proportional navigation - iaac.technion.ac.il
TRANSCRIPT
Proportional Navigation Modern Investigation
Ziv Meri, EEE M.Sc. Program
prof. Grigory Agranovich, Supervisor
Ariel University of Samaria
Department of Electrical and
Electronic Engineering
May 2017
2/3
3
Methodology
โข Proportional Navigation
โข Mechanization Effect
โข Generalized Lyapunov Investigation
โข Results
โข Summary
3/3
3
Proportional Navigation
Guidance Command ๐๐ ๐ = ๐๐ ๐ต ๐ฝ ๐
๐ฃ๐ก
๐ฃ๐๐๐ ๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐
๐
๐
๐น๐ฝ + ๐๐น ๐ฝ = โ๐๐ + ๐๐ป
4/3
3
Linearization
๐ฃ๐ก
๐ฃ๐๐๐ ๐ ๐๐๐
๐ฆ(๐ก)
๐๐
๐๐
๐ = ๐ฃ๐ ๐ก๐๐
๐ =๐ฆ
๐
๐๐ = ๐๐ฆ + ๐ฆ ๐ก๐๐
๐ก๐๐2
๐ก๐๐ = ๐ก๐ โ ๐ก
5/3
3
Flyby
missile
target
๐1 ๐2
๐ก๐๐ = 0
6/3
3
Guidance Loop
Geometry Seeker
Tracking Filters Guidance Law Autopilot
7/3
3
Guidance Loop
๐ฅ 1 =2
๐ก๐๐ ๐ฅ1 โ
๐
๐ก๐๐ ๐ฅ๐๐
๐ฅ ๐๐ = ๐ ๐ ๐ฅ1 + ๐ด ๐ฅ๐๐
Guidance Law Autopilot
State Space model
๐ฅ1
8/3
3
Command Shapes
9/3
3
Final Divergence
๐๐ = ๐๐ฆ + ๐ฆ ๐ก๐๐
๐ก๐๐2
10/3
3
Analysis Method
โข Stability Conditions??
โ LTI theory
โ Absolute Stability
โ Lyapunov Generalization
๐ฅ 1 =2
๐ก๐ โ ๐ก ๐ฅ1 โ
๐
๐ก๐ โ ๐ก ๐ฅ๐๐
๐ฅ ๐๐ = ๐ ๐ ๐ฅ1 + ๐ด ๐ฅ๐๐
11/3
3
Definitions
โข Uniformly bounded stability
๐ฅ(๐ก) โค ๐ผ ๐ฅ0 0 โค ๐ก โค ๐ก๐ โ ๐1
12/3
3
Definitions
โข Asymptotic stability
๐ฅ(๐ก) โ 0 ๐๐๐ ๐ก๐ โ โ
๐1 โค ๐ก๐๐ โค ๐2
singular point tf
2
13/3
3
Lyapunov Function
โข Define the Lyapunov Function
๐ฃ ๐ง ๐ก = ๐ฅ12 + ๐ง๐๐
๐ ๐ป ๐ง๐๐๐
โข Seek for d
๐๐ก๐ฃ ๐ง ๐ก โค โ
๐ผ1๐ก๐๐
+๐ผ2
๐ก๐๐2 โ ๐ฃ ๐ง ๐ก
โข With the solution
๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ tgo
๐ก๐
๐ผ1
โ ๐๐ผ2โ
1๐ก๐๐
โ1๐ก๐
14/3
3
Inequalities Manipulations
๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ tgo
๐ก๐
๐ผ1
โ ๐๐ผ2โ
1๐ก๐๐
โ1๐ก๐
๐1 โค ๐ก๐๐ โ ๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ ๐๐ผ2โ
1๐1โ1๐ก๐
BOUNDED STABILITY
15/3
3
Inequalities Manipulations
๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ tgo
๐ก๐
๐ผ1
โ ๐๐ผ2โ
1๐ก๐๐
โ1๐ก๐
๐ก๐๐ โค ๐2 < ๐ก๐ โ ๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ ๐2๐ก๐
๐ผ1
โ ๐๐ผ2โ
1๐1โ1๐ก๐
ASYMPTOTIC STABILITY
16/3
3
Results
โข ๐ผ1, ๐ผ2 ~ System Parameters
โข Sufficient Conditions to Asymptotic
Stability
๐ > 2
Hurwitz Autopilot
17/3
3
Examples โ 1st order
โข Autopilot 1
0.5 ๐ +1
โข ๐ = โ๐ โ A Hurwitz
โข Let ๐ = 4 > 2
18/3
3
1
0.5 ๐ + 1
19/3
3
Example โ 2nd order
โข Autopilot 152
๐ 2+0.8โ 5โ ๐ +152
โข ๐๐,๐ = โ๐๐ ยฑ ๐ โ ๐ โ A Hurwitz
โข Let ๐ = 4 > 2
20/3
3
152
๐ 2 + 0.8 โ 5 โ ๐ + 152
21/3
3
Example โ 2nd order
โข Autopilot 22
๐ 2โ0.8โ 2โ ๐ +22
โข ๐๐,๐ = ๐. ๐ ยฑ ๐. ๐ โ ๐ โ A not Hurwitz
โข Let ๐ = 4 > 2
22/3
3
22
๐ 2 โ 0.8 โ 2 โ ๐ + 22
Unstable
23/3
3
Example โ 2nd order
โข Autopilot 1
๐ 2+0.7โ ๐ +1
โข ๐๐,๐ = โ๐. ๐ ยฑ ๐. ๐ โ ๐ โ A Hurwitz
โข Let ๐ = 4 > 2
24/3
3 stable?
1
๐ 2 + 0.7 โ ๐ + 1
25/3
3
Example โ 2nd order
โข Autopilot 52
๐ 2+0.7โ 52โ ๐ +52
โข ๐๐,๐ = โ๐. ๐ ยฑ ๐. ๐ โ ๐ โ A Hurwitz
โข Let ๐ = 4 > 2
26/3
3
โข ๐๐ โ 5๐
๐ ~ tf = 25sec
โข ๐ฅ ๐ก; ๐ก๐22< ๐ฅ ๐ก; ๐ก๐1
2 - asymptotic stability
โข Stability independence of time, performances not
27/3
3
Missileโs Parameters Adjustment
๐ฃ ๐ง ๐ก โค ๐ฃ ๐ง0 โ ๐2๐ก๐
๐ผ1
โ ๐๐ผ2โ
1๐1โ1๐ก๐
โ ๐ =๐ผ2๐1
+ ๐ผ1 ln๐2๐ก๐
28/3
3
Example โ Delay Divergence
๐ก~4.8๐ ๐๐
29/3
3
Example โ Delay Divergence
๐ณ๐๐ ๐๐ = ๐. ๐
๐ =๐ผ2๐1
+ ๐ผ1 ln๐2๐ก๐
30/3
3
Example โ Delay Divergence
๐๐ = 0.5 ๐๐ = 0.4
31/3
3
Example โ Delay Divergence
Parametersโ design to improve miss distance!
32/3
3
Conclusions
โข Sufficient conditions to stability
โ N>2
โ Hurwitz autopilot
โข Stability + Interception performances!
โข Parametersโ adjustment to delay divergence
33/3
3
Summary
โข Investigation of PNG system
โข Complicated tgo problem solution
โข Conditions to asymptotic stability
โข Complete tool for a designer