proses branching

PROSES STOKASTIK

• Anggota :

• Inge Jana, Kurniasari A, Ari Vanerlin, Merly Fatriana B, Moch.Farid Shofi, Umi Hanifah, Hanny Adiati, Moch.Afandi, Sari Putri, Ni Putu Budi Setyaningsih

Branching Processes & Generating Functions

Setiap organisme, sampai pada akhir masa hidupnya menghasilkan sejumlah

keturunan secara random dengan probabilitas :

Pr { = k} = Pk for k = 0, 1, … (8.1)

Dimana :

: Jumlah keturunan

Pk 0

x

kkp

0

1

Kita asumsikan bahwa semua keturunan adalah saling independent satu sama

lain, dan pada akhir hidupnya masing-masing menghasilkan keturunan dengan

probabilitas yang sama (8.1).

Branching Processes

Sifat Markov dapat dijelaskan secara sederhana sebagai berikut :

Di dalam generasi ke-n ada sejumlah individu Xn, secara independent dalam

menghasilkan keturunan )()(

1 .... nX

n

n

)()(11 .... n

Xn

n nX

Proses Xn adalah bentuk khusus Markov Chain yang dinamakan Branching

Processes, dimana Xn adalah jumlah populasi pada generasi ke-n.

yang secara kumulatif menghasilkan generasi ke (n+1) :

Xo = 1

kX )0(11

generasi

0

1

2

3

n

Secara Umum contoh dari Branching Processes

n - 1

MEAN AND VARIANCEAnggap

][ E

][2 Var

)(nM

)(nV

: rata-rata dari distribusi keturunan (8.1)

: rata-rata dari Xn (Populasi generasi Ke-n) dengan kondisi awal X0 = 1

: varian dari Xn (populasi generasi ke-n) dengan kondisi awal X0 = 1

: varian dari distribusi keturunan (8.1)

1

1

1

1

1

][

][

])([

])|([

])|([

)()1(

n

n

n

X

ii

X

ini

nn

n

XE

XE

EE

XEE

XXEE

XEnM

n

n

MEAN :

; Dalam kondisi X0 = 1 maka : M(0) = 1 , V(0) = 0

)()(

]([][

]()([

][

)()1(

22

222

1

21

1

21

1

1

nVnM

XEXE

XXE

E

XVnV

nnn

X

ii

nnn

X

ii

nX

ii

n

n

n

n

VARIANCE :

nnM )(

2212)( nnnnV

; if = 1

; if 1

112 1 nn

-1

-1X

n

12

nn

Secara Umum :

Varian size populasi

NOTE :• Rata-rata size populasi M(n) akan meningkat secara geometrik jika > 1,

akan menurun jika < 1,

dan akan konstan jika = 1

• Varian size populasi V(n) akan meningkat secara geometrik jika > 1,

meningkat secara linier jika = 1,

dan turun secara geometrik < 1

)0()( nn XPnNPu

01 )(

k

knkn upu

Sehingga :

, ; n = 1,2,……

Extinction Probabilities

Kepunahan populasi terjadi ketika dan jika ukuran populasi berkurang menuju ke 0. Waktu punah random (N) dan n adalah waktu pertama kali punah (Xn = 0). Dalam Markov Chain 0 adalah kondisi absorbing. Sehingga kita bisa menghitung probabiliti kepunahan dengan menggunakan First Step Analysis (FSA).

)1|0( 0 XXP n

)1|(.)|0( 010

1

XkXPkXXPk

n

)(.)|0(0

01 kPkXXPk

n

• Jika suatu variabel random merupakan bilangan integer nonnegative memiliki distribusi probabilitas sebagai berikut :

Pr { = k} = Pk ; untuk k = 0, 1, … (9.1)

• Maka fungsi pembangkit (s) dari variabel random dengan distribusi {pk} dapat didefinisikan sebagai berikut :

; untuk 0 ≤ s ≤ 1. (9.2)

FUNGSI PEMBANGKIT

0

][)(k

kk spsEs

DEFINISI :DEFINISI :

SIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKIT

1. Hubungan antara fungsi probabilitas (9.1) dan fungsi pembangkit (9.2) dapat digambarkan sebagai berikut :

( 9.3)

2. Jika 1, …, n adalah variabel random independen yang mempunyai fungsi pembangkit 1(s), …, n(s), maka penjumlahan fungsi pembangkitnya X = 1 + … + n secara sederhana menghasilkan :

x(s) = 1(s) 2(s) … n(s) ( 9.4)

3. Moment suatu variabel random yang bernilai integer nonnegative dapat diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit.

0

)(

!

1 sk

k

k ds

sd

kp

• Sebagai contoh :

(9.5)

(9.6)

][)(

1 E

ds

sds

][][)]1([)( 2

12

2

EEE

ds

sds

2

1112

222 )()()(

]}[{][

sss ds

sd

ds

sd

ds

sdEEVar

SIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKITSIFAT UMUM FUNGSI PEMBANGKIT

k k

k pssEs .][)(

).()( 10

1

n

k

knkn uupu

Misalkan Xn suatu branching process, dimana Xn merupakan

ukuran populasi pada generasi ke-n. Diasumsikan bahwa distribusi keturunan pk = Pr{=k} mempunyai fungsi pembangkit

Jika un = Pr{Xn = 0} adalah probabilitas kepunahan pada generasi ke-n, kemudian mengacu pada (8.8) fungsi pembangkit menjadi :

Dengan mengetahui fungsi pembangkit, kita dapat menghitung probabilitas kepunahan un dimulai dengan u0 = 0, kemudian u1=(u0), u2 =(u1), dan seterusnya.

Generating Functions Generating Functions and Extinction and Extinction

ProbabilitiesProbabilities

Jika rata-rata ukuran keturunan E[] ≤ 1 maka un = 1 dan kemunahan pasti terjadi. Jika E[] >1, maka ux< 1 dan populasi dapat berkembang tak terbatas. Kasus batas E[] =1 menjadi perhatian khusus. E[Xn|X0=1]= 1 untuk semua n, sehingga rata-rata ukuran populasi tetap. Ini adalah suatu contoh sederhana di mana rata-rata ukuran populasi sendiri tidak cukup menguraikan perilaku populasi.

][)(

)1(' 1 Eds

sds

Generating Functions Generating Functions and Extinction and Extinction

ProbabilitiesProbabilities

Probability Generating Function And Sums Of Independent Random Variables

Misalkan dan adalah variabel random yang bernilai bilangan integer nonnegative mempunyai probabilitas fungsi pembangkit ( p.g.f.s)

(s) = E[s] dan (s) = E[s] untuk s < 1

Probabilitas fungsi pembangkit dari penjumlahan + disederhanakan menjadi perkalian (s) dan (s) sebab

E[s + ] = E[ss] = E[s] E[s] (karena dan independent)

(9.7) = (s) (s)

Hal ini juga berlaku sebaliknya. Jika perkalian p.g.f.s dua variabel random independent adalah suatu p.g.f. variabel random ketiga, maka variabel random ketiga sama dengan penjumlahan dua lainnya.


Misalkan 1, 2, variabel random integer nonnegative dan berdistribusi identik dan independent dengan p.g.f. (s) = E[s].Induksi langsung (9.7) menyebabkan penjumlahan 1 + … + m, mempunyai p.g.f.

E[s1 + … + m ] =[ (s)]m (9.8)

Kita perluas hasil ini untuk menentukan p.g.f penjumlahan sejumlah variabel random independent. Misalkan N variabel random yang bernilai bilangan integer nonnegative dan berdistribusi independent pada 1, 2, … dengan p.g.f gN(s)= E[sN], dan perhatikan random sum ( lihat II, Bagian 3).

X= 1 + … + NMisal hx(s) = E[Sx] adalah p.g.f untuk X, dapat dinyatakan bahwa hx(s) = gN[ (s)] (9.9)


)(

)8.9()Pr{)(

)Pr{}...Pr{

.)..,,(

}Pr{}...Pr{

}Pr{}|...Pr{

}Pr{}|Pr{

}Pr{)(

0

0 01

21

0 01

0 01

0 0

0

sg

nmenggunakanNs

nNsk

padaindependenNKarena

snNk

snNnNk

snNnNkX

skXsh

n

n

n

n k

kn

k

k nn

k

k nn

k

k n

k

kx


)()(11 .... n

Xn

n nX

][)( nXn sEs

ssEs ][)( 10 ][)()(1

sEss

)]([)(1 ss nn

Dengan bantuan ( 9.9), persamaan dasar branching process

(9.10) Dapat dinyatakan dengan rata-rata fungsi pembangkit. Jika

menjadi p.g.f ukuran populasi Xn pada generasi ke-n, asumsikan bahwa X0= 1, maka dan

Untuk memperoleh bentuk umum, kita menerapkan (9.9) untuk (9.10) untuk menghasilkan (9.11)


)()( 11 ss nn

)(.... s

)(sn

( n+1) iterasi

Persamaan (9.11) dapat diiterasikan

(9.12)

kita memperoleh fungsi pembangkit untuk ukuran populasi Xn, pada generasi n, jika diketahui X0=1, dengan substitusi yang berulang-ulang dalam probabilitas fungsi pembangkit pada distribusi keturunan.

Secara umum, p.g.f untuk ukuran populasi awal X0= k adalah


0

0 )(}|Pr{k

kn

jn sskXjX

Persisnya bahwa suatu penjumlahan k garis turun independent. Dari perspektif ini, the branching process meningkatkan penjumlahan k independent branching processes, masing-masing dapat satu initial orangtua.

Multiple Branching Processes Proses pertumbuhan populasi meliputi beberapa tahap kehidupan (seperti pemuda, orang dewasa reproduktif, senescense) dengan pola perilaku dan kelangsungan hidup berbeda. Kita bisa memperhatikan sejumlah contoh branching processes mengenai karakteristik ini.

Untuk contoh pertama, anggap bahwa suatu individu dewasa akan menghasilkan keturunan mengikuti p.g.f (s). Jika suatu populasi individu yang belum dewasa masing-masing akan tumbuh menjadi dewasa dengan probabilitas p dan kemudian bereproduksi secara independent dari anggota populasi lain. Suatu individu belum dewasa tidak akan mencapai kedewasaan dan tidak akan meninggalkan keturunan dengan probabilitas 1–p. Dengan probabilitas p seseorang akan menjadi dewasa dan menghasilkan sejumlah keturunan, ditentukan menurut p.g.f (s). Oleh karena itu ukuran distribusi keturunan (sama dengan p.g.f) individu belum dewasa memiliki dua ketidakpastian yaitu)()1( spp (9.14)

Multiple Branching Processes

Jika suatu sensus dilakukan pada individu dewasa, jumlah individu dewasa yang disokong oleh individu dewasa sekarang akan mempunyai p.g.f)1( psp (9.15)

( hal ini perlu diverifikasi)hal yang perlu ditekankan bahwa p.g.f.s ( 9.14) dan ( 9.15) mempunyai rata-rata yang sama p’(1) tetapi umumnya variannya berbeda, yang pertama menjadi 2))1('()1(')1(" p

Dibandingkan dengan 222 ))1('()1(')1(" ppp Ketidakhadiran kematian jumlah keturunan x individu mempunyai p.g.f (s) Asumsikan, konsisten dengan dalil suatu branching process, bahwa semua keturunan di dalam populasi bertindak dengan bebas yang diatur oleh hukum probabilitas yang sama. Asumsikan juga suatu populasi orang dewasa ukuran x=k


Kita memiliki tiga jenis kematian: a) kematian individu. Misalkan p probabilitas bertahan hidup

dan bereproduksi, independent dari apa yang terjadi pada individu lain. Dengan begitu kontribusi dari tiap keluarga kepada populasi orang dewasa generasi yang berikutnya mengikuti suatu distribusi binomial dengan parameter (N,p), di mana N adalah ukuran keturunan orangtua dengan p.g.f (s). p.g.f jumlah orang dewasa yang disokong oleh orangtua tunggal adalah (q+ps),q=1-p, dan untuk populasi secara keseluruhan adalah

kpsqs )()(1 (9.16)Kematian jenis ini dapat mencerminkan predation pada orang dewasa.


b) kematian keluarga. masing-masing keluarga independen dan survive dengan probabilitas p dan disapu bersih dengan probabilitas q= 1-p. Diketahui suatu ukuran keluarga sekarang , ukuran litter yang efektif adalah dengan probabilitas p, dan 0 dengan probabilitas q. p.g.f orang dewasa di dalam generasi mengikuti

kspqs )()(2

(9.17)kematian jenis ini mungkin mencerminkan predation atas pemuda atau atas sarang dan telor dalam kasus burung-burung.

c) kematian generasi. keseluruhan generasi survive dengan probabilitas p dan disapu bersih dengan probabilitas q. Kematian jenis ini mungkin disebabkan bencana lingkungan ( seperti, kebakaran hutan, banjir). p.g.f. ukuran populasi di generasi yang berikutnya adalah

kspqs )()(3

(9.18)Semua p.g.f.s. dari ( 9.16) sampai ( 9.18) mempunyai mean yang sama berarti tetapi variance yang berbeda.


3,2,1,)( iss *is

Hal yang menarik untuk menilai stabilitas yang relatif pada tiga model ini. Kita harus membandingkan akar possitive yang paling kecil dari

; yang ditandai dengan

i=1,2,3.

Kita akan menunjukkan bahwa

)3()()( 321 ss

Suatu fungsi f(x) adalah cembung dalam x jika untuk tiap-tiap x1 dan x2 dan 0<<1, maka

)()1()(1 2121 xfxfxxf


0)(

k

kk sps

kkk ssss 2121 )1(1

*2

*1 ss

fungsi

cembung dalam s, karena untuk integer positif k,

for 0<, s1, s2<1, sekarang

, and then

, Thus the first model is more stable than the second.

for 0<s<1,

*3

*2 ss

*3

*2

*1 sss

Observe further that due the convexity of f(x)=xk ,x>0, , and thus

, implying that the second model stable than the third model, in conjuction we get the ordering

)(1)()()( 32 sqspqsps kkk

)(1)()()( 32 sqspqsps kkk

)()()()1()()( 21 sspqspqpsqs kkk

TERIMA KASIH

proses branching

Documents