projet de fin d'étude: etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et...

8/19/2019 Projet de fin d'étude: Etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et en temps réel

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République Tunisienne

Ministère de l’Enseignement Supérieur,

et de la Recherche Scientifique

ENIG

Université de Gabès

École Nationale d’Ingénieurs de Gabès

Département de Génie Electrique-Automatique

A.U: 2011-2012

Projet de fin d’étudesPr ́esent ́e à

l’École Nationale d’Ingénieurs de Gabès

(Département de Génie Électrique - Automatique)

R ́ealisé par

Ahmed Zaidi

Fayrouz Bakhira

ETUDE DE L’IDENTIFICATION EN BOUCLE

FERMÉE : APPLICATIONS EN SIMULATION ET EN

TEMPS RÉEL

Soutenu le 21 Juin 2012, devant le Jury :

Pr ´ esident : M. Slaheddine Najar

Membre : M. Anis Messaoud

Encadreur : M. Messaoud Amairi


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”Le succès n’est pas final, l’échec n’est pas fatal c’est le

courage de continuer qui compte ...”

Winston Churchill


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À

DIEU tout puisant mon créateur

À

ma mère,

ma raison d’être,

ma raison de vivre,

la lanterne qui éclaire mon chemin,

la voie qui a me murmurer les bons conseils...

À

mes amis et à tous mes proches...

Fayrouz

ii


4/85

À

ma chère mère,

À

mon cher père,

À

mes soeurs et à mes frères,

À

tous ceux qui comptent pour moi,

À

tous ceux pour qui je compte.

Ahmed

iii


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Remerciements

La réalisation de ce travail n’aurait pu être possible sans la bien veillante collaboration des efforts des différents intervenants. Qui croient et participent à son succès .

Au terme de ce projet, nous sommes heureux de pouvoir exprimer nos sincères gratitudes

envers les personnes qu’ils ont eu l’honneur de nous aider. Les mots ci-dessous ne peuvent

en aucun cas être suffisants à témoigner notre respect.

Nous tenons à remercier en premier temps Monsieur AMAIRI Messaoud, Mâıtre As-

sistant à l’ ́ Ecole Nationale d’Ingénieurs de Gabès (ENIG) pour son aide précieuse, pour la

confiance qu’il nous a accordé pour le temps qu’il nous consacŕe et qui nous a permis de

mener à terme ce travail et l’encouragement qu’il nous a offert durant l’élaboration de ce

projet.

Nous tenons à remercier également Madame CHETOUI Manel, Assistante à l’ENIG pour ses conseils nécessaires pour achever ce travail, pour sa disponibilit́e, ses aides, son soutien

et son encouragement continu et sa gentillesse.

Nous tenons à exprimer nos vives gratitudes à Monsieur NAJAR Slaheddine, Mâıtre As-

sistant à l’ENIG, qui nous a fait l’honneur de présider le jury .

Il est particulièrement agréable d’exprimer nos reconnaissances au membre de jury Mon-

sieur MESSAOUD Anis, Mâıtre Assistant à l’ENIG d’avoir accepter de juger ce travail .

Enfin nous remercions tous ceux qui ont apporté leurs aides, de prés ou de loin à la

réalisation de ce travail .

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Table des matières

Liste des figures viii

Liste des tableaux xi

Introduction générale 1

Chapitre I Généralités sur l’identification des systèmes linéaires 3

I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Modélisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.2 Modèles de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3 Modèles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.1 Modèles non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.2 Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.3 Procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.4 Position du problème et solutions envisageables . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.5 Principe et approches de l’identification en boucle fermée . . . . . . . . . . . 11

I.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.5.2 Identification et Identifiabilité en boucle fermée . . . . . . . . . . . . 11

I.5.3 Choix du signal d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.4 Approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.5 Approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.5.6 Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Chapitre II Identification des systèmes en boucle fermée 15

II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.2 Méthodes d’identification baśees sur l’erreur d’́equation . . . . . . . . . . . . 16

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II.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.2.2 Méthode des Moindres Carŕes Ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . . 17

II.2.3 Méthode des Moindres Carrés Récursifs (MCR) . . . . . . . . . . . . 18II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Retardées (VIOR) 19

II.2.5 Validation des estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction . . . . . . . . . . . 20

II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.5.3 Validation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6.1 Mise en équation et commande . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . . . 24

II.2.6.3 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . . . 27

II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . 33

II.3.1 Principe et procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.3.2 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.3.2.1 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . . . 39

II.3.2.2 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . . . 41

II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Chapitre III Applications en temps réel de l’identification en boucle fer-

mée 44

III . 1 Introducti on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III.2 Identification en boucle fermée d’un moteur à courant continu . . . . . . . . 46

III.2.1 Descriptif et modélisation du procédé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III.2.2 Essais d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III.2.2.1 Cas déterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

III.2.2.2 Cas stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.3 Identification en temps réel d’un système instable en boucle ouverte . . . . . 51

III.3.1 Description du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.3.2 Essais d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III.4 Implémentation d’un algorithme d’identification en boucle fermée sur un mi-

crocontrôleur PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.4.1 Le microcontrôleur PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.4.1.1 Choix de la famille PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.4.1.2 Choix de PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.4.1.3 Convertisseur Analogique Numérique . . . . . . . . . . . . . 59

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III.4.2 Conception de la carte d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III.4.2.1 Alimentation stabilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

III.4.2.2 Conversion Numérique Analogique . . . . . . . . . . . . . . 61III.4.2.3 Liaison série RS232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.4.2.4 Affichage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.4.3 Programmation de PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.4.4 Identification en temps réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Conclusion générale 67

Annexe A 69

Bibliographie 70

vii


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Liste des figures

I.1 Modèle OE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2 Modèle ARX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.3 Modèle ARMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.4 Modèle ARIMAX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.5 L’organigramme de la procédure d’identification. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.6 Sch́ema de principe de l’erreur d’́equation en boucle ouverte . . . . . . . . . . 9

I.7 Schéma de principe de l’erreur de sortie en boucle ouverte . . . . . . . . . . . 10

I.8 Commande numérique d’un syst̀eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.9 Sch́ema de principe de l’approche directe en boucle fermée . . . . . . . . . . 13

I.10 Sch́ema de principe de l’approche indirecte en boucle fermée. . . . . . . . . . 14

II.1 Principe des méthodes d’identification en boucle fermée basées sur l’erreur d’équation. 17

II.2 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle ouverte. . . . . . . . . . 22

II.3 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée sans correction. . 22

II.4 Commande RST du système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.5 Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée avec correction. . 23

II.6 Commande du système de second ordre en boucle fermée avec correction. . . . . . 24

II.7 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCO) : système de second ordre. . 25

II.8 Validation par test de blancheur dans le cas déterministe (MCO) : système de second

ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.9 Evolution des paramètres estimés dans le cas déterministe (MCR) : système de

second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.10 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre. . 26

II.11 Validation par test de blancheur dans le cas déterministe (MCR) : système de second

ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.12 Erreur de prédiction dans le cas stochastique (MCO) : système de second ordre. . 28

II.13 Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCO) : système de second

ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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Liste des figures

II.14 Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (MCR) : système de

second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II.15 Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre. . 29II.16 Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCR) : système de second

ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.17 Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (VIOR) : système de

second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

II.18 Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-

mateur MCO : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


mateur MCR : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


mateur VIOR : système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.21 Principe des méthodes basées sur l’erreur de sortie en boucle fermée . . . . . . . 34

II.22 Organigramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . 37

II.23 Commande RST du système de second ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

II.24 Sortie réelle et sortie estimée par la méthode à erreur de sortie : système du premier

ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.25 Erreur de sortie : système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.26 Sortie réelle et sortie estimée par la méthode à erreur de sortie : système de premier

ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II.27 Erreur de sortie : système de premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


mateur erreur de sortie : système du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.1 Schéma du moteur à courant continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III.2 Données d’estimation dans le cas déterministe (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.3 Evolution des paramètres estimées dans le cas déterministe : moteur à courant continu 48

III.4 Données de validation dans le cas déterministe (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :

moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.5 Résultats de validation dans le cas déterministe : moteur à courant continu . . . . 49

III.6 Données d’estimation dans le cas stochastique (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) :

moteur à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III.7 Evolution des paramètres estimées dans le cas stochastique : moteur à courant continu 50III.8 Validation du modèle estimé dans le cas stochastique : moteur à courant continu . 51

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Liste des figures

III.9 Réponse indicielle en boucle ouverte (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système

de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III.10 Réponse indicielle en boucle fermée sans correcteur (entrée : chaine2 ; sortie :chaine1) : système de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III.11 Réponse indicielle en boucle fermée avec correcteur (entrée : chaine2 ; sortie :

chaine1) : système de second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III.12 Données d’estimation (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système de second ordre 54

III.13 Evolution des paramètres estimés : système de second ordre . . . . . . . . . . . 55

III.14 Données de validation (entrée : chaine2 ; sortie : chaine1) : système de second ordre 55

III.15 Résultats de validation du modèle estimé : système de second ordre . . . . . . . 56

III.16 Brochage du PIC 16F877A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.17 Carte d’alimentation stabilisée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

III.18 Conversion Numérique Analogique en utilisant le DAC0800. . . . . . . . . . . . 61

III.19 Adaptation des signaux entre le PC et le PIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

III.20 Afficheur LCD à 2 lignes de 16 caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.21 Brochage du LCD avec PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

III.22 Organigramme du programme implémenté sur PIC. . . . . . . . . . . . . . . . 64

III.23 Câblage de la carte d’identification avec un système de premier ordre. . . . . . . 65

III.24 Données d’estimation (entrée : chaine1 ; sortie : chaine2) : système de premier ordre. 65

III.25 Affichage sur LCD des paramètres estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1 Schéma de montage de la carte d’identification. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

x


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Liste des tableaux

II.1 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas déter-

ministe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.2 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Récursifs dans le cas déterministe. 25

II.3 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas stochas-

tique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II.4 Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Récursifs dans le cas stochastique. 28

II.5 Résultats de l’estimateur des Variables Instrumentales à Observations retar-

dées dans le cas stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

II.6 Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur MCO, MCR et VIOR. . . . . . . 31

II.7 Résultats de l’estimateur d’erreur de sortie dans le cas déterministe. . . . . . 39

II.8 Résultats de l’estimateur de l’erreur de sortie dans le cas stochastique. . . . . 41

II.9 Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur de l’erreur de sortie : syst̀eme du

premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III.1 Caract́eristiques du PIC 16F877A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xi


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Introduction générale

En général, l’identification d’un système linéaire stable en boucle ouverte est facile moyen-

nant les algorithmes d’identification classiques qui existent dans la littérature [Landau, 1988]

[Abdennour et al., 2001]. Ces algorithmes permettent de donner une estimation consistantedans la majorité des applications pratiques.

Cependant, l’identification en boucle ouverte n’est pas toujours possible en pratique. En

effet, il existe des situations particulières qui exigent l’identification des procédés en boucle

fermée. Ces situations peuvent être liées aux caractéristiques du procédé (avec intégrations

ou instable) ou bien au régulateur qui existe déjà dans la boucle.

L’identification en boucle fermée se fait aussi dans le cadre de maintenance des régula-teurs, d’améliorations de la boucle de régulation, de synthèse d’un régulateur robuste, de

réduction du biais d’estimation, ...etc.

Ces dernières décennies ont vu la théorie de l’identification se développer autour des mo-

dèles linéaires à temps discret et continu [Landau, 1993] [Ljung, 1999] [Hof et Schrama, 1995]

[Gustavsson et al., 1977]. Dans le contexte de notre travail, on va essentiellement s’intéresser

à l’identification des systèmes en boucle fermée à l’aide des modèles à représentation discrète.

Deux classes différentes de méthodes existent dans la littérature : l’une basée sur l’erreur

d’équation et l’autre basée sur l’erreur de sortie.

En dehors des annexes, la progression du mémoire est ponctuée par trois chapitres dont

le contenu est présenté ici d’une manière introductive.

Le premier chapitre présente un aperçu sur les techniques d’identification en boucle ou-

verte, la probĺematique en boucle ouverte qui exige le passage à l’identification en boucle

fermée ainsi que les différentes approches possibles pour procéder à l’identification des pro-

cédés en boucle fermée.

1


14/85

Introduction générale

Le deuxième chapitre développe deux classes de méthodes d’identification en boucle fer-

mée par modèle à représentation discrète : la première classe est basée sur l’erreur d’équationet la deuxième classe est basée sur l’erreur de sortie. La première classe incarne trois mé-

thodes d’identification : moindres carrés ordinaires, moindres carrés récursifs et variables

instrumentales à observations retardées. La deuxième classe, basée sur l’erreur de sortie,

utilise les techniques d’optimisation non linéaires à savoir l’algorithme de Marquardt. Des

exemples de simulations numériques ont permis de mettre en évidence les différentes algo-

rithmes d’identification en boucle fermée et de savoir leurs consistance ainsi que les limites

entre elles.

Le troisième chapitre présente une application en temps réel d’une méthode d’identifica-

tion en boucle fermée. En fait, une carte d’identification à base de microcontrôleur est ŕealisée

en utilisant des circuits électroniques, son principe de fonctionnement est d’assurer l’estima-

tion des paramètres du modèle discret qui décrit le procédé à identifier. L’algorithme des

moindres carrés récursifs est choisi et implémenté sur la carte d’identification pour identifier

deux systèmes pratiques en temps réel.

2


15/85

Chapitre I

Généralités sur l’identification des

systèmes linéaires

Sommaire

I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Modélisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.2 Modèles de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.2.3 Mod̀eles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.1 Modèles non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.2 Modèles paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.2.3.3 Proćedure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . 9

I.4 Position du problème et solutions envisageables . . . . . . . . . 10

I.5 Principe et approches de l’identification en boucle fermée . . . 11

I.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.5.2 Identification et Identifiabilit́e en boucle fermée . . . . . . . . . . . 11

I.5.3 Choix du signal d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.4 Approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.5.5 Approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.5.6 Approche simultanée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3


16/85

Chapitre I. Généralités sur l’identification des systèmes linéaires

I.1 Introduction

L’Automatique est une science qui a comme objectif d’apporter des solutions génériquespour des grandes catégories des systèmes (linéaires, non linéaires, mono-variables, multi-

variables, continus, discrets, ...etc.) et des grandes catégories des problèmes de commande,

de stabilisation, d’asservissement, de régulation, d’optimisation, de prédiction, et de sur-

veillance. Ainsi cette discipline scientifique permet de bien mâıtriser le comportement d’un

système.

La condition nécessaire pour mâıtriser le comportement d’un système physique est l’ob-

tention d’un modèle mathématique du système réel. Mais lorsque le modèle du système n’est

pas connu, il est nécessaire de procéder à son identification. Néanmoins, la modélisation etl’identification sont deux concepts fondamentaux en automatique qui précédent toutes les

opérations de simulation, d’observation et d’établissement d’une loi de commande ou de sur-

veillance d’un système.

Ce chapitre comporte principalement quatre sections : la première section présente la

définition du concept ou technique d’identification, les différentes classes des modèles à iden-

tifier ainsi que la procédure d’identification des systèmes physiques réels. Un aperçu sur les

différentes méthodes d’identification en boucle ouverte est introduit dans la deuxième sec-tion. La troisième section présente une formulation du problème d’identification en boucle

ouverte et introduit des solutions envisageables en boucle fermée. Enfin, le principe de l’iden-

tification en boucle fermée ainsi que les différentes approches utilisées dans la littérature sont

introduits.

I.2 Modélisation des systèmes

I.2.1 Définition

L’identification est l’opération de détermination des caractéristiques dynamiques d’un

procédé (système) dont la connaissance est nécessaire pour la conception et la mise en oeuvre

d’un système performant de régulation [Landau, 1993].

La notion de modèle mathématique d’un système ou d’un phénomène, c’est-à-dire d’un

ensemble d’équations liant ses entrées et ses sorties, est un concept fondamental.

4


17/85


I.2.2 Modèles de connaissance

Cette classe de modèle consiste généralement à utiliser les principes phénoménologiques

(lois de la physique) gouvernant le système. Les équations de fonctionnement d’un tel système

donnent généralement une description fiable de son comportement.

L’inconvénient de cette classe de modèle est que ce n’est pas toujours possible et facile

d’écrire les lois qui caractérisent un modèle de connaissance d’un système. C’est le cas des

systèmes physiques ayant une grande complexité, ce qui suggère le plus souvent l’utilisation

des modèles dynamiques.

I.2.3 Modèles dynamiquesUn modèle dynamique, c’est-à-dire un modèle représentant une évolution temporelle, peut

appartenir soit au domaine du temps continu (”système à temps continu”) si les équations

qui décrivent le comportement du système sont des équations différentielles, soit au domaine

du temps discret (”système à temps discret”) si ce sont des équations aux différences.

En pratique, l’objectif général de l’identification est la détermination de modèles de

conduite afin de simuler, d’analyser ou de commander un système. Pour cela, certains auteurs

considèrent que la détermination des modèles de connaissance est une tâche qui intéresse plus

les physiciens (ou les biologistes,...etc.) que les automaticiens [Borne et al., 1993] . Ainsi, nous

sommes amenés à mettre en oeuvre une méthodologie d’identification directe de ces modèles

dynamiques (de commande) qui sont sous deux types :

– les modèles non paramétriques (réponse fréquentielle, réponse à un échelon, etc.).

– les modèles paramétriques (fonction de transfert, équation différentielle ou aux diffé-

rences, ... etc.).

I.2.3.1 Modèles non paramétriques

Ces modèles sont des fonctionnelles d’une variable fréquentielle ou temporelle (gain et

phase de la fonction de transfert, réponse impulsionnelle), sous forme expérimentale, sans

en chercher directement les paramètres ou la fonction de transfert. Ce type de modèle per-

mettant de caractériser à partir des courbes un système dynamique linéaire, pouvant aider

à choisir la structure du modèle.

I.2.3.2 Modèles paramétriques

Les modèles paramétriques sont décrits généralement par un ensemble de coefficientsrelatifs à une structure de modèle donnée qui caractérise un système (équation différentielle,

représentation d’état, fonction de transfert, représentation avec gain, zéros et pôles).

5


18/85


Ces modèles peuvent être classées en deux types : modèles déterministes et modèles

stochastiques. En ce qui concerne les modèles déterministes le signal de sortie est exprimé

en fonction du signal de commande. Ces modèles sont souvent irréalistes. Car la plupart dessystèmes physiques réels subissent des perturbations extérieurs qui peuvent être mesurables,

non mesurables, modélisable, non modélisable, ...etc. Dans ce cas les modèles qui sont dits

”modèles stochastiques” et il est nécessaire de décrire l’influence de des bruits sur la sortie

du système.

– Modèle OE :

L’équation qui décrit le modèle OE ( Output Error) est la suivante :

A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + A(q −1)e(k) (I.1)

où e(k) est une séquence aléatoire de moyenne nulle et de variance finie. u(k) et y(k)

sont respectivement la commande et la sortie du système.

La figure (I.1) représente ce type de modèle.

( )e k

( ) y k ( )u k 1

1

( )

( )

d B q

q A q

−

−

−

Figure I.1 – Modèle OE.

– Modèle ARX :

C’est un modèle auto régressif (Auto Regressive model with eXternal inputs) dont la

forme générale du modèle est donnée par :

A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + e(k) (I.2)

où e(k) est une séquence aléatoire de moyenne nulle et de variance finie.

Le modèle est illustré par la figure (I.2) :

6


19/85


( ) y k

( )e k

( )u k 1

1

( )

( )

d B qq A q

−

−

−

1

1

( ) A q−

Figure I.2 – Modèle ARX.

– Modèle ARMAX :

Le modèle ARMAX (Auto Regressive Moving Average with eXternal inputs) reprend

les attributs du modèle ARX mais inclut une fonction de transfert avec une moyenne

ajustable sur le bruit blanc comme le montre la figure (I.3).

L’équation qui gouverne les modèle de type ARMAX est la suivante :

A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + C (q −1)e(k) (I.3)

( )u k ( ) y k

( )e k

1

1

( )

( )

d B qq

A q

−

−

−

1

1

( )

( )

C q

A q

−

−

Figure I.3 – Modèle ARMAX.

– Modèle ARIMAX :

Le modèle ARIMAX (Auto Regressive Integrated Moving Average with eXternal in-

puts) représenté par la figure (I.4) est décrit par l’équation suivante :

A(q −1)y(k) = q −dB(q −1)u(k) + C (q −1)

D(q −1

)

e(k) (I.4)

7


20/85


( ) y k ( )u k

( )e k

1

1

( )

( )

d B qq A q

−

−

−

1

1 1

( )

( ) ( )

C q

A q D q

−

− −

Figure I.4 – Modèle ARIMAX.

I.2.3.3 Procédure d’identification

Expérimentalement, la procédure d’identification comporte quatre étapes :

1. acquisition des entrées/sorties sous un protocole expérimental,

2. choix d’une structure de modèle,

3. estimation des paramètres du modèle en utilisant des algorithmes d’estimation para-

métriques,

4. validation du modèle identifié,L’organigramme présenté sur la figure (I.5) décrit d’une manière plus détaillée la procédure

d’identification :

Non Oui

Acquisition des entrées /sorties sous un protocole expérimental

Choix de la structure de modèle

Estimation des paramètres du modèle

Validation du modèle identifie

Fin

Figure I.5 – L’organigramme de la procédure d’identification.

8


21/85


I.3 Techniques d’identification en boucle ouverte

Dans la littérature plusieurs travaux se sont penchés sur l’identification des systèmes enboucle ouverte à temps continu et discret. Dans ce projet nous nous sommes limit́es aux

méthodes d’identification à temps discret.

Il existe un nombre important d’ouvrages dans la littérature qui synthétisent la majorité

des travaux effectués sur l’identification dans le domaine discret [Eykhoff , 1974] [Goodwin et Payne,

1977] [Ljung, 1999] [Ljung, 1999] [Richalet et al., 1991] [Landau, 1993] [Borne et al., 1992]

[Abdennour et al., 2001].

Les méthodes d’identification en boucle ouverte peuvent être classées en deux catégories :

l’une basée sur l’erreur d’équation et l’autre basée sur l’erreur de sortie.En ce qui concerne les méthodes d’identification basées sur l’erreur d’équation, il s’agit

d’estimer les coefficients de l’équation différentielle suivante :

y(k) = −

nA∑n=1

any(k − n) +

nB∑m=0

bmu(k − m + d) (I.5)

moyennant des algorithmes d’optimisation linéaires, à savoir les moindres carrés. La sortie

du modèle à identifier est exprimée linéairement vis-à-vis des paramètres. Ces algorithmes

peuvent être de type récursifs (moindres carrés récursifs, moindres carrés étendus, moindres

carrés généralisés, variables instrumentales, ...etc.) ou non récursifs (moindres carrés ordi-naires).

Le schéma de principe de l’erreur d’équation est représenté par la figure (I.6) :

eeε

( )u k ( ) y k

( )e k

TL

1

1

( )

( )

B q

A q

−

−

TL1ˆ ( ) B q− 1ˆ ( ) A q−

Figure I.6 – Schéma de principe de l’erreur d’équation en boucle ouverte .

avec TL : transformation linéaire.Le principe général des méthodes de moindres carrés consiste à chercher un vecteur des

paramètres θ̂ qui minimise une fonction quadratique de l’erreur de prédiction J (θ̂) .

9


22/85


Les méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie ont fait l’objectif de plusieurs

travaux [Ljung, 1987] [Söderström et Stoica, 1989] [Landau, 1993] [Borne et al., 1993]. Les

algorithmes utilisés par ces méthodes sont souvent des algorithmes d’optimisation non li-néaires vu que la sortie du modèle à identifier est exprimée non linéairement vis-à-vis des

paramètres. Ces algorithmes sont généralement de type gradient, à savoir l’algorithme de

Gauss-Newton, Newton-Raphson, Levenberg-Marquardt [Marquardt, 1963]. La figure (I.7)

représente le principe de l’erreur de sortie.

esε( )u k

( ) y k

( )e k

1

1

( )

( )

B q

A q

−

−

1

1

ˆ ( )

ˆ ( )

B q

A q

−

−

ˆ( ) y k

Figure I.7 – Schéma de principe de l’erreur de sortie en boucle ouverte .

I.4 Position du problème et solutions envisageables

De nombreuses méthodes d’identification à temps continu et discret ont été développées

dans le cadre de l’identification des syst̀emes en boucle ouverte. Mais cette dernìere n’est

pas toujours aisément réalisable en pratique. En effet, plusieurs systèmes physiques sont

contrains de fonctionner en boucle fermée selon des situations particulières. Ces situations

peuvent être classées en trois classes différentes :

– la première classe de situations est liée aux caractéristiques du procédé : pour les

procédés instables (possédant des intégrations).

– la deuxième classe de situations concerne les systèmes dans lesquels le régulateur existe

déjà, et où il n’est pas possible d’ouvrir la boucle pour faire l’identification du procédé.

– la troisième classe est constituée pour d’autres aspects pratiques tels que : la mainte-

nance d’un contrôleur, l’obtention des meilleurs modèles pour la commande des sys-

tèmes, validation de la loi de commande d’un système, synthèse d’un régulateur ro-buste, l’obtention d’un biais plus faible, réduction de l’ordre de modèle, identification

en temps réel.

10


23/85


Face aux situations décrites ci-dessus, la solution envisageable est d’aboutir à l’identification

en boucle fermée pour surmonter aux problèmes d’identification en boucle ouverte.

I.5 Principe et approches de l’identification en boucle

fermée

I.5.1 Principe

La figure (I.8) montre le principe d’une commande numérique dans le cas général.

( )u k

_

( )c y k ( ) y k

( )e k

1( )C q−

1( )G q−

Figure I.8 – Commande numérique d’un système .

Les données d’entrée/sortie sont décrites par les relations suivantes :

y(k) = G(q −1)u(k) + e(k) (I.6)

u(k) = C (q −1) [yc(k) − y(k)] (I.7)

Où G(q −1) représente le modèle de procédé à identifier, C (q −1) le régulateur et u(k), y(k) et

yc(k) sont respectivement le signal de commande, le signal de sortie et le signal d’excitation.

Pour identifier le procédé en boucle fermée il faut étudier d’abord l’identifiabilité du système.

I.5.2 Identification et Identifiabilité en boucle fermée

En identifiant un système linéaire fonctionnant en boucle fermée, à une entrée donnée,

des conditions spécifiques doivent être satisfaites dans l’ordre pour pouvoir arriver à une éva-

luation cohérente de la boucle ouverte du système. C’est pour cette raison qu’il est nécessaire

de bien comprendre et analyser le système avant qu’il soit manipulé et commandé.

En outre, l’identification d’un système nécessite la connaissance de la structure du modèle

et l’estimation des paramètres de la structure choisie. La résolution de ce problème conduit

généralement à la notion d’identifiabilité qui consiste à vérifier les trois propriétés suivantes :

11


24/85


– Séparabilité des paramètres :

Les véritables paramètres physiques caractéristiques du processus peuvent n’apparâıtre

que sous une forme non linéaire complexe dans les paramètres du modèle choisi. – Unicité des paramètres :

Dans certains cas, compte tenu de la précision des mesures, il n’est pas possible de

privilégier un jeu de paramètres plutôt q’un autre dans un ensemble donné. De plus,

la structure même du modèle adopté peut faire que la solution n’est pas unique.

– Sensibilité des paramètres :

Un paramètre n’est identifiable que si sa variation influe sur la sortie du système pour le

type d’entrée choisie. D’un point de vue pratique si y représente la sortie du processus

pour une entrée donnée et pour une valeur θ d’un paramètre, l’identifiabilité requiert

que la dérivée partielle première de y par rapport à θ ne soit pas nulle :

∂y

∂θ ̸= 0

Dans les prochains chapitres, la structure du modèle est supposée connue à priori et les

paramètres du modèle sont supposés identifiables.

I.5.3 Choix du signal d’excitationLe signal d’entrée utilisé dans une expérience d’identification peut avoir une influence

significative sur les paramètres estimés donc il faut sélectionner un signal qui assure des très

bon résultats. En effet une bonne identification nécessite l’utilisation d’un signal d’excita-

tion du procédé riche en fréquences de faible amplitude. En général, on utilise une S.B.P.A.

(Séquence Binaire Pseudo -aléatoire) qui est des successions d’impulsions rectangulaires mo-

dulées en largeur qui approximent un bruit blanc discret et donc qui ont un contenu riche en

fréquences [Landau 1993]. Pour pouvoir bien identifier le gain statique du procède, il faut au

moins une des impulsions de la S.B.P.A. soit plus grande que le temps de montée du système

à identifier. D’autre part pour balayer tout le spectre de fréquences il faut que la longueur

d’un essai soit au moins égal à la longueur de la séquence.

I.5.4 Approche directe

L’identification en boucle fermée par approche directe consiste à identifier le modèle du

procédé en utilisant comme données le couple (u(k), y(k)). La sortie du système y(k) mesuŕee

est généralement entachée d’un bruit additif e(k) [Ben Ameur Bazine, 2006]. Le schéma deprincipe de l’approche directe est représenté par la (figure (I.9)).

12


25/85


( )k ε

_

( )u k ( ) y k

( )v k

1( )C q−

Algorithmed’adaptation

1( )G q−

1ˆ ( )G q−ˆ( ) y k

( )c y k

( )e k

Figure I.9 – Schéma de principe de l’approche directe en boucle fermée .

Cette approche se caract́erise par sa facilité de mise en oeuvre pratique et elle est cou-

ramment utilisée malgré qu’elle nécessite la mesure des signaux à l’intérieur de la boucle de

régulation.

I.5.5 Approche indirecte

L’identification en boucle fermée par approche indirecte ne nécessite pas la mesure des

signaux à l’intérieur de la boucle de régulation. Elle utilise le couple (yc(k), y(k)) pour iden-

tifier le modèle du procédé comme le présente la figure (I.10). L’idée principale de l’approche

indirecte est décrite en deux étapes :

– la première étape consiste à estimer la fonction de transfert en boucle fermée (régula-

teur+procédé : Ĥ BF ) entre yc(k) et y(k) ;

– la deuxième étape consiste à déterminer la fonction de transfert de la boucle ouverte

(proćedé) à partir de la fonction de transfert estimée en boucle fermée ainsi que la

connaissance du régulateur.

13


26/85


( )k ε

_

( )u k ( ) y k

( )v k

1( )C q−

Algorithmed’adaptation

1( )G q−

1ˆ ( ) BF H q−

ˆ( ) y k

( )c

y k

1( ) BF H q−

( )e k

Figure I.10 – Schéma de principe de l’approche indirecte en boucle fermée.

L’inconvénient majeur de cette approche est qu’elle nécessite la connaissance du régula-

teur pour pouvoir déterminer le modèle du procédé. Cette connaissance n’est pas toujours

offerte et surtout sur le plan industriel, ce qui nécessite l’utilisation de l’approche simultanée

pour remédier à ce problème.

I.5.6 Approche simultanée

L’approche simultanée suppose que ni la mesure du signal d’entrée yc(k) ni le régulateur

C (q −1) sont connus [Gustavsson et al., 1977]. Le principe général consiste à estimer à la fois

le modèle du procédé et le modèle du régulateur en utilisant des algorithmes d’adaptation

paramétriques.

I.6 Conclusion

Ce chapitre a traité quelques généralités sur l’identification des systèmes linéaires à temps

discret. La première partie présente la modélisation des systèmes linéaires. La deuxième par-

tie entame un état de l’art des méthodes d’identification en boucle ouverte. La problématique

de l’identification en boucle ouverte ainsi que les solutions envisageables sont étudiées dans

la troisième partie. Enfin un aperçu sur le principe de l’identification en boucle fermée et

les différentes approches d’identification qui existent dans la littérature finissent ce chapitre.

Dans le chapitre suivant nous entamons l’étude des algorithmes d’identification en bouclefermée par modéles à représentation discrète en utilisant l’approche directe.

14


27/85

Chapitre II

Identification des systèmes en boucle

fermée

Sommaire

II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.2 Méthodes d’identification basées sur l’erreur d’équation . . . . 16

II.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.2.2 Méthode des Moindres Carŕes Ordinaires (MCO) . . . . . . . . . . 17

II.2.3 Méthode des Moindres Carŕes Récursifs (MCR) . . . . . . . . . . . 18

II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Retardées

(VIOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.2.5 Validation des estimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction . . . . . . . . . . 20

II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.5.3 Validation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6.1 Mise en équation et commande . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . 24

II.2.6.3 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . 27

II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie . . . . . 33

II.3.1 Principe et procédure d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II.3.2 Exemple numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.3.2.1 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe . 39

II.3.2.2 Identification en boucle fermée dans le cas stochastique . 41

II.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

15


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29/85

Chapitre II. Identification des systèmes en boucle fermée

Modèle

e

eeε

ˆ y

yu

A.A.L

d Bq A

−C c

y

Figure II.1 – Principe des méthodes d’identification en boucle fermée basées sur l’erreur d’équation.

avec A.A.L : Algorithme d’Adaptation Linéaire.

Cette classe de méthode se caract́erise par sa simplicité de mise en oeuvre et offre la

possibilité d’ajuster les paramètres du modèle ainsi que les paramètres du régulateur en

temps réel. Dans la suite du chapitre, seules les méthodes d’identification par approche

directe seront présentées.

II.2.2 Méthode des Moindres Carrés Ordinaires (MCO)

Un système linéaire monovariable qui opère dans un milieu déterministe peut être modé-

lisé par l’équation différentielle à temps discret suivante :

y(k) = −

nA∑n=1

any(k − n) +

nB∑m=0

bmu(k − d − m) (II.1)

où nA nB, d est le retard sur la commande, y est la sortie et u est la commande du système.

L’équation (II.1) peut être réécrite sous la forme d’une régression linéaire pour N points

de mesure :

Y = θT Φ (II.2)

avec

θT = [a1, . . . , anA , b0, . . . , bnB ] (II.3)

Φ = [ϕ(1), . . . , ϕ(N )]T (II.4)

Y= [y(1), . . . , y(N )]

T

(II.5)et

ϕT (k) = [−y(k − 1), . . . ,−y(k − nA), u(k − d − 1), . . . , u(k − d − nB)] (II.6)

17


30/85


31/85


La solution de ce problème au sens des moindres carrés est décrite par le système d’équations

suivant [Abdennour et al., 2001] :

θ̂(k) = θ̂(k − 1) + F (k)ϕ(k)ε(k)

F (k) = F (k − 1) −

F (k − 1)ϕ(k)ϕT (k)F (k − 1)

1 + ϕT (k)F (k − 1)ϕ(k)

ε(k) = y(k) − θ̂(k − 1)ϕ(k)

(II.13)

où F (k) désigne la matrice de gain d’adaptation, ε(k) est l’erreur de prédiction et ϕ(k) est

le vecteur de régression.

L’algorithme des moindres carrés récursifs nécessite l’initialisation de la matrice de gain

d’adaptation F (k) et le vecteur de paramètres θ̂(k) comme suit :

F (0) = 1

β I, 0 < β ≪ 1 et θ̂(0) = (0) (II.14)

où (0) et I désignent, respectivement, le vecteur nul et la matrice identité.

II.2.4 Méthode des Variables Instrumentales à Observations Re-

tardées (VIOR)

L’estimateur des variables instrumentales est une variante classique de la méthode des

moindres carrés [Ljung, 1999] reposant sur des techniques de régression linéaire.

Le principe de la méthode VIOR est d’introduire un vecteur ϕ∗ dont les composantes

sont appelées instruments ou variables instrumentales. Les instruments de ϕ∗ doivent être

suffisamment corrélés avec le vecteur de régression ϕ mais non corrélés avec le bruit additif

sur la sortie e(k) tel que :

E [ϕ(k)ϕ∗

(k)] est non singulièreE [ϕ∗(k)e(k)] = 0

(II.15)

où E [.] représente l’espérance mathématique et le vecteur de régression des variables instru-

mentales est défini par :

ϕ∗T (k) = [−y(k − x − 1) · · · − y(k − x − nA), u(k − d − 1) . . . u(k − d − nB)] (II.16)

où x 0 représente la largeur de la fenêtre d’observation.

La formulation récursive de l’estimateur VIOR est donnée par le système d’équations

19


32/85


suivant :

θ̂(k) = θ̂(k − 1) + G(k)ε(k)

G(k) = F (k − 1)ϕ∗

(k)ϕT (k)F (k − 1)ϕ∗(k) + 1

ε(k) = y(k) − θ̂(k − 1)ϕ(k)

F (k) = F (k − 1) − G(k)ϕT (k)F (k − 1)

(II.17)

Pour que les observations retardées de la sortie soient représentatives il faut que la fréquence

d’échantillonnage soit élevée.

II.2.5 Validation des estimés

Comme dans le cas de l’identification en boucle ouverte, l’étape de validation est né-

cessaire pour vérifier si le modèle estimé est bon et choisir ainsi le meilleur modèle par les

différentes méthodes d’identification utilisées.

Trois tests de validation peuvent être exploités pour valider le modèle estimé en boucle

fermée :

– test de blanchissement de l’erreur de prédiction ;

– simulation de Monte-Carlo ; – validation temporelle.

II.2.5.1 Blanchissement de l’erreur de prédiction

Pour les méthodes d’identification basées sur le blanchissement de l’erreur de prédiction

il est nécessaire de vérifier qu’elle tend asymptotiquement vers un bruit blanc [Young, 1981].

L’erreur de prédiction est dite blanche si :

limk→∞

{ε(k)ε(k − 1)} = 0 (II.18)

où ε(k) et l’erreur de prédiction.

les fonctions d’autocorrélations R (i) et d’autocorrélations normalisées RN (i) sont défi-

nies par :

R(0) = 1

N

N ∑k=1

ε2(k), RN (0) = R(0)

R(0) = 1 (II.19)

R(i) = 1N

N ∑k=1

ε(k)ε(k − i), RN (i) = R(i)R(0) , i 1 (II.20)

où N désigne le nombre d’échantillons.

20


33/85


L’erreur de prédiction ε(k) est dite ”bruit blanc parfait” si :

RN (0) = 1, RN (i) = 0 (II.21)

En pratique, il s’agit de vérifier les valeurs suivantes :

RN (0) = 1, RN (i) 2.17

N (II.22)

II.2.5.2 Simulation de Monte-Carlo

La simulation de Monte-Carlo est une technique d’analyse du biais d’estimation qui

consiste à faire nmc réalisations de bruit blanc dont le rapport signal sur bruit (RSB) ou en

Anglais ”Signal to Noise Ratio” (SNR) est fixe et défini par :

SN R = 10 log

var(y(k))

var(e(k))

(II.23)

où var(.) désigne la variance du signal.

Il s’agit d’appliquer la méthode d’identification autant de fois que le nombre de réali-

sations (nmc fois), puis calculer les moyennes des estimés et enfin les comparer aux vrais

paramètres. S’il n’y a pas un biais d’estimation sur les moyennes, le modèle estimé est dit

valide.

II.2.5.3 Validation temporelle

Ce test de validation consiste à comparer les réponses temporelles du système réel et du

prédicteur de la boucle fermée.

II.2.6 Exemple numérique

II.2.6.1 Mise en équation et commande

Afin d’illustrer la consistance des méthodes d’identification décrites précédemment, on

considère un système instable en boucle ouverte (système de premier ordre avec une intégra-

tion) décrit par la fonction de transfert suivante :

H BO( p) = k

p(1 + τ p) (II.24)

avec k = 1 et τ = 10.

La figure (II.2) représente la réponse indicielle du système en boucle ouverte.

21


34/85


0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Temps(s)

A m p l i t u d e

Réponse indicielle

Figure II.2 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle ouverte.

La figure (II.3) montre l’allure de la réponse indicielle en boucle fermée qui présente des

oscillations et des dépassements importants (un premier dépassement de 60% et un deuxième

dépassement de 20%), alors que les oscillations sont non conseillées en boucle fermée d’où

la nécessité de l’implémentation d’un régulateur convenable pour les éliminer et avoir une

boucle fermée stable.

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Temps(s)

A m p l i t u d e

Réponse indicielle

Figure II.3 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée sans correction.

La discrétisation du modèle en boucle ouverte avec un pas d’échantillonnage T s = 1s

donne :

H BO(q −1) =

b1q −1 + b2q

−2

1 + a1q −1 + a2q −2 (II.25)

avec :

a1 = −1.905

a2 = 0.9048

b1 = 0.04837

b2 = 0.04679

22


35/85


On désire corriger le système avec un régulateur RST, permettant de réguler la dynamique

en boucle fermée dont le schéma de la commande numérique est représenté dans la figure

(II.4) :

cy (k) (t) y

e(t)

(k)u(k)ε

(1 )

k

p pτ+1( )T q−

1( ) R q−

1

1

( )S q−

DAC

ADC

(k) y

Figure II.4 – Commande RST du système de second ordre.

La fonction de transfert de la boucle fermée désirée à temps discret est donnée par :

H BF (q −1) =

q 1q −1 + q 2q

−2

1 + p1q −1 + p2q −2 (II.26)

avec : p1 = −1.5815 p2 = 0.6543La réponse indicielle en boucle fermée du système corrigé ainsi que le signal de commande

appliqué sont respectivement représentés par les figures (II.5) et (II.6).

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps (s)

S o r t i e

Figure II.5 – Réponse indicielle du système de second ordre en boucle fermée avec correction.

23


36/85


0 20 40 60 80 100−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Temps (s)

C o m m a n d e

Figure II.6 – Commande du système de second ordre en boucle fermée avec correction.

II.2.6.2 Identification en boucle fermée dans le cas déterministe

Dans le cas déterministe, le bruit blanc gaussien est nul (e(k) = 0), le modèle d’identifi-

cation est donné par :

y(k) + a1y(k − 1) + a2y(k − 2) = b1u(k − 1) + b2u(k − 2) (II.27)

Le signal d’excitation étant de type SBPA (Séquence Binaire Pseudo Aléatoire) avec un pas

d’échantillonnage T s = 1s. Dans la suite, les méthodes développées ci-dessus sont appliquées

pour identifier le modèle du procédé en boucle fermée en tentant compte la loi de commande.

1. Identification par l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires :

L’application de l’algorithme d’identification des Moindres Carrés Ordinaires décrit par

la relation (II.10) donne les résultats enregistrés dans le tableau (III.1) :

Tableau II.1 – Résultats de l’estimateur des Moindres Carrés Ordinaires dans le cas déter-

ministe.

MCO a1 a2 b1 b2

Les vrais paramètres -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468

Les paramètres estimés -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468

La convergence des paramètres estimés vers ceux réels montrent bien la qualité de

l’identification par l’estimateur de MCO. Le test de blancheur valide l’hypothèse selon

laquelle l’erreur de prédiction tends vers un bruit blanc (ε(k) ≃ 10−16), comme le

montre les figures (II.7) et (II.8).

24


37/85


38/85


39/85


40/85


41/85


0 500 1000−2

−1.5

−1

−0.5

0

k

a 1

0 500 1000−0.5

0

0.5

1

k

a 2

0 500 10000

0.02

0.04

0.06

k

b 1

0 500 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

k

b 2

Figure II.14 – Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (MCR) : système de

second ordre.

Les figures (II.15) et (II.16) représentent respectivement l’erreur de prédiction obtenue

par l’estimateur MCR ainsi que le test blancheur correspondant.

0 200 400 600 800 1000−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

k

E r r e u

r d e p r é d i c t i o n − M C R

Figure II.15 – Erreur de prédiction dans le cas déterministe (MCR) : système de second ordre.

29


42/85


−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Test de blancheur − MCR

RN(i)

A m p l i t u d e

Figure II.16 – Validation par test de blancheur dans le cas stochastique (MCR) : système de second

ordre.

3. Identification par l’estimateur des Variables Instrumentales à Observa-

tions Retardées :

L’application de l’estimateur de VIOR décrit par le système d’équations (II.17) permet

de donner les résultats enregistrés sur le tableau (II.5) :

Tableau II.5 – Résultats de l’estimateur des Variables Instrumentales à Observations retar-

dées dans le cas stochastique.

VIOR a1 a2 b1 b2

Les vrais paramètres -1.9048 0.9048 0.0484 0.0468

Les paramètres estimés -1.9063 0.9056 0.0484 0.0467

L’évolution des paramètres estimés est tracée sur la figure suivante :

30


43/85


0 500 1000−2

−1

0

1

k

a 1

0 500 1000−0.5

0

0.5

1

k

a 2

0 500 10000

0.02

0.04

0.06

k

b 1

0 500 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

k

b 2

Figure II.17 – Evolution des paramètres estimés dans le cas stochastique (VIOR) : système de

second ordre.

Les résultats obtenus au niveau de minimisation de l’erreur de prédiction sont vérifiés pour

l’estimateur MCO et MCR. Les tests blancheur montrent que l’erreur de prédiction tend

asymptotiquement vers un bruit blanc et les paramètres estimés s’écartent légèrement des

paramètres réels, ce dernier résultat est dû à la corrélation de la loi de commande avec le

bruit additif.

L’utilisation de l’estimateur VIOR a amélioré les résultats mais une seule réalisation ne

nous permet pas de juger sur le biais d’estimation. C’est pour cette raison un autre test de

validation est proposé : la simulation de Monte-Carlo.

Le tableau (II.8) résume les résultats d’estimation obtenus par l’estimateur MCO, MCRet VIOR pour 200 réalisations différentes de bruits ayant un rapport signal sur bruit SNR =

30dB. Le tableau contient les moyennes des estimés ainsi que les écarts types correspondants.

Tableau II.6 – Simulation de Monte-Carlo par l’estimateur MCO, MCR et VIOR.

θ0 θ̂moy(MCO) σ(MCO) θ̂moy(MCR) σ(MCR) θ̂moy(VIOR) σ(VIOR)

a1 −1.9048 −1.9045 0.0033 −1.9044 0.0033 −1.9048 0.0031

a2 0.9048 0.9047 0.0024 0.9046 0.0024 0.9048 0.0027

b1 0.0484 0.0484 0.0001 0.0484 0.0001 0.0484 0.0001

b2 0.0468 0.0468 0.0001 0.0468 0.0001 0.0468 0.0001

31


44/85


Les figures (II.18), (II.19) et (II.20) représentent les histogrammes des paramètres estimés

pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus respectivement par l’estimateur MCO, MCR

et VIOR.

−1.92 −1.91 −1.9 −1.890

10

20

30

40

a1

0.89 0.9 0.91 0.920

10

20

30

40

a2

0.048 0.0485 0.0490

10

20

30

40

b1

0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50

20

40

60

b2

Figure II.18 – Histogrammes des estimés pour 200 réalisations de Monte-Carlo obtenus par l’esti-

mateur MCO : système de second ordre.

−1.92 −1.91 −1.9 −1.890

10

20

30

40

a1

0.89 0.9 0.91 0.920

10

20

30

40

a2

0.048 0.0485 0.0490

10

20

30

40

b1

0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50

20

40

60

b2


mateur MCR : système de second ordre.

32


45/85


−1.92 −1.91 −1.9 −1.890

20

40

60

a1

0.89 0.9 0.91 0.920

20

40

60

a2

0.048 0.0485 0.0490

20

40

60

b1

0 .0 46 0 .0 46 5 0 .0 47 0 .0 47 50

20

40

60

b2


mateur VIOR : système de second ordre.

Les simulations de Monte-Carlo révèlent une estimation précise des paramètres du modèle

et spécialement avec l’estimateur VIOR.

II.3 Méthodes d’identification basées sur l’erreur de

sortie

II.3.1 Principe et procédure d’identification

La figure (II.21) présente le principe des méthodes basées sur d’erreur de sortie dans

laquelle la partie supérieure représente le système réel et la partie inférieur représente un

prédicteur ajustable en boucle fermée qui utilise le même régulateur que le système réel.

L’erreur de sortie, définie par l’écart entre la sortie réelle du la boucle fermée et la sortie du

prédicteur, est minimiser pour l’ajustement du modèle de procède [BAYSSE., 2010].

33


46/85


esε

u

PNL

-

+

-

+ û

ˆ y ˆ

ˆ

d Bq A

−

C

y

e

+

+

-

r + d B

q A

− C

Figure II.21 – Principe des méthodes basées sur l’erreur de sortie en boucle fermée

La méthode basée sur l’erreur de sortie consiste à minimiser un critère quadratique basésur l’erreur de sortie en utilisant les techniques de Programmation Non Linéaire (Levenberg-

Marquardt). La procédure d’identification se décompose principalement de trois parties :

– Obtenir un modèle initial en utilisant une des méthodes d’identification basées sur

l’erreur d’équation décrites précédemment.

– Minimiser un critère quadratique à l’aide d’un algorithme de Programmation Non

Linéaire (P.N.L), ce qui fournit un nouveau jeu de paramètres.

– Recommencer la deuxième étape jusqu’à la convergence.

Le critère quadratique à minimiser est le suivant :

J =N ∑k=1

(y(k) − ŷ(k))2 =N ∑k=1

ε2es(k) (II.28)

Pour que le critère J soit minimal, deux conditions sont nécessaires :

– ses dérivées premières par rapport aux paramètres sont nulles ;

– ses dérivées secondes doivent être positives ;

Soit θ̂ le vecteur des paramètres à l’instant k défini comme suit.

θ̂T (k) =

â1...ân, b̂0...b̂m

(II.29)

34


47/85


L’ensemble des dérivées premières peut être regroupé sous la forme d’un vecteur appelé

Gradient J ′

θ̂ tel que :

J ′T θ̂

= ∂J ∂ ̂a1

... ∂J ∂ ̂an

, ∂J ∂ ̂b0

... ∂J ∂ ̂bm (II.30)

La matrice des dérivées secondes, appelée Hessien, s’écrit sous la forme suivante :

∂ 2J ∂ â2

1

· · · ∂ 2J ∂ â1 ân

∂ 2J

∂ â1 b̂0· · · ∂

2J

∂ â1 b̂m...

. . . ...

... ...

∂ 2J ∂ ân â1

· · · ∂ 2J ∂ â2n

∂ 2J

∂ ân b̂0· · · ∂

2J

∂ ân b̂m∂ 2J

∂ ̂b0 â1· · · ∂

2J

∂ ̂b0 ân

∂ 2J

∂ ̂b20

· · · ∂ 2J

∂ ̂bn b̂m...

...

... . . .

...

∂ 2J

∂ ̂bm â1· · · ∂

2J

∂ ̂bm ân

∂ 2J

∂ ̂bm â1· · · ∂

2J

∂ ̂b21

(II.31)

Le calcul des dérivées premières et secondes peut être effectué à l’aide de plusieurs manières

différentes. Nous choisissons d’utiliser les fonctions de sensibilité, car elles présentent certains

avantages, comme le filtrage de données.

Soit le vecteur des fonctions de sensibilité suivant :

σT (k) = [σa1(k)...σan(k), σb0(k)...σbm(k)] (II.32)

avec :

σb̂i(k) = ∂ ̂y(k)

∂ ̂bi=

∂

∂ ̂bi

B̂(q −1)

Â(q −1)û(k)

(II.33)

σâi(k) = ∂ ̂y(k)

∂ ̂ai=

∂

∂ ̂ai

B̂(q −1)

Â(q −1)û(k)

(II.34)

Le gradient peut alors être écrit :

J ′

θ̂ = −2

N ∑k=1

εes(k)σ(k) (II.35)

En utilisant la forme matricielle des fonctions de sensibilit́e , on peut écrire le Hessien

sous la forme suivante :

J ′′

θ̂ ≃ 2N ∑k=1

σ(k)σT (k) (II.36)

On trouve plusieurs algorithmes non linéaires qui nous aident à minimiser l’erreur qua-

dratique. Parmi ces algorithmes, on peut citer :

– L’algorithme du gradient : Dans ce cas, le vecteur des paramètres est calculé avecl’equation suivante :

θ̂ j+1 = θ̂ j − µJ ′

θ (II.37)

35


48/85


où j est l’itération de l’algorithme, et µ est un paramètre de réglage. Un mauvais

choix de µ peut empêcher la convergence de l’algorithme. L’avantage de cet algorithme

est qu’il permet de s’approcher rapidement de l’optimum si l’initialisation est loin decelui-ci.

– l’algorithme de Gauss-Newton : l’équation de l’évolution des paramètres intègre

les dérivées premières et secondes du critère J :

θ̂ j+1 = θ̂ j −

J ′′

θ̂

−1

J ′

θ̂

θ̂=θ̂j

(II.38)

Les deux algorithmes précédents présentent l’inconvénient de ne pas converger lorsque le

point initial est loin du minimum recherché. L’algorithme Levenberg-Marquardt permet de

dépasser cet inconvénient en proposant un compromis entre l’algorithme de gradient (robuste

mais lent à l’approche du minimum) et celle de Newton (peu robuste loin du minimum mais

très efficace près).

Dans le contexte de notre travail nous utilisons l’algorithme de Levenberg-Marquardt

dont l’équation itérative est la suivante :

θ̂ j+1 = θ̂ j −

∂ 2J

∂ ̂θ2+ µI

−1

∂J

∂

θ

θ̂=θ̂j

(II.39)

Portant que l’algorithme de Levenberg-Marquardt est théoriquement très performant dans

le cadre d’une mauvaise initialisation, mais il reste une méthode d’optimisation permet-

tant la convergence locale et non globale. Donc, pour une correcte estimation, une bonne

initialisation des paramètres reste malgré tout nécessaire. La figure (II.22) présente l’organi-

gramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie : algorithme de Levenberg-

Marquardt.

36


49/85


Non Oui

NonOui

1 j J +

ˆ ( ) y k

1ˆ

jθ +

', " J J

( )k σ

0 0ˆ , , J θ µ

Augmentation deµ

1 j j J J + <

Calcule de la quantité à minimiser

Simulation du modèle

Calcule des paramètres

Calcule gradient et hessien

Calcule la fonction de sensibilité

Simulation du modèle

Initialisation des paramètres

Sauvegarde de nouveaux paramètres

Convergence

atteinte ?Fin

Diminution deµ

Figure II.22 – Organigramme des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie

Nous décrivons brièvement l’aspect de cet algorithme : une modification du coefficient µ

assurant le réglage de l’algorithme de Levenberg-Marquardt est déterminée par l’évolution

du critère quadratique J :

Lorsque J augmente, la solution est trop éloignée de l’optimum. On augmente alors µ afin

de se rapprocher de l’optimum :µ = v2µ

Lorsque J diminue, on se rapproche de l’optimum. On diminue µ pour se rapprocher de la

méthode du type Gauss-Newton :µ = µ

v1

Ainsi que les coefficients v1 et v2 sont deux entiers avec des valeurs comprises entre 2 et

10 [Mar63]. Leurs valeurs influencent sur la rapidité de convergence de l’algorithme. La

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condition de convergence peut être de plusieurs formes : on peut surveiller l’évolution relative

du vecteur de paramètres θ̂, du gradient J ′

θ̂ ou du critère quadratique J . Si on choisit le critère

d’évolution relative des paramètres θ̂. La condition de convergence s’écrit comme suit : θ̂ j+1 − θ̂ j

2θ̂ j2

< tol (II.40)

Avec ∥∥2

la norme 2 et tol exprimant la tolérance sur la condition de convergence. Cette

valeur dépend de la précision recherchée.

II.3.2 Exemple numériqueAfin d’illustrer la consistance des méthodes d’identification basées sur l’erreur de sortie

dont le programme non linéaire utilisé est celui de Levenberg-Marquardt. On considère un

système de premier ordre en boucle ouverte décrit par la fonction de transfert suivante :

H BO = k

1 + τ p (II.41)

avec k = 0.3 et τ = 1. La discŕetisation du modèle en boucle ouverte avec un pas

d’échantillonnage T s = 0.1s donne :

H BO(q −1) =

b1q −1

1 + a1q −1 (II.42)

avec : a1 = −0.905b1 = 0.028On désire corriger le système avec un régulateur RST, permettant de réguler la dynamique

en boucle fermée dont le schéma de la commande numérique est représenté dans la figure

(II.23) :

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cy (k) (t) y

e(t)

(k)u(k)ε

(1 )

k

pτ+1( )T q−

1( ) R q−

1

1

( )S q− DAC

ADC

(k) y

Figure II.23 – Commande RST du système de second ordre.

La fonction de transfert de la boucle fermée désirée à temps discret est donnée par :

H BF (q −1) =

q 1q −1 + q 2q

−2

1 + p1q −1 + p2q −2

projet de fin d'étude: etude de l'identification en boucle fermée - application en simulation et...

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