM) dan Himpunan Mahasiswa Padang (HIMAPD).
Penulis pernah menjabat sebagai Vice President External Relation (VP-ER) di
Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) AIESEC IPB, dan menjadi Ketua Departemen
Public Relation di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) IPB. Penulis juga
pernah menjadi panitia di beberapa kegiatan, di antaranya menjadi ketua
pelaksana The 3ππ IPB Mathematics Challenges 2014, ketua Divisi Sponsorship
Matematika Ria 2014, dan anggota divisi di beberapa kegiatan Gumatika IPB.
Penulis juga pernah tampil bersama grup akustik Elipsoid dan grup nasyid Guma-
voice di beberapa seminar nasional dan acara fakultas.
Penulis pernah menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II selama dua periode
yaitu periode Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014 dan 2014/2015 serta mata
kuliah Pemrograman Linear pada periode Semester Genap Tahun Ajaran
2013/2014. Penulis pernah mengikuti program magang profesi di bagian
Departemen Aktuaria PT. Asuransi Jiwa Manulife Indonesia selama tiga bulan
(Juni-Agustus 2014).
Selama perkuliahan, penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan
Prestasi Akademik (PPA) dari DIKTI. Penulis juga memperoleh beasiswa AIA
Future Actuaries Program yang diberikan oleh PT. AIA Financial.