programmation fonctionnelle lambda-calcul a. introduction définition, caractéristiques, schéma...
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Programmation fonctionnelleLambda-calcul
A. Introduction
Définition,
Caractéristiques,
Schéma fonctionnel,
Quelques langages fonctionnels
B. Lambda-calcul Variables et fonctions en mathématiques
La -notation,
Fonction à plusieurs arguments
Les systèmes -applicatifs,
Grammaire du -calcul
Notion de variables libres et liées,
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
B. Lambda-calcul Changement de variables
Substitution
Contraction
Réduction
Théorie propre du -calcul
Forme normale
Ordre de réduction
Théorème de Church-Rosser ( première forme )
Théorème de Church-Rosser ( deuxième forme )
Fonctions récursives
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Introduction
• Définition :— Le traitement est décrit par application de fonction.— Exemple : f[g(x, h(x), f(x-1, g(h(x-1), 2) ]
• Caractéristiques :— Facilité d'exprimer et de prouver les programmes.— Basé sur un système formel (Lambda-calcul)— Absence d'affectation— Absence de contrôle explicite ( GOTO, EXIT). les langages fonctionnels ne
sont pas impératifs.— calcul basé sur les fonctions.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Introduction
• Schéma de programme fonctionnel:
Un seul type de contrôle implicite : Si Cond alors inst1 sinon inst2 Fsi.
• Les instructions peuvent être : conditionnelle, appel de fonction.
• Exemple
Fact(n) : Si n = 0 alors 1 sinon mult(n, Fact(n-1)) Fsi
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Introduction
• Exemple de langages fonctionnels:
• LISP ( Processor of Listes, Mac Carthy 1960)
• ISWIN ( Landin 66)
• FP ( Backus 78)
• HOPE (80)
• MIRANDA(85)
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Variables et fonctions en mathématiques : Inconvénient de la notation usuelle
• En mathématiques, la notation usuelle f(x) ne nous permet pas de distinguer entre la fonction elle-même et la valeur de la fonction pour une valeur déterminée de la variable.
• Ce défaut apparaît clairement dans les théories qui utilisent les fonctions de fonctions.
• Par exemple, dans les théories qui utilisent les opérateurs P et Q, l'application de l'opérateur P à la fonction f(x) est généralement notée P[f(x)]. Que signifie alors P[f(x+1)] ?
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� La -notation
• Si nous notons par M l'expression qui contient x qui indique la valeur de la fonction quand l'argument a la valeur x nous écrivons x(M) pour désigner la fonction elle-même. Cette formation est abstraction fonctionnelle.
• Pour désigner la valeur de la fonction pour la valeur 0 par exemple nous écrivons x(M) (0).
• Ainsi, x(x2) est la fonction carré.
• Autres abréviations : xM, µx.M
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Fonction à plusieurs arguments
• Pour des fonctions à plusieurs arguments, nous pouvons aussi définir une abstraction fonctionnelle :
nx1x2....xn.M
y(x+y) : désigne l'opération d'addition de l'argument y à x. ( x est alors fixe).
c'est f(y) = x+y
x(y(x+y)) c'est f(x,y) = x +y
2xy.x+y ou x: y.x+y
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Les systèmes -applicatifs
• Un système applicatif, défini de manière générales, est un système dans lequel les seules opérations sont l'abstraction fonctionnelle et des applications.
• L'application est représentée par une simple juxtaposition. Ainsi fab signifie f appliqué à a, puis le résultat appliqué à b.
Donc fab est (fa)b.
fabc c'est ((fa)b)c
De cette façon, les valeurs de fonctions à plusieurs variables sont construites progressivement.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Grammaire du -calcul
• Syntaxe
V = { x, y, ...} ensemble des variables.
C = { a, b, ...} ensemble des constantes.
L --> C / op
L --> V
L --> ( L L ) associativité à gauche(application)
L --> (V L) associativité à droite(abstraction fonctionnelle)
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Grammaire du -calcul
• ( L L L ) c'est ( (L L) L )
• (xyL ) c'est (x (yL) )
• Exemple :
• (xx) est obtenu par abstraction : f(x)
• ((xx)3) est obtenu par application : f(3)
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Notion de variables libres et liées
• Une occurrence d'une variable x dans Y est liée ssi x est à l'intérieur d'une partie de Y de la forme x.Z, sinon elle est libre.
• Variables libres• Soit X, Y dans L et soit x dans V et a dans C.
• Varlib(a) = {}• Varlib(x) = {x}• Varlib(XY)= Varlib(X) U Varlib(Y)• Varlib(xX)= Varlib(X) - {x}
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Notion de variables libres et liées
• Variables liées
• Varlié(a) = {}
• Varlié(x) = {}
• Varlié(XY)= Varlié(X) U Varlié(Y)
• Varlié(xX)= Varlié(X) U {x}
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Notion de variables libres et liées : Exemple
• X = ( (x(y.y) z.x) )
de la forme X = ( M N)
Varlib(X) =
Varlib(y.y) - {x}Uvarlib(x)-{z}
Varlib(y)- {y} - {x} U {x} - {z}
{y} - {y} - {x} U {x} - {z}
{} U {x}
{x}
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Notion de variables libres et liées : Exemple
X = ( (x(y.y) z.x) )
de la forme X = ( M N)
Varlié(X) =
Varlié(y.y) +{x}UVarlié(x)+ {z}
Varlié(y) + {y} + {x} U {} + {z}
{} + {y} + {x} U {} + {z}
{ x, y, z }
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Notion de variables libres et liées
• Nous remarquons que x est liée dans M mais libre dans N. Nous pourrions écrire indifféremment
X = ( (t(y.y)) z.x))
car on peut toujours changer le nom de la variable liée.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Changement de variable liée : (Alpha-conversion)
• Un changement de variable liée dans un terme X est le remplacement d'une partie de X de la forme y.Z, avec y non liée dans Z, par v.[v/y]Z pour tout v qui n'est ni libre ni liée dans Z.
• (Alpha) : Si y n'est pas libre dans M, alors x.M = y[y/x]M.
• Congruence :
— X est congruent à Y ssi Y est le résultat d'application d'une série de changements de variables liées.
— La congruence est une relation d'équivalence.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Substitution
• Soit N et M dans L et x une variable libre de M.
• [N/x]M : substituer N à x dans M.
• [N/x]a = a
• [N/x]x = N
• [N/x]y = y si y # x
• [N/x](M1M2) = [N/x]M1 [N/x]M2
• [N/x](µxM) = (xM)
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Substitution• [N/x]( yM) = x # y y non libre dans N c'est (y [N/x] M ) y libre dans N c'est z [N/x] ([z/y]M)
• Exemple : Prenons M = y.xy et N = y [t/x] y.xy = y.yt (1) [y/x] y.xy = y.yy (confusion) =[y/x] z.xz =z.zt ce qui est équivalent à(1)
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Contraction : Béta-conversion
• Une -expression de la forme ( x.M) N s'appelle un Béta-radical ou Béta-rédex ou rédex.
avec ( x.M) une abstraction fonctionnelle et
(x.M) N une application
• (Beta) : Si x n'est pas liée dans M alors (x.M) N = [N/x] M
• si x.M est une fonction, son application à n'importe quel N doit être vue comme le résultat de la substitution de x par N dans M
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Contraction : Béta-conversion
• Ici aussi, il y a possibilité de confusion de variables.
Supposons M = x.xy et N = y.
La substitution de x par N sans tenir compte des variables liées dans M nous donne y.yy
Mais si nous transformons M en z.zy ( par (alpha) ) puis nous substituons x par y nous obtenons finalement z.zy
Il s'agit en d'autres termes d'une substitution aux occurrences libre de x dans M.
Donc, une telle confusion peut apparaître si une variable libre dans N est liée dans N.
Ainsi, l'objet Béta-rédex a pour contractant [N/x]M qui est une Béta-contraction.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Remarques
• Les règles (Alpha) et (Béta) prises ensemble constituent la Beta-conversion.
• La règle (Alpha) prise seule constitue la Alpha-conversion.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Réduction
• X se réduit à Y (=>) ssi Y est le résultat d'une série(éventuellement vide) de changement de variables liée et de contractions.
=> est réflexive et transitive.
• Exemples : 1. ( x.xy)F => Fy 2. (x.y)F => y 3. (x.(y.yx)z)v)=> [v/x](( y.yx)z) == (y.yv)z => [z/y] (yv] == zv 4. (x.xxy)( x.xxy) => (x.xxy)( x.xxy)y => (x.xxy)( x.xxy)yy => ect...
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Théorie propre du -calcul
• L'ensemble des énoncés de la forme X >> Y qui sont vrai.
• Règles : Alpha, Béta, Axiome( X >> X)
et les règles de déductions :
1. X >> Y ==> ZX >> ZY
2. X >> Y ==> XZ >> YZ
3. X >> Y ==> x.X >> x.Y
4. X >> Y et Y >> Z ==> X >> Z
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Théorie propre du -calcul
• Formellement, nous dirons que X >> Y ssi il existe une preuve de cet énoncé utilisant uniquement les axiomes et les règles ci dessus.
• (Eta) : Si x n'est pas libre dans M,alors x.(Mx) = M
• (Tau) : Si x n'est pas libre ni dans M ni dans N alors
• Mx = Nx ==> M = N
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Forme normale :
• Un objet sera dit être dans une forme normale, d'une certaine µ-expression s'il ne contient aucun rédex. [ (x.M) N ]
• Dans l'exemple 3, zv est la forme normale de ( x.(y.yx)z)v)
• Le terme de l'exemple 4 n'a pas de forme normale.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Ordre de réduction
• Ordre normal : Plus externe, plus à gauche dans le même niveau. ( par nom)
• par valeur : Plus interne, Plus à gauche dans le même niveau
• Il existe d ’autres ordres
• Deux chemins différents de réduction peuvent-ils aboutir à des formes normales différentes ?
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Théorème de Church-rosser première forme
• Si U=>X et U=>Y, il existe Z tel que X=>Z et Y=>Z.
• Corollaire :
Si U a des formes normales X et Y, alors X est congruent à Y ( On peut passer de X à Y par des changements de variables )
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Théorème de Church-rosser ( deuxième forme )
• Si E1 ==> E2 et Si E2 forme normale
alors il existe une suite de réduction de E1 à E2 selon l ’ORDRE NORMAL.
• L ’ordre normal garantit de trouver une forme normale si elle existe mais ne garantit pas de la trouver par un nombre minimum de réduction.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Fonctions récursives
soit Fact = ( n. si (= n 0) 1 (* n (Fact ( - x 1) ) ) )
de la forme Fact = n. ( ….Fact …)
par une Béta-abstraction
Fact = ( fac .(n. ( …fac …))) Fact
Fact = H Fact (1)
avec H = ( fac .(n. ( …fac …)))
(1) implique que Fact est un point fixe de H.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Fonctions récursives
• Il suffit donc de trouver un point fixe de H.
• On démontre que YH = H (YH) , c ’est à dire que YH est un point fixe de H.
• Y est appelé le combinateur du point fixe.
• Solution Fact = YH.
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Fonctions récursives : Exemple : Calcul de Fact 1 YH 1 = H (YH) 1 ( fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) YH 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 1 si (= 1 0) 1 (* 1 ( YH ( - 1 1 ))) * 1 ( YH 0 ) * 1 ( H (YH) 0 ) * 1 (fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) (YH) 0 ) * 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 0 * 1 (si (= 0 0) 1 (* 0 ( YH ( - 0 1 ))) * 1 ( 1) 1
Programmation fonctionnelleLambda-calcul
� Fonctions récursives : Combinateur Y
• Y =( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) )
• Montrons que YH = H (YH)
YH = ( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) ) H
YH = (x. H ( x x)) (x.H (x x))
YH = H (x.H (x x) (x.H (x x)
YH = H ( YH )
Donc YH point fixe de H.