prove meccaniche modulo resistenza
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meccanicaTRANSCRIPT
Prova Meccaniche
Principali tipologiedi sforzi e di deformazioni
che possono agiresu un solido
Sforzo di Trazione
zE εσ sdot=
Allrsquoapplicazione di uno sforzo σσσσlungo la direzione z corrisponde una deformazione del solido lungo
la stessa direzione εεεεz
Per piccole deformazioni vale la relazione
E egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave longitudinalerdquo
o ldquomodulo di Youngrdquo o semplicemente ldquomodulo elasticordquo del materiale
Allrsquoapplicazione di σσσσ si ha perograve anche una deformazione nelle altre direzioni εεεεx e εεεεy
Si definisce ldquocoefficiente di Poissonrdquo o ldquoModulo di Poissonrdquo il rapporto fra le deformazioni trasversali e longitudinali rispetto alla direzione di applicazione del carico
z
y
z
x
εεεε
εεεε
εεεε
εεεευυυυ minusminusminusminus====minusminusminusminus====
Per materiali perfettamente isotropi il modulo di Poisson teorico egrave pari a 025 Il valore massimo che puograve assumere egrave invece pari a 050
Tipici valori del modulo di Poisson variano fra 025 e 035
Sforzo di Taglio
γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G
0Z
ytg
∆∆∆∆======== θθθθγγγγ
Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo
θθθθ
Per piccole deformazioni vale la relazione
con
G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale
Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio
)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE
e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE
Applicazione di un carico monoassiale
di trazione su un provino che puograve avere geometrie
diverse
La prova avviene in controllo di
spostamentosi registrano lo
spostamento delle ganasce e la forza
applicata
(in alcuni casi si applicano estensometri
direttamente sul provino)
Prova di Trazione
Generalitagrave
Prova di Trazione
M
1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico
applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti
2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente
3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato
4 RotturaIl provino si rompe in due parti
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi
Generalitagrave
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Sforzo di Trazione
zE εσ sdot=
Allrsquoapplicazione di uno sforzo σσσσlungo la direzione z corrisponde una deformazione del solido lungo
la stessa direzione εεεεz
Per piccole deformazioni vale la relazione
E egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave longitudinalerdquo
o ldquomodulo di Youngrdquo o semplicemente ldquomodulo elasticordquo del materiale
Allrsquoapplicazione di σσσσ si ha perograve anche una deformazione nelle altre direzioni εεεεx e εεεεy
Si definisce ldquocoefficiente di Poissonrdquo o ldquoModulo di Poissonrdquo il rapporto fra le deformazioni trasversali e longitudinali rispetto alla direzione di applicazione del carico
z
y
z
x
εεεε
εεεε
εεεε
εεεευυυυ minusminusminusminus====minusminusminusminus====
Per materiali perfettamente isotropi il modulo di Poisson teorico egrave pari a 025 Il valore massimo che puograve assumere egrave invece pari a 050
Tipici valori del modulo di Poisson variano fra 025 e 035
Sforzo di Taglio
γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G
0Z
ytg
∆∆∆∆======== θθθθγγγγ
Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo
θθθθ
Per piccole deformazioni vale la relazione
con
G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale
Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio
)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE
e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE
Applicazione di un carico monoassiale
di trazione su un provino che puograve avere geometrie
diverse
La prova avviene in controllo di
spostamentosi registrano lo
spostamento delle ganasce e la forza
applicata
(in alcuni casi si applicano estensometri
direttamente sul provino)
Prova di Trazione
Generalitagrave
Prova di Trazione
M
1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico
applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti
2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente
3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato
4 RotturaIl provino si rompe in due parti
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi
Generalitagrave
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Sforzo di Taglio
γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G
0Z
ytg
∆∆∆∆======== θθθθγγγγ
Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo
θθθθ
Per piccole deformazioni vale la relazione
con
G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale
Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio
)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE
e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE
Applicazione di un carico monoassiale
di trazione su un provino che puograve avere geometrie
diverse
La prova avviene in controllo di
spostamentosi registrano lo
spostamento delle ganasce e la forza
applicata
(in alcuni casi si applicano estensometri
direttamente sul provino)
Prova di Trazione
Generalitagrave
Prova di Trazione
M
1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico
applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti
2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente
3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato
4 RotturaIl provino si rompe in due parti
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi
Generalitagrave
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Applicazione di un carico monoassiale
di trazione su un provino che puograve avere geometrie
diverse
La prova avviene in controllo di
spostamentosi registrano lo
spostamento delle ganasce e la forza
applicata
(in alcuni casi si applicano estensometri
direttamente sul provino)
Prova di Trazione
Generalitagrave
Prova di Trazione
M
1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico
applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti
2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente
3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato
4 RotturaIl provino si rompe in due parti
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi
Generalitagrave
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
M
1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico
applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti
2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente
3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato
4 RotturaIl provino si rompe in due parti
Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi
Generalitagrave
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Generalitagrave
Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione
-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura
- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura
- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva
- Modulo elastico
Altri parametri- Strizione percentuale
( = riduzione drsquoarea a rottura)
snervamento
rottura
Allungamentouniforme
Allungamentoa rottura
Tenacitagrave
Modulo elastico
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a
trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue
proprietagrave microscopiche
Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio
Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce
Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
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dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
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1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico
Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
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l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
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εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Per definizione
20
20 r
F
rMN
FMN
A
Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ
N a
tom
iM a
tom
i
P atomi0
0
0
0
0
0
r
rr
rP
rPrP
l
ll minusminusminusminus====
sdotsdotsdotsdot
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus====εεεε
Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche
- Distanza interatomica r- Forza interatomica F
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate
La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale
Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi
rArr
F vs εεεε
dr
rdUF
)(minusminusminusminus====
Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
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A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
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dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza
interatomica
Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale
PotenzialeAttrattivo
Potenzialerepulsivo
nm r
B
r
ArUtot ++++minusminusminusminus====)(
mr
ArUattr minusminusminusminus====)(
nr
BrUrepul ====)(
con A e B gt 0 e n gt m
A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente
dal tipo di legame
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e
lrsquoenergia di legame
Valgono le relazioni
0)(
0
0 ====minusminusminusminus========rrdr
dUrF
bUrU minusminusminusminus====)( 0
mbrU
mn
nA 0
minusminusminusminus====
nbrU
mn
mB 0
minusminusminusminus====
Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene
++++
minusminusminusminus
minusminusminusminus====
nmb
r
rm
r
rn
mn
UrU 00)(
Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====
mn
br
r
r
r
rmn
mnU
dr
rdUrF 001)()(
hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)
++++minusminusminusminus
++++sdotsdotsdotsdot
minusminusminusminus
sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====
mn
br
rm
r
rn
rmn
mnU
dr
rdF 00
2)1()1(
1)(
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
00 rrd
d
d
dE
==
==ε
σ
ε
σ
ε2
0r
F====σσσσ
0
0
r
rr minusminusminusminus====εεεε
0
0
0 0
0
0
20 1
rr
rr
rr dr
dF
r
r
rrd
r
Fd
d
dE
====
====
====
====minusminusminusminus
========εεεε
σσσσ
Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza
si puograve scrivere
e quindi
bUr
nmE
30
====
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Qualche approfondimento sul Modulo Elastico
4143410W
3042610Mo
2101538Fe
2091453Ni
1271085Cu
791064Au
72962Ag
70660Al
455650Mg
14327Pb
Modulo di Young (Gpa)
Temperatura di fusione
(degC)Metallo
Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza
interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
0A
F====σσσσ
0
0
l
ll minusminusminusminus====εεεε
Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri
Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura
Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
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εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
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e
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1
001
++++
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nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione
Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip
Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo
)1ln(ln0
0
++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl
l
l
dld
l
l
t
(((( ))))100
0
0
++++================ εεεεσσσσσσσσl
l
A
F
A
A
A
F
A
Ft
In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide
====rArrrArrrArrrArr====
0
000
l
l
A
AAllA
Dove si egrave fatto uso della relazione
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
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εεεε
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l
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2
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WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
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minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
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nn
nn
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V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
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l
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2
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Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
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minusminusminusminus1
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
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e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Curva di trazione ldquoverardquo
- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme
- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura
- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura
- Si idenifica il punto finale della curva
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
1
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dlAFdlW
l
l
intintintint sdotsdotsdotsdot====
2
1
εεεε
εεεε
εεεεσσσσ dV
WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
σσσσd
A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
dl
A
dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
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εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
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kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione
In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile
intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========
2
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1
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WrArr
Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo
Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
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A
dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora
Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
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Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
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εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave
La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale
Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)
Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico
Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost
Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura
I = Rm timestimestimestimes A
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
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Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
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Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
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d==== σσσσ
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σσσσ====
d
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
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La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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minusminusminusminus1
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Indice di Qualitagrave
Indice di Qualitagrave di acciai per auto
I = 5 divide 20 GPa
I = 50 divide 70 GPa
I = 30 divide 45 GPa
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
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Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
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nd
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σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Materiali per Auto
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
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A
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Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
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d
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
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nd
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La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
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TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Punto di massimo della curva di trazione
Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la
deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione
Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata
rArr dF = 0
Dato che F=σσσσA possiamo scrivere
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ
σσσσ
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A
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Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha
εεεεdl
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dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
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Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
σσσσ====
d
d
si ottiene
1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk
d
dk εεεε
εεεε
σσσσεεεεσσσσ
nn knkd
dεεεεεεεεσσσσ
εεεε
σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====
minusminusminusminus1
un εεεε====rArrrArrrArrrArr
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(
nnn
nrottura
e
nkenke
sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====
minusminusminusminus
====
minusminusminusminus
εεεε
εεεεσσσσσσσσ
1
001
++++
++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint
nn
nn
nn
kdkd
V
Wεεεεεεεεεεεεσσσσ
TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo
Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione
εεεεσσσσ
σσσσd
d==== σσσσ
εεεε
σσσσ====
d
d
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
d====
εεεε
σσσσ
ln
ln
La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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V
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TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)
Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione
Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione
ComportamentoElasto ndash plastico incrudente
ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====
nd
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ln
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La relazione si puograve riscrivere come
Da cui deriva
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo
nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon
K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento
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La relazione si puograve riscrivere come
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Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
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Analisi dellrsquoIncrudimento
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Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon
Scale logaritmiche
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
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Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione
DUTTILITArsquo
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Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
RESISTENZA
Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n
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TENACITArsquo
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi
Prova di Trazione
Analisi dellrsquoIncrudimento
Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio
Alcuni esempi