propiedades del axioma del supremo
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El principio de intervalos encajados
El principio de intervalos cerrados encajados de Cantor es otra expresión de la completitud del cuerpo de los números reales. Un sistema de intervalos encajados es cualquier familia de
intervalos con la propiedad de que para cada se tiene o bien
Teorema (Principio de intervalos encajados)
Si es un sistema de intervalos cerrados encajados entonces
Si además se cumple que para cada existe tal que entonces la intersección se reduce a un único punto.
Demostración. Sea donde para cada y sean
Está claro que . Como los intervalos están encajados, se tiene la desigualdad para cada y de aquí se deduce que está acotado superiormente y está acotado inferiormente. Ahora se sigue del axioma
del supremo que existen Es fácil comprobar que entonces
Y que bajo la hipótesis adicional se tiene
Como ilustración del principio de intervalos encajados en acción tenemos una demostración alternativa del teorema de Bolzano acerca de la existencia de ceros para una función continua en un intervalo.
Teorema de Bolzano
Si es una función continua tal que entonces existe
tal que
Demostración. Tomamos el punto medio del intervalo Si
entonces hemos concluido. Si entonces elegimos , y si
entonces elegimos de modo que y
Ahora tomamos el punto medio del intervalo Si entonces
hemos concluido. Si entonces elegimos , y si entonces
elegimos de modo que y
Continuando este proceso se obtiene una familia de intervalos cerrados encajados
tales que y Según el principio de intervalos encajados, existe algún número real
Afirmamos que Supongamos lo contrario, digamos Como es continua
en , existe tal que para cada Sea tal que
Tenemos luego lo cual es absurdo.
Cuando se razona de forma análoga.
La propiedad arquimediana
El axioma del supremo asegura que cualquier conjunto de números reales no vacío y acotado superiormente tiene cota superior mínima. La propiedad arquimediana de la suma es una importante consecuencia de este axioma.
Proposición. Si son números reales con entonces existe un número natural tal que
Demostración. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos por un momento que para cualquier número natural se tiene la desigualdad . Consideremos el conjunto
Tenemos , de modo que . Además, está acotado superiormente porque es una cota superior de . Ahora se sigue del axioma del supremo que
existe . Observemos que , de manera que . Esto es una contradicción porque así no es cota superior de .