TRABAJO FINAL INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

JOSE GREGORIO HERNANDEZ HOYOS

JULIAN ANDRES GIRALDO HENAO

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

ARMENIA

2013-2

Planteamiento del problema

Una empresa fabrica tres productos 1, 2 y 3, que deben procesarse en dos tipos de maquinaria denominadas

A y B. En la siguiente tabla se recogen los tiempos de procesamiento (por tonelada procesada) con cada

máquina, los beneficios (por tonelada procesada) en euros, y la disponibilidad de cada tipo de maquinaria (en

horas por semana):

Tipo Maquinaria Productos 1 2 3

Disponibilidad (Horas)

A 2 5 4 70

B 3 4 6 86

Benef./ton. (miles de euros) 800 700 950

La empresa considera aumentar la disponibilidad de tiempo de procesamiento de la maquinaria Para ello, puede

llevar a cabo alguna de las posibilidades indicadas a continuación:

Tipo Maquinaria A B

Incremento disp.(horas) 10 15 8 12

Coste Inversión (miles euros)

1600 1700 1700 1750

A lo sumo, se puede realizar un tipo de incremento para cada máquina. Gracias a un estudio de mercado se

conocen los límites de demanda de los productos, que son:

Producto Demanda (ton) Mínima Máxima

1 6 17

2 3 8

3 7 20

Además, la inversión total no puede exceder de 3400000 euros. Se pide:

a) Formular el problema que se debe plantear la dirección de la empresa para obtener el plan de procesamiento

e inversión de mayor beneficio.

b) Si la empresa desease aumentar la disponibilidad de un sólo tipo de maquinaria, ¿cómo se modifica el

modelo anterior reflejando tal situación?

c) Si no se quiere añadir disponibilidad de B a menos que se añada de A, ¿cómo se representa esta nueva

condición?

d) La empresa desea ampliar la disponibilidad con la maquinaria B si, y sólo si, se incrementa también la A.

¿Cómo debe modificarse la condición considerada en el apartado anterior?

Solución

a) El problema que se debe plantear la dirección de la empresa para un mayor beneficio debe ser:

Las variables de decisión son:

X1, x2 y x3: cantidad de cada producto que se fabrica.

Variables binarias que nos indican si se realiza cada uno de los 4 posibles incrementos o no:

𝐴1, 𝐴2 , 𝐵1 , 𝐵2

𝑨𝟏 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

𝑨𝟏 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟓 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

𝑩𝟏 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟖 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

𝑩𝟐 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟐 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

La función objetivo a maximizar: beneficios de venta - coste incremento de capacidad de las maquinas

𝟖𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟕𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟗𝟓𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝟎𝟎𝑨𝟏 − 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨𝟐 − 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨𝟑 − 𝟏𝟕𝟓𝟎𝑨𝟒

Restricciones:

Disponibilidad de Maquinaria

𝟐𝒙𝟏 + 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟑 ≤ 𝟕𝟎 + 𝟏𝟎𝑨𝟏 + 𝟏𝟓𝑨𝟐 Máquina A

𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟑 ≤ 𝟖𝟔 + 𝟖𝑩𝟏 + 𝟏𝟐𝑩𝟐 Máquina B

A lo sumo, se puede realizar un tipo de incremento para cada máquina:

𝐴1 + 𝐴2 ≤ 1 (1)

𝐵1 + 𝐵2 ≤ 1 (2)

Límites de la demanda de cada producto:

𝟔 ≤ 𝒙𝟏 ≤ 𝟏𝟕

𝟑 ≤ 𝒙𝟐 ≤ 𝟖

𝟕 ≤ 𝒙𝟑 ≤ 𝟐𝟎

La inversión total no puede exceder de 3400000 euros

𝟏𝟔𝟎𝟎𝑨𝟏 + 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑨𝟐 + 𝟏𝟕𝟎𝟎𝑩𝟏 + 𝟏𝟕𝟓𝟎𝑩𝟐 ≤ 𝟑𝟒𝟎𝟎

X1, x2, x3 ≥ 0 y A1, A2, B1 y B2 variables binarias.

Para obtener los valores numéricos de las variables y el análisis de sensibilidad se hará uso de la herramienta

Winqsb.

Como primer paso se introducen las especificaciones para iniciar el análisis, para este primer caso tenemos un

problema de 7 variables e inicialmente 11 restricciones.

Figura1. Configuración Inicial Winqsb

Seguidamente ingresamos los valores de las restricciones como se muestra en la Figura2.

En este paso se introducen los coeficientes de las restricciones y la función objetivo. En la parte Inferior se

especifica si es variable continua o Binaria.

Figura2.Ventana Ingreso Parámetros

Generamos la solución al problema modelado inicialmente

Figura3.Cuadro solución al problema

Interpretación de resultados:

En la figura3 se muestra un resumen de los resultados generados por la herramienta. Se puede

visualizar los valores de las variables de decisión (continua y binaria), beneficio, el costo reducido que

para el caso de las variables básicas es cero ya que no hay aporte de estas al modelo.

Se puede observar el beneficio máximo bajo las condiciones planteadas, para dicho modelo el

beneficio máximo será de €17800.

En la parte inferior se puede ver información referente a las restricciones como por ejemplo los

intervalos de optimalizad, precio sombra y el excedente o desperdicio.

El costo marginal se interpreta como el costo que genera incrementar una unidad para cada variable

no básica para este caso 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐵1 + 𝐵2

Precios sombra (indican cuánto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso,

o bien, la mejora en el valor de la función objetivo por incremento unitario de cada recurso).

De la restricción C1 se puede decir que por cada unidad que incrementemos la disponibilidad nos

aumentará €400 el beneficio máximo. Ver figura3 y Figura4.

Figura4. Cambio en la Disponibilidad C1

Figura4.Resultados al cambiar la disponibilidad de C1

Se realiza un cambio de disponibilidad en C7 (Figura5) para ver el cambio en el beneficio máximo (figura6).

Figura5.Cambio de disponibilidad en C7

Figura6.Resultados obtenidos al cambiar la disponibilidad de C7

b) Al aumentar la disponibilidad en un solo tipo de maquinaria el modelo se modificaría así:

Si se siguen manteniendo las restricciones (1) y (2), entonces es suficiente con añadir

𝐴1 + 𝐴2 + 𝐵1 + 𝐵2 ≤ 1

Si no se mantienen, es decir, solo se puede invertir en una maquina pero las ampliaciones se pueden acumular,

entonces hay que añadir 2 nuevas variables binarias que indiquen si se invierte o no en cada máquina:

𝑨 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑨 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

𝑨 = {𝟏, 𝑺𝒊 𝒔𝒆 𝒓𝒆𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂 𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒄𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂 𝑩 𝟎, 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

Estas 2 variables toman su valor en función del valor de las variables binarias previamente definidas:

𝐴1 + 𝐴2 ≤ 2𝐴 (3)

𝐴1 + 𝐴2 ≤ 2𝐵 (4)

Estas 2 restricciones sustituirían a las anteriores (1) y (2). Además, habría que añadir para modelar la condición

que se nos pide ahora:

𝐴 + 𝐵 ≤ 1

Resultados en Winqsb

Figura7.Modelo con restricción planteada en el numeral b

Figura8.Beneficio máximo al introducir la nueva restricción

c) Si no se quiere añadir disponibilidad de B a menos que se añada de A la condición quedaría

representada de la siguiente manera:

Si no se elimina la condición de, a lo sumo una inversión en cada máquina, habría que añadir la restricción:

𝐵1 + 𝐵1 ≤ 𝐴1 + 𝐴2

Si se elimina la condición, entonces se definen A y B como antes y se añade la restricción:

𝐵 ≤ 𝐴

Figura9.Ingresamos la restricción planteada en el numeral c

Figura10.Resultados del modelo con la restricción ingresada

Realizamos un cambio en la disponibilidad de C2 para ver el impacto en el beneficio Maximo(figura11).

Figura11.Aumento de la disponibidad en C2

Figura12.Tabla con cambios generados en el paso anterior

Con el anterior procedimiento se verifico el precio sombra para la restricción C2, de donde se ve que un

aumento en una unidad de la disponibilidad nos representa €266,6667 de ganancia.

d) La empresa desea ampliar la disponibilidad con la maquinaria B si, y sólo si, se incrementa

también la A. ¿Cómo debe modificarse la condición considerada en el apartado anterior?

Para que se cumpla dicha condición se debe cambiar la desigualdad por una igualdad, quedando:

𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

Figura13.Cambio de restricción planteada en el numeral d

Figura14.Resultados del modelo propuesto en el numeral d

De la solución anterior se puede concluir:

Se muestra un resumen de los resultados generados por la herramienta. Se puede visualizar los

valores de las variables de decisión (continua y binaria), beneficio, el costo reducido que para el caso

de las variables básicas es cero ya que no hay aporte de estas al modelo.

Se puede observar el beneficio máximo bajo las condiciones planteadas, para dicho modelo el

beneficio máximo será de €1728,33.

En la parte inferior se puede ver información referente a las restricciones como por ejemplo los

intervalos de optimalizad, precio sombra y el excedente o desperdicio.

El costo marginal se interpreta como el costo que genera incrementar una unidad para cada variable

no básica para este caso 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐵1 , 𝐵2

Precios sombra (indican cuánto se estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de cada recurso,

o bien, la mejora en el valor de la función objetivo por incremento unitario de cada recurso).

De la restricción C2 se puede decir que por cada unidad que incrementemos la disponibilidad nos

aumentará €266,6667 el beneficio máximo. Ver figura3 y Figura4.

El costo por unidad o utilidad por unidad nos muestra la cantidad de pesos que vamos a ganar por cada tipo de

producto (800,700 y 950 respectivamente).

El costo reducido nos indica el dinero que hemos dejado de ganar por cada unidad no fabricada, en este caso

el negocio suele ser rentable ya que el costo reducido es 0.

El rango mínimo y máximo de 𝐶𝑗, es la cantidad mínima o máxima que puedo obtener sin que la base actual

cambie para este caso sería 𝑋1 = [525 , 837.5 ] , 𝑋2 = [−∞ , 1066.667 ] 𝑋3 = [−∞ , 1600 ].

Las holguras (Slack o surplas) nos indican un faltante o bien un sobrante.

El rango mínimo y máximo de 𝑏𝑗 (Allowable Min/máx. RHS) es el intervalo de cantidades de recurso que se

debe de mantener sin que la base actual cambie.