proyecciones geometricas computacion grafica 2011ii
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Proyecciones Geometricas Computacion Grafica 2011II - Jhon Trujillo TrejosTRANSCRIPT
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
E.A.P. Ingeniería de Sistemas
PROYECCIONES GEOMETRICAS
COMPUTACION GRAFICA
Docente: Lic. John Ledgard Trujillo Trejo
sábado, 24 de septiembre de 2011
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
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INTRODUCCION
Computación Grafica
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Motivación
Dada una imagen o una secuencia de imágenes, extraer propiedades del mundo 3D:
Escena de tráfico.
Numero de vehículos.
Tipo de vehículos.
Localización de obstáculos próximos.
Sensación de Profundidad
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La Mirada Tridimensional
Los orígenes de los fundamentos de las imágenes en 3D se remontan al Renacimiento.
Los desposorios de la virgen
(1504)
Templete de San Pietro in Montorio
(1505)
La trinidad de Mosaccio (1427)
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Fueron los primeros que aprendieron cómo engañar al ojo logrando una sensación de profundidad.
Pre Renacentista Renacentista
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El mundo medieval era bidimensional, mientras que en el Renacimiento se realizaban representaciones tridimensionales.
Líneas en perspectiva en el dibujo
realizado por un artista del
Renacimiento en el que se aprecia la
utilización de la perspectiva para dar
sensación de profundidad.
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La perspectiva fue inventada por el arquitecto, escultor y pintor Filippo Brunelleschi (1377-1446) alrededor de 1413.
Se introducen las Máquinas de Perspectiva para ayudar a los pintores a reproducir exactamente la perspectiva sin tener que hacer cálculos matemáticos.
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En el año 1545 el astrónomo Germina Frisius publica un estudio donde presenta la cámara oscura.
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Cámara Pinhole
La escena se proyecta en una imagen 2D:
La imagen es invertida
El tamaño se reduce
Se pierde la información sobre la profundidad (distancia)
f es la distancia focal de la lente
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A partir de la teoría del plano cartesiano introducida por Descartes (1596-1650) se empieza a concebir la geometría desde un punto de vista algebraico. Así, las entidades geométricas son descritas como coordenadas y entidades algebraicas.
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En los gráficos tridimensionales hace falta introducir una tercera coordenada que represente la tercera dimensión. En los gráficos de ordenador, la tercera dimensión siempre aporta la profundidad.
El objetivo de los gráficos tridimensionales es proyectar un mundo tridimensional en una pantalla bidimensional, de tal manera que el observador siempre tenga la sensación de que existe una tercera dimensión.
Z: Perpendicular a X e Y
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El proceso de visión 3D es más complejo que el 2D
En 2D: Suficiente con definir una ventana y un marco
En 3D: Los dispositivos de visualización son 2D, por lo que se debe de realizar una transformación de 3D a 2D (proyección)
En 3D se puede ver como el manejo de una cámara sintética:
Posicionar, orientar y disparar con un objetivo determinado
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El proceso de visualización tridimensional es más complejo que el bidimensional, esta complejidad proviene del hecho de que los dispositivos de display son bidimensionales.
La solución a ésta problemática viene dada por las proyecciones, las cuales transforman objetos tridimensionales en objetos en un plano de proyección bidimensionales.
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El proceso de visión 3D es más complejo que el 2D
El observador puede ser humano, una cámara, o un digitalizador:
En un humano la imagen se forma atrás del ojo.
En una cámara se forma en el film.
El observador al igual que los objetos se ubican en 3D para generar la imagen en 2D, siendo esta la esencia de formar imágenes.
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Una proyección es una transformación matemática que convierte puntos representado en n dimensiones en puntos representados en n – i dimensiones, i:1.. n – 1 .
La proyección de un objeto tridimensional se define por unas líneas de proyección (proyectores) que comienzan en el centro de proyección, pasando a través de los puntos del objeto e interceptando el plano de proyección formando así la proyección.
Se tratan las proyecciones planares y se dividen en proyecciones paralelas y de perspectiva.
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Se define la proyección de un objeto como la intersección sobre un plano de proyección de los proyectores del objeto.
Un proyector es una línea recta imaginaria que surge del centro del objeto. Por lo tanto, existirá una proyección en cada plano que rodee al objeto.
Este tipo de proyecciones sea llamado Proyecciones planas geométricas.
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Volumen de la vista
El volumen de la vista contiene todo aquello que es visible
En el ojo humano el volumen es cónico: el coste computacional de recortar contra una superficie cónica es excesivo.
Se aproxima mediante una pirámide truncada de base rectangular denominada frustrum.
• trabaja perfectamente con una ventana rectangular
• el recortado es un proceso
más sencillo
Modelo de la cámara Sintética
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Especificación del volumen de la vista:
Es necesario determinar seis parámetros de la cámara sintética para poder realizar la visualización
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Posición
Determinar la posición de la cámara es análogo a buscar desde donde se quiere realizar una fotografía
Tres grados de libertad: las posiciones de x, y, z en el espacio tridimensional
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Orientación:
La orientación se define mediante los vectores LOOK y UP
El vector LOOK indica hacia donde está mirando la cámara
El vector UP determina la rotación a través del eje definido por el vector LOOK, por ello deben ser perpendiculares
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Razón de aspecto
Análogo al tamaño de las fotografías, indica la proporción entre anchura y altura
Una ventana de visualización cuadrada tiene una razón de aspecto de 1:1, otras utilizadas son 2:1, 4:3, 16:9
Campo de visión
Análogo a escoger una lente de una cámara fotográfica, determina la cantidad de distorsión perspectiva
Modelo de la cámara Sintética
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Planos de recorte frontal y trasero
El volumen existente entre los dos planos de recorte define lo que es visible para la cámara
La posición de los planos se definen por la distancia a lo largo del vector LOOK
Los objetos que quedan fuera del volumen no se dibujan
Los objetos que intersectan con el volumen se recortan
Modelo de la cámara Sintética
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Profundidad de campo
Algunos modelos de cámara tienen profundidad de campo para medir el rango de enfoque ideal, aproximando el comportamiento de una cámara real
Los objetos situados a la distancia focal desde la cámara se visualizarán nítidos (enfocados), los que estén más cercanos o más lejanos aparecerán borrosos (desenfocados)
Modelo de la cámara Sintética
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Etapas en la creación de una imagen
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Transformación de vista
En un caso general, el ojo puede estar en cualquier posición, mirando en cualquier dirección.
La transformación de vista consiste en cambiar el sistema de coordenadas global de toda la escena a otro sistema centrado en el ojo
El paso final será realizar la proyección perspectiva en el nuevo sistema para obtener la foto final
Etapas en la creación de una imagen
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Recorte 3D
Antes de proyectar la imagen debemos recortar la escena frente al volumen de visualización
Básicamente se trata de un problema de intersección de rectas y planos
Las rectas son las aristas de los polígonos
Los planos son las 6 caras del volumen de visualización
Etapas en la creación de una imagen
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Proyecciones
La proyección es una transformación que convierte la representación tridimensional de una escena sobre un plano bidimensional: la pantalla
Debemos proyectar toda nuestra escena 3D sobre un plano, para convertirlo en un dibujo 2D
Finalmente este dibujo plano se traslada a la pantalla
Etapas en la creación de una imagen
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Etapas en la creación de una imagen
Coordenadas
mundo 3D
Recortado Proyección Viewport
Coordenadas mundo 3D
recortadas
Coordenadas
normalizadas 2D
Coordenadas del
dispositivo 2D
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Las proyecciones permiten una visualización bidimensional de objetos tridimensionales.
Para gerarar una imagen de un objeto 3D, precisamos convertir las coordenadas 3D en coordenadas 2D.
Proyecciones Geométricas
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Están presentes en la arquitectura, ingeniería, artes, cine, etc.
Proyecciones Geométricas
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La proyección de un objeto esta definido por: Rayos de proyección, llamados
proyectores, que emanan del centro de proyección (COP) o punto de referencia de proyección (PRP), pasando a través de cada punto del objeto
El plano de proyección que es intersectado por los proyectores.
El centro de proyección puede estar a una distancia finita o infinita del plano de proyección.
Observación: El COP corresponde al centro del lente en la cámara, o en el ojo, y en los sistemas de gráfica por computadora, es el origen del marco de la cámara
Proyecciones Geométricas: Componentes
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La proyección más usada es la proyección geométrica planar
Se llama geométrica cuando los rayos de proyección son rectos
Se llama planar cuando la superficie de proyección es un plano
Existen otros tipos de proyección
Proyecciones Geométricas: Tipos
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Tipos principales de proyecciones:
Perspectiva: determinada por el centro de proyecciones (CP) el CP esta en una posición Finita.
Paralela: determinada por la dirección de proyección (DP) los proyectores son paralelos ya que el CP esta en el infinito.
Proyecciones Geométricas: Tipos
Perspectiva
Centro de
proyección (CP)
Paralela
Dirección de
proyección (DP)
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La proyección perspectiva crea un efecto visual igual al de los sistemas fotográficos y la visión humana, así pues es usado cuando se busca realismo.
El tamaño de una proyección perspectiva varía inversamente a la dirección del objeto con el centro de proyección
Proyecciones Geométricas: Perspectiva
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La proyección perspectiva no es útil para captar la forma y medidas exactas de un objeto.
No conserva las distancias
No conserva las rectas paralelas
No conserva los ángulos
Proyecciones Geométricas: Perspectiva
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Puntos de fuga.
Puntos donde convergen los conjuntos de rectas paralelas que no son paralelas al plano de proyección.
Se pueden considerar proyecciones de puntos en el infinito.
Existen infinitos puntos de fuga, uno para cada dirección posible de la recta.
Si el conjunto de líneas es paralelo a uno de los ejes se denomina punto de fuga axial
• Hay como máximo 3 de ellos, uno por eje coordenado.
Proyecciones Geométricas: Perspectiva
Z X
Y
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Puntos de fuga.
Proyecciones Geométricas: Perspectiva
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Proyecciones Geométricas: Perspectiva
Z X
Y
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Proyecciones Geométricas: Perspectiva
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Proyecciones Geométricas: Perspectiva
d
P(x,y,z)
Pp(xp,yp,zp)
Z
Y
X P(x,y,z)
d
xp
X
Z
d
P(x,y,z)
yp
Z
Y
z
x
d
x p
z
y
d
yp
dz
x
z
xdx p
/ dz
y
z
ydyp
/ 0/100
0100
0010
0001
d
M per
dz p
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Proyecciones Geométricas: Perspectiva
Lo que nos da, dividiendo por h y pasando a 3D
dz
z
y
x
h
z
y
x
z
y
x
d
z
y
x
M
h
z
y
x
per
/
'
'
'
10/100
0100
0010
0001
1
'
'
'
11
/
/
1
'
'
'
p
p
p
z
y
x
ddz
ydz
x
w
zw
yw
x
),/
,/
(),( , ddz
y
dz
xzyx ppp
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Proyecciones Geométricas: Paralela
No tan realista
El tamaño no varía inversamente con la distancia del objeto al centro de proyección
Pueden haber reducciones constantes de tamaño para cada eje
Permite la medición precisa.
El paralelismo permanece para todas las líneas.
Los ángulos, en general, no se preservan como en la perspectiva.
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Ortográfica
Direcciones paralelas
Plano de proyección ortogonal a algún eje coordenado
• Planta
• Alzado
• Perfil
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Axonométricas: El plano de proyección no es ortogonal a ningún eje coordenado Trimétrica
Dimétrica
Isométrica
Enseñan múltiples caras del objeto
Se parecen a una perspectiva, salvo en que el empequeñecimiento es constante, no depende de la distancia.
Se preserva el paralelismo pero no los ángulos.
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Trimetrica: Los tres factores de reducción diferentes
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Dimetrica: Axonométrica con dos de los tres factores de reducción iguales
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Isométricas: Los tres factores iguales
Cuatro de las ocho proyecciones posibles
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Proyecciones oblicuas
La normal al plano de proyección y la dirección de proyección no son paralelas.
• Caballera
• Cabinete
Muestran varias caras del objeto
Solo las caras paralelas al plano de proyección se muestran en su tamaño y forma correctos
Los ángulos y las longitudes solo se preservan para estas caras.
Las caras no paralelas al plano de proyección son distorsionadas
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Perspectiva Caballera
La normal al plano de proyección y la dirección de proyección forman un ángulo de 45º.
La proyección de una línea perpendicular al plano de proyección tiene la misma longitud que el original.
Son fáciles de construir
1
1
1
1
1
1
1
1
=45
=30
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Proyecciones Geométricas: Paralela
Cabinet
El ángulo que forman la dirección de proyección y la normal al plano de proyección es arctan(2)=63,4º
Esto hace que la longitud de un segmento perpendicular al plano de proyección se acorte en 1/2
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Proyecciones Planares
La clase de proyecciones tratadas aquí se conocen como proyecciones geométricas planas, ya que la proyección es sobre un plano y no sobre una superficie curva, y usa proyectores rectos y no curvos. Muchas proyecciones cartográficas no son planas o geométricas, como el mapa del mundo.
Multivista Axonométricas
Ortográficas
Cavallier Cabinet
Oblicuas
Proyecciones
paralelas
(determinadas por la
dirección de la proyección)
1 punto 2 puntos 3 puntos
Proyecciones
en perspectiva
(determinadas por el
centro de proyección)
Proyecciones
Geométricas
Planares
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Proyecciones Ortogonales
Ortográfica sobre el plano z=0
Estas formulas aplican sólo en casos particulares
• Mper si el centro de proyección está en el origen
• Morto si la direccion de proyección es
paralela a z
Estudiaremos una formulación más general
• integra ambas en una sola matriz
1000
0000
0010
0001
ortoM
0,, ppp zyyxx
ortoperd
MMlim )(
0/100
0100
0010
0001
d
M per
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Proyecciones Ortogonales
Una proyección paralela ortográfica, con el plano de proyección en zvp se describe mediante la siguiente matriz de proyección.
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Proyecciones Ortogonales
Si zvp = 0 la matriz de proyección se daría por:
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Proyecciones Ortogonales
Alzado
Plano de proyección ortogonal a z
Visto “desde enfrente”
Planta
Plano de proyección ortogonal a y
Visto “desde arriba”
Perfil
Plano de proyección ortogonal a x
Visto “de lado”
1000
0000
0010
0001
zP
1000
0100
0000
0001
yP
1000
0100
0010
0000
xP
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Proyecciones Oblicoas
Al contrario de la proyección paralela, la dirección de proyección forma un Angulo no recto con respecto al plano de proyección.
Ejemplo: cuando el plano de proyección coincide con el plano XY (z = 0)
Considere: el Angulo que forma la dirección de proyección con el plano de proyección XY ; y el Angulo que forma el segmento d con el eje X.
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Proyecciones Ortogonales
Otra forma de obtener la matriz de proyección para este ejemplo ,es razonando de la siguiente manera:
Sea L : (x, y, z) + tv /v = (xp, yp, zp)
v es el vector dirección de la proyección y P = (x, y, z) es el centro de proyección
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Proyecciones Ortogonales
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Proyecciones Ortogonales
cuando z = 0 (plano XY ) tendremos el valor de t apropiado:
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BIBLIOGRAFIA
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BIBLIOGRAFIA
Eduardo Azevedo y Aura Conci. Computação Gráfica
Foley J., Van Dame A., Feiner S., Hughes J., Phillips R. Computer Graphics: Principles and Practice. Addison –
Wesley Publishing Company, Massachusetts. 1996
Hoschek J., Lasser D. A.K. Peters Ltd. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. Wellesley Massachusetts. 1993
Hearn D., Baker M.P. Gráficas por computadora. Prentice -
Hall Hispanoamericana. 1998
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PREGUNTAS?