proseminář z matematiky pro fyzikyictphysics.upol.cz/proseminar/materialy/seminar01.pdf ·...
TRANSCRIPT
Proseminář z matematiky pro fyzikyMgr. Jan Říha, Ph.D.e-mail: [email protected]://www.ictphysics.upol.cz/Proseminar/index.html
Katedra experimentální fyzikyPřírodovědecká fakulta UP Olomouc
Podmínky zisku zápočtuneúčast nejvýše na třech semináříchpsát 3 písemné práce (asi dvacetiminutové, každá s maximálním ziskem 10 bodů)zisk nejméně 20 bodůkaždou písemku napsat alespoň na 3 bodyodevzdat vyřešené domácí úlohy
Doporučená literaturaBRABEC J., HRŮZA B.: Matematická analýza II. SNTL, Praha, 1989. BRABEC J., MARTAN F., ROZENSKÝ Z.: Matematická analýza I. SNTL, Praha, 1989. JIRÁSEK F., ČIPERA S., VACEK M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I., II. a III.. SNTL, Praha, 1989. LEA S. M.: Mathematics for Physicists. Brooks/Cole, 2004.KUČERA J., HORÁK Z.: Tenzory v elektrotechnice a ve fyzice. Nakladatelství ČSAV, Praha, 1963. KVASNICA J.: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, 1989. ČECHOVÁ M., MARKOVÁ L.: Proseminář z matematiky A, B. UP Olomouc, 1990. KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika I - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2004.KOLESÁROVÁ A., KOVÁČOVÁ M., ZÁHONOVÁ V.: Matematika II - Návody na cvičenia s programovým systémom Mathematica. Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2002. ZIMMERMAN, R. L., OLNES, F. I.: Mathematica for Physics. Addison-Wesley, 2002.WOLFRAM S.: The Mathematica Book. Wolfram Media, 2003. BAUMANN G.: Mathematica for Theoretical Physics. Springer-Verlag Heidelberg, 1993. DICK S., RIDDLE A., STEIN D.: Mathematica in the Laboratory. Cambridge University Press, 1997.
( )( )fHN
fDM==
funkcehodnot Obor funkceobor Definiční
.RNRM
⊂⊂
množiny prvek jeden právěpřiřazen množiny prvku každému je něhož podle
předpis, rozumíme proměnné reálné jednéfunkcí Reálnou
TABULKOU GRAFEM FUNKČNÍM PŘEDPISEMexplicitně
parametrickyimplicitně
Možnosti zadání funkce
Vlastnosti funkceOhraničená funkce (shora, zdola ohraničená)
Parita funkce( ) ( ) CxffDxRC ≤∈∀∈∃ :,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxffDxxf
xfxffDxxf−=−∈∀⇔
=−∈∀⇔::
nazývá se Funkce nazývá se Funkce
lichásudá
Periodická funkce( ) ( ) ( )xfpxffDRxpRp =+=∈∀≠∈∃ :;0,
Složená funkce( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )xuzfy
xufyzfyzxu
baxxuzf
==
=
=∈=
∈∀
z ... funkce vnitřní ... funkce vnější
. nazývá se funkcepak ,definovaná funkce je kterém ve, funkcehodnotu
přiřadit lze Jestliže a funkcedány Jsou
funkcí složenouβα ,
,.
Vlastnosti funkceProstá funkce
Inverzní funkce
( )( ) ( ) ( )212121 :, xfxfxxa,bxxfDa,bxf
≠⇒≠∈∀⇔∈ intervalu na nazývá se Funkce prostá
( ) ( )( ).
1
yfxxfyxf
== −
tvaru zapsat ve lze ji jestliže , funkci nazveme funkcik funkcí Inverzní
Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf<⇒<∈∀⇔∈
rostoucí
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf>⇒<∈∀⇔∈
klesající
Vlastnosti funkceFunkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf≥⇒<∈∀⇔∈
nerostoucí
( )( ) ( ) ( )212121 :,
intervalu na nazývá se Funkcexfxfxxa,bxxfDa,b
xf≤⇒<∈∀⇔∈
íneklesajíc
Přehled elementárních funkcí
CELÉ LOMENÉ
RACIONÁLNÍ IRACIONÁLNÍ
ALGEBRAICKÉ
GONIOMETRICKÉ
CYKLOMETRICKÉ
EXPONENCIONÁLNÍ
LOGARITMICKÉ
HYPERBOLICKÉ
TRANSCENDENTNÍ
TYPY FUNKCÍ
Celé racionální funkceLineární funkceKvadratická funkce
Kubická funkce atd.
( ) baxy +−= 2
Lomené racionální funkce
bax
ky +−
=
Iracionální funkce
3 xy =
Goniometrické funkcexy sin=
Goniometrické funkcexy cos=
Goniometrické funkcex
xxy tg==
cossin
Goniometrické funkcex
xxy cotg==
sincos
Cyklometrické funkce( ) ( )
2,
2 ,1,1 ,arcsin ππ
−=−== fHfDxy
Cyklometrické funkce( ) ( ) π,01,1 =−== fHfDxy , ,arccos
Cyklometrické funkce( ) ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−===
2,
2ππfHRfDxy , ,arctg
Cyklometrické funkce( ) ( ) ( )π,0=== fHRfDxy , ,arccotg
Exponenciální funkce
1 ,0 , ≠>= aaay x
Logaritmická funkce1 ,0 ,log ≠>= aaxy a
Hyperbolické funkce
2eecosh ,
2eesinh
xxxx
xyxy−− +
==−
==
Hyperbolické funkce
xx
xx
xx
xx
xxxy
xxxy −
−
−
−
−+
===+−
===eeee
sinhcoshcotgh ,
eeee
coshsinhtgh
Úlohy1. Rozhodněte, zda jsou funkcemi relace:a) ( ){ }01;,1 =+−×∈= xyRRyxf ,
b) ( ){ }0,1;,2 ≥=+×∈= yyxRRyxf ,
c) ( ){ }0222;, 223 =+−−+×∈= yxyxRRyxf .
2. Určete definiční obory funkcí
a) xx
yf−
=1:1 ,
b) 6
34: 232 −
+−=x
xxyf ,
c) xyf 2cos:3 = ,d) ( )( )xyf lnlnln:4 = .
3. Sestrojte grafy funkcía) xxyg 232:1 +−= ,
b) 3:2 −= xyg ,
c) ( )23 sgn: xyg = ,
d) { }24 ,max: xxyg = .
e) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= π
34sin31 ttf ,
Úlohy3. Sestrojte grafy funkcí
f) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= π
322sin22 ttf ,
g) ( ) 12
3cos21
3 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
πttf ,
h) ( ) ( )ϕω += tAtf sin4 , +∈ RA ϕω ,, ,i) ( ) ( )ϕω += tAtf cos5 , +∈ RA ϕω ,, ,j) ( ) t
6 e−=tf ,k) ( ) -2t
7 e=tf ,l) ( ) 3e2 5-t
8 +=tf ,m) ( ) ϕω += tAtf e9 , +∈ RA ϕω ,, ,n) ( ) ( )ϕωγ += − tAtf t sine10 , +∈ RA γϕω ,,, .4. Rozhodněte, zda jsou si rovny funkce hgf ,, .
xxyf
+= 2
1: , 22
1:xx
yg+
= , xx
yh+
−=1
11: .
5. Rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché funkce:a) 54: 24
1 +−= xxyf ,b) xxyf sin2tg:2 += ,c) 1:3 −= xyf ,
d) 1:4 −= xyf .
Úlohy6. Zjistěte, zda jsou dané funkce periodické, a v kladném případě určete periodu:
a) 4
cos3
sin: xxyf ππ+= ,
b) xyg sin: = ,
c) 2sin: xyh = ,
d) 3
3tg-2
tg2: xxy =ϕ .
7. Dokažte, že funkce 1
2:+
=x
xyf je na intervalu ( )∞− ,1 rostoucí.
8. Rozhodněte, zda jsou omezené, shora omezené nebo zdola omezené funkce dané vzorci:a) ( )∞∞−∈++−= ,,472 2 xxxy ,b) 2,2,432 −∈+−= xxxy ,
c) ( )∞∞−∈+−
= ,,11
2
2
xxxy .
9. Dokažte, že k daným funkcím existují funkce inverzní a najděte je:a) 5,2,1: 2 ∈−= xxyf ,
b) { }3,3
2: −−∈+
= Rxx
xyg ,
c) ( 5,,2710: 2 ∞−∈−+−= xxxyϕ ,
d) )∞∈−+−= ,5,2710: 2 xxxyψ .