propiedades fuerte secuenciales de whitney

Indice general

0.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2. Resena historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1. Preliminares 91.1. Hiperespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Funcion union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Resultados basicos de Teorıa de continuos . . . . . . . . . . . 191.5. Funciones de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6. Arcos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Propiedades secuenciales fuerte reversibles de Whitney 282.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. Conceptos y resultados auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Localmente conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. Atriodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5. Ser un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6. No contener arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.6.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Continuo por arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8. Ser un cırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.8.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9. No contener cırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.9.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10. Tener puntos de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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2.11. Hereditariamente indescomponible . . . . . . . . . . . . . . . . 522.11.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.12. Encadenabilidad por continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.12.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.13. Unicoherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.13.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.14. Propiedad de Kelley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.14.1. Teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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0.1. Introduccion

El estudio de las Propiedades de Whitney ha sido muy extensivo y ana-lizado por diferentes matematicos del siglo XX; tales propiedades que sonprecisamente Propiedades Topologicas, nos permiten obtener informacion delos hiperespacios partiendo de un continuo. Es natural preguntarse cuales deesas Propiedades Topologicas son preservadas bajo su aproximacion por losniveles de Whitney. Reciprocamente existen las Propiedades Reversibles deWhitney, Propiedades Fuerte Reversibles de Whitney (PFRW) y Propieda-des Secuenciales Fuerte Reversibles de Whitney (PSFRW), de las cuales sololas ultimas mencionadas son las que nos interesan en este trabajo.

Las Propiedades Secuenciales Fuerte Reversibles de Whitney parten de lainformacion que se da acerca de los niveles de Whitney, para poder afirmarque comportamiento tiene el continuo. Para esto, se da una sucesion de puntosque converja a cero y contenida en el intervalo, cada nivel evaluado en cadauno de los puntos de la sucesion debe tener la propiedad topologica.

Sean X un continuo y P una propiedad topologica. Decimos que P esuna Propiedad Secuencial Fuerte Reversible de Whitney siempre queexista una funcion de Whitney µ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 en(0, µ(X)) tal que tn → 0 cuando n →∞ y µ−1(tn) tiene la propiedad P paracada n, entonces X tiene la propiedad P . Muchas de estas propiedades yahan sido analizadas en [4].

En 1942 J.L. Kelley hizo uso de las funciones de Whitney en el estudiode hiperespacios, consecuentemente en 1970 las relaciones entre funcionesde Whitney y la estructura de hiperespacios fueron investigados extensiva ysistematicamente. De hecho, las funciones de Whitney estan estrechamenterelacionados con la estructura de arcos de hiperespacios.

En la actualidad se estudian tambien las siguientes propiedades: Reversi-ble, Fuertes Reversibles y Secuenciales Fuerte Reversibles. Esta ultima sera elmaterial de estudio de la tesis, en donde se analizaran que PropiedadesTopologicas conservan las propiedades Secuenciales Fuertes Reversibles deWhitney.

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Las Propiedades Topologicas que seran analizadas son las siguientes:

- Localmente conexo- Ser un arco- No contener arcos- Ser un continuo por arcos- Atriodicidad- Ser un cırculo- No contener cırculos- Encadenabilidad por continuos- Arco conexidad para la clase de continuoshereditariamente unicoherentes- Tener puntos de corte- Hereditariamente indescomponible- Unicoherente- Propiedad de Kelley

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0.2. Resena historica

La topologıa que al principio comenzo siendo una rama de la geometrıapaso a formar parte importante de la matematica moderna, fue concebida porRiemann en el siglo XIX [1, pag. 192], quien fue el primero en dar la nocionde espacio topologico y las primeras aplicaciones al analisis, por lo cual enese entonces se le nombraba Analisys situs. En la actualidad la topologıaes considerada como un area completamente abierta para la investigacion.Ademas que se ha llegado a consolidar gracias a los trabajos de Hausdorffsobre topologıa general.

Despues de la muerte de Gauss, se creıa que no volverıa a existir alguientan universal en todas las ramas de las matematicas. Hasta que aparecio Poin-care, aunque por supuesto diferia bastante de Gauss. Gauss tenıa cierta fa-cilidad para calculos mentales, y Poincare no era precisamente una promesamatematica, hasta el mismo admitıa que tenıa ciertos problemas para resolveralgunas operaciones aritmeticas. En el caso de Poincare se muestra que paraser una gran matematico no se necesita tener una facilidad con los numeros,hay otros aspectos mas ventajosos de habilidad matematica innata. AdemasGauss escribio relativamente poco, mientras que Poincare escribio extensi-vamente, publicando mas memorias por ano que cualquier otro matematico,mas aun, escribio libros populares con un don filosofico.

Poincare nacio en Nancy, Francia. Se graduo de la Ecole Polytechnique en1875, tomo el grado de ingenierıa minera en 1879, y se unio al departamentode minas por el resto de su vida. Su tesis doctoral fue de ecuaciones diferen-ciales (no en metodos de solucion, mas bien en teoremas de existencia), lacual es una de sus mas grandes contribuciones a las matematicas (las propie-dades de funciones automorficas), de hecho fue virtualmente el fundador dela teorıa de esas funciones.

En una sinopsis de su trabajo, el mismo comenta que los analistas hanencarado tres problemas desde el establecimiento del calculo: la solucion deecuaciones algebraicas; la integracion de diferenciales algebraicos; y la in-tegracion de ecuaciones diferenciales. Tambien trabajo en otras disciplinascomo la fısica matematica, tratando temas como: capilaridad, elasticidad,termodinamica, optica, electricidad, cosmogonıa, entre otros[2, pgs. 673-677].

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La topologıa no fue invencion de un solo hombre, algunos de los problemastopologicos fueron encontrados en los trabajos de Euler, Moebius y Cantor,de hecho la palabra topologıa habıa sido usada en 1847 por J. B. Listing en eltıtulo del libro: ”Introduccion a estudios en Topologıa”. Pero el comienzo dela topologıa fue en 1895 el ano en que Poincare publica su ”Analysis situs”.Este libro provee un desarrollo sistematico de la topologıa. La topologıa esahora una de las ramas mas amplias y fundamentales de las matematicas.Da las bases para la topologıa combinatoria o algebraica, trabaja en teorıade funciones, incluyendo funciones Abelianas, grupos de Lie y problemasrelacionados con algebra.

En el momento de la publicacion de los principales trabajos de Brouwer ylos exitosos anos de la teorıa de conjuntos, la topologıa crecio rapidamente.Muchos matematicos fueron agregando nuevas ideas y resultados para expan-dir ese campo. Un notable signo de ese rapido desarrollo fue la publicaciondel texto clasico Fundamentos de la teorıa de conjuntos (1914) escrito porFelix Hausdorff (1848-1942). En este libro Hausdorff ofrece una sıntesis de losdiversos resultados de la teorıa de conjuntos, a traves de su teorıa de espa-cios topologicos. Esto unio las ideas geometricas fundamentales y conceptosanalıticos abstractos de David Hilbert, Maurice, Frechet y Herman Weyl.

En la teorıa de dimension, un hecho en particular significante, fue quelos matematicos todavıa consideraban que la busqueda de definiciones co-menzaron con Bolzano. Pero por la aparicion de los monstruos topologicos,se crearon nuevas definiciones, que fueron puestas a prueba, motivo por elcual Hausdorff pesimistamente comento : ”Nosotros no damos definicionesde el concepto de curva, los conjuntos que llevaron este nombre por conven-cion, son de una naturaleza homogenea, que ellos cayeron bajo el conceptocolectivo no razonable”[5, 901-902]. Mientras que cada uno tenıa una ideaintuitiva del concepto de curva, nadie habıa estado posibilitado para definiradecuadamente el concepto general.

En el periodo siguiente de la primera guerra mundial (1914-1918) el interesen la topologıa se volvio intenso. En una escuela Americana de topologos seprodujeron importantes artıculos. En 1919 Hausdorff publico una definicionpreponderante de dimension metrica. Comenzando de la generalizacion dela medida de Lebuesgue, Hausdorff proporciono una caracterizacion teorica-metrica de dimension, para espacios dimensionalmente finitos. La teorıa de

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dimension de Hausdorff es metrica, en lugar de topologica, y sus orıgenes pue-den ser localizados desde las investigaciones de Weiestrass en 1870 dentro delas curvas de continuos sin derivadas. Consecuentemente del trabajo originalde Hausdorff, muchos matematicos han dedicado extensivas investigacionesa la teorıa metrica de dimension.

Una de las areas de investigacion de la topologıa es la Teorıa de Hiper-espacios de un Continuo, la cual es una rama esencial de la topologıa. Estateorıa tiene sus inicios a principios del siglo XX, con el trabajo de Hausdorffy Vietoris. La mayor parte de la estructura fundamental de hiperespacios fuedeterminada entre 1920 y 1930. En 1930 Hassler Whitney construye unostipos de funciones especiales en espacios de conjuntos con el proposito deestudiar familias de curvas. Hassler Whitney nacio el 23 de marzo de 1907 enNew York. Su abuelo, Simon Newcomb, era un notable astronomo y ademasel cuarto presidente de la American Mathematical Society. Su padre, EdwardWhitney fue un juez de la Suprema Corte de New York, y su madre Josephauna artista interesada en la polıtica. Se graduo de la Universidad Yale conel tıtulo de bachiller en fısica (1928) y de musica (1929), y fue a la Universi-dad de Harvard para obtener su doctorado en matematicas. En 1931 le fueotorgada una beca de la Fundacion Nacional de Ciencias (National Scien-ce Foundation) para ir a Princeton durante dos anos. El regreso a Harvardfue en 1933, donde avanzo hasta el rango de profesor. En 1952 Whitney setraslado al Instituto para Estudios Avanzados en Princeton como profesorde matematicas, un puesto que conservo hasta que en 1977, se convirtio enprofesor emerito. Whitney fue un pionero en la topologıa, combino muchasperspectivas fructıferas con gran destreza tecnica.

Las ideas y metodos que el desarrollo en la teorıa general de variedades;el estudio de funciones diferenciables en conjuntos cerrados; teorıa de inte-gracion geometrica; la geometrıa de tangentes a un espacio singular analıtico;como tambien en muchos otras ramas de la matematica, se convirtio en parte,fabrica de todos esos temas y ha tenido una tremenda influencia en el traba-jo subsiguiente. Whitney fue tambien uno de los fundadores de la teorıa decohomologıa. Fue pionero en el uso del vector y la esfera como herramientaen la solucion de problemas topologicos. Durante la mayorıa de su carreraWhitney estuvo interesado en las propiedades de funciones suaves. Sus ideascontribuyeron al desarrollo del campo de la topologıa diferencial, el cual con-llevo su trabajo a la teorıa de variedades analıticas. Ayudo a emprender la

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teorıa de singularidades y ha establecer que las singularidades genericas defunciones del plano al plano son pliegues y cuspides. Muere el 10 de mayo de1989 en Princeton a la edad de 82 anos.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Hiperespacios

En el desarrollo del presente trabajo es importante enfatizar que se danpor bien conocidos algunos resultados de topologıa general.

Para poder empezar a hablar de hiperespacios es necesario tener presentesalgunos conceptos.

Definicion 1 Un continuo es un espacio metrico, no vacıo, compacto y co-nexo.

Definicion 2 Un subcontinuo Y de X es un subespacio conexo, compacto ydistinto del vacıo.

Durante todo el trabajo la letra X denotara un continuo y la letra d unametrica.Sea E un subconjunto de X, ClX (E) , FrX (E) y IntX (E) denotaranla cerradura, la frontera y el interior de E en X respectivamente. Un continuoX se dice que es no degenerado, si esta compuesto por mas de un elemento.

9

CAPITULO 1. PRELIMINARES 10

Para un continuo X los hiperespacios que se consideraran en este trabajoson:

2X = {A ⊆ X | A es cerrado y no vacıo}C (X) =

{A ∈ 2X | A es conexo

}Como podemos observar, cada elemento de C (X) es un subcontinuo de

X. Ası que a C (X) se le conoce como el hiperespacio de los subcontinuos deX.

Es momento de hablar de lo cercano que pueden estar dos subcontinuosde un continuo X, para esto se necesita dar una metrica a 2X . Pero antes,hay que dar un concepto importante:

Definicion 3 Sean X un continuo, A ∈ 2X y ε > 0. Definimos

N (ε, A) = {x ∈ X | existe a ∈ A tal que d (a, x) < ε} .

Podemos ver representado este conjunto en la figura 1.1.

Figura 1.1

La metrica que se le asigna a 2X es la metrica de Hausdorff de la siguientemanera definimos H : 2X × 2X → [0,∞) como

H (A, B) = inf {ε > 0 | A ⊂ N (ε, B) y B ⊂ N (ε, A)} ,

donde A y B ∈ 2X .


La prueba de que H es una metrica para 2X se ve en [4, Teorema 2.2, p.11]. La demostracion de que 2X y C (X) son compactos se ve en [6, Teorema0.8, p. 7]. En [6, Teorema 1.9, p. 63] y en [6, Teorema 1.12, p. 65] se demuestraque 2X y C (X) son conexos por arcos, respectivamente. Por lo que se deduceque 2X y C (X) son continuos.

Tambien se puede hablar de los hiperespacios de C (X):

2C(X) = {A ⊂C (X) | A es cerrado y no vacıo}C2 (X) = C (C (X)) =

{A ∈2X | A es conexo

}A los hiperespacios 2C(X) y C2 (X) se les considera con la metrica de

Hausdorff, la cual denotaremos por H2.Un resultando que no se debe pasar por alto es el siguiente:

Lema 1 Sean A, B ∈ 2X y ε > 0. Entonces H (A, B) < ε si y solo siA ⊂ N (ε, B) y B ⊂ N (ε, A) .

Demostracion. Supongamos que A ⊂ N (ε, B) y B ⊂ N (ε, A) . SeaS = {N (δ, A) | 0 < δ < ε}, Demostraremos que S es una cubierta abierta deB. Sea b ∈ B. Dado que B ⊂ N (ε, A) existe a ∈ A tal que d (a, b) < ε. Elegi-

mos δ ∈ (d (a, b) , ε). Entonces b ∈ N (δ, A) . De esta manera B ⊂⋃S. Esto

muestra que S es una cubierta de B. Ahora, como B es compacto, existen

δ1, δ2, δ3, ..., δn tales que δi < ε para cada i ∈ {1, ..., n} y B ⊆n⋃

i=1

N (δi, A).

Sea δ′ = max {δ1, δ2, δ3, ..., δn} . Ası que B ⊂ N (δ′, A) . Analogamente en-contramos δ′′ > 0 tal que A ⊂ N (δ′′, B) y δ′′ < ε. Sea ε′ = max {δ′, δ′′}.Entonces B ⊂ N (ε′, A) y B ⊂ N (ε′, A) . Como 0 < ε′ < ε, se tiene queH (A, B) ≤ ε′ < ε.

Supongamos ahora que, H (A, B) < ε. Por la definicion de la metrica deH, existe δ > 0 tal que δ < ε, A ⊂ N (δ, B) y B ⊂ N (δ, A) . Entonces,A ⊂ N (δ, B) ⊂ N (ε, B) y B ⊂ N (δ, A) ⊂ N (ε, A)

Corolario 1 Si A, B ∈ 2X y η = H (A, B), entonces A * N (η, B) o B *N (η, A) .

Demostracion. Supongamos que A ⊂ N (η, B) y B ⊂ N (η, A). Por elLema 1, H (A, B) < η, lo cual no puede ser ya que H (A, B) = η. Por lotanto A * N (η, B) o B * N (η, A) .


Por ultimo tenemos el siguiente lema.

Lema 2 Sean a, b ∈ X. Entonces H ({a} , {b}) = d (a, b) .

Demostracion. Dado que N (ε, {a}) = Bε (a) y N (ε, {b}) = Bε (b) ,tenemos que

H ({a} , {b}) = inf {ε > 0 | {a} ⊂ N (ε, {b}) y {b} ⊂ N (ε, {a})}= inf {ε > 0 | a ∈ Bε (b) y b ∈ Bε (a)}= inf {ε > 0 | d (a, b) < ε}= inf (d (a, b) ,∞)

= d (a, b)


1.2. Convergencia de sucesiones

Dado que los hiperespacios son continuos, es posible hablar de conver-gencia, siendo esta, otra util herramienta para el desarrollo de la Teorıa deHiperespacios de Continuos.

Definicion 4 Sea {An}∞n=1 una sucecion de elementos de C (X). Definimoslos lımites inferior de la sucesion {An}∞n=1 como:

1. lım inf An = {x ∈ X | para todo ε > 0, Bε (x) ∩ An 6= ∅ para toda nsalvo un numero finito}.

Y el lımite superior como:2. lım sup An = {x ∈ X | para todo ε > 0, Bε (x) ∩ An 6= ∅ para una

cantidad infinita de numeros n}.

A continuacion se presentan algunos resultados importantes para el des-arrollo del presente trabajo, los cuales no se demostraran porque nos alejarıandel proposito principal del tema tratado en esta tesis.

Teorema 1 [6, Teorema 0.6, p.4] Sea {An}∞n=1 una sucesion de los elementosde 2X . Entonces:

1. lım inf An ⊂ lım sup An,

2. lım inf An y lım sup An son subconjuntos cerrados en X y

3. lım sup An 6= ∅.

Teorema 2 [3, p. 12] Sea {An}∞n=1 una sucesion de elementos de 2X . En-tonces:

1. x ∈ lım inf An si y solo si existe una sucesion {xn}∞n=1 en X tal que

xn → x y xn ∈ An para cada n.

2. x ∈ lım sup An si y solo si existe una sucesion de numeros naturales

n1 < n2 < ... y puntos xnk∈ Ank

para cada k tales que xnk→ x.


De manera visual, este tipo de congervencia se puede apreciar de unamejor manera en la figura 1.2

Figura 1.2

En el siguiente resultado establecemos una relacion entre la convergenciade una sucesion {An}∞n=1 y los lımites inferior y superior.

Teorema 3 [3, p. 12] Sean X un continuo y {An}∞n=1 ⊂ 2X . Entonces lasucesion {An}∞n=1 converge a A para algun A ∈ 2X si y solo si lım inf An =A = lım sup An.

Usando este teorema, podemos dar una demostracion para cada uno delos resultados, aunque las demostraciones son independientes de los lımitesinferior y superior.

Corolario 2 Sean X un continuo y {An}∞n=1 una sucesion en 2X tal queAn → A para algun A ∈ 2X . Si {xn}∞n=1 es una sucesion en X tal quexn ∈ An para toda n ∈ N y xn → x para algun x ∈ X, entonces x ∈ A.

Demostracion. Dado que An → A, por la Teorema 3, lım inf An = A. Comoxn ∈ An, para cada n ∈ N y xn → x, por el Teorema 2, x ∈ lım inf An = A.


Otro resultado importante que se estara usando bastante es la siguiente.

Teorema 4 Sean X un continuo, {An}∞n=1 y {Bn}∞n=1sucesiones en C (X)tales que An → A y Bn → B para algunos A, B ∈ C (X) . Tenemos lassiguientes afirmaciones:

1. Si An ⊂ Bn para cada n ∈ N, entonces A ⊂ B.

2. Si An ∩Bn 6= ∅ para cada n ∈ N, entonces A ∩B 6= ∅.

Demostracion. Para probar 1), sea a ∈ A. Dado que An → A, por elTeorema 3, lım inf An = A. Ası que a ∈ lım inf An. Por el Teorema 2, existeuna sucesion {an}∞n=1 en X tal que an ∈ A para cada n ∈ N y an → a. Como,para toda n ∈ N, An ⊂ Bn, tenemos que an ∈ Bn para cada n ∈ N. De estamanera, por el Teorema 2 y debido a que an → a, se sigue que a ∈ lım inf Bm.Usando la Teorema 3 y dado que Bn → B, lım inf Bn = B. De este modoa ∈ B. Esto prueba que A ⊂ B.

Para el inciso 2). Para cada n ∈ N, sea xn ∈ An ∩ Bn. Demanera quetenemos una sucesion {xn}∞n=1 en X. Dado que X es un compacto, podemossuponer que existe x ∈ X tal que xn → x. Por el Teorema 2 x ∈ lım inf An yx ∈ lım inf Bn. Como An → A y Bn → B, por el Teorema 3 lım inf An = Ay lım inf Bn = B. De aquı que x ∈ A ∩B. Esto prueba que A ∩B 6= ∅.


1.3. Funcion union

Lema 3 Si A ∈ 22Xy σ : 22X → 2X la funcion definida como σ (A) =⋃

{A | A ∈ A}, entonces se tiene lo siguiente:

1. σ (A) ∈ 2X .

2. Si A es subcontinuo de 2X y A ∩ C (X) 6= ∅, entonces σ (A) ∈ C (X) .

3. σ es una funcion continua.

4. H (⋃A,⋃B) ≤ H2 (A,B) para todo A,B ∈22X

Demostracion. 1. Como A 6= ∅, podemos elegir A ∈ A, lo cual implica que

A ∈ 2X , por lo que⋃{A | A ∈ A} 6= ∅.

Ahora, hay que probar que σ (A)es cerrado en X. Sea a ∈CeX (σ (A)) ,entonces existe una sucesion {an}n∈N ⊂ σ (A) tal que an → a. De aquı que,para cada n ∈ N, existe An ∈ A tal que an ∈ An. De la compacidad de A,existe una subsucesion {Ank

}k∈N de {An}n∈N tal que Ank→ A para alguna

A ∈ A. Por el Corolario 2, se deduce que a ∈ A. Por lo cual se tiene que a ∈σ (A). Esto implica que σ (A) es cerrado en X. De esta manera concluimosque σ (A) ∈ 2X .

2. Supongamos que A es conexo, A∩C (X) 6= ∅, y que σ (A) no es conexo.Entonces existen M1, M2 ∈ 2X tales que

M1 ∪M2 = σ (A) y M1 ∩M2 = ∅.

Sea A ∈ A ∩ C (X) . Supongamos, sin perdida de generalidad que A ⊂ M1.Hagamos

H = {B ∈ A | B ⊂ M1}

yK = {B ∈ A | B ∩M2 6= ∅} .

Como A ⊂ M1, H 6= ∅. Si K = ∅ entonces todos los elementos de Apertenecen a H, por lo que σ (A) ⊂ M1, y M2 = ∅, lo cual es absurdo. Deaquı que K 6= ∅.


Si existe E ∈ H ∩ K, entonces

∅ 6= E ∩M2 ⊂ M1 ∩M2 = ∅.

Lo cual es una contradiccion.4. Por ultimo, sea F ∈ A. Dado que F ⊂ M1∪M2, se tiene que F∩M1 6= ∅

o F ∩M2 6= ∅. Si ocurre que F ∩M2 6= ∅, tenemos que F ∈ K. En el otrocaso, F ⊆ M1, por lo que F ∈ H. De donde A = H ∩K. De esta meneraconcluimos que A es disconexo, los cual es una contradiccion. Por lo tantoσ (A) ∈ C (X) .

Ahora, probaremos que σ es una funcion continua. Sea A ∈ 22Xy ε > 0.

Supongamos H2 (A,B) < ε, entonces probaremos que σ (A) ⊂ N (ε, σ (B)) .Por definicion, sabemos lo siguiente

A ⊂ N2 (ε,B) y B ⊂ N2 (ε,A) .

Sea a ∈ σ (A) ,entonces existe A ∈ A tal que a ∈ A. Es claro que A ∈N2 (ε,B) . De esta manera, existe B ∈ B tal que H (A, B) < ε. Dado que a ∈A ⊂ N (ε, B) , existe b ∈ B tal que d (a, b) < ε, de modo que a ∈ N (ε, σ (B)).De lo cual se infiere que

σ (A) ⊂ N (ε, σ (B)) .

Analogamente se puede verificar que

σ (B) ⊂ N (ε, σ (A)) .

Por lo tanto σ es una funcion continua.Por ultimo, se probara que H (

⋃A,⋃B) ≤ H2 (A,B) para todoA,B ∈22X

.Sean A,B ∈22X

y⋃A = A y

⋃B =B. Por el inciso 1) A, B ∈ 2X . Sea

η = H (A, B). Entonces por el Corolario 1, sin perdida de generalidad asu-mimos que

A * N (η, B) .

De aquı que existe a ∈ A tal que

d (a, b) ≥ η para todo b ∈ B.

Ahora, dado que A =⋃A, existe A1 ∈ A tal que a ∈ A1. Como B =

⋃B,

se tieneA1 * N (η, C) para todo C ∈ B.


De esta manera, obtenemos que H (A1, C) ≥ η para todo C ∈ B, es decir

A1 /∈ N2 (η,B) .

Como A1 ∈ A, tenemos que A * N2 (η,B). Por definicion de H2 se diceque H2 (A,B) ≥ η. Por lo tanto

H(⋃

A,⋃B)

= H (A, B) = η ≤ H2 (A,B) para todo A,B ∈22X

.

Que es lo que se querıa demostrar.La funcion σ del Lema anterior es llamada la funcion union de 22X

. En eltranscurso del trabajo nosotros estaremos utilizando la funcion τ = σ|C2(X) :C2 (X) → C (X). Tal funcion esta bien definida y es continua. En efecto, SiA ∈ C2 (X) ⊂ 22X

entonces A es conexo y pertenece a 2C(X). Esto ultimoimplica a su vez que A ⊂C (X) y A 6= ∅. De aquı concluimos que A∩C (X) 6=∅. Aplicando la segunda parte del Lema anterior, tenemos que τ (A) ∈ C (X).Esto prueba que τ esta bien definida y, por ser una restriccion de una funcioncontinua, resulta ser continua. A τ se le llama funcion union en C2 (X) .


1.4. Resultados basicos de Teorıa de conti-

nuos

Los siguientes resultados de Teorıa de Continuos nos seran de bastanteutilidad, las demostraciones de estos teoremas se pueden revisar en [7, pgs.72-74].

Teorema 5 (Teorema del cable cortado) Sean Y un espacio metrico com-pacto y A,B dos sobconjuntos cerrados de Y . Si ningun subconjunto conexode Y intersecta simultaneamente tanto a A como a B, entonces existen doscerrados y ajenos Y1 y Y2 de Y tales que Y = Y1 ∪ Y2, A ⊂ Y1 y B ⊂ Y2.

Teorema 6 (Teorema de los golpes frontera) Sean X un continuo y Eun subconjunto propio de X diferente del vacıo. Si K es una componente deClX (E) , entonces K∩Fr(E) 6= ∅.

Teorema 7 Sean X un continuo y A un subcontinuo de X. Si U es unabierto que contiene a A, entonces existe un subcontinuo B de X tal queA ⊂ B ⊆ U y A 6= B.

1.5. Funciones de Whitney

Como ya se habıa mencionado anteriormente, Hassler Whitney construyeun tipo especial de funciones para poder trabajar con arcos, sin embargo Ke-lley las utilizo para trabajar con hiperespacios, dando ası el inicio de nuevosestudios acerca de las propiedades de los hiperespacios.

Iniciemos con el concepto de Funcion de Whitney.

Definicion 5 Una funcion de Whitney para C (X) es una funcion continuaµ : C (X) → [0,∞) que satisface lo siguiente:

1. µ ({x}) = 0 para toda x ∈ X.

2. Si A, B ∈ C (X) y A es un subconjunto propio de B, entonces µ (A) <µ (B) .


Observemos que; por la continuidad de µ y por ser C (X) un continuo,µ (C (X)) es un continuo en [0,∞) . Usando la condicion 2; se tiene queµ (C (X)) = [0, µ (X)) . por lo que en lo sucesivo, consideraremos que elcontradominio de una funcion de Whitney es el intervalo [0, µ (X)] .

Varias construcciones de funciones de Whitney se pueden revisar en [6,p. 24-27].

Definicion 6 Un nivel de Whitney para C (X) es el conjunto

µ−1 (t) = {A ∈ C (X) | µ (A) = t}

donde µ : C (X) → [0, µ (X)] es una funcion de Whitney.

Lema 4 Sean X un compacto y µ una funcion de Whitney para C (X),entonces, para todo ε > 0, existe η (ε) > 0 con la siguiente propiedad: siA, B ∈ C (X) son tales que A ⊂ B y |µ (B)− µ (A)| < η (ε) , entoncesH (A, B) < ε.

Demostracion. Supongamos que existe ε > 0 con la siguiente propiedad:Si η > 0 y A, B ∈ C (X) son tales que A ⊆ B y |µ (B)− µ (A)| < η,

entonces H (A, B) ≥ ε.Necesitamos demostrar que existen dos sucesiones {An}∞n=1 y {Bn}∞n=1 de

elementos de C (X) tales que:

1. An ⊆ Bn para cada n ∈ N.

2. |µ (Bn)− µ (An)| < 1n

para cada n ∈ N.

Sean n ∈ N t1, t2 ∈[0, 1

n

)con t1 ≤ t2. Tomemos α un arco de algun

conunto de un solo punto a X en C (X). Dado que µ ◦ α es continua yµ (α (0)) = 0 ≤ t1 ≤ t2 < µ (α (1)) = µ (X) = 1, por el Teorema delValor Intermedio, se tiene que existen An, Bn ∈ α tales que µ (An) = t1 yµ (Bn) = t1. Hemos obtenido des elementos A, B ∈ C (X) tales que An ⊆ Bn

y |µ (Bn)− µ (An)| < 1n. Esto termina la construccion de las sucesiones

Ası que, para cada n ∈ N, H (An, Bn) ≥ ε. Por otro lado, dado queC (X) es compacto, podemos suponer que An → A y Bn → B para algunosA, B ∈ C (X).

Supongamos que H (A, B) < ε. Sean a = H (A, B) y δ > 0 tal que(a− δ, a + δ) ⊆ (0, ε) . Como An → A y Bn → B, existe N ∈ N tal que


H (An, A) < δ2

y H (Bn, B) < δ2

para cada n ≥ N. Ahora bien, dado que|H (A, B)−H (An, Bn)| ≤ H (A, An) + H (Bn, B) para cada n ≥ N,se sigueque

|H (A, B)−H (An, Bn)| < δ

para cada n ≥ N. Por lo que H (An, Bn) ∈ (a− δ, a + δ) para cada n ≥ N .Ası que H (An, Bn) < ε para cada n ≥ N. Esto es una contradiccion. Estoprueba que H (A, B) ≥ ε.

Ahora, dado que An ⊆ Bn para cada n ∈ N, por el Teorema 4, se sigueque A ⊆ B. Usando que

0 ≤ |µ (B)− µ (A)| = lımn→∞

|µ (Bn)− µ (An)| ≤ lımn→∞

1

n= 0,

obtenemos que µ (A) = µ (B) . Como µ es una funcion de Whitney y A ⊆ B,se infiere que A = B. Ası que H (A, B) = 0. Lo cual es una contradiccion.Por lo que el lema queda demostrado.


1.6. Arcos ordenados

Definicion 7 Sean A, B ∈ 2X con A ⊂ B. Un arco ordenado de A a B, esuna funcion continua α : [0, 1] → 2X tal que

1. α (0) = A, α (1) = B.

2. Si s, t ∈ [0, 1] con s ≤ t, entonces α (s) ⊆ α (t) .

A los elementos A y B de la definicion anterior se les llama los extremosde α.

Debemos tener bien presente que la existencia de arcos ordenados es muyimportante, el siguiente resultado nos da la prueba de tal hecho.

Teorema 8 [6, Teorema 1.8, p. 59] Sean A0, A1 ∈ C (X) tales que A0 6= A1,entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. Existe un arco ordenado en C (X) de A0 a A1.

2. A0 ⊂ A1 y cada componente de A1 intersecta a A0.

Teorema 9 [6, Teorema 1.11, p. 64] Si α es un arco ordenado en 2X quecomienza en A0 ∈ C (X), entonces α ⊂ C (X) .

Teorema 10 [6, Lema 14.8.1, p. 405] Sean X un continuo, µ una funcion deWhitney para C (X) y t ∈ (0, 1) . Si A, B ∈ µ−1 (t) son tales que A ∩B 6= ∅,entonces existe un arco α, contenido en C (A ∪B) ∩ µ−1 (t), que une A conB. Mas aun, si K es una componente de A ∩ B, entonces α puede elegirsede tal manera que K ⊂ L para cada L ∈ α.

El siguiente lema se estara usando continuamente.

Lema 5 Sean A, B ∈ C (X), µ una funcion de Whitney para C (X) y t ∈[0, 1] . Si µ (A) ≤ µ (B) , entonces existe C ∈ C (X) tal que A ⊆ C ⊆ B yµ (C) = t.


Demostracion. Supongamos que µ (A) ≤ µ (B) . De donde A B. Porel Teorema 8, existe un arco ordenado α de A a B. Consideremos µ ◦ α :[0, 1] → [0, 1] . Entonces µ ◦ α es continua. Dado que

µ (α (0)) = µ (A) < t ≤ µ (α (1)) = µ (B) ,

por el Teorema del Valor Intermedio, existe r ∈ [0, 1] tal que µ (α (r)) = t.El conjunto α (r) cumple con las condiciones requeridas.

Lema 6 Sean X un continuo, µ una funcion de Whitney, y A ∈ C (X) .Entonces tenemos las siguientes afirmaciones

1. µ|C(A) es una funcion de Whitney para C (A) ,

2.(µ|C(A)

)−1(t) = µ−1 (t) ∩ C (A) para cada t ∈ [0, µ (A)] ,

3.(µ|C(A)

)−1(t) es no degenerado y no vacıo, para cada t ∈ [0, µ (A)] ,

4. para todo t ∈ [0, µ (X)], se tiene que⋃

µ−1 (t) = X,

5. para cada t ∈ [0, µ (X)] y para todo B ∈ µ−1 ([t, µ (X)]) , se tiene que⋃(C (B) ∩ µ−1 (t)) = B.

Demostracion. Veamos 1. Dado que µ es una funcion continua, se sigueµ|C(A) es continua. Sea x ∈ A. Como

µ|C(A) ({x}) = µ ({x}) y µ ({x}) = 0,

se obtiene que

µ|C(A) ({x}) = 0.

Sean M, N ∈ C (A) , con M ⊂ N y M 6= N. Debido a que

µ|C(A) (M) = µ (M) y µ (N) = µ|C(A) (N)

y µ (M) < µ (N) , se tiene que

µ|C(A) (M) < µ|C(A) (N) .

Concluimos que µ|C(A) es una funcion de Whitney para C (A) .


Para demostrar 2, probaremos la doble contencion. Sea B ∈(µ|C(A)

)−1(t).

Entonces µ|C(A) (B) = t. Como µ|C(A) (B) = µ (B) , deducimos que B ∈µ−1 (t) . Ahora bien, debido a que B ∈ C (A) , se concluye que B ∈ µ−1 (t) ∩C (A) . Por lo que (

µ|C(A)

)−1(t) ⊂ µ−1 (t) ∩ C (A) .

Ahora, sea B ∈ µ−1 (t) ∩ C (A). De donde µ (B) = t y B ∈ C (A). Ası, dado

que µ|C(A) (B) = µ (B) , se tiene que B ∈(µ|C(A)

)−1(t) . Por lo que

µ−1 (t) ∩ C (A) ⊂(µ|C(A)

)−1(t) .

Ası que (µ|C(A)

)−1(t) = µ−1 (t) ∩ C (A) .

Probemos 3. Si t = 0, entonces {p} ∈(µ|C(A)

)−1(t) para cada p ∈ A, por

lo que(µ|C(A)

)−1(t) es no degenerado y no vacıo.

Sea 0 < t < µ (A) . Probaremos que(µ|C(A)

)−1(t) es no vacıo. Sea

x ∈ A. Por el Teorema 8, existe un arco ordenado α de {x} a A. Note-mos que α ⊆ C (A). Por el Lema 5, existe s ∈ [0, 1] tal que µ (α (s)) = t.

Ası que µ|C(A) (α (s)) = t. Por lo que α (s) ∈(µ|C(A)

)−1(t) . Esto muestra

que(µ|C(A)

)−1(t) es no vacıo.

Veamos que es no degenerado. Dado que µ (α (s)) = t y t < µ (A) ,α (s) * A. Elijamos y ∈ A\α (s) . Por el Teorema 8, existe un arco ordenadoβ de y a A. Notemos que β ⊂ C (A). Usando un argumento silimar al anteriorexiste D ∈ β tal que µ|C(A) (D) = t. Como y ∈ D\α (s) , se sigue que(µ|C(A)

)−1(t) es no degenerado.

Para probar 4, como⋃

µ−1 (t) ⊂ X, es sufieciente con demostrar queX ⊂

⋃µ−1 (t) . Sea x ∈ X. Entonces, por el el Teorema 8, existe un arco

ordenado de {x} a X en 2X . Por el Lema 5, existe un s ∈ [0, µ (X)] tal queβ (s) ∈ µ−1 (t) , y como x ∈ β (s) , conlcuimos que x ∈

⋃µ−1 (t) . Con lo cual

probamos que⋃

µ−1 (t) = X.Por ultimo, veremos el inciso 5. Supongamos que A ∈ µ−1 ([t, µ (X)]) .

Por 2, se tiene que

C (A) ∩ µ−1 (t) =(µ|C(A)

)−1(t) .

Por el inciso 4,⋃(

µ|C(A)

)−1(t) = A. De manera que

⋃(C (A) ∩ µ−1 (t)) = A.

Con esto terminamos la prueba del lema.


Por ultimo, tenemos es siguiente resultado:

Lema 7 Sean X espacio metrico, a, b, c ∈ X, α1, α2 arcos ordenados de a, ben X y de b, c en X, respectivamente. Entonces existe un arco α de a a c enX que esta contenido en α1 ∪ α2.

Demostracion. Para probar este lema, se necesitan considerar dos casos.Caso 1. Si α1 ∩ α2 = {b}.Caso 2. Si α1 ∩ α2 6= {b} .Comencemos, con el Caso 1. Definamos las siguientes funciones:

h1 :

[0,

1

2

]→ [0, 1] por h1 (t) = 2t y h2 :

[1

2, 1

]→ [0, 1] por h2 (t) = 2t− 1.

Notese que h1 y h2 son continuas y biyectivas. Sean β1 = α ◦ h1 y β2 =α2 ◦ h2. Ambas, tambien continuas. Sea α : [0, 1] → X definida por

α (t) =

{β1 (t) si 0 ≤ t ≤ 1

2

β2 (t) si 12≤ t ≤ 1

Dado que α1 ∩ α2 = {b} , se sigue que α esta bien definida.Hay que probar que α es continua en [0, 1]. Sea t0 ∈ [0, 1]. Mostraremos

que α es continua en t0. Para ello, sean ε > 0 y d la metrica para X. Su-pongamos que t0 < 1

2. Dado que β1 es continua, existe η > 0 tal que, si

|t0 − s| < η, con s ∈[0, 1

2

], entonces d (β1 (t0) , β1 (s)) < ε. Por otro lado,

existe ξ > 0 tal que

(t0 − ξ, t0 + ξ) ∩[0,

1

2

]⊂[0,

1

2

).

Sea v =mın{η, ξ}. De manera que si |t0 − s| < v, entonces s ∈[0, 1

2

)y

d (β1 (t0) , β1 (s)) < ε. Ası, dado que α (r) = β1 (r) para todo r ∈[0, 1

2

),

tenemos que si |t0 − s| < v, entonces d (α (t0) , α (s)) < ε. Esto demuestraque α es continua en t0, cuando t0 < 1

2. De forma analoga se muestra para

t0 > 12.

Solo falta probar que α es continua en t0 = 12. Sea ε > 0. Dado que β1 y

β2 son continuas en 12, existen δ1, δ2 respectivamente, tales que

∣∣12− s∣∣ < δ1,

y∣∣12− t∣∣ < δ2, con s ∈

[0, 1

2

]y t ∈

[12, 1], entonces d (β1 (t0) , β1 (s)) < ε y

d (β1 (t0) , β1 (t)) < ε. Como β1

(12

)= β2

(12

), y considerando δ =min{δ1, δ2} ,


tenemos que, si∣∣12− s∣∣ < δ, con s ∈ [0, 1], entonces d

(α(

12

), α (s)

)< ε. Esto

prueba que α es continua en 12. Por lo que α es continua en [0, 1]. Tambien α

es inyectiva. Ademas α (0) = a y α (1) = c. De modo que α es un arco de aa c en X que, claramente, esta contenido en α1 ∪ α2.

Considerando el Caso 2, sea S = {t ∈ [0, 1] | α2 (t) ∈ Imα2} . Notese queS 6= ∅. Mostraremos que S es cerrado. Sea {tn}∞n=1 una sucesion contenidaen S tal que tn → t0 para algun t0 ∈ [0, 1]. Como α2 es continua, α2 (tn) →α2 (t0). De aquı que, tenemos una sucesion {α2 (tn)}∞n=1 contenida en Imα1.Dado que Imα1 es cerrado, α2 (t0) ∈Imα1. Esto prueba que t0 ∈ S. Por loque S es cerrado en [0, 1]. De manera que S es compacto. Sea s0 =maxS.Dado que α2 (s0) ∈Imα1, existe un unico s1 ∈ [0, 1] tal que α2 (s0) = α1 (s1).Sea γ1 el subarco de α1 que va de a a α1 (s1) y γ2 el subarco de α2 que vade α1 (s1) a c. Notese que γ1 ∩ γ2 = {α1 (s1)} y que γ1 ∪ γ2 ⊂ α1 ∪ α2. De elCaso 1, existe un arco α de a a c en X, totalmente contecino en γ1 ∪ γ2.

Esto prueba que existe un arco de a a c, totalmente contenido en X.


- Solo confıo -repuso Blaustein- en que estas conversaciones no le perturben.

- A lo mejor, sı. Me hace pensar otra vez en el tema. Y cuando lo hago, todo se pone mal. ¿Que le harıa sentirse

parte de un cultivo bacteriologico, doctor?

- Nunca se me ha ocurrido pensarlo. Puede que a una bacteria le parezca normal. Ralson ni le oyo, prosiguio hablando

despacio:

- Un cultivo en el que se estudia la inteligencia. Estudiamos todo tipo de cosas, siempre y cuando se trate de sus

relaciones geneticas. Cazamos las moscas de la fruta y cruzamos ojos rojos con ojos blancos para ver lo que pasa. Nos

tienen sin cuidado los ojos rojos y los ojos blancos, pero tratamos de sacar de ellos ciertos principios geneticos basicos.

¿Sabe a lo que me refiero?

- Claro.

- Incluso, entre los humanos, podemos seguir varias caracterısticas fısicas. Tenemos los labios Habsburgo, y la hemo-

filia que empezo con la reina Victoria y se propago en sus descendientes de las familias reales de Espana y Rusia. Podemos

seguir la debilidad mental de los Jukeses y los Kallikaks. Se aprende en las clases de Biologıa del Instituto. Pero no se

pueden criar seres humanos como se crıan las moscas de la fruta. Los seres humanos viven demasiado. Se tardarıan siglos

en sacar conclusiones. Es una lastima que no tengamos una raza especial de hombres que se reproduzcan a intervalos

semanales, ¿no le parece? -Espero una respuesta, pero Blaustein solo sonrio. Ralson siguio hablando-: Solo que esto es

exactamente lo que serıamos para otro grupo de seres cuya duracion de vida fuera de mil anos. Para ellos nos reprodu-

cirıamos con bastante rapidez. Serıamos criaturas de vida breve y podrıan estudiar la genetica de tales cosas como la

aptitud musical, la inteligencia cientıfica y demas. No porque les interesaran esas cosas en sı, como tampoco nos interesan

a nosotros los ojos blancos de la mosca de la fruta.- Este es un razonamiento muy interesante -comento Blaustein.

- No es un simple razonamiento. Es cierto. Para mi es obvio y me tiene sin cuidado lo que usted opine. Mire a su

alrededor. Mire al planeta Tierra. ¿Que clase de animales ridıculos somos para ser los amos del mundo despues de que los

dinosaurios fracasaran? Claro que somos inteligentes, pero, ¿que es la inteligencia? Pensamos que es importante porque

la tenemos. Si los tiranosauros hubieran elegido la unica cualidad que creıan les iba a asegurar el dominio de las especies,

seguro que habrıa sido tamano y fuerza. Y lo hubieran hecho mejor. Duraron mas de lo que duraremos nosotros.

”La inteligencia en si misma no es gran cosa en cuanto a valores de supervivencia se refiere. El elefante no sale muy

bien parado comparado con el gorrion, aunque es mucho mas inteligente. El perro funciona bien bajo la proteccion del

hombre, pero no tan bien como la mosca contra la que se alzan todas las manos humanas. O tome a los primates como

grupo. Los pequenos se achican frente al enemigo; los grandes han sido siempre poco afortunados, defendiendose siempre

lo justo. Los mandriles son los mejores, pero es gracias a sus colmillos, no a su inteligencia.

- Una ligera capa de sudor cubrıa la frente de Ralson. Siguio-: Y uno puede ver que el hombre ha sido hecho a

medida, fabricado cuidadosamente en beneficio de las cosas que nos estudian. El primate tiene, generalmente la vida

corta. Naturalmente los mayores viven mas aunque eso es una regla general de la vida animal. No obstante el ser humano

tiene una duracion de vida dos veces mas larga que los grandes monos, considerablemente mas larga incluso que la del

gorila, que le dobla en peso. Nosotros maduramos mas tarde. Es como si se nos hubiera creado minuciosamente para que

vivieramos un poco mas de modo que nuestro ciclo de vida pudiera tener una longitud mas conveniente. -Se puso en pie

de un salto y sacudio los punos por encima de su cabeza-. Un millar de anos no es mas que ayer... IsaacAsimov.

Capıtulo 2

Propiedades secuenciales fuertereversibles de Whitney

2.1. Introduccion

Sean µ una funcion de Whitney para C (X), {tn}∞n=1 en d0, µ (X)) talque tn → 0. Trabajaremos con la siguiente cuestion: Dada una PropiedadTopologica P y si µ−1 (tn) tiene la propiedad P para toda n ∈ N, entonces¿X tiene P?.

Las propiedades en las que estamos interesados son las siguientes:- Localmente conexo- Ser un arco- No contener arcos- Ser un continuo por arcos- Atriodicidad- Ser un cırculo- No contener cırculos- Encadenabilidad por continuos- Tener puntos de corte- Hereditariamente indescomponible- Unicoherente- Propiedad de Kelley

Lo que a continuacion se pretende realizar es, un analisis de cada una delas propiedades listadas anteriormente. Determinando ası, cuales tienen, y

28

CAPITULO 2. PROPIEDADES SECUENCIALES FUERTE REVERSIBLES DE WHITNEY29

cuales no tienen la Propiedad Secuencial Fuerte Reversible de Whitney. Unavez de haber dado los conceptos y resultados necesarios para la comprensiondel material en la siguiente seccion, se continuara con secciones donde cadauna abarcara una Propiedad acompanada con su Teorema Principal.

Muchos autores han estudiado las Propiedades de Whitney y las Pro-piedades Reversibles de Whitney. En [4, Captulo VIII] hay una completadiscusion de lo que fue descubierto en 1999.


2.2. Conceptos y resultados auxiliares

Es necesario dar la siguiente definicion para una mejor comprension delas secciones siguientes.

Definicion 8 Sean X un continuo y P una propiedad topologica. Decimosque P es una Propiedad de Whitney siempre que, si X tiene la propiedadP, entonces µ−1(t) tiene la propiedad P para cada funcion de Whitney µ paraC (X) y para todo t ∈ [0, µ (X)) .

La prueba de los siguientes teoremas se encuentran en [6].

Teorema 11 [6, Teorema 14.6] La propiedad de ser un arco es una Propie-dad de Whitney.

Teorema 12 [6, Teorema 14.7] La propiedad de ser un cırculo es una Pro-piedad de Whitney.

Teorema 13 [6, Teorema 14.11] La propiedad de ser descomponible es unaPropiedad de Whitney.

Figura 2.1


Definicion 9 Sean X un continuo y P una propiedad topologica. Decimosque P es una Propiedad Secuencial Fuerte Reversible de Whitneysiempre que exista una funcion de Whitney µ para C (X) y una sucesion{tn}∞n=1 en (0, µ(X)) tal que tn → 0 cuando n → ∞ y µ−1(tn) tiene lapropiedad P para cada n, entonces X tiene la propiedad P . (vease la figura2.1, pagina siguiente)

Para un mejor manejo de la notacion a partir de este momento, se hara lasiguiente abreviacion: PSFRW significara propiedad secuencial fuerte rever-sible de Whitney.


2.3. Localmente conexo

El concepto de conexidad local se define en espacios topologicos, no senecesita que el espacio sea un espacio metrico.

Definicion 10 Sean X un espacio metrico y p ∈ X. Decimos que X eslocalmente conexo en p, si dado un subconjunto abierto U de X tal quep ∈ U , entonces existe un subconjunto abierto y conexo V de X tal que,p ∈ V y V ⊂ U.

Definicion 11 Un espacio metrico X es localmente conexo, si es local-mente conexo en cada punto

Definicion 12 Sea S un espacio metrico. Una componente de S es un sub-conjunto conexo maximal.

Notece que, si p ∈ S, el conjunto definido por

Cp =⋃{A ⊂ S | p ∈ A y A es conexo}

es la componente del punto p.Mas general, si Y ⊂ S la componente de Y en S, no referimos al conjunto

conexo maximal de S conteniendo a Y.

Lema 8 Un espacio metrico X es localmente conexo si y solo si las compo-nentes de cada conjunto abierto en X son tambien abiertas.

Demostracion. Supongamos que X es localmente conexo. Sean u un abiertoen X, C una componente de U y x ∈ C. Como X es localmente conexo, existeun abierto y conexo V ⊂ X tal que x ∈ V ⊂ U . Por la maximilidad de C,V ⊂ C. Por lo que C es abierto.

Ahora, supongamos que las componentes de cada conjunto abierto en Xson tambien abiertas. Si U ⊂ X es cualquier vecindad abierto que contienea x, entonces la componente de U que contiene a x es un abierto y conexoque contiene a x, que esta contenido en U. De esta manera X es localmenteconexo.

Lema 9 Un continuo Z es localmente conexo si y solo si, dado cualquierε > 0, Z puede ser escrito como la union finita de subcontinuos, cada unode diametro menor que ε.


Demostracion. Sea Z un continuo localmente conexo. Tenemos que probarque Z puede ser escrito como la union finita de subcontinuos, cada uno dediametro menor que ε. Para esto, sean z ∈ Z, ε > 0. Sea ε > 0. Paracada z ∈ Z, usando la metrizabilidad de Z, existe un abierto Uz tal quez ∈ Uz ⊆ClZ (Uz) ⊆ B ε

2.(z) . Ahora, usando la conexidad local de Z, por

cada z, existe un abierto y conexo Vz tal que z ∈ Uz ⊆ Uz.Sea U = {Vz | z ∈ Z} . Como U es una cubierta abierta de Z y Z

es compacto, existen z1, ..., zn ∈ Z tales que Z =n⋃

i=1

Vzi. Es claro que

Z =n⋃

i=1

ClZ (Vzi) . Por la compacidad de Z, cada ClZ (Vzi

) es compacto.

Ası que cada ClZ (Vzi) es un subcontinuo de Z. Por la eleccion de los abier-

tos Uz, se tiene que cada ClZ (Vzi) esta contenido en B ε

2(zi) . De donde

diam(ClZ (Vzi)) < ε para cada i ∈ {1, 2, .., n} .

Ahora, sean U un abierto en Z, C una componente de U y z ∈ C. Por elLema 8, basta demostrar que z ∈IntZ (C) . Sean ε > 0 tal que Bε (z) ⊂ U, y

M1, ...Mn subcontinuos de Z tales que Z =n⋃

i=1

Mi y diam(Mi) < ε2

para cada

i ∈ {1, 2, ...n}. Sean K =⋃{Mj | z ∈ Mj} . Entonces K es un subcontinuo

de Z. Demostraremos que z ∈IntZ (K) ⊆ C. Primero, probaremos que K ⊆Bε (z) . Sea a ∈ K. De donde, existe j ∈ {1, 2, ..., n} tal que a ∈ Mj y z ∈ Mj.Como diam(Mj) < ε

2, se sigue que d (a, z) ε

2. Ası que a ∈ Bε (z) . Por lo que

K ⊆ Bε (z) .Ahora bien, usando que C es una componente de U que contiene a z

y K es un conexo contenido en U que tambien contiene a z, se infiere queK ⊆ C. En el caso en que z ∈ Mj para cada j ∈ {1, 2, ...n} , tendriamos quez ∈IntZ (K) . Ası, supongamos que existe s ∈ {1, 2, ..., n} tal que z /∈ Ms.

Sea E =⋃{Ms | z /∈ Ms}. Entonces E es un cerrado que no contiene a z.

Sea δ > 0 tal que Bδ (z) ∩ E = ∅. De estoy de que Z =n⋃

i=1

Mi = K ∪ E, se

deduce que Bδ (z) ⊆ K. Concluimos que z ∈IntZ (K) ⊆ C. Esto demuestraque C es abierto.


2.3.1. Teorema principal

Teorema 14 La propiedad de ser localmente conexo es una PSFRW.

Demostracion. Supongamos que existen una funcion de Whitney µ paraC (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞ tales que µ−1 (tn)es localmente conexo para cada n ∈ N. Sea ε > 0. Por el Lema 4, existe δ > 0tal que, si

A ⊂ N (δ, B) y |µ (A)− µ (B)| < δ,

entonces H (A, B) < ε8. Como tn → 0, existe n ∈ N tal que tn < δ. Necesi-

tamos probar que, para cada A ∈ µ−1 (tn), diam(A) < ε2. Sea x ∈ A. Como

{x} ⊂ N (δ, A) y

|µ ({x})− µ (A)| = |µ (A)|= |tn|< δ,

obtenemos que

H ({x} , A) <ε

8.

Ahora, sean a, b ∈ A. Por lo anterior

H ({a} , A) <ε

8y

H ({b} , A) <ε

8.

De donde

H ({a} , {b}) <ε

4.

Por el Lema 2, tenemos que

H ({a} , {b}) = d (a, b) .

Obtenemos que

d (a, b) <ε

4.

Ası que ε4

es una cota superior para el conjunto {d (a, b) : a, b ∈ A} . Por loque

sup {d (a, b) : a, b ∈ A} ≤ ε

4.


Concluimos que

diam (A) <ε

2para cada A ∈ µ−1 (tn)

Como µ−1 (tn) es localmente conexo, por el Lema 9, existen un numero

finito de subcontinuos M1, ...,Mk de µ−1 (tn) tales que µ−1 (tn) =k⋃

i=1

Mi y

diam(Mi) < ε4

para toda i ∈ {1, ..., k}.Ahora, hagamos Gi =

⋃Mi para toda i ∈ {1, ..., k}. Por el Lema 3, Gi

es subcontinuo de X para toda i ∈ {1, ..., k}. Por el Lema 5,⋃

µ−1 (tn) = X

y dado que µ−1 (tn) =k⋃

i=1

Mi, tenemos

X =⋃(

k⋃i=1

Mi

)=

k⋃i=1

Gi.

Por ultimo, probaremos que diam(Gi) < ε. Sean g, h ∈ Gi. Por como estadefinido Gi, g ∈ A y h ∈ B para algunos A, B ∈ Mi. Como diam(Mi) < ε

4,

tenemos que H (A, B) < ε4. Entonces, por el Lema 1, A ⊂ N

(ε4, B). Sea

b ∈ B tal que d (g, b) < ε4. Dado que diam(B) < ε

2, d (h, b) < ε

2. Ası que

d (g, h) ≤ d (g, b) + d (b, h) < ε4

+ ε2

= 3ε2. Por lo que 3ε

2es una cota superior

para el conjunto {d (g, h) : g, h ∈ Gi} . Por consiguiente

sup {d (g, h) : g, h ∈ A} ≤ 3ε

4.

Concluimos que

diam (Gi) < ε para cada i ∈ {1, 2, ..., k}

De aquı que X es union de subcontinuos, cada uno de diametro menor queε. Por lo tanto X es localmente conexo.


2.4. Atriodicidad

Estar hablando de atriodicidad implica hablar de triodos, para esto, ne-cesitamos definir lo que es un triodo:

Definicion 13 Un continuo X es un triodo si existe un subcontinuo A deX tal que X\A es la union de tres conjuntos mutuamente separados y novacıos.

Definicion 14 Un continuo X es atriodico si no contiene triodos.

Lema 10 Sean X un continuo, A ∈ C (X), µ una funcion de Whitney yt0 ∈ [0, 1]. Entonces el conjunto

X (A, µ, t0) ={M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ A 6= ∅

}cumple con las siguientes condiciones:

1. Si µ (A) ≤ t0, entonces X (A, µ, t0) es degenerado o es un subcontinuode µ−1 (t0) conexo por arcos.

2. Si µ (A) > t0, entonces cada miembro de X (A, µ, t0) puede ser unidocon algun miembro de Λ = µ−1 (t0) ∩ C (A) por un arco contenido enX (A, µ, t0). En particular X (A, µ, t0) es un subcontinuo de µ−1 (t0)

Demostracion. Demostraremos que X (A, µ, t0) es cerrado en µ−1 (t0) . Sea{Mn}∞n=1 una sucesion de elementos de X (A, µ, t0) tal que Mn → M paraalgun M ∈ µ−1 (t0) . Veamos que M ∈ X (A, µ, t0) . Como Mn intersecta aA para toda n ∈ N, por el Teorema 4, tenemos M ∩ A 6= ∅. De aquı, M ∈X (A, µ, t0) . Esto demuestra que X (A, µ, t0) es cerrado.

Supongamos lo siguiente, µ (A) ≤ t0 y X (A, µ, t0) es no degenerado.Por el Lema 5, existe M0 ∈ µ−1 (t0) tal que A ⊂ M0. Claramente M0 ∈X (A, µ, t0) .

Sean M, N ∈ X (A, µ, t0) \ {M0} , con M 6= N y p ∈ M ∩ A. Como A ⊂M0, tenemos que p ∈ M ∩M0. Ahora, notese lo siguiente, M, M0 ∈ µ−1 (t0)y M 6= M0. Por el Teorema 10, existe un arco γ en µ−1 (t0) de M a M0, talque p ∈ L para todo L ∈ γ. Ası, como p ∈ A tenemos que γ ⊂ X (A, µ, t0) .Analogamente, para N ∈ X (A, µ, t0) \ {M0} , se obtiene un arco α en µ−1 (t0)de N a M0, con α ⊂ X (A, µ, t0) . Por el Lema 7, existe un arco β que une a


M con N totalmente contenido en γ∪β. Concluimos que X (A, µ, t0) es arcoconexo. En particular X (A, µ, t0) es conexo. De todo lo anterior, X (A, µ, t0)es un subcontinuo conexo por arcos.

Consideremos ahora µ (A) > t0.Notemos que Λ ⊆ X (A, µ, t0). Sea M1 ∈ (X (A, µ, t0) \Λ.) Entonces M1∩

A 6= ∅. Tomemos p ∈ M1 ∩ A. Dado que µ ({p}) ≤ t0, por el Lema 5, existeM2 ∈ C (A) tal que p ∈ M2 y M2 ∈ µ−1 (t0) . Notemos M2 ∈ Λ. Comop ∈ M1 ∩ M2, por el Teorema 10, existe un arco γ en µ−1 (t0) de M1 aM2, tal que p ∈ L para todo L ∈ γ. Ası, dado que p ∈ A tenemos queγ ⊂ X (A, µ, t0) . Esto demuestra que, cada elemento de (X (A, µ, t0) \Λ)puede ser unido con un elemento de Λ por un arco contenido en X (A, µ, t0) .

El conjuntoΛ = µ−1 (t0) ∩ C (A) ,

por el Lema 6, deducimos que Λ es un subcontinuo de µ−1 (t0) . Por lo queX (A, µ, t0) es conexo. Ası, dado que X (A, µ, t0) es cerrado, X (A, µ, t0) esun subcontinuo de µ−1 (t0) .

Lema 11 Sea X un continuo. Si N es un subcontinuo de X y X\N es launion de tres conjuntos abiertos, mutuamente ajenos y no vacios, S1, S2, S3,entonces cada N ∪ Si es un subcontinuo de X.

Demostracion. Primero, veamos que N ∪ Si es cerrado. Como X\N ∪Si =

⋃j 6=i

Sj y cada Sj es abierto, tenemos que X\N ∪ Si es abierto. Por lo

que N ∪ Si es cerrado.Para ver que N ∪Si es conexo, supongamos lo contrario. Entonces existen

dos cerrados, ajenos y no vacios M1, M2 de X tales que N ∪ Si = M1 ∪M2.Como N es conexo, se deduce que N ⊆ M1 o N ⊆ M2. Supongamos queN ⊆ M1. Entonces M2 ⊆ Si. Sea E1 = M1 ∪

⋃j 6=i

SJ . Notemos que E1 6=

∅. Demostraremos que ClX (E1) ∩ M2 = ∅ y ClX (M2) ∩ E1 = ∅. ComoClX (E1) = M1 ∪

⋃j 6=i

ClX (SJ) ,⋃j 6=i

ClX (SJ) ∩ Sj = ∅ y M2 ⊆ Si, se sigue que

ClX (E1) ∩M2 = ∅. Dado que ClX (M2) = M2 y E1 ⊆ClX (E1) , se obtiene

que ClX (M2) ∩ E1 = ∅. Ahora, debido a que X =3⋃

i=1

N ∪ Si, se obtiene que

X = E1 ∪M2. Concluimos que X no es conexo. Esto es una contradiccion.Por lo que N ∪Si es conexo. Esto demuestra qe N ∪Si es un subcontinuo deX.


Lema 12 Sea X un continuo y µ una funcion de Whitney para C (X) . SiX es un triodo, entonces existe un δ > 0 tal que µ−1 (t) es un triodo paracada 0 ≤ t ≤ δ.

Demostracion. Supongamos que X es un triodo. Entonces existe un sub-continuo N de X tal que X\N es la union de tres conjuntos S1, S2, S3 mu-tuamente ajenos y no vacıos. Sea Ai = Si ∪ N . Por el Lema 11, Ai es unsubcontinuo de X.

Por cada i ∈ {1, 2, 3} , sea xi ∈ Si. Por el Teorema 7, existen subcontinuosno degenerados E1, E2, E3 de X tales que xi ∈ Ei ⊆ Si para cada i ∈ {1, 2, 3} .Sea δ = mın {µ (Ei) | i ∈ {1, 2, 3}}. Como cada Ei es no degenerado, δ > 0.Notemos que cada Ei no intersecta a N .

Ası que µ (N) > δ > 0 y[µ−1 (δ) ∩ C (Ai)

]\X (N, µ, t0) 6= ∅.

Sea t0 tal que 0 ≤ t0 ≤ δ, hay que probar que µ−1 (t0) es un triodo.Defınase

Ui ={B ∈ µ−1 (t0) | B ⊂ Si

}para i ∈ {1, 2, 3} . Afirmamos que Ui 6= ∅ para toda i ∈ {1, 2, 3}.

Sea i ∈ {1, 2, 3}. Por el Teorema 8, existe un arco ordenado α de {xi} aEi contenido en C (X) . Por el Lema 5 existe r ∈ [0, 1] tal que µ (α (r)) = t0.Entonces como α (r) ⊆ Ei ⊆ Si, se sigue que α (r) ∈ Ui. De esto Ui 6= ∅.

Demostraremos que Ui es abierto. Notemos que

µ−1 (t0) \Ui ={B ∈ µ−1 (t0) | B * Si

}=

{B ∈ µ−1 (t0) | B ∩X\Si 6= ∅

}para cada i ∈ {1, 2, 3} . Sea i ∈ {1, 2, 3} . Probaremos que µ−1 (t0) \Ui escerrado en µ−1 (t0). Sea H =µ−1 (t0) \Ui y {Bn}∞n=1 una sucesion en H talque converge a un elemento B ∈ µ−1 (t0). Como Bn ∩ X\Si 6= ∅ para cadan ∈ N, podemos elegir an ∈ Bn ∩X\Si para cada n ∈ N. Por la compacidadde X\Si, existe una subsucesion {ank

}∞k=1 de {an}∞n=1 tal que ank→ a para

algun a ∈ X\Si. Tenemos que ank→ a y Bnk

→ B y ank∈ Bnk

para todok ∈ N. Ası que, por el Corolario 2, a ∈ B. Por lo que X\Si ∩B. Esto pruebaque B ∈ H y H es cerrado en µ−1 (t0). Concluimos que Ui es abierto.

Como Si∩N 6= ∅ para cada i ∈ {1, 2, 3} se sigue que Ui∩X (N, µ, t0) = ∅para todo i ∈ {1, 2, 3}. Ahora, Si ∩ Sj = ∅ con i 6= j, por consiguienteUi ∩ Uj = ∅.


Finalmente veamos que

µ−1 (t0) \X (N, µ, t0) =3⋃

i=1

Ui.

Sea E ∈ µ−1 (t0) \X (A, µ, t0) . Entonces E∩N = ∅. Ahora bien, debido a que

X = N ∪3⋃

i=1

Si y S1, S2, S3 son abiertos, mutuamente ajenos y E es conexo,

se obtiene que E ⊆ S1 o E ⊆ S2 o E ⊆ S3. De donde E ∈3⋃

i=1

Ui. De esto

µ−1 (t0) \X (N, µ, t0) ⊆3⋃

i=1

Ui.

entonces M ∈ Ui para algun i ∈ {1, 2, 3}, es decir M ∈ µ−1 (t0) con M ⊂ Si

para algun i ∈ {1, 2, 3}. Por lo que M ∈ µ−1 (t0) \X (A, µ, t0) .Como Ui ∩ X (N, µ, t0) = ∅ para cada i ∈ {1, 2, 3} , se concluye que

3⋃i=1

Ui ⊆ µ−1 (t0) \X (N, µ, t0) . Esto demuestra que

µ−1 (t0) \X (N, µ, t0) =3⋃

i=1

Ui.

Por lo tanto µ−1 (t0) es un triodo.


Teorema 15 La propiedad de ser atriodico es una PSFRW.

Demostracion. Sea {tn}∞n=1 una sucesion tal que tn → 0 cuando n → ∞y µ−1 (tn) es atriodico para toda n ∈ N. Supongamos que X contiene untriodo M . Dado que la restriccion de µ a C (M) es una funcion de Whitneypara C (M) por el Lema 6. Ahora, por el Lema 12, existe un δ > 0 tal que(µ|C(M)

)−1(tn) es un triodo para todo 0 ≤ tn ≤ δ. Es una contradiccion. Por

lo tanto X debe ser un atriodico.


2.5. Ser un arco

Definicion 15 Por un arco en un espacio topologico, entenderemos un ho-meomorfismo h de un intervalo cerrado y no degenerado [a, b] sobre un sub-conjunto del espacio topologico.


Teorema 16 La propiedad de ser un arco es una PSFRW.

Demostracion. Sea {tn}∞n=1 una sucesion tal que tn → 0 cuando n →∞ yµ−1 (tn) es un arco para toda n ∈ N. Por el Teorema 14, X es un continuolocalmente conexo y por el Teorema 15 es atriodico. Por lo tanto X es un arcoo un cırculo. Supongamos que X es un cırculo, entonces µ−1 (tn) es un cırculopara toda n ∈ N, porque la propiedad de ser un cırculo es una Propiedadde Whitney (ver Teorema 12), esto es una contradiccion. Por lo que X tieneque ser un arco.

2.6. No contener arcos


Teorema 17 La propiedad de no contener un arco es una PSFRW.

Demostracion. Supongamos que X es un continuo tal que contiene un arcoA. Sean µ una funcion de Whitney para C (X), {tn}∞n=1 una sucesion tal quetn → 0 cuando n →∞ y µ−1 (tn) no contiene un arco para toda n ∈ N. Porel Lema 6 la restriccion de µ a C (A) es una funcion de Whitney para C (A) ,lo cual implica que µ−1 (tn) contiene un arco para alguna n ∈ N. Esto noslleva a una contradiccion. Por lo que X no contiene arcos.


2.7. Continuo por arcos

Definicion 16 Un continuo X es un arco continuo, si cada uno de sussubcontinuos propios no degenerados es un arco.


Teorema 18 La propiedad de ser un arco continuo es una PSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo. Supongamos que hay una funcion deWhitney µ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞y µ−1 (tn) es un arco continuo para toda n ∈ N.

Sea A un subcontinuo propio y no degenerado de X. Entonces, dadoque X\A es un abierto no vacıo, por el Teorema 7, existe un subcontinuono degenerado B de X tal que B ⊆ X\A = ∅. Sea N > 0 tal que tn <mın {µ (A) , µ (B)} para cada n ≥ N . Para cada n ≥ N, por el Lema 6,(µ|C(A)

)−1(tn) es un subcontinuo no degenerado de µ−1 (tn) .

Sea n ≥ N. Dado que µ (B) > tn, por el Lema 6, existe un Cn ⊂ B talque µ (Cn) = tn. Por lo que

Cn ∈ µ−1 (tn) \(µ|C(A)

)−1(tn) .

Ası que(µ|C(A)

)−1(tn) es un subcontinuo propio de µ−1 (tn) para cada

n ≥ N.Como µ−1 (tn) es un arco continuo,

(µ|C(A)

)−1(tn) es un arco para cada

n ≥ N. Usando el Teorema 16, concluimos que A es un arco.

2.8. Ser un cırculo


Teorema 19 La propiedad de ser un cırculo es una PSFRW.

Demostracion. Por el Teorema 14, X es un continuo localmente conexoy por el Teorema 15 es atriodico. Por lo tanto X es un arco o un cırculo.Supongamos que X es un arco, entonces µ−1 (tn) es un arco para algunan ∈ N por que la propiedad de ser un arco es una Propiedad de Whitney (verTeorema 11), pero no puede ser, ya que todos los µ−1 (tn) son cırculos paratoda n ∈ N, por lo que X tiene que ser un cırculo.


2.9. No contener cırculos


Teorema 20 La propiedad de no contener un cırculo es una PSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo, supongamos que hay una funcion deWhitney µ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞y µ−1 (tn) no contiene un cırculo para toda n ∈ N. Supongamos que Xcontiene un cırculo A. Como la restriccion de µ a C (A) es una funcion deWhitney para C (A) , y la propiedad de ser un cırculo es una Propiedad de

Whitney,(µ|C(A)

)−1(tn) es un cırculo. Por lo que µ−1 (tn) contiene un cırculo

para toda n ∈ N. Esto nos lleva a una contradiccion.


2.10. Tener puntos de corte

Hasta ahora, se han descrito Propiedades Topologicas que tienen la Pro-piedad Secuencial Fuerte Reversible de Whitney. En esta seccion sec-cion se presentara un ejemplo de un continuo, que no cumple con las con-diciones necesarias para que la Propiedad de tener puntos de corte sea unaPSFRW. Pero antes, necesitamos dar el siguiente concepto:

Definicion 17 Un punto p en un continuo X es un punto de corte siX − {p} es disconexo.

Ahora que sabemos que es un punto de corte, continuemos con dar elejemplo.

Ejemplo 1 La propiedad de tener un punto de corte no es una PSFRW.Defınase

C = [−1, 0]× [−1, 1] ,

Z0 = ({0} × [−1, 1]) ∪{

(x, y) ∈ R2| 0 < x ≤ 1,

∣∣∣∣sen(1

x

)− y

∣∣∣∣ < x

4

}.

Para cada n, sea

Zn =

{(0,

3

2n+1

)+( x

2n−1,

y

2n+2

)| (x, y) ∈ Z0

}.

Finalmente, defınase

X = C ∪(⋃

{Zn | n ≥ 1})

.

Para empezar, hay que aclarar como se estan comportando cada uno delos conjuntos definidos anteriormente. Dado que la representacion de C esclara. Comencemos con el conjunto Z0 esta constituido por la union de dosconjuntos de los cuales el primero que es

({0} × [−1, 1]) ,

no requiere mucha explicacion. Sin embargo, el segundo conjunto{(x, y) ∈ R2| 0 < x ≤ 1,

∣∣∣∣sen(1

x

)− y

∣∣∣∣ < x

4

},


es un poco mas coplicado.Analicemos las siguientes desigualdades que se obtienen a partir de

∣∣sen ( 1x

)− y∣∣ <

x4

:

−x

4< sen

(1

x

)− y <

x

4

y

−x

4< y − sen

(1

x

)<

x

4.

De aquı que

sen

(1

x

)− x

4< y < sen

(1

x

)+

x

4,

con x ∈ (0, 1] . Con ayuda de la computadora podemos apreciar mejor lasfunciones que acotan a y, las siguientes figuras podemos visializar tales fun-ciones:

sen(

1x

)+ x

4


sen(

1x

)− x

4

Continuemos ahora con los cojuntos Zn. Un elemento de Zn, es de lasiguiente forma (

0,3

2n+1

)+( x

2n−1,

y

2n+2

)con x, y ∈ Z0.

Haciendo las operaciones correspondientes, obtenemos(x

2n−1,

y

2n+2+

3

2n+1

)con x, y ∈ Z0.

En el caso en que x, y ∈ ({0} × [−1, 1]) es claro, veamos que pasa cuandox, y ∈

{(x, y) ∈ R2| 0 < x ≤ 1,

∣∣sen ( 1x

)− y∣∣ < x

4

}.

La segunda entrada es la que mas nos interesa, es decir

y

2n+2+

3

2n+1.

Lo que sucede aquı, es un cambio de coordenadas, el cual se puede apreciarmejor con las figuras siguientes:


n = 1

n = 1

Lo que se muestra en las dos figuras anteriores, es el acotamiento porarriba y por abajo del conjunto de puntos que constituyen a Z1


n = 2

n = 2

Las dos anteriores son el acotamiento para Z1.


n = 3

n = 3

Para Z3.


n = 4

n = 4

Estas dos ultimas para Z4.Despues de haber aclarado el comportamiento de los conjuntos definidos

anteriormente, se puede hacer una imagen mas estilizada del continuo X, esdecir:


Sea µ una funcion de Whitney para C (X). Para cada n ∈ N, sean

An = {0} ×[

3

2n+1− 1

2n+2,

3

2n+1+

1

2n+2

]⊂ Zn

y tn = µ (An), An = µ−1 (tn) . Entonces tn > 0 y tn → 0 ya que An →{0} × (0, 0) .

Nosotros probaremos que An es un punto de corte de An. Primero veamosla siguiente afirmacion:

Afirmacion 1 Si cada B subcontinuo de X intersecta a Zn\An y X\Zn,entonces An ⊂ B.

Demostracion. Para probar esto, sea B un subcontinuo de X intersectaa Zn\An y X\Zn. Sea x ∈ An. Como An ⊂ Zn, se sigue que

x /∈ Zn\An.

Dado que B ∩ Zn\An ⊂ Zn\An,

x /∈ B ∩ Zn\An.

Luego, x ∈ X\B ∪ Zn, ya que (B ∩ Zn\An)c = X\B ∪ Zn. Esto implica quex ∈ B ∩ Zn. Y por tanto x ∈ B. Con lo cual se concluye que An ⊂ B.


De la Afirmacion anterior tenemos que B = An o B /∈ An.Esto implica que

An = {B ∈ An | B ⊂ Zn} ∪{

B ∈ An | B ⊂ C ∪(⋃

{Zm | n 6= m})}

.

Sea {Bi}i∈N una sucesion contenida en {B ∈ An | B ⊂ Zn}. Supongamosque Bi → B. Como Bi ⊂ Zn, tenemos que B ⊂ Zn, esto por el Teorema 4.Ahora, sea {Bi}i∈N una sucesion contenida en{

B ∈ An | B ⊂ C ∪(⋃

{Zm | n 6= m})}

Supongamos que Bi → B. Como

Bi ⊂ C ∪(⋃

{Zm | n 6= m})

,

de igual manera, por el Teorema 4, tenemos que

B ⊂ C ∪(⋃

{Zm | n 6= m})

.

Ası que su unico elemento en comun es An. Por lo que, An es un punto decorte de An.

Por lo tanto, cada An tiene puntos de corte mientras que X no los tiene.De esta manera, la propiedad de tener puntos de corte no es una PSFRW.


2.11. Hereditariamente indescomponible

En primer instancia, consideremos las siguientes definiciones.

Definicion 18 Un continuo es descomponible si es la union de dos sub-continuos propios.

Con la siguiente definicion estaremos trabajando durante la siguiente sec-cion.

Definicion 19 Un continuo X que no es descomponible, se dice ser indes-componible.

Definicion 20 Un continuo X es hereditariamente indescomponible,si todos sus subcontinuos no degenerados son indescomponibles.


Teorema 21 La propiedad de ser hereditariamente indescomponible es unaPSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo. Supongamos que hay una funcion deWhitney µ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞y µ−1 (tn) es hereditariamente indescomponible para toda n ∈ N. Suponga-mos que X contiene un subcontinuo no degenerado descomponible A. Por elLema 6, la restriccion de µ a C (A) es una funcion de Whitney para C (A) .Por el Teorema 13, la propiedad de ser descomponible es una Propiedad de

Whitney el conjunto(µ|C(A)

)−1(tn) es descomponible para alguna n ∈ N.

Esto nos lleva a una contradiccion.


2.12. Encadenabilidad por continuos

Definicion 21 Un continuo X es encadenable por continuos, si paracada ε > 0 y cada par de puntos distintos p, q ∈ X, existe una sucesion finitade subcontinuos {A1, ..., An} de X tal que:

1. diam(Ai) < ε,

2. p ∈ A1, q ∈ An y

3. Ai ∩ Ai+1 6= ∅ para toda i < n.


Teorema 22 La propiedad de ser encadenable por continuos es una PSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo, supongamos que hay una funcion deWhitney µ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞y µ−1 (tn) es encadenable por continuos para toda n ∈ N. Sean p 6= q ∈ Xy ε > 0. Entonces, por el Lema 4, existe η > 0 tal que si A, B ∈ C (X) sontales que A ⊆ B y |µ (B)− µ (A)| < η, entonces H (A, B) < ε

4.

Necesitamos probar que existen A, B ∈ C (X) tales que p ∈ A, q ∈ B yA 6= B. Como p 6= q, existe δ > 0 tal que Bδ (p)∩Bδ (q) = ∅. Por el Teorema7, existen A, B ∈ C (X) tales que {p} ⊂ A ⊆ Bδ (p) y {q} ⊂ B ⊆ Bδ (q) .Notemos que A 6= B.

Tomemos n ∈ N tal que

tn< mın {µ (A) , µ (B) , η} .

Hagamos A = µ−1 (tn) . Por el Teorema 7, existen E, F ∈ A tales quep ∈ E ⊆ A y q ∈ F ⊆ B. Observemos que E 6= F.

Como A es encadenable por continuos, existe una sucesion finita de sub-continuos {A1, ...,Ak} de A tal que E ∈ A1 y F ∈ An, diam(Ai) < ε

4y

Ai ∩ Ai+1 6= ∅ para toda i < n. Para i ≤ n defınase el conjunto

Ai =⋃Ai.

Por el Lema 3, Ai ∈ C (X) . Notese que p ∈ E ⊂ A1 y q ∈ B ⊂ Ak. SiD ∈ Ai ∩ Ai+1, tenemos que

D ⊂ Ai ∩ Ai+1.


De donde Ai ∩ Ai+1 6= ∅.Ahora, probaremos que diam(Ai) < ε.Tomemos un z, w ∈ Ai. Entonces existe un M1, M2 ∈ Ai tales que z ∈ M1

y w ∈ M2. Debido a que

{z} ⊆ M1, {w} ⊆ M2,

|µ ({z})− µ (M1)| = µ (M1) = tn < η,

|µ ({w})− µ (M2)| = µ (M2) = tn < η,

se tiene que H ({z} , M1) < ε4

y H ({w} , M2) < ε4. Ahora bien, debido a que

H (M1, M2) < ε4, se infiere que

H ({z} , {w}) ≤ H ({z} , M1)+H (M1, M2)+H (M2, {w}) <ε

4+

ε

4+

ε

4=

3ε

4< ε.

Por el Lema 2, H ({z} , {w}) = d (z, w) . Por lo que d (z, w) < ε. Estoprueba que diam(Ai) < ε. Concluimos que X es encadenable por continuos.


2.13. Unicoherencia

Definicion 22 Un continuo X es unicoherente si siempre que A, B ∈C (X) \ {X} son tales que A ∪B = X, entonces A ∩B es conexo.


Teorema 23 La propiedad de ser unicoherente es una PSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo. Consideremos una funcion de Whitneyµ para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal que tn → 0 cuando n →∞ y µ−1 (tn)es unicoherente para toda n ∈ N.

Supongamos que X no es unicoherente. Entonces existen subcontinuos Ay B de X tales que X = A ∪B y A ∩B no es conexo.

Sean K y L conjuntos cerrados, ajenos y no vacıos tales que A∩B = K∪L.Veamos que existe un numero j ∈ N tal que

{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩K 6= ∅

}∩{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ L 6= ∅

}= ∅.

Supongamos que, para cada j ∈ N, sucede que{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩K 6= ∅

}∩{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ L 6= ∅

}6= ∅.

Tomemos

Mj ∈{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩K 6= ∅

}∩{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ L 6= ∅

}6= ∅

para cada j ∈ N. Como C (X) es un compacto, la sucesion {Mj}j∈N tiene unasubsucesion {Mjk

}k∈N que converge a algun elemento M ∈ C (X) . Ademas,por la continuidad de µ, obtenemos que

µ (Mjk) → µ (M) .

Sabiendo que

µ (Mjk) = tjk

para cada k ∈ N y tjk→ 0,

se tiene lo siguienteµ (M) = 0.


De esta manera M = {x} para algun x ∈ X.Como

Mjk∩K 6= ∅ 6= Mjk

∩ L

para cada j ∈ N, por el Teorema 4 tenemos que

M ∩K 6= ∅ 6= M ∩ L,

lo cual implica{x} ∩K 6= ∅ 6= {x} ∩ L.

Esto contradice el hecho de que K y L sean ajenos. Por lo que existe j ∈ Ntal que{

M ∈ µ−1 (t0) | M ∩K 6= ∅}∩{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ L 6= ∅

}= ∅.

SeanH1 =

{M ∈ µ−1 (t0) | M ∩K 6= ∅

}y

H2 ={M ∈ µ−1 (t0) | M ∩ L 6= ∅

}.

Probaremos que:

1. µ−1 (tj) = X (A, µ, t)⋃

X (B, µ, t) .

2. X (A, µ, t)⋂

X (B, µ, t) = H1

⋃H2.

3. H1 y H2 son no vacıos.

4. H1 y H2 son cerrados.

Para 1, sea E ∈ µ−1 (tj) . Dado que⋃

µ−1 (tj) = X (ver Lema 6) yX = A ∪ B, se deduce que E ∩ A 6= ∅ o E ∩ B 6= ∅. Por consiguiente E ∈X (A, µ, t)

⋃X (B, µ, t) . Ahora, como X (A, µ, t)

⋃X (B, µ, t) ⊆ µ−1 (tj) , se

deduce que µ−1 (tj) = X (A, µ, t)⋃

X (B, µ, t) .Para 2, necesitamos probar que

X (A, µ, tj) ∩X (B, µ, tj) ={M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}Sea M ∈ X (A, µ, tj) ∩X (B, µ, tj) . Entonces

M ∩ A 6= ∅ 6= M ∩B.


Supongamos que M ∩ (A ∩B) = ∅. Notese que X\ (A ∩B) = X\A ∪X\B.Como A, B son cerrados, X\A y X\B son abiertos. Ahora, dado que X =A∪B, se tiene que X\A = B\A y X\B = A\B. Por lo que X\A∩X\B 6= ∅.Debido a que A y B son subconjuntos propios de X, X\A 6= ∅ 6= X\B.Concluimos que X\A y X\B son una separacion de X\ (A ∩B) . Usando loanterior, que M ⊆ X\ (A ∩B) y que M es conexo, obtenemos que M ⊆ X\Ao M ⊆ X\B. Por lo que M ∩A = ∅ o M ∩A = ∅. Esto es una contradiccion.

Esto demuestra que M ∩ (A ∩B) 6= ∅ y

M ∈{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ [A ∩B] 6= ∅

}.

Por consiguiente

X (A, µ, tj)⋂

X (B, µ, tj) ⊆{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}Ahora, sea M ∈ {M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅}. Debemos probar que

M ∩ A 6= ∅ y M ∩ B 6= ∅. Sin perdida de generalidad, supongamos queM ∩ A = ∅. Como

M ∩ (A ∩B) 6= ∅(M ∩ A) ∩B 6= ∅

∅ ∩B 6= ∅∅ 6= ∅

Lo cual es una contradiccion. De esta manera

M ∈{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}.

Obteniendo{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}⊆ X (A, µ, tj)

⋂X (B, µ, tj)

Por lo que

X (A, µ, tj)⋂

X (B, µ, tj) ={M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}.

Ahora, como{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}={M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (K ∪ L) 6= ∅

},


se deduce que{M ∈ µ−1 (tj) | M ∩ (A ∩B) 6= ∅

}= H1

⋃H2.

Ası, obtenemos

X (A, µ, t)⋂

X (B, µ, t) = H1

⋃H2.

Para 3. Como K 6= ∅, sea k ∈ K ⊂ X. Dado que {k} ⊂ K ⊂ X, por elTeorema 8, existe un arco ordenado α de {k} a X. De aquı, existe un s ∈ [0, 1]tal que µ (α (s)) = tj (ver Lema 5). Lo cual implica que α (s) ∈ µ−1 (tj) .Como {k} ⊂ α (s) , tenemos que α (s) ∈ H1. De esta manera obtenemos queH1 6= ∅. Con un procedimiento analogo se tiene que H2 6= ∅.

Para probar 4, solo veremos que H1 es cerrado en µ−1 (tj) , ya que laprueba para H2 es similar. Sea {Ai}i∈N una sucesion contenida en H1 tal queAi → A. Como Ai ∩K 6= ∅ para todo i ∈ N, por el Teorema 4, A ∩K 6= ∅.De esta manera A ∈ H1. Por lo que H1 es cerrado.

Dado que H1

⋂H2 = ∅, de las condiciones 2,3, y 4, deducimos que

X (A, µ, t)⋂

X (B, µ, t) no es conexo. Ası que X (A, µ, t) * X (B, µ, t) . yX (B, µ, t) * X (A, µ, t) . Con todo lo anterior hemos demostrado que µ−1 (tj)es la union de dos subcontinuos propios cuya interseccion no es conexa. Porlo tanto µ−1 (tj) no es unicoherente.


2.14. Propiedad de Kelley

Definicion 23 Sea X un continuo y d la metrica para X. Decimos que Xtienen la Propiedad de Kelley (o propiedad (k)) tal que, para cada ε > 0existe δ > 0 que satisface la siguiente condicion:

Si p, q ∈ X son tales que d (p, q) < δ y si A ∈ C (X) es tal que p ∈ A,entonces existe B ∈ C (X) tal que q ∈ B y H (A, B) < ε.

Una observacion que se puede verificar facilmente es la siguiente:Un continuo X tiene la Propiedad de Kelley si, y solo si, para todo p ∈ X

y ε > 0 existe δ > 0 con la propiedad de que si A ∈ C (X) , p ∈ A yq ∈ B (δ, p) , entonces existe B ∈ C (X) tal que q ∈ B y H (A, B) < ε.


Teorema 24 La propiedad de Kelley es una PSFRW.

Demostracion. Sea X un continuo y d la metrica para X. Supongamos queexiste µ una funcion de Whitney para C (X) y una sucesion {tn}∞n=1 tal quetn → 0 y µ−1 (tn) tiene la Propiedad de Kelley para cada n ∈ N. Supongamosque X no tiene la Propiedad de Kelley.

Por la observacion anterior, hay un punto p ∈ X y ε > 0 tal que, paracada natural m ≥ 1 hay un punto qm ∈ X y un subconjunto Am de X conla propiedad de que d (p, qm) < 1

m, p ∈ Am, entonces para cada B ∈ C (X)

tal que qm ∈ B, se tiene H (Am, B) ≥ ε.Sea η > 0 tal que: si A, B ∈ C (X) , A ⊆ B y |µ (A)− µ (B)| < η,

entonces H (A, B) < ε6

(ver Lema 4. Sea N ∈ N tal que tN < η. HagamosAN = µ−1 (tN) . Dado que

⋃AN = X (ver Lema 6), para cada m ≥ 1, existe

Dm ∈ AN tal que qm ∈ Dm. Por la compacidad de C (X) y de AN , podemossuponer que Am → A y Dm → D con A ∈ C (X) y D ∈ AN respectivamente.Como qm ∈ Dm para cada m ∈ N y qm → p, por el Corolario 2, sededuce quep ∈ D. Usando el Corolario 2 y que p ∈ Am ∩D por cada m ∈ N, obtenemosque p ∈ A ∩D. Por lo que A ∪D es un subcontinuo de X.

Necesitamos demostrar que

H (A, A ∪D) <ε

3.

Es claro que A ⊆ N(

ε3, A ∩D

), para probar la otra contencion, sea z ∈ D.

Debido a que{z} ⊆ D, {p} ⊆ D,


|µ ({z})− µ (D)| = |µ ({p})− µ (D)| = µ (D) = tN < η,

se concluye que

H ({z} , D) <ε

6y H ({p} , D) <

ε

6.

Por consiguiente

H ({z} , {p}) <2ε

6=

ε

3.

Por el Lema 2, se obtiene que d (z, p) < ε3. Esto prueba que z ∈ N

(ε3, A)

y

A ∪D ⊂ N(ε

3, A)

.

Concluimos que H (A, A ∪D) < ε3.

Dado que AN tiene la propiedad de Kelley para D, existe δ > 0 talque si: E ∈ AN , H (D, E) < δ y D ∈ A, con A ∈C (AN). Entonces existeB ∈ C (AN) tal que E ∈ B y H2 (A,B) < ε

3.

Definamos el siguiente conjunto

A =(µ|C(A∪D)

)−1(tN) .

Entonces A es un subcontinuo de AN y D ∈ A. Ahora, elijamos M ∈ N talque

H (AM , A) <ε

3y H (DN , D) < δ.

De esta manera, existe B ∈C (AN) tal que DM ∈ B y H2 (A,B) < ε3.

Por ultimo, sea

B0 =⋃{B | B ∈ B} .

Por el Lema 3, B0 es un subcontinuo de X. Observemos que qM ∈ B0. Dadoque

A ∪D =⋃A (ver Lema 6),

por el Lema 3, tenemos que

H (A ∪D, B0) ≤ H2 (A,B) <ε

3.

De lo anterior:

H (AM , A) + H (A, A ∪D) + H (A ∪D, B0) <ε

3+

ε

3+

ε

3= ε,

Por la desigualdad del triangulo, obtenemos que H (AM , B0) < ε. Lo cual esuna contradiccion.

Bibliografıa

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propiedades fuerte secuenciales de whitney

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