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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Industrial

Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

Autor: Natalia Romero Rueda

Tutor: Andrés Jesús Martínez Donaire

Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2016

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iii Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Industrial

Análisis numérico de procesos de conformado

incremental a alta velocidad.

Autor:

Natalia Romero Rueda

Tutor:

Andrés Jesús Martínez Donaire

Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla Sevilla, 2016

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v Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

Proyecto Fin de Carrera: Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

Autor: Natalia Romero Rueda

Tutor: Andrés Jesús Martínez Donaire

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2016

El Secretario del Tribunal

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vii Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

A mi familia

A mis maestros

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ix Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

AGRADECIMIENTOS Quisiera agradecer a mis padres todo el esfuerzo que han hecho para que este día llegase. Por evitar que no me desviase del camino y hacerme ver que todo el esfuerzo valió la pena. A mis hermanos por ser una referencia en mi vida y a Rafa por apoyarme en todos los momentos duros que hemos vivido juntos durante esta andadura.

No quiero olvidarme de todas esas maravillosas personas que he conocido gracias a la Universidad, con las cuales he convivido en esta etapa de mi vida y que sin duda estarán ahí para siempre.

Especial mención a aquellos amigos que hice en mi experiencia en Italia donde inicié este proyecto y quienes siempre me animaban con un cariño muy especial. Y claro está, a Andrés Jesús Martínez Donaire, tutor de este proyecto, gracias por su ayuda y la paciencia demostrada.

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xi Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

RESUMEN

Hoy en día los fundamentos en los que se basan las empresas modernas son: Calidad del producto, acortamiento de los tiempos y reducción de costes. Este proyecto es un primer intento por resolver numéricamente un problema bastante complejo: Conformado Incremental a alta velocidad. Para ello se han modelado una serie de procesos en base a unos experimentos realizados en el Departamento de ingeniería mecánica DIMEG, de la Universidad de Calabria. La resolución de los modelos ha sido con con LS-Dyna, un programa que utiliza una formulación explícita dinámica, adecuado para este tipo de procesos.

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xiii Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

ABSTRACT Today, the foundations on which modern companies are based are: product quality, shorter time and lower costs. This project is a first attempt to numerically solve a very complex problem: Incremental Forming at high speed. For that we have modeled a series of processes based on experiments conducted in the Department of Mechanical Engineering DIMEG, University of Calabria. The resolution of the models was performed with LS-Dyna, a program that uses a dynamic explicit formulation, suitable for this type processes.

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xv Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

ÍNDICE Agradecimientos ........................................................................................................................................... ix

Resumen ....................................................................................................................................................... xi

Abstract ...................................................................................................................................................... xiii

Índice ........................................................................................................................................................... xv

Índice de Tablas ......................................................................................................................................... xvii

Índice de Figuras ......................................................................................................................................... xix

Introducción ........................................................................................................................................ 23

1.1 Fabricación Flexible. Procesos de Conformado Incremental .................................................................. 24

1.2 Spinning ...................................................................................................................................................... 25

1.3 Conformado incremental monopunto (single point incremental forming) ........................................... 27

Equipamiento ..................................................................................................................................... 28

Ventajas y desventajas ...................................................................................................................... 29

1.4 Conformado incremental a alta velocidad............................................................................................... 30

Equipamiento ..................................................................................................................................... 30

Ventajas y desventajas ...................................................................................................................... 31

1.5 Ámbito y Objetivos del proyecto ............................................................................................................... 32

Ensayos experimentales y modelo de elementos finitos de hsif .......................................................... 35

2.1 Campaña Experimental ............................................................................................................................. 35

2.2 Pre-Procesado ............................................................................................................................................ 39

Formulación Explícita o Implícita. ..................................................................................................... 40

LS-Dyna ............................................................................................................................................... 43

Modelo numérico. ............................................................................................................................. 43

Elementos ........................................................................................................................................... 44

Formulación del material. ................................................................................................................. 45

Algoritmos de Contacto. Método de Penalty. ................................................................................. 46

Otros parámetros. ............................................................................................................................. 46

Condiciones de contorno .................................................................................................................. 47

Trayectoria ......................................................................................................................................... 48

Simulación del problema térmico. ................................................................................................... 50

Análisis................................................................................................................................................. 53

3.1 Resultados de los modelos. ....................................................................................................................... 53

Velocidad de corte 500 m/min, paso 0.5 mm. ................................................................................ 53

Distribución del espesor .................................................................................................................................... 53

Distribución de la temperatura ........................................................................................................................ 54

Velocidad de corte 500 m/min, paso 0.3 mm. ................................................................................ 56

Distribución del espesor .................................................................................................................................... 57


Efecto de la fricción ........................................................................................................................................... 58

Problemática. ..................................................................................................................................... 61

3.2 DACE ........................................................................................................................................................... 65

3.3 Resultados de los modelos modificados con ayuda de DACE ................................................................. 66

Distribución de Temperaturas. ......................................................................................................... 68

3.3.2 Distribución del espesor .................................................................................................................... 72

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3.4 Nueva propuesta de modelo. ................................................................................................................... 76

Distribución del espesor ................................................................................................................................... 78


Conclusiones ........................................................................................................................................ 81

Anexo ................................................................................................................................................... 83

5.1 Código Matlab de la herramienta DACE. ................................................................................................. 83

5.2 Explicación matemática de DACE............................................................................................................. 85

Modelaje y predicción ...................................................................................................................................... 85

El predictor de Kriging ....................................................................................................................................... 86

Modelos de regresión ....................................................................................................................................... 88

Modelos de correlación .................................................................................................................................... 89

Bibliografía ........................................................................................................................................... 91

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xvii Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 3. Propiedades de los materiales que intervienen en el estudio. 36

Tabla 4. Temperaturas máximas en los tests experimentales para AA-5754. 39

Tabla 1. Nombres de los distintos software disponibles según el método utilizado. 41

Tabla 2. Ventajas y desventajas de los distintos códigos de elementos finitos. 42

Tabla 5. Configuración de los parámetros según los experimentos. 44

Tabla 6. Valores necesarios para el cálculo de la trayectoria. 49

Tabla 7. Tiempos que toman cada proceso para AA-5754 62

Tabla 8. Distintas correlaciones. dj = wj-xj 89

Tabla 9. Valores de las densidades mecánicas y térmicas de cada proceso junto a los resultados de

temperatura. 67

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xix Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Ejemplos de aplicaciones con Conformado Incremental 25

Figura 2. Esquema del proceso de Spinning 26

Figura 3. Shear Spinning 27

Figura 4. Configuración del Conformado incremental monopunto. 27

Figura 5. Selección de diferentes punzones usados para el conformado incremental. 28

Figura 6. Fresadora de 3 ejes ejecutando una operación de conformado incremental. 29

Figura 7. Arriba torno; debajo, detalle de la configuración del proceso. 31

Figura 8. Mapas de temperatura captadas por la termocámara en los experimentos; Izquierda

AA-5754, derecha Ti6Al4V. 35

Figura 9. Esquema de la geometría final del espécimen 36

Figura 10. Geometría final de un ensayo con Conformado Incremental. 37

Figura 11. Configuración de todos los elementos que intervienen en el experimento. 38

Figura 12. Puntos de referencia de temperatura en el especimen para los distintos experimentos. 38

Figura 13. Izquierda,el mapa de temperaturas para el AA-5754; Derecha, variación de temperatura

con respecto al tiempo en cada punto en un proceso cualquiera. 39

Figura 14. Esquema simplificado del modelo. 44

Figura 15. Arriba a la izquierda, elemento tipo SHELL definido por 4 nodos y un espesor; arriba a la

derecha, posicionamiento según los espesores del punzón y chapa; debajo, detale de los

espesores de la chapa y punzón. 45

Figura 16. Método de penalty; fuerzas normales y tangenciales que fuerzan la separación. 46

Figura 17. Esquema de los nodos fijos que simulan la corona circular. 48

Figura 18. Esquema que se utiliza para el cálculo de la trayectoria, desplazamientos en plano X-Y y

eje Z. 48

Figura 19. Trayectoria que hace el punzón para conformar a 500 m/min y paso 0.5 mm. Arriba plano

X-Z, debajo plano X-Y. 50

Figura 20. Izquierda, configuración del modelo antes de comenzar; derecha, geometría tras finalizar

el proceso. 53

Figura 21. Geometría final aceptable. 53

Figura 22. Diagonal tomada para visualizar los resultados. 54

Figura 23. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para

AA-5754. 54

Figura 24. Variación de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para

AA-5754. 55

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Figura 25. Esquema del flujo de calor en las distintas situaciones del sistema punto-punzón. 56

Figura 26. Variación temperatura-tiempo del punto elegido al finalizar el proceso de velocidad

500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754. 56


AA-5754. 57

Figura 28. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.3 mm

para AA-5754. 57

Figura 29. Variación temperatura-tiempo del punto elegido al finalizar el proceso de velocidad

500 m/min, paso 0.3 mm para AA-5754. 58

Figura 30. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.5 mm

para AA-5754 para distintos valores de fricción. 59

Figura 31. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.3 mm


Figura 32. Distribución de la temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y distintos

pasos para AA-5754 y fricción nula. 60

Figura 33. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.5 mm


Figura 34. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.3 mm


Figura 35. Tiempos que toman cada proceso para AA-5754. 62

Figura 36. Interfaz de la aplicación. 65

Figura 37. Valores de la densidad térmica para cada proceso. 68

Figura 38. Mapa de temperatura y variación de la temperatura en la chapa al final del proceso con

velocidad 500m/mm y paso 0.5 mm. 68















xxi

xxi Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.



Figura 47. Variación de tempraturas con respecto al tiempo de todos los procesos para AA-5754. 72

Figura 48. Mapa de espesor y variación del espesor en la chapa al final del proceso con velocidad

500m/mm y paso 0.5 mm. 73

















Figura 57. Disminución del espesor en todos los procesos de conformado incremental para AA-5754. 76

Figura 58. Mallado refinado en la zona de acción de la herramienta. 77

Figura 59. Geometría final del proceso a 500 m/min y 0.5 mm, con el nuevo mallado. 78


AA-5754, con el nuevo mallado. 78

Figura 61. Distribución de la temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm

para AA-5754, con el nuevo mallado. 79

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23 Análisis numérico de procesos de conformado incremental a alta velocidad.

INTRODUCCIÓN

l proceso de conformado incremental fue patentado en 1967 [1], mucho antes de su aplicación real fue nombrado Conformado Incremental sin matriz. Sin embargo, se llevaron a cabo los

primeros estudios experimentales sobre el proceso en los primeros años de la década de los noventa.

Durante los últimos 20 años, se han publicado muchos artículos centrándose en diferentes aspectos de los procesos del conformado incremental. En 2005, se publicó un artículo titulado ''Conformado Incremental Asimétrico monopunto de chapa metálica '' [2] que fue propuesto a la Asamblea General del CIRP (Collège International pour la Recherche en Productique, París) por Jeswiet et al. En él se fijaron importantes aspectos relacionados con la mecánica del proceso, capacidad de conformación, la exactitud, y posibles aplicaciones. Los autores revindicaban en el resumen que “El proceso tiene un tremendo potencial y que hay muchas posibilidades futuras donde puede ser usado”. Después de ya unos años, este potencial no se ha visto reflejado en aplicaciones industriales, principalmente debido a dos principales inconvenientes del Conformado Incremental Monopunto (Single Point Incremental Forming (SPIF)) en chapas metálicas: la imprecisión geométrica y lentitud del proceso.

Buscando en la literatura científica, muchos artículos están enfocados a la comprensión de los mecanismos del proceso, y en particular, al análisis del conformado como comparación con los procesos de estampado tradicional. En 2008, Ambrogio et al. [3] publicaron un artículo en el que se ponía de manifiesto que la conformabilidad de geometrías profundas no pueden obtenerse mediante el proceso de estampación tradicional. Además estaba también la problemática de los tiempos de producción que no se podían considerar competitivos.

Sin embargo, hasta el año 2010, el tema de la lentitud del proceso no fue profundamente investigada, probablemente debido a que las máquinas utilizadas para el Conformado Incremental Monopunto implementan los mismos conceptos desarrollados para las fresadoras. En 2010 Hamilton y Jeswiet [4] proponen un estudio sobre el conformado de la aleación AA3003-H14 a altas velocidades de corte y velocidades de rotación, y una investigación del impacto en la superficie y la estructura del material. De acuerdo a su plan de experimentos, Hamilton y Jeswiet aplicaron una velocidad de alimentación máxima igual a 9 m/min, sin embargo, se introdujo un nuevo enfoque basado en el uso de alta velocidad para reducir la falta de productividad del SPIF en comparación con los procesos de estampado tradicionales.

Los autores tienden a demostrar que la competitividad de SPIF se relaciona con el desarrollo de las máquinas de alta velocidad adecuadas y muestran cómo es posible obtener una pieza de trabajo con un tiempo de procesamiento del orden de unos pocos segundos. Se están llevando a cabo investigaciones de los efectos de la velocidad de trabajo sobre las propiedades de las piezas fabricadas con SPIF.

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Aspectos como la rugosidad [5], cambios en la dureza debido a los cambios microestructurales, fallo en la pieza, distribuciones de temperatura… están bajo estudio en la actualidad.

Este proyecto se va a centrar en la variación de la temperatura durante el proceso y en su simulación para diferentes condiciones de trabajo, y así intentar entender los distintos parámetros que entran en juego en el conformado a altas velocidades.

1.1 Fabricación Flexible. Procesos de Conformado Incremental

Hoy en día los fundamentos en los que se basan las empresas modernas son: Calidad del producto, acortamiento de los tiempos y reducción de costes.

Al mismo tiempo, una de las más importantes evoluciones en fabricación está siendo la producción de pequeños lotes. Generalmente, el conformado y estampado de metales están relacionados con grandes lotes de producción, como puede observarse en la industria automovilística, pero actualmente los lotes pequeños de fabricación se están volviendo más interesantes debido a los requerimientos de flexibilidad que exige el mercado.

Los procesos de estampado tradicional son muy costosos y siempre han llevado asociados grandes series de producción para resultar ser una inversión rentable, lo cual no da cabida a tener cierta flexibilidad y adaptación a otros nuevos productos puntuales. Por esta razón, las industrias de fabricación de bienes de consumo están más orientados a la mejora de los servicios del consumidor y la reducción del tiempo de comercialización.

Por lo tanto, buscamos procesos de conformado que cumplan las especificaciones de productividad con bajo coste. Lo que está claro es que los procesos de conformado de chapa tradicionales no pueden responder a estos requerimientos del mercado moderno. Los procesos de estampado tradicional están caracterizados por costes importantes, principalmente, el coste de los accesorios utilizados y los tiempos de equipación o de set up. Estos costes están distribuidos en cada pieza, por lo tanto se necesitan grandes lotes para tener una rentabilidad.

Muchos investigadores científicos han mostrado nuevas tecnologías, como el conformado incremental, la cual no requiere equipamientos caros ni grandes tiempos de montaje, ofreciendo más flexibilidad y eficiencia lo cual respondería a las necesidades del mercado.

Mientras otras técnicas están siendo usadas, aparece una prometedora filosofía del conformado concentrada en la aplicación de presión con un punzón esférico sobre una chapa fija que provoca una deformación local durante su movimiento a lo largo de una trayectoria fijada, la cual reproduce una forma deseada. Esta familia de procesos, normalmente denominada Conformado Incremental de Chapa (Incremental Sheet Forming ISF), es un proceso el cual es capaz de producir componentes complejos de chapa con una máquina CNC, herramientas y accesorios simples. Este proceso es bastante interesante para volúmenes de producción pequeños y aplicaciones de prototipo rápido en chapa metálica.

Además, existe la posibilidad de evitar la matriz eligiendo configuraciones simples, caracterizadas solo por un punzón y un marco de sujeción. Ésto hace a esta tecnología muy competitiva para bastantes

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aplicaciones industriales donde son requeridos productos ampliamente personalizados (Figura 1) y los lotes de producción pueden llegar a ser de un solo artículo. Además del aspecto económico, también es conocido que dicho proceso mejora la conformabilidad del material debido a ciertas propiedades que lo caracterizan.

Todas estas ventajas hacen interesante el estudio del proceso y los mecanismos que pueden originar el fallo.

Figura 1. Ejemplos de aplicaciones con Conformado Incremental

1.2 Spinning

El spinning o conformado rotativo se caracteriza por la rotación de una pieza sujeta rígidamente contra un mandril mientras la herramienta se acerca progresivamente y va doblando la chapa con la forma que tiene dicho mandril. La herramienta usada tiene forma de rodillo y puede ser accionada manual o mecánicamente, el equipo necesario es similar a un torno (Figura 2). Éste es uno de los procesos más primitivos puesto que tiene sus orígenes en la Edad Media.

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Figura 2. Esquema del proceso de Spinning

Shear spinning; a diferencia del proceso convencional, en el que el mecanismo principal de actuación es el estirado en lugar del doblado de la chapa (Figura 3); este hecho tiene una gran importancia en la variación del espesor de ésta, que seguirá la comúnmente conocida como Ley del seno ( 1 ) para formas troncocónicas:

�� = �sin(90 − �) ( 1 )

donde �� es el espesor final, � el espesor inicial y � es el ángulo del cono con respecto a su base.

Los efectos del espesor inicial y composición de la chapa tienen una influencia significante en la distribución del espesor. Las chapas más delgadas requieren más pasadas que las más gruesas. La distribución de la deformación también varía para diferentes materiales debido a las propiedades de endurecimiento por deformación.

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Figura 3. Shear Spinning

1.3 Conformado incremental monopunto (single point incremental forming)

El conformado incremental monopunto o SPIF supone una importante contribución a los procesos de conformado incremental convencionales como el Spinning ya que sólo permiten la creación de piezas con geometrías simétricas. En este proceso la chapa queda empotrada en sus extremos gracias a un soporte o blank holder que la presiona contra una matriz inferior o backing plate (Figura 4). La herramienta, que normalmente tendrá forma de punzón esférico, está controlada por una máquina de control numérico CNC y recorre la trayectoria diseñada de tal forma que vaya describiendo la forma final de la pieza requerida, ésta podrá o no tener restringida la rotación sobre sí misma.

Figura 4. Configuración del Conformado incremental monopunto.

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Equipamiento

Los accesorios necesarios para el conformado de chapa metálica consisten en herramientas sólidas y maquinaria que mueva dichas herramientas de una manera controlada. Los punzones semiesféricos son los que se usan normalmente, los cuales existen una amplia variedad (Figura 5), aunque son diseñadas y fabricadas por los usuarios ya que aún no son parte de un surtido disponible en el mercado.

La forma semiesférica asegura un punto de contacto continuo entre la chapa y la herramienta. En los lugares con paredes muy empinadas podría ser necesario utilizar herramientas con vástagos más pequeños que el diámetro de la esfera, así se evita el contacto del vástago con la chapa. Esto tendría que tenerse en cuenta a la hora de programar el patrón que sigue la herramienta.

Figura 5. Selección de diferentes punzones usados para el conformado incremental.

Tras la elección de la herramienta hay que tener en cuenta el material de la herramienta. Normalmente se eligen herramientas de acero que son bastante adecuadas para estas aplicaciones gracias a sus propiedades.

Para reducir la fricción y aumentar la vida de la herramienta, se puede aplicar algún tratamiento superficial como recubrimientos con carburos cementados. También hay que tener en cuenta la reactividad que pueda existir entre herramienta y chapa, evitando siempre reacciones químicas entre ámbas que podrían afectar tanto a la calidad de la superficie como a las propiedades finales de la pieza.

También se usan sujeciones rígidas que evitan el deslizamiento de la chapa sobre la bancada.

- Maquinaria:

Generalmente, todas las maquinas CNC de tres ejes (Figura 6) son adecuadas para el conformado incremental monopunto. Grandes velocidades, amplios volúmenes de trabajo y rigidez suficiente para el conformado. Hay diferentes diseños de fresadoras, las cuales difieren en volumen de trabajo,

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velocidad máxima, carga máxima, resistencia y precio.

Se tratan de máquinas, que pueden ser utilizados para la conformación incremental, pero que pueden ser utilizadas para otros procesos de mecanizado, por lo tanto son de uso múltiple lo cual está de acuerdo con uno de los principios que están establecidos con anterioridad, flexibilidad.

Una lista de tipos de maquinas disponibles para hacer conformado incremental es:

- Fresadoras CNC - Purpose built machines - Robots - Plataforma de Stewart

Figura 6. Fresadora de 3 ejes ejecutando una operación de conformado incremental.

Ventajas y desventajas

Como ventajas principales tenemos:

- Producción de piezas directamente desde un archivo CAD con un mínimo de herramientas especializadas. Pueden ser producciones de prototipos rápidos o lotes pequeños.

- No tienen por qué requerirse matrices positivas o negativas.

- Gran flexibilidad ante cambios en el diseño, que serán fácilmente implementados.

- Aumento en la conformabilidad del material.

- Se puede realizar en una máquina convencional CNC.

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- Dado que las deformaciones son localizadas y se producen de forma incremental, las fuerzas requeridas son pequeñas.

- Se puede conseguir un buen acabado superficial.

También hay que tener en cuenta los inconvenientes del proceso:

- La dimensión de las piezas solamente está limitada por el tamaño de la máquina CNC.

- Es más lento que los procesos convencionales como la embutición.

- Está limitado a producciones de pequeños lotes.

- La fabricación de piezas con ángulos rectos requiere estrategias formadas por varias fases.

- Geometría final menos precisa debido al radio de la herramienta y al fenómeno de recuperación elástica o springback, aunque esto puede estudiarse para su corrección.

1.4 Conformado incremental a alta velocidad

El Conformado Incremental monopunto (ISF) no se utiliza mucho en la industria debido principalmente a los dos inconvenientes principales, anteriormente descritos, que caracterizan su aplicación: reducción de la precisión y lentitud del proceso. La precisión ha sido estudiada por varios investigadores en todo el mundo y se han propuesto muchos métodos para aumentar el rendimiento de los procesos [2]. Entre ellos, la estrategia de modificar las trayectorias de la herramienta propuesta por Ambrogio et al. en 2005 [6], el uso de múltiples herramientas propuestas por Cheng et al. en 2005 [7], la aplicación de fuentes de calor para reducir la resistencia del material propuesto por Duflou et al. en 2007 [8] y, finalmente, el uso de secuencias de varios pasos propuesto por Ambrogio et al. en 2011 [9] son probablemente los más adecuados para superar la inexactitud proceso.

La lentitud del proceso reduce drásticamente la productividad, tanto que hace que el papel de conformado incremental casi desaparezca en el escenario de fabricación [2]. En realidad, el proceso se considera sólo para la creación de prototipos o, al menos, para la fabricación de lotes pequeños en automoción [10], aeroespacial [11], y biomédicas [12] aplicaciones. Pocos investigadores han investigado una configuración de proceso de alta velocidad con el fin de reducir el tiempo de procesamiento de material debido a que las máquinas utilizadas convencionalmente para la conformación incremental no están diseñadas para altas velocidades de alimentación [1, 9]. Sin embargo, desde un punto de vista científico puro, el aspecto anterior puede ser superado trabajando con piezas axi-simétricas para los que se utiliza un sencillo torno como máquina operativa [5].

Equipamiento

En los experimentos en los que se basa este proyecto se optó por la siguiente configuración (Figura 7): torno, útil de sujeción, chapa metálica y punzón.

Un apropiado equipamiento, caracterizado por los dispositivos de sujeción, fue diseñado con el fin de mantener sujeta la chapa al mandril del torno.

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Como ya se ha introducido, para llevar a cabo la investigación se sustituye la fresadora por un torno de control numérico que permite un aumento de las velocidades del proceso de hasta dos órdenes de magnitud con respecto al conformado incremental monopunto. Naturalmente, debido a las diferencias tecnológicas entre las máquinas ya especificadas anteriormente, sólo piezas axi-simétrica pueden ser conformadas por operaciones de torneado; Sin embargo, este límite no penaliza la calidad y la generalización del estudio.

Figura 7. Arriba el torno usado; debajo, detalle de la configuración del proceso [Cortesia de DIMEG, Università della Calabria].

Ventajas y desventajas

Como ventajas principales con respecto al conformado incremental monopunto tenemos:

- Aumento de la velocidad de producción

- Mayor conformabilidad

También hay que tener en cuenta los inconvenientes del proceso:

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- Límites de rotura no completamente definidos debido al desconocimiento del comportamiento del material bajo las múltiples condiciones del proceso.

- Gran problemática generada por las temperaturas alcanzadas y fricción.

- Según qué condiciones, peor calidad superficial.

Los inconvenientes del proceso deben de estudiarse más en profundidad, habiendo podido confirmarse que hay distintos rangos para los parámetros del proceso dentro de los cuales el material tiene comportamientos muy diferentes. Variaciones importantes en la calidad del acabado, fallo del espécimen…son los principales problemas. Las deformaciones están definidas por la trayectoria de la herramienta por lo que son conocidas, siempre que no haya rotura.

1.5 Ámbito y Objetivos del proyecto El inicio de este proyecto se ha desarrollado en el departamento DIMEG de la Università della Calabria en Cosenza, Italia, bajo el programa Erasmus +.

Al frente del departamento se encuentra Luigino Filice, Ingeniero Mecánico. Son muchos los artículos en los que él ha participado directa o indirectamente. Por debajo de él se encuentran Giusy Ambrogio, de quien son un gran número de artículos relacionados con Incremental Forming, y Francesco Gagliardi. Este proyecto es el primer paso de lo que será un extenso análisis de los fenómenos y características del Conformado Incremental a altas velocidades para chapa delgada de aleaciones de aluminio, en concreto AA-5754. El análisis térmico-mecánico no está muy extendido entre los proyectos que analizan esta tecnología, siendo éste de los primeros que intentan combinar ámbos

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análisis con elementos finitos para el conformado incremental.

Este proyecto entraña muchas incógnitas al haber muchos factores influyentes en el resultado final. Los puntos en los que se centra estre proyecto es la predicción de la temperatura durante el proceso y su validación del problema mecánico a través de un análisis del espesor, todo ello apoyándose en datos experimentales cedidos por la Università della Calabria. La predicción de la temperatura es todo un reto, ya que hay muchas variables en juego; desde la deformación plástica que está en función de la velocidad relativa entre chapa y herramienta y el calor que ésta genera, y la fricción que es una incógnita y que también genera calor.

Por lo tanto un buen análisis sería saber en qué medida estos factores afectan al aumento de temperatura, e intentar buscar la relación aproximada entre ellos ya que experimentalmente es prácticamente imposible.

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ENSAYOS EXPERIMENTALES Y MODELO

DE ELEMENTOS FINITOS DE HSIF

2.1 Campaña Experimental

En este proyecto, el principal objetivo es la predicción de la temperatura durante el proceso de conformado incremental a altas velocidades. Para ello, nos basamos en los resultados experimentales llevados a cabo previamente, teniendo en cuenta la velocidad y el paso de la herramienta como variables para los diferentes procesos. Estas variables son las que condicionarán el proceso y que afectan directamente a la generación de temperatura (Figura 8).

Figura 8. Mapas de temperatura captadas por la termocámara en los experimentos; Izquierda AA-5754, derecha Ti6Al4V. [Cortesía de DIMEG, Università della Calabria]

El departamento DIMEG de la Università della Calabria ha llevado a cabo una campaña de experimentos, usando un torno MazakTM QTurn 1000 CNC, con diferentes valores para las variables del proceso y propiedades de los materiales.

Las aleaciones elegidas para el análisis de aleaciones ligeras fueron AA-5754 y Ti6Al4V. Las aplicaciones con componentes ligeros es otro reto en la ingeniería moderna de transporte. La reducción de la masa es, de hecho, necesario debido a motivos económicos y ecológicos, así como para mejorar las propiedades del producto.

Este proyecto se centra en la aleación de aluminio AA-5754 como punto de partida, sus propiedades mecánicas y térmicas junto con las del acero (punzón) han sido extraídas de la literatura (Tabla 1):

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Tabla 1. Propiedades de los materiales que intervienen en el estudio.

Material

Propiedades AA-5754 Acero (punzón)

Densidad, ρ 2630kg/�� 7830 kg/��

Módulo de Young, E 69 GPa 207 GPa

Módulo de cizalladura, G 25.94 GPa -

Coeficiente de Poisson, υ 0.33 0.28

Temperatura de fusion, ��

581oC 1500oC

Calor Específico 0.9 kJ/kg·ᵒC 0. 466 kJ/kg·oC

Conductividad térmica 125 W/m· ͦC 43 W/m· ͦC

Debido a las peculiaridades de la máquina, la geometría bajo investigación fue un tronco de cono cuya base mayor era de 180 mm (Figura 9), un ángulo del cono de 35º para la aleación AA-5754 y una altura final de 30 mm.

Figura 9. Esquema de la geometría final del espécimen

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Figura 10. Geometría final de un ensayo con Conformado Incremental.

La elección del torno se hizo en función del rango de velocidad de deformación que se iba a investigar; más en particular, tres órdenes diferentes de velocidades fueron analizadas pasando desde 5 m/min a 500 m/min. Códigos G específicos fueron utilizados para la programación ISO con el objetivo de acoplar la rotación del husillo a: 1) El radio de la circunferencia realizada para mantener constante la velocidad lineal relativa entre el punzón y la chapa durante todo el proceso y 2) el movimiento del punzón, que es la segunda variable analizada. De acuerdo con esto, el rango de paso del punzón ha sido desde 0.1 mm a 0.5 mm ya que son los que mejores resultados (sin fallo) han dado en los experimentos del grupo.

Se realizó un diseño adecuando del equipamiento para la fijación de la chapa al husillo. En particular se utilizó un anillo circular para fijar la chapa cuadrada (240�� × 240��) con unos pernos en el bastidor, el cual fue colocado axialmente dentro del husillo del torno. Además el punzón utilizado fue del tipo semiesférico con diámetro de 15 mm y de acero.

La trayectoria de trabajo es además similar al de arranque de viruta, pero en esta configuración el movimiento del punzón en el plano x-z es el que se utiliza para deformar plásticamente a la chapa.

La variación de temperatura fue medida durante el proceso con una termo-cámara la cual fue apropiadamente fijada y posicionada dentro de la zona de trabajo. El software (FLIR Tool+), el cual permite continuamente seguir las variaciones de temperatura, fue utilizado para la monitorización y la recopilación de las variaciones de temperatura durante el proceso. Para una medida apropiada, tanto la distancia como un buen ángulo de inclinación entre la termo-cámara y la zona de trabajo (Figura 11), tienen que darse como datos para el software.

38

38

Figura 11. Configuración de todos los elementos que intervienen en el experimento.

La emisividad de la superficie de trabajo es muy importante también para tener una evaluación de la temperatura correcta; de acuerdo con esto, se optó por el Molykote (�� ) el cual se frotó sobre la chapa para usarse tanto como lubricante, como para ennegrecer la superficie. Un cuerpo negro tiene una emisividad cercana a la unidad. Teniendo en cuenta ésto y haciendo los ajustes necesarios, se tomó un coeficiente de emisividad igual a 0.95 y los valores de temperatura obtenidos se compararon con los datos puntuales extraídos utilizando un termopar (Figura 12).

Figura 12. Puntos de referencia de temperatura en el especimen para los distintos experimentos.

Las trayectorias que se han calculado (Apartado 4.2.5) son las 9 siguientes; las cuales son correspondientes a los experimentos llevados a cabo.

500 m/min!"#$�%&0.1��"#$�%&0.3��"#$�%&0.5�� 50 m/min!"#$�%&0.1��"#$�%&0.3��"#$�%&0.5�� 5 m/min!"#$�%&0.1��"#$�%&0.3��"#$�%&0.5��

Los valores obtenidos de la temperatura máxima para cada proceso son las recogidas en las Tabla 2.

39


Tabla 2. Temperaturas máximas en los tests experimentales para AA-5754.

Velocidad de corte 500 m/min 50 m/min 5 m/min

Paso de herramienta Temperatura máxima del Test Experimental (oC)

0.1 mm 40.2 99 172.73

0.3 mm 38.11 75.04 95.98

0.5 mm 36.04 58.19 93.04

El proceso de conformado incremental no es un proceso estacionario, así que la temperatura monitorizada va en aumento desde valores ambiente, vuelta a vuelta debido a las pasadas del punzón. Varios puntos equidistantes fueron asignados en el área de trabajo de los cuales se extrajeron curvas que alcanzan la temperatura máxima en diferentes momentos de tiempo y caracterizados por diferentes tendencias (Figura 13).

Figura 13. Izquierda,el mapa de temperaturas para el AA-5754; Derecha, variación de temperatura con respecto al tiempo en cada punto en un proceso cualquiera.

En el gráfico (Figura 13) se observan las tendencias de temperatura de cada punto en uno de los procesos cualesquiera. La temperatura aumenta hasta llegar a un máximo, y después comienza a disminuir. Esto es debido a la pérdida que existe del coeficiente de emisividad tras pasar el punzón por el punto, ya que éste arranca la capa de Molykote. La tendencia real continuaría en aumento hasta la finalización del proceso. En el próximo capítulo se detalla cómo varía la temperatura en un punto cualquiera.

2.2 Pre-Procesado

40

40

Formulación Explícita o Implícita.

Predecir el comportamiento de un conformado de chapa metálica es muy difícil. Muchos factores deben ser considerados, por ejemplo la no linearidad de las propiedades de los materiales, los efectos de la fricción entre chapa y herramienta conformadora, la no simetría, posibles anisotropías, etc. Hay gran complejidad a la hora de valorar los diferentes efectos que puedan originarse. Para la computación de estos procesos es necesario métodos matemáticos, el principal método numérico usado hoy en día es el método de los elementos finitos.

En el diseño de una nueva estructura o proceso, hay necesidad de verificación. El proceso de verificación es una parte importante del trabajo de calidad. Tradicionalmente, esto se ha hecho construyendo físicamente la estructura y probándola repetidamente, variando importantes parámetros. Este proceso es bastante costoso tanto en tiempo como en recursos. En las últimas décadas esto ha cambiado, debido a la mejora de los ordenadores y el negocio del software. Hoy en día, la verificación se hace con programas muy sofisticados de cálculo en un ordenador. A esto se le denomina, verificación virtual.

El método de los elementos finitos es la técnica más aceptada para simulaciones numéricas de procesos de conformado para chapa metálica. Este método, que básicamente son cálculos numéricos, está asociado con la capacidad del ordenador.

Una de las más importantes tecnologías en códigos de EF en 3D es la integración en el tiempo. Generalmente hablando, esto puede estar dividido en dos principales familias: Tiempo de integración explicita e implícita.

Ambos algoritmos pueden ser aplicados tanto con ecuaciones de gobierno estáticas como dinámicas. Por lo tanto hay cuatro posibles formulaciones fundamentales para usar con elementos finitos [13]:

• Estático implícito • Estático explicito

• Dinámico implícito • Dinámico explicito

Entre todos ellos, la formulación estática implícita es la más ampliamente utilizada para problemas estáticos o cuasi-estáticos así como análisis estructurales. La formulación dinámica explicita se usa mayormente para problemas dinámicos como en simulaciones de choque de vehículos. Sin embargo, la elección de los algoritmos de integración para aplicaciones de conformado metálico no era tan obvio en los inicios del uso de los elementos finitos para este campo. La mayoría de investigadores pensaron que la formulación estática implícita era más rigurosa y adecuada para precisar los resultados de las simulaciones de conformado incremental.

En 1990, casi todas las simulaciones exitosas de conformado de chapa publicadas en las principales conferencias y revistas técnicas utilizaron el enfoque implícito estático, con algunas excepciones usando la formulación explícita estática. Comenzaron a aumentar a lo largo de la década de 1990 el número de artículos utilizando formulaciones explícitas dinámicas, el debate sobre este tema continuó durante muchos años. Una razón importante alimentando el debate fue que la mayoría, si no todos, de los códigos usaron un solo método de integración tiempo. La mayoría de los debates se centraron en justificar la superioridad de sus propios códigos en lugar de realizar una comparación equitativa de las

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ventajas y desventajas de cada método. Con la conciencia de que ambos métodos tienen utilidad, este debate es ahora discutible. La mayoría de los proveedores de software utilizan ahora ambos.

La mayoría de los análisis de conformado de chapa aplicados en la industria actualmente utiliza métodos explícitos dinámicos. La forma de matrices complejas y condiciones de contacto que se producen en el complejo conformado industrial son más fácilmente de manipular por los pequeños “step” requeridos por los métodos explícitos dinámicos.

La Tabla 3 muestra algunos códigos conocidos que representan a cada método. Algunos de ellos pueden no estar disponibles en la actualidad. El método implícito dinámico estaba disponible como una opción en algunos códigos dinámicos basados en explícito.

Tabla 3. Nombres de los distintos software disponibles según el método utilizado.

Método Nombres de los códigos

Implícito Estático ABAQUS (standard), ADINA, MARC, INDEED, NIKE, Metalform

DEFORM

Explícito Dinámico LS-DYNA, PAM-STAMP, OPTRIS, RADIOSS, LLNL-DYNA,

ABAQUS/Explicit, DYTRAN, DYNAMIC

Explícito Estático ITAS, ROBUST, SHEET-x, Panelform

En las siguientes líneas se explica el potencial y fundamentos de cada código:

- La formulación implícita estática utilizada para la simulación de conformado de metales es muy similar a la utilizada para el análisis estructural. Se transforma la fuerza externamente aplicada (la del punzón móvil en este caso) en energía interna, debido a la deformación de la chapa metálica. El estado de equilibrio se mantiene en todo instante. Este método ha demostrado ser muy superior a otros métodos que simulan piezas de tipo laboratorio a pequeña escala, tales como tazas. Los inconvenientes del método implícito estático son sus requisitos de almacenamiento y su unidad de procesamiento central (CPU) que crecen casi como una función cúbica del número de elementos. A medida que el tamaño o la complejidad de la geometría crece, el enfoque implícito estático se convierte en menos práctico. Hay otros problemas que limitan el uso generalizado de códigos implícitos estáticos en el entorno de la producción. El conformado de chapa metálica no es realmente un problema "pseudoestático". En una operación típica de estampación, el conformado real completa el recorrido total de 100 a 150 mm en 2 ó 3 s, con la velocidad pico de cerca de 500 mm / s. La hoja de metal fluye en varias direcciones y cambia en el proceso de conformado. Muchas áreas (nodos en FEA) de la lámina de metal tienen grandes desplazamientos y rotaciones además de grandes deformaciones (en los elementos). Esto limita el tamaño de “step” en los códigos implícitos estáticos con el fin de capturar el comportamiento físico del metal.

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42

El otro reto es que el contacto entre el metal y matrices es altamente no lineal. Capturar correctamente el contacto y el cálculo de la fuerza de fricción no es una tarea fácil para los códigos implícitos estáticos. La captura de la aparición de arrugas y predecir correctamente el conformado real de las arrugas también son retos difíciles para los códigos implícitos estáticos. Una característica fundamental del algoritmo implícito estático es la necesidad de invertir la matriz de rigidez. Como la complejidad y el tamaño del problema crecen, la convergencia se ralentiza enormemente o no se puede realizar en absoluto. - La formulación explícita dinámica. La ecuación de gobierno básica de códigos explícitos dinámicos tiene un término inercial similar a la siguiente ecuación ( 2 ). Diferentes códigos pueden utilizar diferentes formulaciones, pero el concepto de la ecuación de momento es el mismo:

+,-.(/0 ) + 2/0 + �/3 = +45. ( 2 )

donde +,-. es la fuerza interna, +45. es la fuerza externa, c es la amortiguación, m es la masa, u es el desplazamiento, /0 es la velocidad, y /3 es la aceleración.

Los críticos de los códigos explícitos dinámicos argumentan que el equilibrio nunca se mantiene. Esta declaración es un poco engañosa. En los códigos explícitos dinámicos, el equilibrio es equilibrado dinámicamente. Es cierto que la fuerza de inercia puede ser exagerada, principalmente debido a un error del usuario. En ese caso, la calidad de la solución se deteriorará. Si un usuario elige un ajuste apropiado de manera que la inercia no es más del 5%, la calidad de la solución debe ser bueno.

- Los códigos explícitos estáticos se presentaron para tomar las ventajas de ambos códigos. Fue promovido activamente en la década de 1990. Los resultados parecen indicar que los códigos explícitos estáticos tienen las debilidades de ambos códigos. La popularidad de este grupo disminuyó considerablemente a finales de 1990 después de la tercera conferencia Numisheet en 1996. En la - Tabla 4. Ventajas y desventajas de los distintos códigos de elementos finitos. podemos ver algunas de las ventajas y desventajas principales de cada tipo de código:

Tabla 4. Ventajas y desventajas de los distintos códigos de elementos finitos.

Tipo programa Ventajas Desventajas

Estático implícito

- Precisión. - Equilibrio satisfecho. - Variación de las tensiones suave. - Soluciones elásticas son posibles. - Incondicionalmente estable.

- Solución no siempre asegurada. - Contacto complejo, difíciles de hacer cumplir. - Largos tiempos de CPU para contactos

complejos.

Dinámico explícito

- Solución siempre obtenida. - Contacto simple. - Tiempos cortos de CPU con Mass

scaling.

- Precisión incierta. - En general, equilibrio no satisfecho. - Mass scaling introduce errores en problemas

estáticos. - Variación de las tensiones oscilatoriamente. - Soluciones elásticas son difíciles y lentas. - Estable condicionalmente.

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LS-Dyna

LS-DYNA es un código FEM de propósito general con una enorme colección de tecnología de elementos, modelos de contactos, y modelos de materiales, entre otras tecnologías FEM. Aunque comenzó como un código explícito dinámico, LS-DYNA ha desarrollado muchos solucionadores de ecuaciones lineales y eficientes algoritmos de solución implícitas no lineales. Debido a esta característica incorporada, los parámetros del “solver” pueden ser elegidos por el usuario y cambiados sin problemas si lo deseas. Esto permite que los problemas complejos, se resuelvan con un código único. El análisis puede ser hecho con el solucionador explícito dinámico principalmente para el conformado. Un solucionador implícito se puede utilizar para análisis de Springback o térmicos para una mayor precisión. Sin embargo, LS-DYNA es sólo un solucionador. Se basa en el software de terceros para proporcionar la solución completa del sistema. Entre ellos, LS-PrePost, Dynaform de Ingeniería Technology Associates, Inc. (ETA), Ansys, Patran…

Se han llevado a cabo extensos trabajos sobre simulación usando códigos explícitos de elementos finitos con LS-DYNA. La principal ventaja de este código es que no hay necesidad de resolver un sistema de ecuaciones cuando éstas están combinadas con la matriz de masas concentradas, porque todas las ecuaciones no están acopladas y, además, se requieren considerablemente menos tiempos computacionales.

Otros programas como Deform fueron tenidos en cuenta cómo alternativa, pero siendo el “solver” implícito estático no se habrían podido llevara a cabo debido a los largos tiempos que éste toma para resolver. El uso de elementos tetraédricos para modelos 3D (usados en Deform) frente a los tipo SHELL que se usan en este proyecto, como ya se verá en adelante, multiplicaría los tiempos computacionales hasta niveles imposibles habiendo que plantear un modelo totalmente diferente y discretizado al que se va a plantear en las siguientes páginas. También la forma de definir las trayectorias de las herramientas sería mucho más complejas.

Modelo numérico.

En este apartado se detallan los diferentes elementos del modelo y cuáles son los parámetros más importantes que se han definido.

Para evaluar la calidad del modelo propuesto comparamos los resultados predichos con los medidos experimentalmente en el laboratorio. La configuración de las variables del proceso se ha fijado gracias a otras investigaciones llevadas a cabo, variando el paso del punzón y la velocidad de avance (Tabla 5. Configuración de los parámetros según los experimentos.).

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Tabla 5. Configuración de los parámetros según los experimentos.

Parámetros Valor

Ángulo de la pared 35°

Espesor de la chapa 1.5 mm

Radio del punzón 7.5 mm

Altura final 30 mm

Diámetro base mayor 180 mm

Paso herramienta [0.1 6 0.5] mm

Velocidad herramienta [56500] m/min

Elementos

Los elementos básicos del modelo (Figura 144) son la chapa de metal (BLANK) y el punzón (PUNCH).

Figura 14. Esquema simplificado del modelo.

Para el modelado de la chapa se ha optado por elementos tipo SHELL según la formulación de Belytschko-Tsay, con elementos de 4 nodos que definen el plano medio, el cual posee un espesor distinto del que viene por defecto y que hay que definir para el caso, 1.5 mm.

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Para la integración de los puntos se ha usado la cuadratura de Gauss, con cinco puntos de integración a través del espesor del elemento, la cual selecciona los puntos de evaluación de manera óptima.

Como hipótesis para resolver el problema consideramos que es un análisis transitorio ya que las variables del problema van variando constantemente; temperatura, fuerzas, deformaciones…Por lo tanto, el problema térmico será un problema no lineal. Para el punzón se utiliza la misma formulación aunque en este caso no es importante el espesor ya que el material se define como “rígido”, es decir no habrá deformación y por lo tanto no habrá influencia en el espesor.

Figura 15. Arriba a la izquierda, elemento tipo SHELL definido por 4 nodos y un espesor; arriba a la derecha, posicionamiento según los espesores del punzón y chapa; debajo, detale de los espesores de la chapa y punzón.

Formulación del material.

Para la formulación del material de la chapa, los parámetros de entrada considerados para definir el comportamiento del material son velocidad de deformación, deformación y temperatura.

En este estudio se ha considerado la hipótesis de material isótropo. La elegida es la conocida Johnson-Cook ( 3 ), ya que es una de las más adecuadas para este tipo de procesos y también de las más utilizadas.

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46

También tener en una cuenta que no es un problema lineal, el material tiene comportamiento viscoplástico (velocidad de deformación), y con comportamiento transitorio de las variables del proceso.

78 = (9 + :;=̅>)(1 1 2?@;0∗��1 � �∗B� ( 3 )

A, B, C, n y m son las constantes que definen al material.

Esta formulación puede tener muchas definiciones, así que se han extraído de la literatura los valores de las contantes para el material elegido, lo cual nos queda la siguiente formulación [14]:

donde �C es igual a 588 ᵒC para AA-5754.

El criterio de plastificación usado es el de Von Mises, para materiales isótropos es uno de los más comúnmente utilizados.

Algoritmos de Contacto. Método de Penalty.

El método de penalty disfruta de la particular ventaja de que no se introducen nuevas incógnitas, ya que las restricciones de contacto se formulan únicamente en función de las coordenadas generalizadas. A cambio se fuerzan de manera paroximada las restricciones de contacto.

Físicamente hablando, consiste en la introducción en la dirección normal y tangencial al plano de contacto, unos resortes elásticos de rigidez que fuerzan aproximadamente la separación y que controlan el desplazamiento tangencial entre cuerpos [15]. No hay deformación plástica debido al contacto.

Este método presenta un menor coste computacional. A cambio no satisface plenamente la restricción de impenetrabilidad y produce una transferencia artificial de energía cuerpo-resorte elástico. Estos inconvenientes atenúan aumentando el valor de los parámetros de penalty hasta límites que no produzcan problemas de condicionamiento numérico.

Figura 16. Método de penalty; fuerzas normales y tangenciales que fuerzan la separación.

Otros parámetros.

Hay otros parámetros que no son fáciles de medir. Por un lado el coeficiente de fricción varía con la

7DDEFGFH � I67.456 1 471.242;0.4241K L110.002979 ln N ;01000OP Q1 � � � 20

�C � 20 .FRSTU

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temperatura, esto hace que haya distintos comportamientos de las fuerzas de fricción durante el proceso. También la velocidad de la herramienta influye en el valor de dicho parámetro ya que las fuerzas tangenciales varían. En este caso se ha fijado en 0,3.

Para el porcentaje de energía plástica trasformada en calor un valor habitual es 90 %. El trabajo plástico impuesto durante la deformación se disipa por la formación de defectos metalúrgicos (por ejemplo, dislocaciones) y la generación de calor. El conformado normalmente representa el 5 y el 10% del trabajo, mientras que el calentamiento por deformación representa el 90 a 95% del trabajo.

Dependiendo del tamaño particular de la pieza de trabajo, la mayor o menor cantidad de deformación del calor se disipa en componentes como las matrices. El aumento de la temperatura, ∆T, puede estimarse a partir de la siguiente relación ( 4 ):

Δ�~ 0.9X Y 7%;Z[2

( 4 )

donde Δ� la variación de temperatura, 7 las tensiones, Z[ la densidad del material, c una constante y %; el diferencial de deformación.

Además la temperatura se capta, como ya se ha dicho en los apartados precedentes, con una termo-cámara y el uso de grafito sobre la superficie de la placa. El grafito hace la superficie de la placa tenga emisividad muy cerca a uno y esto conlleva a que sea una superficie negra para la cámara. Con el paso de la herramienta sobre la chapa, esta capa de grafito, se va desprendiendo de una forma no conocida y puede originar un margen de error a la hora de captar la temperatura.

Además, considerando otro tipo de pérdidas no tenidas en cuenta debido a la complejidad del problema (interacción con el ambiente, heterogeneidades del material…), se ha fijado el porcentaje de energía plástica transformada en calor en el 70%. Hay que hacer énfasis en que este valor probablemente no sea el real (difíciles de medir), pero un primer paso es ir fijando variables para lograr entender cómo afectan al modelo. Existen artículos en los que se han estudiado aleaciones de aluminio a altas velocidades de deformación, afirman que podría oscilar entorno al 70 % [16], por lo que apoyaría la hipótesis tomada para el análisis.

No se han tenido en cuenta parámetros de rotura, ya que en los experimentos se comprobó que no hay rotura para las condiciones elegidas en este proyecto.

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno que se han elegido para el modelo es el siguiente: Para simular la fijación de la brida circular se han fijado los nodos correspondientes a una corona circular de diámetro aproximado a 220�� con un espesor de unos 2 cm (Figura 17).

La brida circular fija la chapa al husillo del torno empotrando sus caras exteriores en ese contorno dando condiciones de velocidad nula en las tres direcciones.

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48

Figura 17. Esquema de los nodos fijos que simulan la corona circular.

Trayectoria

Para simular la trayectoria lo más sencillo es fijar la chapa y modelar el movimiento relativo del punzón con respecto a la chapa, en este caso un movimiento cónico truncado.

Cada velocidad, paso de herramienta y material lleva asociada una trayectoria determinada. Para la definición de cada una de las trayectorias, se ha creado un archivo Excel en el que se calcula, basándose en la ecuación del seno, la posición según las coordenadas X, Y y Z cada cierto segmento de arco Ɵ. La trayectoria es cónica, por lo tanto tras el punzón dar una vuelta circular completa hay un avance de la herramienta en el eje Z que denominamos paso.

Figura 18. Esquema que se utiliza para el cálculo de la trayectoria, desplazamientos en plano X-Y y eje Z.

Cada trayectoria está definida por el diámetro de la trayectoria, α, paso, diámetro herramienta, segmento Ɵ y velocidad de avance.

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Tabla 6. Valores necesarios para el cálculo de la trayectoria.

Diámetro trayectoria

mm

Segmento Ɵ

Diámetro herramienta

mm

Paso

mm

Velocidad de corte

m/min

Angulo α

AA-5754

180 5 15

0.5 500

35 0.3 50

0.1 5

Las ecuaciones ( 5 ), ( 6 ) y ( 7 ) definen la posición en el espacio X, Y, Z y el tiempo t:

Posición en X: \]CC = ^_ − àbcde(f)ghij k × cosno, + opq ( 5 )

Posición en Y: r]CC = (_ − àbcde(f)ghij ) × senno, + opq ( 6 )

Posición en Z: t]CC = û, − vwxyghij k

( 7 )

Con estas 4 variables (4 vectores) se definen las 3 curvas correspondientes a los movimientos relativos de la herramienta en los tres ejes con respecto al tiempo: X-t, Y-t y Z-t.

Las siguientes figuras muestran las trayectorias generadas en el plano X-Y y el plano X-Z (Figura 19).

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-90 -40 10 60

EJE

Z

EJE X

50

50

Figura 19. Trayectoria que hace el punzón para conformar a 500 m/min y paso 0.5 mm. Arriba plano X-Z, debajo plano X-Y.

Simulación del problema térmico.

En este apartado se van a indicar aquellos parámetros que se han ajustado y que son de gran importancia para la activación del análisis térmico. Las “keywords” imprescindibles son las siguientes:

CONTROL: �SOLUTION: SOLN=2 (problema con análisis térmico y mecánico)

Otros: “default” �THERMAL_SOLVER: HSIF, ATYPE=1 (problema transitorio) PTYPE=1 (problema no lineal) SOLVER=3 (“solver” más adecuado para estos tipos de procesos)

FWORK= X (fracción de trabajo mecánico convertido en calor, normalmente 0.9). Otros: “default”

�THERMAL_TIMESTEP: TS=0

ITS=0.1 (Este valor tiene que ser grande (1000 veces más o menos que el time-step del problema mecánico) Otros: “default”

DATABASE: Tprint: para visualizar los mapas de temperatura.

-90

-60

-30

0

30

60

90

-90 -60 -30 0 30 60 90

EJE

Y

EJE X

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INITIAL: Temperature_set: hay que dar las condiciones iniciales de temperatura,

de otro modo se toma 0 por defecto. Otros: “default”

MAT: �THERMAL_ISOTROPRIC: Aquí se definen propiedades del material como la conductividad y

capacidad térmica. TRO: densidad del material para el problema térmico. HC: Capacidad térmica. TC: Conductividad térmica. PART: Es importante especificar la “keyword” TMID con el número

correspondiente a las propiedades térmicas definidas en MAT. Sin este parámetro no habrá problema térmico.

Para la resolución del modelo tenemos dos tipos de algoritmos. Para el problema mecánico, formulación explícita dinámica y para el problema térmico, formulación implícita estática. En los próximos capítulos se desarrollará más en detalle cómo se relacionan ambos logaritmos para la resolución del modelo.

52

52

53


ANÁLISIS

as simulaciones llevadas a cabo en este trabajo nos han proporcionado información acerca de la variación de temperatura, objeto de este proyecto, y también la variación de deformaciones a lo

largo del espesor y superficie de la placa.

3.1 Resultados de los modelos.

Velocidad de corte 500 m/min, paso 0.5 mm.

En primer lugar analizamos los resultados para el proceso cuyas variables son: velocidad 500 m/min y 0.5 mm de paso (Figura 20).

Figura 20. Izquierda, configuración del modelo antes de comenzar; derecha, geometría tras finalizar el proceso.

DISTRIBUCIÓN DEL ESPESOR

Como primera comprobación, se observa como la geometría final es bastante regular y tiene la geometría impuesta, no habiendo elementos deformados de forma extraña que pudieran ser origen de inestabilidades (Figura 21) durante la resolución.

Figura 21. Geometría final aceptable.

L

54

54

Otra comprobación sería ver si la deformación tiene coherencia, es decir que la distribución del espesor ha sido correcta y que se aproxima a la solución dada según la ecuación del seno ( 1 ). Tomando una diagonal de elementos (Figura 22) en la situación deformada podemos obtener aquellos datos que sean de importancia para comprobar si el modelo se asemeja en gran medida a lo que ocurre en la realidad (Figura 23).

Figura 22. Diagonal tomada para visualizar los resultados.

Figura 23. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754.

La ley del seno no es aplicable a la realidad, ya que teóricamente el espesor debería ser constante en toda la zona de trabajo del punzón. Aunque podemos observar que es una buena aproximación.

El espesor está directamente relacionado con la deformación en el espesor de la chapa, ;�, ya que coincide con una de las deformaciones principal, siendo una buena forma de verificar las deformaciones finales del modelo. El espesor final, según la ley del seno, debe reducirse entorno al ~20%. De los datos extraídos de la solución del modelo (Figura 23), el espesor final es 1.163�� lo que supone una reducción del 25%. Valores aceptables con un margen de error pequeño.

DISTRIBUCIÓN DE LA TEMPERATURA

La variación de temperatura es el objeto principal de este proyecto. Se observa cómo tras verificar que la solución mecánica del problema es aproximada, la variación de temperatura también sigue el comportamiento esperado. La chapa sufre un calentamiento local al conformar la chapa, que por conducción va calentando al resto de la chapa.

Hay otros factores que intervienen en la generación de calor, a continuación se resumen:

1. Deformación plástica. Como se dijo anteriormente, gran parte del trabajo mecánico se

1.001.051.101.151.201.251.301.351.401.451.501.551.601.651.701.751.80

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

55


transforma en calor. Concretamente se fijó en el 70% del trabajo plástico genera calor.

2. La fricción. El rozamiento entre herramienta y chapa origina calor. El valor del coeficiente se fijó en 0.3, no sabiéndose realmente cuál es su valor real y pudiendo cambiar con el aumento de temperatura y con el desprendimiento de la capa lubricante.

3. Velocidad del proceso. La rapidez con la que la herramienta se mueve se traduce en velocidad de deformación. Esta variable estaba implícita en la formulación del material de tal modo que una disminución haría que el término correspondiente fuese más pequeño y con ello las tensiones y en definitiva la temperatura.

78 = (9 + :;=̅>)(1 1 2?@;0∗��1 � �∗B�

;0 ↓↓→ (1 1 2?@;0∗� ↓↓→ 78 ↓↓

Figura 24. Variación de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754.

Para éste proceso, la temperatura máxima alcanzada en el experimento fue 93ᵒ C y en el modelo es 86.4oC, una diferencia del 7%. Considerando que hay variables que simplemente hemos estimado, se han obtenido unos valores bastantes razonables.

Es importante fijarse también en la variación con respecto al tiempo de la temperatura. Los puntos de la chapa van a tener una variación con una tendencia determinada, que tras pasar el punzón por dicho punto cambiará. Según el Segundo Principio de la Termodinámica: “el calor sólo puede fluir de un cuerpo más caliente a uno más frío”. Si tomamos un punto de la zona de trabajo del punzón, tendremos tres situaciones; aquella en la que el punzón aún no ha pasado, cuando pasa el punzón y cuando éste se aleja (Figura 25).

20.025.030.035.040.045.050.055.060.065.070.075.080.085.090.095.0

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

v v v

q q q

56

56

Figura 25. Esquema del flujo de calor en las distintas situaciones del sistema punto-punzón.

Antes de pasar el punzón, el punto se está calentando debido a que el flujo de calor procedente de las zonas ya calientes. Al pasar el punzón, la zona más caliente en ese momento es ese punto concretamente (Temperatura de conformado). Una vez pasado el punzón ese punto empieza a enfriarse, ya que va a ceder calor a las zonas frías aunque sigue calentándose realmente por el aumento de energía interna en la chapa, es decir, la tendencia va a ser menos empinada.

Tomando un punto dentro de la zona de acción del punzón podemos ver el cambio de tendencias que existen (Figura 26).

Figura 26. Variación temperatura-tiempo del punto elegido al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754.

Existen tres zonas con cambios de tendencia en la temperatura (Figura 26). En primer lugar la etapa I, intervalo con pendiente �R, hace referencia a esos momentos en los que la chapa se está calentando por conducción debido al conformado en puntos más alejados mientras se acerca. La etapa II, con pendiente � , es un intervalo en el que se están calentando zonas muy cercanas al punto hasta que el punzón pasa por él y por ello el calentamiento es más rápido. Finalmente se aprecia una disminución de la pendiente, ��, en la que la chapa se calienta más lentamente según lo expuesto en los párrafos anteriores.

Por lo tanto tenemos un modelo cuyos resultados se adecúan a los resultados experimentales y a las leyes de la física, incluso con las simplificaciones e hipótesis elegidas para su elaboración.

Queda comprobar los mismos parámetros para el resto de procesos.

Velocidad de corte 500 m/min, paso 0.3 mm.

El acabado final es igual que en proceso anterior. No se aprecian irregularidades en el mallado y aparentemente las situaciones deformadas tienen buen comportamiento.

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0

50.0

55.0

60.0

65.0

70.0

75.0

80.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.1

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

tiempo (s)

�R

�

��

Etapa I Etapa II Etapa III

57



Al igual que se ha hecho en el caso anterior, a continuación se observan los mismos resultados antes expuestos: distribución de espesor (Figura 27) y distribución de la temperatura (Figura 28).

Figura 27. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.3 mm para AA-5754.

El espesor final, según la ley del seno, debe reducirse entorno al ~20%. De los datos extraídos de la solución del modelo (Figura 27), el espesor final es 1.15 mm lo que supone una reducción del 26.6%. Valores todavía aceptables con un margen de error pequeño.


En cuanto a la distribución de temperaturas (Figura 28) se ve como su comportamiento se asemeja al caso anterior. Las zonas finales de conformado (base menor del tronco cónico) son las que poseen mayor temperatura. En el experimento la temperatura máxima registrada es 95.98 ᵒC, ligeramente mayor que en el proceso con paso de 0.5 mm. En el modelo se ha obtenido un valor máximo de 130 ᵒC, unos 30 grados más de lo obtenido experimentalmente, lo que implica un aumento del 35 % de la temperatura esperada. Aún así el comportamiento que muestra tener la temperatura es el adecuado, según se explicó en el apartado anterior.

Figura 28. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.3 mm para AA-

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

1.70

1.80

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

20.0

30.040.0

50.0

60.070.0

80.0

90.0100.0

110.0

120.0130.0

140.0

Te

mp

era

tura

(C

)

Distancia (mm)

58

58

5754.

El porqué de que la disminución del paso de herramienta genere mayor calor se explica a continuación:

Conforme el paso disminuye, se necesitan más vueltas para producir la misma geometría final. Esto se traduce a que el punzón tiene que pasar más veces por el mismo punto, es decir, hay mayor efecto de la fricción debido al paso repetido de la herramienta por la misma zona. También el proceso se prolonga más tiempo lo que favorece que, por conducción, la distribución de temperaturas sea más homogénea.

Vemos cómo la variación de temperatura (Figura 29) también cumple las condiciones explicadas antes.

Figura 29. Variación temperatura-tiempo del punto elegido al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.3 mm para AA-5754.

EFECTO DE LA FRICCIÓN

También se ha evaluado cómo cambia la temperatura en función del rozamiento. En la siguiente figura vemos que el hecho de existir fricción hace que haya un aumento de temperatura provocado por ésta. Por lo tanto en el modelo numérico se puede cuantificar el aumento de energía provocado por la deformación plástica propia del proceso de conformado en el caso de fricción nula y la energía que aporta el rozamiento entre la herramienta y la superficie de la chapa (Figura 30, Figura 31).

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

110.0

120.0

130.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.2

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

tiempo (s)

�R

�

��

Etapa I Etapa II Etapa III

59


º

Figura 30. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.5 mm para AA-5754 para distintos valores de fricción.

Figura 31. Distribución de temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.3 mm para AA-5754 para distintos valores de fricción.

En ambos modelos se ve cómo la fricción hace que haya un aumento de temperatura, confirmándose que la fricción afecta en la generación de la temperatura y que al menos, el modelo sigue el comportamiento que se observa en los experimentos.

Si comparamos el proceso para distintos pasos de herramienta y fricción nula vemos que hay un aumento de la temperatura igualmente (Figura 32). La velocidad de deformación es menor por lo tanto la componente correspondiente disminuye, y en consecuencia las tensiones deben ser menor.

Pero una cosa es la fuerza de fricción ejercida sobre la interfase (que puede ser nula como en este caso) y otra son las fuerzas tangenciales a lo largo del espesor. En el proceso con paso 0.3 mm, para un mismo punto, el punzón tiene que pasar más veces por el mismo punto para provocar la misma

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.0035.0040.0045.0050.0055.0060.0065.0070.0075.0080.0085.0090.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

Coef. Fricción =0

Coef. Fricción=0.3

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

110.0

120.0

130.0

140.0

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

Coef. Fricción=0

Coef. Fricción =0.3

60

60

deformación que en el caso de paso 0.5 mm. Esto se traduce a que las fuerzas tangenciales debidas a la deformación impuesta por el punzón están actuando sobre el mismo punto más veces y en consecuencia aumenta la temperatura.

Figura 32. Distribución de la temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y distintos pasos para

AA-5754 y fricción nula.

En cuanto al espesor (Figura 33, Figura 34): se obseva que la variación de fricción no modifica computacionalmente la distribución de espesor. Por lo tanto las “nuevas condiciones de contacto” (coeficiente de fricción nulo) no afectan a la geometría final. Esto hace pensar que las desviaciones de espesor en otros modelos son debido a otra causa; como inestabilidades debido a la definición de la malla y en consecuencia a otros parámetros relacionados con la deficinción del modelo y que intervienen en la solución numérica.

Figura 33. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.5 mm para AA-5754 para distintos valores de fricción.

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.0035.0040.0045.0050.0055.0060.0065.0070.0075.0080.0085.0090.0095.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

500 0.5

500 0.3

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

Sin fricción

Con fricción

61


Figura 34. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500m/min y paso 0.3 mm para AA-5754 para distintos valores de fricción.

La geometría final en los dos procesos para distintos valores de fricción coincide, por lo tanto la fricción no afecta a la geometría final para el modelo propuesto.

Problemática.

Al llevar a cabo el resto de simulaciones se encuentran limitaciones computacionales. Esto es debido a los altos tiempos de los procesos y a la no correcta definición del modelo. Por un lado se tienen los factores que afectan al tiempo; entre ellos: el mallado, el tipo y un número alto de elementos en el modelo puede aumentar considerablemente el tiempo computacional; datos que mostrar, el cálculo de los parámetros de salida y visualización de los mismos incrementan el tiempo computacional también; por supuesto el tiempo del proceso a simular es quizás el más importante como se explica en las siguientes líneas.

Con la disminución de las variables del modelo (velocidad y paso de herramienta) el tiempo del proceso y el computacional aumentan considerablemente, imposibilitando la resolución del modelo. En la Tabla 7 se observan cómo los tiempos del proceso, para las distintas condiciones, van cambiando.

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1.45

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

con fricción

sin fricción

62

62

Tabla 7. Tiempos que toman cada proceso para AA-5754

Se ve en el siguiente gráfico (Figura 35) que las horas de simulación son aceptables para los procesos "más cortos", y que los demás procesos son un gran problema ya que son casi imposibles de ejecutar. Decir que estos tiempos están relacionados con las características de hardware del ordenador que se use. En el caso de este trabajo, el ordenador no tenía grandes velocidades de CPU. Como características; dos procesadores Intel Pentium T3200 de 2 GHz cada uno con 2 Gb de memoria RAM.

Figura 35. Tiempos que toman cada proceso para AA-5754.

Así que se tienen que disminuir los tiempos computacionales.

1. Utilizar un ordenador con mayores recursos informáticos. Un procesador rápido y con bastante memoria disminuiría estos tiempos considerablemente, ya que se tuvo la posibilidad de probar en varios ordenadores con características diferentes, y se pudo observar la diferencia de estos tiempos. Por problemas de recursos, en esta fase del proyecto no se dispuso de mejores computadoras para continuar desarrollando siguiendo esta línea.

2. Aumentar el Time-Step, aunque con ello la solución no tendrá la exactitud del primer caso.

60800

8000

19 200

2500

12 140

1500

0

2000

4000

6000

8000

10000

500 m/min 50 m/min 5 m/min

Tiempos computacionales (horas)

pitch 0.1 mm pitch 0.3 mm pitch 0.5 mm

Velocidad 5 m/min 50 m/min 500 m/min

Paso de herramienta

Tiempo (s)

0.1 mm 1550.7008 155.07008 15.507008

0.3 mm 516.900618 51.6900618 5.16900618

0.5 mm 310.14079 31.014079 3.101408

63


< �R

�

Vemos cual es la condición de convergencia ( 8 ) que utiliza LS-Dyna en la resolución del modelo.

∆� < ∆�~�,.,~ = �x� ,� = � �Z� · (1 − � ) ( 8 )

donde Z� es la densidad del material, � el módulo de Young, �x tamaño de los elementos, � coeficiente de Poisson y ∆�~�,.,~ el time-step crítico el cual no permite la convergencia del problema.

El tamaño del Time-Step es inversamente proporcional al módulo de Young de los materiales que en el modelo se implementan, y proporcional a densidad y longitud del elemento.

Habría que buscar un compromiso entre estas tres variables para aumentar el Time-Step sin que con ello los resultados se vean alterados de forma inestable. Las opciones barajadas, con sus efectos, son:

- Disminuir E (módulo de Young) � Se ha comprobado, cambiando esta variable, que las fuerzas de contacto se ven afectadas y con ello la temperatura. Las fuerzas de contacto a priori son algo bastante complejo, hay que tener en cuenta tanto trayectoria como superficie de contacto entre chapa y punzón para su cálculo, así que sería conveniente un estudio más profundo.

- Incrementando la densidad del material � Esto afecta a la cinética del modelo y en consecuencia a la energía del sistema.

Se tiene que diferenciar entre problema mecánico y problema térmico, y para ello hay que dejar claro cuál es la forma de proceder que tiene LS-Dyna para los algoritmos elegidos.

Para el problema mecánico (algoritmo explícito) las ecuaciones que entran en juego son:

�#- = �-45. − �-,-. ( 9 )

De aquí podemos justificar el aumento del Time-Step incrementando la densidad del material. Un aumento de la densidad aumenta la matriz de masas concentradas M, pero esto equivale también a un aumento de las fuerzas exteriores (efecto de la gravedad; que no entra en juego en este modelo, fijación y fuerzas aplicadas) e internas (fuerzas contacto, reacciones), por lo tanto las ecuaciones se “equilibran”.

NOTA: Cuando hablemos de densidad mecánica/térmica, nos estaremos refiriendo a la densidad definida para el problema mecánico/térmico respectivamente.

Además, sólo cambiaremos dichas densidades en la chapa metálica, ya que la hemos modelado como

∆t

64

64

elemento fijo, es decir no va a afectar a su inercia en gran medida. En el caso del punzón, no tocaremos su masa ya que éste si tendría un aumento de la inercia considerable. La realidad es que la chapa no está fijada, pero si podemos tomar la hipótesis de que su aumento de inercia es despreciable aún aumentando la masa, debido a las condiciones que se le ha dado en el modelo.

�~�w=w ≫ 0, #~�w=w~0 → �#~0

Por otro lado, la inercia del punzón no cambia puesto que no se ha variado su masa, por lo que el sistema queda ajustado. Si el aumento de la masa de la chapa fuera desorbitado sí tendría efecto sobre la inercia de la chapa al tener más peso sobre la ecuación ( 9 ) y el problema no convergería.

Una vez resuelto el problema mecánico se obtienen las tensiones y deformaciones, con ello también la energía del sistema. Parte de esta energía es la utilizada para deformar plásticamente la chapa y a su vez una parte de ésta genera un incremento de temperatura como ya se dijo en apartados anteriores. Esta energía es importante para el problema térmico, cuyas constantes son la densidad térmica (para referirnos al problema térmico implícito) y la capacidad calorífica.

Q = � · �= · ∆�

Se tiene pues, dos problemas a resolver relacionados por el calor generado y cuyas variables a ajustar son sus densidades respectivas:

¿Cuáles son los valores adecuados para cada proceso?

A priori no se puede prever debido a la complejidad de las ecuaciones, así que se ha empleado un procedimiento de interpolación-aproximación para encontrar los valores adecuados de ambas densidades y así acercarse a sus valores más óptimos que mejoren los resultados del modelo.

e muestra el proceso que se sigue para utilizar la aplicación DACE, herramienta de Matlab, y que

� = Z� · V

Solución mecánica Solución Térmica

Explícita Implícita Z� Z�

Calor generado

Q

65


aproxima y estima el valor de la densidad térmica para cada proceso. Cada proceso está definido por la velocidad; la cual se ha fijado una densidad mecánica que permite resolver sin errores el modelo, paso de herramienta y temperatura del test experimental.

Figura 36. Interfaz de la aplicación.

3.2 DACE

En este apartado se explica cómo combinar las propiedades de interpolación y aproximación y su aplicación en este proyecto. Para ello, se van a describir los antecedentes y el uso del paquete de software DACE (Design and Analysis of Computer Experiments), que es una caja de herramientas de Matlab para trabajar con aproximaciones Kriging de modelos informáticos.

El uso típico de este programa es construir un modelo de aproximación Kriging basado en experimentos informáticos. [15] Es un método geoestadístico de estimación de puntos que utiliza un modelo de variograma para la obtención de datos. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Daniel G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena (minería), las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal y utilizar este modelo de aproximación como un sustituto para el modelo informático.

La tarea que se persigue es encontrar, de forma aproximada, el valor de �(�)para un argumento no contenido en la tabla de valores conocidos.

�y�(�y) �R�(�R) � �(� ) ⋮ �-�(�-)

66

66

Cabe mencionar que el problema de interpolación, en el sentido estricto de la palabra, no puede resolverse conociendo únicamente los datos de la tabla anterior, sino que es indispensable tener al menos una idea general de las características de la función. Por lo tanto, se debe seleccionar la técnica de aproximación cuyas características sean apropiadas para el problema abordado. Como en la mayoría de los casos se desconocen tales características, se proponen distintas técnicas de aproximación de funciones para poder seleccionar alguna, con el fin de obtener las mejores soluciones en el problema multi-objetivo seleccionado.

A menudo son necesarios los modelos de aproximación como una parte del proceso de diseño, en el que se determina el mejor conjunto de parámetros de funcionamiento del modelo. Esto es, por ejemplo, para los problemas donde un modelo informático está ajustado con los datos físicos. Este problema de diseño está relacionado con el problema más general de la predicción de la salida de un modelo informático para las entradas no probadas. En el ANEXO, se encuentran detalladas toda las ecuaciones matemáticas que componen el algoritmo que usa DACE.

3.3 Resultados de los modelos modificados con ayuda de DACE

Una vez ejecutada la herramienta DACE tantas veces como han sido necesarias para llegar a los valores aproximados de los valores experimentales, podemos analizar los resultados.

Se ha simulado cada proceso una media de seis veces, cambiando la densidad del problema térmico de acuerdo con el valor proporcionado por el predictor calculado por la herramienta. Cada vez que se introducen nuevos datos se favorece a que el modelo quede más definido y que las siguientes predicciones se ajusten más fielmente.

67


Tabla 8. Valores de las densidades mecánicas y térmicas de cada proceso junto a los resultados de temperatura.

Paso herramienta Velocidad de corte

5m / min

(Densidad mecánica asociada ��/��)

50m / min

(Densidad mecánica asociada ��/��)

500m / min

(Densidad mecánica asociada ��/�� )

0.1 mm

Densidad térmica ��/�� /�� /��

Temperatura TEST (ᵒC)

40.2 99 172.73

Temperatura MODELO ( ᵒC)

32 93 167

0.3 mm


Temperatura TEST(ᵒC)

38.11 75.04 95.98


37.32 78.08 100

0.5 mm


Temperatura TEST (ᵒC)

36.04 58.19 93


41.26 62.87 84

Como primera observación (Figura 37) se ve cómo para una misma velocidad, según va disminuyendo el paso, la densidad térmica aumenta para ajustarse a la solución buscada. De igual modo, con la disminución de la velocidad la densidad térmica también aumenta.

68

68

Figura 37. Valores de la densidad térmica para cada proceso.

A continuación se presentan las variables anteriormente analizadas en el apartado 3.1 para los nuevos modelos cuyas densidades han sido modificadas.

Distribución de Temperaturas.

Se observa nuevamente la distribuciones de temperatura en la línea de referencia (Figura 22) tomada para su evaluación de todos los procesos de conformado de chapa metálica con el material AA-5754.

Figura 38. Mapa de temperatura y variación de la temperatura en la chapa al final del proceso con velocidad 500m/mm y paso 0.5 mm.

0.00E+00

2.00E+04

4.00E+04

6.00E+04

8.00E+04

1.00E+05

1.20E+05

Velocidad 500 m/min Velocidad 50 m/min Velocidad 5 m/min

De

nsi

da

d t

érm

ica

0.5 mm 0.3 mm 0.1 mm

20.0025.0030.0035.0040.0045.0050.0055.0060.0065.0070.0075.0080.0085.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

69





20.0025.0030.0035.0040.0045.0050.0055.0060.0065.0070.0075.0080.0085.0090.0095.00

100.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

20.030.040.050.060.070.080.090.0

100.0110.0120.0130.0140.0150.0160.0170.0

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

50.00

55.00

60.00

65.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

70

70




20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

50.00

55.00

60.00

65.00

70.0075.00

80.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

71




Se verifica tras analizar los resultados que el comportamiento de la temperatura sigue los pasos de los modelos que sí se pudieron resolver. La zona de acción del punzón o zona conformada es la que está más caliente. Se ha conseguido aproximar a los resultados experimentales en cuanto a temperaturas máximas se refiere, comprobando que las tendencias son apropiadas aproximadamente.

En los procesos más lentos (5m/min) y que por lo tanto toman más tiempo, se observa que el gradiente de temperaturas (Figura 44, Figura 45, Figura 46) es toda la superficie de la chapa es muy pequeño siendo prácticamente similar la temperatura en todos los puntos de ésta. Ésto ocurre debido a que los largos tiempos permiten la disipación y homogeneización del flujo de calor por la superficie de la chapa mediante conducción en el espesor.

Esto también ocurre en los procesos con velocidad 50 m/min (Figura 41, Figura 42, Figura 43), donde se aprecia también que la diferencia de temperaturas entre la máxima y la mínima es menor que en el caso de los procesos con velocidad 500 m/min (Figura 38, Figura 39, Figura 40). La tendencias son más abruptas en estás últimas.

Como se ha indicado más arriba la pendiente de la temperatura frente al tiempo, es más empinada en

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

45.00

Te

mp

era

tura

(ᵒC

)

Distancia (mm)

20.0

25.0

30.0

35.0

40.0

45.0T

em

pe

ratu

ra (

ᵒC)

Distancia (mm)

72

72

los procesos más rapidos. En la Figura 47 se aprecia cómo varían las temperaturas dependiendo del proceso teniendo en cuenta la velocidad y tiempo que toma el proceso.

Figura 47. Variación de tempraturas con respecto al tiempo de todos los procesos para AA-5754.

Los procesos más rápidos, 500 m/min, frente a otros más lentos, 5 m/min, tienen temperaturas mayores ya que la velocidad de deformación es mayor, siendo éste parámetro importante en la definición de la formulación del material (ec. 3). Podemos decir entonces que la velocidad del proceso es uno de los factores más importantes para la variación de la temperatura y que esto favorece al conformado por volverse más dúctil el material.

En procesos con igual velocidad pero distinto paso de herramienta, se observa que la disminución de éste favorece el aumento de la temperatura. Ésto, como ya se indicó en el apartado Análisis, es debido al efecto de la fricción entre punzón y chapa al tener que pasar éste más veces por el mismo punto.

Distribución del espesor

Observamos nuevamente las distribuciones del espesor en la línea de referencia (Figura 22) tomada para su evaluación de todos los procesos de conformado de chapa metálica con el material AA-5754.

Se comprueba que los modelos sufren una disminución del espesor únicamente en la zona de conformado, véanse Figuras 53-61.

20

40

60

80

100

120

140

160

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Te

mp

era

tura

(°C

)

Tiempo (s)

5 m/min 0.5 mm

5 m/min 0.3 mm

5 m/min 0.1 mm

500 m/min 0.5 mm

500 m/min 0.3 mm

500 m/min 0.1 mm

50 m/min 0.5 mm

50 m/min 0.3 mm

50 m/min 0.1 mm

73


Figura 48. Mapa de espesor y variación del espesor en la chapa al final del proceso con velocidad 500m/mm y paso 0.5 mm.



1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5

Esp

esr

o (

mm

)

Distancia (mm)

74

74




1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5

Esp

esr

o (

mm

)

Distancia (mm)

75





Según la ecuación del seno (ec. 1), el espesor final tiene que sufrir una disminución entorno al ~18% lo que se traduce a un espesor final del 1.228��.

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5

Esp

esr

o (

mm

)

Distancia (mm)

76

76

Figura 57. Disminución del espesor en todos los procesos de conformado incremental para AA-5754.

En la Figura 57. Disminución del espesor en todos los procesos de conformado incremental para AA-5754. se resume el porcentaje de disminución del espesor para los distintos procesos. Vemos que en los procesos donde el paso de la herramienta es 0.5 mm esta disminución no diverge demasiado de la teórica, siendo algo mayor. También para un paso de 0.3 mm la disminución de espesor es mayor de la esperada.

En cuanto a los modelos con paso de herramienta 0.1 mm la disminución del espesor es mucho mayor siendo claramente no aceptable el modelo. Además la deformación final no es la impuesta por trayectoria habiendo muchas irregularidades del mallado y no teniendo la forma final buscada (Figura

50, Figura 53, Figura 56).

3.4 Nueva propuesta de modelo. Tras el análisis del resultado de los modelos definidos con éste método, y viendo que aún se está lejos de la solución final buscada, se propone otro modelo el cual consiste en una modificación del mallado. La definición de un buen mallado es clave a la hora de obtener unos resultados más precisos. Cuanto más fina es la malla, mejores resultados se obtienen desapareciendo también las divergencias a la hora de resolver. Por otro lado el tiempo computacional aumenta siendo indispensables unos mejores recursos para hacer viable el análisis.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

500 m/min 50 m/min 5 m/min

% D

ism

inu

ció

n

de

l e

spe

sor

0.5 mm 0.3 mm 0.1 mm

77


Figura 58. Mallado refinado en la zona de acción de la herramienta.

En la

Figura 58. Mallado refinado en la zona de acción de la herramienta.se observa el nuevo mallado propuesto. La definición del modelo es exactamente el mismo que en los casos anteriores, exceptuando que el número de elementos es mayor y de menor tamaño en la zona de acción de la herramienta. Las condiciones de la herramienta, simulación de la fijación al útil del husillo, formulación del material…son las mismas.

Se han subdividido los elementos que anteriormente eran de 4 mm a 2 mm, entorno a una corona circular aproximada de lo que es la zona de conformado.

78

78

Sin modificar los valores de densidad definidos por el material, se resuelve el modelo. El tiempo computacional necesario se multiplica por 3, pero aún así ha sido posible la resolución para el proceso de 500 m/min y 0.5 mm.

Figura 59. Geometría final del proceso a 500 m/min y 0.5 mm, con el nuevo mallado.


Tomando una diagonal de elementos (Figura 22) en la situación deformada podemos obtener aquellos datos que sean de importancia para comprobar si el modelo se asemeja en gran medida a lo que ocurre en la realidad.

Figura 60. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754, con el nuevo mallado.

El espesor final, según la ley del seno, debe reducirse entorno al ~20%. De los datos extraídos de la solución del modelo (Figura 60. Distribución del espesor al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso

0.5 mm para AA-5754, con el nuevo mallado.), el espesor final es 1.184�� lo que supone una

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.50

1.60

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

79


reducción del 23.4%. Valores aceptables del modelo. También es importante apreciar que la distribución del espesor es más homogéneo en este modelo, en la zona de acción del punzón, que en los modelos anteriores.


Figura 61. Distribución de la temperatura al finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754, con el nuevo mallado.

Para este proceso, la temperatura máxima alcanzada en el experimento fue 93ᵒ C y en el modelo es 105oC, una diferencia del 12%. Considerando que hay variables que simplemente hemos estimado, se han obtenido unos valores bastantes razonables.

En este caso, los cambios de temperatura son más suaves (Figura 61. Distribución de la temperatura al

finalizar el proceso de velocidad 500 m/min, paso 0.5 mm para AA-5754, con el nuevo mallado.) debido a que hay más puntos intermedios, siendo más real aun la distribución obtenida.

Se observa que se mantiene el mismo comportamiento que en los modelos anteriores, siendo la geometría final aceptable y la variación de temperatura correcta según los valores reales.

1.00

21.00

41.00

61.00

81.00

101.00

121.00

Esp

eso

r (m

m)

Distancia (mm)

80

80

81


CONCLUSIONES

ste proyecto tenía como objetivo el modelado y análisis de la temperatura en el proceso de conformado incremental de chapa metálica a altas velocidades de aleaciones ligeras, en concreto

AA-5754. Se ha encontrado poca información acerca de la simulación de dicho proceso en revistas científicas y la red, sobre todo del análisis térmico con la formulación utilizada, por lo que a la hora de modelar son muchas las dificultades que se han encontrado.

Ha sido difícil llegar hasta el modelo final, que en este proyecto se detalla y se analiza, aunque una vez entendido cómo activar el análisis térmico y cuáles son las “keywords” necesarias para ello no resulta tan complejo. Las hipótesis que se han tomado para la fricción, calor generado, isotropía de la chapa… conllevan a valores no reales, pero si aproximaciones, del caso experimental.

De todas formas el modelado aproximado del proceso, bajo todas las condiciones de trabajo llevadas a cabo en los experimentos, no ha sido posible sin tener que modificar “artificialmente” las propiedades reales del material.

El tiempo del proceso influye en gran medida en la convergencia de la resolución. Recordemos que se han intentado modelar procesos de hasta 1500 segundos de duración, por lo que la formulación explícita puede que no sea del todo adecuada. Esta formulación estaba indicada para procesos rápidos, como la estampación. De hecho no se han encontrado demasiados problemas cuando se simulan los procesos más “cortos”, de entre 3 y 5 segundos de duración. El problema se encuentra cuando se simulan procesos más largos. Se ha demostrado con este proyecto que al aumentar el Time-Step los problemas de convergencia desaparecen y LS-Dyna resuelve sin errores computacional el modelo. Este aumento se ha hecho incrementando la densidad “mecánica” y ajustando la densidad “térmica” lo que equivale a un Mass Scaling manual. Se intentó un Mass Scaling automático, pero nunca se llegó a afinar su valor de tal modo que convergiera el problema.

Otra cosa bien distinta son los resultados: en cuanto al comportamiento de la temperatura, ésta se adecúa bastante a la realidad y se llegan a valores aceptables a priori; si se observan las deformaciones los resultados no son tan adecuados como los anteriores, llegando a ser inaceptables en algunos de los casos.

La dirección a la que se ha visto obligado este proyecto es la de intentar resolver el modelo por todos los medios posibles, aun teniendo que crear un modelo artificial, el cual no corresponde a un modelo fiel a la realidad.

Por supuesto existen otros caminos que se han ido abandonando durante el desarrollo de este proyecto y que son susceptibles de seguirse mediante el desarrollo de otros proyectos.

Como trabajo futuro, y retomando uno de esos caminos abandonados, se recomienda seguir trabajando en el mallado. Con mejores recursos informáticos, se debe ser capaz de llegar a una solución aceptable para el resto de los procesos; ver si converge en tales casos, y establecer hasta qué velocidades el

E

82

82

modelo es aplicable. Quizás el tipo de elemento deba cambiarse; el uso de elementos triangulares en las zonas con más deformaciones deberían mejorar los resultados.

Otro análisis sería ver cómo los algoritmos de contacto hacen variar la solución del modelo. Está claro que no todas las condiciones de trabajo son aptas para el algoritmo propuesto en este proyecto, y seguramente las variables deban definirse de otra forma. Habrá que hacer un estudio más en detalle de los algoritmos más utilizados en la simulación de conformado incremental.

Por supuesto, habría que caracterizar el material a analizar tanto propiedades como formulación. A su vez hacer un estudio de cómo cambia la fricción durante los procesos, algo que no se ha estudiado en los experimentos en los que se basa este proyecto. Partíamos de hipótesis, por lo que concretarlas y acercarnos más la situación real eliminará incógnitas que probablemente no se hayan definido correctamente.

83


ANEXO

5.1 Código Matlab de la herramienta DACE. La elección de la función de correlación debe estar motivada por el fenómeno subyacente, por ejemplo, una función que se quiera optimizar o un proceso físico que se quiera modelar. Si el fenómeno subyacente es continuamente diferenciable, la función de correlación es probable que muestran un comportamiento parabólico cerca del origen, lo que significa que la gaussiana, la cúbica o la función spline debe ser elegido. Por el contrario, los fenómenos físicos suelen mostrar un comportamiento lineal cerca del origen los cuales EXP, EXPG, LIN o SPHERICAL, en general,

podrían cumplir mejor [17]. El elegido en este proyecto es el modelo lineal aplicable en �[, para d ≥

1.

Una vez entendido matemáticamente cómo se obtienen los valores del predictor se puede usar la herramienta. Ésta se encuentra descargable online en la siguiente dirección: http://www.imm.dtu.dk/~hbni/dace/

El paquete descargable es un conjunto de funciones en las que se implementan las ecuaciones arriba descritas y otras de las que nos servimos para poder articular el código.

Para la ejecución de la herramienta y el cálculo del predictor y demás variables, se ha escrito el siguiente código en el archivo “prova.m”.

- Función principal “PROVA”, se ayuda del resto de fu nciones para su ejecución.

function varargout = prova(varargin) gui_Singleton = 1; gui_State = struct( 'gui_Name' , mfilename, ... 'gui_Singleton' , gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn' , @prova_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn' , @prova_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn' , [] , ... 'gui_Callback' , []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end

- Función que se carga los datos de los resultados de l modelo.

function prova_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, vara rgin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future v ersion of MATLAB % handles structure with handles and user data ( see GUIDATA) % varargin command line arguments to prova (see V ARARGIN) set(handles.table2, 'Data' ,[

84

84

DATOS SACADOS DE LAS SIMULACIONES ]) guidata(hObject, handles);

- Función que calcula el predictor según los datos añ adidos al modelo en

“prova_OpeningFcn”. Se activa al pulsar el botón 2, es decir SET R2 (predictor de la densidad térmica).

Dmodel es una estructura que nos da información del modelo: % regr : función que domina en el modelo de re gresión. % corr : función que domina la función de corr elación. % theta : parámetros de la función de correlaci ón. % beta : estimación de mínmos cuadrados genera lizados. % gamma : factores de correlación. % sigma2 : estimación de máxima verosimilitud de la varianza proceso. % S : puntos de diseño escalados. % Ssc : factores escalados para argumentos de diseño. % Ysc : factores escalados para ordenes de di seño. % C : factor de Cholesky de la matriz de co rrelación. % Ft : Matriz de la regression no correlacio nada. % G : De la factorización QR: Ft = Q*G'. Perf es una estructura que nos dá información sobre el rendimiento: % nv : Número de evaluaciones de la función objetivo. % perf : (q+2)*nv matriz, donde q es el número de elementos en theta, y % & las columnas mantienen valores actuales de % [theta; psi(theta); type] % |type| = 1, 2 or 3, indica 'start', ' explore' or 'move'

function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles) dati=get(handles.table2, 'Data' ); d2=0; d3=0; for i=1:size(dati,1) dati(i,2); d2(i)=log(dati(i,2))/log(10); d3(i)=log(dati(i,3)*10^9)/log(10); end d2=d2'; d3=d3'; [dmodel, perf] = dacefit([dati(:,1) d2 d3],dati(:,4 ),@regpoly2, @corrlin, [1]) % SE LLAMAN A LAS FUNCIONES regpoly2 Y corrlin. Cor relación lineal y polinomio de segundo orden. ub=10^-6; lb=10^-9; min=9999999; best=0; target=str2num(get(handles.target, 'string' )); d=str2num(get(handles.d, 'string' )); v=str2num(get(handles.v, 'string' )); r=str2num(get(handles.r, 'string' )); t=str2num(get(handles.t, 'string' )); for i=10^-9:10^-10:10^-7 min; dato=[d,log(v)/log(10),log(i*10^9)/log(10)]; y=predictor(dato, dmodel); abs(y-target); if (abs(y-target)<min) min=abs(y-target); best=i; end end

85


set(handles.r, 'string' ,best); dmodel.beta dmodel.gamma

- Función que se activa al pulsar el botón 1, es deci r “Add”. Este botón añade un nuevo punto del modelo, cuya información s e almacena en la función “prova_OpeningFcn”.

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to pushbutton1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future v ersion of MATLAB % handles structure with handles and user data ( see GUIDATA) d=str2num(get(handles.d, 'string' )); v=str2num(get(handles.v, 'string' )); r=str2num(get(handles.r, 'string' )); t=str2num(get(handles.t, 'string' )); data=[d v r t]; old=get(handles.table2, 'Data' ) new=[old;data]; set(handles.table2, 'Data' ,new);

5.2 Explicación matemática de DACE.

MODELAJE Y PREDICCIÓN

Dados un conjunto m de puntos de diseño � = I$R…$CK� con $, ∈ �- y respuestas ¡ =I¢, …¢CK�con ¢, ∈ �£. Los datos se asumen para satisfacer las condiciones de normalización

¤¥�:,p§ � 0,¨¥�:,p, �:,p§ � 1,© � 1,… , @, ¤¥¡:,p§ � 0,¨¥¡:,p, ¡:,p§ � 1,© � 1,… , ª,

( 10 )

Donde «:,p es el vector dado por la columna j-ésima en la matriz X, y ¤I�K y ¨I�,�K denotan

respectivamente la media y la covarianza.

Seguidamente, se adopta un modelo ¢¬ que expresa la respuesta determinista ¢�� ∈ �£, para una entrada � ∈ _ ⊆ �-de dimensión n, como una realización de un modelo de regresión F y una función aleatoria (proceso estocástico),

¢¬®�� +n :̄,®, �q 1 °®��,? � 1,… , ª. ( 11 )

Se usa un modelo de regresión el cual es una combinación lineal de p funciones elegidas �p: �- → �,

+n :̄,®, �q � R̄,®�R�� 1 ⋯1 ¯=,®�=�«� � ¥�R��…�=��§ :̄,®

≡ �� :̄,®.

( 12 )

Los coeficientes ³¯´,®µ son parámetros de regresión.

El proceso aleatorio z se supone que tiene media cero y covarianza

86

86

�I°®(¶)°®(�)K = 7® ·(o, ¶, ��,? � 1,… , ª ( 13 )

Entre z(w) y z(x), donde 7® es la varianza del proceso para la l-ésima componente de la respuesta y ¸�o,¶, �� es el modelo de correlación con parámetros o. Una interpretación del modelo ( 11 ) es la desviación del modelo de regresión, aunque la respuesta es determinista, puede parecerse a una muestra de un proceso estocástico z. A continuación nos centraremos en el predictor kriging para ¢.

Primero, sin embargo, hay que tener en cuenta que el valor real se puede escribir como

¢®�� +n :̄,®, �q 1 �n :̄,®, �q, ( 14 )

Donde � es el error de aproximación. El supuesto es que por elección apropiada de ¯ este error se comporta como "ruido blanco" en la región de interés, i.e., para � ∈ _.

EL PREDICTOR DE KRIGING.

Para un conjunto S de sitios de diseño se tiene la matriz de diseño F de dimensiones � � ¹ con +,p ��p�$,�,

+ � I��$R�…��$C�K� , ( 15 )

Con �� definida en ( 12 ). Además, definir R como la matriz R de correlación del proceso estocástico1 entre los sitios de diseño de °.

·,p � ¸no, $,, $pq,º, © � 1,… ,�. ( 16 )

En un punto no probado � permite a

»�� I¸�o, $R, ��… ¸�o, $C, ��K� ( 17 )

ser el vector de correlación entre los puntos de diseño de ° y �. Ahora, según conviene, se asume que ª � 1, implicando que ̄ � :̄,Ry ¡ � ¡:,R, y considerar el

predictor lineal

¢¬�� 2�¡, ( 18 )

con 2 � 2�� ∈ �C. Este error es

¢¬�� ¢�� 2�¡ � ¢�� 2��+¯ 1 u� � ��¯ 1 °� � 2�u � ° 1 n+�~ � ��q�¯,

( 19 )

1Un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico.

87


donde u = I°R…°CK� son errores en los puntos de diseño. Para mantener al predictor insesgado, es decir que su sesgo es igual a cero, se exige que +�2 − �(�) = 0,ó

+�2�� . ( 20 )

Bajo esta condición el error cuadrático medio (ECM) del predictor es

¼�� ½n¢¬�� ¢��q ¾ � �I�2�u � °� K � �I° 1 2�uu�2 � 22�u°K � 7 �1 1 2�·2 � 22�»�.

( 21 )

La función Lagrangiana para el problema de minimización de ¼ con respecto a 2 y sujeto a la restricción ( 20 ) es

��2, ¿� � 7 �1 1 2�·2 � 22�»� � ¿��+�2 � ��. ( 22 )

El gradiente de la ecuación ( 22 ) con respecto a c es

�~À �2, ¿� � 27 �·2 � »� � +¿, y de las condiciones necesarias de primer orden para el óptimo se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

½ · ++� 0¾ ½

2¿Á¾ � ½»�¾, ( 23 )

donde se define

¿Á � � ¿27 .

La solución del sistema de ecuaciones ( 23 ) es

¿Á � �+�·ER+�ER�+�·ER» � ��, 2 � ·ERn» � +¿Áq.

( 24 )

La matriz · y por lo tanto·ERes simétrica, y por medio de ( 18 ) se encuentra

¢¬�� n» � +¿Áq�·ER¡ � »�·ER¡ � �+�·ER» � ��+�·ER+�ER+�·ER¡. ( 25 )

Para problemas de regresión, se toma

+¯ ≃ ¡

la solución de mínimos cuadrados generalizados (con respecto a R) es

Ã∗ � �ÄÅÆE�Ä�E�ÄÅÆE�Ç,

88

88

e insertando esto en la ecuación ( 25 ) se encuentra al predictor

ÈÉ(�) = »�·ER¡ − (+�·ER» − �)�¯∗ = ��¯∗ + »�·ER(¡ − +¯∗) = Ê(�)ÅÃ∗ + Ë(�)ÅÌ∗. ( 26 )

Para múltiples respuestas (ª Í 1) la relación anterior se mantienen para cada columna en ¡, así que se mantiene con ̄∗ ∈ �=�£ dada por (2.15) y Î∗ ∈ �C�£computado a través de los residuos, ·Î∗ �¡ � +¯∗.

MODELOS DE REGRESIÓN

El paquete de herramientas proporciona modelos de regresión con polinomios de orden 0, 1 y 2. Más específico, con �p denotando la j-ésima componente de �,

Constante, ¹ � 1: �R�� 1, ( 27 )

Lineal, ¹ � @ 1 1:

�R�� 1,� �� R ,… , �-ÏR�� -, ( 28 )

Cuadrático, ¹ � R �@ 1 1��@ 1 2�:

�R�� 1 � �� R ,… , �-ÏR�� - �-Ï �� R ,… , � -ÏR�� R�- � -Ï �� ,… , ��-�� -

⋯⋯�=�� - .

( 29 )

Los Jacobianos correspondientes son (el índice @ � ª denota el tamaño de la matriz y Ð es la matriz cero)

Constante: Ñ� � IÐ-�RK, Lineal: Ñ� � IÐ-�RÒ-�-K, Cuadrática: Ñ� � IÐ-�RÒ-�-ÓK,

donde se ilustra Ó ∈ �-��=E-ER� por

@ � 2:Ó � L2�R � 00 �R 2� P,

89


@ = 3:Ó = Ô2�R � �� 0 0 00 �R 0 2� �� 00 0 �R 0 � 2��Õ.

MODELOS DE CORRELACIÓN

Como [16] se restringe la atención en correlaciones de la forma

ℛ(o, ¶, �) =Öℛp(-p×R

o,¶p − �p), es decir, a los productos de correlaciones fijas unidimensionales. Más específico, la caja de herramientas contiene las siguientes 7 opciones

Tabla 9. Distintas correlaciones. %p = ¶p − �p Nombre ℛp(o, %p) EXP exp(−opÙ%pÙ) EXPG exp Ú−opÙ%pÙÛ>ÜÝÞ ,0 < o-ÏR ≤ 2

GAUSS exp(−op%p ) LIN max{0, 1 − opÙ%pÙ} SPHERICAL 1 + 1.5âp + 0.5âp�,âp = min{1, opÙ%pÙ} CUBIC 1 − 3âp + 2âp�,âp = min{1, opÙ%pÙ} SPLINE ãnâpq,âp = opÙ%pÙ

Las funciones de correlación de la Tabla 9 pueden separarse en dos grupos, uno conteniendo funciones que tienen un comportamiento parabólico cerca del origen (GAUSS, CUBIC y SPLINE), y el otro conteniendo las funciones con comportamiento lineal cerca del origen /EXP, LIN y SPHERICAL). La correlación exponencial general, EXPG, puede tener ambas formas, dependiendo del último parámetro: o-ÏR = 2 y o-ÏR = 1 dan el Gaussiano y la función exponencial, respectivamente.

90

90

91


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proyecto fin de carrera ingeniería...

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