projektowanie ukladów regulacji w dziedzinie czestotliwosci
TRANSCRIPT
Projektowanie układów regulacji w dziedzinieczęstotliwości
dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ
Wprowadzenie
Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet:
stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tymsamym wykresie
można używać rzeczywistych pomiarów zamiast modelu wformie transmitancji
projektowanie jest niezależne od rzędu układu
regulatory dla układów z opóźnieniami mozna projektować bezwiększych trudności
metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednichdiagramów) jest relatywnie łatwa
Układ pierwszego rzędu
Rozważmy system opisany transmitancją
G(s) =a
s+ a
Własności:
Jeden biegun (s = −a)Pasmo przenoszenia ωBW = |a|Odpowiedź skokowa
Y (s) =1s
a
s+ a=1s− 1s+ a
y(t) = (1− e−at)1(t)
Przykładowa transmitancja
G(s) =2s+ 2
−10
−8
−6
−4
−2
Mag
nitu
de (
dB)
100
101
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωBW=2[rad/sec]
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Step Response
Time (sec)A
mpl
itude
TR=0.5 sec
częstotliwość graniczna: przegięcie charakterystyk amplitudowej i fazowejstała czasowa: punkt przecięcia stycznej do odpowiedzi w punkcie zero zlinią maksymalnego wzmocnienia
Układ drugiego rzędu
Rozważmy system opisany transmitancją
G(s) =ω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n
gdzie
ζ - współ. tłumienia względnego
ωn - pulsacja drgań własnych (nietłumionych)
lokalizacja biegunów
s1,2 = −ζωn ± jωn√1− ζ2
dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywistedla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywistedla 0 < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone.
Charakterystyki częstotliwościowe dla przykładowego systemu
G(s) =1
s2 + 0.6s+ 1
−30
−20
−10
0
10
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωBW
MR
Własności układu
pulsacja rezonansowa (dla ζ ¬ 1√2)
ωR = ωn√1− 2ζ2
Moduł rezonansowy (dla ζ ¬ 1√2)
MR =1
2ζ√1− ζ2
pasmo przenoszenia
ωBW = ωn
√(1− 2ζ2) +
√4ζ4 − 4ζ2 + 2
Dla 0 < ζ < 1 to 0.64ωn < ωBW < 1.55ωn.Dla ζ = 1√
2to ωBW = ωn.
Odpowiedź skokowa dla systemu
G(s) =1
s2 + 0.6s+ 1
MP - wartość (moduł)przeregulowania
POS = 100[(MP−y(∞))/y(∞)]
TP - czas max. przeregulowania
TS - czas regulacji
TR - czas narastania
Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości)
Y (s) =1sG(s) =
1s− s+ 2ζωn(s+ ζωn)2 + ω2n(1− ζ2)
Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu)
y(t) = 1− e−t/τ√1− ζ2
cos(ωdt− ϕd), t > 0
gdzie
|σ| = ζωn - tłumienie względneτ = 1/|σ| - stała czasowaωd = ωn
√1− ζ2 - pulsacja tłumiona
ϕ = sin−1 ζ
Pasmo przenoszenia
Zakres częstotliwości, dla których wzmocnienie układu zamkniętego niespada poniżej = −3dB.
Częstotliwość, dla której wzmocnienie spada o −3 dB nazywamyczęstotliwością graniczną
Korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemyokreślenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedziukładu otwartego.
Na podstawie odpowiedzi układu 2-go rzędu, możemy przyjąć, iżczęstotliwość graniczna odpowiada częstotliwości, dla której wzmocnienieukładu otwartego jest pomiędzy −6 i −7.5dB (przyjmując, żeprzesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy −135o i −225o)
Przykład
Transmitancja układu zamkniętego
Gcl =1
s2 + 0.5s+ 1
−80
−60
−40
−20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
10−2
10−1
100
101
102
−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωBW
=1.4[rad/sec]
Pasmo przenoszenia
Przykład – cd
dla ω < ωBW dla ω > ωBW
50 60 70 80 90 100
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
WyjscieWymuszenie
90 92 94 96 98 100
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
WyjscieWymuszenie
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem ustalania(TS)
ωBW = ωn
√(1− 2ζ2) +
√4ζ4 − 4 ∗ ζ2 + 2
ωn =4Tsζ
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
20
40
60
80
100
120
140
ζ
ωB
W*T
S
Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem max.przeregulowania (TP )
ωBW = ωn
√(1− 2ζ2) +
√4ζ4 − 4 ∗ ζ2 + 2
ωn =π
Tp√1− ζ2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 14
4.5
5
5.5
6
6.5
7
ζ
ωB
W*T
P
Wpływ zmian położenia biegunów
Dla danej transmitancji
G(s) =ω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n=
ω2d + σ2
s2 + 2σs+ ω2d + σ2
-s
X
X
+jwd
-jwd
wn
s1,2 = −ζωn ± jωn√1− ζ2
θ = cos−1 ζ
ζ = cos θ
Wpływ zmian σ
ωd = 1, σ = {0.5, 1, 1.5}
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
σ=0.5σ=1.0σ=1.5
10−1
100
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alue
s (d
B)
σ=0.5
σ=1.0
σ=1.5
Wpływ zmian ωd
σ = 1, ωd = {0.5, 2.5, 4.5}
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
ω
d=0.5
ωd=2.5
ωd=4.5
10−1
100
101
−15
−10
−5
0
5
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alue
s (d
B)
ωd=0.5
ωd=2.5
ωd=4.5
Wpływ zmian ζ
ωn =√2, θ = {30, 45, 60}
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
1 2 3 4 5 6 7 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
θ=30
θ=45
θ=60
100
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alue
s (d
B)
θ=30θ=45θ=60
Wpływ zmian ωn
ζ = 1√2, ωn = {
√22 ,√2, 5√2}
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
ωn=0.707
ωn=1.41
ωn=7
10−1
100
101
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
Singular Values
Frequency (rad/sec)
Sin
gula
r V
alue
s (d
B)
ωn=0.707
ωn=1.41
ωn=7
Stabilność w dziedzinie częstotliwości
Problem
Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s)możemy ustalić stabilność układu zamkniętego?
Gcl =K(s)G(s)1 +K(s)G(s)
Uwagi:
Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z liniipierwiastkowych
Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwościodpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewejpółpłaszczyźnie zespolonej?
Zapas wzmocnienia i fazy
Zapas wzmocnienia
Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s))powodująca niestabilność układu zamkniętego. Układy z większymzapasem wzmocnienia są bardziej odporne na zmiany parametrówukładu mogące spowodować niestabilność układu zamkniętego.
Zapas fazy
Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodującaniestabilność układu zamkniętego.
Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnieniawiększe niż 180/ωpc (ωpc - częstotliwość przy którym przesunięciefazowe = 180o) powodują niestabilność układu zamkniętego.
Przykład
K(s) = 50, G(s) =1
s3 + 9s2 + 30s+ 40
10−1
100
101
102
−270
−180
−90
0
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = 13.3 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = 101 deg (at 1.85 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5000(100×)) nie musimykreślić nowego wykresu Bodego, aby odczytać zapas fazy.Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla−40dB (40dB odpowiada wzmocnieniu 100 razy).
−50
0
50
Mag
nitu
de (
dB)
10−1
100
101
102
−270
−180
−90
0
Pha
se (
deg)
Bode DiagramGm = −26.7 dB (at 5.48 rad/sec) , Pm = −59.6 deg (at 16.9 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Wskaźniki jakościowe
Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego:
musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemyużywać diagramów Bode’go.
sprawdzamy czy ωgc < ωpc) aby stwierdzić czy układzamknięty będzie stabilny.
dla układu 2-ego rzędu , współczynnik tłumienia (układuzamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/100 (jeśliPM= 0÷ 60o.dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzywspółczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasemustalania .
w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzierówne częstotliwości drgań własnych.
Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym
Definicje sygnałów
r - sygnał referencyjny
d - zakłócenia
n - szum czujników
z - regulowane wyjście
y - mierzone wyjście
Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r − z)
Wyjście układu
Z(s) =K(s)G(s)1+K(s)G(s)
R(s)+1
1+K(s)G(s)D(s)− K(s)G(s)
1+K(s)G(s)N(s)
Definiując bład regulacji e = r − z otrzymujemy
E(s) =1
1+K(s)G(s)R(s)− 1
1+K(s)G(s)D(s) +
K(s)G(s)1+K(s)G(s)
N(s)
orazU(s) =
K(s)1+K(s)G(s)
(R(s)−D(s)−N(s))
Ograniczenia sterowania
Można pokazać, że
e = r − z = S(r − d) + Tn
gdzie
S(s) = (1+G(s)K(s))−1; T (s) = 1−S(s) = (1+G(s)K(s))−1G(s)K(s)
Głowne cele sterowania
Dobre śledzenie sygnału referencyjnego(dla niskich częstotliwości < ωBW )
|G(jω)K(jω)| � 1⇔ |S(jω)| � 1 or |T (jw)| ' 1
Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości)
|G(jω)K(jω)| � 1⇔ |T (jω)| � 1
Cele i ograniczenia regulacji (sterowania)
Cel regulacji
Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawałmały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tychzakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe.
Ograniczenia
S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkichczestotliwości)∫∞0 log |S(jω)|dω = 0 - jakość sterowania (ang. performance)vs. odporność (ang. robustness)
I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking).
II Odporność na zmiany parametrów układu.
III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki)
IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n
Ms =‖S(jω)‖∞
d =1− 1Ms
PM ζ =2 sin−1(1Ms
)GM 1
d=MsMs − 1
Czyli
Ms < 2⇔ GM > 2 i PM > 30o