prosenttilaskentaa ma7-kurssille

Huhtaharjun koulu 8. Luokan matematiikka

Prosenttilaskenta

Juha Korhonen, FMMA7-Kurssi

18.10.1 2

2

MA

7

SISÄLTÖ

1. SATA PROSENTTIA2. PROSENTTI ON SADASOSA 3. PROSENTTEJA4. PROSENTTIKERROIN5. ALENNETTU HINTA6. LISÄYS PROSENTTEINA7. KUINKA MONTA PROSENTTIA?8. MUUTOSPROSENTTI9. VERTAILUPROSENTTI10. SEOKSET11. KORKO

18.10.1 2

3

MA

7

Kuinka paljon? Kuinka paljon 17 % on 3600 eurosta?

Kuinka monta prosenttia? Kuinka monta prosenttia 18 euroa on 50 eurosta?

Mistä luvusta? Mistä summasta 40 % on 200 euroa?

Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia oli korotus, kun alkuperäinen

hinta oli 90 € ja korotus oli 30 € Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun

alkuperäinen hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko

Kuinka suureksi pääoma (12 000 €) kasvaa, kun korkoprosentti on 6,7 % ja talletusaika 8 vuotta?

PERUSPROSENTTILASKUT

18.10.1 2

4

MA

7

1. SATA PROSENTTIA

Prosenttimerkintää on kätevä käyttää, kun vertaillaan osia keskenään ja tutkitaan niiden keskinäisiä suhteita. Esim. tyttöjä 8D:llä n. 26 % ja 8A:lla 65 %

100 % on kaikki tai yksi kokonainenIhmisiä rannalla 40 100 %

Naisia 50 %

Miehiä 25 %

Tyttöjä 10 %

Uimassa 20 %

Aurinkotuolilla 15 %

Sinipukuisia 75 %

18.10.1 2

5

MA

7

1100

2. PROSENTTI ON SADASOSA (s. 12-13)

Prosentin nimitys tulee latinastaper centum, sataa kohden pro centum, joka tarkoittaa sadasta

(Yksi) prosentti tarkoittaa sadasosaa ja sitä merkitään symbolilla %.

1 % =

Kuinka paljon 16:sta 5/8?

16⋅58=161

⋅58=16⋅51⋅8

=2⋅51⋅1

=10

18.10.1 2

6

MA

7

ESIMERKKEJÄ

Kuinka paljon on 1 % eli (yksi) sadasosa 200 €· = 200 € / 100 = 2 €

240 €· = 240 € / 100 = 2,4 €

Kuinka paljon on 7 % eli seitsemän sadasosaa 200 €

240

1100

1100

18.10.1 2

7

MA

7

Tehtäviä

Kuinka paljon on 8 % talletuksesta Selvitä ensin 1 %

jakamalla sadalla Kerro tulos 8

http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/number/percentagesact.shtml http://www.youtube.com/watch?v=wKT2e6IzVYY

Talletus 1 % talletuksesta 8 % talletuksesta

200 € 2 € 8 · 2 € = 16 €

900 €

2400 €

http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesize/maths/number/percentagesact.shtml

http://www.youtube.com/watch?v=wKT2e6IzVYY

18.10.1 2

8

MA

7

18.10.1 2

9

MA

7

3. PROSENTTEJA (s. 14-15, teht. A5, B7, B10)

Kuinka paljon valtio sai tuloja bensiiniverosta? Tehdään taulukko Merkitään 100 % valtion verotuloista Lasketaan 1% valtion verotuloista jakamalla sadalla Lasketaan paljonko on 1,3 % kertomalla

kaikki 100 % 40 Mrd € = 40 000 M€

prosentti 1 % 40 000 Mrd € : 100 = 400 M€

bensiinivero 1,3 % 1,3 · 400 M€ = 520 M€

dieselvero 1,34 % 1,34 · 400 M€ = 536 M€

18.10.1 2

10

MA

7


Kuinka paljon? Kuinka paljon 23,5 % on 3600 eurosta?



Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun alkuperäinen

hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko


18.10.1 2

11

MA

7

4. PROSENTTIKERROIN 1/4 (s. 16 –17 )

Murtolukujen, desimaalilukujen ja prosenttien välinen yhteys

Suoritetaan jakolasku ja kerrotaan tulos sadalla

= 0,01 = 1 %= 0,01 = 1 %1100

18.10.1 2

12

MA

7


100

24==

25

6= 24 %

100

135 = 1,35

8

5 = 62,5 %0,625 =

Jakolasku esim. laskimella

Kerrottu sadallaeli pilkkua siirretty

kaksi pykälää oikealle

Muunna seuraavat murtoluvut ensin desimaaliluvuksi ja sitten prosenteiksi

4)

0,24

= 135 %

Ensi murtoluku lavennetaan

sadasosiksi

18.10.1 2

13

MA

7


100

77=77 % Jaettu sadallaeli pilkkua siirrettyvasemmalle kaksi pykälää

=47,5 %100

47,5 = 0,475

Prosenttilukujen muuntaminen murto- ja desimaaliluvuiksi

= 0,77

18.10.1 2

14

MA

7

KUINKA PALJON?

Juomakorissa on 24 pulloa. Pulloista 5/8 on jo juotu. Kuinka monta pulloa on vielä juomatta?

Tapa 1 juomatta 3/8 3/8 • 24 = 9

Vastaus: Yhdeksän pulloa on vielä juomatta. Tapa 2

Juomatta 3/8 = 0,375=> 0,375•24 = 9

18.10.1 2

15

MA

7kotitehtävät s. 94, teht. A33, A35, B36-37)4. PROSENTTIKERROIN 4/4(s. 17, teht. A1-A4, B7-B9, B10->

Tapa 1 (päässä) Murtoluvulla

kertominen 9 %=

Tapa 2 (laskimella) Prosenttikertoimella

eli desimaaliluvulla kertominen 9%= 0,09

Jesse oli kesän alussa 150 cm pitkä. Kesäloman aikana hän kasvoi 9 %. Kuinka monta senttiä hän oli kasvanut?

18.10.1 2

16

MA

7

KUINKA PALJON?

Prosentit lasketaan koko määrästä seuraavasti: Muutetaan prosentit desimaaliluvuksi. Kerrotaan koko määrä desimaaliluvulla.

Suomalaisista 9,4 % luki Hesaria päivittäin vuonna 1995. Kuinka moni suomalainen luki Hesaria, kun Suomen väkiluku oli vuonna 1995 noin viisi miljoonaa?

Muutos desimaaliluvuksi==> 9,4 % = 0,094

Kertolasku 0,094 • 5 000 000 = 470 000

Vastaus: 470 000 suomalaista luki Hesaria päivittäin

18.10.1 2

17

MA

7

5. ALENNETTU HINTA (s. 18-19, t. A1--> )

Tapa 1 Lasketaan ensin

alennus 35 % = 0,35

0,35 • 125 € = 43,75 € Alennettu hinta

= hinta - alennus 125 € - 43,75 € = 81,25 €

Tapa 2 Lasketaan alennettu hinta

suoraan Kuinka monta % jää

alkuperäisestä hinnasta maksettavaksi

100 % - 35 % = 65 % = 0,65 Alennettu hinta suoraan

0,65 • 125 € = 81,25 €

Vaateliikkeen kaikki tuotteet olivat 35 % syysalessa. Farkkujen hinta oli 125 €. Mikä oli alennettu hinta?

18.10.1 2

18

MA

7

6. LISÄYS PROSENTTEINA ELI HINNAN KOROTUS (s. 20-21, t. A2, A4, A5, B7)

Tapa 1 22 % = 0,22 0,22 • 1,55 € = 0,341 €

Uusi hinta= Alkup. hinta + korotus1,55 € + 0,341 € = 1,891 €

≈ 1,90 €

Tapa 2 Kuinka monta % hinta

suurenee? 100 % + 22 % = 122 % = 1,22

Uusi hinta 1,22 • 1,55 €

= 1,891 € ≈ 1,90 €

Makeisvero nostaa karkkien hintaa 22 %. Paljonko maksaa 1,55 € karkkipussi ensi vuonna?

18.10.1 2

19

MA

7

ALENNUSLASKUT

Alennusmyyntien aikaan kauppa tarjosi 900 euron laajakuvatelevisiota 35 %:n alennuksella. Mitä televisio maksoi alehintaisena?

Lasku Merkitään alkuperäistä hintaa 100 %:lla Alennettu hinta on alkuperäisestä hinnasta

100 % - 35 % = 65 % Alehinta euroissa

0,65 • 900 € = 585 € Vastaus

Televisio maksoi alehintaisena 585 euroa19

18.10.1 2

20

MA

7





Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun alkuperäinen

hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Koronkorko


18.10.1 2

21

MA

7

7. KUINKA MONTA PROSENTTIA? (s. 24-25, teht. A1-A4, A5-->

Kuinka monta prosenttia luku a on luvusta b?

Prosenttimäärä lasketaan seuraavasti: Jaetaan osa koko määrällä (a/b) Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi (· 100)

EsimerkkiKuinka monta prosenttia luku kuusi (6) on

kahdeksasta (8)?

= 0,75 = 75 %68

p=ab⋅100%

18.10.1 2

22

MA

7


Kuinka monta prosenttia 8D:n paikalla olevista oppilaista on tyttöjä? Tyttöjä 12 ja oppilaita yhteensä 17

= 70,6 %

Entä kuinka monta prosenttia paikalla olevista on poikia?

= 29,4 % Tapa 2

100 % - 70,6 % = 29,4 %

p=ab⋅100%

1217

=0,7059

517

=0,294

18.10.1 2

23

MA

7


Postimyynnistä tilatun valaisimen hinta oli 35 euroa. Postimyyntiä harjoittava yritys peri lisäksi toimituskuluja 5 euroa. Kuinka monta prosenttia toimituskulut olivat valaisimen kokonaishinnasta? Valaisimen kokonaishinta: 35 € + 5 € = 40 € Kuinka monta prosentti 5 € on 40 €:sta?

VastausToimituskulut olivat 12,5 prosenttia valaisimen

kokonaishinnasta

5€40 €

=0,125=12,5%

18.10.1 2

24

MA

7

8. VERTAILU- JA MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31&32-33, ) Kuinka monta prosenttia

luku a on suurempi kuin luku b?

Kuinka monta prosenttia on muutos alkuperäisestä luvusta b lukuun a?

Esim. 1a) Kuinka monta prosenttia 5 on suurempi kuin 4?b) Kuinka monta prosenttia 4 on pienempi kuin 5?

Esim. 2 Suomen väkiluku oli vuonna 2010 5 375 276.

Vuonna 2011 se oli 5 401 267. Kuinka monta prosentti oli muutos (=väestönkasvu)?

• 100 % =a−b

b=

erotus

vertailuarvo

erotus

vertailuarvo

muutos

alkuperäinen arvo• 100 %

18.10.1 2

25

MA

7

8. VERTAILU- JA MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31&32-33, ) Kuinka monta prosenttia

luku a on suurempi kuin luku b?

Kuinka monta prosenttia on muutos alkuperäisestä luvusta b lukuun a?

Esim. 1a) Kuinka monta prosenttia 5 on suurempi kuin 4?b) Kuinka monta prosenttia 4 on pienempi kuin 5?

Esim. 2 Suomen väkiluku oli vuonna 2010 5 375 276.

Vuonna 2011 se oli 5 401 267. Kuinka monta prosentti oli muutos (=väestönkasvu)?

• 100 % =a−b

b=

erotus

vertailuarvo

erotus

vertailuarvo

muutos

alkuperäinen arvo• 100 %

18.10.1 2

26

MA

7

Palkka nousi 1250 €:sta 1330 €. Kuinka monta prosenttia palkka nousi? Oliko palkankorotus reilu, kun palkkoja nostettiin

yleisesti 6,5 %? Lasku

Lasketaan ensin muutos eli kuinka monta euroa palkka nousi

Verrataan erotusta alkuperäiseen

= 6,4 %

11. VERTAILU- ELI MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31:A2, B6 & s. 32-33: A1, A2)

1330 € −1250 €1250 €

=80€1250€

=0,064

18.10.1 2

27

MA

7

10. MUUTOSPROSENTTI (s. 30-31)

Muutos prosentteina: Lasketaan muutos Jaetaan muutos alkuperäisellä luvulla eli sillä luvulla,

mihin verrataan. Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi.

Normaalihintainen seisomapaikkalippu paikallisen jääkiekkojoukkueen liigaotteluun maksaa 12 euroa. Lipun hinta kohoaa kuitenkin 14 euroon esim. HIFK:n vieraillessa Jyväskylässä. Kuinka monta prosenttia normaalia kalliimpi on seisomapaikkalippu HIFK-otteluun? Muutos: 2 € 2 € / 12 € = 0,16666666 … ≈ 16,7 % Seisomapaikkalipun hinta on JYP-HIFK ottelussa 16,7

prosenttia normaalia kalliimpi.27

18.10.1 2

28

MA

7

11. VERTAILUPROSENTTI (s. 32-33)

Tietokonepeli maksoi tietokoneliikkeessä 36 € ja tavaratalossa 40 €. Kuinka monta prosenttia halvempi peli oli tietokoneliikkeessä kuin tavaratalossa? Lasketaan erotus Jaetaan erotus sillä luvulla, johon verrataan (ns. kuin-luku) Muutetaan desimaaliluku prosenteiksi

Hintaero: 40 - 36 = 4 € Vertailuprosentti: 4 € / 40 € = 0,1 = 10 % Peli oli 10 % halvempi tietokoneliikkeessä

Kuinka monta prosenttia kalliimpi peli oli tavaratalossa kuin tietokoneliikkeessä? 4 € / 36 € = 0,11111… ≈ 11,11 % Tavaratalossa peli oli 11,11 % kalliimpi

18.10.1 2

29

MA

7

9. PERUSARVON LASKEMINEN

Jesse ostamat farkut maksoivat 45 €. Hän osti ne 30 % alennuksella. Mikä oli alkuperäinen hinta?

Ratkaisu 1 (yhtälöllä)x = farkkujen alkup. Hinta100 % - 30 % = 70 % farkkujen alennettu hinta (=45 €)

Muodostetaan yhtälö0,70· x = 45 € | : 0,70x = 45 € / 0,70x = 64,285 € ≈ 64,30 €

18.10.1 2

30

MA

7

9. PERUSARVON LASKEMINEN

Jesse ostamat farkut maksoivat 45 €. Hän osti ne 30 % alennuksella. Mikä oli alkuperäinen hinta?

Ratkaisu 2 (päättelemällä) 100 % - 30 % = 70 % farkkujen alennettu hinta (=45 €)

70 % = 45 €1 % = 45 € / 70 ≈ 0,6428571428571429 €100 % ≈ 64,28571 € ≈ 64,30 €

Ratkaisu 3 (ulkoa opettelemalla) Alennettu hinta / (100 % - alennusprosentti)

18.10.1 2

31

MA

7

10. SEOKSIA (s. 36-37, A1-A4, B5--> )

Massaprosentti m%

Aineen massaprosenttisuus tarkoittaa aineen massan osuutta koko seoksen massasta

Tilavuusprosentti til-% (Vol)

Tilavuusprosentti kertoo liuenneen aineen tilavuuden osuuden koko liuoksen tilavuudesta

Liuenneen aineen massa

Koko liuoksen massa• 100 %

Liuenneen aineen tilavuus

Koko liuoksen tilavuus• 100 %

Jesse sekoittaa 75 g suolaa 500 grammaan vettä. Laske liuoksen suolapitoisuus (m-%).

Alina valmistaa suolaliuosta niin, että hän liuottaa 1,5 kg suolaa 8,5 kilogrammaan vettä. Mikä on liuoksen suolapitoisuus (m-%)?

10 kilogrammasta 20 %:n suolaliuosta haihdutetaan 2 kg vettä. Mikä on liuoksen suolapitoisuus (m-%) haihdutuksen jälkeen?

Mikä on tuulilasin puhdistusnesteen metanolipitoisuus (til-%) , kun 6 l puhdistusnestettä sisältää 750 ml metanolia?

Kemisti teki suolaliuosta. Hän sekoitti 35 g suolaa sataan grammaan vettä. Kuinka monta prosenttia liuoksessa oli suolaa?

18.10.1 2

33

MA

71 ‰ = = 0,001 = 0,1 % 1 ‰ = = 0,001 = 0,1 % 11000

11. PROMILLE

Promille on tuhannesosa

Kuinka paljon on 1,2 ‰ (=alkoholia) luvusta 5400 ml (=verta)?

1,2 ‰ = 0,0012 0,0012· 5400 ml = 6,48 ml

Kultaseppä sulattaa yhteen 220 g hopeaa ja 55 g muita metalleja. Mikä on seoksen hopeapitoisuus promilleina?

= 80 % = 800 ‰220 g

220 g+55 g=220 g275 g

=0,8

18.10.1 2

34

MA

7

Hopeaa käytetään tavallisimmin seoksena, jossa on joko 83 % tai 92,5 % hopeaa, loput kuparia. Seosta, jossa hopeaa on 92,5 %, sanotaan sterling-hopeaksi Kuparia käytetään, koska se ensinnäkin tekee

metalliseoksesta kovemman ja toisekseen halvempana aineena laskee seoksen hintaa

Sterling-hopean ominaispaino on 10,3 kg/dm³ Hopeaesineisiin lyötävissä leimoissa

hopeapitoisuus ilmaistaan promilleina, siis 830 tai 925

(Lähde: WikiPedia)

18.10.1 2

35

MA

7

12. PROSENTTIYKSIKKÖ

Prosenttilukuja verratessa niiden erotus ilmoitetaan prosenttiyksikkönä.

Esimerkki Puolueen A kannatus on 18,7 % ja puolueen B

kannatus 15,2 %. Puolueen A kannatus on 18,7 % – 15,2 % = 3,5 %-yksikköä suurempi kuin puolueen B kannatus.

Kuinka monta prosenttia puolueen B kannatus on pienempi kuin puolueen A kannatus?

= 0,2303 ≈ 23 %

Jos puolueen A kannatus nousisi n. 23 %, niin silloin se olisi sama kuin puolueen B kannatus

18,7−15,215,2

=3,215,2

18.10.1 2

36

MA

7

13. KERTAUS

18.10.1 2

37

MA

7

13. KERTAUS

18.10.1 2

38

MA

7




Mikä on muutosprosentti? Kuinka monta prosenttia hinnat nousivat, kun

alkuperäinen hinta oli 90 € ja korotettu hinta 120 €? Mistä luvusta?

Mistä summasta 40 % on 200 euroa? Promille

Kuinka monta promillea alkoholia (3,5 mg) on veressä (5 l)?

Prosenttiyksikkö

18.10.1 2

39

MA

7

KORKO

Koron kaava r=korko (€) k=pääoma (€) p=korkoprosentti t=aika (vuosina)

Korkotuotot lisätään yleensä vuoden lopussa. Seuraavana vuonna korkoa kasvavat sekä alkuperäinen pääoma että edellisen vuoden korko. Sanotaan, että pankki maksaa korkoa korolle.

r=kpt100

18.10.1 2

40

MA

7

Esimerkki korkolaskusta

Talletuksen vuotuinen korko on 1,8 %. Kuinka suureksi 12500 € talletus kasvoi

a) vuodessab) puolessa vuodessac) kahdessa kuukaudessad) kahdessa vuodessae) kolmessa vuodessaf) 100 vuodessa g) n-vuodessa?

Koron koron yleinen kaava

r=kpt100

K=k⋅(1+p100

)t

prosenttilaskentaa ma7-kurssille

Education